Séminaire Lotharingien de Combinatoire 44 (2001), Article B44i

DE L’ALGÈBRE DES ζ DE RIEMANN MULTIVARIÉES À L’ALGÈBRE DES ζ DE HURWITZ MULTIVARIÉES

HOANG NGOC MINH, GÉRARD JACOB, MICHEL PETITOT, NOUR EDDINE OUSSOUS

Abstract. The theory of noncommutative rational power series allows to express as iterated integrals some generating series associated to polylogarithms and polyzêtas, also called MZV’s (multiple zeta values : a generalization of the Riemann ζ function). We introduce the Hurwitz polyzêtas, as a multivalued generalization of the classical Hurwitz ζ function. They are in fact generating series of the classical polyzêtas in commuting variables. Based on the shuffle product of noncommutative rational series, explicit formulae are given for computing the product of these generating series. We define also another shuffle product for the Hurwitz polyzêtas. This structure allows us to produce a new algorithm for computing the coloured polyzêtas relations, by mean of Dirichlet generating series associated to the periodic sequences of numbers. Concerning the regularization of divergent polyzêtas, we give explicit syntaxic formulae based on the combinatorics of words. As application we compute the Arakawa-Kaneko integrals in terms of polyzêtas. Résumé. La théorie des séries rationnelles en variables non commutatives permet d’exprimer sous forme d’intégrales itérées certaines séries génératrices associées aux polylogarithmes et aux polyzêtas, ou MZV’s (multiple zeta values : une généralisation de la fonction ζ de Riemann). Nous introduisons les polyzêtas de Hurwitz, qui généralisent la fonction ζ de Hurwitz classique. Ils apparaissent comme des séries génératrices des polyzêtas en variables commutatives. En nous basant sur le produit de mélange des séries rationnelles, nous donnons des formules explicites pour calculer les produits de ces séries génératrices. Nous explicitons également un autre produit de mélange pour les polyzêtas de Hurwitz. Cette structure permet d’obtenir un nouvel algorithme de génération des relations entre les polyzêtas colorés par l’intermédiaire des séries génératrices de Dirichlet associées aux suites périodiques de nombres. En ce qui concerne la régularisation des polyzêtas divergents, nous obtenons des formules syntaxiques explicites utilisant la combinatoire des mots. En application, nous calculons les intégrales d’Arakawa-Kaneko en termes de polyzêtas.

Contents

1. Introduction 2 1.1. Polyzêtas 2 1.2. Polyzêtas colorés 3 1.3. Polyzêtas de Hurwitz 3 2. Codage symbolique 4 2.1. Séries non commutatives et intégrales itérées 4 2.2. Séries rationnelles 5 2.3. Polylogarithmes 5 2.4. Fonctions quasi-symétriques 6 2.5. Transformée polylogarithmique 7 3. Régularisation syntaxique des termes divergents 7 3.1. Régularisation et série diagonale 8 3.2. Régularisation syntaxique 9 3.3. Un exemple : les intégrales d’Arakawa et Kaneko 11 4. Polylogarithmes de Hurwitz 13 4.1. Définition et propriétés de base 13 4.2. Premier codage des polyzêtas de Hurwitz 14 4.3. Deuxième codage des polyzêtas de Hurwitz 15 4.4. Troisième codage des polyzêtas de Hurwitz 15 4.5. Régularisation des polyzêtas de Hurwitz divergents 16 5. Polyzêtas colorés et Polyzêtas de Hurwitz 18 5.1. Séries génératrices de Dirichlet 18 5.2. Polyzêtas colorés 19 References 20

1. Introduction

Les valeurs de la fonction ζ de Riemann pour des arguments entiers positifs :

ζ(s) = ∑_{n>0} \frac{1}{n^{s}}

sont bien connues depuis Euler pour les entiers pairs : ζ(2p) est un multiple rationnel de π^{2p}. Le cas impair est beaucoup moins bien connu. Apéry a prouvé en 1978 que ζ(3) est irrationnel. Récemment Rivoal (2000) [30] a montré que ζ(2p + 1) est irrationnel pour une infinité d’entiers p. En outre, l’un des nombres ζ(s) pour s entier impair, 5 ≤ s ≤ 21, est irrationnel. Rien n’est connu sur l’indépendance algébrique des zêtas impairs.

1.1. Polyzêtas. Les voies de recherche actuelles s’orientent toutes vers un “supplément de structure”. On a ainsi introduit les polyzêtas (appelés aussi zêtas multi-variés, ou nombres d’Euler-Zagier, ou MZV’s - i.e. “Multiple Zeta Values”) :

ζ(s_{1}, …, s_{r}) = ∑_{n_{1}>...>n_{r}>0} \frac{1}{n_{1}^{s_{1}} … n_{r}^{s_{r}}} , s_{i} ∈ ℕ \ \{0\}, s_{1} > 1

Les polyzêtas interviennent en théorie des nombres [33], en théorie des nœuds [2, 9], en mécanique quantique [12, 13, 26, 18], en physique des hautes énergies [6, 7], pour l’analyse des structures de données hiérarchiques [15].

Le polyzêta ζ(s_{1}, …, s_{r}) est de profondeur r et de poids ∑_{i=1}^{r} s_{i}. Notons d_{n} la dimension du ℚ−espace vectoriel engendré par les polyzêtas de poids n. Zagier a proposé la conjecture suivante :

L’ALGÈBRE DES ζ DE HURWITZ MULTIVARIÉES 3

Conjecture 1 ([33]). Les entiers d_{n} vérifient :

d_{1} = 0, d_{2} = d_{3} = 1, d_{n} = d_{n−2} + d_{n−3}, pour n ≥ 4.

Elle est confortée par les travaux de Goncharov [17] qui étudie les polylogarithmes du point de vue des motifs de Tate mixtes. Sa conjecture 1.1 fait apparaître, (modulo ζ(2)), une algèbre de Lie ayant exactement un générateur de degré n pour chaque entier n > 1 impair. Si cette conjecture était vraie, on pourrait en particulier espérer en déduire des résultats d’indépendance algébrique pour les ζ(2p+1). L’indépendance algébrique des ζ(2p+1) n’est pas aujourd’hui accessible. Ce qui est accessible, c’est le calcul des relations entre polyzêtas “symboliques”, c’est-à-dire les relations découlant du supplément de structure, qui est relié à l’existence d’une double structure de mélange (voir ci-dessous).

1.2. Polyzêtas colorés. Le calcul des diagrammes de Feynman en mécanique quantique conduit aux polyzêtas colorés, c’est-à-dire aux sommes suivantes :

ζ\binom{s_{1}, …, s_{r}}{q^{i_{1}}, …, q^{i_{r}}} = ∑_{n_{1}>...>n_{r}>0} \frac{q^{i_{1}n_{1}} … q^{i_{r}n_{r}}}{n_{1}^{s_{1}} … n_{r}^{s_{r}}} ,

où N est un entier positif fixé, et où q est une racine primitive N-ième de l’unité. L’algèbre des polyzêtas colorés contient, en plus des polyzêtas, des nombres transcendants comme :

ζ\binom{1}{−1} = ∑_{n≥1} \frac{(−1)^{n}}{n} = − log(2),

1.3. Polyzêtas de Hurwitz. Dans cet article, nous introduisons une autre extension des polyzêtas, que nous appelons polyzêtas de Hurwitz, qui sont indexés par un double multi-indice :

ζ[(s_{1}; t_{1}), …, (s_{r}; t_{r})] = ∑_{n_{1}>...>n_{r}>0} \frac{1}{(n_{1} − t_{1})^{s_{1}} … (n_{r} − t_{r})^{s_{r}}} ,

où les s_{i} sont des entiers positifs, et où les t_{i} sont des variables formelles. Ces variables formelles ont pour vocation de permettre le calcul certaines séries génératrices commutatives des polyzêtas. On retrouve les polyzêtas en spécialisant toutes les variables formelles en t_{i} = 0 pour tout i. L’algèbre des polyzêtas de Hurwitz contient quant à elle, en plus des polyzêtas, des constantes telles que le nombre de Catalan :

G = ∑_{n≥1} \frac{(−1)^{n}}{(2n + 1)^{2}} = \frac{1}{16}[ζ(2; −1/4) − ζ(2; 1/4)].

et des polyzêtas colorés. En effet, nous verrons que la périodicité de {q^{n}}_{n≥1} permet d’exprimer les polyzêtas colorés sous forme de combinaisons linéaires des polyzêtas de Hurwitz à coefficients dans le corps cyclotomique ℚ(q) (voir Proposition 13). Par conséquent, l’étude des relations polynomiales entre les polyzêtas colorés peuvent être faites à travers celles des polyzêtas de Hurwitz ayant pour paramètes des nombres rationnels de l’intervalle [0, 1[.

2. Codage symbolique

2.1. Séries non commutatives et intégrales itérées. Soit X = {x_{0}, x_{1}, … x_{m}} un alphabet fini. Le monoïde libre engendré par X est est noté X^{∗}. C’est l’ensemble des mots sur l’alphabet X. Le mot vide est noté “ϵ”. Nous notons X^{+} l’ensemble X^{∗} \ {ϵ}. Associons à chaque lettre x_{i} de l’alphabet X une 1-forme différentielle ω_{i}, définie dans un ouvert connexe U de ℂ.

Pour tout chemin γ allant de z_{0} à z dans U, on définit récursivement comme suit l’intégrale itérée de Chen [11] de z_{0} à z le long de γ pour tout mot w = x_{i_{1}} … x_{i_{k}} :

∫_{z_{0},γ}^{z} ω_{i_{1}}ω_{i_{2}} … ω_{i_{k}} = ∫_{z_{0},γ}^{z} ω_{i_{1}}(z_{1}) ∫_{z_{0},γ}^{z_{1}} ω_{i_{2}} … ω_{i_{k}}. (1)

En notation abrégée, nous écrirons :

α_{z_{0},γ}^{z}(w) = α_{z_{0},γ}^{z}(x_{i_{1}}x_{i_{2}} … x_{i_{k}}) = ∫_{z_{0},γ}^{z}ω_{i_{1}}ω_{i_{2}} … ω_{i_{k}} et α_{z_{0},γ}^{z}(ε) = 1.

Cette notation est relative au choix des formes ω_{i} associées aux lettres x_{i}. Plus généralement, si F (z) est une fonction analytique nulle en z_{0}, on pose :

α_{z_{0},γ}^{z}(x_{i_{1}}x_{i_{2}} … x_{i_{k}}; F) = ∫_{z_{0},γ}^{z} ω_{i_{1}}(t)α_{z_{0},γ}^{t}(x_{i_{2}} … x_{i_{k}}; F).

Soit A une ℂ-algèbre commutative. On note A⟨X⟩ (resp. A⟨⟨X⟩⟩) l’anneau des polynômes non commutatifs (resp. des séries non commutatives) à coefficients dans A. Une série S non commutative de A⟨⟨X⟩⟩ sera notée :

S = ∑_{w∈X^{∗}}⟨S | w⟩ w.

Les polynômes s’identifient aux séries de support fini.

Pour tout polynôme S (resp. pour toute série, sous réserve de convergence), on définit [19] :

α_{z_{0},γ}^{z}(S) = ∑_{w∈X^{∗}}⟨S|w⟩ α_{z_{0},γ}^{z}(w).

Le produit de mélange (ou shuffle) de deux mots u et v est le polynôme défini récursivement comme suit :

\{ \begin{matrix}ϵ ⊔⊔ u & = & u ⊔⊔ ϵ = u  si u ∈ X^{∗}, \\ au ⊔⊔ bv & = & a(u ⊔⊔ bv) + b(au ⊔⊔ v)  si a, b ∈ X, u, v ∈ X^{∗}. \end{matrix} (2)

Le mélange est étendu aux séries formelles par distributivité.

Le ℂ-module A⟨⟨X⟩⟩ muni du produit de mélange est une A-algèbre commutative, notée Sh_{A}⟨⟨X⟩⟩.

Avec les notations précédentes, on déduit des propriétés de l’intégration par parties l’égalité :

α_{z_{0},γ}^{z}(S ⊔⊔ T) = α_{z_{0},γ}^{z}(S) α_{z_{0},γ}^{z}(T).

C’est vrai si S et T sont deux mots, c’est vrai aussi (par distributivité) si S et T sont deux séries non commutatives. En d’autres termes, α_{z_{0},γ}^{z} est un homomorphisme de A⟨⟨X⟩⟩ (pour le mélange) dans A.

2.2. Séries rationnelles. Les opérations rationnelles dans A⟨⟨X⟩⟩ sont : (1) la somme, le produit par un élément de A,

(2) le produit de concaténation (ou de Cauchy), hérité du produit de concaténation des mots,

(3) l’étoile des séries formelles propres (i.e. à terme constant nul) :

S^{∗} = 1 + S + S^{2} + … + S^{n} + …

S^{∗} est l’inverse bilatère de (1 − S), et vérifie S^{∗} = 1 + SS^{∗} = 1 + S^{∗}S. On pose S^{+} = S^{∗} − 1.

Une série est dite rationnelle [10] si elle est obtenue à partir de ε et des lettres de X par un nombre fini d’opérations rationnelles.

Soient à présent t_{1}, …, t_{n}, … des variables formelles, et A = ℂ[t_{1}, … t_{n}, …] l’anneau des polynômes commutatifs sur les t_{i}.

Considérons les séries rationnelles de la forme :

(t_{1}x_{0})^{∗}x_{i_{1}} … (t_{r}x_{0})^{∗}x_{i_{r}} = ∑_{s_{1},...,s_{r}>0}(t_{1}x_{0})^{s_{1}−1}x_{i_{1}} … (t_{r}x_{0})^{s_{r}−1}x_{i_{r}}. (3)

Cette forme est préservée par le produit de mélange. En effet, si U = (ux_{0})^{∗}xU′ et V = (vx_{0})^{∗}yV′, où u, v ∈ A, x, y ∈ X et U′, V′ ∈ A⟨⟨X⟩⟩, on a :

\{ \begin{matrix}U ⊔⊔ ϵ & = & ϵ ⊔⊔ U = U, \\ U ⊔⊔ V & = & ((u + v)x_{0})^{∗}[x(U′ ⊔⊔ V) + y(U ⊔⊔ V′)]. \end{matrix} (4)

2.3. Polylogarithmes. A toute composition (i.e. à toute suite finie d’entiers strictement positifs) s = (s_{1}, …, s_{r}) on associe le polylogarithme :

Li_{s_{1},...,s_{r}}(z) = ∑_{n_{1}>...>n_{r}>0} \frac{z^{n_{1}}}{n_{1}^{s_{1}} … n_{r}^{s_{r}}} , |z| < 1.

On a donc ζ(s) = Li_{s}(1), à condition que cette somme soit convergente, c’est-à-dire si s_{1} > 1. Introduisons l’alphabet X = {x_{0}, x_{1}}, et les deux formes différentielles :

ω_{0} = \frac{dz}{z} et ω_{1} = \frac{dz}{1 − z} .

Associons à toute composition s = (s_{1}, …, s_{r}) le mot w = x_{0}^{s_{1}−1}x_{1} … x_{0}^{s_{r}−1}x_{1}. On obtient ainsi un isomorphisme de concaténation de la A-algèbre des compositions dans A⟨X⟩. On identifiera parfois la composition s avec son codage par le mot w sur {x_{0}, x_{1}}.

On vérifie que polylogarithme Li_{s_{i_{1}},...,s_{ir}} (z) est aussi la valeur de l’intégrale itérée :

α_{z_{0},γ}^{z}(w) = α_{z_{0},γ}^{z}(x_{0}^{s_{1}−1}x_{1} … x_{0}^{s_{k}−1}x_{1})

ce qui fournit le prolongement analytique des L_{s}(z) = Li_{s}(z) sur le revêtement universel de ℂ privée des deux points 0 et 1. La série génératrice non commutative L(z) = ∑_{w∈X^{∗}} L_{w}(z) w est alors solution de l’équation différentielle :

(5) dL(z) = (x_{0}ω_{0} + x_{1}ω_{1})L(z) avec L(ε) = e^{x_{0} log ε} + O(\sqrt{ε}) si ε → 0^{+}.

L(z) est l’exponentielle d’une série de Lie, et vérifie le critère de Friedrichs :

L_{u ⊔⊔ v}(z) = L_{u}(z) L_{v}(z), u, v ∈ X^{∗}.

Par le théorème de Radford, l’algèbre de mélange Sh_{ℚ}⟨X⟩ est une algèbre de polynômes (commutatifs) sur l’ensemble des mots de Lyndon, qui en forme donc une base de transcendance.

Soit C l’algèbre ℂ[z, 1/z, 1/1 − z] des fonctions polynomiales en z, 1/z et 1/1 − z, et soit LI_{C} la plus petite C-algèbre contenant C et stable par intégration par rapport à ω_{0} et ω_{1}. LI_{C} s’identifie au C-module engendré par les L_{w}(z). Les polylogarithmes Li_{w}(t) sont C-linéairement indépendants [22] et donc LI_{C} s’identifie à l’algèbre des polynômes commutatifs sur les polylogarithmes indicés par les mots de Lyndon [22].

2.4. Fonctions quasi-symétriques. Soit s = (s_{1}, …, s_{r}) une composition. Alors ζ(s_{1}, …, s_{r}) peut être aussi obtenu en spécialisant les variables {t_{i}}_{i≥1} en t_{i} = 1/i dans la fonction quasi-symétrique F_{s_{1},...,s_{r}}(t) de profondeur r et de degr? (ou poids) s_{1} + s_{2} … + s_{r}[25] :

F_{s_{1},...,s_{r}}(t) = ∑_{n_{1}>...>n_{r}>0} t_{n_{1}}^{s_{1}} … t_{n_{r}}^{s_{r}}.

Notons e = () la composition “vide”. Le produit de mélange (ou “quasi-shuffle” [25]) de deux compositions r = (r_{1}, …, r_{k}) = (r_{1}, r′) et s = (s_{1}, …, s_{l}) = (s_{1}, s′) est défini par :

\{ \begin{matrix}r ⋆ e & = & e ⋆ r = r, \\ r ⋆ s & = & (r_{1}, r′ ⋆ s) + (s_{1}, r ⋆ s′) + (r_{1} + s_{1}, r′ ⋆ s′). \end{matrix}

On étend la notation F_{s} aux combinaisons linéaires de compositions. Si r (resp. s) est une composition de degré r et de poids p (resp. de degré s et de poids q), F_{r⋆s} est une fonction quasi-symétrique de profondeur r + s et de poids p + q, et l’on a :

F_{s⋆r} = F_{s} F_{r}.

Toute composition s ne commençant pas par 1 correspond bijectivement à un “mot convergent” w ∈ x_{0}X^{∗}x_{1}. Si deux compositions r et s correspondent à deux mots convergents u et v, alors on a sur les polyzêtas convergents la double structure de mélange [21] et la famille de relations linéaires :

ζ(u ⊔⊔ v) = ζ(u)ζ(v),  ζ(u ⋆ v) = ζ(u)ζ(v),  ζ(x_{1} ⊔⊔ w − x_{1} ⋆ w) = 0. (6)

Le troisième jeu d’égalités fait intervenir les polynômes x_{1} ⊔⊔ w − x_{1} ⋆ w qui sont convergents, même si les deux sommes ζ(x_{1} ⊔⊔ w) et ζ(x_{1} ⋆ w) sont divergentes.

2.5. Transformée polylogarithmique. Soit φ_{j} une primitive de ω_{j}. Le théorème de convolution [19] permet d’établir :

α_{z_{0},γ}^{z}(x_{j}^{n}x_{k}) = ∫_{z_{0},γ}^{z} \frac{[φ_{j}(z) − φ_{j}(s)]^{n}}{n!} ω_{k}(s)
et α_{z_{0},γ}^{z}(x_{j}^{∗}x_{k}) = ∫_{z_{0},γ}^{z}e^{φ_{j}(z)−φ_{j}(s)}ω_{k}(s).

Plus généralement, si F (z) est une fonction analytique nulle en z_{0}, on a [19] :

α_{z_{0}}^{z}(x_{j}^{s}; F) = ∫_{z_{0},γ}^{z} \frac{[φ_{j}(z) − φ_{j}(s)]^{n}}{n!} F (s)ds
et α_{z_{0},γ}^{z}(x_{j}^{∗}; F) = ∫_{z_{0},γ}^{z}e^{φ_{j}(z)−φ_{j}(s)}F (s)ds.

A la suite de nombres complexes {f_{k}}_{k≥1} associons (pour s un entier, s ≥ 1) la série [20, 24] :

Di_{s}(F |z) = ∑_{k≥1} f_{k} \frac{z^{k}}{k^{s}} , |z| < 1.

Elle généralise à la fois [19] la s.g.o. (série génératrice ordinaire) F (z) = ∑_{k≥1} f_{k}z^{k} et la s.g.d (série génératrice de Dirichlet) Di(F; s) = ∑_{k≥1} f_{k}/k^{s}. Elle peut être vue comme la transformée polylogarithmique de F [20, 24] :

Di_{s}(F |z) = α_{z_{0},γ}^{z}(x_{0}^{s−1}; F) = ∫_{z_{0}}^{z} \frac{log^{s−1}(z/t)}{Γ(s)}F (t)\frac{dt}{t}. (7)

On posant (pour z fixé) t = zr, puis r = e^{−u}, on obtient :

Di_{s}(F |z) = ∫_{0}^{1} \frac{log^{s−1}(1/r)}{Γ(s)}F (zr)\frac{dr}{r} = ∫_{0}^{∞} \frac{F (ze^{−u})}{Γ(s)} \frac{du}{u^{1−s}}

En particulier, pour z = 1, il s’agit de la transformation de Mellin et nous obtenons la s.g.d. Di(F/Γ(s); s) associée à F (τ)/Γ(s), où F (τ) = ∑_{k≥1} f_{k}q^{k} et q = e^{−τ}. Si F (τ) est une série de rayon de convergence non nul alors Di(F; s) est une fonction en la variable complexe s. Par conséquent : Théorème 1. Pour toute fonction F (z) ∈ LI_{C} :

(1) la transformée polylogarithmique de F (z) est encore un élément de LI_{C},

(2) la s.g.d. Di(F; s) associée à F (z) est un élément de l’algèbre des MZV’s.

3. Régularisation syntaxique des termes divergents

L’équation différentielle (5) permet de définir le polylogarithme L_{w}(z) pour tout mot w de X^{∗}. Mais ζ(w) n’est défini que sur les mots “convergents”, c’est-à-dire sur C_{1} = ℚ ⊕ x_{0}ℚ⟨X⟩x_{1}. La régularisation ζ_{⊔⊔} doit être un prolongement de ζ à tous les mots w de X^{∗}, de telle sorte que ζ_{⊔⊔} soit encore un morphisme pour le ⊔⊔. On aura ainsi donné un sens aux ζ(w) de somme divergente. D’après le théorème de Radford [28], c’est possible d’une et d’une seule façon, une fois fixées les valeurs de ζ(x_{0}) et ζ(x_{1}). En effet, on a (ℚ⟨X⟩, ⊔⊔) ≃ ℚ[Lyn(X)] = C_{1}[x_{1}, x_{0}] où Lyn(X) est l’ensemble des mots de Lyndon sur X. Toutes les régularisation pour ⊔⊔ peuvent être retrouvées à partir de la plus simple, qui envoie x_{0} et x_{1} sur 0.

De même, si on code toute composition s = (s_{1}, …, s_{k}) par le mot y_{s_{1}} … y_{s_{k}} sur l’alphabet infini Y = {y_{j}}_{j=1,2,...,n} alors ζ_{⋆}(s) n’est défini que sur les mots “convergents” de Y^{⋆}, c’est-à-dire sur C_{2} = ℚ ⊕ (Y \ {y_{1}}ℚ⟨Y ⟩). D’après Hoffman [25], le théorème de Radford se géméralise à l’alphabet infini Y. Il existe donc une et une seule régularisation ζ_{⋆} qui prolonge ζ à tout Y^{∗} et qui soit un morphisme pour l’opération ⋆, une fois fixée la valeur de y_{1} = x_{1}. En effet, on a (ℚ⟨Y ⟩, ⋆) ≃ ℚ[Lyn(Y)] = C_{2}[y_{1}] où Lyn(Y) est l’ensemble des mots de Lyndon sur Y. On choisira d’envoyer x_{1} = y_{1} sur 0.

On ne peut pas régulariser ζ simultanément pour les deux produits. en effet : Exemple 1 ([5, 8, 14, 31]). Pour le premier mélange, on doit avoir ζ_{⊔⊔}(1)ζ_{⊔⊔}(1) = 2ζ_{⊔⊔}(1, 1). On obtient ζ_{⊔⊔}(1, 1) = 0 et généralement ζ_{⊔⊔}({1}^{k}) = 0 pour k ≥ 1. Pour le second, on a ζ_{⋆}(1)ζ_{⋆}(1) = 2ζ_{⋆}(1, 1) + ζ(2). On obtient ζ_{⋆}(1, 1) = −ζ(2)/2. Définition 1. On note reg_{⊔⊔} l’unique morphisme de (ℚ⟨X⟩, ⊔⊔) dans lui-même qui laisse fixes les mots convergents, et vérifie reg_{⊔⊔}(x_{0}) = reg_{⊔⊔}(x_{1}) = 0. De même, on note reg_{⋆} l’unique morphisme de (ℚ⟨Y ⟩, ⋆) qui laisse fixes les mots convergents, et vérifie reg_{⋆}(y_{1}) = 0.

On a alors :

ζ_{⊔⊔} = ζ ∘ reg_{⊔⊔}, et ζ_{⋆} = ζ ∘ reg_{⋆}.

Le calcul de reg_{⊔⊔} et de reg_{⋆} permet donc de calculer syntaxiquement les régularisation pour ⊔⊔ et pour ⋆.

3.1. Régularisation et série diagonale. Nous utilisons la factorisation de Lyndon. Un mot w ∈ X^{∗} est un mot de Lyndon si et seulement si il est strictement plus petit (pour l’ordre lexicographique) que tout ses facteurs droits propres.

Soit l un mot de Lyndon. Le crochetage standard P (l) de l est le polynôme de Lie défini récursivement comme suit :

P (x_{j}) = x_{j}  si x_{j} ∈ X
P (l) = [m, n] si n est le plus grand facteur

droit propre de Lyndon de l

La base de Poincaré-Birkhoff-Witt [29] de ℚ⟨X⟩ est constituée de tous les produits décroissants de la forme P^{i_{1}}(l_{1})P^{i_{2}}(l_{2}) … P^{i_{k}}(l_{k}) avec l_{1} > l_{2} > … > l_{k}. La base duale contient en particulier les duaux P^{⋆}(l) des polynômes P (l).

On munit le produit tensoriel complété ℚ⟨X⟩ˆ⊗ℚ⟨X⟩, de l’opération suivante : le shuffle ⊔⊔ pour le facteur gauche, et la concaténation pour le facteur droit. (On peut aussi le considérer comme l’algèbre (Sh_{A}⟨X⟩)⟨X⟩ des polynômes à coefficients dans l’algèbre de mélange). La série diagonale

∑_{w∈X^{∗}} w ⊗ w ∈ ℚ⟨X⟩ˆ⊗ℚ⟨X⟩

est une représentation de l’application identité de ℚ⟨X⟩ dans lui-même. Par un théorème de Schützenberger [29], elle se factorise en un produit infini, indexé par les mots de Lyndon en ordre décroissant :

∑_{w∈X^{∗}} w ⊗ w = e^{x_{1}⊗x_{1}}[ ∏_{l∈Lyn(X)\X} e^{P^{∗}(l)⊗P (l)}]e^{x_{0}⊗x_{0}}. (8)

Posons :

Φ_{⊔⊔} = ∑_{w∈X^{∗}} reg_{⊔⊔}(w) ⊗ w et Φ_{⋆} = ∑_{w∈Y^{∗}}reg_{⋆}(w) ⊗ w.

Théorème 2. [27] On a le résultat global suivant :

Φ_{⊔⊔} = e^{−x_{1}⊗x_{1}}[ ∑_{w∈X^{∗}} w ⊗ w]e^{−x_{0}⊗x_{0}} et Φ_{⋆} = e^{−y_{1}⊗y_{1}}[ ∑_{w∈Y^{∗}} w ⊗ w].

Preuve – Dans l’expression (8), les polynômes P (l) et P^{⋆}(l), pour l ∉ {x_{0}, x_{1}} appartiennent à C_{1}, et donc restent fixes par ζ_{⊔⊔}. En prenant l’image de la série diagonale par le morphisme reg_{⊔⊔} ⊗ id, on en tire :

Φ_{⊔⊔} = ∏_{l∈Lyn(X)\X} e^{P^{∗}(l)⊗P (l)}

d’où le résultat.

La même démonstration vaut pour Φ_{⋆}, mutatis mutandis, en utilisant les mots de Lyndon sur l’alphabet Y. Les polynômes de C_{2} restent fixes par ζ_{⋆}. On utilise la série diagonale dans ℚ⟨Y ⟩ˆ⊗ℚ⟨Y ⟩ avec l’opération : ⋆ sur le membre gauche, concaténation sur le membre droit, et le morphisme reg_{⋆} ⊗ id. □ Corollaire 1. On pose :

Z = ∑_{w∈X^{∗}}(ζ ∘ reg_{⊔⊔}(w)) w.

La série non commutative Z, au signe près, n’est autre que l’associateur de Drinfel’d.

En effet, Z est l’image par (ζ_{⊔⊔} ⊗ Id) de la série diagonale. Elle est l’unique exponentielle de Lie telle que [22] :

(Z|x_{0}) = (Z|x_{1}) = 0 et ∀w ∈ x_{0}X^{∗}x_{1}, (Z|w) = ζ(w).

3.2. Régularisation syntaxique. On utilise dans cette partie le calcul syntaxique des deux régularisations en utilisant la combinatoire des mots.

3.2.1. La régularisation pour le premier mélange reg_{⊔⊔}. Définition 2. Soit a l’application antipode de A⟨⟨X⟩⟩ dans lui-même. Pour tout w ∈ X^{∗} on a a(w) = (−1)^{|w|}w̃. Pour un mot sur une seule lettre x (x_{0} ou x_{1}), on a donc a(x^{k}) = (−x)^{k}.

10 HOANG NGOC MINH, GÉRARD JACOB, MICHEL PETITOT, NOUR EDDINE OUSSOUS

Proposition 1. Pour tous U ∈ A⟨⟨X⟩⟩, et S_{1} ∈ A⟨⟨x_{1}⟩⟩ (resp. S_{0} ∈ A⟨⟨x_{0}⟩⟩), on a :

reg_{⊔⊔}(S_{1}x_{0}U) = reg_{⊔⊔}(x_{0}[a(S_{1}) ⊔⊔ U]) et reg_{⊔⊔}(Ux_{1}S_{0}) = reg_{⊔⊔}([U ⊔⊔ a(S_{0})]x_{1}),

et par conséquent :

reg_{⊔⊔}(S_{1}x_{0}Ux_{1}) = x_{0}[a(S_{1}) ⊔⊔(Ux_{1})] et reg_{⊔⊔}(x_{0}Ux_{1}S_{0}) = [(x_{0}U) ⊔⊔ a(S_{0})]x_{1}.

Preuve – Il suffit de démontrer la proposition pour S_{1} = x_{1}^{k} (resp. S_{0} = x_{0}^{k}), avec k entier positif, et où U et V sont des mots de x_{0}X^{∗}x_{1}, c’est-à-dire :

reg_{⊔⊔}(x_{1}^{k}x_{0}u) = x_{0}[(−x_{1})^{k} ⊔⊔ u] et reg_{⊔⊔}(vx_{1}x_{0}^{k}) = [V ⊔⊔(−x_{0})^{k}]x_{1}.

La première expression est une conséquence de l’identité syntaxique suivante [19] :

∀k ≥ 0, ∀u ∈ X^{∗}, x_{1}^{k}x_{0}u = ∑_{l=0}^{k} x_{1}^{l} ⊔⊔(x_{0}[(−x_{1})^{k−l} ⊔⊔ u]). (9)

En appliquant le morphisme de miroir, puis le morphisme de substitution σ(x_{0}) = x_{1} et σ(x_{1}) = x_{0} dans les deux membres de (9), on obtient une identité duale conduisant à la seconde expression. □

La régularisation pour le second mélange reg_{⋆} est donnée par : Lemme 1 ([8]). Pour tout w ∈ y_{1}Y^{∗} et m ≥ 0, on a

reg_{⋆}(y_{1}^{m}w) = ∑_{i=0}^{m} \frac{(−y_{1})^{⋆i}}{i!} ⋆ (y_{1}^{m−i}w).

Preuve – Avec l’expression de l’exponentielle et d’après la définition du produit de Cauchy des séries formelles non commutatives, nous obtenons le résultat voulu (en identifiant terme par terme dans Φ_{⋆}). □ Lemme 2 (Lemme binomial).

y_{1}^{⋆k} ⋆ uv = ∑_{i=0}^{k}\binom{k}{i}[y_{1}^{⋆i} ⋆ u]D^{k−i}(v), où D(v) = y_{1} ⋆ v − y_{1}v.

Preuve – Pour k = 1, on a y_{1} ⋆ uv = (y_{1} ⋆ u)v + uD(v). On suppose la formule vraie (pour l’entier k). On en tire :

y_{1}^{⋆k+1} ⋆ uv = y_{1}^{⋆k} ⋆ [(y_{1} ⋆ u)v + uD(v)]
= ∑_{i=0}^{k} \binom{k}{i}[y_{1}^{⋆i+1} ⋆ u]D^{k−i}(v) + ∑_{i=0}^{k} \binom{k}{i}[y_{1}^{⋆i} ⋆ u]D^{k+1−i}(v)

= ∑_{j=0}^{k+1} \binom{k + 1}{j}[y_{1}^{⋆j} ⋆ u]D^{k+1−j}(v).

□ Proposition 2 (Formule d’inversion). Pour tout entier k strictement positif, on a :

y_{1}^{k} = \frac{(−1)^{k−1}}{k} ∑_{l=0}^{k−1}(−1)^{l}y_{1}^{l} ⋆ y_{k−l}.

Preuve – C’est la conséquence de la propriété y_{1}^{l} ⋆ y_{k} = y_{1}^{l−1} ⊔⊔ y_{k+1} + y_{1}^{l} ⊔⊔ y_{k}, pour k et l ≥ 1, où ⊔⊔ désigne ici le mélange ordinaire, mais sur l’alphabet Y. En effet en appliquant cette propriété au second membre du résultat souhaité, nous obtenons :

y_{k} − (y_{k} + y_{1} ⊔⊔ y_{k−1}) + (y_{1} ⊔⊔ y_{k−1} + y_{1}^{2} ⊔⊔ y_{k−2}) + …
− (−1)^{k}(y_{1}^{k−2} ⊔⊔ y_{2} + y_{1}^{k−1} ⊔⊔ y_{1})
= (−1)^{k−1}ky_{1}^{k}.

□ Corollaire 2. Pour k > 2, nous avons

reg_{⋆}(y_{1}^{k}) = \frac{(−1)^{k−1}}{k} y_{k} + ∑_{l=2}^{k−2} \frac{(−1)^{k−1−l}}{k} reg_{⋆}(y_{1}^{l}) ⋆ y_{k−l}.

Proposition 3. Pour tout mot w ∈ x_{0}X^{∗}x_{1}, on a

reg_{⋆}(y_{1}^{m}w) = ∑_{p=0}^{m} \frac{(−1)^{p}}{p!} reg_{⋆}(y_{1}^{m−p}) D^{p}(w).

Preuve – En utilisant le lemme 1 puis le lemme binomial, on a successivement :

reg_{⋆}(y_{1}^{m}w) = ∑_{k=0}^{m} \frac{(−1)^{k}}{k!} [∑_{p=0}^{m} \binom{k}{p}(y_{1}^{⋆k−p} ⋆ y_{1}^{m−k})] D^{p}(w),

= ∑_{p=0}^{m} ∑_{k=p}^{m} \frac{(−1)^{k}}{p!(k − p)!}(y_{1}^{⋆k−p} ⋆ y_{1}^{n−k}) D^{p}(w),

= ∑_{p=0}^{m} \frac{(−1)^{p}}{p!} [∑_{k=p}^{m} \frac{(−y_{1})^{⋆k−p}}{(k − p)!} ⋆ y_{1}^{m−k}] D^{p}(w),

= ∑_{p=0}^{m} \frac{(−1)^{p}}{p!} reg_{⋆}(y_{1}^{m−p}) D^{p}(w).

□

Le corollaire 2 et la proposition 3 terminent la régulation syntaxique des mots y_{1}^{m}w par reg_{⋆}.

3.3. Un exemple : les intégrales d’Arakawa et Kaneko. Arakawa et Kaneko ont défini, pour k_{1}, …, k_{n} ≥ 1, l’intégrale suivante [1] :

ξ_{k_{1},...,k_{n}}(s) = \frac{1}{Γ(s)} ∫_{0}^{∞} \frac{Li_{k_{1},...,k_{n}}(1 − e^{−t})}{e^{t} − 1} \frac{dt}{t^{1−s}} .

Arakawa et Kaneko ont montré que ξ_{k,{1}^{r−1}}(l) est un polynôme en des MZV’s. Ils ont posé la question de la possibilité d’exprimer l’intégrale ξ_{k_{1},...,k_{n}}(l) en termes des MZV’s [1]. Nous allons montrer que cette question a une réponse positive et qu’elle dépend seulement de l’expression des Li_{k_{1},...,k_{n}}(1 − t) en des polylogarithmes de profondeur inférieure à n et de poids inférieur à ∑_{i=1}^{n} k_{i}. Effectuons le changement de variable t → e^{−t}, nous obtenons :

ξ_{k_{1},...,k_{n}}(s) = ∫_{0}^{1} B_{k_{1},...,k_{n}}(t)\frac{log^{s−1}(1/t)}{Γ(s)} \frac{dt}{t},

où B_{k_{1},...,k_{n}}(z) = \frac{z}{1 − z} Li_{k_{1},...,k_{n}}(1 − z).

Théorème 3. Pour tout entier k_{1}, …, k_{n} ≥ 1, l’intégrale ξ_{k_{1},...,k_{n}}(s) est un polynôme en les polyzêtas à coefficients rationnels.

Ceci est une conséquence directe de l’équation fonctionnelle suivante [23] :

L(1 − t) = σ[L(t)] Z, t ∈ [0, 1[,

où σ est le morphisme involutif de substitution défini par σ(x_{0}) = −x_{1} et σ(x_{1}) = −x_{0}. Une des conséquences de l’équation fonctionnelle (10) est que pour tout mot w ∈ X^{∗}, le polylogarithme Li_{w}(1 − t) est un polynôme en les polylogarithmes indicés par les mots de Lyndon de profondeur plus petite ou égale à |w| et à coefficients dans l’algèbre des MZV’s [23]. Par conséquent : Proposition 4. Pour tout entier r, k ≥ 1, nous avons :

Li_{k,\{1\}^{r−1}}(1 − t) = ∑_{l=0}^{k−2}ζ(k − l)\frac{log^{l}(1 − t)}{Γ(l + 1)} + \frac{log^{r}(1/t)}{Γ(r + 1)} \frac{log^{k−1}(1 − t)}{Γ(k)}

+(−1)^{r} ∑_{l=0}^{k−2} \frac{log^{l}(1 − t)}{Γ(l + 1)} Li_{x_{0}(x_{1}^{k−1−l} ⊔⊔ x_{0}^{r−1})}(t).

Preuve – En identifiant le coefficient du mot x_{0}^{k−1}x_{1}^{r} dans (10), nous obtenons :

Li_{x_{0}^{k−1}x_{1}^{r}}(1 − t) = ∑_{l=0}^{k−1} ζ ∘ reg_{⊔⊔}(x_{0}^{k−1−l}x_{1}^{r}) Li_{σ(x_{0}^{l})}(t)

+ ∑_{l=1}^{r−1} ζ ∘ reg_{⊔⊔}(x_{1}^{r−l}) Li_{σ(x_{0}^{k−1}x_{1}^{l})}(t) + Li_{σ(x_{0}^{k−1}x_{1}^{r})}(t)

= ∑_{l=0}^{k−2} ζ(x_{0}^{k−1−l}x_{1})\frac{log^{l}(1 − t)}{Γ(l + 1)} − (−1)^{k+r} Li_{x_{1}^{k−1}x_{0}^{r}}(t).

L’identité syntaxique (9) nous donne le résultat en prenant u = x_{0}^{r−1}. □

En particulier, pour tout entier k ≥ 1, le polylogarithme Li_{k}(1−t) est un polynôme en les logarithmes log(1 − t) et en les polylogarithmes {Li_{{1}^{q},2}(t)}_{0<q<k} dont les coefficients sont des MZV’s simplement indicés. Corollaire 3. Pour pour tous entiers r, k, l avec r, k ≥ 1, nous avons :

ξ_{k,\{1\}^{r−1}}(l) = ∑_{i=0}^{k−2}(−1)^{i}ζ(k − i)ζ(l, \{1\}^{i}) + \frac{Γ(r + l)}{Γ(r + 1)Γ(l)}ζ(r + l, \{1\}^{k−1})

+ ∑_{i=0}^{k−2}(−1)^{r+i}ζ[x_{0}^{l−1}x_{1}^{i}x_{0}(x_{0}^{r−1} ⊔⊔ x_{1}^{k−i−2})x_{1}]

+ ∑_{i=0}^{k−2}(−1)^{r+i} ∑_{j=1}^{r−1} ζ([(x_{0}^{l−1}x_{1}^{i}x_{0}(x_{0}^{r−1} ⊔⊔ x_{1}^{k−1−i})) ⊔⊔(−x_{0})^{j}]x_{1}).

Preuve – D’après la proposition 4 et la transformation polylogarithmique, on obtient :

ξ_{k,\{1\}^{r−1}}(l) = ∑_{i=0}^{k−2}(−1)^{i}ζ(k − i)ζ(l, \{1\}^{i}) + \frac{Γ(r + l)}{Γ(r + 1)Γ(l)}ζ(r + l, \{1\}^{k−1})

+ ∑_{i=0}^{k−2}(−1)^{r+i}ζ_{⊔⊔}(x_{0}^{l−1}x_{1}^{i}x_{0}[x_{1}^{k−1−i} ⊔⊔ x_{0}^{r−1}]).

La dernière somme contient des MZV’s divergents que l’on peut, de nouveau, régulariser en utilisant la proposition 1. En effet, en utilisant la définition du produit de mélange, nous avons :

x_{0}^{k} ⊔⊔ x_{1}^{l} = (x_{0}^{k} ⊔⊔ x_{1}^{l−1})x_{1} + ∑_{j=1}^{k}(x_{0}^{k−j} ⊔⊔ x_{1}^{l−1})x_{1}x_{0}^{j}.

D’où, en posant w = x_{0}^{l−1}x_{1}^{i}x_{0}, nous avons :

w(x_{0}^{r−1} ⊔⊔ x_{1}^{k−1−i}) = w(x_{0}^{r−1} ⊔⊔ x_{1}^{k−i−2})x_{1} + ∑_{j=1}^{r−1} w(x_{0}^{r−1−j} ⊔⊔ x_{1}^{k−i−2})x_{1}x_{0}^{j}

et d’après la proposition 1, nous avons aussi :

reg_{⊔⊔}[w(x_{0}^{r−1} ⊔⊔ x_{1}^{k−1−i})] = w(x_{0}^{r−1} ⊔⊔ x_{1}^{k−i−2})x_{1}

+ ∑_{j=1}^{r−1}[(w(x_{0}^{r−1} ⊔⊔ x_{1}^{k−1−i})) ⊔⊔(−x_{0})^{j}]x_{1}.

En appliquant le morphisme ζ, nous obtenons le résultat voulu. □

4. Polylogarithmes de Hurwitz

4.1. Définition et propriétés de base. Définition 3. Soit r un entier strictement positif. Pour toute composition s = s_{1}, …, s_{r} et toutes variables formelles t_{1}, …, t_{r}, nous appelons fonction de Lerch généralisée, la fonction définie par :

Φ_{s_{1},...,s_{r}}(z; t_{1}, …, t_{r}) = ∑_{n_{1}>...>n_{r}>0} \frac{z^{n_{1}}}{(n_{1} − t_{1})^{s_{1}} … (n_{r} − t_{r})^{s_{r}}} , |z| < 1.

Le polyzêta de Hurwitz associé est alors :

ζ[(s_{1}; t_{1}), …, (s_{r}; t_{r})] = Φ_{s_{1},...,s_{r}}(1; t_{1}, …, t_{r}).

Ces séries comportent des termes divergents que nous examinerons en Section 4.5.

Proposition 5. Les polyzêtas de Hurwitz vérifient les équations fonctionnelles :

ζ[(s_{1}; t_{1}), …, (s_{i}; t_{i}), …, (s_{r}; t_{r})] − ζ[(s_{1}; t_{1}), …, (s_{i−1}; t_{i−1}), (s_{i}; t_{i} − 1), …, (s_{r}; t_{r})] = (1 − t_{i})^{−s_{i}}ζ[(s_{1}; t_{1}), …, (s_{i−1}; t_{i−1}), (s_{i+1}; t_{i+1}), …, (s_{r}; t_{r})].

Proposition 6. Les polyzêtas de Hurwitz vérifient l’équation différentielle :

∂/∂t_{i}ζ[(s_{1}; t_{1}), …, (s_{i}; t_{i}), …, (s_{r}; t_{r})] = s_{i}ζ[(s_{1}; t_{1}), …, (s_{i} + 1; t_{i}), …, (s_{r}; t_{r})].

4.2. Premier codage des polyzêtas de Hurwitz. Soit X = {x_{0}, x_{1}}. D’après le théorème de convolution, ces fonctions de Lerch peuvent être représentées par les intégrales itérées avec les deux formes différentielles ω_{0} et ω_{1} :

ω_{0} = \frac{dz}{z} et ω_{1} = \frac{dz}{1 − z} .

Si S est une série propre, on pose S^{∗n} = (S^{∗})^{n}. De l’identité rationnelle :

(tx_{0})^{∗} ⊔⊔ x_{0}^{s−1} = [(tx_{0})^{∗}x_{0}]^{s−1}(tx_{0})^{∗} = x_{0}^{s−1}[(tx_{0})^{∗s}],

on déduit, en appliquant successivement la transformation polylogarithmique : Proposition 7. Φ_{s_{1},...,s_{r}}(z; t_{1}, …, t_{r}) = α_{0}^{z}[x_{0}^{s_{1}−1}(t_{1}x_{0})^{∗s_{1}}x_{1} … x_{0}^{s_{r}−1}(t_{r}x_{0})^{∗s_{r}}x_{1}].

D’après la formule récursive (4), cette classe de séries rationnelles est stable par le produit ⊔⊔. Exemple 2 ([20]). La série génératrice commutative suivante :

L_{1}(z; t_{1} … t_{r}) = ∑_{s_{1},...,s_{r}>0} Li_{s_{1},...,s_{r}}(z) t_{1}^{s_{1}−1} … t_{r}^{s_{r}−1},

où les variables formelles t_{i} commutent avec les lettres x_{0} et x_{1}, vérifie :

L_{1}(z; t_{1} … t_{r}) = α_{0}^{z}[(t_{1}x_{0})^{∗}x_{1} … (t_{r}x_{0})^{∗}x_{1}].

Exemple 3 ([20]). De même, la série génératrice suivante :

L_{2}(z; t_{1} … t_{r}) = ∑_{s_{1},...,s_{r}>1} s_{1} … s_{r} Li_{s_{1}+1,...,s_{r}+1}(z) t_{1}^{s_{1}} … t_{r}^{s_{r}},

où les s_{i} sont des entiers, et où les variables formelles t_{i} commutent avec les lettres x_{0} et x_{1}, vérifie :

L_{2}(z; t_{1} … t_{r}) = α_{0}^{z}[t_{1}x_{0}(t_{1}x_{0})^{∗2}x_{1} … t_{r}x_{0}(t_{r}x_{0})^{∗2}x_{1}].

En effet, pour toute lettre x ∈ X on a :

x^{∗} ⊔⊔ x = x^{∗}xx^{∗} = x(x^{∗})^{2} = ∑_{n≥1} nx^{n}.

Les mêmes séries rationnelles codent respectivement les séries génératrices des polyzêtas

Z_{1}(t_{1} … t_{r}) = L_{1}(1; t_{1} … t_{r}), et Z_{2}(t_{1} … t_{r}) = L_{2}(1; t_{1} … t_{r}).

(sous réserve de convergence, c’est-à-dire après régularisation par reg_{⊔⊔}).

4.3. Deuxième codage des polyzêtas de Hurwitz. Pour toute variable formelle t introduisons la 1-forme différentielle

Ω_{t} = z^{−t} \frac{dz}{1 − z} = \frac{dz}{z^{t}(1 − z)}.

Soient T = {t_{1}, …, t_{r}} et T̄ = {t̄_{1}, …, t̄_{r}} deux familles de paramètres, liées par le changement de variables suivant :

t_{1} = t̄_{1} + t̄_{2} + … + t̄_{r}, t_{2} = t̄_{2} + t̄_{3} + … + t̄_{r}, …, t_{r} = t̄_{r}. (10)

Le changement de variables inverse est donné par :

t̄_{1} = t_{1} − t_{2}, …, t̄_{r−1} = t_{r−1} − t_{r}, t̄_{r} = t_{r}. (11)

Soit XT̄ l’alphabet {x_{0}, xt̄_{1}, … xt̄_{r}} associées aux 1-formes suivantes :

ω_{0} et Ωt̄_{i}, i = 1, 2 … r.

Nous obtenons :

Proposition 8 ([20]). Φ_{s_{1},...,s_{r}}(z; t_{1}, …, t_{r}) = z^{t_{1}}∫_{0}^{z}ω_{0}^{s_{1}−1}Ωt̄_{1} … ω_{0}^{s_{r}−1}Ωt̄_{r}.

Corollaire 4. ζ[x_{0}^{s_{1}−1}(t_{1}x_{0})^{∗s_{1}}x_{1} … x_{0}^{s_{r}−1}(t_{r}x_{0})^{∗s_{r}}x_{1}] = ζ(x_{0}^{s_{1}−1}xt̄_{1} … x_{0}^{s_{r}−1}xt̄_{r}).

Le produit de mélange ⊔⊔T̄ vérifie :

Théorème 4 ([20]). Pour tous mots U, V ∈ X∗ ; T̄xT̄, on a :

ζ(U T̄^{⊔⊔} V) = ζ(U)ζ(V).

4.4. Troisième codage des polyzêtas de Hurwitz. Nous étudions à présent le codage défini par les suites finies de la forme :

(u_{1}; μ_{1}), (u_{2}; μ_{2}), …, (u_{r}; μ_{r})

Soit U l’ensemble de ces suites. Un élément de U est soit la suite vide, soit une suite U = (u_{1}; μ_{1}), U′ avec U′ ∈ U. Or on a :

ζ(u; μ)ζ(v; ν) = ∑_{n>m>0} \frac{1}{(n−μ)^{u}(m−ν)^{v}} + ∑_{n>m>0} \frac{1}{(n−ν)^{v}(m−μ)^{u}} + ∑_{n>0} \frac{1}{(n−μ)^{u}(n−ν)^{v}} .

Décomposons 1/[(n − μ)^{u}(n − ν)^{v}] en éléments simples, nous obtenons :

ζ(u; μ)ζ(v; ν) = ζ[(u; μ), (v; ν)] + ζ[(v; ν), (u; μ)]

+ ∑_{k=0}^{v−1} \binom{u−1+k}{u−1} \frac{(−1)^{k}}{(ν − μ)^{u+k}} ζ(v − k; ν) + (−1)^{v} ∑_{k=0}^{u−1} \binom{v−1+k}{v−1} \frac{1}{(ν − μ)^{v+k}} ζ(u − k; μ).

Ceci nous conduit à définir un nouveau produit de mélange sur U :

Définition 4. Considérons U = (u; μ), U′ et V = (v; ν), V′, où u et v sont des entiers, où μ et ν sont des variables formelles, où U′ et V′ sont dans U. Le produit de mélange “U • V ” est défini comme suit :

\{ \begin{matrix}U • ϵ & = & ϵ • U = U, \\ U • V & = & (v; ν), U • V′ + (u; μ), U′ • V \\ & + & ∑_{k=0}^{v−1}\binom{u−1+k}{u−1} \frac{(−1)^{k}}{(μ − ν)^{u+k}} (u − k; μ), U′ • V′ \\ & + & (−1)^{v}∑_{k=0}^{u−1}\binom{v−1+k}{v−1} \frac{1}{(μ − ν)^{v+k}} (v − k; ν), U′ • V′. \end{matrix}

Théorème 5. Soient U = (u_{1}; μ_{1}), …, (u_{k}; μ_{k}) et V = (v_{1}; ν_{1}), …, (v_{l}; ν_{l}). On a :

ζ(U • V) = ζ(U)ζ(V).

4.5. Régularisation des polyzêtas de Hurwitz divergents. Nous voulons donc régulariser les expressions de la forme :

S_{1} = H_{1}H_{2} … H_{q}K (12)

où l’on a posé, pour 1 ≤ k ≤ q :

H_{k} = x_{0}^{s_{k}−1}(t_{k}x_{0})^{∗s_{k}}x_{1} et K = x_{0}^{s_{q+1}−1}(t_{q+1}x_{0})^{∗s_{q+1}}.

La série S_{1} se met sous la forme générale :

S_{1} = F GK,

où, pour 0 ≤ r ≤ q :

F = H_{1}H_{2} … H_{r}, G = 1 ou G = H_{r+1} … H_{q},
avec s_{1} = … = s_{r} = 1, et s_{r+1} > 1.

La série α_{0}^{1}(G) est convergente. La série α_{0}^{1}(K) est sur l’aphabet à une lettre {x_{0}}, et reg ⊔⊔(K) est égale à 1 si s_{q+1} = 1, à 0 sinon. Finalement, la somme α_{0}^{1}(S_{1}) est convergente si et seulement si F = K = 1, autrement dit, si r = 0, s_{1} > 1, et t_{q+1} = 0). On a dans ce cas :

α_{0}^{1}(S_{1}) = ζ[(s_{1}; t_{1}), …, (s_{q}; t_{q})] = ∑_{n_{1}>...>n_{q}>0} \frac{1}{(n_{1} − t_{1})^{s_{1}} … (n_{r} − t_{r})^{s_{q}}} .

Premier cas. Régularisation de F = (t_{1}x_{0})^{∗}x_{1}(t_{2}x_{0})^{∗}x_{1} … (t_{r}x_{0})^{∗}x_{1} (avec r ≥ 1). Nous allons régulariser la somme plus générale :

F_{1} = (t_{1}x_{0})^{∗s_{1}}x_{1}(t_{2}x_{0})^{∗s_{2}}x_{1} … (t_{r}x_{0})^{∗s_{r}}x_{1}. (13)

Nous posons F_{r+1} = 1 et pour j = 1 … r :

F_{j} = (t_{j}x_{0})^{∗s_{j}}x_{1} … (t_{r}x_{0})^{∗s_{r}}x_{1}.

Remarque – La série F_{1} (resp. F_{j}) est une combinaison linéaire des expressions rationnelles codant les fonctions de Lerch. Ceci découle de l’identité rationnelle :

x^{∗n} = x^{∗} ⊔⊔(1 − x)^{n−1} = ∑_{i=0}^{n−1} \binom{n − 1}{i}x^{∗} ⊔⊔ x^{i} = ∑_{i=0}^{n−1} \binom{n − 1}{i}x^{i}x^{∗i+1}.

□ Nous utiliserons le lemme :

Lemme 3. Soit x une lettre. On a l’identité rationnelle : x^{∗n} = 1 + x∑_{i=1}^{n}x^{∗i}.

Preuve – Preuve par induction, en utilisant l’identité :

x^{∗n} = (1 + xx^{∗})x^{∗n−1} = x^{∗n−1} + xx^{∗n}.

□ On en déduit les identités, pour j = 1 … r :

H_{j} = x_{1} + (t_{j}x_{0}) ∑_{i=1}^{s_{j}}(t_{j}x_{0})^{∗i}x_{1},
F_{j} = H_{j}F_{j+1} = x_{1}F_{j+1} + (t_{j}x_{0})R_{j},
où R_{j} = ∑_{i=1}^{s_{j}}(t_{j}x_{0})^{∗i}x_{1}F_{j+1}.

Lemme 4. Soit V ∈ A⟨⟨X⟩⟩. On a l’identité : F_{1}V = ∑_{j=1}^{r}x_{1}^{j−1}(t_{j}x_{0})R_{j}V.

Proposition 9. Soit V ∈ A⟨⟨X⟩⟩. On a l’identité :

reg_{⊔⊔}(F_{1}V) = reg_{⊔⊔}(∑_{j=1}^{r}(−1)^{j−1}(t_{j}x_{0})[x_{1}^{j−1} ⊔⊔(R_{j}V)]),

reg_{⊔⊔}(F_{1}) = ∑_{j=1}^{r}(−1)^{j−1}(t_{j}x_{0})[x_{1}^{j−1} ⊔⊔ R_{j}].

Preuve – La preuve découle directement du lemme précédent et de la proposition 1. Pour la seconde égalité, il suffit de remarquer que pour tout j, on a x_{0}R_{j} ∈ A⟨⟨X⟩⟩x_{1}. □

On obtient en conséquence la régularisation du moule Zig d’Ecalle [14] : Corollaire 5.

reg_{⊔⊔}(F) = reg_{⊔⊔}[(t_{1}x_{0})^{∗}x_{1} … (t_{r}x_{0})^{∗}x_{1}]
= ∑_{j=1}^{r}(−1)^{j−1}(t_{j}x_{0})(x_{1}^{j−1} ⊔⊔[(t_{j}x_{0})^{∗}x_{1} … (t_{r}x_{0})^{∗}x_{1}]).

Deuxième cas. Régularisation de F G.

Lemme 5. Soit V ∈ A⟨⟨X⟩⟩. On a l’identité F GV = ∑_{j=1}^{r}x_{1}^{j−1}(t_{j}x_{0})R_{j}GV

Proposition 10.

reg_{⊔⊔}(F GV) = reg_{⊔⊔}(∑_{j=1}^{r}(−1)^{j−1}(t_{j}x_{0})[x_{1}^{j−1} ⊔⊔(R_{j}GV)]),

reg_{⊔⊔}(F G) = ∑_{j=1}^{r}(−1)^{j−1}(t_{j}x_{0})[x_{1}^{j−1} ⊔⊔(R_{j}G)].

Preuve – On applique la proposition 9. de plus on a x_{0}R_{j}G ∈ x_{0}A⟨⟨X⟩⟩x_{1}, d’où la seconde égalité. □

Cas général. Régularisation de S_{1} = F GK :

reg_{⊔⊔}(F GK) = reg_{⊔⊔}(∑_{j=1}^{r}(−1)^{j−1}(t_{j}x_{0})[x_{1}^{j−1} ⊔⊔(R_{j}GK)]).

Où la série :

x_{0}[x_{1}^{j−1} ⊔⊔(R_{j}GK)] = ∑_{a+b=j−1} x_{0}[x_{1}^{a} ⊔⊔(R_{j}G)](x_{1}^{b} ⊔⊔ K)

est somme finie de séries de la forme S_{j,n} = x_{0}T_{j,n}x_{1}K_{j,n}, où K_{j,n} est une série rationnelle de la forme x_{0}^{k}(t_{q+1}x_{0})^{∗l}, avec k ≤ s_{q+1} − 1 et l ≤ s_{q+1}, ayant pour antipode

a(K_{j,n}) = a[x_{0}^{k}(t_{q+1}x_{0})^{∗l}] = (−x_{0})^{k}(−t_{q+1}x_{0})^{∗l}.

On en déduit, avec ces notations : Proposition 11.

reg_{⊔⊔}(F GK) = reg_{⊔⊔}(∑_{j=1}^{r}(−1)^{j−1}t_{j} ∑_{n} x_{0}T_{j,n}x_{1}K_{j,n})

= ∑_{j=1}^{r}(−1)^{j−1}t_{j} ∑_{n}[x_{0}T_{j,n} ⊔⊔ a(K_{j,n})]x_{1}.

Remarque – Il est clair que les opérations de régularisation requises ne sortent pas de la classe des expressions rationnelles codant des fonctions de Lerch. □

5. Polyzêtas colorés et Polyzêtas de Hurwitz

5.1. Séries génératrices de Dirichlet. Soient m suites de nombres complexes {f_{i,n}}_{i=1..m,n≥1} de s.g.o. F_{i}(z) = ∑_{n≥1} f_{i,n}z^{n}. Considérons l’alphabet {x_{0}, x_{1}, …, x_{n}}, auquel on associe les m + 1 formes différentielles suivantes :

ω_{0} = \frac{dz}{z} , ω_{i} = F_{i}(z)\frac{dz}{z} , i = 1..m.

Considérons également des s.g.d. associées à ces fonctions [20] :

Di(F_{i_{1}}, …, F_{i_{r}}; s_{1}, …, s_{r}) = ∑_{n_{1}>...>n_{r}>0} \frac{f_{i_{1},n_{1}−n_{2}} … f_{i_{k−1},n_{k−1}−n_{r}}f_{i_{r},n_{r}}}{n_{1}^{s_{1}} … n_{r}^{s_{r}}} .

Proposition 12 ([20]). Di(F_{i_{1}}, …, F_{i_{r}}; s_{1}, …, s_{r}) = α_{0}^{1}(x_{0}^{s_{1}−1}x_{i_{1}} … x_{0}^{s_{r}−1}x_{i_{r}}), où :

α_{0}^{z}(x_{0}^{s_{1}−1}x_{i_{1}} … x_{0}^{s_{r}−1}x_{i_{r}}) = ∑_{n_{1}>...>n_{r}>0} \frac{f_{i_{1},n_{1}−n_{2}} … f_{i_{k−1},n_{k−1}−n_{r}}f_{i_{r},n_{r}}}{n_{1}^{s_{1}} … n_{r}^{s_{r}}} z^{n_{1}}.

En particulier, si les fonctions génératrices {F_{i}(z)}_{i=1..m} sont de la forme b_{i}z/(1 − b_{i}z) alors :

α_{0}^{z}(x_{0}^{s_{1}−1}x_{1} … x_{0}^{s_{r}−1}x_{r}) = ∑_{n_{1}>...>n_{r}>0} \frac{b_{1}^{n_{1}−n_{2}} … b_{k−1}^{n_{k−1}−n_{r}}b_{r}^{n_{r}}}{n_{1}^{s_{1}} … n_{r}^{s_{r}}} z^{n_{1}}. (14)

et Di(F_{1}, …, F_{r}; s_{1}, …, s_{r}) donne, dans ce cas, le polylogarithme multiple [4, 16, 32] :

Li_{s_{1},...,s_{r}}(b_{1}, …, b_{r}) = ∑_{n_{1}>...>n_{r}>0} \frac{b_{1}^{n_{1}}(b_{2}/b_{1})^{n_{2}} … (b_{r}/b_{k−1})^{n_{r}}}{n_{1}^{s_{1}} … n_{r}^{s_{r}}} .

Théorème 6. Si les {f_{i,n}}_{n≥1}, i = 1..m, sont périodiques de même période K alors :

Di(F_{i_{1}}, …, F_{i_{r}}; s_{1}, …, s_{r}) =

∑_{a_{1},...,a_{r}=1}^{K} \frac{f_{i_{1},a_{1}} … f_{i_{r},a_{r}}}{K^{s_{1}+...+s_{r}}} ζ[(s_{1}; \frac{a_{1} + … + a_{r}}{K} ), …, (s_{r}; \frac{a_{r}}{K} )].

En d’autres termes, si les {f_{i,n}}_{n≥1}, i = 1..m, sont périodiques de même période K alors cette série génératrice de Dirichlet est une somme finie de polyzêtas de Hurwitz.

5.2. Polyzêtas colorés. Un cas particulier des s.g.d. est celui des polyzêtas colorés^{1} [3, 4, 16].

En effet, soit m un entier positif et τ son inverse. Introduisons la racine primitive m-ième de l’unité, q = e^{2iπτ}, et les fonctions génératrices {F_{i}(z)}_{i=1..m} de la forme q^{i}z/(1 − q^{i}z). Proposition 13 (Formule de distribution).

ζ\binom{s_{1}, …, s_{r}}{q^{i_{1}}, …, q^{i_{r}}} =

\frac{1}{m^{s_{1}+...+s_{r}}} ∑_{a_{1}−a_{2},...,a_{r−1}−a_{r},a_{r}=1}^{m} q^{i_{1}a_{1}+...+i_{r}a_{r}}ζ[(s_{1}; −a_{1}/m), …, (s_{r}; −a_{r}/m)].

1Les polylogarithmes colorés sont obtenus à partir des polylogarithmes multiples [4, 16], en les sp’ecialisant aux racines de l’unité.

Preuve – D’après l’expression (14) et le théorème 6, nous avons successivement :

ζ\binom{s_{1}, …, s_{r−1}, s_{r}}{q^{i_{1}−i_{2}}, …, q^{i_{r}−i_{r−1}}, q^{i_{r}}} = α_{0}^{1}(x_{0}^{s_{1}−1}x_{i_{1}} … x_{0}^{s_{r}−1}x_{i_{r}})

= τ^{s_{1}+...+s_{r}} ∑_{a_{1},...,a_{r}=1}^{m} q^{i_{1}a_{1}+...+i_{r}a_{r}}ζ[(s_{1}; (a_{1} + … + a_{r})τ), …, (s_{r}; a_{r}τ)].

En changeant les indices a_{1}, …, a_{r} comme dans (10) et (11), nous obtenons l’expression voulue. □

Par conséquent, les polyzêtas colorés sont des combinaisons linéaires, à coefficients dans le corps cyclotomique ℚ(q) de polyzêtas de Hurwitz ayant pour paramètes des nombres rationnels de l’intervalle [0, 1[. Ils peuvent être également vus commes des évaluations, en les racines m-ième de l’unité, de polynômes à coefficients dans la ℚ-algèbre des polyzêtas de Hurwitz.

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    http://www.math.jussieu.fr/~miw/.

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Remerciements : Nous remercions Foata et Zagier pour nous avoir signalé les travaux de Kaneko [1], et Boutet de Monvel, Cartier, Ecalle, Racinet et Waldschmidt pour d’utiles discussions.

  E-mail address: {hoang,jacob,oussous,petitot}@lifl.fr

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