Aspects combinatoires des polylogarithmes et des sommes d’Euler-Zagier

Hoang Ngoc Minh, Université Lille II, 59024 Lille, France, Gérard Jacob, Michel Petitot, Nour Eddine Oussous, Université Lille I, 59655 Villeneuve d’Ascq, France.

30 août 1999

Résumé – L’algèbre des polylogarithmes est la plus petite ℂ-algèbre qui contient les constantes et qui est stable par les intégrations par rapport aux formes différentielles dz/z et dz/(1 − z). D’après le théorème de structure cette algèbre est isomorphe à l’algèbre des polynômes non commutatifs munie du produit de mélange. Comme conséquences de ce résultat, les polylogarithmes Li_{n}(g(z)) où n ≥ 1 et où les g(z) appartiennent au groupe du birapport, sont des polynômes en les polylogarithmes indicés par les mots de Lyndon et à coefficients dans une certaine extension transcendante de ℚ: l’algèbre des sommes d’Euler-Zagier. Nous conjecturons que cette algèbre est une algèbre de polynômes et nous cherchons actuellement une base pour cette algèbre. Et la question de savoir si les polylogarithmes Li_{n}(g(z)) vérifient une équation fonctionnelle linéaire est alors effectivement décidable modulo une conjecture de dimension de Zagier. Cette procédure de décision passe par la décompositions de ces polylogarithmes comme polynômes en les polylogarithmes indicés par la base de Lyndon. Un tel algorithme se base sur la factorisation de la série génératrice de ces polylogarithmes.

1 Introduction

Dans ce travail, nous décrivons l’étude que nous menons actuellement sur l’algèbre des polylogarithmes [27, 30, 31, 32, 34, 34].

Soit X = {x_{0}, x_{1}} un alphabet fini. Le monoïde libre engendré par X est le monoïde X^{∗} des mots sur l’alphabet X. Le mot vide est noté par 1. Nous notons X^{+} l’ensemble X^{∗} \ {1}. Nous notons également ℂ⟨X⟩ et Sh_{ℂ}⟨X⟩ les algèbres des polynômes sur X^{∗} à coefficients dans ℂ, munie respectivement du produit de Cauchy (associatif, non commutatif et admettant 1 comme l’élément neutre) et du produit de mélange (associatif, commutatif et admettant 1 comme l’élément neutre) [2, 38, 46, 49]. De même, nous notons ℂ⟨⟨X⟩⟩ et Sh_{ℂ}⟨⟨X⟩⟩ les algèbres des séries formelles sur X^{∗} à coefficients dans ℂ, munis respectivement du produit de Cauchy et du produit de mélange.

Les mots w de X^{∗} permettent de coder les intégrales itérées de Chen [14] par rapport aux formes différentielles ω_{0}, ω_{1} et suivant un chemin γ d’origine z_{0} de but z. Lorsqu’il y a pas de confusion sur γ, nous notons ces intégrales itérées par α_{z_{0}}^{z}(w) :

α_{z_{0}}^{z}(w) = \{ \begin{matrix}1 & si & w = 1, \\ ∫_{γ} ω_{i_{1}}ω_{i_{2}} … ω_{i_{k}} & si & w = x_{i_{1}}x_{i_{2}} … x_{i_{k}}. \end{matrix}

L’application α qui à tout w ∈ X^{∗} associe l’intégrale itérée α_{z_{0}}^{z}(w) est étendue par linéarité à l’algèbre de mélange Sh_{ℂ}⟨X⟩. Nous appelons également cette application α tranformation d’évaluation [24, 25, 26]. D’après Fliess, elle réalise un morphisme de Sh_{ℂ}⟨X⟩ dans une “algèbre de fonctions” [17].

Question 1.1 Est-ce-que l’application α (relative à ω_{0} et ω_{1}) est un isomorphisme de l’algèbre de mélange Sh_{ℂ}⟨X⟩ dans une “algèbre de fonctions”?

Exemple 1.1 Considérons les deux formes différentielles suivantes :

ω_{0} = \frac{dz}{z} et ω_{2} = dz.

Nous avons ker α ≠ ∅ car, pour tout n ≥ 0, on vérifie que α(x_{2}x_{0}^{n}) = α(x_{2}).

Question 1.2 Existe-t-il des exemples telles que α soit un isomorphisme d’algèbre de mélange Sh_{ℂ}⟨X⟩ dans une “algèbre de fonctions”?

Pour répondre à cette question, nous allons considérer les deux formes différentielles suivantes [27] :

ω_{0} = \frac{dz}{z} et ω_{1} = \frac{dz}{1 − z} .

1. Nous étudions l’algèbre des polylogarithmes [34]. C’est la plus petite ℂalgèbre qui contient les constantes et qui est stable par les intégrations par rapport aux formes différentielles ω_{0} et ω_{1}. Les polylogarithmes de cette algèbre sont obtenus, par conséquent, comme des intégrales itérées de Chen par rapport à ω_{0} et ω_{1}. Ils admettent les développements en séries entières suivants :

Li_{s_{1},...,s_{k}}(z) = ∑_{n_{1}>...>n_{k}>0} \frac{z^{n_{1}}}{n_{1}^{s_{1}} … n_{k}^{s_{k}}} , |z| < 1.

2. La valeur en 1 des polylogarithmes donne des sommes d’Euler-Zagier [51, 52, 53, 35, 36, 4, 5, 6, 7, 32]

ζ(s_{1}, …, s_{k}) = ∑_{n_{1}>...>n_{k}>0} \frac{1}{n_{1}^{s_{1}} … n_{k}^{s_{k}}}

dont nous établissons une base de Gröbner de l’idéal des relations.

Les sommes d’Euler-Zagier jouent un rôle crucial et théorie des nombres [51, 52, 53], en mécanique quantique [16, 22, 39] (associateur de Drinfel’d), physique des hautes énergies [11, 12] et théorie des nœuds [1, 13](invariants de Vassiliev, représentation par des intégrales de Kontsevich). Elles sont aussi importants dans la résolution des équations différentielles avec singularités (voir [31]). Par conséquent, elles interviennent de manière naturelle dans l’étude de l’équation intégrale des arbres quadrants, comme l’avaient pressenti les auteurs de [18] (voir égalemnet leur bibliographie). En particulier, Flajolet et Salvy ont abordé ces sommes d’Euler-Zagier en se basant sur leur représentation par des d’intégrales de contour [19].

2 Polylogarithmes

2.1 Les polylogarithmes de Nielsen

Les polylogarithmes classiques et les polylogarithmes de Nielsen généralisent, en fait, le dilogarithme, appelé fonction de Legendre par Nielsen [42](chez les physiciens, il est connu comme la fonction de Spence [40]). Il est connu depuis Leibnitz en 1696, puis par Euler, Abel, Hill, Jonquière, Kummer, Lindelöf, Lobachev (voir [40]). Le polylogarithme d’ordre n ≥ 1, c’est-à-dire la fonction définie par la série entière (voir [40]) :

Li_{n}(z) = ∑_{k≥0} \frac{z^{k}}{k^{n}} , |z| < 1.  (1)

La valeur en z = 1 de cette somme est aussi la valeur en z = n de la zêta de Riemann (voir Section 3) :

ζ(n) = Li_{n}(1).  (2)

Ces polylogarithmes classiques sont, en fait, des intégrales itérées impropres de formes différentielles à pôles logarithmiques à l’infini sur P_{1}(ℂ) \ {0, 1, ∞}:

Li_{1}(z) = log(\frac{1}{1 − z} ),  Li_{n}(z) = ∫_{0}^{z} Li_{n−1}(s)\frac{ds}{s}.  (3)

Sous cette forme, le polylogarithme Li_{n}(z) se prolonge en une fonction multivaluée sur P_{1}(ℂ) \ {0, 1, ∞}. D’après la définition du polylogarithme classique Li_{n}(z) par les intégrales itérées, nous considérons cette fonction comme l’évaluation du mot x_{0}^{n−1}x_{1} par rapport aux formes différentielles :

ω_{0} = \frac{dz}{z} et ω_{1} = \frac{dz}{1 − z} .  (4)

Nous notons encore Li_{n}(z) par Li_{x_{1}x_{0}^{n−1}}(z) [27] :

Li_{n}(z) = Li_{x_{0}^{n−1}x_{1}}(z) = α_{0}^{z}(x_{0}^{n−1}x_{1}).  (5)

Nielsen a étudié aussi le polylogarithme L_{n,p}(z) qui est définie récursivement comme suit (notons que L_{n,1}(z) = Li_{n+1}(z)) :

L_{0,p}(z) = \frac{1}{p!} log^{p}(\frac{1}{1 − z} ), L_{n,p}(z) = ∫_{0}^{z} L_{n−1,p}(s)\frac{ds}{s}.  (6)

Le polylogarithme de Nielsen admet également un développement en série entière :

L_{n,p}(z) = ∑_{k≥1} \frac{S_{k}^{(k−p)}}{Γ(p)} \frac{z^{k}}{k^{n}} ,  (7)

où S_{k}^{(k−p)} est le nombre de Stirling de première espèce. Nielsen a établi les relations entre les valeurs de ces sommes^{1} en z = 1, z = −1 et z = 1/2 (voir Section 3). De même, nous appelons également polylogarithme de Nielsen^{2} la somme suivante:

H_{n,p}(z) = ∑_{k≥1} H_{k−1}^{(p)} \frac{z^{k}}{k^{n}} ,  (8)

où H_{k−1}^{(p)} est le nombre harmonique généralisé. Car Nielsen a également étudié les relations entre les valeurs H_{n,p}(1) et Li_{n}(1) [43] (voir Section 3).

D’après les définitions précédentes de L_{n,p}(z) et de H_{n,p}(z), nous considérons ces fonctions comme l’évaluation des mots x_{0}^{n−1}x_{1}^{p} et x_{0}^{n−1}x_{1}x_{0}^{p−1}x_{1} par rapport aux formes différentielles ω_{0} et ω_{1}. Nous notons encore L_{n,p}(z) par Li_{x_{0}^{n−1}x_{1}^{p}}(z) et H_{n,p}(z) par Li_{x_{0}^{n−1}x_{1}x_{0}^{p−1}x_{1}}(z) [30] :

L_{n,p}(z) = Li_{x_{0}^{n−1}x_{1}^{p}}(z) = α_{0}^{z}(x_{0}^{n−1}x_{1}^{p}),  (9)
H_{n,p}(z) = Li_{x_{0}^{n−1}x_{1}x_{0}^{p−1}x_{1}}(z) = α_{0}^{z}(x_{0}^{n−1}x_{1}x_{0}^{p−1}x_{1}).  (10)

Plus généralement, nous étudions les polylogarithmes généralisés suivants :

Définition 2.1 Pour tout mot w = x_{0}^{s_{1}−1}x_{1} … x_{0}^{s_{k}−1}x_{1} ∈ X^{∗}x_{1}, nous définissons le polylogarithme de Nielsen Li_{w}(z) comme l’intégrale itérée impropre α_{0}^{z}(w) par rapport aux formes différentielles ω_{0} = dz/z et ω_{1} = dz/(1 − z).

Le polylogarithme Li_{w}(z) admet également un développent en série :

Li_{w}(z) = ∑_{n_{1}>...>n_{k}>0} \frac{z^{n_{1}}}{n_{1}^{s_{1}} … n_{k}^{s_{k}}} .  (11)

Nous étendons la définition 2.1 sur tous les mots w de X^{∗} comme suit :

1. Nielsen note [43] s_{n,p} = L_{n,p}(1), σ_{n,p} = (−1)^{p}L_{n,p}(−1) et a_{n,p} = L_{n,p}(1/2).

2. Nielsen note [43] c_{n,p} = H_{n,p}(1).

Définition 2.2

Li_{1}(z) = 1,  (12)
Li_{x_{0}^{k}}(z) = \frac{[log(z)]^{k}}{k!} , k ≥ 0  (13)
Li_{wx_{1}x_{0}^{k}}(z) = ∫_{1}^{z}∫_{1}^{s_{1}}…∫_{0}^{s_{k}}Li_{w}(s_{k+1})\frac{ds_{k+1}}{1 − s_{k+1}} \frac{ds_{k}}{s_{k}} … \frac{ds_{1}}{s_{1}} , k ≥ 0, w ∈ X^{∗}. (14)

Définition 2.3 Les sommes d’Euler-Zagier (MZVs) sont définies par^{3}

ζ(s_{1}, …, s_{k}) = Li_{w}(1) = ∑_{n_{1}>...>n_{k}>0} \frac{1}{n_{1}^{s_{1}} … n_{k}^{s_{k}}} .  (15)

k est la profondeur et s = s_{1} + … + s_{k} est le poids de ζ(s_{1}, …, s_{k}).

Maintenant, à chaque mot w = x_{0}^{s_{1}−1}x_{1} … x_{0}^{s_{k}−1}x_{1} dans X^{∗}x_{1}, nous associons de manière biunivogue, le multi-indice s = (s_{1}, ⋯, s_{k}). Ainsi, il convient de noter :

ζ_{w} = ζ(w) = ζ(s_{1}, …, s_{k})  (16)

et :

Li_{w}(z) = Li_{s_{1},...,s_{k}}(z).  (17)

Nous étendons par linéarité la définition 2.2 à ℚ⟨X⟩ et la définition 2.3 à x_{0}ℚ⟨X⟩x_{1} comme suit :

∀P = ∑_{w∈supp P}⟨P |w⟩w ∈ ℚ⟨X⟩, Li_{P} (z) = ∑_{w∈supp P}⟨P |w⟩ Li_{w}(z), (18)
∀Q = ∑_{w∈supp Q}⟨Q|w⟩w ∈ x_{1}ℚ⟨X⟩x_{0}, ζ(Q) = ∑_{w∈supp Q}⟨Q|w⟩ζ(w). (19)

2.2 Série génératrice non commutative

Les définitions 2.1 et 2.2 nous permettent d’introduire la série génératrice non commutative des polylogarithmes :

Définition 2.4 ([33])

L(z) = 1 + ∑_{w∈X^{+}} Li_{w}(z) w.  (20)

Théorème 2.1 ([33]) La série génératrice L(z) satisfait l’équation de Drinfel’d, i.e. l’équation différentielle suivante :

\frac{d}{dz} L(z) = L(z)(\frac{x_{0}}{z} + \frac{x_{1}}{1 − z} ),  (21)
L(ε) = e^{x_{0} log ε} + O(\sqrt{ε}) si ε → 0^{+}.  (22)

3. Les sommes d’Euler-Zagier sont convergente pour n_{1} > 1.

D’après la condition limite (22), nous déduisons :

L(z) ∼ e^{x_{0} log z} si z → 0^{+}.  (23)

En d’autres termes, la limite de L(z) quand z ∈ ℝ, z → 0^{+} est une exponentielle de Lie. Cette condition nous permet de montrer le théorème :

Théorème 2.2 ([33]) La série génératrice L(z) est une exponentielle de Lie.

D’après le théorème de Ree [45], nous en déduisons que la série génératrice L(z) satisfait le critère de Friedrich :

Corollaire 2.1

∀u, v ∈ X^{∗}, Li_{u_{⊔⊔} v} = Li_{u} Li_{v} .  (24)

La série génératrice L(z) peut s’obtenir comme l’image par le morphisme α ⊗ Id de la série double D suivante (rapellons que α est un morphisme de monoïde pour le produit de mélange) :

D = ∑_{w∈X^{∗}} w ⊗ w  (25)
L(z) = (α ⊗ Id)D.  (26)

La série D est une exponentielle de Lie que l’on peut factoriser en utilisant une factorisation classique, due à Schützenberger [46], de la série double dans Sh_{ℚ}⟨X⟩ˆ⊗ℚ⟨X⟩. On introduit pour cela une base {P (l)}_{l∈L} de l’algèbre de Lie libre sur X indexée par les mots de Lyndon, et sa “base duale” {P^{∗}}_{l∈L}, qui est aussi une base de transcendance de l’algèbre de mélange Sh_{ℚ}⟨X⟩. Cette factorisation en produit infini s’écrit :

D = ∏ ; lexicographique décroissant^{l∈L} e^{P^{∗}(l)⊗P (l)},  (27)

On pose alors:

Définition 2.5 ([33])

Z = ∏ ; lexicographique décroissant^{l∈L\{x_{0},x_{1}}} e^{ζ(P^{∗}(l))P (l)}.  (28)

et on en déduit le corollaire :

Corollaire 2.2

L(z) = e^{− log(1−z)x_{1}} Z e^{log(z)x_{0}}.  (29)

On en déduit :

Proposition 2.1 ([33]) Z est l’unique exponentielle de Lie telle que

(Z|w) = ζ(w), w ∈ x_{0}X^{∗}x_{1},  (30)
(Z|x_{0}) = (Z|x_{1}) = 0.  (31)

Cette série Z correspond en fait à la série Φ_{KZ} de Drinfel’d [16]. Et nous avons :

Théorème 2.3 ([33]) Lorsque ε → 0^{+}, la série génératrice des polylogarithmes L admet le développement asymptotique suivant :

L(1 − ε) ∼ e^{−x_{1} log ε} Z si ε ∈ ℝ, ε → 0  (32)

Corollaire 2.3 Pour tout mot de Lyndon l ∈ x_{0}X^{∗}x_{1}, nous avons :

Li_{l}(1 − ε) ∼ ζ(l) si ε ∈ ℝ, ε → 0  (33)

Le théorème de Radford [44, 46] permet de calculer, en conséquent, le comportement asymptotique en z = 1 des autres polylogarithmes Li_{w}.

Exemple 2.1 Pour ε → 0^{+}, nous avons :

Li_{x_{0}}(1 − ε) ∼ −ε et Li_{x_{1}}(1 − ε) ∼ − log ε.  (34)

Considérons le mot x_{1}^{2}x_{0}. Le théorème de Radford nous donne :

x_{1}^{2}x_{0} = x_{0}x_{1}^{2} − x_{1} ^{⊔⊔} x_{0}x_{1} + 1/2x_{0} ^{⊔⊔} x_{1}^{_{⊔⊔} 2}.  (35)

Par conséquent :

Li_{x_{1}^{2}x_{0}}(1 − ε) ∼ ζ(2, 1) + ζ(2) log ε − \frac{1}{2}ε log^{2} ε + …  (36)

D’après une identité d’Euler ζ(3) = ζ(2, 1), nous déduisons aussi :

Li_{x_{1}^{2}x_{0}}(1 − ε) ∼ ζ(3) + ζ(2) log ε − \frac{1}{2}ε log^{2} ε + …  (37)

Par conséquent, l’étude du comportement asymptotique en z = 1 des polylogarithmes conduit aux sommes d’Euler-Zagier et leur relations (voir Section 3).

2.3 Calcul de la monodromie

Rappelons que pour un chemin différentiable γ : [0, 1] → ℂ − {0, 1} allant de a à b, la série de Chen S_{γ} ∈ ℂ⟨⟨X⟩⟩ est la solution évaluée en z = b de l’équation différentielle (21) :

\frac{d}{dz} S(z) = (\frac{x_{0}}{z} + \frac{x_{1}}{1 − z} )S(z),  (38)
S(a) = 1.  (39)

S_{γ} est une exponentielle de Lie qui ne dépend pas du paramétrage du chemin γ [45, 46]. A deux chemins appartenant à la même classe d’homotopie [14] correspondent des séries égales. Soit γ = γ_{1}γ_{2} le chemin obtenu en mettant bout à bout deux chemins γ_{1} et γ_{2}. On a alors

S_{γ_{1}γ_{2}} = S_{γ_{2}}S_{γ_{1}}  (40)

et on en déduit que

S_{γ^{−1}} = S_{γ}^{−1}.  (41)

Soit z_{0} un point de R que l’on identifie avec sa projection sur ℂ et soit z_{0} ⇝ z un chemin différentiable dans ℂ \ {0, 1}. On peut prolonger analytiquement la série L le long de ce chemin. Alors les séries L(z) et S_{z_{0}⇝z}L(z) satisfont l’équation différentielle (21) et prennent la même valeur en z = z_{0}. Ceci prouve que

Proposition 2.2 ([33]) Pour tout chemin z_{0} ⇝ z dans ℂ−{0, 1}, nous avons :

L(z) = S_{z_{0}⇝z}L(z_{0}).  (42)

En appliquant les formules (42) et (32) on en déduit le développement asymptotique :

Corollaire 2.4

S_{ε⇝1−ε} ∼ e^{−x_{1} log ε} Z e^{−x_{0} log ε},  pour ε → 0^{+},  (43)

On considère le ℂ-morphisme

ρ : ℂ[ε, log ε] ⟶ ℂ  (44)

qui à tout polynôme de ℂ[ε, log ε] associe son terme constant. Ce morphisme s’étend de manière naturelle aux séries en un ℂ-morphisme :

ρ : ℂ[ε, log ε]⟨⟨X⟩⟩ ⟶ ℂ⟨⟨X⟩⟩.  (45)

La formule (43) prouve que la série Z renormalise la série de Chen S_{ε⇝1−ε} ie. :

Proposition 2.3 ([33])

Z = ρ(S_{ε⇝1−ε}).  (46)

Exemple 2.2 A titre d’exemple, voici le développement à l’ordre 4 de log Z, calculé en Axiom :

log Z = ζ(2)[x_{0}, x_{1}] + ζ(3)[x_{0}, [x_{0}, x_{1}]] + ζ(3)[[x_{0}, x_{1}], x_{1}]

+\frac{2}{5}ζ(2)^{2}[x_{0}, [x_{0}, [x_{0}, x_{1}]]] + \frac{1}{10}ζ(2)^{2}[x_{0}, [[x_{0}, x_{1}], x_{1}]]

+\frac{2}{5}ζ(2)^{2}[[[x_{0}, x_{1}], x_{1}], x_{1}] + ⋯  (47)

Fig. 1 - Chemins d’intégration γ_{0}(t) et γ_{1}(t)

Nous étudions le prolongement analytique de la série L(z) le long d’un chemin fermé. D’après (42), ceci permet de calculer la monodromie grâce à la série de Chen du chemin considéré. Nous montrons que la série de Chen d’un chemin circulaire de rayon ε autour de la singularité z = 0 (resp. z = 1) est égale à e^{2iπx_{0}} + O(ε) (resp. e^{−2iπx_{1}} + O(ε)). La figure 1 indique les chemins considérés pour calculer la monodromie correspondant à un tour autour d’une des singularités en partant d’un point t de l’axe réel. Le calcul donne :

Théorème 2.4 ([33]) La monodromie de la série L(z) est donnée par :

\{ \begin{matrix}M_{0}L(t) & = & L(t) e^{2iπx_{0}}, \\ M_{1}L(t) & = & L(t) Z^{−1} e^{2iπ𝔪_{1}}, \end{matrix}  (48)

où

e^{2iπ𝔪_{1}} = Z^{−1}e^{−2iπx_{1}}Z.  (49)

En utilisant la factorisation de la série Z donnée par (28) et les propriétés classiques de la représentation adjointe d’un groupe de Lie [10] :

e^{a}e^{b}e^{−a} = e^{e^{^{ad}^{a}} b},  (50)

on obtient :

Proposition 2.4 ([33])

𝔪_{1} = ∏ ; lexicographique décroissant^{l∈L\{x_{0},x_{1}}} e^{−ζ(P^{∗}(l)) ad P (l)}(−x_{1}).  (51)

Exemple 2.3 ([33]) A titre d’exemple, voici le développement de 𝔪_{1} à l’ordre 6, calculé en Axiom(pour simplifier les notations, dans l’expression suivante, nous avons codé P (l) par [l], si l est un mot de Lyndon) :

𝔪_{1} = −x_{1} + ζ_{x_{0}x_{1}}[x_{0}x_{1}^{2}] + ζ_{x_{0}^{2}}_{x_{1}}[x_{0}^{2}x_{1}^{2}] + ζ_{x_{0}}_{x_{1}^{2}}[x_{0}x_{1}^{3}] + ζ_{x_{0}^{3}}_{x_{1}}[x_{0}^{3}x_{1}^{2}]

− ζ_{x_{0}^{3}}_{x_{1}}[x_{0}^{2}x_{1}x_{0}x_{1}] + ζ_{x_{0}^{2}x_{1}^{2}}[x_{0}^{2}x_{1}^{3}] + (ζ_{x_{0}^{2}x_{1}^{2}} − \frac{1}{2}ζ_{x_{0}x_{1}^{2}})[x_{0}x_{1}x_{0}x_{1}^{2}]
+ ζ_{x_{0}}_{x_{1}^{3}}[x_{0}x_{1}^{4}] + ζ_{x_{0}^{4}}_{x_{1}}[x_{0}^{4}x_{1}^{2}] − 2ζ_{x_{0}^{4}}_{x_{1}}[x_{0}^{3}x_{1}x_{0}x_{1}]
+ ζ_{x_{0}^{3}}_{x_{1}^{2}}[x_{0}^{3}x_{1}^{3}] + (3ζ_{x_{0}^{3}}_{x_{1}^{2}} + ζ_{x_{0}^{2}}_{x_{1}}_{x_{0}}_{x_{1}})[x_{0}^{2}x_{1}x_{0}x_{1}^{2}]
+ (3ζ_{x_{0}^{3}}_{x_{1}^{2}} + ζ_{x_{0}x_{1}}ζ_{x_{0}^{2}}_{x_{1}} + 2ζ_{x_{0}^{2}}_{x_{1}}_{x_{0}}_{x_{1}})[x_{0}^{2}x_{1}^{2}x_{0}x_{1}]
+ ζ_{x_{0}^{2}}_{x_{1}^{3}}[x_{0}^{2}x_{1}^{4}] + (4ζ_{x_{0}^{2}}_{x_{1}^{3}} + ζ_{x_{0}}_{x_{1}}_{x_{0}}_{x_{1}^{2}})[x_{0}x_{1}x_{0}x_{1}^{3}] + ζ_{x_{0}}_{x_{1}^{4}}[x_{0}x_{1}^{5}]. (52)

Exemple 2.4 ([33]) Nielsen a donné la monodromie en 1 de Li_{n} (formule (16) dans [42]) :

M_{1} Li_{n}(z) = Li_{n}(z) − 2iπ \frac{log^{n}(z)}{n!}.  (53)

Grâce à (48) et (51), nous avons obtenu les monodromies suivantes des plylogarithmes en Axiom(pour simplifier les notations, dans l’expression suivante, nous avons remplacé 2iπ par p et Li par L) :

ML_{x_{0}} = L_{x_{0}}  (54)
ML_{x_{1}} = L_{x_{1}} − p  (55)
ML_{x_{0}x_{1}} = L_{x_{0}x_{1}} − pL_{x_{0}}  (56)
ML_{x_{0}^{2}x_{1}} = L_{x_{0}^{2}x_{1}} − \frac{1}{2}pL_{x_{0}}^{2}  (57)
ML_{x_{0}x_{1}^{2}} = L_{x_{0}x_{1}^{2}} − pL_{x_{0}x_{1}} + \frac{1}{2}p^{2}L_{x_{0}} + pζ_{x_{0}x_{1}}  (58)
ML_{x_{0}^{3}x_{1}} = L_{x_{0}^{3}x_{1}} − \frac{1}{6}pL_{x_{0}}^{3}  (59)
ML_{x_{0}^{2}x_{1}^{2}} = L_{x_{0}^{2}x_{1}^{2}} − pL_{x_{0}^{2}x_{1}} + \frac{1}{4}p^{2}L_{x_{0}}^{2} + pζ_{x_{0}x_{1}}L_{x_{0}} + pζ_{x_{0}^{2}x_{1}}  (60)
ML_{x_{0}x_{1}^{3}} = L_{x_{0}x_{1}^{3}} − pL_{x_{0}x_{1}^{2}} + \frac{1}{2}p^{2}L_{x_{0}x_{1}} − \frac{1}{6}p^{3}L_{x_{0}} + pζ_{x_{0}x_{1}^{2}}
− \frac{1}{2}p^{2}ζ_{x_{0}x_{1}}  (61)
ML_{x_{0}^{4}x_{1}} = L_{x_{0}^{4}x_{1}} − \frac{1}{24}pL_{x_{0}}^{4}  (62)
ML_{x_{0}^{3}}_{x_{1}^{2}} = L_{x_{0}^{3}}_{x_{1}^{2}} − pL_{x_{0}^{3}x_{1}} + \frac{1}{12}p^{2}L_{x_{0}}^{3} + \frac{1}{2}pζ_{x_{0}x_{1}}L_{x_{0}}^{2}
+ pζ_{x_{0}^{2}x_{1}}L_{x_{0}} + pζ_{x_{0}^{3}x_{1}}  (63)
ML_{x_{0}^{2}x_{1}x_{0}x_{1}} = L_{x_{0}^{2}x_{1}x_{0}x_{1}} + 3pL_{x_{0}^{3}x_{1}} − pL_{x_{0}}L_{x_{0}^{2}x_{1}} − pζ_{x_{0}x_{1}}L_{x_{0}}^{2}
− 2pζ_{x_{0}^{2}x_{1}}L_{x_{0}} − 3pζ_{x_{0}^{3}x_{1}}  (64)
ML_{x_{0}^{2}}_{x_{1}^{3}} = L_{x_{0}^{2}}_{x_{1}^{3}} − pL_{x_{0}^{2}x_{1}^{2}} + \frac{1}{2}p^{2}L_{x_{0}^{2}x_{1}} − \frac{1}{12}p^{3}L_{x_{0}}^{2}
+ (pζ_{x_{0}x_{1}^{2}} − \frac{1}{2}p^{2}ζ_{x_{0}x_{1}})L_{x_{0}} + pζ_{x_{0}^{2}x_{1}^{2}} − \frac{1}{2}p^{2}ζ_{x_{0}^{2}x_{1}}  (65)
ML_{x_{0}x_{1}x_{0}x_{1}^{2}} = L_{x_{0}x_{1}x_{0}x_{1}^{2}} + 2pL_{x_{0}^{2}}_{x_{1}^{2}} − p^{2}L_{x_{0}^{2}x_{1}} − \frac{1}{2}pL_{x_{0}x_{1}}^{2}

+ (\frac{1}{2}p^{2}L_{x_{0}} + pζ_{x_{0}x_{1}})L_{x_{0}x_{1}} + (−3pζ_{x_{0}x_{1}^{2}} + \frac{1}{2}p^{2}ζ_{x_{0}x_{1}})L_{x_{0}}
− 2pζ_{x_{0}^{2}x_{1}^{2}} + p^{2}ζ_{x_{0}^{2}x_{1}} − \frac{1}{2}pζ_{x_{0}x_{1}}^{2}  (66)
ML_{x_{0}x_{1}^{4}} = L_{x_{0}x_{1}^{4}} − pL_{x_{0}x_{1}^{3}} + \frac{1}{2}p^{2}L_{x_{0}x_{1}^{2}} − \frac{1}{6}p^{3}L_{x_{0}x_{1}} + \frac{1}{24}p^{4}L_{x_{0}}
+ pζ_{x_{0}x_{1}^{3}} − \frac{1}{2}p^{2}ζ_{x_{0}x_{1}^{2}} + \frac{1}{6}p^{3}ζ_{x_{0}x_{1}}  (67)
ML_{x_{0}^{5}x_{1}} = L_{x_{0}^{5}x_{1}} − \frac{1}{120}pL_{x_{0}}^{5}  (68)
ML_{x_{0}^{4}x_{1}^{2}} = L_{x_{0}^{4}x_{1}^{2}} − pL_{x_{0}^{4}x_{1}} + \frac{1}{48}p^{2}L_{x_{0}^{4}} + \frac{1}{6}pζ_{x_{0}x_{1}}L_{x_{0}^{3}} + \frac{1}{2}pζ_{x_{0}^{2}x_{1}}L_{x_{0}^{2}}
+ pζ_{x_{0}^{3}x_{1}}L_{x_{0}} + pζ_{x_{0}^{4}x_{1}}  (69)
ML_{x_{0}^{3}x_{1}x_{0}x_{1}} = L_{x_{0}^{3}x_{1}x_{0}x_{1}} + 4pL_{x_{0}^{4}x_{1}} − pL_{x_{0}}L_{x_{0}^{3}x_{1}} − \frac{1}{3}pζ_{x_{0}x_{1}}L_{x_{0}}^{3}
− pζ_{x_{0}^{2}x_{1}}L_{x_{0}}^{2} − 3pζ_{x_{0}^{3}x_{1}}L_{x_{0}} − 4pζ_{x_{0}^{4}x_{1}}  (70)
ML_{x_{0}^{3}}_{x_{1}^{3}} = L_{x_{0}^{3}}_{x_{1}^{3}} − pL_{x_{0}^{3}}_{x_{1}^{2}} + \frac{1}{2}p^{2}L_{x_{0}^{3}x_{1}} − \frac{1}{36}p^{3}L_{x_{0}}^{3}
+ (\frac{1}{2}pζ_{x_{0}x_{1}^{2}} − \frac{1}{4}p^{2}ζ_{x_{0}x_{1}})L_{x_{0}}^{2} + (pζ_{x_{0}^{2}x_{1}^{2}} − \frac{1}{2}p^{2}ζ_{x_{0}^{2}x_{1}})L_{x_{0}}
+ pζ_{x_{0}^{3}}_{x_{1}^{2}} − \frac{1}{2}p^{2}ζ_{x_{0}^{3}x_{1}}  (71)
ML_{x_{0}^{2}x_{1}x_{0}x_{1}^{2}} = L_{x_{0}^{2}x_{1}x_{0}x_{1}^{2}} − pL_{x_{0}^{2}x_{1}x_{0}x_{1}} − \frac{3}{2}p^{2}L_{x_{0}^{3}x_{1}}
+ (\frac{1}{2}p^{2}L_{x_{0}} + pζ_{x_{0}x_{1}})L_{x_{0}^{2}x_{1}} + (−\frac{3}{2}pζ_{x_{0}x_{1}^{2}} + \frac{1}{4}p^{2}ζ_{x_{0}x_{1}})L_{x_{0}}^{2}
+ (−2pζ_{x_{0}^{2}x_{1}^{2}} + p^{2}ζ_{x_{0}^{2}x_{1}} − \frac{1}{2}pζ_{x_{0}x_{1}}^{2})L_{x_{0}}
+ \frac{3}{2}p^{2}ζ_{x_{0}^{3}x_{1}} + pζ_{x_{0}^{2}x_{1}x_{0}x_{1}}  (72)
ML_{x_{0}^{2}x_{1}^{2}x_{0}x_{1}} = L_{x_{0}^{2}x_{1}^{2}x_{0}x_{1}} + pL_{x_{0}^{2}x_{1}x_{0}x_{1}} + 3pL_{x_{0}^{3}}_{x_{1}^{2}} − pL_{x_{0}}L_{x_{0}^{2}x_{1}^{2}}
− 2pζ_{x_{0}x_{1}}L_{x_{0}^{2}x_{1}} + (\frac{3}{2}pζ_{x_{0}x_{1}^{2}} + \frac{1}{4}p^{2}ζ_{x_{0}x_{1}})L_{x_{0}}^{2} + \frac{3}{2}pζ_{x_{0}x_{1}}^{2}L_{x_{0}}
− 3pζ_{x_{0}^{3}}_{x_{1}^{2}} + pζ_{x_{0}x_{1}}ζ_{x_{0}^{2}x_{1}} − pζ_{x_{0}^{2}x_{1}x_{0}x_{1}}  (73)
ML_{x_{0}^{2}}_{x_{1}^{4}} = L_{x_{0}^{2}}_{x_{1}^{4}} − pL_{x_{0}^{2}}_{x_{1}^{3}} + \frac{1}{2}p^{2}L_{x_{0}^{2}x_{1}^{2}} − \frac{1}{6}p^{3}L_{x_{0}^{2}x_{1}} + \frac{1}{48}p^{4}L_{x_{0}}^{2}
+ (pζ_{x_{0}x_{1}^{3}} − \frac{1}{2}p^{2}ζ_{x_{0}x_{1}^{2}} + \frac{1}{6}p^{3}ζ_{x_{0}x_{1}})L_{x_{0}} + pζ_{x_{0}^{2}}_{x_{1}^{3}}
− \frac{1}{2}p^{2}ζ_{x_{0}^{2}x_{1}^{2}} + \frac{1}{6}p^{3}ζ_{x_{0}^{2}x_{1}}  (74)
ML_{x_{0}x_{1}x_{0}x_{1}^{3}} = L_{x_{0}x_{1}x_{0}x_{1}^{3}} − pL_{x_{0}x_{1}x_{0}x_{1}^{2}} − p^{2}L_{x_{0}^{2}x_{1}^{2}} + \frac{1}{3}p^{3}L_{x_{0}^{2}x_{1}} + \frac{1}{4}p^{2}L_{x_{0}x_{1}}^{2}
+ (−\frac{1}{6}p^{3}L_{x_{0}} + pζ_{x_{0}x_{1}^{2}} − \frac{1}{2}p^{2}ζ_{x_{0}x_{1}})L_{x_{0}x_{1}}

+ (−4pζ_{x_{0}x_{1}^{3}} + p^{2}ζ_{x_{0}x_{1}^{2}} − \frac{1}{6}p^{3}ζ_{x_{0}x_{1}})L_{x_{0}}
+ p^{2}ζ_{x_{0}^{2}x_{1}^{2}} − \frac{1}{3}p^{3}ζ_{x_{0}^{2}x_{1}} + pζ_{x_{0}x_{1}x_{0}x_{1}^{2}} + \frac{1}{4}p^{2}ζ_{x_{0}x_{1}}^{2}  (75)
ML_{x_{0}x_{1}^{5}} = L_{x_{0}x_{1}^{5}} − pL_{x_{0}x_{1}^{4}} + \frac{1}{2}p^{2}L_{x_{0}x_{1}^{3}} − \frac{1}{6}p^{3}L_{x_{0}x_{1}^{2}} + \frac{1}{24}p^{4}L_{x_{0}x_{1}}
− \frac{1}{120}p^{5}L_{x_{0}} + pζ_{x_{0}x_{1}^{4}} − \frac{1}{2}p^{2}ζ_{x_{0}x_{1}^{3}} + \frac{1}{6}p^{3}ζ_{x_{0}x_{1}^{2}} − \frac{1}{24}p^{4}ζ_{x_{0}x_{1}} (76)

Par conséquent, la monodromie des polylogarithmes s’exprime à l’aide des sommes d’Euler-Zagier et de leur relations (voir Section 3). Et nous avons :

Corollaire 2.5 La monodromie des polylogarithmes est donnée par

∀w ∈ X^{∗}, M_{0}L_{wx_{0}} = L_{wx_{0}} + 2iπL_{w} + ⋯,  (77)
M_{1}L_{wx_{1}} = L_{wx_{1}} − 2iπL_{w} + ⋯,  (78)

où les restes sont des combinaisons linéaires des polylogarithmes indicés par les mots de longueur plus courte que w.

2.4 Théorème de structure

Soit n ∈ ℕ. Considérons la relation linéaire suivante :

∑_{w∈X^{∗},|w|≤n} λ_{w} Li_{w}(z) = 0, λ_{w} ∈ ℂ.  (79)

Si n = 0 alors comme Li_{1}(z) = 1 alors λ_{1} = 0. Supposons que pour tout entier k, 0 ≤ k ≤ n − 1, l’expression (79) entraîne la nullité des λ_{w}. Réécrivons (79) comme suit :

λ_{1} + ∑_{|u|<n} λ_{ux_{0}} Li_{ux_{0}} + ∑_{|u|<n} λ_{ux_{1}} Li_{ux_{1}} = 0.  (80)

D’après le Corollaire 2.5, en appliquant les opérateurs (M_{0} − Id) and (Id − M_{1}) à l’expression (80), nous obtenons respectivement :

2iπ ∑_{|u|=n−1} λ_{ux_{0}} Li_{u} + ∑_{|u|<n−1} μ_{u} Li_{u} = 0,  (81)
2iπ ∑_{|u|=n−1} λ_{ux_{1}} Li_{u} + ∑_{|u|<n−1} ν_{u} Li_{u} = 0.  (82)

Par hypothèse de récurrence, nous déduisons que les coefficients λ_{ux_{0}} et λ_{ux_{1}} sont nuls pour |u| = n − 1. D’où :

Théorème 2.5 ([33]) Les polylogarithmes {Li_{w}}_{w∈X^{∗}} sont ℂ-linéairement indépendants.

Les conséquences de ce théorème sont importantes car l’algèbre de mélange est une algèbre commutative libre dont on connaît de nombreuses bases de transcendance comme l’ensemble des mots de Lyndon.

Corollaire 2.6 La ℂ-algèbre des polylogarithmes est isomorphe à l’algèbre de mélange Sh_{ℂ}⟨X⟩.

Corollaire 2.7 Les polylogarithmes {Li_{l}}_{l∈L} forment une base de transcendance de l’algèbre des polylogarithmes.

Dans toute la suite, les calculs et les algorithmes seront effectués dans cette base.

2.5 Equations fonctionnelles en polylogarithmes

On considère le groupe du birapport G engendré par les transformations projectives de la droite complexe P^{1}ℂ qui laissent globalement invariants les trois points 0, 1, ∞:

G = \{z, \frac{1}{z}, \frac{z − 1}{z}, \frac{z}{z − 1}, \frac{1}{1 − z} , 1 − z\} .  (83)

Un élément g de G est déterminé par son action sur ces trois points. Le pull–back des formes ω_{0} et ω_{1} vaut :

g^{∗}ω_{0} = \frac{dg(z)}{g(z)} et g^{∗}ω_{1} = \frac{dg(z)}{1 − g(z)}.

Ainsi, pour le groupe du birapport G, nous avons [27, 34] :

\begin{matrix}g & z & \frac{1}{z} & \frac{z − 1}{z} & \frac{z}{z − 1} & \frac{1}{1 − z} & 1 − z \\ g^{∗}ω_{1} & ω_{1} & ω_{1} + ω_{0} & −ω_{0} & −ω_{1} & −ω_{0} − ω_{1} & −ω_{0} \\ g^{∗}ω_{0} & ω_{0} & −ω_{0} & −ω_{1} − ω_{0} & ω_{1} + ω_{0} & ω_{1} & −ω_{1} \end{matrix}

Par dualité, l’image réciproque g_{∗} des séries de Chen par g est la substitution donnée sur les lettres par :

\begin{matrix}g & z & \frac{1}{z} & \frac{z − 1}{z} & \frac{z}{z − 1} & \frac{1}{1 − z} & 1 − z \\ g_{∗}x_{1} & x_{1} & x_{1} & −x_{0} & x_{0} − x_{1} & x_{0} − x_{1} & −x_{0} \\ g_{∗}x_{0} & x_{0} & x_{1} − x_{0} & x_{1} − x_{0} & x_{0} & −x_{1} & −x_{1} \end{matrix}

Elle s’étend donc aux mots en un morphisme de monoïde (pour la concaténation) et s’étend par linéarité aux séries :

Théorème 2.6 ([33]) Soient g une transformation du groupe G et S_{γ} la série de Chen associée à un chemin γ de ℂ\{0, 1}. Nous avons :

S_{g∘γ} = g_{∗}S_{γ} = ∑_{w∈X^{∗}}(S|w)g_{∗}w.  (84)

Dans la suite, pour chaque g ∈ G, nous notons g_{∗}L(t) par L(g_{∗}x_{0}, g_{∗}x_{1}|t) et g_{∗}Z par Z(g_{∗}x_{0}, g_{∗}x_{1}).

Les formules suivantes permettent de calculer les polylogarithmes en 1−t, 1/t et 1 − 1/t, grâce à la formule de Baker-Campbell-Hausdorff, en fonction des polylogarithmes en t lorsque t est un nombre réel compris entre 0 et 1.

2.6 Calcul des polylogs en 1 − t pour 0 < t < 1

D’après (42) on a :

L(1 − t) = S_{1−ε⇝1−t}L(1 − ε).  (85)

Pour g(z) = 1 − z, on a g_{∗}x_{0} = −x_{1} et g_{∗}x_{1} = −x_{0}. Le Théorème 2.6 donne

S_{1−ε⇝1−t} = g_{∗}S_{ε⇝t} = g_{∗} (L(t)L^{−1}(ε)) ∼ g_{∗}L(t) g_{∗} (e^{−x_{0} log ε}) .  (86)

D’autre part, g_{∗}(e^{−x_{0} log ε}) = e^{x_{1} log ε}. On obtient finalement, en passant à la limite lorsque ε → 0^{+} :

Proposition 2.5 ([34]) Pour tout réel t ∈]0, 1[, on a :

L(1 − t) = L(−x_{1}, −x_{0}|t) Z.  (87)

Exemple 2.5 ([34])

log (1 − t) = −Li_{1}(t)  (88)
Li_{1} (1 − t) = − log(t)  (89)
Li_{2} (1 − t) = −Li_{2}(t) + log(t)Li_{1}(t) + ζ (2)  (90)
Li_{3} (1 − t) = −Li_{2,1}(t) + Li_{1}(t)Li_{2}(t) − \frac{1}{2} log(t)Li_{1}(t)^{2}
− ζ (2)Li_{1}(t) + ζ (3)  (91)
Li_{2,1} (1 − t) = −Li_{3}(t) + log(t)Li_{2}(t) − \frac{1}{2}log (t)^{2}Li_{1}(t)
+ ζ (3)  (92)
Li_{4} (1 − t) = −Li_{2,1,1}(t) + Li_{1}(t)Li_{2,1}(t) − \frac{1}{2}Li_{1}(t)^{2}Li_{2}(t)
+ \frac{1}{6} log(t)Li_{1}(t)^{3} + \frac{1}{2}ζ (2)Li_{1}(t)^{2} − ζ (3)Li_{1}(t)
+ \frac{2}{5}ζ (2)^{2}  (93)
Li_{3,1} (1 − t) = −Li_{3,1}(t) + log(t)Li_{2,1}(t) + Li_{1}(t)Li_{3}(t)
− log(t)Li_{1}(t)Li_{2}(t) + \frac{1}{4}log(t)^{2}Li_{1}(t)^{2} − ζ (3)Li_{1} (t)
+ \frac{1}{10}ζ (2)^{2}  (94)
Li_{2,1,1} (1 − t) = −Li_{4}(t) + log(t)Li_{3}(t) − \frac{1}{2}log (t)^{2}Li_{2}(t)
+ \frac{1}{6}log(t)^{3}Li_{1}(t) + \frac{2}{5}ζ (2)^{2}  (95)

[figure: −ε; ε; 1 − 1/t; Fig. 2 -; 1/t; 1 − ε; 1 + ε; 1; ε; 0; Fig. 3 -]

2.7 Calcul des polylogs en 1 − 1/t pour 0 < t < 1

D’après (42) en suivant le chemin de la figure 2, on a :

L(1 − 1/t) = S_{−ε⇝1−1/t} S_{ε⇝−ε} L(ε) = S_{−ε⇝1−1/t} e^{iπx_{0}} e^{x_{0} log ε}  (96)

Pour g(z) = 1 − 1/z. On a g_{∗}x_{0} = −x_{0} + x_{1} et g_{∗}x_{1} = −x_{0}. Le Théorème 2.6 donne

S_{−ε⇝1−1/t} = g_{∗}S_{1−ε⇝t} = g_{∗} (L(t)L^{−1}(1 − ε)) = g_{∗} (L(t) Z^{−1} e^{x_{1} log ε}) . (97)

On obtient finalement, en passant à la limite lorsque ε → 0^{+} : Proposition 2.6 ([34]) Pour tout réel t ∈]0, 1[, on a :

L(1 − 1/t) = L(−x_{0} + x_{1}, −x_{0}|t) Z^{−1}(−x_{0} + x_{1}, −x_{0}) e^{iπx_{0}}.  (98)

Exemple 2.6 ([34])

log (\frac{t − 1}{t}) = (iπ) − Li_{1}(t) − log(t)  (99)
Li_{1} (\frac{t − 1}{t}) = log(t)  (100)
Li_{2} (\frac{t − 1}{t}) = Li_{2}(t) − log(t)Li_{1}(t) − ζ (2) − \frac{1}{2}log(t)^{2}  (101)
Li_{3} (\frac{t − 1}{t}) = Li_{2,1}(t) − Li_{3}(t) − Li_{1}(t)Li_{2} (t) + \frac{1}{2} log(t)Li_{1}(t)^{2}
+ (ζ (2) + \frac{1}{2}log(t)^{2})Li_{1}(t) + log(t)ζ (2)
+ \frac{1}{6}log(t)^{3}  (102)
Li_{2,1} (\frac{t − 1}{t}) = −Li_{3}(t) + log(t)Li_{2}(t) − \frac{1}{2}log(t)^{2}Li_{1}(t)
+ ζ (3) − \frac{1}{6}log(t)^{3}  (103)

Li_{4} (\frac{t − 1}{t}) = Li_{2,1,1}(t) − Li_{3,1}(t) − Li_{1}(t)Li_{2,1}(t) + Li_{4}(t)
+ Li_{1}(t)Li_{3}(t) + \frac{1}{2}Li_{1}(t)^{2}Li_{2}(t) − \frac{1}{6} log(t)Li_{1}(t)^{3}
+ (−\frac{1}{2}ζ (2) − \frac{1}{4}log(t)^{2})Li_{1}(t)^{2}
+ (−log(t)ζ (2) − \frac{1}{6}log(t)^{3})Li_{1}(t)
− \frac{7}{10}ζ (2)^{2} − \frac{1}{2}log(t)^{2}ζ(2) − \frac{1}{24}log(t)^{4}  (104)
Li_{3,1} (\frac{t − 1}{t}) = −Li_{3,1}(t) + log(t) Li_{2,1}(t) + 2 Li_{4}(t)
+ (Li_{1}(t) − log(t))Li_{3}(t)
− log(t)Li_{1}(t)Li_{2}(t) + \frac{1}{4}log(t)^{2}Li_{1}(t)^{2}
+ (−ζ(3) + \frac{1}{6}log(t)^{3})Li_{1}(t)
− log(t)ζ (3) − \frac{7}{10}ζ (2)^{2} + \frac{1}{24}log(t)^{4}  (105)
Li_{2,1,1} (\frac{t − 1}{t}) = Li_{4}(t) − log(t)Li_{3}(t) + \frac{1}{2}log(t)^{2}Li_{2}(t)
− \frac{1}{6}log(t)^{3}Li_{1}(t) − \frac{2}{5}ζ (2)^{2} − \frac{1}{24}log(t)^{4}  (106)

2.8 Calcul des polylogs en 1/t pour 0 < t < 1

D’après (42), en suivant le chemin de la figure 3, on a :

L(1/t) = S_{1+ε⇝1/t} S_{1−ε⇝1+ε} S_{ε⇝1−ε} L(ε) = S_{1+ε⇝1/t} e^{iπx_{1}} e^{−x_{1} log ε} Z. (107)

Pour g(z) = 1/z. On a g_{∗}x_{0} = −x_{0} + x_{1} et g_{∗}x_{1} = x_{1}. Le Théorème 2.6 donne

S_{1+ε⇝1/t} = h_{∗}S_{1−ε⇝t} = g_{∗} (L(t)L^{−1}(1 − ε)) = g_{∗} (L(t) Z^{−1} e^{x_{1} log ε}) . (108)

On obtient finalement, en passant à la limite lorsque ε → 0^{+} : Proposition 2.7 ([34]) Pour tout réel t ∈]0, 1[, on a :

L(1/t) = L(−x_{0} + x_{1}, x_{1}|t) Z^{−1}(−x_{0} + x_{1}, x_{1}) e^{iπx_{1}} Z.  (109)

Exemple 2.7 ([34])

log (\frac{1}{t}) = −log (t)  (110)
Li_{1} (\frac{1}{t}) = (iπ) + Li_{1}(t) + log(t)  (111)

Li_{2} (\frac{1}{t}) = −log (t)(iπ) − Li_{2}(t) + 2ζ (2) − \frac{1}{2}log(t)^{2}  (112)
Li_{3} (\frac{1}{t}) = \frac{1}{2}log(t)^{2}(iπ) + Li_{3}(t) − 2log(t)ζ (2) + \frac{1}{6}log(t)^{3}  (113)
Li_{2,1} (\frac{1}{t}) = −\frac{1}{2}log(t)(iπ)^{2} + (−Li_{2}(t) + ζ (2) − \frac{1}{2}log(t)^{2})(iπ)
− Li_{2,1}(t) + Li_{3} (t) − log(t)Li_{2}(t) + ζ (3) − \frac{1}{6}log(t)^{3} (114)
Li_{4} (\frac{1}{t}) = −\frac{1}{6}log(t)^{3}(iπ) − Li_{4}(t) + \frac{4}{5}ζ (2)^{2} + log(t)^{2}ζ (2)
− \frac{1}{24}log(t)^{4}  (115)
Li_{3,1} (\frac{1}{t}) = \frac{1}{4}log(t)^{2}(iπ)^{2}
+ (Li_{3}(t) − ζ (3) − log(t)ζ (2) + \frac{1}{6}log(t)^{3})(iπ)
+ Li_{3,1}(t) − 2Li_{4} (t) + log(t)Li_{3}(t) − log(t)ζ (3)
+ \frac{4}{5}ζ (2)^{2} + \frac{1}{24}log(t)^{4}  (116)
Li_{2,1,1} (\frac{1}{t}) = −\frac{1}{6}log(t)(iπ)^{3} + (−\frac{1}{2}Li_{2}(t) + \frac{1}{2}ζ (2) − \frac{1}{4}log(t)^{2})(iπ)^{2}
+ (−Li_{2,1}(t) + Li_{3}(t) − log(t)Li_{2}(t) − \frac{1}{6}log (t)^{3})(iπ)
− Li_{2,1,1}(t) + Li_{3, 1}(t) − log(t)Li_{2,1}(t) − Li_{4}(t)
+ log(t)Li_{3}(t) − \frac{1}{2}log(t)^{2}Li_{2}(t) + \frac{11}{10}ζ (2)^{2} − \frac{1}{24}log(t)^{4} (117)

Les arguments des propositions 2.5, 2.6, 2.7, permettent donc d’établir le résultat :

Théorème 2.7 Pour tout mot w ∈ X^{∗} et pour tout g élément du groupe birapport :

G = \{z, \frac{1}{z}, \frac{z − 1}{z}, \frac{z}{z − 1}, \frac{1}{1 − z} , 1 − z\} ,

le polylogarithme Li_{w}(g(z)) est un polynôme en les polylogarithmes indicés par les mots de Lyndon et à coefficients dans :

ℚ[iπ, ζ(3), ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11), ζ(13), …
ζ(6, 2), ζ(8, 2), ζ(10, 2), …
ζ(8, 2, 1), ζ(9, 3, 1), ζ(10, 2, 1), …
ζ(8, 2, 1, 1), …].

Par conséquent, les équations fonctionnelles des polylogarithmes font intervenir les sommes d’Euler-Zagier et leur relations (voir Section 3).

3 Sommes d’Euler-Zagier

3.1 La fonction ζ et la fonction η

Les premiers calculs concernant la fonction ζ sont faits par Euler. Cette fonction est définie, pour k ∈ ℕ, par la série suivante :

ζ(k) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{k}} .  (118)

Elle est convergente pour k ≥ 2. Euler a établi que ζ(2p) est un multiple rationnel de π^{2p}. En particulier ζ(2) = π^{2}/6. On connaît encore rien pour les ζ(2p + 1). Euler a prouvé que ζ(2) est irrationnel. En 1978, en utilisant la formule de Hjortnaes [23] :

ζ(3) = ∑_{k≥1} \frac{(−1)^{k+1}}{\binom{2k}{k}k^{3}} ,  (119)

Apéry a prouvé que ζ(3) est irrationnel. On connaît encore rien sur la nature d’irrationnalité des ζ(2p+1), p ≥ 2. Certaines formules expérimentales analogues aux formules de Hjortnaes sont proposées par Borwein et Bradley pour ζ(4n+3) [8].

A la somme ζ(k), on associe traditionnellement la fonction

η(k) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{n^{k}}  (120)

vérifiant l’équation fonctionnelle suivante :

η(k) = (1 − 1/2^{k−1})ζ(k).  (121)

Le lecteur peut vérifier aisément que les sommes ζ et η sont la valeur en 1 des polylogarithmes Li_{x_{0}^{k−1}x_{1}} et Li_{x_{0}^{k−1}x_{2}} qui sont l’évaluation des mots x_{0}^{k−1}x_{1} et x_{0}^{k−1}x_{2} respectivement :

ζ(k) = α_{0}^{1}(x_{0}^{k−1}x_{1}) et η(k) = α_{0}^{1}(x_{0}^{k−1}x_{2}),  (122)

par rapport aux formes différentielles :

ω_{0} = \frac{dz}{z} , ω_{1} = \frac{dz}{1 − z} et ω_{2} = \frac{dz}{1 + z} .  (123)

Il convient aussi de noter

ζ(k) = ζ(x_{0}^{k−1}x_{1}) et η(k) = ζ(x_{0}^{k−1}x_{2}).  (124)

3.2 Sommes d’Euler et relations de Nielsen

Dans [43], Nielsen a voulu étudier la nature d’irrationnalité des ζ(2p + 1) et établir des formules analogues aux ζ(2p) mais sans avoir pu y parvenir. Avec une analyse élémentaire mais profonde, il a étudié les produits croisés des ζ(n) et η(p) [43]. Son étude a fait apparaître quatre autres types de sommes d’Euler avec et sans l’alternance de signe :

c_{n,p} = ∑_{k≥2} \frac{H_{k−1}^{(p)}}{k^{n}} ,  (125)

d_{n,p} = ∑_{k≥2} \frac{\overline{H}_{k−1}^{(p)}}{k^{n}} ,  (126)

δ_{n,p} = ∑_{k≥2}(−1)^{k} \frac{\overline{H}_{k−1}^{(p)}}{k^{n}} ,  (127)

γ_{n,p} = ∑_{k≥2}(−1)^{k} \frac{H_{k−1}^{(p)}}{k^{n}} ,  (128)

où les \overline{H}_{k−1}^{(p)} et les H_{k−1}^{(p)} sont les nombres harmoniques généralisés avec et sans l’alternance de signe. Euler a montré que pour n + p ≤ 13 et n + p impair, c_{n,p} s’exprime en terme des ζ(n). Nielsen a noté ζ(n), η(n) par s_{n}, σ_{n} respectivement et il a démontré les relations suivantes entre les sommes d’Euler [43] :

s_{n}s_{p} = s_{n+p} + c_{n,p} + c_{p,n}, (pour n > 1, p > 1)  (129)
c_{n,p} = (−1)^{n} ∑_{ν=0}^{p−2} (\begin{matrix}n + ν − 1 \\ n − 1 \end{matrix})c_{n+ν,p−ν} + ∑_{ν=0}^{n−2}(−1)^{ν} (\begin{matrix}p + ν − 1 \\ p − 1 \end{matrix})s_{n−ν}s_{p+ν}
−(−1)^{n} (\begin{matrix}p + n − 2 \\ p − 1 \end{matrix})[s_{p+n} + c_{1,p+n−1}] (pour n > 0, p > 1). (130)

La relation (129) s’appelle la formule de réflexion et permet de déduire :

2c_{n,n} = s_{n}^{2} + s_{2n}  (pour n > 1).  (131)

La relation (130) s’appelle la formule de réduction. Elle est une conséquence de la décomposition de Lagrange et permet de déduire la relation suivante due à Euler :

s_{p+1} = ∑_{ν=1}^{p−1} c_{ν,p−ν+1},  (pour p > 1).  (132)

De (129) et de (132), on peut tirer aussi^{4} :

c_{1,p} = \frac{p}{2}s_{p+1} − \frac{1}{2} ∑_{ν=2}^{p−1} s_{ν}s_{p+1−ν},  (pour p > 2).  (133)

4. Signalons que l’indice supérieur de la somme à droite est p − 1 au lieu de p − 2 comme indiqué dans [43].

Nielsen a donné également les relations analogues entre les autres sommes d’Euler avec l’alternance de signe. En exploitant la relation (130), Borwein, Borwein et Girgensohn dérivent des formules pressenties par Nielsen, donnant c_{n,p} lorsque n + p est impair [5]. On ne connaît toujours pas d’expression explicite lorsque n + p est pair sauf pour les cas où n + p = 4 ou 6. Borwein, Borwein et Girgensohn ont montré également que dans le cas pair, ces sommes sont déterminées à l’exception de (n + p − 2)/6 termes, qui sont considérées comme les nouvelles constantes dans [5].

Le lecteur peut vérifier aisément que les sommes c_{n,p}, d_{n,p}, δ_{n,p} et γ_{n,p} sont la valeur en 1 des polylogarithmes Li_{x_{0}^{n−1}x_{1}x_{0}^{p−1}x_{1}}, Li_{x_{0}^{n−1}x_{2}x_{0}^{p−1}x_{1}}, Li_{x_{0}^{n−1}x_{2}x_{0}^{p−1}x_{2}} et Li_{x_{0}^{n−1}x_{1}x_{0}^{p−1}x_{2}}, c’est-à-dire les évaluations suivantes, par rapport aux formes différentielles de (123) qu’il convient aussi de noter comme suit :

c_{n,p} = α_{0}^{1}(x_{0}^{n−1}x_{1}x_{0}^{p−1}x_{1}) = ζ(x_{0}^{n−1}x_{1}x_{0}^{p−1}x_{1}),  (134)
d_{n,p} = α_{0}^{1}(x_{0}^{n−1}x_{2}x_{0}^{p−1}x_{1}) = ζ(x_{0}^{n−1}x_{2}x_{0}^{p−1}x_{1}),  (135)
δ_{n,p} = α_{0}^{1}(x_{0}^{n−1}x_{2}x_{0}^{p−1}x_{2}) = ζ(x_{0}^{n−1}x_{2}x_{0}^{p−1}x_{2}),  (136)
γ_{n,p} = α_{0}^{1}(x_{0}^{n−1}x_{1}x_{0}^{p−1}x_{2}) = ζ(x_{0}^{n−1}x_{1}x_{0}^{p−1}x_{2}).  (137)

3.3 Sommes d’Euler-Zagier

Récemment, plusieurs extensions de ζ(s) ont été introduites (les sommes d’Euler-Zagier ou encore les sommes harmoniques) via les polylogarithmes (voir Section 2) ont été introduites, prolongeant en particulier les travaux de Nielsen. Ces extensions proviennent de la théorie des nombres [51, 52, 53], de la théorie des nœuds [1, 13], de la mécanique quantique [16, 39, 22], de la physique des hautes énergies [11, 12], de l’analyse des structures de données hiérarchiques [18], de la théorie du contrôle [28, 29], . . ..

Définition 3.1 ([9, 21]) Les ζ multiples de bases b_{1}, …, b_{k} et indexés par les multi-indices s_{1}, …, s_{k} sont définis comme suit

ζ\binom{s_{1}, …, s_{k}}{b_{1}, …, b_{k}} = \{ \begin{matrix}∑_{n_{1}>...>n_{k}>0} \frac{b_{1}^{−n_{1}} … b_{k}^{−n_{k}}}{n_{1}^{s_{1}} … n_{k}^{s_{k}}} & si & k ≥ 1, \\ 1 & si & = 0. \end{matrix}  (138)

k est la profondeur et s = s_{1} + … + s_{k} est le poids de \binom{s_{1},...,s_{k}}{b_{1},...,b_{k}}.

Pour k = 1, si s est un entier positif et si |b| ≥ 1, on obtient le polylogarithme classique en la variable b. Et le lecteur peut vérifier aisément qu’en introduisant les formes différentielles (les b_{i} ne sont nécessairement différents) :

ω_{0} = \frac{dz}{z} et ω_{i} = \frac{dz}{b_{i} − z} , i = 1..k,  (139)

ces sommes sont les valeurs en 1 des polylogarithmes Li_{x_{0}^{s_{1}−1}x_{1}...x_{0}^{s_{k}−1}x_{k}} :

ζ\binom{s_{1}, …, s_{k}}{b_{1}, …, b_{k}} = Li_{x_{0}^{s_{1}−1}x_{1}...x_{0}^{s_{k}−1}x_{k}}(1) = α_{0}^{1}(x_{0}^{s_{1}−1}x_{1} … x_{0}^{s_{k}−1}x_{k}). (140)

Lorsque b_{i} est la i^{ième} racine k^{ième} de l’unité, alors les ζ\binom{s_{1},...,s_{k}}{b_{1},...,b_{k}} sont les fonctions ζ colorées dont les implantations en Maple sont effectuées par Bigotte [3]. Si chaque b_{j} = 1 nous retrouvons les sommes d’Euler-Zagier ζ(s_{1}, …, s_{k}) de la définition 2.3.

Actuellement, de nombreux auteurs étudient le ℚ-espace vectoriel engendré par les ζ(s) [19, 21, 35, 36, 51]. Cet espace vectoriel est inclus dans ℝ et est fermé par produit. Nos travaux consistent alors à chercher les relations algébriques entre les ζ(w), w ∈ x_{0}X^{∗}x_{1}. Nous étudions l’algèbre de ces sommes via la combinatoire des mots. Le théorème de Radford [44] permet de décomposer tout mot w dans la base de Lyndon de l’algèbre mélange définie sur {x_{0}, x_{1}}, c’est-à-dire comme un polynôme (pour le produit commutatif “^{⊔⊔}”) en les mots de Lyndon. Une base de Gröbner de l’idéal des relations permet alors, par morphisme de l’algèbre de mélange, d’engendrer les relations entre les ζ(w).

On dispose de la conjecture suivante :

Conjecture 3.1 (Zagier, [51]) Soit d_{n} la dimension du ℚ-espace vectoriel engendré par les ζ(w) et |w| = n. Alors :

d_{1} = 0, d_{2} = d_{3} = 1, d_{n} = d_{n−2} + d_{n−3},  n ≥ 4.  (141)

Ainsi, en nous basant sur la base de Gröbner en Axiom à l’ordre 10 [32], puis celle en Maple à l’ordre 12 [3] et celle en C + + [50] à l’ordre 13, on obtient un système de générateurs jusqu’à l’ordre 13, satisfaisant la conjecture de Zagier. Nous obtenons :

Théorème 3.1 ([32]) Si la conjecture 3.1 est vraie alors la ℚ-algèbre engendrée par les ζ(s) de poids |s| ≤ 13 est libre et admet pour générateurs algébriquement indépendants les nombres suivants :

ζ(2), ζ(3), ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11), ζ(13),
ζ(6, 2), ζ(8, 2), ζ(10, 2),
ζ(8, 2, 1), ζ(9, 3, 1), ζ(10, 2, 1),
ζ(8, 2, 1, 1).

Nous pouvons donc conjecturer :

Conjecture 3.2 ([32]) La ℚ-algèbre des ζ(s) est une algèbre de polynômes.

3.4 Comment engendrer une base de Gröbner de l’idéal des relations entre les sommes d’Euler-Zagier?

1. Une première famille de relations s’obtient en spécialisant en z = 1, les relations algébriques entre les polylogarithmes (voir Section 2)

Li_{u}(z) Li_{v}(z) = Li_{u_{⊔⊔} v}(z),

ce qui s’écrit :

Fait 3.1

∀u, v ∈ x_{0}X^{∗}x_{1}, ζ(u^{⊔⊔} v) = ζ(u)ζ(v).  (142)

Corollaire 3.1 ζ est un morphisme de x_{0}X^{∗}x_{1} dans ℂ pour le produit de mélange “^{⊔⊔}”.

Exemple 3.1

x_{0}x_{1} ^{⊔⊔} x_{0}x_{1} = 4x_{0}x_{0}x_{1}x_{1} + 2x_{0}x_{1}x_{0}x_{1}
ζ(2)^{2} = 4ζ(3, 1) + 2ζ(2, 2)

2. Une deuxième famille de relations s’obtient en spécialisant les relations de quasi-mélange entre fonctions quasi–symétriques [32]. En effet, nous introduisons l’alphabet infini Y = {y_{i}|i > 0} dont chaque lettre y_{i} représente le mot x_{0}^{i−1}x_{1} de l’alphabet {x_{0}, x_{1}}. Et pour chaque mot x_{0}^{s_{1}−1}x_{1} ⋯ x_{0}^{s_{k}−1}x_{1} dans X^{∗}, nous l’écrivons y_{s_{1}} ⋯ y_{s_{k}} dans Y^{∗}. Le mot vide de Y^{∗} est encore noté par 1. Nous notons aussi Y^{∗} le monoïde engendré par Y. Et nous disposons alors un produit commutatif et associatif sur Y^{∗}, le quasi-mélange, noté “⋆” défini par :

Définition 3.2 ([20, 36])

u ⋆ v = \{ \begin{matrix}v & si u = 1, \\ (u′ ⋆ v)y_{i} + (u ⋆ v′)y_{j} + (u′ ⋆ v′)y_{i+j} & si u = u′y_{i} et v = v′y_{j}. \end{matrix}

Fait 3.2 (Hoffman, [36])

∀u, v ∈ x_{0}X^{∗}x_{1}, ζ(u ⋆ v) = ζ(u)ζ(v).  (143)

Corollaire 3.2 ζ est un morphisme de Y^{∗} dans ℂ pour le produit “⋆”.

Maintenant, à chaque mot w = y_{s_{1}} ⋯ y_{s_{k}} dans Y^{∗}, nous associons de manière biunivoque le multi-indice s = (s_{1}, ⋯, s_{k}). Ainsi :

Exemple 3.2

\begin{aligned}y_{2} ⋆ y_{3}y_{1} & = & y_{2}y_{3}y_{1} + y_{3}y_{2}y_{1} + y_{1}y_{3}y_{2} + y_{5}y_{1} + y_{3}y_{3}, \\ ζ(y_{2})ζ(y_{3}y_{1}) & = & ζ(y_{2}y_{3}y_{1}) + ζ(y_{3}y_{2}y_{1}) + ζ(y_{1}y_{3}y_{2})ζ(y_{5}y_{1}) + ζ(y_{3}y_{3}), \\ ζ(2)ζ(3, 1) & = & ζ(2, 3, 1) + ζ(3, 2, 1) + ζ(1, 3, 2)ζ(5, 1) + ζ(3, 3) \end{aligned}

Ce produit provient de la théorie des fonctions quasi-symétriques. Il est, en fait, une généralisation de la formule de réflexion (c’est-à-dire la relation (129) de la Section 3.2). Rappelons aussi que la théorie des fonctions quasisymétriques, introduite en 1984 par Gessel (voir [20]) pour résoudre des problèmes d’énumération de permutations. Il a été relié récemment à la théorie des groupe quantiques par Krob et Thibon (voir [37]).

3. Une troisième famille de relations s’obtient en considérant l’opérateur différentiel de D de Hoffman suivant :

\begin{aligned}D : & ℚ⟨X⟩ & ⟼ & ℚ⟨X⟩, \\ & p & ⟼ & x_{1} ^{⊔⊔} p − x_{1} ⋆ p. \end{aligned}

C’est un opérateur différentiel pour le produit de Cauchy :

∀p, q ∈ ℚ⟨X⟩, D(pq) = (Dp)q + p(Dq)  (144)

vérifiant D(x_{0}) = x_{0}x_{1} et D(x_{1}) = −x_{0}x_{1}. Les termes divergents ζ(x_{1}) = ∑_{n≥1} 1/n n’apparaissent pas dans D(p).

Fait 3.3 (Hoffman, [36])

∀p ∈ x_{1}ℚ⟨X⟩, D(p) ∈ ker(ζ).  (145)

Nielsen connaissait déjà ce théorème dans un cas particulier. On a, pour p ≥ 2 :

D(x_{0}^{p−1}x_{1}) = ∑_{i=1}^{p−1} x_{0}^{i}x_{1}x_{0}^{p−1−i}x_{1} − x_{0}^{p}x_{1},  (146)

ce qui correspond à la formule d’Euler (132).

Avec ces deux produits et cet opérateur D de Hoffman, nous allons établir une base de Gröbner de l’idéal des relations entre les somme d’Euler-Zagier. D’après les faits 3.1, 3.2 et 3.3, nous pouvons également conjecturer :

Conjecture 3.3 Soient X = {x_{0}, x_{1}} et H_{2} = ℚ ⊕ x_{0}ℚ⟨X⟩x_{1}.

L’application ζ réalise un morphisme de la ℚ-algèbre de mélange H_{2} dans la ℚ-algèbre des sommes d’Euler-Zagier, dont le noyau est engendré par les polynômes :

p = u^{⊔⊔} v − u ∗ v, u, v ∈ x_{0}X^{∗}x_{1},  (147)
p = x_{1} ^{⊔⊔} v − x_{1} ∗ v, v ∈ x_{0}X^{∗}x_{1}.  (148)

En fait, pour établir une base de Gröbner de l’idéal des relations entre les ζ(w), nous allons les restreindre aux ζ(w) indexés par les mots de Lyndon. Car, par exemple, pour w ∈ x_{0}X^{∗}x_{1}, |w| = 12, il y a 2^{12−2} = 1024 mots, et donc 1024 termes ζ(w) à calculer. Or, nous savons qu’il y a μ(12) = 335 mots de Lyndon (d’après la formule de Witt). Par conséquent, il y a 335 polylogarithmes qui sont algébriquement indépendants (ils sont indexés par ces mots de Lyndon, voir Section 2). Il suffit alors chercher les relations entre les ζ indexés parmis les 335 mots de Lyndon (voir [32]) :

\{ \begin{matrix}∀l_{1}, l_{2} ∈ L, |l_{1}| ≥ 2, |l_{2}| ≥ 2, & ζ(l_{1} ^{⊔⊔} l_{2}) − ζ(l_{1} ⋆ l_{2}) = 0, \\ ∀l_{1}, ∈ L, |l_{1}| ≥ 2, & ζ(l_{1} ^{⊔⊔} x_{1}) − ζ(l_{1} ⋆ x_{1}) = 0. \end{matrix}  (149)

De manière équivalente, nous cherchons, dans l’algèbre de mélange Sh_{ℂ}⟨X⟩, une base de Gröbner de l’idéal engendré par les relations :

\{ \begin{matrix}∀l_{1}, l_{2} ∈ L, |l_{1}| ≥ 2, |l_{2}| ≥ 2, & l_{1} ^{⊔⊔} l_{2} − l_{1} ⋆ l_{2} ∈ ker ζ, \\ ∀l_{1}, ∈ L, |l_{1}| ≥ 2, & l_{1} ^{⊔⊔} x_{1} − l_{1} ⋆ x_{1} ∈ ker ζ. \end{matrix}  (150)

La méthode consiste alors en une décomposition des polynômes

l_{1} ^{⊔⊔} l_{2} − l_{1} ⋆ l_{2} et l_{1} ^{⊔⊔} x_{1} − l_{1} ⋆ x_{1}  (151)

comme mélange des mots de Lyndon. On établit ainsi directement, grâce à l’utilisation de la base de Radford de Sh_{ℂ}⟨X⟩ polynomiales (et non seulement linéaires) entre les ζ(l).

3.5 Applications de la base de Gröbner des relations entre sommes d’Euler-Zagier?

Actuellement la tables des relations entre sommes d’Euler (avec et sans alternance de signe) est disponible à l’adresse suivante :

                   http://www.lifl.fr/~bigotte

Avec la construction d’une base de Gröbner (voir 3.4), nous avons traité les cas suivants :

– Nous avons la confirmation du nombre des termes irréductibles par poids et par longueur jusqu’à l’ordre 13 (voir Théorème 3.1), en réponse à une communication personnelle de Wojkowiak (Décembre 1997) :

The conjecture 15.2 and the positive answer to question 15.3 from “Monodromy of iterated integrals and non-abelian unipotent periods” (Wojtkowiak,97) predict generators of the Q-al-gebra of multiple ζ-numbers ((2iπ)^{2}, ζ(3), ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11), ζ(13), ζ(3, 5), ζ(3, 7), one multiple ζ of length ≥ 3 and weight 11, two multiple ζ of length ≥ 2 and weight 12, two multiple ζ of length ≥ 3 and weight 13, 3 multiple ζ of length ≥ 2 and weight 14 – generators up to degree 14).

Nous pouvons également supposer que, jusqu’à l’ordre 14, nous aurions de nouveaux termes algébriquement indépendants :

ζ(12), ζ(9, 3, 1, 1), ζ(10, 2, 1, 1).  (152)

– Nous retrouvons les expressions qui ont été établies expérimentalement et attendaient une validation formelle. Par exemple (voir [7]) :

ζ(4, 2, 4, 2) = 72ζ(5)ζ(3)ζ(2)^{2} − \frac{93}{2}ζ(10, 2) + 36ζ(2)ζ(8, 2)

−486ζ(5)ζ(7) − \frac{3742}{9}ζ(3)ζ(9) − \frac{3}{2}ζ(3)^{4} + 36ζ(2)ζ(5)^{2}

−\frac{6}{5}ζ(2)^{2}ζ(6, 2) + 16ζ(8, 2, 1, 1) + 56ζ(7)ζ(2)ζ(3)

+\frac{368}{35}ζ(2)^{3}ζ(3)^{2} + \frac{209369756}{7882875}ζ(2)^{6}.  (153)

– Hoffman a proposé deux bases pour l’espace vectoriel des ζ(s) et qu’il a vérifiées jusqu’à l’ordre 8 :

1. la H-base contient tous les monômes y_{i_{1}} … y_{i_{k}} ∈ Y^{∗} avec les indices i_{1}, …, i_{k} ∈ {2, 3},

2. la G-base contient tous les produits des monômes dans

{y_{2}} ∪ {les mots de Lyndon y_{i_{1}} … y_{i_{k}}|i_{1}, …, i_{k} ∈ {3, 5, …}}.

Nous avons vérifié la H-base de Hoffman jusqu’à l’ordre 12. Et nous mettons en défaut la G-base de Hoffman. Car aux poids 12, nous avons établi la relation suivante :

ζ(9, 3) = \frac{9}{14}ζ(7, 5) + \frac{388112}{1226225}ζ(2)^{6} − 6ζ(5)ζ(7).  (154)

– . . ..

3.6 Autres cas

D’autres cas importants pour les ζ\binom{s_{1},...,s_{k}}{b_{1},...,b_{k}} (voir définition 3.1) que nous avons relevés sont :

– Si chaque b_{j} = ±1 ces sommes sont les sommes d’Euler avec l’alternance de signe. Elles sont largement utilisées, en particulier, par les physiciens (en mécanique quantique, en physique des hautes énergies, ...). Lors du calcul des diagrammes de Feymann on cherche, par exemple, à évaluer les intégrales du type suivant avec alternance de signe

I_{m,n,l}(D) = ∫_{0}^{1} \frac{log^{m}(x) log^{n}(1 − x) log^{l}(1 + x)}{D(x)}dx,  (155)

où m, n et l sont des entiers non négatifs et D(x) est une des fonctions {x, 1 − x, 1 + x}.

– Si chaque b_{j} = 2, ces sommes représentent les valeurs spéciales des polylogarithmes en z = 1/2. Ces valeurs sont également importantes, car elles permettent de représenter les nombres transcendants en base binaire. Par exemple (voir [40]) :

\frac{π^{2}}{36} = Li_{2}(\frac{1}{2}) − Li_{2}(\frac{1}{4}) − 3 Li_{2}(\frac{1}{8}) + Li_{2}(\frac{1}{64}),  (156)
\frac{log^{2}(2)}{2} = 4 Li_{2}(\frac{1}{2}) − 12 Li_{2}(\frac{1}{4}) − 4 Li_{2}(\frac{1}{8}) + 2 Li_{2}(\frac{1}{64}). (157)

Pour d’autres valeurs de Li_{w}(1/2), w ∈ x_{0}X^{∗}x_{1}, on ne connaît pas encore de formule analogue. Par contre, nous disposons d’une formule liant les Li_{w}(1/2) avec les ζ(w) [34] :

Z = L(1/2)τ[L(1/2)],  (158)

où τ est l’antimorphisme de monoïdes de X^{∗} dans X^{∗} (que nous étendons sur ℂ⟨⟨X⟩⟩) qui consiste à prendre le miroir de chaque mot de X^{∗} puis à échanger les deux lettres x_{0} et x_{1}. Par conséquent, on peut exprimer les ζ(w) en fonctions des Li_{u}(1/2).

Références

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