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Sommersemester 2021: Vorlesung Differentialgeometrie II - Die einfachen Lie-Algebren und Singularitäten
Prof. Dr. Katrin Wendland
Vorlesung
- Wann und wo: Montag und Mittwoch 10-12 Uhr;
aufgrund der Maßnahmen gegen die Corona-Pandemie
wird die Vorlesung ausschließlich synchron über den BigBlueButton
Raum Fischer übertragen.
Alle Teilnehmer und Teilnehmerinnen, die sich
bis spätestens 14. April 2021 über HisInOne registriert haben, erhalten das
Passwort für diesen Raum per e-Mail.
Lie-Gruppen sind glatte Mannigfaltigkeiten, die eine Gruppenstruktur tragen,
und zwar so, dass die Verknüpfung und die Inversenbildung glatte Abbildungen sind.
Zu den einfachsten Beispielen gehören die GLn(R) und die SU(n).
Auf dem Tangentialraum in der Identität solch einer Lie-Gruppe
erhält man in natürlicher Weise die Struktur einer Lie-Algebra.
Damit gehört die Theorie der Lie-Gruppen und Lie-Algebren zu den klassischen Themen
der Differentialgeometrie, die weitreichende Anwendungen in der Geometrie und auch in
der mathematischen Physik haben.
Als einfachste Bausteine der Lie-Algebren kann man die sogenannten einfachen Lie-Algebren
ansehen. Die endlich-dimensionalen einfachen Lie-Algebren über C kann
man mit kombinatorischen Mitteln klassifizieren. Sie
werden mit den Typen A, B, C, D, E, F, G bezeichnet, wobei die Typen A, D, E eine
Sonderstellung einnehmen. Die
kombinatorischen Daten lassen sich besonders schön mittels der sogenannten Dynkin-Diagramme
festhalten.
Im ersten Teil der Vorlesung werden die Grundlagen der Theorie der Lie-Algebren erarbeitet
und die Klassifikation der endlich-dimensionalen einfachen Lie-Algebren über C
vorgestellt.
Die Dynkin-Diagramme tauchen in erstaunlich vielen anderen Bereichen der Mathematik immer
wieder auf. So klassifizieren die Dynkin-Diagramme der Typen A, D, E auch die sogenannten
einfachen Singularitäten, denen wir uns im zweiten Teil der Vorlesung zuwenden werden.
Schließlich soll in einem dritten Teil der Vorlesung noch gezeigt werden, wie die beiden
vorher untersuchten, scheinbar grundverschiedenen ADE-klassifizierten Strukturen
mit einander zusammenhängen.
Die Vorlesung wird auf Englisch gehalten, sofern alle Teilnehmer und Teilnehmerinnen
damit einverstanden sind.
Literatur
- R. Carter, G. Segal, I. Macdonald, Lectures on Lie groups and Lie algebras,
Cambridge University Press 1995
- W. Ebeling, Funktionentheorie, Differentialtopologie und Singularitäten,
vieweg 2001
- A.W. Knapp, Lie groups beyond an introduction, Birkhäuser, 1996
- P. Slodowy, Simple singularities and simple algebraic groups, Springer 1980
Assistent
Dr. Severin Barmeier
Übungen
Freitags 16-18, ebenfalls im Raum Fischer.
Aufgabenblätter
Studienleistung
Die für Ihren Studiengang
geltenden Regelungen zu Studien- und Prüfungsleistungen
entnehmen Sie bitte dem jeweiligen Modulhandbuch. In der Regel
(hier ohne Gewähr)
ist die Voraussetzung für den Erhalt der Studienleistung
die aktive Teilnahme an der Übungsgruppe,
und aktive Teilnahme bedeutet:
- Vorrechnen - Sie müssen mindestens zwei Übungsaufgaben
im Tutorat präsentieren,
ggf. virtuell über Videokonferenz.
Auf Aufforderung der Tutorin oder des Tutors müssen Sie
abgegebene Übungsaufgaben an der Tafel präsentieren können.
- Hausaufgaben -
Sie müssen die beiden präsentierten Übungsaufgaben
schriftlich ausarbeiten, einreichen und mindestens
die Bewertung "bestanden" erreichen.
Prüfungsleistung
Voraussetzung für den Erhalt der Prüfungsleistung
ist in der Regel (hier ohne Gewähr) das Bestehen der mündlichen,
30-minütigen Prüfung. Für alle mündliche Prüfungen
zu dieser Vorlesung
in den Bachelor- und Masterstudiengängen stehen
Freitag, 30.07.2021 und Freitag, 17.09.2021
zur Auswahl.
Nach Anmeldung für einen der beiden Termine werden der Prüfungsort und
die genaue Zeit bekannt gegeben.
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