Sommersemester 2020: Vorlesung Funktionentheorie

Prof. Dr. Katrin Wendland

Vorlesung

• Wann und wo: Laut Vorgabe der Leitung der Universität Freiburg zur Durchführung des Vorlesungsbetriebes im Sommersemester 2020 beginnt die Vorlesung am Montag, den 11. Mai 2020, und sie kann nur asynchron digital gehalten werden. Die Aufzeichnungen sind jeweils spätestens montags und mittwochs um 10:00 Uhr online erhältlich. Außerdem wird es zunächst wöchentlich jeweils mittwochs von 11:00 Uhr bis 11:45 Uhr eine live Fragestunde geben, zum ersten Mal am Mittwoch, den 13. Mai 2020. Der Vorlesungsbetrieb des Sommersemesters 2020 endet am 31. Juli 2020.
  Bitte belegen Sie die Vorlesung bis spätestens 30. April 2020, damit wir Ihnen die Zugangsdaten zur digitalen Vorlesung sowie zur Fragestunde rechtzeitig vor Beginn des Vorlesungsbetriebs per e-Mail zusenden können.

Die Funktionentheorie ist ein klassisches Gebiet der höheren Mathematik und befasst sich mit der Differential- und Integralrechnung für komplex differenzierbare Funktionen in einer komplexen Veränderlichen. Diese können natürlich auch als Funktionen zweier reeller Veränderlichen aufgefasst werden und sind dann dadurch charakterisiert, dass sie die sogenannten Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen lösen. Die überraschenden Ergebnisse der Funktionentheorie können auf die besonders schönen Eigenschaften dieser Differentialgleichungen zurückgeführt werden. Zum Beispiel sind komplex differenzierbare Funktionen automatisch nicht nur beliebig oft stetig differenzierbar, sondern immer analytisch, können also lokal als Potenzreihen dargestellt werden. Außerdem ist eine komplex differenzierbare Funktion durch erstaunlich wenig Daten eindeutig bestimmt: Ihre Werte auf einer Kreisscheibe sind schon durch ihre Werte auf dem Rand dieser Kreisscheibe eindeutig festgelegt. Diese Tatsachen machen den Umgang mit komplex differenzierbaren Funktionen besonders einfach. Die vielen schönen Eigenschaften komplex differenzierbarer Funktionen erlauben zahlreiche Anwendungen in verschiedensten Gebieten der Mathematik und Physik.
Zentrale Themen der Vorlesung sind die Grundlagen der Funktionentheorie, also insbesondere Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen, der Cauchysche Integralsatz, die Cauchysche Integralformel, Maximumprinzip und Residuensatz. Sofern die Zeit es erlaubt, werden außerdem Anwendungen in der Zahlentheorie angesprochen, z.B. der Beweis des Primzahltheorems.

Aktualisierung:
Da es in diesem Sommersemester aufgrund der veränderten Semesterzeiten drei Vorlesungsstunden weniger gibt als üblich, werden wir leider keine Zeit mehr für die Besprechung des Primzahltheorems haben. Falls Sie die Zeit und Energie finden, sich dieses Thema auf der Grundlage der in der Funktionenheorie gelernten Techniken auf eigene Faust anzuschauen, dann werden Sie dazu ausdrücklich ermutigt. Die Referenz dafür ist die folgende:

D. Zagier: Newman's Short Proof of the Prime Number Theorem , The American Mathematical Monthly, Vol. 104 , No. 8 (Oct., 1997), pp. 705-708.

Literatur

• K. Jänich, Funktionentheorie, Springer, 2008
• E. Freitag, R. Busam, Funktionentheorie, Springer, 2006
• S. Lang, Complex Analysis, Springer, 1999
• R. Remmert, Funktionentheorie I, Springer, 1984

Assistent

• Dr. Severin Barmeier

Übungen

• Start des Übungsbetriebs: Der Übungsbetrieb startet in der Woche vom 11.05.2020 mit der Ausgabe des ersten Übungsblattes am 13.05.2020. Die ersten Übungsgruppen finden ab 18.05.2020 statt.
• Ausgabe: Die Aufgabenblätter werden jeweils mittwochs online gestellt.
• Abgabe: Jeweils eine Woche nach Ausgabe des Blattes, mittwochs bis 12:00 Uhr , in einer einzigen pdf-Datei per e-Mail an Ihren Tutor. Ihre Lösungen müssen nicht per LaTeX erstellt werden, es gibt eine Reihe von Apps, mit denen Sie eine handschriftliche Lösung photographieren und als pdf-Datei abspeichern können. Eine technisch einfache Lösung ist beispielsweise die Handy-App Notebloc . Große pdf-Dateien komprimieren Sie bitte vor dem Versand.
  • Sie dürfen Ihre Lösungen in Zweiergruppen einreichen, allerdings nur, wenn die Zweiergruppe zu ein und derselben Übungsgruppe gehört. Sie müssen in der Lage sein, alle von Ihrer Zweiergruppe eingereichten Lösungen frei zu erklären .
  • Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe .
• Nicht angenommen oder korrigiert werden Lösungen, die
  • nicht höchstens zwei Studierenden zugeordnet werden können; insbesondere werden unleserliche, nicht zu einer Datei zusammengefasste oder nicht korrekt beschriftete Lösungen nicht akzeptiert.
  • nicht komprimiert wurden und aufgrund der Dateigröße per e-Mail nicht bearbeitet werden können.
• Rückgabe: Die Tutoren korrigieren Ihre Lösungen und geben sie Ihnen etwa eine Woche nach Abgabe als annotierte pdf-Datei zurück . Wir testen derzeit noch verschiedene Ideen dazu, wo und in welcher Form die Aufgaben besprochen und vorgerechnet werden.
• Ablauf des Übungsbetriebs: Der Übungsbetrieb wird ausschließlich digital ablaufen; die Übungsgruppen treffen sich in ihrem jeweiligen virtuellen Übungsraum ein Mal wöchentlich, um Fragen zur Vorlesung sowie das aktuelle Übungsblatt zu besprechen. Genauere Angaben erhalten Sie, sobald die Übungsgruppen nach Ende der Anmeldefrist eingeteilt sind.

Aufgabenblätter

• Übungsblatt 0 wird in den Tutoraten am 20./22.05.2020 bearbeitet.
• Übungsblatt 1 (Abgabetermin 20.05.2020)
• Übungsblatt 2 (Abgabetermin 27.05.2020)
• Übungsblatt 3 (Abgabetermin 03.06.2020)
• Übungsblatt 4 (Abgabetermin 10.06.2020)
• Übungsblatt 5 (Abgabetermin 17.06.2020)
• Übungsblatt 6 (Abgabetermin 24.06.2020)
• Übungsblatt 7 (Abgabetermin 01.07.2020)
• Übungsblatt 8 (Abgabetermin 08.07.2020)
• Übungsblatt 9 (Abgabetermin 15.07.2020)
• Übungsblatt 10 (Abgabetermin 22.07.2020)
• Übungsblatt 11 (wird nicht abgegeben)

Studienleistung und Prüfungsleistung