Beweis des Satzes, dass eine einwerthige mehr

als 2nfach periodische Function von n Veränderlichen unmöglich ist.

Bernhard Riemann

(Auszug aus einem Schreiben Riemann’s an Herrn Weierstrass)

[Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 71. (1870), S. 197–200.]

Transcribed by D. R. Wilkins

Preliminary Version: December 1998 Corrected: April 2000

Beweis des Satzes, dass eine einwerthige mehr als 2n fach periodische Function von n Veränderlichen unmöglich ist.

Bernhard Riemann

(Auszug aus einem Schreiben Riemann’s an Herrn Weierstrass)

[Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 71. (1870), S. 197–200.]

… Den Beweis des Satzes, auf welchen Sie neulich die Unterhaltung lenkten, dass eine einwerthige mehr als 2n fach periodische Function von n Veränderlichen unmöglich ist, habe ich im Gespräch wohl nicht ganz klar ausgedrückt, auch nur die Grundgedanken angegeben; ich theile ihn Ihnen daher hier noch einmal mit.

Es sei f eine 2n fach periodische Function von n Veränderlichen

x_{1}, x_{2}, …, x_{n}

und—ich darf wohl meine Ihnen bekannten Benennungen gebrauchen—der Periodicitätmodul von x_{ν} für die μ te Periode a_{μ}^{ν}. Es lassen sich dann bekanntlich die Grössen x in die Form

x_{ν} = ∑_{μ=1}^{μ=2n} a_{μ}^{ν}ξ_{μ} für ν = 1, 2, …, n

setzen^{1}, so dass die Grössen ξ reell sind. Lässt man nun die Grössen ξ die Werthe von 0 bis 1 mit Ausschluss eines von diesen Grenzwerthen durchlaufen, so hat das dadurch entstehende 2n fach ausgedehnte Grössengebiet die Eigenschaft, dass jedes System von Werthen der n Veränderlichen einem und nur einem Werthsysteme innerhalb dieses Grössengebiets nach den 2n Modulsystemen congruent ist. Ich werde, um mich später kürzer ausdrücken zu können, dieses Gebiet „dass bei diesen 2n Modulsystemen periodisch sich wiederholende Grössengebiet“ nennen.

1Dies ist nicht immer der Fall, sondern nur, wenn die 2n Gleichungen, durch welche die Grössen ξ bestimmt werden, von einander unabhängig sind; die Ausnahmen sind aber leicht zu behandeln.

Hat die Function nun noch ein 2n + 1^{tes} Modulsystem, welches sich nicht aus den 2n ersten Modulsystemen zusammensetzen lässt, so kann man die einem Grössensysteme nach diesem Modulsysteme congruenten Grössensysteme auf innerhalb dieses Gebiets liegende nach den 2n ersten Modulsystemen ihnen congruente zurückführen und dadurch offenbar beliebig viele innerhalb dieses Gebiets liegende und nach den 2n + 1 Modulsystemen einander congruente Grössensysteme erhalten, wenn nicht zwei von den nach dem (2n + 1) ten Modulsysteme congruente Grössensysteme auch nach den 2n ersten Modulsystemen congruent sind. In diesem Falle würden zwischen den 2n + 1 Modulsystemen n Gleichungen von der Form

∑_{μ=1}^{μ=2n+1} a_{μ}^{ν}m_{μ} = 0,

worin die Grössen m ganze Zahlen wären, stattfinden, und folglich, wie ich später zeigen werde, die 2n + 1 Modulsysteme sich aus 2n Modulsystemen zusammensetzen lassen.

Man theile nun für jede der Grössen ξ die Strecke von 0 bis 1 in q gleiche Theile, wodurch das bei den 2n ersten Modulsystemen periodisch wiederkehrende Gebiet in q^{2n} Gebiete zerfällt, in deren jedem sich die Grössen ξ

nur um \frac{1}{q} ändern. Offenbar müssen dann von mehr als q^{2n} nach den 2n + 1

Modulsystemen einander congruenten und in jenem Gebiete liegenden Grössensystemen nothwendig zwei in dasselbe Theilgebiet fallen, so dass sich die

Werthe derselben Grösse ξ in beiden keinenfalls um mehr als \frac{1}{q} von einander

unterscheiden. Die Function bleibt also dann ungeändert, während keine der

Grössen ξ um mehr als \frac{1}{q} geändert wird, und ist folglich, da q beliebig gross

genommen werden kann, wenn sie stetig ist, eine Function von weniger als n linearen Ausdrücken der Grössen x.

Es ist nun noch zu zeigen, dass sich 2n+1 Modulsysteme, zwischen denen die n Gleichungen

∑_{μ=1}^{μ=2n+1} a_{μ}^{ν}m_{μ} = 0

stattfinden, aus 2n Modulsystemen zusammensetzen lassen.

Man kann zunächst leicht beweisen, dass sich zu einem Modulsysteme

∑_{μ=1}^{μ=2n} a_{μ}^{ν}m_{μ} = b_{1}^{ν},

worin die Grössen m ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Theiler sind, immer 2n − 1 andere Modulsysteme b_{2}, b_{3}, …, b_{2n} so finden lassen, dass Congruenz nach den Modulsystemen a mit Congruenz nach den Modulsystemen b identisch ist. Es seien θ_{1} der grösste gemeinschaftliche Theiler von m_{1} und m_{2} und α, β zwei der Gleichung

βm_{1} − αm_{2} = θ_{1}

genügende ganze Zahlen. Setzt man dann

a_{1}^{ν}m_{1} + a_{2}^{ν}m_{2} = c_{1}^{ν}θ_{1}

und

αa_{1}^{ν} + βa_{2}^{ν} = b_{2n}^{ν},

so hat man

a_{1}^{ν} = βc_{1}^{ν} − \frac{m_{2}}{θ_{1}} b_{2n}^{ν}, a_{2}^{ν} = −αc_{1}^{ν} + \frac{m_{1}}{θ_{1}} b_{2n}^{ν}.

Es lassen sich also auch umgekehrt die Modulsysteme a_{1} und a_{2} aus den Modulsystemen b_{2n} und c_{1} zusammensetzen, und folglich ist Congruenz nach jenen mit Congruenz nach diesen gleichbedeutend. Man kann daher die Modulsysteme a_{1} und a_{2} durch die Modulsysteme c_{1} und b_{2n} ersetzen. Auf dieselbe Weise kann man nun, wenn θ_{2} der grösste gemeinschaftliche Theiler von θ_{1} und m_{2} ist, die Modulsysteme c_{1} und a_{3} durch das Modulsystem

\frac{1}{θ_{2}} (θ_{1}c_{1}^{ν} + m_{3}a_{3}^{ν}) = c_{2}^{ν}

und durch ein Modulsystem b_{2n−1} ersetzen. Durch Fortsetzung dieses Verfahrens erhält man offenbar den zu beweisenden Satz. Der Inhalt des periodisch sich wiederholenden Gebiets ist für die neuen Modulsysteme b derselbe wie für die alten.

Mit Hülfe dieses Satzes lassen sich in den n Gleichungen

∑_{1}^{2n+1} a_{μ}^{ν}m_{μ} = 0

die 2n ersten Modulsysteme so durch 2n neue b_{1}, b_{2}, …, b_{2n} ersetzen, dass diese Gleichungen die Form

pb_{1}^{ν} − qa_{2n+1}^{ν} = 0

annehmen, worin p und q ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Theiler sind. Sind nun γ, δ zwei der Gleichung

pδ + qγ = 1

genügende ganze Zahlen, so lassen sich offenbar die beiden Modulsysteme b_{1} und a_{2n+1} durch das eine Modulsystem

γb_{1}^{ν} + δa_{2n+1}^{ν} = \frac{a_{2n+1}^{ν}}{p} = \frac{b_{1}^{ν}}{q}

ersetzen. Sämmtliche Modulsysteme, welche sich aus den Modulsystemen a_{1}, a_{2}, …, a_{2n+1} zusammensetzen lassen, können also auch aus den 2n Modulsystemen

\frac{b_{1}}{q} , b_{2}, b_{3}, …, b_{2n}

zusammengesetzt werden, und umgekehrt. Der Inhalt des periodische wie-

derkehrenden Gebiets beträgt für diese 2n Modulsysteme nur \frac{1}{q} von dem für

die 2n ersten Modulsysteme a. Hat die Function nun ausser diesen Modulsystemen noch ein durch ähnliche ganzzahlige Gleichungen mit ihnen verbundenes, so lassen sich wieder 2n neue Modulsysteme finden, aus welchen sich alle diese Modulsysteme zusammensetzen lassen, und der Inhalt des periodisch sich wiederholenden Gebiets wird dabei wieder auf einen aliquoten Theil reducirt. Wenn dieses Gebiet unendlich klein wird, so wird die Function eine Function von weniger als n linearen Ausdrücken der Veränderlichen und zwar von n − 1 oder n − 2 oder n − m, jenachdem nur eine, oder zwei oder m Dimensionen dieses Grössengebiets unendlich klein werden. Soll dies aber nicht eintreten, so muss die Operation schliesslich abbrechen, und man wird also zu 2n Modulsystemen gelangen, aus welchen sich sämmtliche Modulsysteme der Function zusammensetzen lassen.

Göttingen, den 26. October 1859.