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Wintersemester 2019/20: Vorlesung Funktionentheorie II - Modulformen
Prof. Dr. Katrin Wendland
Vorlesung
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Wann und wo:
Montag und Mittwoch 10-12 Uhr, SR404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Die klassische Funktionentheorie untersucht komplex differenzierbare Funktionen
in einer Veränderlichen, die auf einer offenen Menge in der komplexen
Ebene
C
definiert sind. Man arbeitet auch häufig
auf der Riemannschen Zahlenkugel, die aus
C
durch Hinzufügung
eines Punktes im Unendlichen entsteht, und
man lässt isolierte Singularitäten zu. Als natürliche Verallgemeinerung
ergibt sich nun die Untersuchung komplex differenzierbarer Funktionen auf
offenen Teilmengen anderer, sogenannter Riemannscher Flächen, anstelle
der Riemannschen Zahlenkugel. Die einfachsten Beispiele sind die elliptischen
Kurven und die dazugehörigen doppelt periodischen Funktionen auf
C
. Allgemeiner
fügt man der oberen komplexen Halbebene geeignete Punkte hinzu und fordert
von den holomorphen Funktionen ein spezielles Transformationsverhalten unter
bestimmten Möbiustransformationen, um die sogenannten Modulformen zu
definieren. Modulformen können dann als Bausteine für die Konstruktion
holomorpher und meromorpher Funktionen auf Riemannschen Flächen
angesehen werden. Die sogenannte Diskriminantenfunktion
| Δ(τ) |
= |
q |
∞
∏
n
=
1
|
(1-q
n
)
24
|
mit q=exp(2πiτ)
für τ in der oberen komplexen Halbebene ist ein klassisches Beispiel
einer Modulform, das zudem einen für Modulformen typischen
Zusammenhang zu einem Zählproblem aufweist:
∞
∏
n
=
1
|
(1-q
n
)
-1
|
= |
∞
∑
N
=
0
|
P(N) q
N
,
|
wobei P(N) die Anzahl der Partitionen von N angibt.
Die Vorlesung gibt eine elementare Einführung in die Theorie der elliptischen
Funktionen, der elliptischen Kurven und der Modulformen mit Blick
auf den Zusammenhang zu kompakten Riemannsche Flächen
im allgemeinen.
Literatur
- J.H. Bruinier, G. v.d.\ Geer, G. Harder, D. Zagier, The 1-2-3 of Modular Forms,
Springer 2008
- F. Diamond, J. Shurman, A First Course in Modular Forms, Springer 2005
- M. Eichler, D. Zagier, The Theory of Jacobi Forms, Birkhäuser 1985
- N. Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms, Springer 1984
- K. Lamotke, Riemannsche Flächen, Springer 2009
- J.-P. Serre, A course in arithmetic, Springer 1973
Assistentin
Dr. Mara Ungureanu
Übungen
Studienleistung
Die für Ihren Studiengang
geltenden Regelungen zu Studien- und Prüfungsleistungen
entnehmen Sie bitte dem jeweiligen Modulhandbuch.
Die Voraussetzung für den Erhalt der Studienleistung
ist die
aktive Teilnahme
an der Übungsgruppe,
und aktive Teilnahme bedeutet:
-
Anwesenheitspflicht
- Sie dürfen höchstens zweimal bei den Übungen fehlen.
-
Vorrechnen
- Sie müssen mindestens zwei Übungsaufgaben an
der
Tafel präsentieren.
-
Hausaufgaben
-
Sie müssen die beiden präsentierten Übungsaufgaben
schriftlich ausarbeiten, einreichen und mindestens
die Bewertung "bestanden" erreichen.
In einigen Studiengängen wird zusätzlich das Bestehen
eines
Abschlusstestes
gefordert.
Studienleistung und Prüfungsleistung
Voraussetzung für den Erhalt der Prüfungsleistung
ist in der Regel das Bestehen der mündlichen Prüfung. Die für Ihren Studiengang
geltenden Regelungen zu Studien- und Prüfungsleistungen
entnehmen Sie bitte dem jeweiligen Modulhandbuch.
Prüfungen
Näheres zu den Prüfungen wird rechtzeitig bekannt gegeben.
mündliche Prüfungen und Abschlusstests
Zeitpunkt der Prüfungen und Abschlusstests:
21. Februar 2020 ab 9:00 Uhr
bis 16:00 Uhr; die
genaue Terminvergabe für die einzelnen
30-minütigen Prüfungen und 20-minütigen
Abschlusstests erfolgt nach Ablauf der Anmeldefrist
Ort der Prüfungen und Abschlusstests:
Raum 338, Ernst-Zermelo-Str. 1
Anmeldung zur Prüfung
ist verpflichtend, und zwar für alle; die Anmeldung zur
Prüfung ist unabhängig davon, ob Sie in eine Übungsgruppe eingeteilt wurden
oder immatrikuliert sind, sie muss separat erfolgen.
Näheres zur Prüfungsanmeldung wird rechtzeitig bekannt gegeben.
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