Proc. Summer School on Diff. Geometry Dep. de Matemática, Universidade de Coimbra September 1999, 127-147.

Modèles Locaux de Structures de Poisson-Nijenhuis en Dimension Impaire^{1}

Fani Petalidou

Université Pierre et Marie Curie, Institut de Mathématiques 4, place Jussieu, F-75252 Paris Cedex 05, France e-mail: petalido@math.jussieu.fr

Abstract. The aim of this paper is the construction of a local model of a Poisson-Nijenhuis structure (Λ_{0}, N) defined on a differentiable manifold M of odd dimension. Taking into consideration the results which concern the same problem for a symplectic Poisson-Nijenhuis structure, the problem of the reduction of a Poisson-Nijenhuis structure and the problem of the symplectisation of a such structure, we arrive into constructing in the neighbourhood of a generic point p of M, a system of local coordinates in which Λ_{0} is written with constant coefficients and N with affine coefficients. Keywords: Poisson-Nijenhuis structure, reduction, symplectisation Mots-clès: structure de Poisson-Nijenhuis, réduction, symplectisation A.M.S. classification: 58F07, 58F05.

1. Introduction

128 Fani Petalidou: Modeles Locaux de Structures de Poisson-Nijenhuis …

Une structure de Poisson-Nijenhuis sur une variété différentiable M est définie par la donnée d’un tenseur de Poisson Λ_{0} et d’un tenseur de Nijenhuis N compatibles entre eux. Précisement, Λ_{0} est un champ de bivecteurs sur M tel que [Λ_{0}, Λ_{0}] = 0 en tout point de M, où [ , ] désigne le crochet de Schouten [13, 23]. La donnée de Λ_{0} permet de définir sur l’espace C^{∞}(M, R) une loi de composition bilinéaire antisymétrique, appelée crochet de Poisson et notée {, }_{0}, vérifiant la formule de Leibniz et l’identité de Jacobi, et réciproquement [12]. Pour toutes f, g ∈ C^{∞}(M, R),

1This paper is in final form and no other version has been submitted for publication elsewhere.

{f, g}_{0} = Λ_{0}(df, dg).

Le tenseur de Nijenhuis N est un champ de tenseurs de type (1,1) à torsion de Nijenhuis T (N) identiquement nulle sur M; pour tout couple (X, Y) de sections de T M,

T (N)(X, Y) = [NX, NY] − N[NX, Y] − N[X, NY] + N^{2}[X, Y].

On dit que les champs de tenseurs Λ_{0} et N sont compatibles lorsqu’ils vérifient les deux propriétés suivantes:

i) En notant Λ_{0}^{#} : T^{⋆}M → T M le morphisme de fibrés vectoriels associé à Λ_{0} et ^{t}N : T^{⋆}M → T^{⋆}M l’opérateur transposé de N,

NΛ_{0}^{#} = Λ_{0}^{#t}N,

ce qui exprime l’antisymétrie du champ de tenseurs associé au morphisme de fibrés vectoriels NΛ_{0}^{#}. ii) Le concomitant de Magri-Morosi R(Λ_{0}, N) de Λ_{0} et de N défini, pour toute 1-forme α et tout champ de vecteurs X sur M, par

R(Λ_{0}, N)(α, X) = L_{Λ_{0}^{#}(α)}NX − Λ_{0}^{#}(L_{X}(^{t}Nα)) + Λ_{0}^{#}(L_{NX}α)

s’annule identiquement sur M. La deuxième condition est équivalente à

L_{NX}Λ_{0} = L_{X}Λ_{0} ^{t}N − L_{X}NΛ_{0}.

On dit que (M, Λ_{0}, N) est une variété de Poisson-Nijenhuis.

Il est bien connu qu’une variété (M, Λ_{0}, N) est aussi munie d’une hiérarchie (Λ_{k}, k ∈ N) de tenseurs de Poisson deux à deux compatibles sur M engendrée par Λ_{0} et N, [18]. Pour tout k ∈ N, le morphisme de fibrés vectoriels Λ_{k}^{#} : T^{⋆}M → T M associé à Λ_{k} est déterminé par Λ_{k}^{#} = N^{k}Λ_{0}^{#}. Le champ de tenseurs N s’appelle opérateur de récursion de la hiérarchie (Λ_{k}, k ∈ N). Les structures de Poisson-Nijenhuis constituent une classe particulière de structures bihamiltoniennes qui sont définies par la donnée sur une variété différentiable M d’un couple (Λ_{0}, Λ_{1}) de tenseurs de Poisson compatibles au sens de Magri, i.e. [Λ_{0}, Λ_{1}] = 0 en tout point de M, [16]. D’après les travaux de F. Magri et C. Morosi, [16, 18], et de I. M. Gel’fand et I. Dorfman [5, 6], ces structures jouent un rôle important dans la théorie d’intégrabilité de systèmes hamiltoniens, qui fait partie de leur géométrie. Des exemples de systèmes intégrables étudiés dans le cadre de la géométrie des variétés de Poisson-Nijenhuis et des variétés bihamiltoniennes sont présentés dans [3, 11, 17]. Une famille intéressante de structures de Poisson-Nijenhuis est celle de structures définies sur une algèbre de Lie et sur son espace dual; plusieurs systèmes completèment intégrables bien connus (p.ex. le système de Toda, [2]) peuvent être considérés comme systèmes bihamiltoniens relativement à une telle structure. Une étude approfondie de ces structures, avec des exemples, est effectuée par Y. Kosmann-Schwarzbach et F. Magri dans [7, 10], (voir aussi [1, 20]).

Une nouvelle approche de la géométrie des variétés de Poisson-Nijenhuis, dans le cadre de la théorie des algébroïdes et des bialgébroïdes de Lie ([8, 14, 15]) est développée par Y. Kosmann-Schwarzbach [9] et I. Vaisman [25].

Le but principal de notre travail est la construction d’un modèle local du couple de tenseurs (Λ_{0}, N) ainsi que des Λ_{k}, k ∈ N. Dans [21], en appliquant la technique suivie par Turiel pour la classification de couples de formes symplectiques Poisson-compatibles ([24]), nous établissons ces modèles dans le cas où Λ_{0} est non-dégénéré, fait qui impose que M soit de dimension paire. Dans cet article, nous allons construire une forme normale de (Λ_{0}, N) et des Λ_{k}, k ∈ N, au voisinage d’un point régulier p de M tel que corangΛ_{0}(p) = 1; c’est le cas générique lorsque M est de dimension impaire et Λ_{0} de rang maximum sur un ouvert dense de M. La construction de cette forme est basée sur: i) les résultats de l’étude du problème posé concernant les structures de Poisson-Nijenhuis symplectiques, i.e. les structures dont le tenseur de Poisson est inversible sur M ([21]); ii) le théorème de réduction d’une variété de Poisson-Nijenhuis ([26, 19]); iii) les résultats qui apparaissent dans [22] et qui concernent la symplectisation d’une structure de Poisson-Nijenhuis.

Après quelques résultats auxiliaires, utiles pour l’étude ultérieure, et la présentation, dans les §2-§5, des résultats cités ci-dessus, (le §5 contient aussi un nouvel théorème sur l’unicité de symplectisation d’une structure de Poisson-Nijenhuis), nous arrivons à construire, dans le §6, au voisinage de p, un système de coordonnées dans lequel Λ_{0} s’écrit à coefficients constants et N à coefficients affines. Dans ce système, les coefficients des Λ_{k}, k ∈ N, sont des polynômes de degré k, (cf. §7).

2. Le lieu régulier de N

On note K_{M}[λ] l’algèbre des polynômes à une variable à coefficients dans l’anneau A(M, K) des fonctions C^{∞}-différentiables, si M est une variété réelle, ou des fonctions holomorphes sur M, si M est une variété complexe. Un polynôme P de K_{M}[λ] sera dit irréductible s’il est irréductible en chaque point de M et deux polynômes P et Q de K_{M}[λ] seront dits premiers entre eux s’ils le sont partout sur M.

Soit N un tenseur de Nijenhuis défini sur M. Il définit une section du fibré vectoriel Hom(T M, T M) → M, où Hom(T M, T M) désigne le fibré des endomorphismes du fibré tangent T M de M.

Définition 2.1 On dit que le type algébrique de N : M → Hom(T M, T M) est constant sur un voisinage ouvert U d’un point p de M, s’il existe des polynômes irréductibles et premiers entre eux P_{1}, …, P_{r} de K_{U}[λ] et des entiers positifs n_{ij}, i = 1, …, r, j = 1, …, s_{i}, tels que la famille des polynômes (P_{i}^{n_{ij}}, i = 1, …, r, j = 1, …, s_{i}) soit, en chaque x ∈ U, la famille des diviseurs élémentaires de l’endomorphisme N(x) : T_{x}M → T_{x}M.

D’un point de vue géométrique, le type algébrique de N : M → Hom(T M, T M) est constant sur U lorsque, en chaque x ∈ U, l’espace T_{x}U se décompose en sous-espaces N(x)−cycliques isomorphes aux sous-espaces N(p) − cycliques en lesquels se décompose l’espace T_{p}U.

Définition 2.2 On dit que N : M → Hom(T M, T M) est 0-déformable sur U, si la famille (P_{i}^{n_{ij}}, i = 1, …, r, j = 1, …, s_{i}) de ses diviseurs élémentaires est indépendante du point x de U.

Bien entendu, lorsque N est 0-déformable sur U, son type algébrique est constant sur U.

L’ensemble des points de M qui possèdent un voisinage ouvert sur lequel le type algébrique de N est constant, est un ouvert dense de M, (cf. [21]).

Définition 2.3 (Conditions de régularité) Un point p de M est dit régulier relativement à N lorsqu’il possède un voisinage ouvert U dans M tel que :

1. le type algébrique de N soit constant sur U;

2. les sous-espaces

E_{x} = ⋂_{i=1}^{s} kerdf_{i}(x)

de T_{x}U, x ∈ U, où f_{1}, …, f_{s} désignent les coefficients fonctionnels des facteurs irréductibles du polynôme caractéristique P_{N} de N, définissent une distribution E de rang constant sur U;

3. le type algébrique de la restriction de N à E soit constant sur U.

Définition 2.4 On appelle lieu régulier de N, et on note R_{N}, l’ensemble des points réguliers de M relativement à N.

L’ensemble R_{N} est un ouvert dense de M, (cf. [21]).

3. Décomposition des variétés de Poisson-Nijenhuis symplectiques

Soit (M, Λ_{0}, N) une variété de Poisson-Nijenhuis, avec Λ_{0} non-dégénéré, et p un point de M possédant un voisinage ouvert U dans M sur lequel le type algébrique de N est constant. Notons P_{N} le polynôme caractéristique de N et supposons qu’il s’écrive sur U comme produit P_{N} = P_{1} · P_{2} de deux polynômes P_{1} et P_{2} premiers entre eux dont le coefficient du terme de plus haut degré est égal à 1. Posons N_{1} = P_{1}(N) et N_{2} = P_{2}(N). Alors, T U = kerN_{1}⊕kerN_{2}, ou bien T U = ImN_{2} ⊕ ImN_{1}, puisque kerN_{1} = ImN_{2} et kerN_{2} = ImN_{1}. Les N_{i} : ImN_{i} → ImN_{i}, i = 1, 2, sont des champs d’isomorphismes. Aussi, T^{⋆}U = Im^{t}N_{2} ⊕ Im^{t}N_{1}, où ^{t}N_{i} désigne le transposé de N_{i}, et ^{t}N_{i} = P_{i}(^{t}N), i = 1, 2.

Lemme 3.1 Les sous-fibrés ImN_{i}, i = 1, 2, sont involutifs.

Démonstration. Soient X et Y deux sections de ImN_{1}. Compte tenu des faits que N_{1} : ImN_{1} →ImN_{1} est un isomorphisme et que T (N_{1})(V, W) = ∑_{r=0}^{m} (α_{r}(V)N^{r}W −α_{r}(W)N^{r}V), où α_{r}, r = 1, …, m, sont 1-formes et V, W deux sections de ImN_{1}, on montre que [X, Y] est aussi une section de ImN_{1}, d’où l’involutivité de ImN_{1}.

De même manière on prouve l’involutivité de ImN_{2}. □

Alors, les ImN_{1} et ImN_{2} définissent deux feuilletages supplémentaires de U. En conséquence, à un voisinage convenable de p, M s’identifie à un produit M′ × M′′ de deux variétés; M′ s’identifiant à l’ensemble des feuilles de ImN_{1} et M′′ à celui de ImN_{2}. Donc, T M′ = ImN_{2} = kerN_{1} et T M′′ = ImN_{1} = kerN_{2}.

Lemme 3.2 Pour tout k ∈ N, Λ_{k}(Im^{t}N_{2}, Im^{t}N_{1}) = 0.

Démonstration. Pour toutes α, β 1-formes sur U,

Λ_{k}(^{t}N_{2}α,^{t} N_{1}β) = Λ_{k}(P_{2}(^{t}N)α, P_{1}(^{t}N)β) = Λ_{k}(P_{1}(^{t}N)P_{2}(^{t}N)α, β) = Λ_{k}(P_{N}(^{t}N)α, β) = 0,

comme P_{N} est un polynôme annulateur de ^{t}N. □

Proposition 3.3 Les hypothèses et les notations étant les mêmes que ci-dessus, au voisinage de p, la variété de Poisson-Nijenhuis symplectique (M, Λ_{0}, N) s’identifie au produit (M′, Λ′_{0}, N′) × (M′′, Λ′′_{0}, N′′) de variétés de Poisson-Nijenhuis symplectiques.

Démonstration. Du lemme 3.2 résulte que dans un système de coordonnées produit (x, y) de M′ × M′′, les Λ_{k}, k ∈ N, reçoivent une expression locale du type

Λ_{k} = ∑_{1≤i<j≤n_{1}} f_{kij} \frac{∂}{∂x_{i}} ∧ \frac{∂}{∂x_{j}} + ∑_{1≤l<m≤n_{2}} g_{klm} \frac{∂}{∂y_{l}} ∧ \frac{∂}{∂y_{m}} ,

où n_{1} = dimM′ et n_{2} = dimM′′. Puisque les Λ_{k}, k ∈ N, sont de Poisson deux à deux compatibles, leurs crochets de Poisson associés { , }_{k}, k ∈ N, vérifient l’identité de Jacobi et l’identité de Jacobi généralisée. En appliquant ces identités pour les fonctions coordonnées, on prouve facilement que, pour tout k ∈ N, f_{kij} = f_{kij}(x), 1 ≤ i < j ≤ n_{1}, et que g_{klm} = g_{klm}(y), 1 ≤ l < m ≤ n_{2}.

Posons, pour tout k ∈ N,

Λ′_{k} = ∑_{1≤i<j≤n_{1}} f_{kij} \frac{∂}{∂x_{i}} ∧ \frac{∂}{∂x_{j}} et Λ′′_{k} = ∑_{1≤l<m≤n_{2}} g_{klm} \frac{∂}{∂y_{l}} ∧ \frac{∂}{∂y_{m}} .

Les Λ′_{k} (resp. Λ′′_{k}), k ∈ N, définissent sur M′ (resp. M′′) une hiérarchie de tenseurs de Poisson deux à deux compatibles, avec Λ′_{0} (resp. Λ′′_{0}) non-dégénéré sur M′ (resp. M′′), dont l’opérateur de récursion N′ (resp. N′′) est la projection de N |_{ImN_{2}} (resp. N |_{ImN_{1}}) sur ImN_{2} (resp. ImN_{1}) et son polynôme caractéristique est le polynôme P_{1} (resp. P_{2}). □

Remarque 3.4 Une suite de propositions sur les propriétés des diviseurs élémentaires [4] assure que le lieu régulier R_{N′} (resp. R_{N′′}) de N′ (resp. N′′) est la projection de R_{N} sur M′ (resp. M′′).

4. Modèles locaux de structures de Poisson-Nijenhuis symplectiques

Soit (Λ_{0}, N) une structure de Poisson-Nijenhuis symplectique définie sur une variété différentiable M de dimension 2n. D’après les résultats de §3, le problème de construction d’une forme normale de (Λ_{0}, N) et des Λ_{k}, k ∈ N, se réduit à la recherche de la forme normale de ces tenseurs lorsque P_{N} est une puissance d’un polynôme irréductible. Les cas possibles sont:

1. P_{N}(λ) = (λ + f)^{2n};

2. P_{N}(λ) = (λ^{2} + gλ + h)^{n}, (ce cas apparaît lorsque M est une variété réelle).

En se plaçant au voisinage d’un point p ∈ R_{N} et en étudiant séparément les deux cas distingués, nous établissons dans [21] les théorèmes suivants.

Théorème 4.1 Soit (Λ_{0}, N) une structure de Poisson-Nijenhuis symplectique définie sur une variété différentiable M (réelle ou complexe) de dimension 2n, (Λ_{k}, k ∈ N) la hiérarchie de tenseurs de Poisson engendrée sur M à partir de Λ_{0} et de N, et p un point régulier de M relativement à N. Si le polynôme caractéristique de N est du type P_{N}(λ) = (λ + f)^{2n}, alors

• si df(p) = 0, il existe un voisinage ouvert U de p dans M sur lequel f est constante et sur U un système de coordonnées locales (x_{j}^{i}), i = 1, …, m, j = 1, …, 2r_{i}, r_{1} ≥ … ≥ r_{m}, de M, centré en p, dans lequel le couple (Λ_{0}, N) et les membres de la hiérarchie (Λ_{k}, k ∈ N) ont simultanément les expressions:

Λ_{0} = ∑_{i=1}^{m} (∑_{k=1}^{r_{i}} \frac{∂}{∂x_{2k−1}^{i}} ∧ \frac{∂}{∂x_{2k}^{i}} ) ,

N = −aId + H,

où a = f(p),

H = ∑_{i=1}^{m} [∑_{k=1}^{r_{i}−1} (\frac{∂}{∂x_{2k−1}^{i}} ⊗ dx_{2k+1}^{i} + \frac{∂}{∂x_{2k+2}^{i}} ⊗ dx_{2k}^{i})] ,

et

Λ_{k} = (−a)^{k}Λ_{0} + Π_{k},

où

\begin{aligned}Π_{k} = ∑_{i=1}^{m} [∑_{j=1}^{r_{i}−k} \binom{k}{0}(−a)^{0} \frac{∂}{∂x_{2j−1}^{i}} & ∧ \frac{∂}{∂x_{2(j+k)}^{i}} + … \\ & + ∑_{j=1}^{r_{i}−1} \binom{k}{k−1}(−a)^{k−1} \frac{∂}{∂x_{2j−1}^{i}} ∧ \frac{∂}{∂x_{2(j+1)}^{i}} ]; \end{aligned}

• si df(p) ≠ 0, il existe sur un voisinage U de p un système de coordonnées locales ((x_{j}^{i}), y_{1}, y_{2}), i = 1, …, m, j = 1, …, 2r_{i}, r_{1} ≥ … ≥ r_{m}, de M, où y_{2} = f − a, a = f(p), centré en p, dans lequel le couple (Λ_{0}, N) et les tenseurs Λ_{k}, k ∈ N, ont les expressions :

Λ_{0} = ∑_{i=1}^{m} (∑_{k=1}^{r_{i}} \frac{∂}{∂x_{2k−1}^{i}} ∧ \frac{∂}{∂x_{2k}^{i}} ) + \frac{∂}{∂y_{1}} ∧ \frac{∂}{∂y_{2}} ,

N = −(y_{2} + a)Id + H + \frac{∂}{∂y_{1}} ⊗ α − Z ⊗ dy_{2},

où H comme précédemment,

α = dx_{2}^{1} + ∑_{i=1}^{m} (∑_{k=1}^{r_{i}} [(k − \frac{1}{2})x_{2k}^{i}dx_{2k−1}^{i} + (k + \frac{1}{2})x_{2k−1}^{i}dx_{2k}^{i}]) ,

Z = \frac{∂}{∂x_{1}^{1}} + ∑_{i=1}^{m} (∑_{k=1}^{r_{i}} [(k + \frac{1}{2})x_{2k−1}^{i} \frac{∂}{∂x_{2k−1}^{i}} − (k − \frac{1}{2})x_{2k}^{i} \frac{∂}{∂x_{2k}^{i}} ]) ,

et

Λ_{k} = (−1)^{k}(y_{2} + a)^{k}Λ_{0} + Π_{k} + Z_{k} ∧ \frac{∂}{∂y_{1}} ,

où

\begin{aligned}Π_{k} = ∑_{i=1}^{m} [∑_{j=1}^{r_{i}−k} \binom{k}{0} \frac{∂}{∂x_{2j−1}^{i}} & ∧ \frac{∂}{∂x_{2(j+k)}^{i}} + … \\ & + ∑_{j=1}^{r_{i}−1} \binom{k}{k−1}(−(y_{2} + a))^{k−1} \frac{∂}{∂x_{2j−1}^{i}} ∧ \frac{∂}{∂x_{2(j+1)}^{i}} ] , \end{aligned}

Z_{k} = \binom{k}{k−1}(−(y_{2} + a))^{k−1} \frac{∂}{∂x_{1}^{1}} +

\begin{aligned}+ ∑_{i=1}^{m} \{ ∑_{j=1}^{r_{i}−(k−1)} \binom{k}{0}(−(y_{2} + a))^{0} & [(j + k − 1 + \frac{1}{2})x_{2(j+k−1)−1}^{i} \frac{∂}{∂x_{2j−1}^{i}} − \\ & − (j − \frac{1}{2})x_{2j}^{i} \frac{∂}{∂x_{2(j+k−1)}^{i}} ] + \end{aligned}

+ …  …  …  …  … +

+ ∑_{j=1}^{r_{i}} \binom{k}{k−1}(−(y_{2} + a))^{k−1} [(j + \frac{1}{2})x_{2j−1}^{i} \frac{∂}{∂x_{2j−1}^{i}} − (j − \frac{1}{2})x_{2j}^{i} \frac{∂}{∂x_{2j}^{i}} ]\} .

Idée de la démonstration. Après la détermination des modèles canoniques d’un bivecteur Λ non-dégénéré défini sur un espace vectoriel V de dimension 2n et d’un endomorphisme N : V → V de V, (voir proposition 4.1 ci-après), nous construisons les formes normales des tenseurs d’une structure de Poisson-Nijenhuis symplectique (Λ, N), définie sur une variété différentiable W et dépendant d’un paramètre, dont le tenseur de Nijenhuis N est nilpotent et 0-déformable, par rapport au paramètre aussi, (cf. proposition 4.2 ci-dessous). À partir de ces résultats, en traitant séparément les sous-cas i) df(p) = 0 et ii) df(p) ≠ 0, nous établissons les modèles de (Λ_{0}, N) ainsi que des Λ_{k}, k ∈ N.

Proposition 4.2 [21] Soit Λ un bivecteur non-dégénéré défini sur un espace vectoriel V (réel ou complexe) de dimension 2n, et N : V → V un endomorphisme de V. Si le polynôme minimal M_{N} de N est du type M_{N}(λ) = λ^{r}, alors, il existe une décomposition V = ⊕_{i=1}^{m}V_{i} invariante par N, avec dimV_{i} = 2r_{i} et r = r_{1} ≥ r_{2} ≥ … ≥ r_{m}, telle que chaque V_{i} se décompose en somme directe de deux sous-espaces N-cycliques de dimension r_{i}; aussi, il existe une base B = {e_{j}^{i}, i = 1, …, m, j = 1, …, 2r_{i}} de V telle que, pour chaque i = 1, …, m, {e_{j}^{i}, j = 1, …, 2r_{i}} soit une base de V_{i}, et, dans cette base et sa base duale B^{∗} = {ϕ_{j}^{i}, i = 1, …, m, j = 1, …, 2r_{i}}, Λ et N ont les écritures suivantes :

Λ = ∑_{i=1}^{m} (∑_{k=1}^{r_{i}} e_{2k−1}^{i} ∧ e_{2k}^{i})

et

N = ∑_{i=1}^{m} [∑_{k=1}^{r_{i}−1} (e_{2k−1}^{i} ⊗ ϕ_{2k+1}^{i} + e_{2k+2}^{i} ⊗ ϕ_{2k}^{i})] .

Définition 4.3 On appelle système de coordonnées dépendant d’un paramètre y ∈ B (où B est une variété différentiable) sur un ouvert U d’une variété différentiable W modelée sur l’espace vectoriel K^{k} (K = R ou C) une application F : A → K^{k} d’un ouvert A = U × O de W × B dans K^{k} telle que, pour toute valeur du paramètre y ∈ O, l’application F_{y} : U → K^{k} définie, pour tout x ∈ U, par F_{y}(x) = F (x, y) soit un difféomorphisme de U sur un ouvert de K^{k}.

Si F_{y} = (f_{1y}, …, f_{ky}), on dit qu’un champ de tenseurs T sur U dépendant de y ∈ B s’écrit à coefficients constants dans les coordonnées (f_{1y}, …, f_{ky}) lorsque tous ses coefficients sont des éléments de K.

Proposition 4.4 [21] Soit (Λ, N) une structure de Poisson-Nijenhuis symplectique définie sur une variété différentiable W de dimension 2n, dépendant d’un paramètre y ∈ B, où B est une variété différentiable. Si N est nilpotent et 0-déformable, par rapport au paramètre aussi, alors, au voisinage de chaque point de W, il existe un système de coordonnées locales (x_{j}^{i}), i = 1, …, m, j = 1, …, 2r_{i}, de W dépendant du paramètre y ∈ B, dans lequel

Λ = ∑_{i=1}^{m} (∑_{k=1}^{r_{i}} \frac{∂}{∂x_{2k−1}^{i}} ∧ \frac{∂}{∂x_{2k}^{i}} )

et

N = ∑_{i=1}^{m} [∑_{k=1}^{r_{i}−1} (\frac{∂}{∂x_{2k−1}^{i}} ⊗ dx_{2k+1}^{i} + \frac{∂}{∂x_{2k+2}^{i}} ⊗ dx_{2k}^{i})] .

i) Étude du cas df(p) = 0

Si df(p) = 0, puisque p ∈ R_{N}, f est constante sur U. Nous considérons la structure de Poisson-Nijenhuis symplectique (Λ_{0}, N + fId); son opérateur de récursion est 0-déformable et nilpotent. Alors, son modèle est bien connu par la proposition 4.2, d’où nous déduisons facilement les modèles de (Λ_{0}, N), ainsi que des Λ_{k}, k ∈ N, donnés dans la première partie du théorème 4.1. Dans l’écriture de ces modèles, m désigne le nombre de sous-espaces (N + fId)(x)−invariants en lesquels se décompose l’espace T_{x}U, x ∈ U; le i-ème sous-espace, i = 1, …, m, se décompose en deux sous-espaces (N + fId)(x)−cycliques, tous deux de dimension r_{i}. ii) Étude du cas df(p) ≠ 0

On considère le gradient hamiltonien X_{f} = Λ_{0}^{#}(df) de f relativement à Λ_{0}; il est une section de kerdf et définit sur chaque hypersurface H_{c} = f^{−1}(c), où c est une valeur régulière de f, un feuilletage simple. On démontre facilement que le couple (Λ_{0}, N + fId) induit sur chaque variété intégrale H_{c}/X_{f} du fibré quotient kerdf/X_{f} une structure de Poisson-Nijenhuis symplectique (Λ̂_{0c}, H_{c}) dépendant paramétriquement de c dont l’opérateur de récursion H_{c} est nilpotent et 0-déformable par rapport au paramètre c aussi. Alors, pour chaque valeur régulière c de f, il existe un système de coordonnées locales (z_{jc}^{i}), i = 1, …, m, j = 1, …, 2r_{i}, dépendant de c, dans lequel le couple (Λ̂_{0c}, H_{c}) a l’expression du modèle présenté dans la proposition 4.2. À partir des (z_{jc}^{i}), i = 1, …, m, j = 1, …, 2r_{i}, on construit sur U un système de coordonnées (x_{j}^{i}; y_{1}, y_{2}), i = 1, …, m, j = 1, …, 2r_{i}, qui peut, sans perte de généralité, être considéré centré en p. Les fonctions x_{j}^{i}, i = 1, …, m, j = 1, …, 2r_{i}, sont choisies de sorte que x_{j}^{i} ∘i_{c} = z_{jc}^{i} ∘π_{c}, où i_{c} : H_{c} → M est l’injection canonique de H_{c} dans M et π_{c} : H_{c} → H_{c}/X_{f} la projection canonique de H_{c} sur H_{c}/X_{f}; y_{2} = f − a, où a = f(p); y_{1} est choisie de manière que \frac{∂}{∂y_{1}} = X_{f}. Alors, dans ces coordonnées,

Λ_{0} = Λ̂_{0} + \frac{∂}{∂y_{1}} ∧ \frac{∂}{∂y_{2}} ,

où

Λ̂_{0} = ∑_{i=1}^{m} (∑_{k=1}^{r_{i}} \frac{∂}{∂x_{2k−1}^{i}} ∧ \frac{∂}{∂x_{2k}^{i}} )

est le tenseur induit par Λ_{0} sur le fibré quotient kerdf/X_{f} dont la restriction à chaque variété intégrale H_{c}/X_{f} de kerdf/X_{f} coïncide avec Λ̂_{0c}, et

N = −(y_{2} + a)Id + H + \frac{∂}{∂y_{1}} ⊗ α − Z ⊗ dy_{2},

où

H = ∑_{i=1}^{m} [∑_{k=1}^{r_{i}−1} (\frac{∂}{∂x_{2k−1}^{i}} ⊗ dx_{2k+1}^{i} + \frac{∂}{∂x_{2k+2}^{i}} ⊗ dx_{2k}^{i})]

est le tenseur de Nijenhuis induit par N + fId sur kerdf/X_{f} dont la restriction à H_{c}/X_{f} coïncide avec H_{c}, α est une forme de Pfaff sur M, combinaison fonctionnelle des dx_{j}^{i}, i = 1, …, m, j = 1, …, 2r_{i}, et Z un champ de vecteurs sur M, combinaison fonctionnelle des \frac{∂}{∂x_{j}^{i}} , i = 1, …, m, j = 1, …, 2r_{i}, tels que

Λ̂_{0}^{#}(α) = Z.  (1)

Comme L_{∂/∂y_{1}}N = L_{X_{f}} N = 0, les fonctions coefficients de α et de Z sont indépendantes de y_{1}.

Le fait que (Λ_{0}, N) définit sur M une structure de Poisson-Nijenhuis symplectique se traduit par les relations

[Λ̂_{0}, Z] = Λ̂_{0} et L_{Z}H = H.  (2)

En plus, le lieu régulier R_{N} de N coïncide avec l’ensemble des points q ∈ M en lesquels Z(q) est transverse à H, i.e. le polynôme minimal de Z(q) est égal à celui de H, (cf. [21]).

Ainsi, la classification de (Λ_{0}, N) au voisinage d’un point p ∈ R_{N} se ramène à celle des champs de vecteurs Z, solutions du système d’équations (2), dont le vecteur Z(p) est transverse à H.

En développant une technique assez compliquée (cf. [21]), on démontre que, dans les coordonnées construites, un modèle de Z est le champ de vecteurs

Z = \frac{∂}{∂x_{1}^{1}} + ∑_{i=1}^{m} (∑_{k=1}^{r_{i}} [(k + \frac{1}{2})x_{2k−1}^{i} \frac{∂}{∂x_{2k−1}^{i}} − (k − \frac{1}{2})x_{2k}^{i} \frac{∂}{∂x_{2k}^{i}} ]) .

Par suite, à cause de (1),

α = dx_{2}^{1} + ∑_{i=1}^{m} (∑_{k=1}^{r_{i}} [(k − \frac{1}{2})x_{2k}^{i}dx_{2k−1}^{i} + (k + \frac{1}{2})x_{2k−1}^{i}dx_{2k}^{i}]) .

Les modèles des Λ_{k}, k ∈ N, sont établis à partir de ceux-ci de Λ_{0} et de N par un calcul direct. □

Dans le cas où P_{N}(λ) = (λ^{2} + gλ + h)^{n}, avec g^{2} − 4h strictement negative sur un voisinage de p, la construction des modèles est basée sur l’existence, au voisinage de p, d’une stsucture complexe J à partir de laquelle on établit la hiérarchie (Λ̂_{k}, k ∈ N), de tenseurs de Poisson complexes holomorphes compatibles entre eux. Pour tout k ∈ N, Λ̂_{k}^{#} = Λ_{k}^{#} − iJΛ_{k}^{#}. Son opérateur de récursion est aussi l’opérateur N, qui est holomorphe, dont le lieu régulier coïncide avec celui de N vu comme opérateur réel et dont le polynôme caractéristique est P̂_{N}(λ) = (λ + f)^{n}, où f = 1/2[g − i(4h − g^{2})^{1/2}] est une fonction holomorphe. Il existe donc une carte locale complexe (U, (z_{l}^{j}), w_{1}, w_{2}), j = 1, …, m, l = 1, …, 2r_{j}, r_{1} ≥ … ≥ r_{m}, centrée en p, sur laquelle, pour tout k ∈ N,

Λ̂_{k} = (−(w_{2} + â))^{k} Λ̂_{0} + Π̂_{k} + Ẑ_{k} ∧ \frac{∂}{∂w_{1}} ;

les champs de tenseurs Λ̂_{0}, Π̂_{k}, Ẑ_{k} ont les expressions qui figurent au deuxième cas du théorème 4.1 et â = f(p) = a + ib. Si (U, (x_{l}^{j}), u_{1}, u_{2}; (y_{l}^{j}), v_{1}, v_{2}), j = 1, …, m, l = 1, …, 2r_{j}, r_{1} ≥ … ≥ r_{m}, est la carte réelle associée à la carte complexe, après les remplacements adéquats dans l’expression ci-dessus de Λ̂_{k}, k ∈ N, en considérant sa partie réelle, on obtient une forme normale de Λ_{k}, k ∈ N.

Nous aboutissons ainsi à formuler le théorème suivant.

Théorème 4.5 Dans le contexte considéré ci-dessus, si le polynôme caractéristique de N est du type P_{N}(λ) = (λ^{2} + gλ + h)^{n}, avec g^{2} − 4h strictement negative sur un voisinage de p, alors il existe un système de coordonnées locales ((x_{l}^{j}), u_{1}, u_{2}; (y_{l}^{j}), v_{1}, v_{2}), j = 1, …, m, l = 1, …, 2r_{j}, r_{1} ≥ … ≥ r_{m}, de M, centré en p, dans lequel le couple de tenseurs (Λ_{0}, N) et les tenseurs Λ_{k}, k ∈ N, ont les expressions :

Fani Petalidou: Modeles Locaux de Structures de Poisson-Nijenhuis … 137

Λ_{0} = ∑_{j=1}^{m} [∑_{k=1}^{r_{j}} \frac{1}{4} (\frac{∂}{∂x_{2k−1}^{j}} ∧ \frac{∂}{∂x_{2k}^{j}} − \frac{∂}{∂y_{2k−1}^{j}} ∧ \frac{∂}{∂y_{2k}^{j}} )] + \frac{1}{4} (\frac{∂}{∂u_{1}} ∧ \frac{∂}{∂u_{2}} − \frac{∂}{∂v_{1}} ∧ \frac{∂}{∂v_{2}} ) ,

N = −(u_{2} + a)Id − (v_{2} + b)J + H_{x} + H_{y} +

+ \frac{∂}{∂u_{1}} ⊗ (α_{x} − α_{y}) + \frac{∂}{∂v_{1}} ⊗ (α_{x} + α_{y}) − Z_{x} ⊗ (du_{2} + dv_{2}) − Z_{y} ⊗ (du_{2} − dv_{2}),

où a = Reâ, b = Imâ,

J = ∑_{j,l} (\frac{∂}{∂y_{l}^{j}} ⊗ dx_{l}^{j} − \frac{∂}{∂x_{l}^{j}} ⊗ dy_{l}^{j}) − \frac{∂}{∂u_{1}} ⊗ dv_{1} − \frac{∂}{∂u_{2}} ⊗ dv_{2} + \frac{∂}{∂v_{1}} ⊗ du_{1} + \frac{∂}{∂v_{2}} ⊗ du_{2},

H_{x} = ∑_{j=1}^{m} [∑_{k=1}^{r_{j}−1} (\frac{∂}{∂x_{2k−1}^{j}} ⊗ dx_{2k+1}^{j} + \frac{∂}{∂x_{2k+2}^{j}} ⊗ dx_{2k}^{j})] ,

H_{y} = ∑_{j=1}^{m} [∑_{k=1}^{r_{j}−1} (\frac{∂}{∂y_{2k−1}^{j}} ⊗ dy_{2k+1}^{j} + \frac{∂}{∂y_{2k+2}^{j}} ⊗ dy_{2k}^{j})] ,

α_{x} = dx_{2}^{1} + ∑_{j=1}^{m} (∑_{k=1}^{r_{j}} [(k − \frac{1}{2})x_{2k}^{j}dx_{2k−1}^{j} + (k + \frac{1}{2})x_{2k−1}^{j}dx_{2k}^{j}]) ,

α_{y} = ∑_{j=1}^{m} (∑_{k=1}^{r_{j}} [(k − \frac{1}{2})y_{2k}^{j}dy_{2k−1}^{j} + (k + \frac{1}{2})y_{2k−1}^{j}dy_{2k}^{j}]) ,

Z_{x} = \frac{∂}{∂x_{1}^{1}} + ∑_{j=1}^{m} (∑_{k=1}^{r_{j}} [(k + \frac{1}{2})x_{2k−1}^{j} \frac{∂}{∂x_{2k−1}^{j}} − (k − \frac{1}{2})x_{2k}^{j} \frac{∂}{∂x_{2k}^{j}} ]) ,

Z_{y} = ∑_{j=1}^{m} (∑_{k=1}^{r_{j}} [(k + \frac{1}{2})y_{2k−1}^{j} \frac{∂}{∂y_{2k−1}^{j}} − (k − \frac{1}{2})y_{2k}^{j} \frac{∂}{∂y_{2k}^{j}} ]) ,

et

Λ_{k} = (−1)^{k} [Re(w_{2} + â)^{k}Λ_{0} + Im(w_{2} + â)^{k}Λ̄_{0}] + ReΠ̂_{k} + \frac{1}{2}(X_{k} ∧ \frac{∂}{∂u_{1}} − JX_{k} ∧ \frac{∂}{∂v_{1}} ),

où

Λ̄_{0} = ∑_{j=1}^{m} [∑_{k=1}^{r_{j}} \frac{1}{4} (\frac{∂}{∂x_{2k−1}^{j}} ∧ \frac{∂}{∂y_{2k}^{j}} + \frac{∂}{∂y_{2k−1}^{j}} ∧ \frac{∂}{∂x_{2k}^{j}} )] + \frac{1}{4} (\frac{∂}{∂u_{1}} ∧ \frac{∂}{∂v_{2}} − \frac{∂}{∂v_{1}} ∧ \frac{∂}{∂u_{2}} )

et X_{k} est la partie réelle de Ẑ_{k}.

Théorème 4.6 Soit (Λ_{0}, N) une structure de Poisson-Nijenhuis symplectique définie sur une variété différentiable M de dimension 2n, (Λ_{k}, k ∈ N) la hiérarchie de tenseurs de Poisson deux à deux compatibles engendrée sur M à partir de Λ_{0} et de N. Alors, au voisinage de chaque point régulier p de M relativement à N, le modèle de (Λ_{0}, N) ainsi que des Λ_{k}, k ∈ N, est un produit fini de facteurs choisis parmi

• ceux du théorème 4.1 lorsque la variété M est complexe;

• ceux des théorèmes 4.1 et 4.2 lorsque la variété M est réelle.

Les modèles sont complètement déterminés par la famille des diviseurs élémentaires de N. (On note que chaque diviseur élémentaire apparaît un nombre paire de fois dans cette famille.)

5. Symplectisation de structures de Poisson-Nijenhuis

Soit (Λ_{0}, N) une structure de Poisson-Nijenhuis définie sur une variété différentiable M, avec Λ_{0} dégénéré. Le problème de symplectisation de (Λ_{0}, N) qui, dans un certaine sens est le problème inverse de réduction d’une telle structure (cf. [26]), consiste à établir, au moins au voisinage d’un point p ∈ M tel que corangΛ_{0}(p) ≥ 1, l’existence d’une submersion surjective

Φ : (M̃, Λ̃_{0}, Ñ) → (M, Λ_{0}, N)

ayant les propriétés :

1. la variété M̃ est de dimension paire, munie d’une structure de Poisson-Nijenhuis symplectique (Λ̃_{0}, Ñ);

2. Φ est une application de Poisson pour Λ̃_{0} et Λ_{0};

3. Ñ(kerdΦ) ⊆ kerdΦ;

4. Ñ applique les champs de vecteurs projectables par Φ à champs de vecteurs projectables, i.e., pour toute section X̃ de kerdΦ et tout champ de vecteurs Ỹ sur M̃, LX̃(Ñ)Ỹ est une section de kerdΦ;

5. Ñ se projette par Φ et a pour projection N.

Définition 5.1 On dit que la variété de Poisson-Nijenhuis symplectique (M̃, Λ̃_{0}, Ñ) et la submersion surjective Φ : M̃ → M possédant les propriétés spécifiées ci-dessus constituent une symplectisation (locale) de (M, Λ_{0}, N).

Dans [22], en se plaçant au voisinage d’un point p de (M, Λ_{0}, N) tel que corangΛ_{0}(p) = 1 et en utilisant les résultats de Weinstein [27] concernant la symplectisation (ou réalisation symplectique) des structures de Poisson, on prouve le théorème suivant.

Théorème 5.2 Chaque point p d’une variété de Poisson-Nijenhuis (M, Λ_{0}, N) de dimension 2n + 1, tel que corangΛ_{0}(p) = 1, possède un voisinage ouvert U dans M sur lequel (Λ_{0}, N) est symplectisable par la projection canonique

π : (Ũ, Λ̃_{0}, Ñ) → (U, Λ_{0}, N).

Précisément, Ũ = U × R,

Λ̃_{0} = Λ_{0} + X_{0} ∧ \frac{∂}{∂t},

où X_{0} est un automorphisme de Poisson infinitésimal de Λ_{0} transverse en p à la feuille symplectique S_{0} de Λ_{0} qui passe par ce point et t la coordonnée canonique sur le facteur R, et Ñ est l’opérateur de récursion du couple (Λ̃_{0}, Λ̃_{1}) de tenseurs de Poisson compatibles, i.e. Ñ = Λ̃_{1}^{#}Λ̃_{0}^{#−1} où

Λ̃_{1} = Λ_{1} + (NX_{0}) ∧ \frac{∂}{∂t}.

La variété de Poisson-Nijenhuis symplectique (Ũ, Λ̃_{0}, Ñ) est de dimension 2n + 2, qui est la plus petite dimension possible d’une symplectisation de (U, Λ_{0}, N).

Remarques

1. Dans un système de coordonnées produit de Ũ = U × R, Ñ a une expression du type

Ñ = N + \frac{∂}{∂t} ⊗ α − f \frac{∂}{∂t} ⊗ dt,  (3)

où α est une 1-forme sur U et f ∈ C^{∞}(U, R). Bien entendu, −f est une valeur propre fonctionnelle de Ñ et spectreÑ = {−f}∪spectreN. Comme les valeurs propres fonctionnelles de Ñ sont de multiplicité paire, −f est aussi une valeur propre fonctionnelle de N et en plus −f est la seule valeur propre de N de multiplicité impaire.

2. Si (Λ̃_{k}, k ∈ N) est la hiérarchie de tenseurs de Poisson deux à deux compatibles engendrée sur Ũ à partir de Λ̃_{0} et de Ñ, alors, pour tout k ∈ N,

Λ̃_{k} = Λ_{k} + (N^{k}X_{0}) ∧ \frac{∂}{∂t}

et π : (Ũ, Λ̃_{k}) → (U, Λ_{k}) est une application de Poisson.

Lemme 5.3 Les hypothèses et les notations étant les mêmes que ci-dessus, si π : (Ũ, Λ̃_{0}, Ñ) → (U, Λ_{0}, N) est une symplectisation de (Λ_{0}, N) sur U de dimension 2n + 2, avec Λ̃_{0} = Λ_{0} + X_{0} ∧ \frac{∂}{∂t}, alors Ñ est l’opérateur de récursion de la structure bihamiltonienne (Λ̃_{0}, Λ̃_{1}) où Λ̃_{1} = Λ_{1} + (NX_{0}) ∧ \frac{∂}{∂t}.

À l’aide de ce lemme dont la démonstration est facile, on établit le théorème suivant.

Théorème 5.4 Soit (Λ_{0}, N) une structure de Poisson-Nijenhuis définie sur une variété différentiable M de dimension 2n + 1, et p un point de M, régulier relativement à N, tel que corangΛ_{0}(p) = 1. Alors, deux symplectisations de (Λ_{0}, N) sur un voisinage de p de type du théorème 5.1 sont équivalentes.

Démonstration. Soient π : (Ũ, Λ̃_{0}, Ñ) → (U, Λ_{0}, N) et π′ : (Ũ, Λ̃′_{0}, Ñ′) → (U, Λ_{0}, N) deux symplectisations de (Λ_{0}, N) sur U, avec

Λ̃_{0} = Λ_{0} + X_{0} ∧ \frac{∂}{∂t} et Λ̃′_{0} = Λ_{0} + X′_{0} ∧ \frac{∂}{∂t},

où X_{0} et X′_{0} sont deux automorphismes de Poisson infintésimaux de Λ_{0}, différents entre eux, transverses en p à la feuille symplectique S_{0} de Λ_{0} qui passe par p. Du lemme ci-dessus resulte que Ñ et Ñ′ sont respectivement les opérateurs de récursion des couples (Λ̃_{0}, Λ̃_{1}) et (Λ̃′_{0}, Λ̃′_{1}), où

Λ̃_{1} = Λ_{1} + (NX_{0}) ∧ \frac{∂}{∂t} et Λ̃′_{1} = Λ_{1} + (NX′_{0}) ∧ \frac{∂}{∂t}.

Alors, dans un système de coordonnées produit de Ũ = U × R, ils ont respectivement des expressions de type

Ñ = N + \frac{∂}{∂t} ⊗ α − f \frac{∂}{∂t} ⊗ dt et Ñ′ = N + \frac{∂}{∂t} ⊗ α′ − f′ \frac{∂}{∂t} ⊗ dt,

où α, α′ sont des 1-formes sur U et f, f′ ∈ C^{∞}(U, R). En répétant le raisonement développé dans la remarque précédente, on conclut que −f′ est aussi la seule valeur propre fonctionnelle de N de multiplicité impaire. Donc, f′ coïncide avec f. Alors, les opérateurs Ñ et Ñ′ ont exactement les mêmes valeurs propres fonctionnelles de même multiplicité algébrique et géométrique. Par conséquente, les familles de leurs diviseurs élémentaires coïncident ainsi que leurs lieux réguliers sur Ũ = U × R.

Comme les diviseurs élémentaires de l’opérateur de récursion d’une structure de Poisson-Nijenhuis symplectique déterminent complètement le modèle de cette structure (cf. th. 4.3), les couples (Λ̃_{0}, Ñ) et (Λ̃′_{0}, Ñ′) ont exactement le même modèle au voisinage des points de RÑ = RÑ′. Alors, au voisinage de ces points, ils sont équivalents (cf. [27]), i.e. il existe un difféomorphisme

Ψ : (Ũ, Λ̃_{0}, Ñ) → (Ũ, Λ̃′_{0}, Ñ′)

qui est de Poisson pour Λ̃_{0} et Λ̃′_{0} et qui applique Ñ à Ñ′. Sous l’hypothèse que le point considéré p est régulier relativement à N, par suite il est la projection d’un point de RÑ = RÑ′ sur U (cf. lemme 6.2), on a π = π′ ∘ Ψ. □

6. Modèles locaux de structures de Poisson-Nijenhuis en dimension impaire

Soit (Λ_{0}, N) une structure de Poisson-Nijenhuis définie sur une variété différentiable M de dimension 2n + 1, avec Λ_{0} de rang maximum sur un ouvert dense de M. L’objectif de ce paragraphe est la construction d’un système de coordonnées locales de M dans lequel le couple de tenseurs (Λ_{0}, N) a une expression, la plus simple possible. D’après les résultats des paragraphes précédents, afin de construire un tel système on suit, grosso-modo, la démarche suivante. On considère d’abord une symplectisation locale π : (M̃, Λ̃_{0}, Ñ) → (M, Λ_{0}, N) de (M, Λ_{0}, N). Ainsi, on se ramène à une structure de Poisson-Nijenhuis symplectique (Λ̃_{0}, Ñ) dont celle initiale est un quotient. Le théorème 4.3 affirme l’existence, au voisinage de chaque point de RÑ, d’un système de coordonnées dans lequel (Λ̃_{0}, Ñ) a l’écriture du modèle décrit par ce théorème. En considérant donc le modèle de (Λ̃_{0}, Ñ) et en passant au quotient on va obtenir une forme normale de (Λ_{0}, N).

Soient p un point générique de (M, Λ_{0}, N), i.e. p ∈ R_{N} et corangΛ_{0}(p) = 1, et π : (Ũ, Λ̃_{0}, Ñ) → (U, Λ_{0}, N) une sympectisation de (Λ_{0}, N) sur un voisinage U de p déterminée par le théorème 5.1.

Lemme 6.1 Si la fonction f qui figure dans l’expression (3) de Ñ n’est pas constante sur un voisinage U de p, alors elle est une fonction de Casimir de Λ_{0}.

Démonstration. Puisque Λ̃_{0} = Λ_{0} + X_{0} ∧ \frac{∂}{∂t} est non-dégénéré sur Ũ et L_{\frac{∂}{∂t}} Λ̃_{0} = 0, le champ de vecteurs \frac{∂}{∂t} est hamiltonien relativement à Λ̃_{0} d’hamiltonien g, où g est une fonction de Casimir de Λ_{0} telle que X_{0}·g = −1. À cause de la compatibilité des Λ_{0} et N, leur concomitant de Magri-Morosi R(Λ_{0}, N) s’annule identiquement sur M. Donc R(Λ_{0}, N)(dg, X_{0}) = 0. Mais, en tenant compte du fait qu’en chaque x ∈ U, la direction de dg(x) est une direction propre de ^{t}N(x) associée à sa valeur propre −f(x), d’après un calcul direct, on montre que R(Λ_{0}, N)(dg, X_{0}) = Λ_{0}^{#}(df). Alors, Λ_{0}^{#}(df) = 0, d’où il découle que f est une fonction de Casimir de Λ_{0}; par suite f = h ∘ g, où h est une fonction d’une variable. □

Lemme 6.2 Le lieu régulier R_{N} de N sur U est la projection par π : Ũ → U du lieu régulier RÑ de Ñ sur Ũ.

Démonstration. Par application des propriétés des diviseurs élémentaires d’un opérateur concernant leur comportement par quotient ([4]), on déduit que le type algébrique de Ñ est constant sur Ũ si, et seulement si, celui de N est constant sur U = π(Ũ).

Comme le polynôme caractéristique de Ñ est PÑ(λ) = −(λ + f)P_{N}(λ) et −f est une valeur propre fonctionnelle de N, l’ensemble {f_{1}, f_{2}, …, f_{s}} des coefficients fonctionnels des facteurs irréductibles de PÑ sur Ũ coïncide avec celui de P_{N} sur U. En plus, pour tout i = 1, …, s, le champ de vecteurs \frac{∂}{∂t} est une section de kerdf_{i}. Alors, les sous-espaces

Ẽx̃ = ⋂_{i=1}^{s} kerdf_{i}(x̃)

de Tx̃Ũ, x̃ ∈ Ũ, définissent une distribution Ẽ de rang constant sur Ũ si, et seulement si, les sous-espaces

E_{x} = ⋂_{i=1}^{s} kerdf_{i}(x) = Ẽx̃/\frac{∂}{∂t}(x̃)

de T_{x}U, x = π(x̃) ∈ U, définissent une distribution E de rang constant sur U.

En appliquant encore une fois les propriétés des diviseurs élémentaires d’un opérateur indiquées ci-dessus, on conclut que le type algébrique de la restriction de Ñ à Ẽ est constant sur Ũ si, et seulement si, celui de la restriction de N à E est constant sur U.

Alors, R_{N} = π(RÑ). □

Le point considéré p de M étant un point régulier relativement à N, il possède un voisinage ouvert U dans M sur lequel le type algébrique de N est constant. Compte tenu du fait que −f est la seule valeur propre de N de multiplicité impaire, soit égale à 2l − 1, l ∈ N, le polynôme caractéristique P_{N} de N s’écrit sur U sous la forme

P_{N}(λ) = −(λ + f)^{2l−1}Q(λ);

les polynômes (λ + f)^{2l−1} et Q(λ) sont premiers entre eux sur U et le coefficient de plus haut degré de Q(λ) est aussi égal à 1. Donc, le polynôme caractéristique PÑ de Ñ s’écrit sur Ũ comme produit

PÑ(λ) = (λ + f)^{2l}Q(λ)

de polynômes premiers entre eux dont le coefficient de plus haut degré est égal à 1. Ainsi, d’après la proposition 3.1, à un voisinage convenable d’un point p̃ ∈ π^{−1}(p), la variété (Ũ, Λ̃_{0}, Ñ) s’identifie à un produit (M̃′, Λ̃′_{0}, Ñ′)×(M̃′′, Λ̃′′_{0}, Ñ′′) de variétés de Poisson-Nijenhuis symplectiques. La variété M̃′ s’identifiant à l’ensemble des feuilles de Im(Ñ + fId)^{2l} = kerQ(Ñ) et la variété M̃′′ à l’ensemble des feuilles de ImQ(Ñ) = ker(Ñ + fId)^{2l}; leurs fibrés tangents sont T M̃′ = ker(Ñ + fId)^{2l} et T M̃′′ = kerQ(Ñ). Aussi, Ñ′ (resp. Ñ′′) est la projection de Ñ|_{ker(Ñ+fId)^{2l}} (resp. Ñ|_{kerQ(Ñ)}) sur ker(Ñ + fId)^{2l} (resp. kerQ(Ñ)) et PÑ′(λ) = (λ + f)^{2l} (resp. PÑ′′(λ) = Q(λ)). Comme (Ñ + fId)(\frac{∂}{∂t}) = 0, \frac{∂}{∂t} est une section de ker(Ñ + fId)^{2l} = T M̃′. Soit M′ ≅ M̃′/\frac{∂}{∂t} l’ensemble des courbes intégrales de (M̃′, Λ̃′_{0}, Ñ′). Les conditions du thórème de réduction d’une variété de Poisson-Nijenhuis [26] étant vérifiées par (M̃′, Λ̃′_{0}, Ñ′) et (M̃′, \frac{∂}{∂t}), la structure (Λ̃′_{0}, Ñ′) passe au quotient et induit sur M′ une structure de Poisson-Nijenhuis (Λ′_{0}, N′) dont le tenseur de Nijenhuis a comme polynôme caractéristique P_{N′}(λ) = −(λ + f)^{2l−1}. Alors, au voisinage de p, la variété initiale (M, Λ_{0}, N) s’identifie au produit (M′, Λ′_{0}, N′)×(M̃′′, Λ̃′′_{0}, Ñ′′) de variétés de Poisson-Nijenhuis. Puisque le tenseur de Poisson Λ̃′′_{0} est non-dégénéré sur M̃′′, le modèle local de (M̃′′, Λ̃′′_{0}, Ñ′′) est bien connu par le théorème 4.3. Ainsi, notre problème se réduit à la construction d’une forme normale de (M′, Λ′_{0}, N′).

Par les précédents, on déduit que

Λ̃′_{0} = Λ′_{0} + X_{0} ∧ \frac{∂}{∂t} et Ñ′ = N′ + \frac{∂}{∂t} ⊗ α − f \frac{∂}{∂t} ⊗ dt,  (4)

X_{0} étant vu comme un automorphisme de Poisson infinitésimal de Λ′_{0} transverse en la projection de p sur M′ à la feuille symplectique de Λ′_{0} qui passe par ce point.

Construction du modèle de (Λ′_{0}, N′)

Soit p̃′ la projection de p̃ ∈ π^{−1}(p) sur M̃′. Nous distinguons les cas : i) df(p̃′) = 0 et ii) df(p̃′) ≠ 0.

i) Si df(p̃′) = 0, à cause de régularité de p̃′ relativement à Ñ′, il existe un voisinage Ũ′ de p̃′ dans M̃′ sur lequel f est constante. D’après le théorème 4.1, il existe sur Ũ′ des coordonnées locales (x̃_{j}^{′i}), i = 1, …, m, j = 1, …, 2r_{i}, r_{1} ≥ … ≥ r_{m}, de M̃′, centrées en p̃′, dans lesquelles (Λ̃′_{0}, Ñ′) a l’expression du modèle.

Observons qu’en chaque x̃′ ∈ Ũ′ les directions des vecteurs \frac{∂}{∂x̃_{1}^{′i}} (x̃′) et _{\frac{∂}{∂x̃_{2r_{i}}^{′i}}} (x̃′), i =

1, …, m, sont les directions propres de Ñ′(x̃′) appartenant à la base construite de T_{}_{x̃′} Ũ′. D’autre part, en chaque x̃′ ∈ Ũ′, la direction de \frac{∂}{∂t}(x̃′) est aussi une direction propre de Ñ′(x̃′). De la manière de construction des coordonnées ci-dessus, (cf. [21]), on déduit que l’on peut, sans perte de généralité, les choisir de sorte que \frac{∂}{∂x̃_{2rm}^{′m}} = \frac{∂}{∂t}. Ainsi, à partir des

(x̃_{j}^{′i}), i = 1, …, m, j = 1, …, 2r_{i}, r_{1} ≥ … ≥ r_{m}, en passant au quotient M′ ≅ M̃′/\frac{∂}{∂t}, on obtient un système de coordonnées locales (x_{j}^{′i}), i = 1, …, m, pour i ≠ m, j = 1, …, 2r_{i}, pour i = m, j = 1, …, 2r_{m} − 1, r_{1} ≥ … ≥ r_{m}, de M′, centré en p′ = π′(p̃′), π′ : M̃′ → M′ étant la projection canonique de M̃′ sur M′, x̃_{j}^{′i} = x_{j}^{′i} ∘ π′, dans lequel le couple (Λ′_{0}, N′) induit sur M′ par (Λ̃′_{0}, Ñ′) via (M̃′, \frac{∂}{∂t}) a l’expression :

Λ′_{0} = ∑_{i=1}^{m−1} (∑_{k=1}^{r_{i}} \frac{∂}{∂x_{2k−1}^{′i}} ∧ \frac{∂}{∂x_{2k}^{′i}} ) + ∑_{k=1}^{r_{m}−1} \frac{∂}{∂x_{2k−1}^{′m}} ∧ \frac{∂}{∂x_{2k}^{′m}}  (5)

N′ = − ∑_{i=1}^{m−1} (∑_{j=1}^{2r_{i}} a′ \frac{∂}{∂x_{j}^{′i}} ⊗ dx_{j}^{′i}) − ∑_{j=1}^{2r_{m}−1} a′ \frac{∂}{∂x_{j}^{′m}} ⊗ dx_{j}^{′m} +

+ ∑_{i=1}^{m−1} [∑_{k=1}^{r_{i}−1} (\frac{∂}{∂x_{2k−1}^{′i}} ⊗ dx_{2k+1}^{′i} + \frac{∂}{∂x_{2k+2}^{′i}} ⊗ dx_{2k}^{′i})] +

+ ∑_{k=1}^{r_{m}−1} \frac{∂}{∂x_{2k−1}^{′m}} ⊗ dx_{2k+1}^{′m} + ∑_{k=1}^{r_{m}−2} \frac{∂}{∂x_{2k+2}^{′m}} ⊗ dx_{2k}^{′m},  (6)

où a′ = f(p′) = f(p̃′); la dernière égalité est vraie puisque f est indépendante de t.

ii) Si df(p̃′) ≠ 0, l’hypothèse de régularité de p̃′ relativement à Ñ′ assure que f n’est pas constante sur les voisinages de p̃′ et le théorème 4.1 affirme l’existence d’un système de coordonnées locales ((x̃_{j}^{′i}), ỹ′_{1}, ỹ′_{2}), i = 1, …, m, j = 1, …, 2r_{i}, r_{1} ≥ … ≥ r_{m}, de M̃′, centré en p̃′, dans lequel Λ̃′_{0} et Ñ′ ont les écritures qui figurent dans ce théorème. Pour la construction de ces coordonnées, on pose ỹ′_{2} = f − ã′, ã′ = f(p̃′), et on choisit la coordonnée ỹ′_{1} de manière que \frac{∂}{∂ỹ′_{1}} = X̃′_{f}, où X̃′_{f} = Λ̃_{0}^{′#}(df), ([21]).

Comme Λ̃_{0}^{′#} (\{\frac{∂}{∂ỹ′_{1}} \}^{∘}) = kerdỹ′_{2} ⊂ T M̃′, Ñ′(\frac{∂}{∂ỹ′_{1}} ) = −(ỹ′_{2} + ã′)\frac{∂}{∂ỹ′_{1}} , L_{\frac{∂}{∂ỹ′_{1}}} Ñ′ = 0, le couple

(Λ̃′_{0}, Ñ′) passe au quotient M̃′/\frac{∂}{∂ỹ′_{1}} , (cf. [25]). Mais, la variété M̃′/\frac{∂}{∂ỹ′_{1}} coïncide avec M′ ≅ M̃′/\frac{∂}{∂t}. Pour le confirmer, il suffit de remarquer que X̃′_{f} coïncide, à un facteur près, avec \frac{∂}{∂t}. Effectivement, en tenant compte de la relation Λ_{0} = Λ′_{0} +Λ̃′′_{0}, du lemme 6.1 et de la formule 4, nous concluons X̃′_{f} = −h′(g)\frac{∂}{∂t}. En conséquence, la structure induite par (Λ̃′_{0}, Ñ′) sur M̃′/\frac{∂}{∂ỹ′_{1}} s’identifie à la structure définie par (Λ′_{0}, N′).

Ainsi, à partir des coordonnées ((x̃_{j}^{′i}), ỹ′_{1}, ỹ′_{2}), i = 1, …, m, j = 1, …, 2r_{i}, r_{1} ≥ … ≥ r_{m}, de M̃′, en passant au quotient M′ ≅ M̃′/\frac{∂}{∂t}, on obtient un système de coordonnées ((x_{j}^{′i}), y′_{2}), i = 1, …, m, j = 1, …, 2r_{i}, r_{1} ≥ … ≥ r_{m}, de M′, centré en p′ = π′(p̃′), où π′ : M̃′ → M′ est la projection canonique de M̃′ sur M′, x̃_{j}^{′i} = x_{j}^{′i} ∘ π′, ỹ′_{2} = y′_{2} ∘ π′, dans lequel les tenseurs Λ′_{0} et N′ ont respectivement les expressions :

Λ′_{0} = ∑_{i=1}^{m} (∑_{k=1}^{r_{i}} \frac{∂}{∂x_{2k−1}^{′i}} ∧ \frac{∂}{∂x_{2k}^{′i}} ) ,  (7)

N′ = − ∑_{i=1}^{m} (∑_{j=1}^{2r_{i}}(y′_{2} + a′)\frac{∂}{∂x_{j}^{′i}} ⊗ dx_{j}^{′i}) + ∑_{i=1}^{m} [∑_{k=1}^{r_{i}−1} (\frac{∂}{∂x_{2k−1}^{′i}} ⊗ dx_{2k+1}^{′i} + \frac{∂}{∂x_{2k+2}^{′i}} ⊗ dx_{2k}^{′i})] −

− (\frac{∂}{∂x_{1}^{′1}} + ∑_{i=1}^{m} (∑_{k=1}^{r_{i}} [(k + \frac{1}{2})x_{2k−1}^{′i} \frac{∂}{∂x_{2k−1}^{′i}} − (k − \frac{1}{2})x_{2k}^{′i} \frac{∂}{∂x_{2k}^{′i}} ])) ⊗ dy′_{2},  (8)

où a′ = f(p′) = f(p̃′) = ã′.

Conclusion

D’après le théorème 5.2, nous concluons facilement que le modèle construit de (Λ_{0}, N) au voisinage d’un point générique p de M est indépendant, à un difféomorphisme près, du choix de la sysmplectisation de type du théorème 5.1 à l’aide de laquelle nous avons établi ce modèle. Nous arrivons ainsi à formuler le théorème suivant.

Théorème 6.3 Soit (Λ_{0}, N) une structure de Poisson-Nijenhuis définie sur une variété différentiable M de dimension 2n + 1, avec Λ_{0} de rang maximum sur un ouvert dense de M. Alors, au voisinage de chaque point générique p de M, le modèle de (Λ_{0}, N) est un produit d’une structure de Poisson-Nijenhuis symplectique dont la forme canonique est déterminée par le théorème 4.3 et d’une structure de Poisson-Nijenhuis (Λ′_{0}, N′) dont le tenseur de Nijenhuis a comme polynôme caractéristique un polynôme du type P_{N′}(λ) = (λ + f)^{2l−1}, l ∈ N. Si,

• f est constante sur un voisinage de p, les modèles des Λ′_{0} et N′ sont respectivement donnés par les formules 5 et 6;

• f n’est pas constante sur un voisinage de p, les modèles des Λ′_{0} et N′ sont respectivement donnés par les formules 7 et 8.

Le modèle de (Λ_{0}, N) est complètement déterminé par la famille des diviseurs élémentaires de N.

7. Modèle local d’une hiérarchie de tenseurs de Poisson en dimension impaire

Nous nous plaçons dans le contexte du paragraphe précédent et nous considérons la hiérarchie (Λ_{k}, k ∈ N) de tenseurs de Poisson deux à deux compatibles engendrée sur M par Λ_{0} et N; pour tout k ∈ N, Λ_{k}^{#} = N^{k}Λ_{0}^{#}. Dans la suite, nous allons établir les expressions locales canoniques des Λ_{k}, k ∈ N.

Comme nous l’avons déjà remarqué au section 5, en considérant une symplectisation π : (Ũ, Λ̃_{0}, Ñ) → (U, Λ_{0}, N) de (Λ_{0}, N) sur un voisinage U d’un point générique p de M déterminée par le théorème 5.1, pour tout k ∈ N, Λ_{k} peut être vu comme la projection par π : Ũ → U du tenseur de Poisson Λ̃_{k} = Λ_{k} + (N^{k}X_{0}) ∧ \frac{∂}{∂t}, Λ̃_{k}^{#} = Ñ^{k}Λ̃_{0}^{#}. Les Λ̃_{k}, k ∈ N, étant engendrés sur Ũ à partir de Λ̃_{0}, qui est non-dégénéré, et de Ñ, leurs modèles locaux sont bien décrits par le théorème 4.3. Par suite, nous pouvons obtenir une forme normale des Λ_{k}, k ∈ N, en quotientant les modèles des Λ̃_{k}, k ∈ N.

D’autre part, (Ũ, Λ̃_{0}, Ñ) s’identifiant, au voisinage d’un point p̃ ∈ π^{−1}(p), au produit (M̃′, Λ̃′_{0}, Ñ′)×(M̃′′, Λ̃′′_{0}, Ñ′′) de variétés de Poisson-Nijenhuis symplectiques, pour tout k ∈ N, (Ũ, Λ̃_{k}) s’identifie au produit de variétés de Poisson (M̃′, Λ̃′_{k}) × (M̃′′, Λ̃′′_{k}), Λ̃_{k}^{′#} = Ñ^{′k}Λ̃_{0}^{′#} et Λ̃_{k}^{′′#} = Ñ^{′′k}Λ̃_{0}^{′′#} ‘A cause des faits que \frac{∂}{∂t} est une section de T M̃′ et que, pour tout k ∈ N, Λ̃_{k}^{′#} (\{\frac{∂}{∂t}\}^{∘}) ⊂ T M̃′, la hiérarchie (Λ̃′_{k}, k ∈ N) de tenseurs de Poisson deux à deux compatibles induit sur la variété quotient M′ ≅ M̃′/\frac{∂}{∂t} une famille (Λ′_{k}, k ∈ N) de tenseurs de Poisson compatibles entre eux dont l’opérateur de récursion N′ a comme polynôme caractéristique un polynôme du type P_{N′}(λ) = (λ + f)^{2l−1}, l ∈ N; sans doute, elle coïncide avec la hiérarchie de tenseurs de Poisson engendrée sur M′ par le couple (Λ′_{0}, N′). Alors, au voisinage de p, pour tout k ∈ N, la variété de Poisson (M, Λ_{k}) s’identifie au produit de variétés de Poisson (M′, Λ′_{k}) × (M̃′′, Λ̃′′_{k}). Le modèle du facteur (M̃′′, Λ̃′′_{k}) étant connu par le théorème 4.3, notre problème se réduit à la construction d’un modèle de (M′, Λ′_{k}).

Soit p̃′ la projection de p̃ ∈ π^{−1}(p) sur M̃′. Comme précédemment, nous distinguons les cas : i) df(p̃′) = 0 et ii) df(p̃′) ≠ 0. Dans les deux cas on peut obtenir une forme normale des Λ′_{k}, k ∈ N, en répétant le raisonement du §6 et en quotientant les formes normales des Λ̃′_{k}, k ∈ N, ou bien, en calculant, dans les coordonnées construites, les expressions des N^{′k}, k ∈ N, et en les composant avec l’expression de Λ′_{0}. De toute façon, nous aboutissons au théorème suivant.

Théorème 7.1 Les hypothèses et les notations étant les mêmes que ci-dessus, au voisinage de chaque point générique p de M, pour tout k ∈ N, le modèle de Λ_{k} est un produit du membre correspondant d’une hiérarchie de tenseurs de Poisson compatibles entre eux dont le premier terme est non-dégénéré, donc son modèle est bien déterminé par le théorème 4.3, et du membre correspondant d’une hiérarchie (Λ′_{k}, k ∈ N) de tenseurs de Poisson deux à deux compatibles dont l’opérateur de récursion N′ a comme polynôme caractéristique un polynôme du type P_{N′}(λ) = (λ + f)^{2l−1}, l ∈ N. Soit M′ la variété sur laquelle est définie la hiérarchie (Λ′_{k}, k ∈ N), et p′ la projection de p sur M′. Alors,

• si df(p′) = 0, il existe un système de coordonnées locales (x_{j}^{′i}), i = 1, …, m, pour i ≠ m, j = 1, …, 2r_{i}, pour i = m, j = 1, …, 2r_{m} − 1, r_{1} ≥ … ≥ r_{m}, de M′, centré en p′, dans lequel

Λ′_{k} = (−a′)^{k}Λ′_{0} + Π′_{k};

le tenseur Λ′_{0} a l’expression (5),

Π′_{k} = ∑_{i=1}^{m−1} [∑_{j=1}^{r_{i}−k} \binom{k}{0} \frac{∂}{∂x_{2j−1}^{′i}} ∧ \frac{∂}{∂x_{2(j+k)}^{′i}} + … + ∑_{j=1}^{r_{i}−1} \binom{k}{k−1}(−a)^{′k−1} \frac{∂}{∂x_{2j−1}^{′i}} ∧ \frac{∂}{∂x_{2(j+1)}^{′i}} ] +

+ ∑_{j=1}^{r_{m}−1−k} \binom{k}{0} \frac{∂}{∂x_{2j−1}^{′m}} ∧ \frac{∂}{∂x_{2(j+k)}^{′m}} + … + ∑_{j=1}^{r_{m}−2} \binom{k}{k−1}(−a′)^{k−1} \frac{∂}{∂x_{2j−1}^{′m}} ∧ \frac{∂}{∂x_{2(j+1)}^{′m}} ,

et a′ = f(p′).

• si df(p′) ≠ 0, il existe un système de coordonnées ((x_{j}^{′i}), y′_{2}), i = 1, …, m, j = 1, …, 2r_{i}, r_{1} ≥ … ≥ r_{m}, de M′, centré en p′, dans lequel

Λ′_{k} = (−(y′_{2} + a′))^{k} Λ′_{0} + Π′_{k};

le tenseur Λ′_{0} a l’expression (7),

\begin{aligned}Π′_{k} = ∑_{i=1}^{m}[∑_{j=1}^{r_{i}−k} \binom{k}{0} \frac{∂}{∂x_{2j−1}^{′i}} & ∧ \frac{∂}{∂x_{2(j+k)}^{′i}} + … \\ & + ∑_{j=1}^{r_{i}−1} \binom{k}{k−1} (−(y′_{2} + a′))^{k−1} \frac{∂}{∂x_{2j−1}^{′i}} ∧ \frac{∂}{∂x_{2(j+1)}^{′i}} ], \end{aligned}

et a′ = f(p′).

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