% XGLoth.tex   Mars 03;  repris Mai 04 en ajoutant un resume en anglais
% Last  21 Dec 04 
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\newtheorem{COR}{\bf Corollaire}
\newtheorem{PROP}{\bf Proposition}
\newtheorem{LEMME}{\bf Lemme}
\newtheorem{DEF}{\bf D\'efinition}
\def\preuve{\medskip\noindent{\it Preuve.}\ }  
\def\qed{\hfill QED\bigskip}

\long\def\bee#1\ee{\begin{equation}#1\end{equation}}

\def\s{\scriptstyle }
\def\a{\alpha}
\def\b{\beta}
\def\l{\lambda}
\def\L{\Lambda}
\def\ss{\sigma}
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\def\bp{\widehat{\pi}}
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\def\Sym{\mathfrak{Sym}}
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\def\Ht{\widetilde{H}}
\def\Xf{X^{\mathcal F}}               % X free 
\def\Kf{K^{\mathcal F}}               % K free 
\def\Khf{\widehat{K}^{\mathcal F}}
\def\Pf{P^{\mathcal F}}               % P free 
\def\Sf{{S^{\mathcal F}}}      %  S free 

\def\Plax{{ \mathfrak{ P\hspace{-0.07 em}l\hspace{-0.05 em}a\hspace{-0.05 em} x}}}
\def\Pol{{ \mathfrak{ P\hspace{-0.06 em}o\hspace{-0.05 em} l}}}
\def\NPl{{ \mathfrak{ N\hspace{-0.07 em}P\hspace{-0.05 em}l}}}
\def\IdCox{{ \mathfrak{ I\hspace{-0.07 em}d\hspace{-0.07 em}C\hspace{-0.05%
em}o\hspace{-0.07 em}x}}}
\def\NilCox{{ \mathfrak{ N\hspace{-0.07 em}i\hspace{-0.07 em}l\hspace{-0.05%
em}C\hspace{-0.05 em}o\hspace{-0.07 em}x}}}
\def\XG{\mathbf{X \hspace{-0.07 em}2\hspace{-0.05 em}G}}
\def\GX{\mathbf{G \hspace{-0.07 em}2\hspace{-0.06 em}X}}

\def\Schub{{\mathfrak{S\hspace{-0.06 em}c\hspace{-0.05 em}h%
\hspace{-0.05 em}u\hspace{-0.05 em}b}}}

\def\moins{\raise 1pt\hbox{$\s -$}}
\def\plus{\raise 1pt \hbox{ $\s +$}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  young local pour ne pas interferer
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   \vss\hrule height\thickness}
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\newdimen\unit                       %%%  Grapes   Weintrauben 
\def\o{$\scriptscriptstyle{{\rm o}}$}
\def\grape(#1,#2)#3{\raise#2\unit\rlap{\kern#1\unit #3}\ignorespaces}

\def\gg{{\unit=1mm
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}\kern 3.5 \unit}}

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\def\Frise{\bigskip\centerline{\hbox to 14cm{\gfill} }\medskip}
\def\frise{\centerline{\hbox to 8cm{\gfill} }\bigskip}
\date{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\title[SCHUBERT \& GROTHENDIECK: Un bilan bid\'ecennal]{\large  
SCHUBERT \& GROTHENDIECK: Un bilan bid\'ecennal}

\author{ Alain Lascoux}


%\frise

\begin{abstract}
Nous donnons une douzaine de formules concernant les polyn\^omes de Schubert
et Grothendieck, la moiti\'e \'etant nouvelles, et la plupart int\'eressantes.
En particulier, nous explicitons la d\'ecomposition d'un polyn\^ome de Schubert
comme une somme positive de polyn\^omes de Grothendieck, et montrons
comment d\'eduire des descriptions combinatoires de la consid\'eration
de diff\'erents noyaux de Cauchy.

\bigskip\noindent
{\sc Abstract.}  
We give a dozen formulas concerning Schubert and Grothendieck polynomials,
and their interrelations, half of them being new, and most of them interesting.
In particular, we describe explicitly the decomposition of Schubert polynomials
as positive sums of Grothendieck polynomials, and we show that non-commutative 
Schubert polynomials are obtained by reading the columns of a two-dimensional
Cauchy kernel. A six pages summary in English has been added. 
\end{abstract}


%\vspace{8mm}
%\frise    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\maketitle

%First page headline in AmS-LaTeX for S\'eminaire Lotharingien de Combinatoire
%--first part
\thispagestyle{myheadings}
\font\rms=cmr8
\font\its=cmti8
\font\bfs=cmbx8
\markright{\its S\'eminaire Lotharingien de
Combinatoire \bfs 50 \rms (2004), Article~B50i\hfill}
\def\thepage{}
%
%

\centerline{\bf English summary}

\medskip
The space of polynomials in $n$ variables $a_1,\ldots,a_n$ is a free
module over the ring of symmetric polynomials $\Sym(n)$.

It has many $\Sym(n)$-bases, for example the following two ones,
which were already known at the end of the 19th century:
$$ a^I:= a^{i_1}\cdots a^{i_n}
\,,\ I=[i_1,\ldots,i_n]\leq \rho:=  [n\moins 1,\ldots, 1,0] \ , $$
$$ P_I:= \L^{i_1}(\A_{n-1})\, \L^{i_2}(\A_{n-2}) \cdots \L^{i_n}(\A_0)  \ ,
   \ I\leq \rho \ ,$$
where we write 
$\A_j:=\{a_1,\ldots, a_j\}$ and $\L^i$ for the elementary symmetric
function of degree $i$.

Introducing $n$ other indeterminates, and
tensoring  by $\Z[b_1,\ldots,b_n]$, one rather considers the space
of Laurent polynomials
$$ \Pol:= \Z[\B][a_1^{\pm},\ldots, a_n^{\pm}] $$
and proposes to describe it as a module over the
ring $\Sym(\A)$ of symmetric functions in $\A$ 
with coefficients in $\B$.

One is especially interested in the different actions of the
symmetric group $\mfS_n=\mfS(\A)$ on $\Pol$.  

The $1$-dimensional alternating representation of $\mfS(\A)$
gives two\footnote{Equation numbers correspond to the text in French;
equations lose their total order as well as
 their completeness in the English summary.}
related scalar products on $\Pol$:
\begin{equation*} \tag{\ref{eq:ScalX}}
 (f,g) = (fg,1)= (1,fg) =  \sum_{\ss\in\mfS_n} (\moins 1)^{\ell(\ss)}
   (fg)^\ss \, \Delta^{-1}  \ ,
\end{equation*}
where $\Delta$ is short for the Vandermonde $\Delta:=\prod_{i,j}(a_i-a_j)$,
and
\begin{equation*}   \tag{\ref{eq:ScalG}}
   \langle f,g  \rangle \, = \, \sum_{\ss\in\mfS_n}  
    \Bigl( fg\prod_{1\leq i<j\leq n}( 1-a_j/a_i)^{-1} \Bigr)^\ss \, .
\end{equation*}

%First page headline in AmS-LaTeX for S\'eminaire Lotharingien de Combinatoire
%--restoring the headers and pagenumbering
\pagenumbering{arabic}
\addtocounter{page}{1}
\markboth{\SMALL ALAIN LASCOUX}{\SMALL SCHUBERT \& GROTHENDIECK:
UN BILAN BID\'ECENNAL}
%
%

Different varieties of divided differences act on $\Pol$. They generate
deformations of the group algebra of the symmetric group, the generators
$T_i$ satisfying the braid relations, together with a Hecke relation
$$   (T_i -q_1)\, (T_i -q_2)  = 0  \ ,  $$
with some parameters $q_1,q_2$ that we shall specialize in 
$\{0,1,\moins 1\}$.  By reduced products of $T_i$'s, one
obtains a linear basis $\{ T_\sigma :\, \sigma\in\mfS_n\}$ 
of the Hecke algebra. 

The generators $T_i$, \emph{operating on their left},
 that we use in this text are,
apart from the simple transpositions    
$$ s_i = (a_i\, ,\, a_{i+1})   \ ,$$
\begin{equation*}  \tag{\ref{eq:DiffDiv}}
\left\{ \
\begin{matrix}
\partial_i &=& (a_i - a_{i+1})^{-1}\, (1+s_i)
                                   &= &(1-s_i)\, (a_i - a_{i+1})^{-1},  \\
\pi_i &= & (1 - a_{i+1}/a_i)^{-1}\, (1+ s_i) &= &a_i \partial_i ,  \\
\bp_i &=& (1-s_i)( a_{i+1}/a_i -1)^{-1} &=& \partial_i a_{i+1} = \pi_i-1.
\end{matrix}
   \qquad \right.
\end{equation*}

By reduced products, one gets, for each permutation $\sigma$,
the operators $\d_\sigma$, $\pi_\sigma$, $\bp_\sigma$.

Introducing other variables  $x_i:=1- a_i^{-1}$, one can also take
the divided differences relative to them, which we shall distinguish
by putting a superscript $x$. 
It is  easy to write the relations between these different operators.
For example,  
\begin{equation*}
\d_i^x= \d_i^a\, a_i a_{i+1} = a_i a_{i+1}\, \d_i^a   \ . 
\end{equation*}

The ``maximal'' operators\footnote{i.e., indexed by $\omega=[n,\ldots, 1]$,
the permutation of maximal length in $\mfS_n$.}  
are all deformations of the operator \\ 
$\sum_{\ss\in\mfS_n} (\moins 1)^{\ell(\ss)} \ss \, \Delta^{-1}$.
Indeed,
\begin{equation*}  \tag{\ref{eq:d_omega}}
 \d_\omega  =
 \sum_{\ss\in\mfS_n} (\moins 1)^{\ell(\ss)} \ss \, \Delta^{-1} =
    \d_1 \d_2\d_1 \d_3\d_2\d_1 \cdots \ ,
\end{equation*}
\begin{equation*}  \tag{\ref{eq:pi_omega}}
    \pi^a_\omega = a^\rho\, \d^a_\omega 
    = (1-x_2)^1\cdots (1-x_n)^{n-1}\, \d_\omega^x  \ , 
\end{equation*}
\begin{equation*}
\bp^a_\omega =  \d^a_\omega a^\rho\, \omega =
   \d^a_\omega (a^\rho)^\omega
\end{equation*}
\begin{equation*} \tag{\ref{eq:Pi2Pihat2}}
   \omega a^{-\rho} \pi_{\ss}^a\, a^\rho \omega  =
    (\moins 1)^{\ell(\ss)}\, \bp_{\omega \ss\omega}  \ .
\end{equation*}

For each kind of divided differences $T_i$, one chooses a polynomial 
$\heartsuit$. Its images under the operators $T_\sigma$ constitute a
family of $n!$ polynomials, which will be a basis of $\Pol$ if
$\heartsuit$ satisfies some mild genericity conditions. 

In the case $T_i= \d_i^a$, one takes 
\begin{equation*}
\heartsuit =  \prod_{i,j:\, i+j\leq n} (a_i-b_j) 
\quad \text{denoted by}\quad X_{\omega}(\A,\B)\, .
\end{equation*}

In the case $T_i=\pi_i^a$, one chooses 
\begin{equation*}
\heartsuit = \prod_{i,j: i+j\leq n} ( 1- b_j\, a_i^{-1})  
 \quad \text{denoted by}\quad  G_\omega(\A,\B)  \ ,
\end{equation*}
and in the case $T_i=\bp_i^a$, one prefers
\begin{equation*}
\heartsuit =  \prod_{1\leq i< j\leq n}  ( 1- a_j\, b_i^{-1})
\quad \text{denoted by}\quad  H_\omega(\A,\B)  \ .
\end{equation*}

Their images are the \emph{Schubert polynomials} $X_\ss$, the 
\emph{Grothendieck polynomials} $G_\ss$, 
the \emph{adjoint Grothendieck polynomials} $H_\ss$,
respectively:
\begin{equation*}  \tag{\ref{eq:X_ss}}
 X_\ss(\A,\B) =  X_\omega(\A,\B)\, \d_{\omega\ss}   \ ,
\end{equation*}
\begin{equation*}  \tag{\ref{eq:G&H}}
  G_\ss(\A,\B) = G_\omega(\A,\B) \, \pi_{\omega\ss}  \qquad \&  \qquad
 H_\ss(\A,\B) = H_\omega(\A,\B) \, \bp_{\omega\ss}   \ .
\end{equation*}

The change of variables $x_i=1-1/a_i$, $y_i=1-b_i$ in
the product $\heartsuit$ associated to
the Grothendieck polynomials leads to
\begin{equation*}  \tag{\ref{eq:Gt}}
   \heartsuit = \prod_{i,j: i+j\leq n}
         (x_i+y_j -x_iy_j) := \Gt_\omega(\mathbf{x},\mathbf{y})
\end{equation*} 
and the operators $T_i=(1\moins x_{i+1})\, \d_i^x = \pi_i^a$. 
Using $(1\moins x_{i+1})\, \d_i^x$ instead of $\d_i^x$,
it is clear that the term of smallest degree of
 $\Gt_\ss(\mathbf{x},\mathbf{y})$  is equal to the Schubert polynomial
$X_\ss(\mathbf{x},-\mathbf{y})$  (a sign appeared, one has to take 
$\mathbf{x}:=\{ x_1,\ldots, x_n\}$, but 
$-\mathbf{y} = \{\moins y_1,\ldots, \moins y_n\}$). 

Schubert and Grothendieck polynomials are non-symmetric analogs of
Schur functions, and satisfy the same type of properties. 
In particular, they satisfy a Cauchy formula\footnote{
M.P. Sch\"utzenberger forced me to publish it alone, in the note
\cite{LaCauchy}, to boost, possibly upwards, my status.
 The outcome was that neither my name, nor his,   
was ever associated to the key word Cauchy--Schubert
in the literature, except, of course, in Macdonald's lectures
\cite{MacSchub}.} if one specializes one of the two alphabets
to $\mathbf{0}:=\{0,\ldots,0\}$ or
 $\mathbf{1}:=\{1,\ldots,1\}$:
\begin{gather}  \tag{\ref{CauchyX}}
 \prod_{1\leq i,j\leq n\, ;\, i+j\leq n}  (x_i+y_j)
   = \sum_{\ss\in\mfS_n}
    X_\ss(\mathbf{x},\mathbf{0} )\,  X_{\ss\omega}(\mathbf{y},\mathbf{0}) \ ,
 \\   \tag{\ref{CauchyG}}
 \prod_{1\leq i<j\leq n}  (1-b_j/a_i) = \sum_{\ss\in\mfS_n}
    G_\ss(\A, \mathbf{1})\,  H_{\omega\ss}(\B,\mathbf{1}) \ .
\end{gather}
In terms of the variables $x_i,y_j$, the latter can also be written as
\begin{equation*} \tag{\ref{CauchyGt}}
\prod_{1\leq i<j\leq n}  (x_i+y_j -x_iy_j) = \sum_{\ss\in\mfS_n}
    \Gt_\ss(\mathbf{x},\mathbf{0})\,
        \Ht_{\omega\ss}(\mathbf{y},\mathbf{0}) \ .
\end{equation*}

The bases $\{G_\ss \}$ and $\{ H_\ss \}$, which are adjoint
with respect to $\langle\, ,\, \rangle$, are easy to relate explicitly:
\begin{equation*} \tag{\ref{G2H}}
 (G_\ss a^\rho)^\omega
   = (\moins 1)^{\ell(\omega\ss)} H_{\omega \ss\omega} \ .
\end{equation*}

Using the scalar product $(\, ,\, )$ instead of $\langle\, ,\, \rangle$,
one also obtains the relations between the bases 
$X_\ss:=X_\ss(\mathbf{x},\mathbf{0})$  and 
$\Gt_\ss:=\Gt_\ss(\mathbf{x},\mathbf{0})$.
Moreover, the combinatorial interpretation of the coefficients
given in the last section allows one to write positive 
coefficients in the second equation.

\medskip
\noindent {\bf Theorem 1.}\ 
{\sl The matrices $\XG$ and $\GX$ 
of change of basis between Schubert polynomials and Grothendieck polynomials
are equal, up to  permutation of rows and columns, and up to signs.
 
In more precise terms, one has 
\begin{gather}  \tag{\ref{G2X}}
   \Gt_\ss =  \sum_\nu  (-1)^{\ell(\nu\omega)}
        (\Gt_\ss, X_{\nu\omega}^\omega)\, X_\nu \ , \\  \tag{\ref{X2G}}
  X_{\nu\omega} = \sum_\ss
  \Big|\,  (\Gt_\ss^\omega, X_{\nu\omega})\, \Big|\,
           \Gt_{\ss\omega}.
\end{gather}
}

\medskip
Schubert polynomials indexed by \emph{Grassmannian} permutations
(i.e., having only one descent) are equal to Schur functions.

In that case, writing $Y_I$ instead of $ X_\ss(\mathbf{x},\mathbf{0})$
when $I=[i_1,\ldots, i_n]$ is the (increasing) partition which is the code of
a Grassmannian permutation $\ss$, and writing $G[I]$ for
$\Gt_\ss(\mathbf{x},\mathbf{0})$, one has by definition
\begin{eqnarray*}
 Y_I  &=&  x^{\lambda+\rho}\,  \d_\omega^x \ ,  \\
 G[I]       &=&  x^{\lambda+\rho}\,  \pi_\omega^a =
 x^{\lambda+\rho} (1\moins x_2)\cdots (1\moins x_n)^{n-1} \d_\omega^x \, ,
\end{eqnarray*}
where $\l=[i_n,\ldots,i_1]$.

One thus can write 
\begin{equation*}   \tag{\ref{Ypi}}
   Y_I  =\frac{x^{\l+\rho}}{(1\moins x_2)\cdots (1\moins x_n)^{n-1}}\
     \pi_\omega^a  \ .
\end{equation*}

Since the image of a monomial $x^{\mu+\rho}$ under 
$\pi_\omega^a$ is equal to $G[\mu_n,\ldots, \mu_1]$ when
$\mu\in \N^n$ is dominant, one gets from (\ref{Ypi}) the expression
of the Schur function $Y_I$ in terms of  Grothendieck polynomials
if one can replace the rational function 
$x^{\l+\rho}\, \bigl( (1\moins x_2)\cdots (1\moins x_n)^{n-1}\bigr)^{-1}$
by a sum of dominant monomials.  

This is done by using recursively formula (\ref{Lemme2}). 
The outcome is an explicit expansion
(\ref{Prop1}), first obtained by Lenart \cite{LenartK},
in terms of tableaux satisfying a flag condition.  

The polynomials $G[J]$ occur in the $K$-theory of Grassmannians,
and their theory is currently developed by Buch \cite{Buch}.
 As a matter of fact,
I already considered them in \cite{La74}, having rather in mind 
classes in $K$-theory of degeneracy loci, or of determinantal varieties.

From Section 4 onwards, we propel the theory of Schubert 
polynomials to the non-commutative world, using different types
of Cauchy kernels.

Using planar objects is a way to lift algebraic manipulations of polynomials
to the free algebra, or to the plactic algebra.
This is well known for symmetric polynomials, and it is still fruitful
for non-symmetric ones.

The Cauchy kernel must now be displayed as a staircase:
$$  \cK( \B,\A) :=  \begin{matrix} (b_1+a_{n-1})  \\
                  (b_1+a_{n-2})  & (b_2+a_{n-2})\\
                   \vdots      &    \vdots    \\
                   (b_1+a_1)  & (b_2+a_1)   & \cdots & (b_{n-1}+a_1)
\end{matrix}  $$

Distributivity with respect to $`+`$ amounts to decomposing the
staircase into pairs of complementary diagrams in all possible
manners, one of the two diagrams coding the choice of $a_i$ in 
a given box of the staircase, the other coding the choice of $b_j$.

Reading the planar objects in a specific manner, one gets from 
the Cauchy kernel a collection of pairs of words that one can 
write as a sum of products of words and interpret as an element of the
 tensor product of the free algebra in $\A$ and the free algebra
in $\B$. 

Recall that the ring $\Sym(\A)$ is a commutative sub-algebra of the
plactic algebra $\Plax(\A)$. This indicates that, as a first extension
to the theory of commutative Schubert and Grothendieck polynomials,
one should use $\Plax(\A)$ instead of the free algebra,
and identify words modulo the plactic relations (\ref{eq:Plac1a}), 
 (\ref{eq:Plac1b}) (or some similar relations, the nilplactic ones,
or idplactic ones).

Inside $\Plax(\A)$, one has a distinguished sub-module,
the \emph{Schubert module} 
$$ \Schub := \cdots \otimes
              \Sym(\A_3) \otimes \Sym(\A_2) \otimes \Sym(\A_1), $$
each $\Sym(\A_k)$ being canonically embedded into $\Plax(\A)$ 
by identifying a Schur function with a sum of tableaux of a given 
shape. 

The Schubert module has many bases which lift the usual bases
of $\Pol(\A)$. As $\Z$-modules\footnote{
 or as $\Z[y_1,y_2,\ldots]$ modules, but in that case $y_1,y_2,\ldots$
are commutative indeterminates.},
these two spaces are isomorphic, and the linear relations
between the different bases are preserved. 

An elementary symmetric function in $\A_j=\{a_1,\ldots,a_j\}$ is 
a special Schur function, and thus must be lifted to
a sum of strictly decreasing words of a given degree, that will
still be denoted by $\L^k(\A_j)$.

By ordered products,
one gets the first basis of $\Schub$:
\begin{multline*}  \tag{\ref{Pf}}
 \Pf_I(\A):= \L^{i_1}(\A_{n-1})\,
 \L^{i_2}(\A_{n-2}) \cdots \L^{i_n}(\A_0)  \ ,\\
     n\in\N,\ I=[i_1,\ldots,i_n] \leq [n\moins1,\ldots,0]  \ ,
\end{multline*}
 $n$ being non-fixed now, identifying  $\Pf_I$ and $\Pf_{0\ldots 0\, I}$.   

One has also a basis consisting of products of complete functions
\begin{equation*}    \tag{\ref{Sf}} 
\Sf^J= S^{j_n}(\A_n)\cdots S^{j_{1}}(\A_1) \, , \
  n\in\N, J=[j_1,\ldots,j_n]\in \N^n \ .
\end{equation*}

To prove that these two sets generate the full module $\Schub$, one
uses transformations of Schur functions into Schur functions 
of flags of alphabets (cf.\ \cite{CBMS}). 
This allows one to reduce each component of 
a space $\Sym(\A_j)$ to a single $\L^i(\A_j)$,
or  $S^i(\A_j)$. 

Defining non-commutative Schubert polynomials 
$\Xf_\ss$ by using divided
differences is delicate and will be examined in another text
with Lin Hui and A.L.B. Yang. It is easier to pass through 
 the basis $P_I$, or  the basis which is the  projection of $\Sf^J$.
However, in that way it is not clear why 
any $\Xf_\ss$ should be a positive sums of words. 

Fortunately, \emph{key polynomials} have an easy plactic lift,
since the operators $\pi_i$ and $\bp_i$ can be made act on the free
algebra, and by projection, on the plactic algebra.

Key polynomials become sums of tableaux of a given shape satisfying
flag conditions, and Schubert polynomials are genuine  sums of tableaux,
being positive sums of key polynomials \cite{NCSchub}.

To obtain properties of the polynomials $\Xf_\ss$, 
one considers different non-commutative algebras and different Cauchy kernels.
The reader will find them in Sections~6--9.

Let us finally point the reader to the combinatorial descriptions 
(\ref{eq:Theorem3}), (\ref{eq:Theorem4}) of the entries of the
two matrices $\GX$ or $\XG$, the first one being due to Lenart
\cite{LenartAdvances}.   



\bigskip
 
\vspace{8mm}    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frise
 \centerline{\Large 
\bf I\, .  \quad Relations entre les bases commutatives}
\vspace{8mm}    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frise

\section{\large Diff\'erentes bases de l'anneau des polyn\^omes}

Peu sont les outils alg\'ebriques sur les polyn\^omes de plusieurs variables.
Le contraste n'en est que plus grand avec le monde foisonnant des polyn\^omes
sym\'etriques.

Certes, l'anneau  $\cH_n$ des 
\emph{coinvariants}\footnote{$\Z[a_1,\ldots,a_n]/
\Sym_+(\A)$, où $\Sym_+(\A)$ 
est l'id\'eal engendr\'e par les polyn\^omes sym\'etriques
en $\A=\{a_1,\ldots,a_n\}$ sans terme constant.}
 du groupe sym\'etrique $\mfS_n$ 
est \'etudi\'e depuis un si\`ecle.

C'est un espace de dimension $n!$ qui, par exemple, admet comme base
les mon\^omes $a^I$, $I=[i_1,\ldots,i_n]\leq \rho:=  [n\moins 1,\ldots, 1,0]$.
On peut m\^eme interpr\'eter un proc\'ed\'e d'\'elimination de Cauchy comme l'utilisation de
la base des \emph{produits de fonctions \'el\'ementaires} (sur un 
\emph{drapeau d'alphabets}):
$$ P_I:= \L^{i_1}(\A_{n-1})\, \L^{i_2}(\A_{n-2}) \cdots \L^{i_n}(\A_0)  \ ,
   \ I\leq \rho \ ,$$
où les $\L^{i}(\A_j)$ sont les fonctions \'el\'ementaires de 
$\A_j:=\{a_1,\ldots, a_j\}$ (fixant $n$, on \'ecrira $\A$ au lieu de $\A_n$). 

Mais ce n'est qu'au d\'ebut des ann\'ees 70 que les g\'eom\`etres\footnote{
Bernstein, Gelfand, Gelfand \cite{BGG}, 
mais on ne saurait restreindre \`a la g\'eom\'etrie
le champ d'activit\'e de ces auteurs, et Demazure \cite{Demazure73}.},
 interpr\'etant $\cH_n$
comme l'\emph{anneau de cohomologie de la vari\'et\'e de drapeaux}\footnote{nous ne nous
int\'eressons ici qu'au groupe lin\'eaire; les autres groupes classiques donnent lieu \`a
une th\'eorie semblable.}, ont mis en oeuvre des outils de calcul, qui en fait 
remontent \`a Newton, et d\'ecrit des bases plus riches que les deux pr\'ec\'edentes. 

Pour ne pas perdre les fonctions sym\'etriques, il vaut mieux, au lieu de 
l'anneau quotient $\cH_n$,
consid\'erer l'anneau des polyn\^omes, en tant que module sur l'anneau des polyn\^omes
sym\'etriques $\Sym(\A)$.   On prendra \'eventuellement un deuxi\`eme ensemble de variables
$\B=\{b_1, b_2,\ldots \}$ invariant sous l'action de $\mfS_n$, lequel permute
uniquement les $a_i$. En un mot, 
 c'est l'anneau 
$$ \Pol:= \Z[\B][a_1^{\pm},\ldots, a_n^{\pm}] $$ 
des polyn\^omes de Laurent en $\A$, 
\`a coefficients les fonctions en $\A,\B$ sym\'e\-triques en $\A$, que
l'on entend d\'ecrire.

Diff\'erentes d\'eformations de l'alg\`ebre du groupe sym\'etrique agissent sur $\Pol$. 
En particulier, pour chaque permutation $\ss\in \mfS_n$, il existe
une \emph{diff\'erence divis\'eee} et deux \emph{diff\'erences divis\'ees isobares}
$\d_\ss, \pi_\ss, \bp_\ss$, d\'efinies par produits r\'eduits de diff\'erences
\'el\'ementaires
\bee   \label{eq:DiffDiv}
 \left\{ \
\begin{matrix}
\partial_i &=& (a_i - a_{i+1})^{-1}\, (1+s_i)
                                   &= &(1-s_i)\, (a_i - a_{i+1})^{-1}  \\
\pi_i &= & (1 - a_{i+1}/a_i)^{-1}\, (1+ s_i) &= &a_i \partial_i   \\
\bp_i &=& (1-s_i)( a_{i+1}/a_i -1)^{-1} &=& \partial_i a_{i+1} = \pi_i-1 
\end{matrix}
   \qquad \right.
\ee
\'ecrivant $\d_i,\pi_i,\bp_i$ dans le cas où $\ss=s_i$ est la 
\emph{transposition simple} qui \'echange $a_i,a_{i+1}$. 

Nous allons introduire trois nouvelles bases, mais tout d'abord, il nous faut 
une forme quadratique\footnote{C'est l'op\'erateur choisi
par Cauchy et Jacobi pour construire une fonction sym\'etrique \`a partir 
d'un mon\^ome, ou plus g\'en\'eralement, d'un produit de fonctions d'une variable,
 et obtenir ainsi les \emph{fonctions de Schur} avant l'heure.}
\`a valeurs dans $\Sym(\A)$: 
\bee    \label{eq:ScalX}
  (f,g) = (fg,1)= (1,fg) =  \sum_{\ss\in\mfS_n} (\moins 1)^{\ell(\ss)}
   (fg)^\ss \, \Delta^{-1}  \ ,
\ee
où $\Delta$ est le \emph{Vandermonde} $\prod_{1\leq i<j\leq n}(a_i-a_j)$.

Cette forme quadratique peut se r\'eduire \`a 
employer une suite de groupes $\mfS_2$, car 
\bee \label{eq:d_omega}
    \sum_{\ss\in\mfS_n} (\moins 1)^{\ell(\ss)} \ss \, \Delta^{-1} =   
   \d_\omega = \d_1 \d_2\d_1 \d_3\d_2\d_1 \cdots \ , 
\ee   
où $\omega=[n,\ldots, 1]$  est la permutation 
de plus grande longueur dans $\mfS_n$.

On a besoin d'une deuxi\`eme forme quadratique~:
\bee    \label{eq:ScalG}
\langle f,g  \rangle := fg a^\rho\, \d_\omega = fg\pi_\omega=
  \sum_{\ss\in\mfS_n}  \Bigl( fg\prod_{1\leq i<j\leq n}( 1-a_j/a_i)^{-1} \Bigr)^\ss \, .
\ee

Les morphismes $\d_\omega, \pi_\omega : \Pol \to \Sym$ sont dits
\emph{morphismes de Gysin} en th\'eorie des vari\'et\'es de drapeaux.

Toute transformation homographique sur les variables $a_i$ permet de d\'efinir 
d'autres diff\'erences divis\'eees, que nous distinguerons par un exposant.
Posons $x_i:=1- a_i^{-1}$ et convenons que $\mfS_n$ permute
les $a_i$ tout autant que les $x_i$~:
$$   s_i =(a_i,a_{i+1}) = (x_i,x_{i+1})     \ .$$
 On v\'erifie ais\'ement que
\bee
  \d_i^x= \d_i^a\, a_i a_{i+1} = a_i a_{i+1}\, \d_i^a   \   
\ee 
et que
\bee   \label{eq:Pi2Pihat1}
  \omega a^{-\rho} \pi_i^a\, a^\rho \omega = - \bp_{n-i}   \ .  
\ee
Par produit, on trouve
\bee   \label{eq:pi_omega}
  \pi_\omega^a=  a^\rho \d_\omega 
       = (1-x_2)^1\cdots (1-x_n)^{n-1}\, \d_\omega^x 
\ee
et 
\bee   \label{eq:Pi2Pihat2}
   \omega a^{-\rho} \pi_{\ss}^a\, a^\rho \omega  =
    (\moins 1)^{\ell(\ss)}\, \bp_{\omega \ss\omega}  \ .
\ee

Par exemple,
\begin{multline*}
  \pi_{321}^a= a_2\d_2^a a_1\d_1^a a_2\d_2^a = 
              a_2 \frac{1}{a_2 a_3} \d_2^x a_1 \frac{1}{a_1 a_2} \d_1^x
                       a_2 \frac{1}{a_2 a_3} \d_2^x   \\
 =  a_3^{-1} \d_2^x  a_2^{-1} a_3^{-1}  \d_1^x \d_2^x =
  a_2^{-1} a_3^{-2} \d_2^x \d_1^x \d_2^x = (1\moins x_2)(1\moins x_3)^2 
  \d_{321}^x \ ,
\end{multline*} 
le calcul pr\'ec\'edent ne n\'ecessitant que la commutation de $\d_i^x$ ou $\d_i^a$ avec
une fonction invariante par $s_i$. 

L'espace $\cH(x_1,\ldots, x_n)$ est de dimension 1 en degr\'e maximal $\binom{n}{2}$. 
Bernstein-Gelfand-Gelfand et Demazure en ont d\'eduit que les images,
 par les op\'erateurs $\d_\ss^x : \ss\in\mfS_n$,
 de n'importe quel \'el\'ement ayant une composante non nulle en ce degr\'e
forment une base de $\cH(x_1,\ldots, x_n)$, et donc
une base de $\Pol$ (en tant que module sur $\Sym$). La m\^eme propri\'et\'e est 
vraie\footnote{Pour $n=2$, l'\'enonc\'e implique que ${x_1, x_1\d_1^x=1}$ est une base
de $\cH(x_1,x_2)$, ainsi que $\{x_1, x_1\pi_1^a=1\}$. Par contre, on ne peut prendre
$\pi_1^a$ pour l'anneau $\cH(a_1,a_2)$, puisque $a_1\pi_1^a=a_1+a_2 \equiv 0$.}
pour les op\'erateurs $\pi_\ss^a$.  
 
Avec M.P. Sch\"utzenberger, j'ai fait le choix de partir de 
$$ x^\rho = x_1^{n-1}\cdots x_n^0\, ,\ 
   \prod_{i,j:\, i+j\leq n} (x_i-y_j)\, ,\ 
        \prod_{1\leq i<j\leq n} (1-b_j/a_i) \ ,$$
c'est-\`a-dire des ``plus petites expressions'' en un ou deux
alphabets n'ayant pas de sym\'etries.  A partir de ces \'el\'ements, on engendre,
par diff\'erences divis\'ees, 
les objets qui nous int\'eressent pr\'esentement.

Je restreins cet expos\'e aux propri\'et\'es li\'ees au noyau de Cauchy, ainsi qu'aux
changements de base.  Il va sans dire que les id\'eees r\'ecentes les plus int\'eressantes
concernant Schubert \& Grothendieck interviennent en th\'eorie des carquois
\cite{BuchFulton}, \cite{Buch..Yong}.  

\begin{DEF}  
Soit $n\in\N$. Les \emph{polyn\^omes de Schubert}   $X_\ss(\A,\B)$, $\ss\in\mfS_n$,
 sont 
\bee \label{eq:X_ss}
  X_{\omega}(\A,\B)= \prod_{i,j:\, i+j \leq n} (a_i-b_j)  \qquad\& \qquad
   X_\ss(\A,\B) =  X_\omega(\A,\B)\, \d_{\omega\ss}  \ .    
\ee    
Les \emph{polyn\^omes de Grothendieck} $G_\ss(\A,\B)$, et \emph{polyn\^omes adjoints 
de Grothendieck} $H_\ss(\A,\B)$  sont 
\begin{equation}
  G_\omega(\A,\B) := \prod_{i,j: i+j\leq n} ( 1- b_j\, a_i^{-1})  \quad \& \quad
  H_\omega(\A,\B) := \prod_{1\leq i< j\leq n}  ( 1- a_j\, b_i^{-1})  \ .
\end{equation}
\begin{equation}   \label{eq:G&H}
  G_\ss(\A,\B) = G_\omega(\A,\B) \, \pi_{\omega\ss}  \qquad \&  \qquad
 H_\ss(\A,\B) = H_\omega(\A,\B) \, \bp_{\omega\ss}   \ .
\end{equation}
\end{DEF}

Par exemple, pour $\mfS_3$, on a les polyn\^omes de Grothendieck
$$ \begin{array}{rcl}
   & \s (1\!-\!b_1/a_1)(1\!-\!b_2/a_1)(1\!-\!b_1/a_2)    &\\[1pt]
  \hbox{{\hskip -4mm\raise 3mm  \hbox{$\pi_1$}}\hbox{$\, \diagup\hskip
              -2mm\diagup$} }   &  &
                      \hbox{$\diagdown\raise 3mm \hbox{$\, \pi_2$}$ } \\[2pt]
                     \s (1\!-\!b_1/a_1)(1\!-\!b_1/a_2)
                                 &  & \s (1\!-\!b_1/a_1)(1\!-\!b_2/a_1)  \\[3pt]
    \hbox{$ \pi_2\, \bigg|$}       \hskip 8mm
 & &
                                  \hskip 5mm
\bigg\| \, \pi_1 \\[10pt]
   \s (1\!-\!b_1/a_1)  \hspace{4mm}
   & &               %\hspace{4mm}
  \s 1-b_1b_2/a_1a_2 \\[3pt]
     \hbox{$ \pi_1 \ \diagdown\hskip -2mm\diagdown$}   & &
      \hbox{$ \diagup \ \pi_2  $}  \\[3pt]
  & 1 &
\end{array} $$
et les polyn\^omes adjoints
$$ \begin{array}{rcl}
   & \s (1\!-\!\frac{a_3}{b_1})(1\!-\!\frac{a_3}{b_2})(1\!-\!\frac{a_2}{b_1})  &\\[1pt]
  \hbox{{\hskip -4mm\raise 3mm  \hbox{$\bp_1$}}\hbox{$\, \diagup\hskip
              -2mm\diagup$} }   &  &
                      \hbox{$\diagdown\raise 3mm \hbox{$\, \bp_2$}$ } \\[2pt]
\s (1\!-\!\frac{a_3}{b_1})(1\!-\!\frac{a_3}{b_2})\frac{a_2}{b_1}
                                 &  &
   \s  \frac{a_3}{b_2} (1\!-\!\frac{a_3}{b_1})(1\!-\!\frac{a_2}{b_1})  \\[3pt]
    \hbox{$ \bp_2\, \bigg|$}       \hskip 8mm
 & &
                                  \hskip 5mm
\bigg\| \, \bp_1 \\[10pt]
   \s  \frac{a_3}{b_1} (1\!-\!\frac{a_2a_3}{b_1b_2})  \hspace{4mm}
   & &               %\hspace{4mm}
  \s  \frac{a_2a_3}{b_1b_2} (1\!-\!\frac{a_3}{b_1}) \\[3pt]
     \hbox{$ \bp_1 \ \diagdown\hskip -2mm\diagdown$}   & &
      \hbox{$ \diagup \ \bp_2  $}  \\[3pt]
  & \frac{a_2a_3a_3}{b_1b_1 b_2} &
\end{array}
$$



Nous exprimerons aussi les polyn\^omes de Grothendieck en terme 
des variables $x_i:=1-a_i^{-1}$, $y_j:=1-b_j$, en les notant alors
par la  lettre $\Gt$, avec 
$\mathbf{x}=\{x_1,\ldots, x_n\}$, $\mathbf{y}=\{y_1,\ldots, y_n\}$.  
Cela revient \`a partir de 
\bee  \label{eq:Gt}
 \Gt_\omega(\mathbf{x},\mathbf{y}) := \prod_{i,j: i+j\leq n}
         (x_i+y_j -x_iy_j) 
 \ee
et utiliser les op\'erateurs $(1\moins x_{i+1})\, \d_i^x = \pi_i^a$.

Les diff\'erences divis\'ees isobares servent aussi \`a d\'efinir r\'ecursivement\break 
d'autres polyn\^omes, qui ont maintenant pris le nom de \emph{polyn\^omes clefs}
(\emph{key polynomials})\footnote{Ils apparaissent dans la formule des
caract\`eres de Demazure \cite{Demazure74} et d\'ecrivent les espaces de sections
des fibr\'es inversibles
amples au dessus des sous-vari\'et\'es de Schubert de la vari\'et\'e 
de drapeaux.}.   Nous en donnerons deux versions  $\{ K_v\}$, $\{ \Kh_v\}$,
$v\in\N^\infty$, nous restreignant par simplicit\'e \`a un seul alphabet.

Rappelons que nous identifions tout vecteur $v\in\N^n$ \`a n 
vecteur dans $\N^\infty$,
en concat\'enant \`a droite une infinit\'e de z\'eros. R\'eciproquement, $\N^\infty$ est
 l'ensemble des vecteurs d'entiers ayant un ensemble fini de composantes non nulles.
Pour un vecteur $v$, nous notons $v\, s_i$ le vecteur obtenu en transposant
les composantes $i$ et $i\plus 1$.

\begin{DEF}
Pour toute partition d\'ecroissante $\l$,
\bee   K_\l(\A) = \Kh_\l(\A)   := a^\l  \ ,
\ee
et pour tout $v$, tout $i$ tel que $v_i>v_{i+1}$, alors
\bee   K_{vs_i}(\A) := K_v(\A)\, \pi_i^a  \qquad \& \qquad 
   \Kh_{vs_i}(\A) := \Kh_v(\A)\, \bp_i^a   \ .
\ee
\end{DEF}
L'ensemble $\{K_v$, $v\leq \rho\}$ 
est une base de $\Pol(\A)$ en tant que $\Sym(\A)$-module
libre, la matrice de changement de base entre les polyn\^omes de Schubert
et les polyn\^omes clefs \'etant triangulaire\footnote{pour l'ordre lexicographique 
(lecture  de droite \`a gauche) sur les codes. On a aussi que pour cet ordre,
la base $\{ X_\ss(\A,\B)\}$ est triangulaire dans la base 
$\{ X_\ss(\A,\mathbf{0})\}$, en \'ecrivant 
$\mathbf{0}$ (resp. $\mathbf{1}$) 
pour un alphabet dont toutes les lettres sont sp\'ecialis\'ees
en $0$ (resp. $1$).}. 

Ces diff\'erentes bases sont des analogues non sym\'etriques 
des fonctions de Schur.
Le deuxi\`eme alphabet peut \^etre mis en oeuvre pour en d\'egager des propi\'et\'es
d'interpolation qui permettent d'exprimer tout polyn\^ome dans l'une de
ces bases.  Dans le paragraphe suivant, nous mettons plut\^ot l'accent sur
les deux produits scalaires (\ref{eq:ScalX}) et (\ref{eq:ScalG}).

Les  bases de Schubert et Grothendieck 
v\'erifient des propri\'et\'es d'orthogonalit\'e \cite{LSSymFlag}, que l'on peut
formuler de multiples mani\`eres, 
par exemple comme la d\'ecomposition d'un \emph{noyau de Cauchy}~:
\begin{eqnarray}   \label{CauchyX}
 \prod_{1\leq i,j\leq n\, ;\, i+j\leq n}  (x_i+y_j) 
   &=& \sum_{\ss\in\mfS_n}   
    X_\ss(\mathbf{x},\mathbf{0} )\,
     X_{\ss\omega}(\mathbf{y},\mathbf{0}) \ ,  \\ \label{CauchyG}
 \prod_{1\leq i<j\leq n}  (1-b_j/a_i) &=& \sum_{\ss\in\mfS_n}
    G_\ss(\A, \mathbf{1})\,  H_{\omega\ss}(\B,\mathbf{1}) \ ,
\end{eqnarray}
%%  verifier conventions   H_{\omega\ss}  et signe  
que nous \'ecrirons plut\^ot, en 
utilisant les variables $x_i,y_j$ introduites plus haut,
\bee   \label{CauchyGt} 
\prod_{1\leq i<j\leq n}  (x_i+y_j -x_iy_j) = \sum_{\ss\in\mfS_n}
    \Gt_\ss(\mathbf{x},\mathbf{0})\, 
        \Ht_{\omega\ss}(\mathbf{y},\mathbf{0}) \ .
\ee

\bigskip

\section{\large Relations entre les bases}

Dans ce paragraphe, nous sp\'ecialisons chaque $b_i$ en $1$, et donc chaque 
$y_i$ en $0$.

La relation entre les deux bases de Grothendieck est 
\'el\'ementaire (lemme~2.9  de \cite{LaGroth}), nous en r\'ep\'etons la preuve.
\begin{LEMME}
Pour toute permutation $\ss$,
\bee   \label{G2H}
 (G_\ss a^\rho)^\omega  
   = (\moins 1)^{\ell(\omega\ss)} H_{\omega \ss\omega} \ .
\ee
\end{LEMME}
\preuve      
\begin{multline*}  
G_\omega \pi_{\omega\ss}^a\, a^\rho \omega = 
  G_\omega a^\rho \omega \omega a^{-\rho} \pi_{\omega\ss}^a\, a^\rho \omega  \\
 \stackrel{\star}{=}(\moins 1)^{\ell(\omega\ss)} G_\omega  a^\rho \omega \bp_{\ss\omega} =
           (\moins 1)^{\ell(\omega\ss)} H_{\omega\ss\omega}   \ , 
\end{multline*} 
l'\'egalit\'e $\stackrel{\star}{=}$ provenant de  (\ref{eq:Pi2Pihat2}). 
\qed


Comme $X_\omega=\Gt_\omega$, 
et que les op\'erateurs engendrant les polyn\^omes de Grothendieck
sont  $\pi_i^a= (1-x_{i+1})\d_i^x$, au lieu de $\d_i^x$, il est clair que
\begin{equation}
   \Gt_\ss= X_\ss \ + \ \text{termes de degr\'e}\, >\ell(\ss) \ , 
\end{equation}
Les deux bases sont triangulairement \'equivalentes. Nous donnerons plus loin 
une interpr\'etation combinatoire des coefficients du changement de base, mais 
montrons tout d'abord que la matrice de changement de base est ``presque''
auto-inverse.


L'orthogonalit\'e $\langle H_{\omega\ss}, G_\zeta \rangle = \delta_{\ss,\zeta}$
se r\'e\'ecrit 
$$ (G_{\ss\omega} a^\rho)^\omega\, G_\zeta\, \pi_\omega^a = 
          (\moins 1)^{\ell(\ss)} \delta_{\ss,\zeta}  \ ,$$
i.e.
$$\Gt_{\ss\omega}^\omega \Gt_\zeta \d_\omega^x = (\Gt_{\ss\omega}^\omega, \Gt_\zeta)=   
  (\moins 1)^{\ell(\ss)} \delta_{\ss,\zeta}   $$     %SIGNE ?
   car $(a^\rho)^\omega \pi_\omega^a = \d_\omega^x$.   


En d'autres termes, la base adjointe de la base des polyn\^omes de Grothendieck,
pour le m\^eme produit scalaire que pour les  polyn\^omes de Schubert, est
$\{\pm \Gt_{\ss\omega}^\omega\}$. 

Prenant un ordre total sur les permutations, tel que l'involution 
$\ss \to \ss\omega$ soit la sym\'etrie retournant la 
liste des permutations, on a donc%
\footnote{nous montrons plus loin que les matrices $\XG$ sont positives.
Cela d\'ecoule de l'interpr\'etation combinatoire des coefficients
obtenue par Lenart \cite{LenartAdvances}. 
Nous avons inclus cette propri\'et\'e dans l'\'enonc\'e du th\'eor\`eme,
en \'ecrivant des valeurs absolues dans la deuxi\`eme \'equation.}:

\begin{THEO}   \label{th:X2G}
L'inverse $\GX$ de la matrice $\XG$ de changement de base des 
polyn\^omes de Grothendieck dans la base Schubert, $\y$ \'etant 
sp\'ecialis\'e en $\mathbf{0}$,  est obtenue 
en  prenant la sym\'etrique  de $\XG$ par rapport \`a l'anti-diagonale,
et en remplaçant les entr\'ees par leur valeur absolue, 
i.e.
\begin{eqnarray}    \label{G2X}
   \Gt_\ss &=&  \sum_\nu  (-1)^{\ell(\nu\omega)} 
        (\Gt_\ss, X_{\nu\omega}^\omega)\, X_\nu \ , \\   \label{X2G}
  X_{\nu\omega} &=& \sum_\ss  
  \Big|\,  (\Gt_\ss^\omega, X_{\nu\omega})\, \Big|\,  
           \Gt_{\ss\omega}    
\end{eqnarray}  
\end{THEO}

Voici, pour $n=4$, les  matrices de changement de base $\GX$ et $\XG$. 
Chaque ligne est le d\'eveloppement d'un polyn\^ome de Grothendieck
ou de Schubert.

Par exemple, la premi\`ere matrice indique que
$$ \Gt_{2143}=  X_{2143} - X_{2341} -X_{3142} +X_{3241}  $$
et la seconde, que
$$  X_{1432} =  \Gt_{1432} +2 \Gt_{2431} +\Gt_{3412} +\Gt_{3421}  \ . $$

$$
\begin{smallmatrix}   
{1234}\  & 1& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .
& .& .& .& .& .& .& .& .& .\cr {1243}\ & .& 1& .& .& .& -1& 
.& .& .& .& .& .& .& 1& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .\cr {
1324}\ & .& .& 1& .& .& .& .& .& -1& .& .& .& .& .& .& .& .& .
& .& .& .& .& .& .\cr {2134}\ & .& .& .& 1& .& .& .& .& .& 
.& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .\cr {1423}\ & .& 
.& .& .& 1& .& .& .& .& .& .& .& -1& .& .& .& .& .& .& .& .& 
.& .& .\cr {1342}\ & .& .& .& .& .& 1& .& .& .& .& .& .& .& 
-2& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .\cr {3124}\ & .& .& .& .& .
& .& 1& .& .& :&.& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .\cr 
{2143}\ & .& .& .& .& .& .& .& 1& .& .& .& -1& .& -1& .& .& .& 
.& .& 1& .& .& .& .\cr {2314}\ & .& .& .& .& .& .& .& .& 1& 
.& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .\cr {4123}\ & .& 
.& .& .& .& .& .& .& .& 1& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 
.& .& .\cr {1432}\ & .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 1& .& .& 
.& .& .& -1& .& -2& .& .& .& 1& .\cr {3142}\ & .& .& .& .& 
.& .& .& .& .& .& .& 1& .& .& .& .& .& .& .& -1& .& .& .& .\cr 
{2413}\ & .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 1& .& .& .& -1& 
.& .& .& .& .& .& .\cr {2341}\ & .& .& .& .& .& .& .& .& .& 
.& .& .& .& 1& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .\cr {3214}\ & .& 
.& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 1& .& .& .& .& .& .& 
.& .& .\cr {4132}\ & .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 
.& .& 1& .& .& .& .& .& -1& .& .\cr {3412}\ & .& .& .& .& .
& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 1& .& .& .& .& .& .& .\cr 
{4213}\ & .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 1
& .& .& .& .& .& .\cr {2431}\ & .& .& .& .& .& .& .& .& .& 
.& .& .& .& .& .& .& .& .& 1& .& .& .& -1& .\cr {3241}\ & .
& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 1& .
& .& .& .\cr {4312}\ & .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 
.& .& .& .& .& .& .& .& 1& .& .& .\cr {4231}\ & .& .& .& .& 
.& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 1& .& .\cr 
{3421}\ & .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .
& .& .& .& .& 1& .\cr {4321}\ & .& .& .& .& .& .& .& .& .& 
.& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 1
\end{smallmatrix}
$$

$$
\begin{smallmatrix} {1234}\  & 1& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .
& .& .& .& .& .& .& .& .& .\cr {1243}\ & .& 1& .& .& .& 1& 
.& .& .& .& .& .& .& 1& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .\cr {
1324}\ & .& .& 1& .& .& .& .& .& 1& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 
.& .& .& .& .& .\cr {2134}\ & .& .& .& 1& .& .& .& .& .& .& 
.& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .\cr {1423}\ & .& .& 
.& .& 1& .& .& .& .& .& .& .& 1& .& .& .& 1& .& .& .& .& .& 
.& .\cr {1342}\ & .& .& .& .& .& 1& .& .& .& .& .& .& .& 2& 
.& .& .& .& .& .& .& .& .& .\cr {3124}\ & .& .& .& .& .& .& 
1& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .\cr {
2143}\ & .& .& .& .& .& .& .& 1& .& .& .& 1& .& 1& .& .& .& .& 
.& .& .& .& .& .\cr {2314}\ & .& .& .& .& .& .& .& .& 1& .& 
.& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .\cr {4123}\ & .& .& 
.& .& .& .& .& .& .& 1& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 
.& .\cr {1432}\ & .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 1& .& .& .& 
.& .& 1& .& 2& .& .& .& 1& .\cr {3142}\ & .& .& .& .& .& .& 
.& .& .& .& .& 1& .& .& .& .& .& .& .& 1& .& .& .& .\cr {
2413}\ & .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 1& .& .& .& 1& .& 
.& .& .& .& .& .\cr {2341}\ & .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 
.& .& .& 1& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .\cr {3214}\ & .& .& 
.& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 1& .& .& .& .& .& .& .& 
.& .\cr {4132}\ & .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 
.& 1& .& .& .& .& .& 1& .& .\cr {3412}\ & .& .& .& .& .& .& 
.& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 1& .& .& .& .& .& .& .\cr {
4213}\ & .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 1& 
.& .& .& .& .& .\cr {2431}\ & .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 
.& .& .& .& .& .& .& .& 1& .& .& .& 1& .\cr {3241}\ & .& .& 
.& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 1& .& .& 
.& .\cr {4312}\ & .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 
.& .& .& .& .& .& 1& .& .& .\cr {4231}\ & .& .& .& .& .& .& 
.& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 1& .& .\cr {
3421}\ & .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 
.& .& .& .& 1& .\cr {4321}\ & .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 
.& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& 1 
\end{smallmatrix} $$ 

On remarquera que chacune de ces deux matrices est sym\'etrique par rapport
\`a son anti-diagonale, mis \`a part l'extra terme $X_{3241}$ dans l'expression 
de $\Gt_{2143}$, et son correspondant $\Gt_{3412}$ dans l'expression de
$X_{1423}$. 

\section{\large  Schur et Grothendieck}  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Les fonctions de Schur ont une interpr\'etation g\'eometrique, 
comme repr\'e\-sen\-tant les \emph{cycles de Schubert}, i.e. les classes des
sous-vari\'et\'es de Schubert dans l'anneau de cohomologie d'une grassmannienne.
Plus simplement, ce sont les polyn\^omes de Schubert sym\'etriques.

Les classes des sous-vari\'et\'es de Schubert dans l'anneau de Grothendieck
d'une grassmannienne sont aussi des fonctions sym\'etriques. 
Bien entendu, elles peuvent s'exprimer
comme combinaison lin\'eaire de fonctions de Schur, les relations
entre ces deux bases \'etant  un cas particulier des relations donn\'ees
au paragraphe pr\'ec\'edent.

En fait, dans mon premier article publi\'e \cite{La74}, 
j'ai donn\'e une expression
d\'eterminantale de la classe du faisceau structural d'une sous-vari\'et\'e de
Schubert d'une grassmannienne, et donc, en langage  plus humain,
 calcul\'e \`a mon insu les polyn\^omes de
Grothendieck en $\A$,$\B$, sym\'etriques en $\A$ . 
Diff\'erentes expressions sont d'ailleurs possibles,
entre autres suivant que l'on choisit les variables $a_i$ ou $x_i$, ou en
modifiant le d\'eterminant par combinaison de lignes ou de colonnes. 

D\'eveloppant suivant $\B$, 
on obtient l'expression des polyn\^omes de Grothendieck
dans la base Schur. La m\^eme m\'ethode s'applique au d\'eveloppement d'un polyn\^ome 
de Grothendieck \emph{vexillaire}\footnote{qui a une expression d\'eterminantale
g\'en\'eralisant le cas sym\'etrique, les multifonctions de Schur remplaçant
les fonctions de Schur.}  dans la base des polyn\^omes de Schubert.

L'expression d'une fonction de Schur dans la base Grothendieck s'obtient aussi
par un calcul alg\'ebrique direct, ainsi que le d\'etaillent les lignes suivantes.
Comme au paragraphe pr\'ec\'edent, 
l'alphabet $\B$ est sp\'ecialis\'e en 
$\mathbf{1}=\{1,1,1,\ldots\}$, et donc $\mathbf{y}$
est sp\'ecialis\'e en $\mathbf{0}$.
Au lieu de $G_\ss$, nous \'ecrirons $G[I]$, $I$ \'etant le code de $\ss$.
Dans le reste du paragraphe, $Y_I$ d\'esigne le polyn\^ome de 
Schubert $ X_\ss(\mathbf{x},\mathbf{0})$.

Soient $n\in\N$, $\rho=[n\moins 1,\ldots,1,0]$, $\omega=[n,\ldots, 1]$,
 $\l\in\N^n$ une partition d\'ecroissante, $I$ sa retourn\'ee croissante.

Par d\'efinition, 
\begin{eqnarray}
 Y_I  &=&  x^{\lambda+\rho}\,  \d_\omega^x \ ,  \\
 G[I]       &=&  x^{\lambda+\rho}\,  \pi_\omega^a =  
 x^{\lambda+\rho} (1\moins x_2)\cdots (1\moins x_n)^{n-1} \d_\omega^x \, .
\end{eqnarray}

On peut donc \'ecrire
\bee   \label{Ypi}
 Y_I  =\frac{x^{\l+\rho}}{(1\moins x_2)\cdots (1\moins x_n)^{n-1}}\
     \pi_\omega^a
\ee
et l'on aura un d\'eveloppement de $Y_I$ en terme de polyn\^omes de Grothendieck
si l'on peut remplacer la fraction rationnelle par une somme de 
mon\^omes dominants (i.e de degr\'e faiblement d\'ecroissant en 
$x_1,x_2,\ldots$). 
 Pour cela, il faut faire appel au lemme suivant.

\begin{LEMME}
Soient $i,k\in\N$, et $f$ sym\'etrique en $x_i,x_{i+1}$. 
Alors 
\begin{equation}   \label{Lemme2}
f x^\rho \frac{x_i^k}{1\moins x_{i+1}}\, \pi_i^a =
 f x^\rho\,  (x_i^k x_{i+1}^0+\cdots +x_i^k x_{i+1}^k) \, \pi_i^a \ .      
\end{equation}
\end{LEMME}
\preuve   On \'ecrit en effet 
$$ x_i^k(1\moins x_{i+1}^{-1} =   x_i^k x_{i+1}^0+\cdots +x_i^k x_{i+1}^k) +
x_i^k x_{i+1}^{k+1} (1\moins x_{i+1})^{-1} \ . $$
Comme $\pi_i^a = (1\moins x_{i+1}) \d_i^x$ et que 
$ f x^\rho \frac{x_i^k x_{i+1}^{k+1} }{1\moins x_{i+1}}(1\moins x_{i+1})$
est sym\'etrique en $x_i,x_{i+1}$,  il est annul\'e par $\d_i^x$.  \qed

Prenant la d\'ecomposition r\'eduite $ \pi_\omega =(\pi_{n-1}\cdots \pi_1)\, 
  (\pi_{n-1}\cdots \pi_2)\cdots (\pi_{n-1})$,
on \'elimine successivement les facteurs 
$$ (1\moins x_n),\ldots, (1\moins x_2), (1\moins x_n),\ldots, (1\moins x_3),\ldots,
  (1\moins x_n)  $$
du d\'enominateur, obtenant en num\'erateur uniquement des mon\^omes dominants $x^\mu$.
Par d\'efinition, chacun de ces mon\^omes est envoy\'e sur un polyn\^ome de Grothendieck
dont l'indice est le retourn\'e de $\mu$.

L'algorithme peut se repr\'esenter planairement. 
Il a eu $n-1$ \'etapes où l'on a multlipli\'e par une puissance de $x_n$,
$n-2$ \'etapes où l'on a multlipli\'e par une puissance de $x_{n-1}$,  $\ldots$, 
$1$ \'etape où l'on a multlipli\'e par une puissance de $x_2$.
En repr\'esentant planairement par le diagramme d'une partition chaque mon\^ome,
et \'ecrivant $i_j$ pour les cases cr\'ees par la $j$-i\`eme multiplication 
par $x_i$, on obtient des remplissages de diagrammes gauches.
Les lettres $i$ sont inutiles, donnant uniquement le num\'ero de la ligne. 
Si on les efface, on obtient tr\`es exactement tous les tableaux gauches de
forme int\'erieure $I$, respectant la condition de drapeau $[0,1,\ldots, n\moins 1]$,
i.e. \`a la ligne num\'ero $i$ ne peuvent apparaître que les entiers
$1,2,\ldots, i\moins 1$. En r\'esum\'e, on a la proposition suivante, due \`a 
Lenart\footnote{qui en donne une preuve utilisant des chemins non-coupants,
preuve cependant non directe 
puisqu'elle suppose connu  le  d\'eveloppement des polyn\^omes de Grothendieck
dans la base Schur.} \cite{LenartK}.

\begin{PROP}   Pour toute partition croissante $I \in\N$, 
on a le d\'eveloppement
\begin{equation}   \label{Prop1}
Y_I =  \sum_J   c_I^J G[J]   \ ,
\end{equation}
où $c_I^J$ est le nombre de tableaux de forme $J/I$ respectant le
drapeau\break $[0,1,\ldots, n\moins 1]$. 
\end{PROP}

Par exemple,
\begin{verbatim}
ACE> X2G(Y[1,3,4]);   # input in x.i, X[] or Y[] 
G[1,3,4] + G[1,4,4] + 2 G[2,3,4] + 2 G[2,4,4] + 3 G[3,3,4] 
                               + 3 G[3,4,4] + 3 G[4,4,4]
\end{verbatim}
ce qui est donn\'e par l'\'enum\'eration

$
\smallyoung{
  \cr
 & &  \cr
 & & & \cr
}
+\smallyoung{
 & 1  \cr
 & &  \cr
 & & & \cr
}
+\smallyoung{
 & 2  \cr
 & &  \cr
 & & & \cr
}
+\smallyoung{
 & 1 & 1  \cr
 & &  \cr
 & & & \cr
}
+\smallyoung{
 & 1 & 2  \cr
 & &  \cr
 & & & \cr
}
+\smallyoung{
 & 2 & 2  \cr
 & &  \cr
 & & & \cr
}    \\
+\smallyoung{
  \cr
 & & & 1 \cr
 & & & \cr
}
+\smallyoung{
 & 1  \cr
 & & & 1 \cr
 & & & \cr
}
+\smallyoung{
 & 2  \cr
 & & & 1 \cr
 & & & \cr
}
+\smallyoung{
 & 1 & 1  \cr
 & & & 1 \cr
 & & & \cr
}
+\smallyoung{
 & 1 & 2  \cr
 & & & 1 \cr
 & & & \cr
}
+\smallyoung{
 & 2 & 2  \cr
 & & & 1 \cr
 & & & \cr
}  \\
+\smallyoung{
 & 1 & 1 & 2 \cr
 & & & 1 \cr
 & & & \cr
}
+\smallyoung{
 & 1 & 2 & 2 \cr
 & & & 1 \cr
 & & & \cr
}
+\smallyoung{
 & 2 & 2 & 2 \cr
 & & & 1 \cr
 & & & \cr
}
$\  .\\[5pt]
Cette somme de tableaux gauches est produite par le calcul alg\'ebrique
suivant, en \'ecrivant \`a chaque \'etape 
un $\pi_i^a \pi_2 \pi_{321}^a$ au lieu de $\pi_{321}^a$ pour montrer
quel couple de variables est choisi pour appliquer (\ref{Lemme2}).
%  Schur2G:=proc(pa,n)  local i,k,mu; k:=pa[1];
%  [seq(op(ListFlagSkewTab(mu,pa,[$0..n-1])), mu=ListPartIn([k$n],pa))] end:
% aa:=Schur2G([4,3,1],3): for tab in aa do TexDownTab(tab) od:
\begin{multline*}
 Y_{134}= x^{431+210}\, \d_{321}^x = 
    \frac{x^{431+210}}{(1-x_2)(1-x_3)^2} \, \pi_{321}^a\\
 \frac{x^{431+210}}{(1-x_2)(1-x_3)^2} \, \pi_2^a \pi_{321}^a=
\frac{x^{431} + x^{432}+x^{433}  }{(1-x_2)(1-x_3)} \, x^{210}\, 
\pi_1^a \pi_{321}^a \\
= \frac{ (x^{431} + x^{441})+( x^{432}+  x^{442}) +
(x^{433} +x^{443}) }{(1-x_3)} \, x^{210}\, \pi_2^a \pi_{321}^a \\
 = \Biggl((x^{431} +x^{432}+x^{433})
      + (x^{441}+x^{442}+x^{443}+x^{444}) \\
              + (x^{432}+x^{433})
   +  (x^{442}+ x^{443}+x^{444})  \\
     + (x^{433} )
        + (x^{443}+x^{444})\Biggr)\, x^{210}\, \pi_{321}^a \, ,
\end{multline*}
 où nous avons figur\'e des parenth\`eses pour marquer les \'etapes.

On trouvera dans Buch \cite{Buch} une \'etude plus approfondie du
cas des polyn\^omes de Grothendieck grassmanniens.

\newpage
\frise
 \centerline{\Large \bf
 II\, .  \quad Rel\`evements non commutatifs}
\vspace{8mm}    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frise


\section{\large D\'ecomposition des diagrammes et non-commutativit\'e}

Couper un alphabet en deux : $\A\to \A' \cup \A''$ fait partie des 
op\'erations de base sur les fonctions sym\'etriques.
C'est le \emph{coproduit} de $\Sym$ consid\'er\'ee comme alg\`ebre de Hopf
\cite{Geissinger}.
On peut l'interpr\'eter aussi comme doubler les lettres: 
$a\to a',a''$, ou bien les munir d'un spin. 

Etant donn\'e un diagramme de bo\^{\i}tes dans le plan, on peut 
similairement le d\'ecomposer en deux diagrammes compl\'ementaires,
en d\'ecidant d'attribuer chaque bo\^{\i}te \`a l'un ou l'autre,
de toute les mani\`eres possibles.

\def\bs{\blacksquare}
Par exemple,
\begin{multline*}
  \begin{smallmatrix} &\square \\ \square & &\square\\  &\square
  \end{smallmatrix}  
\quad \text{devient}\quad
\left(\begin{smallmatrix} &\square \\ \square & &\square\\  &\square
  \end{smallmatrix},\,  
\begin{smallmatrix} &\cdot \\ \cdot & &\cdot\\  &\cdot
  \end{smallmatrix}  \right) +
\left(\begin{smallmatrix} &\cdot \\ \square & &\square\\  &\square
  \end{smallmatrix},\,
\begin{smallmatrix} &\bs \\ \cdot & &\cdot\\  &\cdot
  \end{smallmatrix}  \right)
+\left(\begin{smallmatrix} &\square \\ \cdot & &\square\\  &\square
  \end{smallmatrix},\,
\begin{smallmatrix} &\cdot \\ \bs & &\cdot\\  &\cdot
  \end{smallmatrix}  \right)  \\
+ \cdots +
\left(\begin{smallmatrix} &\cdot \\ \cdot & &\square\\  &\cdot
  \end{smallmatrix},\,
\begin{smallmatrix} &\bs \\ \bs & &\cdot\\  &\bs
  \end{smallmatrix}  \right)
+\left(\begin{smallmatrix} &\cdot \\ \cdot & &\cdot\\  &\square
  \end{smallmatrix},\,
\begin{smallmatrix} &\bs \\ \bs & &\bs\\  &\cdot
  \end{smallmatrix}  \right)
+\left(\begin{smallmatrix} &\cdot \\ \cdot & &\cdot\\  &\cdot
  \end{smallmatrix},\,
\begin{smallmatrix} &\bs \\ \bs & &\bs\\  &\bs
  \end{smallmatrix}  \right)\, ,
\end{multline*}
en \'ecrivant une somme au lieu d'une \'enum\'eration de $2^4$ termes.

Introduisant des r\`egles de lecture de chacun des diagrammes, 
on obtient, \`a partir d'un diagramme, une somme de paire d'objets
qui peuvent \^etre, selon le probl\`eme consid\'er\'e, des
mon\^omes, des mots, des tableaux, des d\'ecom\-po\-si\-tions r\'eduites, 
\&c. Nous donnerons quatre des combinaisons possibles.

La version finie de la formule de Cauchy, dans le cas commutatif,
s'interpr\`ete comme la d\'ecomposition d'une fonction de 
Schur rectangle en $\A\moins \B$ en une somme de produits de
fonctions de Schur en $\A$ et $\B$ d'indice compl\'e\-men\-taire.
On aura ainsi, pour exprimer $S_{222}(\A\moins \B)$ en terme de $\A$
et $\B$, la d\'ecomposition symbolique 
\def\sq{\square}
\def\bs{\blacksquare}
\begin{multline*}
\begin{smallmatrix}  \heartsuit &\heartsuit \\ \heartsuit &\heartsuit \\
  \heartsuit &\heartsuit \end{smallmatrix} =
 \begin{smallmatrix} \sq &\sq\\ \sq &\sq\\ \sq &\sq   \end{smallmatrix}
- \begin{smallmatrix} \sq \\ \sq &\sq\\ \sq &\sq   \end{smallmatrix}
   \begin{smallmatrix} \\ \bs \end{smallmatrix}
+ \begin{smallmatrix} \sq \\ \sq \\ \sq &\sq   \end{smallmatrix}
   \begin{smallmatrix} \\ \bs&\bs \end{smallmatrix}
+ \begin{smallmatrix}  \\ \sq &\sq \\ \sq &\sq   \end{smallmatrix}
   \begin{smallmatrix} \bs \\\bs \end{smallmatrix}
 - \begin{smallmatrix} \sq \\ \sq \\ \sq   \end{smallmatrix}
   \begin{smallmatrix} \\ \bs&\bs&\bs \end{smallmatrix}   \\
  - \begin{smallmatrix}  \\ \sq  \\ \sq &\sq   \end{smallmatrix}
   \begin{smallmatrix} \bs \\\bs &\bs \end{smallmatrix}
+ \begin{smallmatrix}  \\   \\ \sq &\sq   \end{smallmatrix}
   \begin{smallmatrix} \bs &\bs \\\bs &\bs \end{smallmatrix}
 + \begin{smallmatrix}  \\ \sq  \\ \sq    \end{smallmatrix}
   \begin{smallmatrix} \bs \\\bs &\bs &\bs \end{smallmatrix}
- \begin{smallmatrix}  \\   \\ \sq    \end{smallmatrix}
   \begin{smallmatrix} \bs &\bs \\\bs &\bs &\bs \end{smallmatrix}
+ \begin{smallmatrix} \bs &\bs & \bs \\\bs &\bs &\bs \end{smallmatrix}\, .
\end{multline*}

Dans le cas non-commutatif, il n'est pas suffisant de savoir d\'ecomposer
le diagramme d'une partition en deux diagrammes de partitions.
Ainsi, dans le cas de deux alphabets 
$\A=\{a_1,a_2,a_3\}$, $\B=\{b_1,b_2\}$,
on \'enumerera, au lieu de partitions,
des paires du type
  $$   \begin{smallmatrix} \cdot &\sq \\ \sq & \cdot\\ \cdot &\sq 
      \end{smallmatrix}  \ ,\ 
   \begin{smallmatrix}  \bs & \cdot \\ \cdot &\bs\\ \bs & \cdot
  \end{smallmatrix}  $$
qu'on lira, suivant des r\`egles qui seront pr\'ecis\'ees par la suite,
comme le produit des mots $a_2 a_3 a_1$ et $b_1 b_2 b_1$. 

De fait la th\'eorie des fonctions sym\'etriques et sa version plaxique
reposent essentiellement sur la formule de Cauchy, en un mot,
sur la d\'e\-composition d'un rectangle.
Dans les paragraphes suivants, nous montrons que similairement,
la th\'eorie des 
polyn\^omes de Schubert et Grothendieck met en oeuvre  
la d\'ecomposition d'un diagramme \emph{escalier}, et qu'introduire
deux dimensions dans le calcul alg\'ebrique permet d'acc\'eder
facilement a la non-commutativit\'e.


\section{\large Module de Schubert}

L'alg\`ebre plaxique sur un alphabet totalement ordonn\'e $\A$,
que l'on supposera infini,
est le quotient de l'alg\`ebre libre par les relations
plaxiques dues \`a Knuth \cite{Knuth}~: 
\begin{eqnarray}
cab \equiv acb \qquad (a\leq b<c) \label{eq:Plac1a}\, , \\
bac \equiv bca \qquad  (a <b\leq c) \label{eq:Plac1b}\, .
\end{eqnarray}
que l'on peut \'ecrire planairement~:
\begin{eqnarray*}
\young{  c\cr a & b \cr} \quad \equiv \quad \young{a & c\cr \blk & b \cr }
\qquad \qquad (a\leq b<c) \\
\young{  b\cr a & c \cr} \quad \equiv\quad  \young{b & c\cr \blk & a \cr}
\qquad \qquad (a <b\leq c)
\end{eqnarray*}

D\'efinissant la fonction de Schur plaxique $S_\l$ comme la somme de
tous les tableaux de forme la partition $\l$, on observe que 
le produit de deux fonctions de Schur est une somme de 
fonctions de Schur \cite{Napoli, LLT, FominGreene}, 
et donc que $\Sym(\A)$ peut \^etre consid\'er\'ee
comme une  sous-alg\`ebre commutative de $\Plax(\A)$\footnote{
C'est cette propri\'et\'e, et plus particuli\`erement,
une formule de Pieri non-commutative, qui m'a amen\'e \`a rencontrer 
M.P. Sch\"utzenberger en 1974, et \`a collaborer avec lui \`a partir
de cette date. Fomin et Greene \cite{FominGreene} montrent que l'on peut  
affaiblir les relations plaxiques, et que l'on n'a en fait besoin  
que d'une formule de Pieri pour le produit $\L^1\L^2$.}. 

Par produit tensoriel on a donc un plongement du
\emph{module de Schubert}\footnote{
C'est-\`a-dire, le module engendr\'e par les produits finis de
fonctions sym\'etriques en $\ldots, \A_3,\A_2,\A_1$,
en respectant l'ordre des alphabets 
$\A_n:=\{a_1,\ldots,a_n\}$.} 
$$ \Schub := \cdots \otimes
              \Sym(\A_3) \otimes \Sym(\A_2) \otimes \Sym(\A_1) $$
dans $\Plax(\A)$. 

Les fonctions \'el\'ementaires, qui sont des fonctions de Schur 
particuli\`eres, se rel\`event,
dans l'alg\`ebre libre ou dans $\Plax$,
 en sommes de mots strictement d\'ecroissants
de degr\'e donn\'e, que nous continuerons \`a noter $\L^k$.

Par produit, on d\'efinit dans l'alg\`ebre libre (et par projection
dans l'alg\`ebre plaxique) les produits ordonn\'es de fonction
\'el\'ementaires par
\begin{multline}  \label{Pf}
 \Pf_I(\A):= \L^{i_1}(\A_{n-1})\, 
 \L^{i_2}(\A_{n-2}) \cdots \L^{i_n}(\A_0)  \ ,\\
     n\in\N,\ I=[i_1,\ldots,i_n] \leq [n\moins1,\ldots,0]  \ ,    
\end{multline}
(identifiant donc $\Pf_I$ et $\Pf_{0\ldots 0\, I}$),
et les produits de fonctions compl\`etes
\begin{equation}   \label{Sf}  
\Sf^J= S^{j_n}(\A_n)\cdots S^{j_{1}}(\A_1) \, , \ 
  n\in\N, J=[j_1,\ldots,j_n]\in \N^n \ ,
\end{equation}
(identifiant $\Sf^J$ et $\Sf^{J0\ldots0}$).


Comme les  $P_I(\A)$ (resp. les images commutatives des $\Sf^J$) 
constituent une base vectorielle de 
$\Pol(\A)$, on obtient donc un plongement de $\Pol(\A)$
dans $\Plax(\A)$ en envoyant chaque $P_I(\A)$ sur $\Pf_I(\A)$. 
On v\'erifie que c'est le m\^eme plongement que celui
fourni par l'identification des produits de fonctions
compl\`etes.

Par exemple,
$$ a_2^2= P_{1100}-P_{2000}-P_{110}  $$
a pour image  dans l'alg\`ebre libre ou l'alg\`ebre plaxique 
$$  (a_1\plus a_2\plus a_3)(a_1\plus a_2) - 
  (a_2a_1\plus a_3a_1\plus a_3a_2) -(a_1\plus a_2)a_1 =
  a_2a_2 +a_1a_2 -a_2a_1 \ .$$ 
On a aussi que 
$a_2^2 = S^2(\A_2) -S^1(\A_2) S^1(\A_1)$, et donc,
utilisant  la base $\Sf(\A)$:
$$ \Sf^{02}(\A) -\Sf^{11}(\A) =
  a_1a_1\!\plus a_1a_2\!\plus a_2a_2
          - (a_1\!\plus a_2)a_1 = a_2a_2 +a_1a_2 -a_2a_1 \ ,$$
ce qui est bien le m\^eme rel\`evement de $a_2^2$.

On peut r\'eduire tout \'el\'ement de $\Schub$ 
\`a une combinaison lin\'eaire de $\Pf_I(\A)$, ou de 
$\Sf^J(\A)$,   
en utilisant r\'ecursivement 
les identit\'es\footnote{Plus g\'en\'eralement, on peut transformer
l'expression d\'eterminantale d'une fonction de Schur en 
les fonctions compl\`etes ou \'el\'ementaires d'un alphabet
en un d\'eterminant o\`u les alphabets sont diff\'erents 
dans chaque ligne, cf.\ \cite{CBMS}.} 
$$  \L^i(\A_n)\L^j(\A_n)-\L^{j+1}(\A_n)\L^{i-1}(\A_n)  =
\L^i(\A_{n+1})\L^j(\A_n)-\L^{j+1}(\A_{n+1})\L^{i-1}(\A_n)  $$
et
$$ S^j(\A_n) S^i(\A_n)-S^{i-1}(\A_n)S^{j+1}(\A_n) =
        S^j(\A_n) S^i(\A_{n-1})-S^{i-1}(\A_n)S^{j+1}(\A_{n-1}) \ .$$

Cette remarque implique que le module de Schubert a pour bases lin\'eaires
 $\{\Pf_I(\A) :\, I\leq [\ldots,2,1,0] \}$ et 
$\{ \Sf^J(\A) \}$, et est isomorphe \`a $\Pol(\A)$.  
  
Si l'on a perdu en grande partie la structure multiplicative de
$\Pol(\A)$, on a par contre pr\'eserv\'e les op\'erateurs associ\'es
au groupe sym\'etrique.  Les diff\'erences divis\'ees seront 
examin\'ees dans un autre texte avec Lin Hui et Boliya Yang \cite{LinYang},
nous nous contentons ici des diff\'erences divis\'ees isobares.

On d\'efinit  r\'ecursivement l'action\footnote{En fait, sur 
l'alg\`ebre libre, de mani\`ere compatible avec la projection sur
$\Plax$ \cite{LSKeys}.}
  sur $\Plax$  de $\pi_i$, $i\in \N$,
 par~:
\begin{eqnarray}   \a\geq \b\, ,\quad
  a_i^\a a_{i+1}^\b\, \pi_i 
     &=& a_i^\a a_{i+1}^\b + a_i^{\a-1} a_{i+1}^{\b+1} +
                          \cdots + a_i^\b a_{i+1}^\a \\
\bigl(a_i^\a a_{i+1}^\b + a_i^\b a_{i+1}^\a   \bigr)\, \pi_i 
  &=& a_i^\a a_{i+1}^\b + a_i^\b a_{i+1}^\a 
\end{eqnarray}
en imposant la compatibilit\'e suivante, pour tout $n,k$ et tout mot $u$
dont la restriction aux lettres $a_i,a_{i+1}$ est plaxiquement 
\'egal \`a une puissance de $a_{i+1}a_i$~:
\begin{multline}
  c_1\cdots c_n\, \pi_i = \sum  d_1\cdots d_n 
  \ ,\ c_i,d_j\in \A,  \quad  \text{implique}\\  
   (c_1\cdots c_k) \, u\, (c_{k+1}\cdots c_n)\, \pi_i =  
   \sum (d_1\cdots d_k) \, u\, (d_{k+1}\cdots d_n) \ .
\end{multline}

On v\'erifie ensuite que l'image d'un $\Sf_J(\A)$ appartient encore
\`a $\Schub$.  Les diff\'erences divis\'ees isobares\footnote{Mais elles ne
v\'erifient pas les relations de tresse, il n'y a donc pas de 
mani\`ere \'evidente de relever un $\pi_\sigma$ en un op\'erateur 
sur $\Schub$ si $\sigma$ n'est pas une transposition simple.
Cependant, l'image d'un \'el\'ement ``dominant'' 
$\cdots a_3^{\l_3} a_2^{\l_2} a_1^{\l_1}$, avec $\l_1\geq\l_2\geq \cdots$,
 par un produit r\'eduit  $\pi_i\cdots \pi_j$ ne d\'epend pas 
de ce produit, mais seulement de la permutation $s_i\cdots s_j$
(cf.\ \cite{LSKeys}). A condition de ne prendre comme
points de d\'epart que des \'el\'ements dominants, 
on obtient ainsi facilement un rel\`evement plaxique de 
calculs commutatifs. 
On a en fait \cite{LLT,LaDoubleCrystal,Kashiwara},
 une structure de
\emph{graphe cristallin} sur l'ensemble des mots d'un  degr\'e donn\'e,
avec des op\'erateurs $e_i,f_i$ en terme desquels on peut exprimer les
$\pi_i$ non commutatifs et leurs produits.}
$\pi_i$ et $\bp_i$ pr\'eservent donc le module de Schubert.


Cette pr\'eservation fournit donc deux autres bases de $\Schub$,
qui rel\`event les polyn\^omes clefs \cite{LSKeys}.

\begin{DEF}
Pour toute partition d\'ecroissante $\l$,
\bee   \Kf_\l(\A) = \Khf_\l(\A)   
       =  \cdots a_3^{\l_3} a_2^{\l_2} a_1^{\l_1} \ ,
\ee
et pour tout $v$, tout $i$ tel que $v_i>v_{i+1}$, alors
\bee   \Kf_{vs_i}(\A) = \Kf_v(\A)\, \pi_i^a  \qquad \& \qquad
   \Khf_{vs_i}(\A) = \Khf_v(\A)\, \bp_i^a   \ .
\ee
\end{DEF}

Reiner et Shimozono d\'efinissent les $\Kf_v(\A)$ par \'enum\'eration de mots
major\'es par les \'el\'ements d'une classe plaxique ou nilplaxique idoine
\cite{ReinerShimozonoKey}.

Bien entendu, c'est la base Schubert ou Grothendieck qui est la
plus fondamentale. En utilisant la d\'ecomposition dans la base
$P_I(\A)$, on peut \'ecrire le repr\'esentant $\Xf_\sigma(\A)$ 
dans $\Schub$ d'un polyn\^ome de 
Schubert $X_\sigma(\A,\, \mathbf{0})$. 
Nous avions, M.P. Sch\"utzenberger et moi,
pens\'e \`a  cette d\'efinition 
d\`es la premi\`ere note sur les polyn\^omes de Schubert, 
mais elle ne nous avait pas sembl\'e devoir \^etre gard\'ee,
faisant appara\^{\i}tre des signes n\'egatifs. Cela nous a amen\'e
\`a utiliser plut\^ot les $\Kf_v(\A)$, mais alors 
cela pose le probl\`eme de d\'ecrire 
l'ensemble des d\'ecompositions
r\'eduites d'une permutation, pour inteerpr\'eter 
les coefficients $c_\sigma^v$. 

\begin{DEF}
Soit  $\sigma \in \mfS_n$ une permutation.
Soit $X_\sigma(\A,\, \mathbf{0})= \sum_v c_\sigma^v K_v(\A)$ 
la d\'ecomposition du polyn\^ome de Schubert d'indice $\sigma$
dans la base des polyn\^omes clefs. 
Alors le polyn\^ome de Schubert plaxique $\Xf_\sigma(\A)$
est \'egal \`a 
\begin{equation}
\Xf_\sigma(\A) = \sum_v c_\sigma^v \Kf_v(\A)  \ .
\end{equation}

\end{DEF}

Nous donnons dans la section suivante une d\'efinition plus
directe.  

Le reste de ce texte se borne \`a utiliser diff\'erents
noyaux de Cauchy, les seules op\'erations requises
\'etant de d\'evelopper des produits 
 dans les alg\`ebres plaxique ou nilplaxique.  

On prendra garde que mis \`a part le premier et troisi\`eme cas, 
le noyau ne se d\'eveloppe pas comme un produit dans les alg\`ebres
indiqu\'ees. Il faut d'abord \'enum\'erer toutes les 
d\'ecompositions d'un certain diagramme avant d'effectuer des
calculs alg\'ebriques.

Les calculs commutatifs li\'es aux polyn\^omes Schubert ou Grothendieck
utilisent fr\'equemment le fait que l'anneau des polyn\^omes 
en $n$ variables soit un module libre sur l'anneau des 
polyn\^omes sym\'etriques. L'image de tout $\Sym(\A_n)$ dans $\Plax(\A)$ est
encore un anneau, mais par contre le module de Schubert n'est pas 
un module sur les fonctions sym\'etriques. D\'ej\`a pour $n=2$,
l'on voit que $\Sym(\A_2)\otimes \Sym(\A_1)$ a un plongement diff\'erent
de $\Sym(\A_1)\otimes \Sym(\A_2)$ dans $\Plax(\A)$.
On donnera dans un autre texte des formules de Pieri relatives
au module de Schubert, qui prennent en compte ce qui reste 
de la multiplication.  

\section{$\Pol(\mathbf{y}) \otimes \Plax(\A)$ }     %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\'Etendons les coefficients de $\Plax(\A)$ aux polyn\^omes en des 
variables commutatives $y_i$ commutant avec les lettres de $\A$.

On d\'efinit, dans cet espace, un noyau de Cauchy~:
$$  \cK( \mathbf{y},\A) :=  \begin{matrix} (y_1+a_{n-1})  \\
                  (y_1+a_{n-2})  & (y_2+a_{n-2})\\
                   \vdots      &    \vdots    \\
                   (y_1+a_1)  & (y_2+a_1)   & \cdots & (y_{n-1}+a_1)
\end{matrix}  $$
en lisant par colonnes, de gauche \`a droite.

\begin{THEO}
 Le noyau $\cK( \mathbf{y},\A)$ se d\'ecompose en une somme de produits de
polyn\^omes de Schubert:
\bee  
  \cK( \mathbf{y},\A) = \sum_{\ss\in\mfS_n}  X_\ss(\mathbf{y},\mathbf{0} )
    \Xf_{\ss\omega}(\A)  \ .
\ee
\end{THEO}
 
\preuve  Chaque colonne du noyau  s'\'ecrit, dans $\Plax(\A)$, comme une somme
  $$ \sum_i y_j^i\, \L^i(\A_j) \ .$$
Le noyau appartient donc \`a $\Pol(\mathbf{y})\otimes \Schub(\A)$. 
Le coefficient d'un polyn\^ome de Schubert en $\mathbf{y}$ est par l\`a
m\^eme  
l'\'el\'ement de $\Schub(\A)$ qui rel\`eve le coefficient du
m\^eme polyn\^ome dans le cas commutatif.    C'est donc  
un polyn\^ome de Schubert plaxique. \qed 

Par exemple,
pour  $n=4$, le coefficient de 
$X_{2341}(\mathbf{y},\mathbf{0})= y_1y_2y_3$
est
\def\bs{\blacksquare}
\begin{multline*}
 \Xf_{1432}=  
  \begin{smallmatrix}  a_3\\ a_2 & a_2 \\ \bs &\bs &\bs 
  \end{smallmatrix} +
  \begin{smallmatrix}  a_3\\ \bs & a_2 \\ a_1 &\bs & \bs 
  \end{smallmatrix} +
  \begin{smallmatrix}  a_3\\ \bs & \bs \\ a_1 & a_1 &\bs
  \end{smallmatrix} +
   \begin{smallmatrix}  \bs\\ a_2 & a_2 \\a_1 & \bs &\bs
  \end{smallmatrix} +
  \begin{smallmatrix}  \bs\\ a_2 &\bs \\ a_1 &a_1 &\bs
  \end{smallmatrix} 
   \\
\equiv  \smallyoung{ 3\cr 2&2\cr} +
   \smallyoung{ 3\cr 1&2\cr}+ \smallyoung{ 3\cr 1&1\cr} +
 \smallyoung{ 2\cr 1&2\cr} +  \smallyoung{ 2\cr 1&1\cr}  \ .
\end{multline*}
(on \'ecrit $1,2,\ldots$ dans les tableaux, au lieu de $a_1,a_2,\ldots$).

Pour obtenir un $\Xf_\sigma(\A)$, il suffit donc de savoir 
d\'ecomposer un polyn\^ome (commutatif)
en $\mathbf{y}$ dans la base Schubert, c'est-\`a-dire, on n'a besoin
que d'alg\`ebre lin\'eaire.

\begin{verbatim}
# on utilise les variables x.i au lieu de y.i
NoyauPolPlax:=proc(n)  local res,i,j;
 res:=w[];
  for i from 1 to n-1 do
    for j from 0 to n-i-1 do
     lprint( cat(x,i)*w[] + w[n-i-j]);
     res:=FreeConcat(res, cat(x,i)*w[] +  w[n-i-j])
    od;
  od;
 res
end:
ACE> coeff(ToX(expand(NoyauPolPlax(4))),X[2,3,4,1]);
          # exemple precedent = coeff de y1*y2*y3= X[2,3,4,1]
    w[2,1,2]+w[3,2,2]+w[3,1,1]+w[2,1,1]+w[3,1,2]
\end{verbatim}



\section{$\Plax(\B) \otimes \Plax(\A)$ }   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Consid\'erons le noyau 
$$  \cK( \B,\A) :=  \begin{matrix} (b_1+a_{n-1})  \\
                  (b_1+a_{n-2})  & (b_2+a_{n-2})\\
                   \vdots      &    \vdots    \\
                   (b_1+a_1)  & (b_2+a_1)   & \cdots & (b_{n-1}+a_1)
\end{matrix}  $$

Pour d\'evelopper ce noyau, il faut cette fois-ci \'enum\'erer
toutes les d\'e\-com\-po\-si\-tions du diagramme escalier en deux diagrammes
compl\'ementaires. On lira, comme ci-dessus, un mot en $\A$ pour
le premier diagramme (une bo\^{\i}te \`a hauteur $i$ se lit $a_i$, 
mais par sym\'etrie, il faut lire le deuxi\`eme
diagramme par lignes (de droite \`a gauche), les lignes de bas en haut,
pour obtenir un mot en $\B$ (une bo\^{\i}te en colonne $j$ se lit
$b_j$). 

Par exemple,  la d\'ecomposition 
\begin{equation}   \label{DeuxTriangles}
 \begin{smallmatrix} \cdot \\ \sq &\sq \\  \cdot & \sq &\cdot \\
  \sq &\cdot &\sq &\cdot  
   \end{smallmatrix} \quad , \quad  
 \begin{smallmatrix} \bs \\ \cdot &\cdot \\  \bs & \cdot &\bs \\
  \cdot &\bs &\cdot &\bs
   \end{smallmatrix}
\end{equation}
se lit  (en gardant trace des colonnes par des parenth\`eses)
$$ \begin{smallmatrix} \cdot \\ a_3 & a_3 \\  \cdot & a_2 &\cdot \\
  a1 &\cdot &a_1 &\cdot
   \end{smallmatrix} \quad  = (a_3 a_1)\, (a_3a_2) \, (a_1)\, (\,) 
\quad ;\quad 
 \begin{smallmatrix} b_1 \\ \cdot &\cdot \\  b_1 & \cdot & b_3 \\
  \cdot &b_2 &\cdot &b_4
   \end{smallmatrix}\quad  =  (b_4b_2)\, (b_3b_1)\, (\, )\, (b_1) \ .
 $$

Le mot de degr\'e maximal en $\A$ ou $\B$ est 
$$ (a_{n-1}\cdots a_1) (a_{n-2}\cdots a_1)\cdots (a_1)   \ \text{ou}\
   (b_{n-1}\cdots b_1) (b_{n-2}\cdots b_1)\cdots (b_1)   \ , $$
et les diff\'erents mots obtenus en sont des sous-mots.


En d\'ecomposant plus g\'en\'eralement le diagramme d'une partition
(au lieu seulement de l'escalier), nous montrerons dans un autre texte
que le noyau $\cK( \B,\A)$ appartient \`a l'espace 
$$\Schub(\A) \otimes \Schub(\B) \, , $$
les lettres de $\A$ commutant avec les lettres de $\B$.

Le corollaire de cette assertion est que la somme des produits de
mots obtenue par d\'eveloppement du noyau  $\cK( \B,\A)$ 
est \'egale \`a~:
$$ \sum_{\ss\in\mfS_n}  \Xf_\ss(\B) \Xf_{\ss\omega}(\A)  $$
dans $\Plax(\B) \times \Plax(\A)$. 

On trouvera par exemple, en \'enum\'erant
$$ \begin{smallmatrix} \fbox{$a_3$}\\ \fbox{$a_2$} & b_2\\
 b_1 & b_2 & b_3 \end{smallmatrix}\, ,\ 
\begin{smallmatrix} \fbox{$a_3$}\\ b_1 &\fbox{$a_2$} \\
 b_1 & b_2 & b_3 \end{smallmatrix}\, ,\
\begin{smallmatrix} \fbox{$a_3$}\\ b_1 & b_2\\
 \fbox{$a_1$}& b_2 & b_3 \end{smallmatrix}\, ,\
\begin{smallmatrix} \fbox{$a_3$}\\ b_1 & b_2\\
b_1 & \fbox{$a_1$}& b_3 \end{smallmatrix}\, ,\ 
\begin{smallmatrix} b_1\\ \fbox{$a_2$} & b_2\\
 \fbox{$a_1$}& b_2 & b_3 \end{smallmatrix}\, ,\
\begin{smallmatrix} b_1\\ \fbox{$a_2$} & b_2\\
 b_1 & \fbox{$a_1$} & b_3 \end{smallmatrix}\, , 
  $$
 le terme 
$$ 
\left( \young{a_3\cr a_2\cr} +\young{a_3\cr a_1\cr} +
    \young{a_2\cr a_1\cr}\right)\, 
\left( \young{b_3\cr b_2\cr b_1 &b_2\cr} +
         \young{b_3\cr b_2\cr b_1 &b_1\cr}\right)\ ,$$
qui est bien \'egal \`a 
 $\Xf_{2431}(\B)\, \Xf_{1342}(\A)$. 

\section{$\Pol(\mathbf{x}) \otimes \NPl(\cV)$}

Soient $v_1,v_2,\ldots, v_{n-1}$ v\'erifiant les relations 
nilplaxiques \cite{LS82a, EG}~:
\begin{eqnarray}                          \label{eq:Nil1a}
v_i^2 =0 & , & v_iv_{i+1}v_i = v_{i+1}v_iv_{i+1} \\
                                          \label{eq:Nil1b}
v_j v_i v_k =  v_j v_k v_i & , & v_i v_k v_j = v_k v_i v_j
                    \quad (i<j<k)
\end{eqnarray}

D\'efinissons, dans l'alg\`ebre nilplaxique engendr\'ee par 
les $v_i$, \`a coefficients
en les variables commutatives $\mathbf{x}$, le noyau nilplaxique
$$  \cK(\mathbf{x},\cV) :=  \begin{matrix} ( 1+x_1 v_{n-1})  \\
                  ( 1+x_1 v _{n-2})  & (1+ x_2v_{n-1})\\
                   \vdots      &    \vdots    \\
                   (1+x_1v_1)  & (1+x_2v_2)   & \cdots & (1+x_{n-1}v_{n-1})
\end{matrix}  $$

On d\'eveloppe, l\`a encore, par colonnes successives de gauche \`a droite.
Chaque produit\footnote{s'il est non nul, 
c'est-\`a-dire, s'il est r\'eduit en tant 
que produit de transpositions simples.}  
 de colonnes donne un tableau dans $\NPl(\cV)$. 
La forme de ce tableau est obtenue par 
une suite d'adjonctions de \emph{bandes verticales}\footnote{
vertical strip} , 
que l'on remplit par les lettres $x_1,x_2,\ldots$ pour distinguer ces bandes.
On obtient ainsi une paire de tableaux, un tableau nilplaxique et un tableau
en $x_1,x_2,\ldots$ de forme transpos\'ee.   Le  noyau peut donc en fait \^etre
consid\'er\'e comme un \'el\'ement de $\Plax \otimes \NPl$ plut\^ot que 
$\Pol \otimes \NPl$.    

On aurait pu transposer le noyau pour avoir, comme dans la construction de 
Schensted, l'adjonction de bandes horizontales que l'on peut remplir 
avec $x_1,x_2,\ldots$, ou bien des lettres toutes diff\'erentes, 
en distinguant de gauche \`a droite les diff\'erentes occurences 
de $x_1,x_2,\ldots$~:
$$ x_i \longrightarrow   x_i^{(1)},\, x_i^{(2)},\, x_i^{(3)}, \ldots   $$
La construction de Schensted peut se r\'einterpr\'eter en consid\'erant des mots
en bilettres commutatives, ou des matrices d'entiers \cite{Knuth}: 
les deux tableaux de
Schensted jouent alors un r\^ole sym\'etrique et sont \'echang\'es en variant 
 l'ordre lexicographique sur les bilettres. 
Cette construction n'est pas directement
applicable au cas nilplaxique, car les relations nilplaxiques ne sont pas
des relations de commutation\footnote{Il existe en fait une op\'eration de 
\emph{plaxification} \cite{ReinerShimozonoPlactification},
 mais elle exige justement de transformer les mots.}.

L'\'evaluation du noyau dans l'alg\`ebre NilCoxeter fait appara\^{\i}tre
comme coefficients les polyn\^omes de Schubert en $\mathbf{x}$
(cf.\ \cite{BilleyJockushStanley, FominStanley, FK}), 
et r\'esulte des formules de r\'ecurrence donn\'ees dans la note
\cite{LS82Hopf} (pour plus de d\'etails, cf.\ \cite[ch. 10]{CBMS}).

L'\'evaluation dans l'alg\`ebre nilplaxique est plus d\'elicate,
et r\'esulte de la consid\'eration de vice-tableaux \cite{LaDoubleCrystal},
mais on peut aussi l'obtenir \`a partir de la description 
des polyn\^omes clefs par Reiner et Shimozono \cite{ReinerShimozonoKey}.

 
L'assertion (25) de \cite{LaDoubleCrystal} est que
le noyau $\cK(\mathbf{x},\cV)$ d\'ecompose en une somme de tableaux en
$\mathcal{V}$,  les coefficients \'etant des polyn\^omes-clefs 
en $\mathbf{x}$ (une description
plus pr\'ecise exige des constructions concernant les tableaux et
les d\'ecompositions r\'eduites dont nous n'avons pas besoin dans ce
texte). 

Pour compenser ce manque, voici ce que donne ACE~:

\begin{verbatim}
ACE> NoyauPolNiplax(4):
ACE> map(x2K,%);
    [3, 2, 3] = K[0, 2, 1]
    [2, 1, 3] = K[2, 0, 1]
    [3] = K[0, 0, 1]
    [2, 3] = K[0, 1, 1]
    [3, 2, 1, 3] = K[3, 0, 1]
    [1, 3] = K[1, 0, 1]
    [3, 2, 3, 1, 2] = K[3, 2]
    [3, 1, 2, 3] = K[1, 2, 1]
    [3, 2, 1, 2] = K[3, 1]
    [3, 2, 1] = K[3]
    [2, 3, 1, 2] = K[2, 2]
    [3, 2, 3, 1, 2, 3] = K[3, 2, 1]
    [1] = K[1]
    [3, 2] = K[0, 2]
    [] = K[0]
    [2, 3, 1, 2, 3] = K[2, 2, 1]
    [2, 1] = K[2]
    [3, 1, 2] = K[1, 2]
    [2, 1, 2] = K[2, 1]
    [2, 1, 2, 3] = K[2, 1, 1]
    [3, 1] = K[2]
    [3, 2, 1, 2, 3] = K[3, 1, 1]
    [1, 2] = K[1, 1]
    [2] = K[0, 1]
    [1, 2, 3] = K[1, 1, 1]
\end{verbatim}

A gauche, on a tous les tableaux (\'ecrits comme des mots) obtenus en
\'evaluant les mots en $v_i$ dans l'alg\`ebre nilplaxique. 
A droite, les coefficients en $\mathbf{x}$ ont \'et\'e d\'ecompos\'es  
dans la base des polyn\^omes clefs, \'ecrivant {\tt K[v]}
au lieu de $K_v(\mathbf{x})$.


\section{$\IdCox(\cU) \otimes  \NilCox(\cV)$  }   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Soient $v_1,v_2,\ldots, v_{n-1}$ v\'erifiant les relations nilplaxiques
(\ref{eq:Nil1a},\ref{eq:Nil1b}) et\\   
$u_1,u_2,\ldots, u_{n-1}$ v\'erifiant les relations idplaxiques~:
\begin{eqnarray}                          \label{eq:IdPlax1a}
u_i^2 =u_i & , & u_iu_{i+1}u_i = u_{i+1}u_iu_{i+1} \\
                                          \label{eq:IdPlax1b}
u_j u_i u_k =  u_j u_k u_i & , & u_i u_k u_j = u_k u_i u_j
                    \quad (i<j<k)
\end{eqnarray}

D\'efinissons 
\bee
  \cK( \cU,\cV) :=  \begin{matrix} 
   (u_{n-1} \plus v_{n-1})  \\
   (u_{n-2} \plus v_{n-1}) & (u_{n-1} \plus v_{n-2})  \\
   (u_{n-3} \plus v_{n-1}) & (u_{n-2} \plus v_{n-2}) &  
                                           (u_{n-1} \plus v_{n-3})  \\
       \vdots              &   \vdots              &\vdots  &\ddots  \\
    (u_1 \plus v_{n-1}) & (u_2 \plus v_{n-2}) & 
      (u_3 \plus v_{n-3}) & \cdots & (u_{n-1} \plus v_1)   \end{matrix}
\ee

Encore une fois, 
le d\'eveloppement doit \^etre tel que les mots maximaux soient
$$ (u_{n-1}\cdots u_1) (u_{n-2}\cdots u_1)\cdots (u_1)   \ \text{et}\
   (v_{n-1}\cdots b_1) (v_{n-2}\cdots b_1)\cdots (v_1)   \ . $$
On lit donc le mot en $\cU$ par colonnes, de gauche \`a droite, et le mot
en $\cV$ par diagonales successives, de l'ext\`erieur vers l'origine.

Ainsi, la paire de diagrammes (\ref{DeuxTriangles})
donne maintenant les mots
$$ \begin{smallmatrix} \cdot \\ u_3 & u_3 \\  \cdot & u_2 &\cdot \\
  u1 &\cdot &u_1 &\cdot
   \end{smallmatrix} \quad  = (u_3 u_1)\, (u_3u_2) \, (u_1)\, (\,)
\quad ;\quad
 \begin{smallmatrix} v_4 \\ \cdot &\cdot \\  v_4 & \cdot & v_2 \\
  \cdot &v_3 &\cdot & v_1
   \end{smallmatrix}\quad  =  (v_4 v_2 v_1)\, (\, )\, (v_4 v_3)\, (\, ) \ .
 $$


Nous n'examinerons pas ici les propri\'et\'es de ces mots, 
mais prendront leurs images dans les deux alg\`ebres de Hecke
$\NilCox$, $\IdCox$, 
appel\'ees \emph{NilCoxeter} et \emph{IdCoxeter}.
Leurs g\'en\'erateurs  $\bar u_i$ et $\bar v_j$ 
v\'erifient 
$$  \bar u_i ^2 =  \bar u_i \qquad  \&  \qquad \bar v_i^2 = 0 \ .$$
Les relations de tresse \'etant des quotients des relations nilplaxiques
ou idplaxiques, chaque mot en $v_j$ ou $u_i$ s'\'evalue 
dans $\NilCox$  ou $\IdCox$ respectivement, en envoyant $u_i$ sur
$\bar u_i$, et $v_j$ sur $\bar v_j$.


 La d\'ecomposition de l'escalier en toutes les paires de diagramme
compl\'e\-mentaires fournit une collection de paires de mots\footnote{ 
en effa\c cant les mots en $v_j$ non r\'eduits, qui s'annulent.}
$(u_\ss, v_\zeta)$, 
$\ss,\zeta\in \mfS_n$,  paires 
que l'on \'ecrit comme des produits en convenant 
que les lettres de $\cU$ commutent avec celles de $\cV$.

Au lieu de paire de diagrammes compl\'ementaires dans l'escalier, 
on peut, comme le fait Lenart, prendre tous les remplissages 
possibles (dits \emph{triangles})
 du diagramme de la partition $[1,\ldots, n\moins 1]$ par les nombres  
$0,1$. Bergeron et Billey \cite{BergeronBilley}   utilisent 
quant \`a lui/elle des triangles de $+,\emptyset$.

La lecture pr\'ec\'edente associe  \`a chaque triangle  $t$ un 
produit de mots $u(t)\, v(t)$, et le noyau s'interpr\`ete 
comme un \'el\'ement de $\IdCox(\cU) \otimes  \NilCox(\cV)$~: 
\bee  \cK( \cU,\cV) = \sum_t u(t)\, v(t)   \ . 
\ee

Il se trouve que Lenart \cite{LenartAdvances}
 a donn\'e une interpr\'etation de l'ensemble des $v(t)$ tels 
que $u(t)=u_\ss$.  

\begin{THEO}[Lenart]
  Pour toute permutation $\ss\in \mfS_n$, 
l'alphabet $\y$ \'etant sp\'ecialis\'e en $\mathbf{0}$, on a 
\bee \label{eq:Theorem3}
   G_\ss = \sum_t   (\moins 1)^{\ell(\zeta\omega)-\ell(\ss)}\,  
                                               X_{\zeta\omega}  \ , 
\ee
somme sur tous les triangles $t$ 
tels que $u(t)=u_\ss$, avec $\zeta$ telle que $v(t)=v_\zeta$. 
\end{THEO}

La sym\'etrie entre les bases Grothendieck et Schubert vue au th\'eor\`eme 1
permet alors d' \'enoncer~:
\begin{THEO}  
  Pour toute permutation $\zeta\in \mfS_n$,
\bee    \label{eq:Theorem4} X_\zeta = \sum_t  G_{\ss\omega}   \ ,
\ee   
somme sur tous les triangles $t$ tels que $v(t)=v_\zeta$, 
   avec $\ss$ telle que $  u(t)= u_\ss$.
\end{THEO}

Par exemple, pour $n=4$, les trois termes suivants de $\cK(\cU,\cV)$ 
$$
\begin{array}{cc}
\begin{smallmatrix} \cdot\\ u_2 &u_3\\ u_1 &u_2 &\cdot  \end{smallmatrix} 
& 
\begin{smallmatrix}  v_3 \\\cdot &\cdot\\ \cdot&\cdot& v_1 \end{smallmatrix}\\
 u_{3412}   &  v_{2143}  
\end{array}  \ , \
\begin{array}{cc}
\begin{smallmatrix} u_3\\ \cdot &u_3\\ u_1 &u_2 &\cdot  \end{smallmatrix}
&
\begin{smallmatrix}  \cdot \\v_3 &\cdot\\ \cdot&\cdot& v_1 \end{smallmatrix}\\
 u_{2413}   &  v_{2143}
\end{array}  \ , \
\begin{array}{cc}
\begin{smallmatrix} u_3\\ u_2 &u_3\\ \cdot &u_2 &\cdot  \end{smallmatrix}
&
\begin{smallmatrix} \cdot \\\cdot &\cdot\\ v_3&\cdot& v_1 \end{smallmatrix}\\
 u_{1432}   &  v_{2143}
\end{array}  
$$
donnent, en tenant compte du retournement des permutations
$$  X_{2143} = G_{2143} + G_{3142} + G_{2341}  \ .  $$

C'est donc le m\^eme mod\`ele combinatoire qui d\'ecrit les deux 
d\'e\-ve\-lop\-pe\-ments, 
quoique le d\'eveloppement d'un polyn\^ome de Schubert comme une somme
positive de classes de faisceaux structuraux de vari\'et\'es de Schubert
paraisse beaucoup plus myst\'erieux que le d\'eveloppement inverse
li\'e \`a une filtration de l'anneau de Grothendieck. 

Il faut en fait faire intervenir des propri\'et\'es de l'ordre
d'Ehresmann--Bruhat sur le groupe sym\'etrique, que M.P.~Sch\"utzenberger
et moi avons formul\'ees en terme de plongement dans le treillis
distributif des matrices \`a signes alternants (\emph{alternating sign
matrices}) \cite{LS96}. On trouvera dans \cite{LaXGASM} comment lire
les polyn\^omes de Schubert ou Grothendieck sur ces matrices.

On notera que le nombre de termes dans 
l'expression  d'un polyn\^ome de Schubert $X_\ss$ 
dans la base Grothendieck est le m\^eme que 
dans la base des mon\^omes : il est en effet \'egal
au nombre de triangles $t$ tels que $v(t)= v_\ss$.  
Il est donc aussi \'egal au
nombre de termes du d\'eveloppement de $X_{\ss^{-1}}$. 
Cette propri\'et\'e d'invariance
par rapport \`a l'inversion des permutations a d'ailleurs \'et\'e 
remarqu\'ee depuis longemps  en 
ce qui concerne le d\'eveloppement des polyn\^omes de Schubert 
dans la base des mon\^omes (cf.\ \cite{LaCauchy}).

Nous terminerons sur un exemple pour une permutation et son inverse~:
\begin{verbatim}
ACE> X2G(X[1,4,2,5,3]);
 G[2,4,1,5,3] + G[1,4,3,5,2] +2*G[3,4,1,5,2] +G[3,4,2,5,1]
              + G[2,4,3,5,1] + G[2,4,3,5,1] + G[1,4,2,5,3]
 # 8 terms, counting multiplicities 
ACE> Tox(X[1,4,2,5,3]);
   2        2      2              2              2       2
 x1 x4 +x2x1  +x3x1  +x4x1x2 +x1x2  +x3x1x2 +x4x2  +x3 x2
 # 8 monomials 
ACE> X2G(X[1,3,5,2,4]);
 G[2,3,5,1,4]+G[3,4,5,1,2]+ 2*G[2,4,5,1,3]+G[1,4,5,2,3]
              +G[3,4,5,1,2] +G[2,3,5,1,4] +G[1,3,5,2,4]

ACE> Tox(X[1,3,5,2,4]);
    2       2                      2       2       2       2
  x3  x1 +x3  x2 +2 x3 x1 x2 +x3 x1  +x3 x2  +x1 x2  +x2 x1
\end{verbatim}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\end{thebibliography}



\end{document}

Titre: SCHUBERT \& GROTHENDIECK: Un bilan d\'ecennal 
Alain Lascoux

We review the theory of Schubert and Grothendieck polynomials. In particular, we
notice symmetry and positivity properties for the matrix exchanging these two
bases. We also point out that the simplest method to define 
``free'' Schubert polynomials is to expand a plactic Cauchy kernel.


