David Hilbert
Grundlage der Geometrie
(2 Auflage, 1903)
Auszüge

David Hilbert
Foundations of Geometry
(2nd Edition, 1903)
Excerpts
Translation: David R. Wilkins (2017)

Quelle/Source: archive.org

Einleitung

Introduction

Die Geometrie bedarf—ebenso wie die Arithmetik—zu ihrem folgerichtigen Aufbau nur weniger and einfacher Grundsätze. Diese Grundsätze heißen Axiome der Geometrie. Die Aufstellung der Axiome der Geometrie und die Erforschung ihres Zusammenhanges ist eine Aufgabe, die seit Euklid in zahlreichen vortrefflichen Abhandlungen der mathematischen Literatur1 sich erörtert findet. Die bezeichnete Aufgabe läuft auf die Logische Analyse unserer räumliching Anschauung hinaus.

Geometry, like arithmetic, needs for its logical development only a limited number of simple fundamental principles. These fundamental principles are called axioms of geometry. The presentation of the axioms of geometry and the development of their consequences is an undertaking that, since Euclid has been carried out in numerous admirable treatises in the mathematical literature1. The undertaking just described carries through the logical analysis of our spatial intuition.

Die vorliegende Untersuchung ist ein neuer Versuch, für die Geometrie ein vollständiges und möglichst einfaches System von Axiomem aufzustellen and aus denselben die wichtigsten geometrischen Sätze in der Weise abzuleiten, daß dabei die Bedeutung der verschiedenen Axiomgruppen und die Tragweite der aus den einzelnen Axiomen zu ziehenden Folgerungen möglichst klar zutage tritt.

The investigation before us is a new quest, to establish for geometry a complete system of axioms that is as simple as possible, and, from them to derive the important geometrical theorems so that thereby the significance of the different axiom groups and the extent of the reasoning developed from just these axioms is made manifest.

Kapitel I.
Die fünf Axiomgruppen.
§ 1.
Die Elemente der Geometrie und die fünf Axiomgruppen.

Chapter I.
The Five Groups of Axioms.
§ 1.
The Elements of Geometry and the Five Groups of Axioms.

Erklärung. Wir denken drei verschiedene Systeme von Dingen: die Dinge des ersten Systems nennen wir Punkte und bezeichnen sie mit A, B, C,…; die Dinge des zweiten Systems nennen wir Gerade und bezeichnen sie mit a, b, c,…; die Dinge des dritten Systems nennen wir Ebene und bezeichnen sie mit α, β, γ,…; die Punkte heißen auch Elemente der linearen Geometrie, die Punkte und Geraden heißen die Elemente der ebenen Geometrie und die Punkte, Geraden und Ebenen heißen die Elemente der räumlichen Geometrie oder des Raumes.

Terminology. We consider three distinct systems of entities: the entities of the first system we call points and denote them by A, B, C,…; the entities of the second system we call straight lines and denote them using a, b, c,…; the entities of the third system we call planes and denote them using α, β, γ,…; the points are also referred to as the elements of linear geometry, the points and straight lines as the elements of plane Geometry and the points, straight lines and planes as the elements of spatial geometry or of space.

Wir denken die Punkte, Geraden, Ebenen in gewissen gegenseitigen Beziehungen und bezeichnen diese Beziehungen durch Worte wie „liegen”, „zwischen”, „parallel”, „kongruent”, „stetig”; die genaue und volständige Beschreibung dieser Beziehungen erfolgt durch die Axiome der Geometrie.

We consider the points, straight lines, planes as satisfying certain reciprocal relations, and denote these relations through words such as “lie”, “between”, “parallel”, “congruent”, “continuous”; the precise and complete specification of these relationships is accomplished through the Axioms of Geometry.

§ 2.
Die Axiomgruppe I:
Axiome der Verknüpfung.

§ 2.
Axiom Group I:
Axioms of Incidence.

Die Axiome dieser Gruppe stellen zwischen den oben erklärten Begriffen Punkte, Geraden und Ebenen eine Verknüpfung her und lauten wie folgt:

The axioms of this group set forth incidence relations between the concepts of point, straight line and plane explained above and are stated as follows:

I 1. Zwei von einander verschiedene Punkte A, B bestimmen stets eine Gerade a.

Statt „bestimmen” werden wir auch andere Wendungen gebrauchen, z.B. a „geht durch” A „und durch” B, a „verbindet” A „und” oder „mit” B. Wenn „A” ein Punckt ist, der mit einem anderen Punkte zusammen die Gerade a bestimmt, so gebrauchen wir auch die Wendungen: A „liegt auf” a, A „ist ein Punkt von” a, „es gibt den Punkt” A „auf” a u.s.w. Wenn A auf der Geraden a und außerdem auf einer anderen Gerade b liegt, so gebrauchen wir auch die Wendung: „die Geraden” a „und” b „haben den Punkt A gemein” u.s.w.

I 1. Two distinct points A, B always determine a right line a.

In place of "determine", we will also use other alternative wordings, e.g. a “goes through” A “and through” B, a “joins” A “and” or “with” B. If “A” is a point, that together with another point determines the straight line a, then we use also the following alternative wordings: A “lies on” a, A “is a point of” a, “there exists a point ” A “on” a etc. If A lies on the straight line a and also on another straight line b then we use also the following alternative wordings: “the straight lines” a “and” b “have the point A in common” etc.

I 2. Irgend zwei voneinander verschiedene Punkte einer Geraden bestimmen diese Gerade.

I 2. Any two distinct points of a straight line determine that straight line.

I 3. Auf einer Geraden gibt es stets wenigstens zwei Punkte, in einer Ebene gibt es stets wenigstens drei nicht auf einer Geraden gelegene Punkte.

I 3. On a straight line are always at least two points; in a plane there are always at least three points that do not lie on a single straight line.

I 4. Drei nicht auf ein und derselben Geraden liegende Punkte A, B, C bestimmen stets eine Ebene α.

I 4. Three points A, B, C that do not all lie on a single straight line always determine a plane α.

I 5. Irgend drei Punkte einer Ebene, die nicht auf ein und derselben Geraden liegen, bestimmen die Ebene α.

I 5. Any three points of a plane that do not all lie on a single straight line determine the plane α.

I 6. Wenn zwei Punkte A. B einer Geraden a in einer Ebene α liegen, so liegt jeder Punkt von a in der Ebene α.

In diesem Falle sagen wir: die Gerade a liegt in der Ebene α u.s.w.

I 6. If two points A. B of a straight line a lie in a plane α then every point of a lies in the plane α.

In this case we say that the straight line a lies in the plane α etc.

I 7. Wenn zwei Ebenen α β einen Punkt A gemein haben, so haben sie wenigstens noch einen weiteren Punkt B gemein.

I 7. If two planes α β have a point A in common, then they have at least one other point B in common.

I 8. Es gibt wenigstens vier nicht in einer Ebene gelegene Punkte.

I 8. There exist at least four points that do not all lie in a single plane.

Die Axiome I 1—3 mögen die ebenen Axiome der Gruppe I heiß zum Unterschied von den Axiomen I 4—8, die ich als die räumlichen Axiome der Gruppe I bezeichne.

The axioms labelled I 1—3 can be called the planar axioms of Group I, as distinct from axioms labelled I 4—8, that I refer to as the spatial axioms of Group I.

Von den Sätzen, die aus den Axiomen I 1—8 folgen, erwähne ich nur diese beiden:

Of the theorems that follow from Axioms I 1—8, I mention only these two:

Satz 1. Zwei Geraden einer Ebene haben einen oder keinen Punkt gemein; zwei Ebenen haben keinen Punkt oder eine Gerade gemein; eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben keinen oder einen Punkt gemein.

Theorem 1. Two straight lines in a plane have at most one point in common; two planes have either no points or one straight line in common; a plane and a straight line not lying in it have at most one point in common.

Satz 2. Durch eine Gerade und einen nicht auf ihr liegenden Punkt, sowie auch durch zwei verchiedene Geraden mit einem gemeinsamen Punkt gibt es stets eine und nur eine Ebene.

Theorem 2. Through a straight line and one point not lying on it, as also through two distinct straight lines with one common point, there exists one and only one plane.

§ 3.
Die Axiomgruppe II:
Axiome der Anordnung. 2

§ 3.
Axiom Group II:
Axioms of Order. 2

Die Axiome dieser Gruppe definieren den Begriff „zwischen” und ermöglichen auf Grund dieses Begriffes die Anordnung der Punkte auf einer Geraden, in einer Ebene und in Raume.

The axioms of this group define the concept „between” and enable, on the basis of this concept, the ordering of the points on a line, in a plane and in space.

Erklärung. Die Punkte einer Geraden stehen in gewissen Beziehungen zueinander, zu deren Beschreibung uns insbesondere das Wort „zwischen” dient.

The points of a line satisfy certain relationships amongst themselves that is aptly described through the use of the word “between”.

II 1. Wenn A, B, C Punkte einer Geraden sind, und B zwischen A und C liegt, so liegt B auch zwischen C und A.

II 1. If A, B, C are points of a straight line, and if B lies between A and C, then B also lies between C and A.

A B C

II 2. Wenn A und C zwei Punkte einer Geraden sind, so gibt es stets stets wenigstens einen Punkt B, der zwischen A und C liegt, und wenigstens einen Punkt D, so dass C zwischen A und D liegt.

II 2. If A and C, are two points of a line, then there is always at least one point B that lies between A and C and at least one point D so that C lies between A and D.

A B C D

II 3. Unter irgend drei Punkten einer Geraden gibt es stets einen und nur einen, der zwischen den beiden andern liegt.

II 3. Amongst any three points of a line there is always one and only one that lies between the other two.

Erklärung. Wir betrachten auf einer Geraden a zwei Punkte A und B; wir nennen das System der beiden Punkte A und B eine Strecke und bezeichnen dieselbe mit AB oder mit BA. Die Punkte zwischen A und B heißen Punkte der Strecke AB oder auch innerhalb der Strege AB gelegen; die Punkte A, B heißen Endpunkte der Strecke AB. Alle übrigen Punkte der Geraden a heißen ausserhalb der Strecke AB gelegen.

Terminology. Let us consider, on a straight line, two points A and B; we call the system of the two points A and B a line segment and denote it by AB or by BA. The points between A and B are called points of the line segment AB or are said to lie inside the line segment; the points A, B are called the endpoints of the line segment AB. The remaining points of the straight line a are said to lie outside the line segment AB.

II 4. Es seien A, B, C drei nicht in gerader Linie gelegene Punkte und a eine Gerade in der Ebene ABC, die keinen der Punkte A, B, C trifft: wenn dann die Gerade a durch einen Punkt der Strecke AB geht, so geht sie gewiss auch entweder durch einen Punkt der Strecke BC, oder durch einen Punkt der Strecke AC.

II 4. Let A, B, C be three points that do not all lie on a straight line, and let a be a straight line in the plane ABC that does not meet any of the points A, B, C: if then the straight line a passes through a point of the line segment AB then it must go either through a point of the line segment BC, or through a point of the line segment AC.

C A B a

Die Axiome II 1—3 enthalten nur Aussagen ü die Punkte auf einer Geraden und mögen daher die linearen Axiome der Gruppe II heißen; das Axiom II 4 enthält eine Aussage über die Elemente der ebenen Geometrie und heiß daher das ebene Axiom der Gruppe II.

The axioms II 1—3 contain only statements about points on a single line and can therefore be called the linear axioms of Group II; Axiom II 4 consists of a statement concerning the elements of plane geometry and therefore is called the plane axiom of Group II.

§ 4.
Folgerungen aus den Axiomen der Verknüpfung und der Anordnung.

§ 4.
Consequences of the Axioms of Incidence and Order.

Aus den Axiomen I and II folgen die nachstehenden Sätze:

The following theorems follow from Axioms I and II.

Satz 3. Zwischen irgend zwei Punkten einer Geraden gibt es stets unbegrenzt viele Punkte.

Theorem 3. Between any two points of a straight line there always exist an unlimited number of points.

Satz 4. Sind irgend vier Punkte einer Geraden gegeben, so lassen sich dieselben stets in der Weise mit A, B, C, D bezeichnen, daß der mit B bezeichnete Punkt zwischen A und C und auch zwischen A und D und ferner der mit C bezeichnete Punkt zwischen A und D und ferner der mit C bezeichnete Punkt zwischen A und D und auch zwischen B und D liegt.5.

Theorem 4. If any four points are given on a straight line, then they can always be denoted by A, B, C, D in such a way as to ensure that the point denoted by B lies between those denoted by A and C and also between those denoted by A and D and moreover the point denoted by C lies between those denoted by A and D and also between those denoted by B und D.5.

Satz 5 (Verallgemeinergung von Satz 4). Sind irgend eine endliche Anzahl von Punkten einer Geraden gegeben, so lassen sich dieselben stets in der Weise mit A, B, C, D E,…, K bezeichnen, daß der mit B bezeichnete Punkt zwischen A einerseits und C, D E,…, K anderseits ferner C zwischen A, B einerseits und D E,…, K anderseits u. s. W. liegt. Auß dieser Bezeichnungsweise gibt es nur noch die umkehrte BezeichnungsWeise K,…, E, D, C B, A, die von der nämlichen Beschaffenheit ist.

Theorem 5 (generalization of Theorem 4). If any finite number of points are given on a straight line, then they can always be denoted by A, B, C, D E,…, K in such as way as to ensure that the point denoted by B lies between A on one side and C, D E,…, K on the other, furthermore the point C lies between A, B on the one side und D E,…, K on the other side, etc. In addition to this labelling, the only other labelling with the required properties is the reversed labelling K,…, E, D, C B, A.

A B C D K

Satz 6. Jede Gerade a, welche in einer Ebene α liegt, trennt die nicht auf ihr liegenden Punkte dieser Ebene α in zwei Gebiete, von folgender Beschaffenheit: ein jeder Punkt A des einen Gebietes bestimmt mit jedem Punkt B des anderen Gebietes eine Strecke AB, innerhalb derer ein Punkt der Geraden a liegt; dagegen bestimmen irgend zwei Punkte A und A′ ein und desselben Gebietes eine Strecke AA′, welche keinen Punkt von a enthält6.

Theorem 6. Every straight line a that lies in a plane α partitions the points of the plane that do not lie on that straight line into two regions so as to satisfy the following properties: any point A of one of the regions determines with any point B of the other region a line segment AB, within which lies a point of the straight line a; on the other hand any two points A and A′ of one and the same region determine a line segment AA′ containing no points of a6.

A A′ B a

Erklärung. Es seien A, A′, O, B, vier Punkte einer Geraden a, so daß O zwischen A und B, aber nicht zwischen A und A′, liegt; dann sagen wir: die Punkte A, A′ liegen in der Geraden a auf ein und derselben Seite vom Punkte O, und die Punkte A, B liegen in der Geraden a auf verschiedenen Seiten vom Punkte O. Die sämtlichen auf ein und derselben Seite von O gelegenen Punkte der Geraden a heiß auch ein von O ausgehender Halbstrahl; somit teilt jeder Punkt einer Geraden diese in zwei Halbstrahlen.

Terminology. Let A, A′, O, B be four points on a straight line a, so that O lies between A and B, but not between A und A′; then we say that the points A, A′ lie in the straight line a on one and the same side of the point O, and the points A, B lie in the straight line a on opposite sides of the point O. A collection consisting of all points that lie on one and the same side of O are also referred to as one of the rays [or half-lines] setting out from O; thus every point of a straight line partitions that straight line into two rays.

A A′ O B

Erklärung. Indem wir die Bezeichnungen des Satzes 6 benutzen, sagen wir: die Punkte A, A′ liegen in der Ebene α auf ein und derselben Seite von der Geraden a und die Punkte A, B liegen in der Ebene α auf verschiedenen Seiten von der Geraden a.

Terminology. Employing the notation of Theorem 6, we say that the points A, A′ lie in the plane α on one and the same side of the straight line a and the points A, B lie in the plane α on opposite sides of the straight line a.

Erklärung. Ein System von Strecken AB, BC, CD,… KL heißt ein Streckenzug, der die Punkte A und L miteinander verbindet; dieser Streckenzug wird kurz mit ABCD…KL bezeichnet. Die Punkte innerhalb der Strecken AB, BC, CD,… KL, sowie die Punkte A, B, C, D,…, K, L heißen insgesamt die Punkte des Streckenzuges. Fällt insbesondere der Punkt L mit dem Punkt A zusammen, so wird der Streckenzug ein Polygon genannt und als Polygon ABCD…K bezeichnet. Die Strecken AB, BC, CD,… KA heißen auch die Seiten des Polygons. Die Punkte A, B, C, D,…, K heißen die Ecken des Polygons. Polygone mit 3, 4,…, n heißen bez. Dreiecke, Vierecke,… n-Ecke.

Terminology. A system of straight lines AB, BC, CD,… KL is referred to as a polyline that joins together the points A und L; this polyline will be more concisely denoted by ABCD…KL. The points in the interior of the line segments AB, BC, CD,… KL, together with the points A, B, C, D,…, K, L are collectively referred to as the points of the polyline. In the particular case where the point L coincides with the point A the polyline is called a polygon and will be referred to as the polygon ABCD…K. The line segments AB, BC, CD,… KA are also called the sides of the polygon. The points A, B, C, D,…, K are called the vertices of the polygon. Polygons with 3, 4 …, n are respectively called Triangles, Quadrilaterals,… n-gons.

Erklärung. Wenn die Ecken eines Polygons sämtlich voneinander verschieden sind und keine Ecke des Polygons in eine Seite fällt und endlich irgend zwei Seiten eines Polygons keinen Punkt miteinander gemein haben, so heißt das Polygon einfach.

Terminology. If the corners of a polygon are distinct from one another, if no vertex of the polygon falls within a side, and if finally, for each pair of sides of the polygon, those sides have no [interior] points in common, the polygon is said to be simple.

Mit Zuhilfenahme des Satzes 6 gelangen wir jetzt ohne erhebliche Schwierigkeit zu folgenden Sätzen:

With the help of Theorem 6, we proceed, without any substantial difficulty, to arrive at the following theorems.

Satz 7. Ein jedes einfache Polygon, dessen Ecken sämtlich in einer Ebene α liegen, trennt die Punkte dieser Ebene α, die nicht dem Streckenzuge des Polygons angehören, in zwei Gebiete, ein Inneres und ein Äußeres, von folgender Beschaffenheit: ist A ein Punkt des Inneren (innerer Punkt) und B ein Punkt des Äußeren (äußerer Punkt), so hat jeder Streckenzug, der A mit B verbindet, mindestens einen Punkt mit dem Polygon gemein; sind dagegen A, A′ zwei Punkte des Inneren und B, B′ zwei Punkte des Äußeren, so gibt es stets Streckenzüge, die A mit A′ und B mit B′ verbinden und keinen Punkt mit dem Polygon gemein haben. Es gibt Gerade in α, die ganz in Äußeren des Polygons verlaufen, dagegen keine solche Gerade, die ganz in Inneren des Polygons verläuft.

Theorem 7. Every simple polygon whose vertices all lie in a plane α partitions those points of this plane α that do not belong to the sequence of sides of the polygon into two regions, an interior region and an exterior region, in accordance with the following condition: if A is a point of the interior (interior point) and B is a point of the exterior (exterior point), then every polyline that joins A to B has at least one point in common with the polygon; on the other hand, if A, A′ are two points of the interior, and B, B′ are two points of the exterior, then there always exist polylines that join A to A′ and B to B′ and have no points in common with the polygon. There exist straight lines in α that pass wholly through the exterior of the polygon, on the other hand, no such straight line passes wholly through the interior of the polygon.

A B A′ B′

Jede Ebene α trennt die übrigen Punkte des Raumes in zwei Gebiete von folgender Beschaffenheit: jeder Punkt A des einen Gebietes bestimmt mit jedem Punkt B des andern Gebietes eine Strecke AB, innerhalb derer ein Punkt von α liegt; dagegen bestimmen irgend zwei Punkte von A und A′ eines und desselben Gebietes stets eine Strecke AA′, die keinen Punkt von α enthält.

Every plane α partitions the remaining points of space into two regions in accordance with the following condition: every point A of one of these regions determines with every point B of the other region a line segment AB within which lies a point of α; on the other hand, any two points A und A′ from one and the same region always determine a line segment AA′ that does not contain any points of α.

Erklärung. Indem wir die Bezeichnungen dieses Satzes 8 benutzen, sagen wir: die Punkte A, A′ liegen im Raume auf ein und derselben Seite von der Ebene α und die Punkte A, B liegen im Raume auf verschiedenen Seiten von der Ebene α.

Terminology. Employing the notation of Theorem 8, we say that the points A, A′ lie in space on one and the same side of the plane α and the points A, B lie in space on opposite sides of the plane α.

Der Satz 8 bringt die wichtigsten Tatsachen betreffs der Anordnung der Elemente im Raume zum Ausdruck; diese Tatsachen sind daher lediglich Folgerungen aus den bisher behandelten Axiomen und es bedurfte in der Gruppe II keines neuen räumlichen Axioms.

Theorem 8 expresses the most important facts concerning the ordering of the elements in space; these facts are thus merely simple consequences of the axioms previously discussed, and there is no need in Group III for any new spatial axiom.

§ 5.
Die Axiomgruppe III:
Axioms of Congruence.

§ 5.
Axiom Group III:
Axioms of Congruence.

Die Axiome dieser Gruppe definieren den Begriff der Kongruenz und damit auch den der Bewegung.

The axioms of this group define the concept of congruence and therefore also that of movement.

Erklärung. Die Strecken stehen in gewissen Beziehungen zueinander, zu deren Beschreibung uns die Worte „kongruent” oder „gleich” dienen.

There are certain relationships that line segments have to one another that can be described through the use of the words “congruent” or “equal”.

III 1. Wenn A, B zwei Punkte auf einer Geraden a und ferner A′ ein Punkt auf derselben oder einer anderen Geraden a′ ist, so kann man auf einer gegebenen Seite der Geraden a′ von A′ stets einen und nur einen Punkt B′ finden, so daß die Strecke AB der Strecke A′B′ kongruent oder gleich ist, in Zeichen:

AB ≡ A′B′.
Jede Strecke ist sich selbst kongruent, d. h. es ist stets:
AB ≡ AB und AB ≡ BA.

III 1. If A, B are two points on a straight line a, and if furthermore A′ is a point on the same or another straight line a′, then one can always find, on the straight line a′ on a given side of A′ exactly one point B′ for which the line segment AB is congruent or equal to the line segment A′B′, in symbols:

AB ≡ A′B′.
Every line segment is congruent to itself, therefore it is always the case that
AB ≡ AB und AB ≡ BA.

Wir sagen auch kürzer: eine jede Strecke kann auf einer gegebenen Seite einer gegebenen Geraden von einem gegebenen Punkte in eindeutig bestimmter Weise abgetragen werden.

Put more concisely: every line segment can be laid off on a given line, on a given side of a given point.

III 2. Wenn eine Strecke AB sowohl der Strecke A′B′ als auch der Strecke A″B″ kongruent ist, so ist auch A′B′ der Strecke A″B″ kongruent, d. h. wenn

AB ≡ A′B′ und AB ≡ A″B″, so ist auch A′B′ ≡ A″B″.

III 2. If a line segment AB is congruent both to the line segment A′B′ and also to the line segment A″B″, then the line segment A′B′ is also congruent to the line segment A″B″; therefore if

AB ≡ A′B′ and AB ≡ A″B″, then also A′B′ ≡ A″B″.

III 3. Es seien AB und BC zwei Strecken ohne gemeinsame Punkte auf der Geraden a und ferner A′B′ und B′C′ zwei Strecken auf derselben oder einer anderen Geraden a' ebenfalls ohne gemeinsame Punkte; wenn dann

AB ≡ A′B′ und BC ≡ B′C′ ist, so ist auch stets AC ≡ A′C′.

III 3. Let AB and BC be two line segments without common points on the straight line a, and furthermore let A′B′ and B′C′ be two line segments on the same or on another straight line a' also without common points; if then

AB ≡ A′B′ and BC ≡ B′C′, then it is always also the case that AC ≡ A′C′.

A B C a A′ B′ C′ a′

Erklärung. Es sei α eine beliebige Ebene und h, k seien irgend zwei verschiedene von einem Punkte O ausgehende Halbstrahlen in α, die verschiedenen Geraden angehören. Das System dieser beiden Halbstrahlen h, k nennen wir einen Winkel und bezeichnen denselben mit ∢ (h,k) oder mit ∢ (k,h). Aus den Axiomen II 1—4 kann leicht geschlossen werden, daß die Halbstrahlen h und k, zusammengenommen mit dem Punkte O die übrigen Punkter der Ebene α in zwei Gebiete von folgender Beschaffenheit teilen: Ist A ein Punkt des einen und B ein Punkt des anderen Gebietes, so get jeder Streckenzug, der A mit B verbindet, entweder durch O oder hat mit h oder k wenigstens einen Punct gemein; sind dagegen A, A′ Punkte desselben Gebietes, so gibt es stets einen Streckenzug, der A mit A′ verbindet und weder durch O, noch durch einen Punkt der Halbstrahlen h, k hindurchläuft. Eines dieser beiden Gebiete ist vor dem anderen ausgezeichnet, indem jede Strecke, die irgend zwei Punkte dieses ausgezeichneten Gebietes verbindet, stets ganz in demselben liegt; dieses ausgezeichnete Gebiet heiß das Innere des Winkels (h,k) zum Unterschiede von dem anderen Gebiete, welches das Äußere des Winkels (h,k) genannt werden möge. Die Halbstrahlen h,k heißen Schenkel des Winkels und der Punkt O heißt der Scheitel des Winkels.

Terminology. Let α be some plane, and let h, k be any two distinct rays (or half-lines) in α that set out from some point O within distinct straight lines. We call the system of these two rays h, k an angle and denote it by ∢ (h,k) or by ∢ (k,h). From the axioms II 1—4 we can readily deduce that the rays (or half-lines) h und k, taken together with the point O, partition the remaining points of the plane α into two regions in the following manner: let A be a point of one of these regions, and let B be a point of the other region, then every sequence of line segments that joins A to B either passes through O or else has at least one point in common with h oder k; if, on the other hand A and A′ are points of the same region, then there is always a sequence of edges that joins A to A′ and that never passes through O, or through any point of the rays h and k. One of these two regions is distingished from the other, in that every line segment that joins any two points of this distinguished region always lies in that same region; this distinguished region is called the interior of the angle (h,k) to distinguish it from the other region, which can be referred to as the exterior of the angle (h,k). The rays h,k are referred to as the legs of the angle, and the point O is referred to as the vertex of the angle.

Erklärung. Die Winkel stehen in gewissen Beziehungen zueinander, zu deren Bezeichnung uns ebensfalls die Worte „kongruent” oder „gleich” dienen.

Terminology. There are certain relationships that angles have to one another that can also be described through the use of the words “congruent” or “equal”.

III 4. Es sei ein Winkel ∢ (h,k) in einer Ebene α und eine Gerade a′ in einer Ebene α′, sowie eine bestimmte Seite von a′ auf α′ gegeben. Es bedeute h′ einen Halbstrahl der Geraden a′, der vom Punkte O′ ausgeht: dann gibt es in der Ebene α′ einen und nur einen Halbstrahl k′, so daß der Winkel ∢ (h,k) kongruent oder gleich dem Winkel ∢ (h′,k′) ist und zugleich alle inneren Punkte des Winkels ∢ (h′,k′) auf der gegebenen Seite von a′ leigen, in Zeichen:

∢ (h,k) ≡ ∢ (h′,k′).
Jeder Winkel ist sich selbst Kongruent, d. h. es ist stets
∢ (h,k) ≡ ∢ (h,k) und ∢ (h,k) ≡ ∢ (k,h).

III 4. Let ∢ (h,k) be an angle in a plane α and let a′ be a straight line in a plane α′, and also let a particular side of a′ on α′ be given. Let h′ be a ray of the line a′ setting out from the point O′: then there exists in the plane α′ one and only one ray k′ for which the angle ∢ (h,k) is congruent or equal to the angle ∢ (h′,k′) and for which all interior points of the angle ∢ (h′,k′) lie together on the given side of a′: in symbols:

∢ (h,k) ≡ ∢ (h′,k′).
Every angle is congruent to itself, therefore it is always the case that
∢ (h,k) ≡ ∢ (h,k) and ∢ (h,k) ≡ ∢ (k,h).

Wir sagen auch kurz: ein jeder Winkel kann in einer gegebenen Ebene nach einer gegebenen Seite an einen gegebenen Halbstrahl auf eine eindeutig bestimmte Weise abgetragen werden.

More concisely: every angle can be laid off in a unique fashion in a given plane and on a given side to a given ray.

III 5. Wenn ein Winkel ∢ (h,k) sowohl dem Winkel ∢ (h′,k′) als auch dem Winkel ∢ (h″,k″) kongruent ist, so ist auch der Winkel ∢ (h′,k′) dem Winkel ∢ (h″,k″) kongruent, d. h. wenn

∢ (h,k) ≡ ∢ (h′,k′) und ∢ (h,k) ≡ ∢ (h″,k″)
ist, so ist auch stets
∢ (h′,k′) ≡ ∢ (h″,k″).

III 5. If an angle ∢ (h,k) is congruent both to the angle ∢ (h′,k′) and also to the angle ∢ (h″,k″) , then the angle ∢ (h′,k′) is also congruent to the angle ∢ (h″,k″), therefore if

∢ (h,k) ≡ ∢ (h′,k′) and ∢ (h,k) ≡ ∢ (h″,k″),
then it is always also the case that
∢ (h′,k′) ≡ ∢ (h″,k″).

Erklärung. Es sei ein Dreieck ABC vorgelegt; wir bezeichnen die beiden von A ausgehenden durch B und C laufenden Halbstrahlen mit h und k. Der Winkel ∢ (h,k) heißt dann der von den Seiten AB und AC eingeschlossene oder der der Seite BC und gegenüberliegende Winkel des Dreieckes ABC; er enthält in seinem Inneren sämtliche inner Punkte des Dreieckes ABC und wird mit ∢BAC oder ∢A bezeichnet.

Terminology. Let a triangle ABC be given; we denote the two rays setting out from A and passing through the points B and C by h and k. The angle ∢ (h,k) is then referred to as the angle enclosed by the sides AB und AC or as the angle opposite the side BC of the triangle ABC; it contains in its interior all interior points of the triangle ABC is will be denoted by ∢BAC or by ∢A.

III 6. Wenn für zwei Dreiecke ABC und A′B′C′ die Kongruenzen

AB ≡ A′B′, AC ≡ A′C′, ∢BAC ≡ ∢B′A′C′
gelten, so sind auch stets die Kongruenzen
∢ABC ≡ ∢A′B′C′ und ∢ACB ≡ ∢A′C′B′
erfüllt.

III 6. If, given two triangles ABC and A′B′C′, the congruences

AB ≡ A′B′, AC ≡ A′C′, ∢BAC ≡ ∢B′A′C′
are satisfied, then the congruences
∢ABC ≡ ∢A′B′C′ and ∢ACB ≡ ∢A′C′B′
are also satisfied.

Die Axiome III 1—3 enthalten nur Aussagen über die Kongruenz von Strecken; sie mögen daher die linearen Axiome der Gruppe III heißen. Die Axiome III 4,5 enthalten Aussagen über die Kongruenz von Winkeln. Das Axiom III 6 knüft das Band zwischen den Begriffen der Kongruenz von Strecken und von Winkeln. Die Axiome III 4—6 enthalten Aussagen über die Elemente der ebenen Geometrie und mögen daher die ebenen Axiome der Gruppe III heißen.

Axioms III 1—3 involve only statements concerning the congruence of line segments; they can therefore be called the linear axioms of Gruppe III. The axioms III 4,5 involve only statements concerning the congruence of angles. Axiom III 6 makes the connection between the concepts of congruences of line segments and of angles. Axioms III 4—6 involve statements about the elements of plane geometry, and can therefore be referred to as the planar Axioms of Group III.

§ 6.
Folgerungen aus den Axiomen der Kongruenz.

§ 6.
Consequences of the Axioms of Congruence.

Erklärung. Es sie die Strecke AB kongruent der Strecke A′B′. Da nach Axiom III 1 auch die Strecke AB kongruent AB ist, so ist nach Axiom III 2 auch A′B′ kongruent AB; wir sagen: die beiden Strecken AB und A′B′ sind unteinander kongruent.

Terminology. Let the line segment AB be congruent to the line segment A′B′. Then also, by Axiom III, the line segment AB is congruent to AB, therefore also, by Axiom II 2, A′B′ is congruent to AB; we say that the two line segments AB and A′B′ are congruent to one another.

Erklärung. Sind A, B, C, D,…, K, L auf a und A′, B′, C′, D′,…, K′, L′ auf a′ zwei Reihen von Punkten, so daß die sämtlichen entsprechenden Strecken AB und A′B′, AC und A′C′, BC und B′C′,… KL und K′L′, bez. einander kongruent sind, so heißen die Beiden Reihen von Punkten untereinander kongruent; A und A′, B und B′,…, L und L′, heißen die entsprechenden Punkte der kongruenten Punktreihen.

Terminology. If A, B, C, D,…, K, L on a and A′, B′, C′, D′,…, K′, L′ on a′ are two rows of points for which the corresponding line segments AB and A′B′, AC and A′C′, BC and B′C′,… KL and K′L′, are collectively congruent one to the other, then the two rows of points are said to be congruent to one another; A und A′, B und B′,…, L und L′, are called the corresponding points of the congruent rows of points.

Aus den linearen Axiomen III 1—3 schließen wir leicht folgende Sätze:

From the linear axioms III 1—3 we can easily deduce the following theorems:

Satz 9. Ist von zwei kongruenten Punktreihen A, B,…, K, L and A′, B′,…, K′, L′ die erste so geordnet, daß B zwischen A einerseits und C, D,…, K, L andererseits, C zwischen A, B einerseits und D,…, K, L andererseits, u. s. w. liegt, so sind die Punkte A′, B′,…, K′, L′ auf die gleiche Weise geordnet, d. h. B′ liegt zwischen A′ einerseits und C′, D′,…, K′, L′ andererseits, C′ zwischen Sind A′, B′ einerseits und D′,…, K′, L′ andererseits u.s.w.

Theorem 9. If, of two congruent rows of points, A, B,…, K, L and A′, B′,…, K′, L′, the first is ordered so that B lies between A on one side and C, D,…, K, L on the other, C lies between A, B on one side and D,…, K, L on the other, etc., then the points A′, B′,…, K′, L′ are ordered in the same way; thus B′ lies between A′ on one side and C′, D′,…, K′, L′ on the other, C′ lies between A′, B′ on one side and D′,…, K′, L′ on the other etc.

Erklärung. Es sei Winkel (h,k) kongruent dem Winkel (h′,k′). Da nach Axiom III 4 der Winkel ∢ (h,k) kongruent ∢ (h,k) ist, so folgt aus Axiom III 5, daß (h′,k′) kongruent ∢ (h,k) ist; wir sagen: die beiden Winkel (h,k) und (h′,k′) sind untereinander kongruent.

Terminology. Let the angle (h,k) be congruent to the angle (h′,k′). Then, by Axiom III 4, the angle (h,k) is congruent to ∢ (h,k), therefore it follows from Axiom III 5 that (h′,k′) is congruent to ∢ (h,k); we say that the two angles (h,k) and (h′,k′) are congruent to each other.

Erklärung. Zwei Winkel, die den Scheitel und einen Schenkel gemein haben und deren nicht gemeinsame Schenkel eine gerade Linie bilden, heißen Nebenwinkel. Zwei Winkel mit gemeinsamem Scheitel, deren Schenkel je eine Gerade bilden, heißen Scheitelwinkel. Ein Winkel, welcher einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, heißt ein rechter Winkel.

Terminology. Two angles, which have the vertex and one leg in common and whose legs that are non in common make up one straight line are referred to as adjacent angles. Two angles with a common vertex whose legs make up straight lines are referred to as vertical angles. An angle which is congruent to its adjacent angle is is called a right angle.

Zwei Dreiecke ABC und A′B′C′ heißen einander kongruent, wenn sämtliche Kongruenzen

AB ≡ A′B′,     AC ≡ A′C′,     BC ≡ B′C′,
∢ A ≡ ∢ A′     ∢ B ≡ ∢ B′     ∢ C ≡ ∢ C′
erfüllt sind.

Two triangles ABC and A′B′C′ are said to be congruent to one another if all of the congruences

AB ≡ A′B′,     AC ≡ A′C′,     BC ≡ B′C′,
∢ A ≡ ∢ A′     ∢ B ≡ ∢ B′     ∢ C ≡ ∢ C′
are satisfied.

Satz 10 (Erster Kongruenzsatz für Dreiecke). Wenn für zwei Dreiecke ABC und A′B′C′, die Kongruenzen

AB ≡ A′B′,     AC ≡ A′C′,     ∢ A ≡ ∢ A′
gelten, so sind die beiden Dreiecke einander kongruent.

Theorem 10 (First Congruence Theorem for Triangles). If for two triangles ABC and A′B′C′ the congruences

AB ≡ A′B′,     AC ≡ A′C′,     ∢ A ≡ ∢ A′
are valid, then the two triangles are congruent to one another.

A B C A′ B′ C′ D′

Beweis. Nach Axiom III 6 sind die Kongruenzen

∢ B ≡ ∢ B′ und ∢ C ≡ ∢ C′
erfüllt und es bedarf somit nur des Nachweises, daß die Seiten BC und B′C′ einander kongruent sind. Nehmen wir nun im Gegenteil an, es wäre etwa BC nicht kongruent B′C′, und bestimmen auf $B′C′ den Punkt D′ so dass BC ≡ B′D′ wird, so stimmen die beiden Dreiecke ABC und A′B′D′ in zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel überein; nach Axiom III 6 sind mithin inbesondere die beiden Winkel ∢ BAC und ∢ B′A′D′ einander kongruent. Nach Axiom III 5 müssten mithin auch die beiden Winkel ∢ B′A′C′ and ∢ B′A′D′ einander kongruent ausfallen; dies ist nicht möglich, da nach Axiom III 4 ein jeder Winkel an einen gegebenen Halbstrahl nach einer gegebenen Seite in einer Ebene nur auf eine Weise abgetragen werden kann. Damit ist der Beweis für Satz 10 vollständig erbracht.

Proof. It follows from Axiom III 6 that the congruences

∢ B ≡ ∢ B′ und ∢ C ≡ ∢ C′
are satisfied, and there only remains the verification that the sides BC and B′C′ are congruent to one another. Let suppose to the contrary that BC were not congruent to B′C′, and determine on $B′C′ the point D′ to ensure that BC ≡ B′D′, then the two triangles ABC and A′B′D′ would correspond with respect to two sides and the angle enclosed within them; it would therefore follow from Axiom III 6 that the two angles ∢ BAC und ∢ B′A′D′ would be congruent to one another. Axiom III 5 would ensure also that the two angles ∢ B′A′C′ and ∢ B′A′D′ were congruent to one another; this is not possible, because according to Axiom III 4 such an angle can be pushed out from a given ray on a given side in a given plane in only one way. Thus the proof of Theorem 10 is fully achieved.

Ebenso leicht beweisen wir di weitere Tatsache:

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Satz 11 (Zweiter Kongruenzsatz für Dreiecke). Wenn in zwei Dreiecken je eine Seite und die beiden anliegenden Winkel kongruent ausfallen, so sind die Dreiecke stets Kongruent.

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Wir sind nunmehr im stande, die folgenden wichtigen Tatsachen zu beweisen:

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Satz 12 Wenn zwei Winkel ∢ ABC und ∢ A′B′C′ einander kongruent sind, so sind auch ihre Nebenwinkel ∢ CBD und ∢ C′B′D′ einander kongruent.

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Erklärung.

Terminology.

[TO BE CONTINUED.]
[§ 6 is under construction.]

§ 7.
Die Axiomgruppe IV: Axiome der Parallelen

Aus der bisherigen Axiomen folgt in bekannter Weise der Euklidische Satz, daß der Außenwinkel eines Dreieckes stets größ ist, als jeder der beiden inneren Winkel.

Es sei nun α eine beliebige Ebene, a eine beliebige Gerade in α und A ein Punkt in α und außerhalb a. Ziehen wir dann in α eine Gerade c, die durch A geht und a schneidet, so folget, leicht aus dem erwähnten Satze vom Außenwinkel, daß die Geraden a, b keinen Punkt miteinander gemein haben, d. h. in einer Ebene α läßt sich durch einen Punkt A außer einer Geraden a stets eine Gerade ziehen, welche jene Gerade a nicht schneidet.

Das Parallelaxiom lautet nun:

IV (Euklidisches Axiom). Es sei a eine beliebige Gerade und A ein Punkt außerhalb a: dann gibt es in der durch a und A bestimmten Ebene α nur eine Gerade b, die durch A läuft und a nicht schneidet; dieselbe heißt die Parallele zu a durch A.

Das Parallelenaxiom IV ist gleichbedeutend mit der folgenden Forderung:

Wenn zwei Geraden a, b in einer Ebene eine dritte Gerade c desselben Ebene nicht treffen, so treffen sie sich auch einander nicht.

In der Tat, hätten a und b einer Punkt A gemein, so würden durch A in derselben Ebene die beiden Geraden a, b möglich sein, die c nicht treffen; dieser Umstand widerspräche dem Parallelenaxiom IV. Ebenso leicht folgt umgekehrt das Parallelenaxiom IV aus der genannten Forderung.

Das Parallelenaxiom IV ist ein ebenes Axiom.

Die Einführung des Parallelenaxioms vereinfacht die Grundlagen und erleichtert den Aufbau der Geometrie in erhablichem Maße.

Nehmen wir nämlich zu den Kongruenzaxiomen das Parallelenaxiom hinzo, so gelangen wir leicht zu den bekannten Tatsachen:

Satz 19. Wenn zwei Parallelen von einer dritten Geraden geschnitten werden, so sind die Gegenwinkel und Wechselwinkel kongruent, und umgekehrt: die Kongruenz der Gegen- und Wechselwinkel hat zur folge, daß die Geraden parallel sind.

Satz 20. Die Winkel eines Dreiecks machen zusammen zwei Rechte aus5.

Erklärung. Wenn M ein beliebiger Punkt in einer Ebene α ist, so heißt die Gesamtheit aller Punkte A, f¨r welche die Strecken MA eineinder kongruent sind, ein Kreis; M heißt der Mittelpunkt des Kreises.

Auf Grund dieser Erklärung folgen mit Hilfe der Axiomgruppe III—IV leicht die bekannten Sätze über den Kreis, inbesondere die Möoglichkeit der Konstruktion eines Kreises durch irgend drei nicht in einer Geraden gelegene Punkte sowie der Satz über die Kongruenz aller Peripheriewinkel über der nämlichen Sehne und der Satz von den Winkeln im Kreisviereck.

§ 8.
Die Axiomgruppe V: Axiome der Stetigkeit.

V 1 (Axiom des Messens oder Archimedisches Axiom). Es seiA1 A1 ein beliebiger Punkt auf einer Geraden zwischen den beliebig gegebenen Punkten A und B; man konstruiere dann die Punkte A2, A3, A4,…, so daß A1 zwischen A und A2, ferner A2 zwischen A1 und A3, ferner A3 zwischen A2 und A4 u. s. w. liegt und überdies die Strecken

AA1, A1A2, A2A3, A3A4,…
einander gleich sind: dann gibt es in der Reihe der Punkte A2, A3, A4,… stets einen solchen Punkt An, da&szlin; B zwischen A und An liegt.

A A1 A2 A3 A4 An-1 B An

V 2 (Axiom der Vollständigkeit). Die Elemente (Punkte, Geraden, Ebenen) der Geometrie bilden ein System von Dingen, welches bei Aufrechterhaltung sämtlicher genannten Axiome keiner Erweiterung mehr fähig ist, d. h.: zu dem System der Punkte, Geraden, Ebenen ist es nicht möglich, ein anderes system von Dingen hinzuzuf¨gen, so daß in dem durch Zusammensetzung entstehenden System sämtliche aufgeführten Axiome I--IV, V 1 erfüllt sind.

Die Archimedische Axiom V 1 ist ein lineares Axiom.

Hinsichtlich des axioms der Vollständigkeit V 2 füge ich hier folgende Bermerkungen hinzu.

Die aufrechterhaltung sämtlicher Axiome, von der in diesem Axiom die Rede ist, hat man so zu verstehen, daß nach der Erweiterung sämtliche früheren Axiome in der früheren Weise gültig bleiben sollen, d. h. sofern man die vorhandenen Beziehungen der Elemente, nämlich die vorhandene Anordnung und Kongruenz der Strecken und Winkel nirgends st&oml;rt, also z. B. ein Punkt, der vor der Erweiterung zwischen zwei Punkten liegt, dies auch nach der Erweiterung tut, Strecken und Winkel, die vorher einander kongruent sind, dies auch nach der Erweiterung bleiben.

Die Erfüllbarkeit des Vollständigkeitsaxioms ist wesentlich durch die Voranstellung des Archimedischen Axioms bedingt; in der Tat läßt sich ziegen, daß zu einem System von Punkten, Geraden und Ebenen, welche die Axiome I—IV erfüllen, stets noch auf mannigfache Weise solche Elemente hizugefügt werden können, daß in dem durch Zusammensetzung enstehenden Systeme die Axiome I—IV ebenfalls sämtlich gültig sinde; d. H. das Vollständigkeits axiom würde einen Widerspruch einschließen, wenn man den Axiomen I—IV nicht noch das Archimedische Axiom hinzufügt.

Das Vollständigkeitsaxiom ist nicht eine Folge des Archimedischen Axioms. In der Tat reicht das Archimedische Axiom allein nicht aus, um mit Benutzung der Axiome I—IV unsere Geometrie als identisch mit der gewöhnlichen analytischen „Cartesischen” Geometrie nachzuweisen (vgl. § 9 und § 12). Dagegen gelingt es unter Hnzunahme des Vollständigkeitsaxioms ― obwohl dieses Axiom unmittelbar keine Aussage u¨ber den Begriff der Konvergenz enthält ―, die Existenz der einem Dedekindschen Schnitte entsprechenden Grenze und den Bolzanoschen Satz von Vorhandensein der Verdichtungsstellen nachzuweisen, womit dann unsere Geometrie sich als identisch mit der Cartesischen Geometrie erweist.

Durch die vorstehende Betrachtungsweise ist die Forderung der Stetigkeit in zwei wesentlich verschiedene Bestandteile zerlegt worden, nämlich in das Archimedische Axiom, der zugleich die Rolle zukommt, die Forderung der Stetigkeit vorzubereiten, und in das Vollständigkeitsaxiom, das den Schlußstein des ganzen Axiomensystems bildet6.

In den nachfolgenden Untersuchungen stützen wir uns wesentlich nur auf das Archimedische Axiom und setzen in allgemeinen das Vollständigkeitsaxiom nicht voraus.

1 Man vergleiche die zusammenfassenden und erläuternden Berichte von G. Veronese, „Grundzüge der Geometrie”, deutsch von A. Schepp, Leipzig 1894 (Anhang) und F Klein, „Zur ersten Verteilung des Lobatschefsky-Preses”, Math. Ann. Bd. 50.

1 Compare the reports providing summaries and explanations by G. Veronese, „Grundzüge der Geometrie”, translated into German by A. Schepp, Leipzig 1894 (appendix) and F Klein, „On the initial award of the Lobatschefsky-Prize”, Math. Ann. Bd. 50.

2 Diese Axiome hat zuerst M. Pasch in seinen Vorlesungen über neuere Geometrie, Leipzig 1882, ausführlich untersucht. Insbesondere rührt das Axiom II 4 inhaltlich von M. Pasch her.

2 These axioms were first extensively investigated by M. Pasch in his lectures über neuere Geometrie, Leipzig 1882. In particular, Axiom II 4 derives its content from M. Pasch.

3 Dieser in der ersten Auflage als Axiom bezeichnete Satz ist von E. H. Moore, Transactions of the American Mathematical Society 1902, als eine Folge der aufgestellten ebenen Axiome der Verknüpfung und der Anordnung erkannt worden.

3 This theorem, denoted in the first edition as an axiom, was recognized by E. H. Moore, Transactions of the American Mathematical Society 1902, to be a consequence of the plane axioms of incidence and order set forth above.

4 Vgl. den Beweis bei M. Pasch l. c. S. 25.

4 See the proof by M. Pasch loc. cit. S. 25.

5 Betreffs der Frage, in wie weit diser Satz umgekehrt das Parallelenaxiom zu ersetzen vermag, vergleiche man die Bemerkungen am Schluß von Kap. II § 12.

6 Man vergleiche auch die Bermerkungen am Schluß von § 17 sowei meinen Vortrag über den Zahlbegriff: Berichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1900. ― Bei der Untersuchung des Satzes von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck bin ich auf ein weiteres Stetigkeitsaxiom geführt worden, das ich Axiom der Nachbarschaft genannt habe; man sehe meine im Anhang abgedruckte Abhandlung „Über den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel in gleichschenkligen Dreieck”. Proceedings of the London Mathematical Society XXXV 1903. Vgl. S. 92 und S. 107.