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Wintersemester 2017/18: Vorlesung Monstrous Moonshine
Prof. Dr. Katrin Wendland
Vorlesung
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Wann und wo:
Montag und Mittwoch 10-12 Uhr, im SR404, Eckerstr. 1
Die Moonshine-Vermutung stellt einen unerwarteten Zusammenhang
her zwischen der sogenannten Monster-Gruppe,
das ist die größte sporadische Gruppe,
sowie einer wichtigen, auf der oberen
Halbebene holomorphen Funktion,
nämlich der Modulfunktion j.
In der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen treten 26
Ausnahmegruppen in Erscheinung, die "sporadischen" Gruppen.
Die Monster-Gruppe
M
ist die größte unter
diesen. Sie besitzt
2
46
· 3
20
· 5
9
· 7
6
· 11
2
· 13
3
· 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71
Elemente. Eine Modulfunktion ist eine meromorphe Funktion auf der
oberen komplexen Halbebene, die unter
ganzzahligen Möbiustransformationen invariant ist.
Für die einfachste unter diesen, die j-Funktion, beginnt die
Fourierreihe wie folgt:
j(τ)=q
-1
+ 744 + 196884 q + 21493760 q
2
+···,
q:=exp(2π iτ), Im(τ)>0.
Sehr merkwürdig:
Die Koeffizienten 1, 196884, 21493760,... sind in sehr einfacher Weise
mit den Dimensionen der irreduziblen Darstellungen von
M
verknüpft.
Die "Monstrous-Moonshine"-Vermutung besagt,
dass es hierfür einen tieferen Grund gibt -
und natürlich sehr viel mehr als das. Genauso
mysteriös wie die Vermutung selbst ist deren schließlich
von Borcherds gefundener Beweis: Diesen kann man am besten
verstehen, wenn man in eine physikalisch motivierte Theorie
hineinschaut - die konforme Quantenfeldtheorie.
Die Funktion j(τ)- 744 wird dann als Zustandssumme einer speziellen
konformen Quantenfeldtheorie interpretiert.
Ziel der Vorlesung ist es, Aussage sowie Grundzüge des Beweises
der
"Monstrous-Moonshine"-Vermutung zu erarbeiten.
Dazu werden die wesentlichen Grundbegriffe und Ergebnisse aus der
Theorie der
endlichen Gruppen, der Lie-Algebren, deren Darstellungen,
der Modulformen sowie aus der konformen Feldtheorie
eingeführt. Dies schließt die
Diskussion der grundlegenden Konstruktionen von
Vertexoperator-Algebren ein. Vorkenntnisse aus
der Physik werden aber nicht vorausgesetzt.
Mitschrift
annotierte Mitschrift
von Herrn Lukas Hoffmann
Literatur
Sprechstunden des Assistenten
†bungen
- Die †bungen finden jeweils dienstags von 16 - 18 Uhr im SR 119 statt.
- Der Termin vom Dienstag, den 17. 10. 2017, wird auf
Donnerstag, den 19. 10. 2017, von 14 - 16 Uhr im SR 218 verschoben.
- Bitte melden Sie sich in HISinOne fuer die †bungen an.
Prüfungszulassung
Die
aktive Teilnahme
an der Übungsgruppe ist Voraussetzung für
die
Zulassung zur mündlichen Prüfung,
und aktive Teilnahme bedeutet:
-
Anwesenheitspflicht
- Sie dürfen höchstens zweimal bei den Übungen fehlen.
-
Vorrechnen
- Sie müssen mindestens zwei Übungsaufgaben an
der
Tafel präsentieren.
-
Hausaufgaben
-
Sie müssen die beiden präsentierten Übungsaufgaben
schriftlich ausarbeiten, einreichen und mindestens
die Bewertung "bestanden" erreichen.
Studienleistung
Aktive Teilnahme an der Übungsgruppe, s.o.
Prüfungsleistung (mündliche, 30-minütige Prüfung)
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Zeitpunkt der mündlichen Prüfung:
23. März 2018,
8:00-19:00 Uhr, der genaue Terminplan
wird nach Anmeldung bekannt gegeben.
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Ort der mündlichen Prüfung:
Raum 338, Eckerstrasse 1
Bitte beachten Sie:
Sie erhalten nur dann einen Prüfungstermin,
wenn Sie die Prüfungszulassung haben
und
für die Prüfung angemeldet sind.
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