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\title[L'alg\`ebre des $\zeta$ de Hurwitz multivari\'ees]
{De l'alg\`ebre des $\zeta$ de Riemann multivari\'ees\\
\`a l'alg\`ebre des $\zeta$ de Hurwitz multivari\'ees}
\author{Hoang Ngoc Minh, G\'erard Jacob, Michel Petitot, Nour Eddine 
Oussous}
\email{\{hoang,jacob,oussous,petitot\}@lifl.fr} 
\address{
Universit\'e Lille II, 59024 Lille, France \&
Universit\'e Lille I, 59655 Villeneuve d'Ascq, France}

% Include your own definitions here; some common examples are included
\newtheorem{thm}{Theorem}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollary} % share numbers with theorems
\newtheorem{lemma}{Lemma}
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\newcommand{\sumkinf}{\sum_{k=0}^\infty}
\newcommand{\sumtinf}{\sum_{t=0}^\infty}
% Lettres caligraphiques

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% Lettres gothiques
\def\S{\mathfrak{S}}
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% Fonctions mathematiques
\def\e{\varepsilon}
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% Polynomes et series
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\def\Lyndon{{\mathcal Lyn}}
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\newtheorem{definition}{D\'efinition}
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\newtheorem{conjecture}{Conjecture}
\newtheorem{theorem}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{lemme}{Lemme}
\newtheorem{exemple}{Exemple}

  \newenvironment{system}
    {\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{lll}} 
    {\end{array} \right. \end{eqnarray}}
  \newenvironment{varsystem}
    {\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l@{}c@{}l}}
    {\end{array} \right. \end{eqnarray}}

\newenvironment{preuve} {\par \noindent {\sc Preuve}\ --\ 
}{$\square$ \par}
\newenvironment{remark} {\par \noindent {\sc Remarque}\ --\ 
}{$\square$ \par}
\newenvironment{example}{\par \noindent {\sc Exemple}\ --\ 
}{$\square$ \par}

\begin{document}


\begin{abstract}
The theory of noncommutative rational power series allows to express
as iterated integrals some generating series associated to 
polylogarithms
and polyz\^etas, also called \MZV's 
({\em multiple zeta values}~: a generalization of the 
Riemann
$\zeta$ function). We introduce the Hurwitz polyz\^etas,
as a multivalued generalization of the classical 
Hurwitz $\zeta$ function.
They are in fact generating series
of the classical polyz\^etas in commuting variables.
Based on the shuffle product of noncommutative rational  series,
explicit formulae are given for computing the product of these
generating series. We define also another shuffle product for the 
Hurwitz polyz\^etas. This structure allows us to 
produce a new algorithm for computing the 
coloured polyz\^etas relations,
by mean of Dirichlet generating series associated to the
periodic sequences of numbers. Concerning the regularization
of divergent polyz\^etas, we give explicit syntaxic formulae
based on the combinatorics of words. As application we 
compute the Arakawa-Kaneko integrals 
in terms of polyz\^etas.\\
\noindent{\sc R\'esum\'e.}
La th\'eorie des s\'eries rationnelles en variables non commutatives 
permet
d'exprimer sous forme d'int\'egrales it\'er\'ees certaines s\'eries 
g\'en\'eratrices associ\'ees aux polylogarithmes et aux polyz\^etas,
ou MZV's 
({\em multiple zeta values}~: une g\'e\-n\'e\-ra\-li\-sa\-tion de la fonc\-tion 
$\zeta$
de Riemann). Nous introduisons les polyz\^etas de Hurwitz, 
qui g\'en\'eralisent la fonction $\zeta$ de Hurwitz 
classique. Ils apparaissent comme des s\'eries g\'en\'eratrices
des polyz\^etas en variables commutatives.
En nous basant sur le produit de m\'elange des s\'eries rationnelles,
nous donnons des formules explicites pour calculer
les produits de ces s\'eries g\'en\'eratrices.
Nous explicitons \'egale\-ment un autre produit de m\'elange
pour les polyz\^etas de Hurwitz.
Cette structure permet d'obtenir un {\em nouvel} 
algorithme de g\'en\'eration des relations entre les polyz\^etas {\em 
color\'es} par l'interm\'ediaire des s\'eries g\'en\'eratrices de 
Dirichlet associ\'ees aux suites p\'eriodiques de nombres. 
En ce qui concerne la r\'egularisation des polyz\^etas
divergents, nous obtenons des formules syntaxiques explicites
utilisant la combinatoire des mots.
En application, nous calculons
les int\'egrales d'Arakawa-Kaneko en termes de polyz\^etas.
\end{abstract}

\maketitle

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\markright{\its S\'eminaire Lotharingien de
Combinatoire \bfs 44 \rms (2001), Article~B44i\hfill}
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%
%

\tableofcontents

\section{Introduction}

%First page headline in LaTeX for S\'eminaire Lotharingien de Combinatoire
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\pagenumbering{arabic}
\addtocounter{page}{1}
\markboth{\SMALL HOANG NGOC MINH, G\'ERARD JACOB, MICHEL PETITOT,
NOUR EDDINE OUSSOUS}{\SMALL L'ALG\`EBRE DES $\zeta$ DE HURWITZ MULTIVARI\'EES}
%
%

Les valeurs de la fonction $\zeta $ de Riemann
pour des arguments entiers positifs~:
\begin{eqnarray*}
\zeta (s)=\sum_{n>0}\frac{1}{n^s}
\end{eqnarray*}
sont bien connues depuis Euler pour les entiers pairs~:
$\zeta (2p)$ est un multiple rationnel de $\pi^{2p}$.
Le cas impair est beaucoup moins bien connu.
Ap\'ery a prouv\'e en 1978 que $\zeta (3)$ est irrationnel.
R\'ecemment Rivoal (2000) \cite{rivoal} a montr\'e que $\zeta (2p+1)$ 
est irrationnel pour
une infinit\'e d'entiers $p$. En outre, l'un des nombres $\zeta (s)$
pour $s$ entier impair, $5\le s\le 21$, est irrationnel.
Rien n'est connu sur l'ind\'ependance alg\'ebrique des z\^etas impairs.

\subsection{Polyz\^etas}
Les voies de recherche actuelles s'orientent toutes vers un 
``sup\-pl\'e\-ment de structure''. On a ainsi introduit les 
{\em polyz\^etas} (appel\'es aussi z\^etas multi-vari\'es,
ou nombres d'Euler-Zagier, ou MZV's - i.e. 
``Multiple Zeta Values'')~:
\begin{eqnarray*}
\zeta(s_1,\ldots,s_r)
=\sum_{n_1>\ldots>n_r>0}\frac1{n_1^{s_1}\ldots n_r^{s_r}},
\qquad s_{i}\in \N\setminus \{0\},\quad s_{1}>1 
\end{eqnarray*}
Les polyz\^etas interviennent en 
th\'eorie des nombres \cite{zagier},
en th\'eorie des n\oe uds \cite{arnold,cartier3},
en m\'ecanique quantique 
 \cite{drinfeld1,drinfeld2,lemurakami,gonzalez},
en physique des hautes \'energies
 \cite{broadhurstkremeir1,broadhurstkremeir2},
pour l'analyse des structures de donn\'ees hi\'erarchiques 
 \cite{flajoletlabellelaforestsalvy}.

Le polyz\^eta $\zeta(s_1,\ldots,s_r)$ est de profondeur $r$
et de poids $\sum_{i=1}^{r} s_{i}$. Notons $d_{n}$
la dimension du $\Q-$espace vectoriel engendr\'e par 
les polyz\^etas de 
poids $n$. Zagier a propos\'e la
conjecture suivante~:
\begin{conjecture}[\cite{zagier}]\label{conj:dimension}
Les entiers $d_{n}$ v\'erifient~:
\begin{eqnarray*}
d_1=0, \quad d_2=d_3=1, \quad d_n = d_{n-2}+d_{n-3}, 
\qquad \mbox{pour}\; n\geq 4.
\end{eqnarray*}
\end{conjecture}
Elle est confort\'ee par les travaux de Goncharov \cite{goncharov2} 
qui \'etudie les polylogarithmes du point de vue des motifs de Tate mixtes. 
Sa conjecture 1.1 fait appara\^\i tre, (modulo $\zeta (2)$),
 une alg\`ebre de Lie
ayant exactement un g\'en\'erateur de degr\'e $n$ pour chaque entier $n>1$ impair.
Si cette conjecture \'etait vraie, on pourrait en particulier esp\'erer en d\'eduire des r\'esultats d'ind\'ependance alg\'ebrique pour
 les $\zeta(2p+1)$. L'ind\'ependance alg\'ebrique des $\zeta(2p+1)$ n'est 
pas aujourd'hui accessible.
Ce qui est accessible, c'est le calcul
des relations entre {\em polyz\^etas ``symboliques''}, 
c'est-\`a-dire
les relations d\'ecoulant du suppl\'ement de structure, 
qui est reli\'e \`a 
l'existence d'une double structure de m\'elange
 (voir ci-dessous). 

\subsection{Polyz\^etas color\'es}
Le calcul des {\em diagrammes de Feynman}
en m\'ecanique quantique conduit aux {\em polyz\^etas color\'es},
c'est-\`a-dire aux sommes suivantes~:
\begin{eqnarray*}
\zeta\binom{s_1,\ldots,s_r}{q^{i_1},\ldots,q^{i_r}}
=\sum_{n_1>\ldots>n_r>0}
\frac{q^{i_1n_1}\ldots q^{i_rn_r}}{n_1^{s_1}\ldots n_r^{s_r}},
\end{eqnarray*}
o\`u $N$ est un entier positif fix\'e, et o\`u $q$ 
est une racine primitive $N$-i\`eme de l'unit\'e.
L'alg\`ebre des polyz\^etas color\'es contient, en plus des 
polyz\^etas, des nombres transcendants comme~:
\begin{eqnarray*}
\zeta\binom{1}{-1}=\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^n}{n}=-\log(2),
\end{eqnarray*}
\subsection{Polyz\^etas de Hurwitz}
Dans cet article, nous introduisons une autre extension des
polyz\^etas, que nous appelons {\em polyz\^etas de Hurwitz},
qui sont index\'es par un double multi-indice~:
\begin{eqnarray*}
\zeta[(s_1;t_1),\ldots,(s_r;t_r)]
=\sum_{n_1>\ldots>n_r>0}
\frac1{(n_1-t_1)^{s_1}\ldots(n_r-t_r)^{s_r}},
\end{eqnarray*}
o\`u les $s_{i}$ sont des entiers positifs,
et o\`u les $t_i$ sont des variables formelles. 
Ces variables formelles ont pour vocation de permettre 
le calcul certaines s\'eries g\'en\'eratrices commutatives
des polyz\^etas. On retrouve les polyz\^etas
en sp\'ecialisant toutes les variables formelles en 
$t_{i}=0$ pour tout $i$.
L'alg\`ebre des polyz\^etas de Hurwitz contient quant \`a elle,
en plus des polyz\^etas, des constantes telles 
que le nombre de Catalan~:
\begin{eqnarray*}
G=\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}
=\frac1{16}[\zeta(2;-1/4)-\zeta(2;1/4)].
\end{eqnarray*}
et des polyz\^etas color\'es.
En effet, nous verrons que la p\'eriodicit\'e
de $\{q^n\}_{n\ge1}$ permet 
d'exprimer les polyz\^etas color\'es sous 
forme de combinaisons lin\'eaires 
des polyz\^etas de Hurwitz
\`a coefficients dans le corps cyclotomique $\Q(q)$
(voir Proposition~\ref{distribution}).
Par cons\'equent, l'\'etude des {\em relations polynomiales}
entre les polyz\^etas color\'es peuvent \^etre faites
\`a travers celles des polyz\^etas de Hurwitz ayant 
pour param\`etes des 
nombres rationnels de l'intervalle $[0,1[$.

\section{Codage symbolique}

\subsection{S\'eries non commutatives et int\'egrales it\'er\'ees}

Soit $X=\{x_{0},x_{1},\ldots x_{m}\}$ un alphabet fini.
Le mono\"\i de libre engendr\'e par $X$ est est not\'e $X^*$.
C'est l'ensemble
des mots sur l'alphabet $X$. Le mot vide est not\'e ``$\epsilon$".
Nous notons $X^+$ l'ensemble $X^*\setminus\{\epsilon\}$.
Associons \`a chaque lettre $x_i$ de l'alphabet $X$
une {\em 1-forme diff\'erentielle} $\omega_i$, d\'efinie dans un 
ouvert connexe $\llm U$ de $\C$.

Pour tout chemin $\gamma$ 
allant de $z_0$ \`a $z$ dans $\llm U$,
on d\'efinit r\'ecursivement comme suit l'{\em int\'egrale it\'er\'ee}
de Chen \cite{chen} de $z_0$ \`a $z$ 
le long de $\gamma$ pour tout mot $w=x_{i_{1}}\ldots x_{i_{k}}$~:
\begin{eqnarray}\label{intint}
\int_{z_0,\gamma}^{z}\omega_{i_1}\omega_{i_2}\ldots\omega_{i_k}= 
\int_{z_0,\gamma}^{z}\omega_{i_1}(z_1)\int_{z_0,\gamma}^{z_1} 
\omega_{i_2}\ldots\omega_{i_k}.
\end{eqnarray}
En notation abr\'eg\'ee, nous \'ecrirons~:
\begin{eqnarray*}
\alpha_{z_0,\gamma}^z(w)
=\alpha_{z_0,\gamma}^z(x_{i_1}x_{i_2}\ldots x_{i_k})
=\Int{z_0,\gamma}z\omega_{i_1}\omega_{i_2}\ldots\omega_{i_k}
\quad\mbox{et}\quad\alpha_{z_0,\gamma}^z(\e)=1.
\end{eqnarray*}
Cette notation est relative au choix des 
formes $\omega_{i}$ associ\'ees aux lettres $x_{i}$. Plus g\'en\'eralement,
si $F(z)$ est une fonction analytique nulle en $z_0$, on pose~:
\begin{eqnarray*}
\alpha_{z_0,\gamma}^z(x_{i_{1}}x_{i_{2}}\ldots x_{i_k};F)=
\int_{z_0,\gamma}^{z}\omega_{i_{1}}(t)
\alpha_{z_0,\gamma}^t(x_{i_{2}}\ldots x_{i_{k}};F).
\end{eqnarray*}

Soit $A$ une $\C$-alg\`ebre commutative. 
On note $A\pol X$ (resp. $A\ser X$)
l'anneau des polyn\^omes non commutatifs
(resp. des s\'eries non commutatives) \`a coefficients dans $A$.
Une s\'erie $S$ non commutative de $A\ser X$ sera not\'ee~:
\begin{eqnarray*}
S=\sum_{w\in X^{*}}\pol {S\mid w}\; w.
\end{eqnarray*}
Les polyn\^omes s'identifient aux s\'eries de support fini.

Pour tout polyn\^ome $S$ (resp. pour toute s\'erie, sous r\'eserve de 
convergence), on d\'efinit \cite{hoang3}~:
\begin{eqnarray*}
\alpha_{z_0,\gamma}^z(S)=\sum_{w\in X^*}
\pol{S|w}\;\alpha_{z_0,\gamma}^z(w).
\end{eqnarray*}

Le produit de m\'elange (ou shuffle) de deux mots $u$ et $v$ est 
le polyn\^ome d\'efini r\'ecursivement 
comme suit~:
\begin{system}\label{def:sh1}
\epsilon\shuffle u&=&u\shuffle\epsilon\quad=\quad u
\qquad\qquad\qquad \mbox{si $u\in X^{*}$,}\\
au\shuffle bv&=&a(u\shuffle bv)+b(au\shuffle v)
\qquad\quad\mbox{si $a,b\in X,\quad u,v\in X^{*}$.}
\end{system}
Le m\'elange est \'etendu aux s\'eries formelles par distributivit\'e.

Le $\C$-module $A\ser X$ muni du produit de m\'elange
est une $A$-alg\`ebre commutative, not\'ee $Sh_{A}\ser X$.

Avec les notations 
pr\'ec\'edentes, on d\'eduit des propri\'et\'es de l'int\'egration par parties
l'\'egalit\'e~:
\begin{eqnarray*}\alpha_{z_0,\gamma}^z(S\shuffle T)
=\alpha_{z_0,\gamma}^z(S)\; \alpha_{z_0,\gamma}^z(T).
\end{eqnarray*}
C'est vrai si $S$ et $T$ sont deux mots,
c'est vrai aussi (par distributivit\'e) si $S$ et $T$ sont
deux s\'eries non commutatives.
En d'autres termes, $\alpha_{z_0,\gamma}^z$ est un homomorphisme
de $A\ser X$ (pour le m\'elange) dans $A$.

\subsection{S\'eries rationnelles}
Les op\'erations rationnelles dans $A\ser X$ sont~: 
\begin{enumerate}
\item la somme, le produit par un \'el\'ement de $A$,
\item le produit de 
concat\'enation (ou de Cauchy), h\'erit\'e du produit 
de concat\'enation des mots,
\item l'{\em \'etoile} des s\'eries formelles {\em propres} (i.e. \`a 
{\em terme constant nul})~:
\begin{eqnarray*}
S^*\; =\; 1+S+S^{2}+ \ldots +S^n+\ldots
\end{eqnarray*}
$S^{*}$ est l'inverse bilat\`ere de $(1-S)$, et v\'erifie
$S^{*}=1+SS^{*}=1+S^{*}S$. On pose $S^{+}=S^{*}-1$.
\end{enumerate}
Une s\'erie est dite \emph{rationnelle} \cite{berstel} si elle est 
obtenue
\`a partir de $\e$ et des lettres de $X$ 
par un nombre fini d'op\'erations rationnelles.

Soient \`a pr\'esent $t_{1},\ldots ,t_{n},\ldots $ des variables
formelles, et $A=\C [t_{1},\ldots t_{n},\ldots ]$ l'an\-neau des 
polyn\^omes commutatifs sur les $t_{i}$. 

Consid\'erons les s\'eries rationnelles de la forme~:
\begin{eqnarray}\label{def:su}
(t_1 x_0)^*x_{i_1}\ldots(t_r x_0)^*x_{i_r}
=\sum_{s_1,\ldots,s_r>0}(t_1x_0)^{s_1-1}x_{i_1}\ldots(t_rx_0)^{s_r-1}x_{i_r}.
\end{eqnarray}
Cette forme est pr\'eserv\'ee par le produit de m\'elange. 
En effet, si $U=(ux_0)^*xU'$ et 
$V=(vx_0)^*yV'$,
o\`u $u,v\in A$, $x,y\in X$ et $U',V'\in A\ser X$, on a~:
\begin{system}\label{sh:su}
U\shuffle\epsilon&=&\epsilon\shuffle U\quad=\quad U,\\
U\shuffle V&=&((u+v)x_0)^*[x(U'\shuffle V)+y(U\shuffle V')].
\end{system} 

\subsection{Polylogarithmes}

A toute composition (i.e. \`a toute suite finie
d'entiers strictement positifs) $\mathbf s=(s_{{1}},\ldots ,s_{{r}})$
on associe le polylogarithme~:
\begin{eqnarray*}
\Li_{s_{{1}},\ldots ,s_{{r}}}(z)
=\sum_{n_1>\ldots>n_r>0}\frac{z^{n_1}}{n_1^{s_1}\ldots 
n_r^{s_r}},\qquad |z|<1.
\end{eqnarray*}
On a donc $\zeta(\mathbf s)=\Li _{\mathbf s}(1)$, \`a condition que 
cette somme soit convergente, c'est-\`a-dire si $s_{1}>1$.
Introduisons l'alphabet $X=\{x_{0},x_{1}\}$, et les deux formes 
diff\'erentielles~:
\begin{eqnarray*}
\omega_{0}=\frac{dz}{z}\quad\mbox{et}\quad 
\omega_{1}=\frac{dz}{1-z}.
\end{eqnarray*}
Associons \`a toute composition $\mathbf s=(s_{{1}},\ldots ,s_{{r}})$
le mot $w=x_{0}^{s_{1}-1}x_{1}\ldots x_{0}^{s_{r}-1}x_{1}$.
On obtient ainsi un isomorphisme de concat\'enation de la $A$-alg\`ebre 
des compositions dans $A\pol X$. On identifiera parfois la composition 
$\mathbf s$ avec son codage par le mot $w$ sur $\{x_{0},x_{1}\}$. 

On v\'erifie que polylogarithme $\Li_{s_{i_{1}},\ldots ,s_{i_{r}}}(z)$
est aussi la valeur de l'int\'egrale it\'er\'ee~:
\begin{eqnarray*}
\alpha_{z_0,\gamma}^z(w)
=\alpha_{z_0,\gamma}^z(x_{0}^{s_1-1}x_{1}\ldots x_0^{s_k-1}x_{1})
\end{eqnarray*}
ce qui fournit le prolongement analytique 
des $L_{\mathbf s}(z)=\Li _{\mathbf s}(z)$
sur le rev\^etement universel de $\C$ priv\'ee des deux points $0$ et 
$1$. La {\em s\'erie g\'en\'eratrice non commutative} 
$L(z)=\sum _{w\in X^{*}}L_{w}(z)\, w$ est alors solution de 
l'\'equation diff\'erentielle~:
\begin{eqnarray}\label{drinfeld}
dL(z)=(x_0\omega_0+x_1\omega_1)L(z)
&\mbox{avec}&L(\eps)=e^{x_0\log\eps}+O(\sqrt{\eps})\mbox{ si }
\eps\to0^+.
\end{eqnarray}
$L(z)$ est l'exponentielle 
d'une s\'erie de Lie, et v\'erifie le crit\`ere de Friedrichs~:
\begin{eqnarray*}
L_{u\shuffle v}(z)=L_{u}(z)\, L_{v}(z),\qquad u,v\in X^{*}.
\end{eqnarray*}
Par le th\'eor\`eme de Radford, l'alg\`ebre de 
m\'elange $Sh_{\Q}\pol X$ est une alg\`ebre de po\-ly\-n\^o\-mes
(commutatifs) sur l'ensemble des mots de Lyndon, qui en forme donc une 
base de transcendance.
 
Soit $\llm C$ l'alg\`ebre $\C[z,1/z,1/1-z]$ des fonctions 
polynomiales en $z$, $1/z$ et $1/1-z$, et soit $\LI_{\calC}$ 
la plus petite $\calC$-al\-g\`e\-bre contenant
$\calC$ et stable par int\'egration par rapport \`a $\omega_0$
et $\omega_1$. $\LI_{\calC}$ s'identifie au $\calC$-module
engendr\'e par les $L_{w}(z)$. 
Les polylogarithmes $\Li_w(t)$ sont $\calC$-lin\'eairement 
ind\'ependants \cite{FPSAC98} et donc $\LI_{\calC}$ s'identifie
\`a l'alg\`ebre des polyn\^omes commutatifs sur
les polylogarithmes indic\'es par les mots de Lyndon \cite{FPSAC98}.

\subsection{Fonctions quasi-sym\'etriques}
Soit $\mathbf s=(s_{{1}},\ldots ,s_{{r}})$ une composition. 
Alors $\zeta(s_1,\ldots,s_r)$ peut \^etre aussi obtenu en 
sp\'ecialisant les variables $\{t_i\}_{i\ge1}$ en $t_i=1/i$ dans la 
{\em fonction quasi-sym\'etrique} $F_{s_1,\ldots,s_r}(t)$ de 
{\em profondeur} 
$r$ et de {\em degr?} (ou {\em poids}) 
$s_{1}+s_{2}\ldots +s_{r}$\cite{hoffman}~:
\begin{eqnarray*}
F_{s_1,\ldots,s_r}(t)=\sum_{n_1>\ldots>n_r>0}
t_{n_1}^{s_1}\ldots t_{n_r}^{s_r}.
\end{eqnarray*}
Notons $\mathbf e=()$ la composition ``vide''.
Le {\em produit de m\'elange} (ou ``quasi-shuffle'' \cite{hoffman})
de deux compositions 
$\mathbf r=(r_1,\ldots,r_k)=(r_{1},\mathbf r')$ et 
$\mathbf s=(s_1,\ldots,s_{l})=(s_{1},\mathbf s')$
est d\'efini par~:
\begin{system}
\notag
\mathbf r\star \mathbf e&=&\mathbf e\star \mathbf r\quad
=\quad \mathbf r,\\
\notag
\mathbf r\star \mathbf s&=&(r_1,\mathbf r'\star \mathbf s)
+(s_1,\mathbf r\star \mathbf s')+(r_1+s_1,\mathbf r'\star \mathbf s').
\end{system}
On \'etend la notation $F_{\mathbf s}$ aux combinaisons lin\'eaires 
de compositions. Si $\mathbf r$ (resp. $\mathbf s$) est une 
composition de degr\'e $r$ et de poids $p$ (resp. de degr\'e $s$
et de poids $q$), $F_{\mathbf r\star \mathbf s}$
est une fonction quasi-sym\'etrique de profondeur $r+s$
et de poids $p+q$, et l'on a~:
\begin{eqnarray*}
F_{\mathbf s\star \mathbf r}=F_{\mathbf s}\; F_{\mathbf r}.
\end{eqnarray*}

Toute composition $\mathbf s$ ne commen\c cant pas par 1 
correspond bijectivement \`a un
{\em ``mot convergent''} $w\in x_{0}X^{*}x_{1}$. Si deux compositions 
$\mathbf r$ et $\mathbf s$ correspondent \`a deux mots convergents 
$u$ et $v$, alors on a sur les polyz\^etas convergents la {\em double 
structure de m\'elange} \cite{FPSAC97} et la famille de relations 
lin\'eaires~:
\begin{eqnarray}\label{relations}\qquad 
\zeta(u\shuffle v)=\zeta(u)\zeta(v),\qquad
\zeta(u\star v)=\zeta(u)\zeta(v),\qquad
\zeta(x_1\shuffle w-x_1\star w)=0.
\end{eqnarray}
Le troisi\`eme jeu d'\'egalit\'es fait intervenir les 
polyn\^omes $x_1\shuffle w-x_1\star w$ qui sont convergents, m\^eme
si les deux sommes $\zeta (x_1\shuffle w)$ et $\zeta (x_1\star w)$
sont divergentes.

\subsection{Transform\'ee polylogarithmique}
Soit $\varphi_{j}$ une primitive de $\omega_j$.
Le th\'eor\`eme de convolution \cite{hoang3} permet d'\'etablir~:
\begin{eqnarray*}
\alpha_{z_0,\gamma}^z(x_j^nx_k)
&=&\int_{z_0,\gamma}^z
\frac{[\varphi_{j}(z)-\varphi_{j}(s)]^n}{n!}\omega_k(s)\cr
\mbox{et }\quad \alpha_{z_0,\gamma}^z(x_j^*x_k)
&=&\int_{z_0,\gamma}^z\!e^{\varphi_{j}(z)-\varphi_{j}(s)}\omega_k(s).
\end{eqnarray*}
Plus g\'en\'eralement,
si $F(z)$ est une fonction analytique nulle en $z_0$, on a \cite{hoang3}~:
\begin{eqnarray*}
\alpha_{z_0}^z(x_j^s;F)&=&
\int_{z_0,\gamma}^z
\frac{[\varphi_{j}(z)-\varphi_{j}(s)]^n}{n!}F(s)ds\\
\mbox{et}\quad \alpha_{z_0,\gamma}^z(x_j^*;F)
&=&\int_{z_0,\gamma}^z\!e^{\varphi_{j}(z)-\varphi_{j}(s)}F(s)ds.
\end{eqnarray*}

A la suite de nombres complexes $\{f_k\}_{k\ge1}$ associons
(pour $s$ un entier, $s\ge 1$) la s\'erie \cite{FPSAC95,DiriFunc}~:
\begin{eqnarray*}
\Di_s(F|z)=\sum_{k\ge1}f_k\Frac{z^k}{k^s},\quad |z|<1.
\end{eqnarray*}
Elle g\'en\'eralise \`a la fois \cite{hoang3}
la s.g.o. (s\'erie g\'en\'eratrice ordinaire) 
$F(z)=\sum_{k\ge1}f_kz^k$
et la s.g.d (s\'erie g\'en\'eratrice de Dirichlet) 
$\Di(F;s)=\sum_{k\ge1}f_k/k^s$.
Elle peut \^etre vue comme la {\em transform\'ee 
polylogarithmique} de $F$ \cite{FPSAC95,DiriFunc}~:
\begin{eqnarray}\label{d1}
\Di_s(F|z)=\alpha_{z_0,\gamma}^z(x_0^{s-1};F)
=\int_{z_0}^z\frac{\log^{s-1}(z/t)}{\Gamma(s)}F(t)\frac{dt}{t}.
\end{eqnarray}
On posant (pour $z$ fix\'e) $t=zr$, puis $r=e^{-u}$, on obtient~:
\begin{eqnarray*}
\Di_s(F|z)=\int_0^1\frac{\log^{s-1}(1/r)}{\Gamma(s)}F(zr)\frac{dr}{r}
=\int_0^{\infty}\frac{F(ze^{-u})}{\Gamma(s)}\frac{du}{u^{1-s}}
\end{eqnarray*} 
En particulier, pour $z=1$, il s'agit de la {\em transformation de 
Mellin}
et nous obtenons la s.g.d. $\Di({F}/{\Gamma(s)};s)$ associ\'ee \`a 
$F(\tau)/\Gamma(s)$,
o\`u $F(\tau)=\sum_{k\ge1}f_kq^k$ et $q=e^{-\tau}$.
Si $F(\tau)$ est une s\'erie de rayon de convergence non nul alors 
$\Di(F;s)$
est une fonction en la variable complexe $s$.
Par cons\'equent~:
\begin{theorem}
Pour toute fonction $F(z)\in\LI_{\calC}$~:
\begin{enumerate}
\item la transform\'ee polylogarithmique de $F(z)$
est encore un \'el\'ement de $\LI_{\calC}$,
\item la s.g.d. $\Di(F;s)$ associ\'ee \`a $F(z)$
est un \'el\'ement de l'alg\`ebre des \MZV's.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\section{R\'egularisation syntaxique des termes divergents}
L'\'equation diff\'erentielle (\ref{drinfeld}) permet de d\'efinir 
le polylogarithme $L_{w}(z)$ pour tout mot $w$ de $X^{*}$. Mais 
$\zeta(w)$ n'est d\'efini que sur les mots {\em ``convergents''},
c'est-\`a-dire sur $\mathrm{C}_1=\Q\oplus x_0\QX x_1$. 
La r\'egularisation $\zeta_{\shuffle}$
doit \^etre un prolongement de $\zeta $ {\em \`a tous les mots} $w$
de $X^{*}$, 
de telle sorte que
$\zeta_{\shuffle}$ soit encore un morphisme pour le $\shuffle$.
On aura ainsi donn\'e un sens aux $\zeta (w)$ de somme
divergente.
D'apr\`es le th\'eor\`eme de Radford \cite{radford}, c'est possible 
d'une et d'une seule 
fa\c con, une fois fix\'ees les valeurs de 
$\zeta (x_{0})$ et $\zeta (x_{1})$. 
En effet, on a $(\QX,\shuffle)\simeq\Q[\Lyndon(X)]=\mathrm{C}_1[x_1,x_0]$
o\`u $\Lyndon(X)$ est l'ensemble des mots de Lyndon sur $X$. 
Toutes les r\'egularisation pour $\shuffle$ peuvent \^etre retrouv\'ees 
\`a partir de la plus simple, qui envoie $x_{0}$ et $x_{1}$ sur 0.

De m\^eme, si on code toute composition $\mathbf s=(s_{1},\ldots ,s_{k})$
par le mot $y_{s_{1}}\ldots y_{s_{k}}$ sur l'alphabet infini
$Y=\{y_{j}\}_{j=1,2,\ldots,n}$ alors $\zeta_{\star}(\mathbf s)$
n'est d\'efini  que sur les mots {\em ``convergents''} de $Y^\star$,
c'est-\`a-dire sur $\mathrm{C}_2=\Q\oplus(Y\setminus\{y_1\}\QY)$. 
D'apr\`es Hoffman \cite{hoffman}, le th\'eor\`eme de Radford se
g\'em\'eralise \`a l'alphabet infini $Y$. Il existe donc une et une seule 
r\'egularisation $\zeta_{\star }$ qui prolonge $\zeta$ \`a tout 
$Y^{*}$ et qui soit un morphisme pour l'op\'eration $\star$, 
une fois fix\'ee la valeur de $y_{1}=x_{1}$. 
En effet, on a $(\QY,\star )\simeq\Q[\Lyndon(Y)]=\mathrm{C}_2[y_1]$
o\`u $\Lyndon(Y)$ est l'ensemble des mots de Lyndon
sur $Y$. On choisira d'envoyer $x_{1}=y_{1}$ sur $0$.

On ne peut pas r\'egulariser $\zeta$ simultan\'ement 
pour les deux produits. en effet~:
\begin{exemple}[\cite{boutet,cartier,ecalle,waldschmidt1}]
Pour le premier m\'elange, on doit avoir
$\zeta_{\shuffle}(1)\zeta_{\shuffle}(1)=2\zeta_{\shuffle}(1,1)$.
On obtient $\zeta_{\shuffle}(1,1)=0$
et g\'en\'eralement $\zeta_{\shuffle}(\{1\}^k)=0$ pour $k\ge1$.
Pour le second, on a
$\zeta_{\star}(1)\zeta_{\star}(1)=2\zeta_{\star}(1,1)+\zeta(2)$.
On obtient $\zeta_{\star}(1,1)=-\zeta(2)/2$.
\end{exemple}

\begin{definition}\label{regularisation}
On note $\reg_{\shuffle}$ l'unique morphisme de $(\Q\pol X,\shuffle )$
dans lui-m\^eme qui laisse fixes les mots convergents,
et v\'erifie $\reg_{\shuffle}(x_0)=\reg_{\shuffle}(x_{1})=0$.
De m\^eme, on note $\reg_{\star}$ l'unique morphisme 
de $(\Q\pol Y,\star )$ qui laisse fixes les mots convergents,
et v\'erifie $\reg_{\star}(y_1)=0$.
\end{definition}
On a alors~:
\begin{eqnarray*}\zeta_{\shuffle}=\zeta \circ \reg_{\shuffle},\qquad et\quad
\zeta_{\star}=\zeta \circ \reg_{\star}.
\end{eqnarray*}
Le calcul de $\reg_{\shuffle}$ et de $\reg_{\star}$ permet donc de 
calculer syntaxiquement les r\'egularisation pour $\shuffle$ et pour 
$\star$.
\subsection{R\'egularisation et s\'erie diagonale} 

Nous utilisons la {\em factorisation de Lyndon}. 
Un mot $w\in X^{*}$ est un mot de Lyndon si et seulement si
il est strictement plus petit (pour l'ordre lexicographique)
 que tout ses facteurs droits propres. 

Soit $l$ un mot de Lyndon. Le {\em crochetage 
standard} $P(l)$ de $l$ est le polyn\^ome de Lie d\'efini 
r\'ecursivement comme suit~:
\begin{eqnarray*}
P(x_{j})&=&x_{j}\qquad\quad \mbox{si } x_{j}\in X\\
P(l)&=& [m,n]\quad\ \, \mbox{si $n$ est le plus grand facteur 
}\\
\notag
&&\kern1.8cm\mbox{droit propre de 
Lyndon de $l$}
\end{eqnarray*}
La base de Poincar\'e-Birkhoff-Witt \cite{reutenauer} de $\Q\pol X$ est 
constitu\'ee de tous les produits d\'ecroissants de la forme $P^{i_{1}}(l_{1})P^{i_{2}}(l_{2})\ldots P^{i_{k}}(l_{k})$
avec $l_{1}>l_{2}>\ldots >l_{k}$. La base duale contient
en particulier les duaux $P^\star (l)$ des polyn\^omes $P(l)$.

On munit le produit tensoriel compl\'et\'e $\Q\pol X\widehat\otimes \Q\pol X$,
de l'op\'eration suivante~: le shuffle $\shuffle$ pour le facteur gauche,
et la concat\'enation pour le facteur droit. (On peut aussi le 
consid\'erer comme l'alg\`ebre $(\llm Sh_{A}\pol X)\pol X$ des polyn\^omes \`a 
coefficients dans l'alg\`ebre de m\'elange).
La s\'erie diagonale 
\begin{eqnarray*}\sum_{w\in X^*}w\otimes w
\in \Q\pol X\widehat\otimes \Q\pol X
\end{eqnarray*}
est une repr\'esentation de l'application identit\'e 
de $\Q \pol X$ dans lui-m\^eme.
Par un th\'eor\`eme de Sch\"utzenberger \cite{reutenauer}, elle se factorise
en un produit infini, index\'e par 
les mots de Lyndon en ordre d\'ecroissant~:
\begin{eqnarray}\label{diagonale}
\sum_{w\in X^*}w\otimes w=e^{x_1\otimes x_1}
\biggl[\prod_{l\in\Lyndon(X)\setminus X}
e^{P^*(l)\otimes P(l)}\biggr]e^{x_0\otimes x_0}.
\end{eqnarray}
Posons~:
\begin{eqnarray*}
\Phi_{\shuffle}=\sum_{w\in X^*} \reg _{\shuffle}(w)\otimes w
\quad\mbox{et}\quad
\Phi_{\star}=\Sum{w\in Y^*}{}\reg_{\star}(w)\otimes w.
\end{eqnarray*} 
\begin{theorem} \cite{racinet}
On a le r\'esultat {\em global} suivant~:
\begin{eqnarray*}
\Phi_{\shuffle}=
e^{-x_1\otimes x_1}\biggl[\sum_{w\in X^*}w\otimes w\biggr]e^{-x_0\otimes x_0}
\quad\mbox{et}\quad 
\Phi_{\star}=e^{-y_1\otimes y_1}\biggl[\sum_{w\in Y^*}w\otimes w\biggr].
\end{eqnarray*}
\end{theorem}
\begin{preuve}
Dans l'expression (\ref{diagonale}), les polyn\^omes $P(l)$ et $P^\star (l)$,
pour $l\notin\{x_{0},x_{1}\}$ appartiennent \`a $\mathrm{C}_{1}$,
et donc restent fixes par $\zeta _{\shuffle}$. 
En prenant l'image de la s\'erie diagonale par le morphisme
$\reg_{\shuffle}\otimes id$, on en tire~:
\begin{eqnarray*}
\displaystyle{\Phi_{\shuffle}
=\prod_{l\in\Lyndon(X)\setminus X}
e^{P^*(l)\otimes P(l)}}
\end{eqnarray*} 
d'o\`u le r\'esultat.

La m\^eme d\'emonstration vaut pour $\Phi_{\star}$, mutatis mutandis,
en utilisant les mots de Lyndon sur l'alphabet $Y$. 
Les polyn\^omes de $\mathrm{C}_{2}$ restent fixes 
par $\zeta_{\star}$.
On utilise la s\'erie diagonale dans $\Q\pol Y\widehat\otimes \Q\pol Y$
avec l'op\'eration~: $\star$ sur le membre gauche, concat\'enation 
sur le membre droit, et le morphisme $\reg_{\star}\otimes id$.
\end{preuve}

\begin{corollary}
On pose~:
\begin{eqnarray*}
Z=\sum_{w\in X^*}(\zeta\circ\reg_{\shuffle}(w))\;w.
\end{eqnarray*}
La s\'erie non commutative $Z$, au signe pr\`es, 
n'est autre que l'associateur de Drinfel'd.
\end{corollary}
En effet, $Z$ est l'image par $(\zeta_{\shuffle}\otimes Id)$ de la s\'erie
diagonale. Elle est l'unique exponentielle de Lie telle que \cite{FPSAC98}~:
\begin{eqnarray*}
(Z|x_0)=(Z|x_1)=0\quad\mbox{et}\quad\forall w\in x_0X^*x_1,\quad(Z|w)=\zeta(w).
\end{eqnarray*} 

\subsection{R\'egularisation syntaxique}
On utilise dans cette partie le calcul syntaxique des deux 
r\'e\-gu\-la\-ri\-sa\-tions en utilisant la combinatoire des mots.
\subsubsection{La r\'egularisation pour le 
premier m\'elange $\reg_{\shuffle}$}
\begin{definition}
Soit $a$ l'application {\em antipode} de $A\ser X$ dans lui-m\^eme. 
Pour tout $w\in X^{*}$ on a $a(w)=(-1)^{\mid w\mid}\tilde w$.
Pour un mot sur une seule lettre $x$ ($x_{0}$ ou $x_{1}$), 
on a donc $a(x^k)=(-x)^k$.
\end{definition}

\begin{proposition}\label{regulariser}
Pour tous $U\in A\ser X$, 
et $S_{1}\in A\ser {x_{1}}$ (resp. $S_{0}\in A\ser {x_{0}}$), on a~:
$$\reg_{\shuffle}(S_{1}x_0U)=\reg_{\shuffle}(x_0[a(S_{1})\shuffle U])
\quad\mbox{et}\quad
\reg_{\shuffle}(Ux_1S_0)=\reg_{\shuffle}([U\shuffle a(S_{0})]x_1),$$
et par cons\'equent~:
$$\reg_{\shuffle}(S_{1}x_0Ux_{1})=x_0[a(S_{1})\shuffle(Ux_{1})]
\quad\mbox{et}\quad
\reg_{\shuffle}(x_{0}Ux_1S_0)=[(x_{0}U)\shuffle a(S_{0})]x_1.$$
\end{proposition}
\begin{preuve}
Il suffit de d\'emontrer la proposition pour $S_{1}=x_{1}^k$
(resp. $S_{0}=x_{0}^k$), avec $k$ entier positif, et o\`u $U$ et $V$ sont 
des mots de $x_0X^*x_1$, c'est-\`a-dire~:
\begin{eqnarray*}
\reg_{\shuffle}(x_1^kx_0u)=x_0[(-x_1)^k\shuffle u]
\quad\mbox{et}\quad
\reg_{\shuffle}(vx_1x_0^k)=[V\shuffle(-x_0)^k]x_1.
\end{eqnarray*}
La premi\`ere expression est une cons\'equence de l'identit\'e 
syntaxique suivante \cite{hoang3}~:
\begin{eqnarray}\label{MZVdvg}
\forall k\ge0,\forall u\in X^*,\quad
x_1^kx_0u=\sum_{l=0}^kx_1^l\shuffle(x_0[(-x_1)^{k-l}\shuffle u]).
\end{eqnarray}
En appliquant le morphisme de miroir, puis le morphisme de 
substitution
$\sigma(x_0)=x_1$ et $\sigma(x_1)=x_0$ dans les deux membres de 
(\ref{MZVdvg}),
on obtient une identit\'e duale conduisant \`a la seconde expression.
\end{preuve}

{\em La r\'egularisation pour le second m\'elange 
$\reg_{\star}$ est donn\'ee par}~:


\begin{lemme}[\cite{cartier}]\label{iharakaneko}
Pour tout $w\in y_{1}Y^{*}$ et $m\ge0$, on a
$$\reg_{\star}(y_1^mw)=\Sum{i=0}{m}\frac{(-y_1)^{\star 
i}}{i!}\star(y_1^{m-i}w).$$
\end{lemme}

\begin{preuve}
Avec l'expression de l'exponentielle et d'apr\`es la d\'efinition
du produit de Cauchy des s\'eries formelles non commutatives,
nous obtenons le r\'esultat voulu (en identifiant terme par terme 
dans $\Phi_{\star}$).
\end{preuve}

\begin{lemme}[Lemme binomial]
$$y_1^{\star k}\star uv=\Sum{i=0}{k}
\binom{k}{i}[y_1^{\star i}\star u]D^{k-i}(v),\mbox
{o\`u $D(v)=y_1\star v-y_1v$.}$$
\end{lemme}
\begin{preuve}
Pour $k=1$, on a $y_1\star uv=(y_1\star u)v+uD(v)$.
On suppose la formule vraie (pour l'entier $k$). On en tire~:
\begin{eqnarray*}
y_1^{\star k+1}\star uv
&=&y_1^{\star k}\star[(y_1\star u)v+uD(v)]\\
&=&\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}[y_1^{\star i+1}\star u]D^{k-i}(v)
+\sum_{i=0}^k \binom{k}{i}[y_1^{\star i}\star u]D^{k+1-i}(v)\\
&=&\sum_{j=0}^{k+1}\binom{k+1}{j}[y_1^{\star j}\star u]D^{k+1-j}(v).
\end{eqnarray*}
\end{preuve}

\begin{proposition}[Formule d'inversion] Pour tout entier $k$ 
strictement positif, on a~:
$$y_1^k=\Frac{(-1)^{k-1}}k\Sum{l=0}{k-1}(-1)^ly_1^l\star y_{k-l}.$$
\end{proposition}

\begin{preuve}
C'est la cons\'equence de la propri\'et\'e
$y_1^l\star y_k=y_1^{l-1}\shuffle y_{k+1}+y_1^l\shuffle y_k$,
pour $k$ et $l\ge1$, o\`u $\shuffle $ d\'esigne ici le
 m\'elange ordinaire, mais
sur l'alphabet $Y$.
En effet en appliquant cette propri\'et\'e au second membre du 
r\'esultat souhait\'e, nous obtenons~:
\begin{eqnarray*}
y_k-(y_k+y_1\shuffle y_{k-1})+(y_1\shuffle y_{k-1}+y_1^2\shuffle y_{k-2})
+\ldots&&\cr
\phantom{y_k-(y_k+y_1\shuffle y_{k-1})}-(-1)^k(y_1^{k-2}\shuffle y_2+y_1^{k-1}\shuffle y_1)\cr
&=&(-1)^{k-1}ky_1^k.
\end{eqnarray*}
\end{preuve}

\begin{corollary}\label{cc}
Pour $k>2$, nous avons
$$\reg_{\star}(y_1^k)=\Frac{(-1)^{k-1}}ky_k
+\Sum{l=2}{k-2}\Frac{(-1)^{k-1-l}}k\reg_{\star}(y_1^l)\star y_{k-l}.$$
\end{corollary}

\begin{proposition}\label{a}
Pour tout mot $w\in x_0X^*x_1$, on a 
$$\reg_{\star}(y_1^mw)=
\Sum{p=0}{m}\frac{(-1)^p}{p!}\reg_{\star}(y_1^{m-p})\;D^p(w).$$
\end{proposition}
\begin{preuve}
En utilisant le lemme~\ref{iharakaneko} puis le lemme binomial, on a 
successivement~:
\begin{eqnarray*}
\reg_{\star}(y_1^mw)
&=&\sum_{k=0}^m\frac{(-1)^k}{k!}\biggl[\sum_{p=0}^m\binom{k}{p}
(y_1^{\star k-p}\star y_1^{m-k})\biggr]\;D^{p}(w),\\
&=&\sum_{p=0}^m \sum_{k=p}^m\frac{(-1)^k}{p!(k-p)!}
(y_1^{\star k-p}\star y_1^{n-k})\;D^{p}(w),\\
&=&\sum_{p=0}^m\frac{(-1)^p}{p!}
\biggl[\sum_{k=p}^m\frac{(-y_1)^{\star k-p}}{(k-p)!}
\star y_1^{m-k}\biggr]\;D^{p}(w),\\
&=&\sum_{p=0}^m\frac{(-1)^p}{p!}\reg_{\star}(y_1^{m-p})\;D^{p}(w).
\end{eqnarray*}
\end{preuve}
Le corollaire~\ref{cc} et la proposition~\ref{a} terminent la 
r\'egulation
syntaxique des mots $y_1^mw$ par $\reg_{\star}$.

\subsection{Un exemple~: les int\'egrales d'Arakawa et Kaneko}
Arakawa et Kaneko ont d\'efini, pour $k_1,\ldots,k_n\ge1$,
l'int\'e\-grale suivante \cite{arakawakaneko}~:
\begin{eqnarray*}
\xi_{k_1,\ldots,k_n}(s)
=\frac1{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{\Li_{k_1,\ldots,k_n}(1-e^{-t})}{e^t-1}
\frac{dt}{t^{1-s}}.
\end{eqnarray*}
Arakawa et Kaneko ont montr\'e que $\xi_{k,\{1\}^{r-1}}(l)$
est un polyn\^ome en des \MZV's.
Ils ont pos\'e la question de la possibilit\'e d'exprimer
l'int\'egrale $\xi_{k_1,\ldots,k_n}(l)$ en termes des \MZV's 
 \cite{arakawakaneko}.
Nous allons montrer que cette question a une r\'eponse positive
et qu'elle d\'epend seulement de l'expression des 
$\Li_{k_1,\ldots,k_n}(1-t)$
en des polylogarithmes de profondeur inf\'erieure \`a $n$ et de poids
inf\'erieur \`a $\sum_{i=1}^nk_i$.
Effectuons le changement de variable $t\rightarrow e^{-t}$, nous 
obtenons~:
\begin{eqnarray*}
\xi_{k_1,\ldots,k_n}(s)&=&\int_0^1\calB_{k_1,\ldots,k_n}(t)
\frac{\log^{s-1}(1/t)}{\Gamma(s)}\frac{dt}{t},\cr
&&\mbox{o\`u}\quad
\calB_{k_1,\ldots,k_n}(z)=\frac{z}{1-z}\Li_{k_1,\ldots,k_n}(1-z). 
\end{eqnarray*}

\begin{theorem}\label{kaneko}
Pour tout entier $k_1,\ldots,k_n\ge1$, l'int\'egrale 
$\xi_{k_1,\ldots,k_n}(s)$
est un polyn\^ome en les polyz\^etas \`a coefficients rationnels.
\end{theorem}
Ceci est une cons\'equence directe de l'\'equation fonctionnelle 
suivante
 \cite{FPSAC99}~:
\begin{eqnarray*}
L(1-t)=\sigma[L(t)]\;Z,\quad t\in[0,1[,\label{1-z}
\end{eqnarray*}
o\`u $\sigma$ est le morphisme {\em involutif} de substitution 
d\'efini par
$\sigma(x_0)=-x_1$ et $\sigma(x_1)=-x_0$.
Une des cons\'equences de l'\'equation fonctionnelle (\ref{1-z})
est que pour tout mot $w\in X^*$, le polylogarithme $\Li_w(1-t)$
est un polyn\^ome en les polylogarithmes indic\'es par les mots de 
Lyndon
de profondeur plus petite ou \'egale \`a $|w|$ et \`a coefficients dans 
l'alg\`ebre des \MZV's\ \cite{FPSAC99}. Par cons\'equent~:

\begin{proposition}\label{Lik(1-t)}
Pour tout entier $r,k\ge1$, nous avons~:
\begin{eqnarray*}
\Li_{k,\{1\}^{r-1}}(1-t)
&=&\Sum{l=0}{k-2}\zeta(k-l)\Frac{\log^l(1-t)}{\Gamma(l+1)}
+\frac{\log^r(1/t)}{\Gamma(r+1)}\frac{\log^{k-1}(1-t)}{\Gamma(k)}\\
&&+(-1)^{r}\sum_{l=0}^{k-2}\frac{\log^l(1-t)}{\Gamma(l+1)}
\Li_{x_0(x_1^{k-1-l}\shuffle x_0^{r-1})}(t).
\end{eqnarray*}
\end{proposition}

\begin{preuve}
En identifiant le coefficient du mot $x_0^{k-1}x_1^r$ dans 
(\ref{1-z}),
nous obtenons~:
\begin{eqnarray*}
\Li_{x_0^{k-1}x_1^r}(1-t)
&=&\sum_{l=0}^{k-1}\zeta\circ\reg_{\shuffle}(x_0^{k-1-l}x_1^r)
\Li_{\sigma(x_0^l)}(t)\\
&&+\sum_{l=1}^{r-1}\zeta\circ\reg_{\shuffle}(x_1^{r-l})
\Li_{\sigma(x_0^{k-1}x_1^l)}(t)
+\Li_{\sigma(x_0^{k-1}x_1^r)}(t)\\
&=&\sum_{l=0}^{k-2}\zeta(x_0^{k-1-l}x_1)
\frac{\log^l(1-t)}{\Gamma(l+1)}-(-1)^{k+r}\Li_{x_1^{k-1}x_0^r}(t).
\end{eqnarray*}
L'identit\'e syntaxique (\ref{MZVdvg}) nous donne le r\'esultat en 
prenant
$u=x_0^{r-1}$.
\end{preuve}
En particulier, pour tout entier $k\ge1$, le polylogarithme 
$\Li_k(1-t)$ est un polyn\^ome en les logarithmes $\log(1-t)$ et en 
les polylogarithmes $\{\Li_{\{1\}^q,2}(t)\}_{0<q<k}$
dont les coefficients sont des \MZV's\ simplement indic\'es.
\begin{corollary}\label{xi}
Pour pour tous entiers $r,k,l$ avec $r,k\ge1$, nous avons~:
\begin{eqnarray*}
\xi_{k,\{1\}^{r-1}}(l)
&=&\sum_{i=0}^{k-2}(-1)^i\zeta(k-i)\zeta(l,\{1\}^i)
+\frac{\Gamma(r+l)}{\Gamma(r+1)\Gamma(l)}\zeta(r+l,\{1\}^{k-1})\cr
&+&\sum_{i=0}^{k-2}(-1)^{r+i}
\zeta[x_0^{l-1}x_1^ix_0(x_0^{r-1}\shuffle x_1^{k-i-2})x_1]\cr
&+&\sum_{i=0}^{k-2}(-1)^{r+i}\sum_{j=1}^{r-1}
\zeta\biggl([(x_0^{l-1}x_1^ix_0(x_0^{r-1}\shuffle x_1^{k-1-i}))\shuffle(-x_0)^j]x_1\biggr).
\end{eqnarray*}
\end{corollary}

\begin{preuve}
D'apr\`es la proposition~\ref{Lik(1-t)} et la transformation 
polylogarithmique, on obtient~:
\begin{eqnarray*}
\xi_{k,\{1\}^{r-1}}(l)
&=&\sum_{i=0}^{k-2}(-1)^i\zeta(k-i)\zeta(l,\{1\}^i)
+\frac{\Gamma(r+l)}{\Gamma(r+1)\Gamma(l)}\zeta(r+l,\{1\}^{k-1})\cr
&+&\sum_{i=0}^{k-2}(-1)^{r+i}
\zeta_{\shuffle}(x_0^{l-1}x_1^ix_0[x_1^{k-1-i}\shuffle x_0^{r-1}]).
\end{eqnarray*}
La derni\`ere somme contient des \MZV's divergents que l'on peut, de 
nouveau, r\'e\-gu\-la\-ri\-ser en utilisant la proposition~\ref{regulariser}.
En effet, en utilisant la d\'efinition du produit de m\'elange, nous avons~:
\begin{eqnarray*}
x_0^k\shuffle x_1^l=(x_0^k\shuffle x_1^{l-1})x_1+
\sum_{j=1}^k(x_0^{k-j}\shuffle x_1^{l-1})x_1x_0^j.
\end{eqnarray*}
D'o\`u, en posant $w=x_0^{l-1}x_1^ix_0$, nous avons~:
\begin{eqnarray*}
w(x_0^{r-1}\shuffle x_1^{k-1-i})=w(x_0^{r-1}\shuffle x_1^{k-i-2})x_1
+\sum_{j=1}^{r-1}w(x_0^{r-1-j}\shuffle x_1^{k-i-2})x_1x_0^j
\end{eqnarray*}
et d'apr\`es la proposition~\ref{regulariser}, nous avons aussi~:
\begin{eqnarray*}
\reg_{\shuffle}[w(x_0^{r-1}\shuffle x_1^{k-1-i})]
&=&w(x_0^{r-1}\shuffle x_1^{k-i-2})x_1\cr
&&+\sum_{j=1}^{r-1}[(w(x_0^{r-1}\shuffle x_1^{k-1-i}))\shuffle(-x_0)^j]x_1.
\end{eqnarray*}
En appliquant le morphisme $\zeta$, nous obtenons le r\'esultat voulu.
\end{preuve}

\section{Polylogarithmes de Hurwitz}

\subsection{D\'efinition et propri\'et\'es de base}\label{Hurwitz}

\begin{definition}\label{Lerch}
Soit $r$ un entier strictement positif. 
Pour toute composition $\mathbf s=s_1,\ldots,s_r$ et toutes variables formelles
$t_1,\allowbreak\ldots,\allowbreak t_r$, nous appelons
{\em fonction de Lerch g\'en\'eralis\'ee}, la fonction d\'efinie par~:
\begin{eqnarray*}\label{lerch}
\Phi_{s_1,\ldots,s_r}(z;t_1,\ldots,t_r)
=\sum_{n_1>\ldots>n_r>0}\frac{z^{n_1}}{(n_1-t_1)^{s_1}\ldots(n_r-t_r)^{s_r}},
\quad |z|<1.
\end{eqnarray*}
Le {\em polyz\^eta de Hurwitz} associ\'e est alors~:
\begin{eqnarray*} \label{mhurwitz}
\zeta[(s_1;t_1),\ldots,(s_r;t_r)]=\Phi_{s_1,\ldots,s_r}(1;t_1,\ldots,t_r).
\end{eqnarray*}
\end{definition}
Ces s\'eries comportent des termes divergents que nous 
examinerons en Section~\ref{reg}.

\begin{proposition}
Les polyz\^etas de Hurwitz v\'erifient les \'equations fonctionnelles~:
\begin{eqnarray*}
\zeta[(s_1;t_1),\ldots,(s_i;t_i),\ldots,(s_r;t_r)]
-\zeta[(s_1;t_1),\ldots,(s_{i-1};t_{i-1}),
(s_i;t_i-1),\ldots,(s_r;t_r)]\\
=(1-t_i)^{-s_i}
\zeta[(s_1;t_1),\ldots,(s_{i-1};t_{i-1}),(s_{i+1};t_{i+1}),
\ldots,(s_r;t_r)].
\end{eqnarray*}
\end{proposition}

\begin{proposition}
Les polyz\^etas de Hurwitz v\'erifient l'\'equation diff\'erentielle~:
$${\partial}/{\partial t_i}
\zeta[(s_1;t_1),\ldots,(s_i;t_i),\ldots,(s_r;t_r)]=
s_i\zeta[(s_1;t_1),\ldots,(s_i+1;t_i),\ldots,(s_r;t_r)].$$
\end{proposition}

\subsection{Premier codage des polyz\^etas de Hurwitz}
Soit $X=\{x_{0},x_{1}\}$. D'apr\`es le th\'eor\`eme de convolution, 
ces fonctions de Lerch
peuvent \^etre repr\'e\-sen\-t\'ees par les int\'egrales it\'er\'ees
avec les deux formes diff\'erentielles $\omega_0$ et $\omega_1$~:
\begin{eqnarray*}
\omega_{0}=\frac{dz}{z}\quad\mbox{et}\quad\omega_{1}=\frac{dz}{1-z}.
\end{eqnarray*}
Si $S$ est une s\'erie propre, on pose $S^{*n}=(S^{*})^n$. 
De l'identit\'e rationnelle~:
 \begin{eqnarray*}
 (tx_0)^*\shuffle x_0^{s-1}
 =[(tx_0)^{*}x_{0}]^{s-1}(tx_0)^*=x_{0}^{s-1}[(tx_{0})^{*s}],
 \end{eqnarray*} 
on d\'eduit, en appliquant successivement la 
 transformation polylogarithmique~:
\begin{proposition}
$\Phi_{s_1,\ldots,s_r}(z;t_1,\ldots,t_r)
=\alpha_0^z[x_0^{s_1-1}(t_{1}x_{0})^{*s_{1}}x_1
\ldots x_0^{s_r-1}(t_rx_0)^{*s_{r}}x_1]$.
\end{proposition}

D'apr\`es la formule r\'ecursive (\ref{sh:su}),
cette classe de s\'eries rationnelles est 
stable par le produit $\shuffle$.

\begin{exemple}[\cite{FPSAC95}] La s\'erie g\'en\'eratrice commutative
suivante~:
\begin{eqnarray*}
\calL_1(z;t_{1}\ldots t_{r})=
\sum_{s_1,\ldots,s_r>0}\Li_{s_1,\ldots,s_r}(z)\;t_1^{s_1-1}\ldots 
t_r^{s_r-1},
\end{eqnarray*}
 o\`u les variables formelles $t_{i}$ commutent avec les 
lettres $x_{0}$ et $x_{1}$, v\'erifie~:
\begin{eqnarray*}
\calL_1(z;t_{1}\ldots t_{r})=\alpha_{0}^z[(t_1x_0)^*x_1\ldots (t_rx_0)^*x_1].
\end{eqnarray*}
\end{exemple}

\begin{exemple}[\cite{FPSAC95}] De m\^eme, la s\'erie g\'en\'eratrice
suivante~:
\begin{eqnarray*}\calL_2(z;t_{1}\ldots t_{r})=
\sum_{s_1,\ldots,s_r>1}
s_1\ldots s_r\Li_{s_1+1,\ldots,s_r+1}(z)\;t_1^{s_1}\ldots t_r^{s_r},
\end{eqnarray*}
 o\`u les $s_{i}$ sont des entiers, et 
o\`u les variables formelles $t_{i}$ commutent avec les 
lettres $x_{0}$ et $x_{1}$, v\'erifie~:
\begin{eqnarray*}\calL_2(z;t_{1}\ldots t_{r})=\alpha_{0}^z
[t_1x_0(t_1x_0)^{*2}x_1
\ldots t_rx_0(t_rx_0)^{*2} x_1].
\end{eqnarray*}
\end{exemple}
En effet, pour toute lettre $x\in X$ on a~:
\begin{eqnarray*}
x^*\shuffle x=x^*xx^*=x(x^{*})^{2}=\sum_{n\ge1}nx^n.
\end{eqnarray*}

Les m\^emes s\'eries rationnelles codent respectivement
les s\'eries g\'en\'eratrices des polyz\^etas
\begin{eqnarray*}
\calZ_1(t_{1}\ldots t_{r})=\calL_1(1;t_{1}\ldots t_{r}),\qquad 
et \quad \calZ_2(t_{1}\ldots t_{r})=\calL_2(1;t_{1}\ldots t_{r}).
\end{eqnarray*} 
(sous r\'eserve de convergence, c'est-\`a-dire
apr\`es r\'egularisation par $\reg_{\shuffle}$).

\subsection{Deuxi\`eme codage des polyz\^etas de Hurwitz}
Pour toute variable formelle $t$ introduisons la 1-forme 
diff\'erentielle
\begin{eqnarray*}
\Omega_{t}=z^{-t}\frac{dz}{1-z}=\frac{dz}{z^t (1-z)}.
\end{eqnarray*}

Soient $T=\{t_1,\ldots,t_r\}$ et $\bar T=\{\bar t_1,\ldots,\bar t_r\}$
deux familles de param\`etres, li\'ees par le changement de variables suivant~:
\begin{eqnarray}\label{swap1}
t_1=\bar t_1+\bar t_2+\ldots+\bar t_r,\quad
t_2=\bar t_2+\bar t_3+\ldots+\bar t_r,\quad
\ldots,\quad t_r=\bar t_r.
\end{eqnarray}
Le changement de variables inverse est donn\'e par~:
\begin{eqnarray} \label{swap}
\bar t_1=t_1-t_2,\ldots,\quad\bar t_{r-1}=t_{r-1}-t_r,\quad\bar t_r=t_r.
\end{eqnarray}
Soit $X_{\bar T}$ l'alphabet $\{x_{0},x_{\bar t_{1}},\ldots x_{\bar t_{r}}\}$
associ\'ees aux 1-formes suivantes~:
\begin{eqnarray*}
\omega_{0}\quad\mbox{et}\quad\Omega_{\bar t_{i}},\quad i=1,2\ldots r.
\end{eqnarray*}
Nous obtenons~:

\begin{proposition}[\cite{FPSAC95}]\label{mot}
$\Phi_{s_1,\ldots,s_r}(z;t_1,\ldots,t_r)=z^{t_1}\Int{0}{z}
\omega_0^{s_1-1}\Omega_{\bar t_1}\ldots\omega_0^{s_r-1}\Omega_{\bar t_r}$.
\end{proposition}

\begin{corollary}
$\zeta[x_0^{s_1-1}(t_1x_0)^{*s_1}x_1
\ldots x_0^{s_r-1}(t_rx_0)^{*s_r}x_1]=
\zeta(x_0^{s_1-1}x_{\bar t_1}\ldots x_0^{s_r-1}x_{\bar t_r})$.
\end{corollary}
Le produit de m\'elange $\shuffle_{\bar T}$ v\'erifie~:

\begin{theorem}[\cite{FPSAC95}]
Pour tous mots $U,V\in X_{\bar T}^*x_{\bar T}$, on a~:
$$\zeta(U\shuffle _{\bar T} V)=\zeta(U)\zeta(V).$$
\end{theorem}

\subsection{Troisi\`eme codage des polyz\^etas de Hurwitz}

Nous \'etudions \`a pr\'esent le codage d\'efini par les suites finies de la 
forme~:
$$(u_{1};\mu_{1}),(u_{2};\mu_{2}),\ldots ,
(u_{r};\mu_{r})$$
Soit $\llm U$ l'ensemble de ces suites.
Un \'el\'ement de $\llm U$ est soit la suite vide, soit une suite 
$U=(u_{1};\mu_{1}),U'$ avec $U'\in \llm U$.
Or on a~:
\begin{eqnarray*}
\textstyle{\zeta(u;\mu)\zeta(v;\nu)}&=&
\sum_{n>m>0}\textstyle{ \frac1{(n-\mu)^u(m-\nu)^v} }
+\displaystyle{\sum_{n>m>0}}\textstyle{\frac1{(n-\nu)^v(m-\mu)^u}}
+\displaystyle{\sum_{n>0}}\textstyle{\frac1{(n-\mu)^u(n-\nu)^v}.} 
\end{eqnarray*}
D\'ecomposons $1/[(n-\mu)^u(n-\nu)^v]$ en \'el\'ements simples, nous obtenons~:
\begin{eqnarray*}
&&\zeta(u;\mu)\zeta(v;\nu)= \zeta[(u;\mu),(v;\nu)]
+\zeta[(v;\nu),(u;\mu)]\\
&& \quad+\sum_{k=0}^{v-1}\tbinom{u-1+k}{u-1}
\frac{(-1)^k}{(\nu-\mu)^{u+k}}\zeta(v-k;\nu)
+(-1)^v
\sum_{k=0}^{u-1} \tbinom{v-1+k}{v-1} 
\frac1{(\nu-\mu)^{v+k}}\zeta(u-k;\mu).\notag
\end{eqnarray*}
Ceci nous conduit \`a d\'efinir un nouveau produit de m\'elange sur 
$\llm U$~:

\begin{definition}\label{nouvelmelange}
Consid\'erons $U=(u;\mu),U'$ et $V=(v;\nu),V'$,
o\`u $u$ et $v$ sont des entiers, o\`u $\mu$ et $\nu$ sont des 
variables
formelles, o\`u $U'$ et $V'$ sont dans $\llm U$.
Le produit de m\'elange ``$U \bullet V$" est d\'efini comme suit~:
\begin{system}
\notag
U\bullet\epsilon&=&\epsilon\bullet U\quad=\quad U,\\
\notag
U\bullet V&=&(v;\nu),U\bullet V'+(u;\mu),U'\bullet V\\
\notag
&+&\Sum{k=0}{v-1}\tbinom{u-1+k}{u-1} 
\frac{(-1)^k}{(\mu-\nu)^{u+k}}(u-k;\mu),U'\bullet V'\cr
\notag
&+&(-1)^v\Sum{k=0}{u-1} \tbinom{v-1+k}{v-1} 
\frac1{(\mu-\nu)^{v+k}}(v-k;\nu),U'\bullet V'.
\end{system}
\end{definition}

\begin{theorem}\label{th2}
Soient $U=(u_1;\mu_1),\ldots,(u_k;\mu_k)$ et 
$V=(v_1;\nu_1),\ldots,\allowbreak(v_l;\nu_l)$. On a~:
$$\zeta(U\bullet V)=\zeta(U)\zeta(V).$$ 
\end{theorem}

\subsection{R\'egularisation des polyz\^etas de Hurwitz 
divergents}\label{reg}

Nous voulons donc r\'egulariser les expressions de la forme~:
\begin{eqnarray}\label{casgene}
S_{1}=H_{1}H_{2}\ldots H_{q}K
\end{eqnarray}
o\`u l'on a pos\'e, pour $1\le k\le q$~:
\begin{eqnarray*}
H_{k}=x_{0}^{s_{k}-1}(t_{k}x_{0})^{*s_{k}}x_{1}
\quad\mbox{et}\quad
K=x_{0}^{s_{q+1}-1}(t_{q+1}x_{0})^{*s_{q+1}}.
\end{eqnarray*}
La s\'erie $S_{1}$ se met sous la forme g\'en\'erale~:
\begin{eqnarray*}
S_{1}=FGK, 
\end{eqnarray*}
o\`u, pour $0\le r\le q$~:
\begin{eqnarray*}
\quad F=H_{1}H_{2}\ldots H_{r},
\quad G=1\qquad ou\quad G=H_{r+1}\ldots H_{q},\cr
\quad avec\quad s_{1}=\ldots=s_{r}=1,\qquad et \quad s_{r+1}>1.\qquad
\end{eqnarray*}
La s\'erie $\alpha_{0}^{1}(G)$ est convergente. 
La s\'erie $\alpha_{0}^{1}(K)$ est sur
l'aphabet \`a une lettre $\{x_{0}\}$, et $\reg\shuffle (K)$
est \'egale \`a $1$ si $s_{q+1}=1$, \`a $0$ sinon.
Finalement, la somme $\alpha_{0}^{1} (S_{1})$ est 
convergente si et seulement si
$F=K=1$, autrement dit, si $r=0$, $s_{1}>1$,
 et $t_{q+1}=0$). On a dans ce cas~:
\begin{eqnarray*}
\alpha_{0}^1(S_{1})=\zeta [(s_{1};t_{1}),\ldots,(s_{q};t_{q})]
=\sum_{n_1>\ldots>n_q>0}\frac{1}{(n_1-t_1)^{s_1}
\ldots(n_r-t_r)^{s_q}}.
\end{eqnarray*}
{\bf Premier cas.}
R\'egularisation de 
$F=(t_{1}x_{0})^{*}x_{1}(t_{2}x_{0})^{*}x_{1}\ldots
(t_{r}x_{0})^{*}x_{1}$ (avec $r\ge 1$).
Nous allons r\'egulariser la somme plus g\'en\'erale~:
\begin{eqnarray}\label{G1}
F_{1}=(t_{1}x_{0})^{*s_{1}}x_{1}(t_{2}x_{0})^{*s_{2}}x_{1}\ldots
(t_{r}x_{0})^{*s_{r}}x_{1}.
\end{eqnarray}
Nous posons $F_{r+1}=1$ et pour $j=1\ldots r$~:
\begin{eqnarray*}
F_{j}=(t_{j}x_{0})^{*s_{j}}x_{1}\ldots
(t_{r}x_{0})^{*s_{r}}x_{1}.
\end{eqnarray*}
\begin{remark}
La s\'erie $F_{1}$ (resp. $F_{j}$) est une combinaison lin\'eaire
des expressions rationnelles codant les fonctions de Lerch.
Ceci d\'ecoule de l'identit\'e rationnelle~:
\begin{eqnarray*}x^{*n}=x^*\shuffle(1-x)^{n-1}
=\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}x^*\shuffle x^i
=\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}x^ix^{*i+1}.
\end{eqnarray*}
\end{remark} 

Nous utiliserons le lemme~:
\begin{lemme} Soit $x$ une lettre. On a l'identit\'e rationnelle~:
$x^{*n}=1+x\Sum{i=1}n x^{*i}$.
\end{lemme}
\begin{preuve}
Preuve par induction, en utilisant l'identit\'e~:
\begin{eqnarray*}
x^{*n}=(1+xx^*)x^{*n-1}=x^{*n-1}+xx^{*n}.
\end{eqnarray*}
\end{preuve}
On en d\'eduit les identit\'es, pour $j=1\ldots r$~:
\begin{eqnarray*}
H_{j}&=&x_{1}+(t_{j}x_{0})
\sum_{i=1}^{s_{j}} (t_{j}x_{0})^{*i}x_{1},\\
F_{j}\ =\ H_{j}F_{j+1}
&=&x_{1}F_{j+1}+(t_{j}x_{0})R_{j},\\
\mbox{o\`u}\quad R_{j}
&=&\sum_{i=1}^{s_{j}} (t_{j}x_{0})^{*i}x_{1}F_{j+1}.
\end{eqnarray*}
\begin{lemme} Soit $V\in A\ser X $. On a l'identit\'e~:
$F_{1}V=\Sum{j=1}{r}x_{1}^{j-1}(t_{j}x_{0})R_{j}V$.
\end{lemme}
\begin{proposition}\label{prereg}
 Soit $V\in A\ser X $. On a l'identit\'e~:
\begin{eqnarray*}
\reg_{\shuffle}(F_{1}V)&=&
\reg_{\shuffle}\biggl(
\sum_{j=1}^{r}(-1)^{j-1}(t_{j}x_{0})[x_{1}^{j-1}\shuffle(R_{j}V)]\biggr),\\
\reg_{\shuffle}(F_{1})&=&
\sum_{j=1}^{r}(-1)^{j-1}(t_{j}x_{0})[x_{1}^{j-1}\shuffle R_{j}].
\end{eqnarray*}
\end{proposition}
\begin{preuve}
La preuve d\'ecoule directement du lemme pr\'ec\'edent 
et de la proposition~\ref{regulariser}.
Pour la seconde \'egalit\'e, il suffit de remarquer que pour tout $j$,
on a $x_{0} R_{j}\in A\ser{X}x_{1}$.
\end{preuve}
On obtient en cons\'equence la r\'egularisation du moule {\em Zig} d'Ecalle \cite{ecalle}~:
\begin{corollary}
\begin{eqnarray*}
\reg_{\shuffle}(F)&=&\reg_{\shuffle}[(t_{1}x_{0})^{*}x_{1}\ldots
(t_{r}x_{0})^{*}x_{1}]\\
&=&\sum_{j=1}^r (-1)^{j-1}(t_{j}x_{0})\biggl(x_{1}^{j-1}
\shuffle[(t_{j}x_{0})^{*}x_{1}\ldots(t_{r}x_{0})^{*}x_{1}]\biggr).
\end{eqnarray*}
\end{corollary}

{\bf Deuxi\`eme cas.} R\'egularisation de $FG$.
\begin{lemme}
Soit $V\in A\ser X$. On a l'identit\'e
$FGV=\Sum{j=1}{r}x_{1}^{j-1}(t_{j}x_{0})R_{j}GV$
\end{lemme}
\begin{proposition}\label{prereg2}
\begin{eqnarray*}
\reg_{\shuffle}(FGV)
&=&\reg_{\shuffle}\biggl(
\sum_{j=1}^r (-1)^{j-1}(t_{j}x_{0})[x_{1}^{j-1}\shuffle(R_{j}GV)]\biggr),\\
\reg_{\shuffle}(FG)
&=&\sum_{j=1}^r(-1)^{j-1}(t_{j}x_{0})[x_{1}^{j-1}\shuffle(R_{j}G)].
\end{eqnarray*}
\end{proposition}
\begin{preuve}
On applique la proposition~\ref{prereg}.
de plus on a $x_{0}R_{j}G\in x_{0}A\ser X x_{1}$, d'o\`u la seconde \'egalit\'e. 
\end{preuve}

{\bf Cas g\'en\'eral.}
R\'egularisation de $S_{1}=FGK$~:
\begin{eqnarray*}
\reg_{\shuffle}(FGK)=\reg_{\shuffle}\biggl(
\sum_{j=1}^r(-1)^{j-1}(t_{j}x_{0})[x_{1}^{j-1}\shuffle(R_{j}GK)]\biggr).
\end{eqnarray*}
O\`u la s\'erie~: 
\begin{eqnarray*}
x_{0}[x_{1}^{j-1}\shuffle(R_{j}GK)]
=\sum_{a+b=j-1}x_{0}[x_{1}^{a}\shuffle(R_{j}G)](x_{1}^b\shuffle K)
\end{eqnarray*}
est somme finie de s\'eries de la forme 
$S_{j,n}=x_{0}T_{j,n}x_{1}K_{j,n}$, o\`u $K_{j,n}$ est une s\'erie 
rationnelle de la forme $x_{0}^k(t_{q+1}x_{0})^{*l}$,
avec $k\le s_{q+1}-1$ et $l \le s_{q+1}$,
ayant pour antipode 
\begin{eqnarray*}
a(K_{j,n})=a[x_{0}^k(t_{q+1}x_{0})^{*l}]=(-x_{0})^k(-t_{q+1}x_{0})^{*l}. 
\end{eqnarray*}
On en d\'eduit, avec ces notations~:
\begin{proposition}
\begin{eqnarray*}
\reg_{\shuffle}(FGK)
&=&\reg_{\shuffle}
\biggl(\sum_{j=1}^r (-1)^{j-1}t_{j}\sum_{n}x_{0}T_{j,n}x_{1}K_{j,n}\biggr)\\
&=&\sum_{j=1}^r (-1)^{j-1}t_{j}\sum_{n}[x_{0}T_{j,n}\shuffle a(K_{j,n})]x_{1}.
\end{eqnarray*}
\end{proposition}
\begin{remark}
Il est clair que les op\'erations de r\'egularisation
requises ne sortent pas de la classe des expressions rationnelles
codant des fonctions de Lerch. 
\end{remark}

\section{Polyz\^etas color\'es et Polyz\^etas de Hurwitz}

\subsection{S\'eries g\'en\'eratrices de Dirichlet}

Soient $m$ suites de nombres complexes $\{f_{i,n}\}_{i=1..m,n\ge1}$ 
de s.g.o. $F_i(z)=\sum_{n\ge1}f_{i,n}z^n$.
Consid\'erons l'alphabet $\{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}\}$, auquel on 
associe les $m+1$ formes diff\'e\-ren\-tielles suivantes~:
\begin{eqnarray*}
\omega_0=\Frac{dz}{z},\quad\omega_i=F_i(z)\Frac{dz}{z},\quad i=1..m.
\end{eqnarray*}
Consid\'erons \'egalement des s.g.d. associ\'ees \`a ces fonctions 
 \cite{FPSAC95}~:
\begin{eqnarray*}
\Di(F_{i_1},\ldots,F_{i_r};s_1,\ldots,s_r)=\sum_{n_1>\ldots>n_r>0}
\Frac{f_{i_1,n_1-n_2}\ldots f_{i_{k-1},n_{k-1}-n_r}f_{i_r,n_r}}
{n_1^{s_1}\ldots n_r^{s_r}}.
\label{g}
\end{eqnarray*}
\begin{proposition}[\cite{FPSAC95}]
$\Di(F_{i_1},\ldots,F_{i_r};s_1,\ldots,s_r)=
\alpha_0^1(x_0^{s_1-1}x_{i_1}\ldots x_0^{s_r-1}x_{i_r})$, o\`u~:
\begin{eqnarray*}
\alpha_0^z(x_0^{s_1-1}x_{i_1}\ldots x_0^{s_r-1}x_{i_r})
=\sum_{n_1>\ldots>n_r>0}
\frac{f_{i_1,n_1-n_2}\ldots f_{i_{k-1},n_{k-1}-n_r}f_{i_r,n_r}}
{n_1^{s_1}\ldots n_r^{s_r}}z^{n_1}.
\end{eqnarray*}
\end{proposition}
\noindent En particulier, si les fonctions g\'en\'eratrices $\{F_i(z)\}_{i=1..m}$
sont de la forme ${b_iz}/({1-b_iz})$ alors~:
\begin{eqnarray}\label{code}
\alpha_0^z(x_0^{s_1-1}x_1\ldots x_0^{s_r-1}x_r)
=\Sum{n_1>\ldots>n_r>0}{}
\Frac{b_1^{n_1-n_2}\ldots b_{k-1}^{n_{k-1}-n_r}b_r^{n_r}}
{n_1^{s_1}\ldots n_r^{s_r}}z^{n_1}.
\end{eqnarray}
et $\Di(F_1,\ldots,F_r;s_1,\ldots,s_r)$ donne, dans ce cas,
le {\em polylogarithme multiple} \cite{borwein6,goncharov,waldschmidt2}~:
\begin{eqnarray*}
\Li_{s_1,\ldots,s_r}(b_1,\ldots,b_r)=\Sum{n_1>\ldots>n_r>0}{}
\Frac{b_1^{n_1}(b_2/b_1)^{n_2}\ldots(b_r/b_{k-1})^{n_r}}
{n_1^{s_1}\ldots n_r^{s_r}}.
\end{eqnarray*}

\begin{theorem}\label{sommedezeta}
Si les $\{f_{i,n}\}_{n\ge1},i=1..m$,
sont p\'eriodiques de m\^eme p\'eriode $K$ alors~:
\begin{eqnarray*}
&&\Di(F_{i_1},\ldots,F_{i_r};s_1,\ldots,s_r)=\\
&&\quad \sum_{a_1,\ldots,a_r=1}^K
\frac{f_{i_1,a_1}\ldots f_{i_r,a_r}}{K^{s_1+\ldots+s_r}}
\zeta\biggl[\biggl(s_1;\frac{a_1+\ldots+a_r}K\biggr),\ldots,
\biggl(s_r;\frac{a_r}K\biggr)\biggr].
\end{eqnarray*}
\end{theorem}
En d'autres termes, si les $\{f_{i,n}\}_{n\ge1},i=1..m$,
sont p\'eriodiques de m\^eme p\'eriode $K$
alors cette s\'erie g\'en\'eratrice de Dirichlet est une somme finie
de polyz\^etas de Hurwitz.

\subsection{Polyz\^etas color\'es}

Un cas particulier des s.g.d. est celui des polyz\^etas {\em color\'es}\footnote{Les polylogarithmes color\'es
sont obtenus \`a partir des polylogarithmes multiples \cite{borwein6,goncharov},
en les sp'ecialisant aux racines de l'unit\'e.}
\cite{bigotte,borwein6,goncharov}.

En effet, soit $m$ un entier positif et $\tau$ son inverse.
Introduisons la racine primitive $m$-i\`eme de l'unit\'e,
$q=e^{2\mathrm i\pi\tau}$, et les fonctions g\'en\'eratrices 
$\{F_i(z)\}_{i=1..m}$ de la forme ${q^iz}/({1-q^iz})$.

\begin{proposition}[Formule de distribution]\label{distribution}
\begin{eqnarray*}
&&\zeta\binom{s_1,\ldots,s_r}{q^{i_1},\ldots,q^{i_r}}
=\\
&&\quad\frac1{m^{s_1+\ldots+s_r}}\sum_{a_1-a_2,\ldots,a_{r-1}-a_r,a_r=1}^{m}
q^{i_1a_1+\ldots+i_ra_r}\zeta[(s_1;-{a_1}/m),\ldots,(s_r;-{a_r}/m)].
\end{eqnarray*}
\end{proposition}

\begin{preuve}
D'apr\`es l'expression (\ref{code}) et le th\'eor\`eme~\ref{sommedezeta},
nous avons successivement~:
\begin{eqnarray*}
&&\zeta\binom{s_1,\ldots,s_{r-1},s_r}{q^{i_1-i_2},
\ldots,q^{i_r-i_{r-1}},q^{i_r}}\; =\; \alpha_0^1(x_0^{s_1-1}x_{i_1}\ldots x_0^{s_r-1}x_{i_r})\\
&&\quad=\tau^{s_1+\ldots+s_r}
\sum_{a_1,\ldots,a_r=1}^mq^{i_1a_1+\ldots+i_ra_r}
\zeta[(s_1;(a_1+\ldots+a_r)\tau),\ldots,(s_r;a_r\tau)].
\end{eqnarray*}
En changeant les indices $a_1,\ldots,a_r$ comme dans (\ref{swap1})
et (\ref{swap}), nous obtenons l'ex\-pres\-sion voulue.
\end{preuve}
Par cons\'equent, les polyz\^etas color\'es sont des combinaisons 
lin\'eaires, \`a coefficients
dans le corps cyclotomique $\Q(q)$ de polyz\^etas de Hurwitz ayant pour param\`etes des nombres rationnels de l'inter\-valle $[0,1[$.
Ils peuvent \^etre \'egalement vus commes des \'evaluations,
en les racines $m$-i\`eme de l'unit\'e, de polyn\^omes
\`a coefficients dans la $\Q$-alg\`ebre des polyz\^etas de Hurwitz.

\begin{thebibliography}{99}

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\end{thebibliography}

{\bf Remerciements~:} Nous remercions Foata et Zagier 
pour nous avoir signal\'e les
travaux de Kaneko \cite{arakawakaneko}, et Boutet de Monvel, 
Cartier, Ecalle, Racinet et Waldschmidt
pour d'utiles discussions.

\end{document}
