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% F. PATRAS Tex file of "Le calcul de Schubert des permutations" SLC 35
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% caracteres grecs
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\def\b{\beta}
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\def\e{\epsilon}
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\def\k{\kappa}
\def\l{\lambda}
\def\m{\mu}
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\def\t{\tau}
\def\z{\zeta}
\def\D{\Delta}
\def\O{\Omega}
\def\P{\Pi}
\def\S{\Sigma}
\def\T{\Theta}

%symboles speciaux
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\def\bu{\bullet}

% operations
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% symboles math
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\def\NM{\bf N}
\def\FM{\bf F}
\def\ZM{\bf Z}

%hyphenation

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%\hyphenation{\'echan-geant}
%\hyphenation{g\'e-n\'e-ra-li-s\'ees}

\bf \centerline{Le calcul de Schubert des permutations}
\centerline{d\'ecomposables}
\ \par\ \par\ \par\rm
\centerline{F. Patras}\par
\centerline{CNRS URA 168- Math\'ematiques}\par
\centerline{Parc Valrose}\par
\centerline{F 06108 Nice cedex 2}\par
\centerline{@-mail: patras@math.unice.fr}\par
\ \par\ \par\ \par
\bf R\'esum\'e: \rm Le produit de juxtaposition des permutations
pr\'esente un certain nombre de propri\'et\'es remarquables vis \`a
vis du calcul de Schubert des vari\'et\'es de drapeaux -c'est \`a
dire, du point de vue de la combinatoire, vis \`a vis du calcul des
``polyn\^omes de Schubert'' de Lascoux et Sch\"utzenberger. Il en
r\'esulte, entre autres, des formules explicites pour les produits des
cycles (resp. polyn\^omes) de Schubert associ\'es aux permutations correspondantes avec les cycles
(resp. polyn\^omes) de Schubert g\'en\'eraux.
En l'absence d'une formule g\'en\'erale pour le calcul d'intersection
sur les vari\'et\'es de drapeaux, ces r\'esultats
permettent de compl\'eter notablement les r\'esultats partiels
d\'ej\`a connus (formule de Monk et formule ``\`a la Pieri'' de Lascoux-Sch\"utzenberger, quelques propri\'et\'es des permutations
vexillaires).\par\ \par
\bf Abstract: \rm The concatenation product of permutations enjoys
many nice properties with respect to Schubert calculus; that is, from
a combinatorial point of view, with respect to the
Lascoux-Sch\"utzenberger calculus of Schubert polynomials. We give
explicit formulas for the product of the Schubert cycles
(resp. polynomials) which are associated to the corresponding
permutations with general Schubert cycles (resp. polynomials).
Those formulas complete the partial known results about the combinatorics of
intersections products on flag manifolds (Monk's formula, generalized
Pieri formula of Lascoux and Sch\"utzenberger, some properties
of vexillary permutations).\par\ \par\ \par
\par \bf Introduction. \rm A la suite des travaux de Borel [B], Demazure et
Bernstein-Gelfand-Gelfand [D1][D2][BGG] sur la cohomologie des espaces
homog\`enes, Lascoux et Sch\"utzenberger ont donn\'e dans [LS1] un mod\`ele
enti\`erement combinatoire de la cohomologie des vari\'et\'es de
drapeaux, les ``polyn\^omes de Schubert''. Ce mod\`ele permet,
au moins en th\'eorie, de rendre effectifs les calculs d'intersection
de cycles de Schubert: il suffit de multiplier les polyn\^omes de
Schubert correspondants et de d\'ecomposer dans une base de
polyn\^omes de Schubert convenable le r\'esultat obtenu. En basses dimensions, un package comme celui mis au point par S. Veigneau
[V] devrait pouvoir permettre d'effectuer ce type de calculs; mais
l'effectivit\'e peut devenir vite probl\'ematique lorsque la longueur des
drapeaux augmente, compte tenu de la taille des calculs \`a effectuer.\par
Malgr\'e les progr\`es spectaculaires de la th\'eorie depuis
[LS1], on dispose encore de peu d'informations et en particulier de
peu de formules g\'en\'erales sur les calculs de
produits de cycles de Schubert en dehors de la formule de Monk [M]
d'une part (g\'en\'eralis\'ee en une formule ``\`a la Pieri'' pour les fonctions de Schur dans [LS1]), et d'autre part
de quelques formules li\'ees \`a la formule de Littlewood-Richardson et aux
permutations vexillaires [LS2][Mc]. Citons par ailleurs,
pour les polyn\^omes de Grothendieck, c'est \`a dire au niveau de la
$K$-th\'eorie, la ``formule de Pieri'' obtenue par Fulton et Lascoux
[FL].\par
Le but de cet article est de donner des formules explicites
pour le calcul d'intersection de cycles de Schubert g\'en\'eraux avec
les cycles associ\'es aux \it permutations d\'ecomposables \rm -les
permutations obtenues comme produit de juxtaposition de deux
permutations. D'un point de vue g\'eo\-m\'e\-tri\-que, la remarque
essentielle, \'el\'ementaire mais dont l'utilisation
semble nouvelle, est
que le cycle de Schubert d'une permutation d\'ecomposable est
canoniquement isomorphe au produit cart\'esien de cycles associ\'es
\`a des drapeaux de moindre longueur, ce qui permet de d\'eduire
certaines de ses propri\'et\'es combinatoires d'arguments standards
en th\'eorie d'intersection. 
Pr\'ecis\'ement, si on note $\fl_k$ la vari\'et\'e des drapeaux
complets de $\CM^k$, nous nous int\'eresserons aux immersions ferm\'ees:
$$\fl_k\times \fl_l{ \mapright i} \fl_{k+l}$$
$(A_1\subset ...\subset A_k,B_1\subset ...\subset B_l)$
$$\longmapsto
A_1\subset ...\subset A_k\subset B_1\oplus A_k\subset ...\subset
B_l\oplus A_k.$$
Tout laisse \`a penser -et c'est une de nos motivations principales-
que ces immersions jouent vis \`a vis des polyn\^omes de Schubert un
r\^ole analogue \`a celui que jouent les morphismes
$$S_k\times S_l\hookrightarrow S_{k+l}$$
dans la th\'eorie des fonctions sy\-m\'e\-tri\-ques [G] [C].
Les morphismes d'image directe $i_\ast$ et d'image r\'eciproque
$i^\ast$ des classes de cycles et leurs propri\'et\'es, en particulier
la ``loi de r\'eciprocit\'e g\'eo\-m\'e\-tri\-que''(dite plut\^ot ``formule
de projection'', notre terminologie est un clin d'oeil \`a la
r\'eciprocit\'e de Frobenius):
$$i_\ast (x\cap i^\ast (y))=i_\ast (x)\cap y,$$
jouent un r\^ole d\'ecisif dans nos constructions.\par
Pour ce qui est des propri\'et\'es des polyn\^omes de Schubert
rappel\'ees ou utilis\'ees sans autre forme de pr\'ecision dans cet
article, on renvoie \`a [Mc] plut\^ot qu'aux articles originaux pour
des raisons \'evidentes de commodit\'e. Pour ce qui est de la
th\'eorie d'intersection, on renvoie \`a [F].\par
On note $\NM$ (resp. $\CM$) l'ensemble des entiers (resp. des complexes).\par\ \par

\bf 1. G\'en\'eralit\'es sur les polyn\^omes de Schubert des permutations antid\'ecomposables.\par\ \par
\rm On convient de repr\'esenter une permutation $\o\in S_n$ par la
suite de ses valeurs aux entiers: $\o =(\o (1),...,\o (n))$. Le produit
de juxtaposition $\a\times\b\in S_{n+m}$ de deux permutations $\a\in S_n ,\b\in S_m$ est
d\'efini par:
$$\forall i\leq n,\ \a\times\b (i):=\a (i);$$
$$\forall i>n, \ \a\times\b (i):=\b (i-n)+n.$$
Ce produit munit l'ensemble $\coprod\limits_{n\in \NM} S_n$ d'une loi multiplicative
associative (et unitaire, si l'on convient que
$S_0=\lbrace\emptyset\rbrace$, o\`u $\emptyset$ repr\'esente la
``permutation  triviale sur l'ensemble vide'', et que:
$$\forall \a\in S_n,\ \emptyset\times\a=\a\times\emptyset :=\a ).$$
Les permutations qui s'\'ecrivent comme produit de juxtaposition de
deux permutations non triviales, c'est \`a dire les \'el\'ements de
$(\coprod\limits_{n\in\NM^\ast} S_n)^2$ sont, par d\'efinition, les \it
permutations d\'ecomposables.\rm\par
Les permutations d\'ecomposables sont bien connues du point de vue des
polyn\^omes de Schubert. On sait en particulier que, si on note $1_n$
l'\'el\'ement identit\'e de $S_n$ et $\sc_\g$ le polyn\^ome de
Schubert associ\'e \`a une permutation $\g$, on a:
$$\forall\a\in S_n,\ \forall\b\in S_m,\
{\cal S}_{\a\times\b}={\cal S}_\a\cdot{\cal S}_{1_n\times\b}.$$\par
Nous nous int\'eresserons surtout aux polyn\^omes de Schubert ``duaux'', c'est \`a dire aux
polyn\^omes: ${\cal S}_{\o_{n+m}\cdot (\a\times\b )}$, o\`u $\o_{n+m}:=(n+m,n+m-1,...,1)$ est l'\'el\'ement de
longueur maximale de $S_n$ pour l'ordre de Bruhat-Ehresmann. En
g\'en\'eral, si $\s\in S_n$ et si $\o_n\cdot\s$ est d\'ecomposable,
nous dirons que $\s$ est une permutation \it antid\'ecomposable.\par\ \par
\bf D\'efinition 1,1. \sl Une permutation d\'ecomposable $\s\in S_n$
est dite \'el\'ementaire (resp. anti\'el\'ementaire) si elle s'\'ecrit
(resp. si $\o_n\cdot\s$ s'\'ecrit) comme produit de
juxtaposition de permutations du type $\o_i$, i.e. s'il existe des
entiers $a_1,...,a_k$ avec:
$$\s =\o_{a_1}\times ...\times\o_{a_k},$$(resp. avec $\o_n\cdot\s
=\o_{a_1}\times ...\times\o_{a_k}$).
On dira dans ce cas que $\s$ est \'el\'ementaire
(resp. anti\'el\'ementaire) de type
$(a_1,...,a_k)$. Plus g\'en\'eralement, si $\s =\s_1\times
...\times\s_k$ (resp. si $\s =\o_n\cdot (\s_1\times ...\times\s_k ) $) avec $\s_i\in S_{a_i}$, on dira que $\s$ est
d\'ecomposable (resp. antid\'ecomposable) de type $(a_1,...,a_k)$.\par\ \par
\bf Lemme 1,2. \sl Toute permutation anti\'el\'ementaire est dominante.\par\ \par
\rm Rappelons que, si $\s\in S_n$, le \it code \rm de $\s$ est, par
d\'efinition, la suite ordonn\'ee $c(\s ):=(c_1(\s ),...,c_n(\s ))$,
o\`u:
$$c_i(\s ):= \ Card\ \lbrace j:\ i<j\leq n,\ \o (j)<\o (i)\rbrace .$$
Une permutation est dite dominante si son
code est une partition (i.e. une suite d\'ecroissante).
Supposons $\s =\o_{a_1}\times ...\times\o_{a_l}$. On a alors:
$$c_j(\o_n\cdot \s )=a_{k+1}+...+a_l\ \ si\ \ j\in
]a_1+...+a_{k-1},a_1+...+a_k],$$
d'o\`u le lemme.\par\ \par
\bf Corollaire 1,3. \sl Si la permutation d\'ecomposable $\a$ est
\'el\'ementaire de type $(a_1,...,a_k)$, le polyn\^ome de Schubert
indic\'e par la permutation antid\'ecomposable associ\'ee $\o_n\cdot\a$ v\'erifie:
$${\cal
  S}_{\o_n\cdot\a}=(\prod\limits_{j=1}^{a_1}x_j)^{a_2+...+a_k}(\prod\limits_{j=a_1+1}^{a_2}x_j)^{a_3+...+a_k}...(\prod_{j=a_1+...+a_{k-2}+1}^{a_1+...+a_{k-1}}x_j)^{a_k}.$$
\par\ \par
\rm C'est la cons\'equence d'un r\'esultat g\'en\'eral sur les
permutations dominantes [Mc]: si $\b$ est dominante de code la
partition $\l =(\l_1,...,\l_n)$, alors:
$$\sc_\b =x^\l =x_1^{\l_1}...\ x_n^{\l_n}.$$\par\ \par

\bf Proposition 1,4. \sl Soient $\a\in S_n,\ \b\in S_m$. On a:
$$\sc_{\o_{n+m}(\a\times\b )}=\sc_{\o_{n+m}(\o_n\times\o_m
  )}\cdot\sc_{\o_n\cdot\a}\cdot\sc_{\o_m\cdot\b}(n),$$
o\`u on note $\sc_{\o_m\cdot\b}(n)$ le polyn\^ome obtenu en
substituant \`a la variable $x_i$ la variable $x_{i+n}$ dans le
d\'eveloppement de $\sc_{\o_m\cdot\b}$.\par\ \par
\rm Plus g\'en\'eralement, si $P$
est un polyn\^ome en $x_1,...,x_n,...$, on notera $P(k)$ le polyn\^ome
en $x_{k+1},...,x_{k+n},...$ obtenu par le m\^eme proc\'ed\'e.
\par\ \par

\rm Rappelons [Mc] qu'on a, sur les polyn\^omes de Schubert, les
op\'erateurs de Demazure $\d_v,\ v\in S_n$, construits \`a partir des
op\'erateurs aux diff\'erences divis\'ees et satisfaisant aux
relations:
$$\forall\s\in S_n, \ \d_v\sc_\s =\sc_{\s\cdot v^{-1}}\ \ si\ \ l(\s
v^{-1})=l(\s )-l(v)$$
$$=0\ \ sinon;$$
avec en particulier:
$$\sc_\s =\d_{\s^{-1}\o_n}\sc_{\o_n}=\d_{\s^{-1}\o_n}(x_1^{n-1}x_2^{n-2}...\ x_{n-1}).$$
On note ici, comme d'habitude, $l(\s )$ la longueur de la permutation
$\s$.
On a alors:
$$\sc_{\o_{n+m}(\a\times\b )}=\d_{(\a\times\b
  )^{-1}}(x_1^{n+m-1}...\ x_{n+m-1})$$
$$=\d_{\a^{-1}\times\b^{-1}}(x_1^{n+m-1}...\ x_{n+m-1}).$$
Une d\'ecomposition r\'eduite de $\a^{-1}\times\b^{-1}$ ne contient
pas la transposition $$\t_n:=(1,...,n-1,n+1,n,n+2,...,n+m).$$ On a alors
en vertu des propri\'et\'es g\'en\'erales des op\'erateurs de
Demazure:
$$\sc_{\o_{n+m}(\a\times\b )}=\d_{\a^{-1}}((x_1...\ x_n)^m\cdot
x_1^{n-1}...x_{n-1})\cdot\sc_{\o_m\cdot\b}(n).$$
Comme par ailleurs, pour tout couple de polyn\^omes $(f,g)$ avec $f$ sy\-m\'e\-tri\-que
en $x_1,...,x_n$, on a pour $\s\in S_n$:
$$\d_\s (f\cdot g)=f\cdot\d_\s (g),$$
on a aussi:
$$\d_{\a^{-1}}((x_1...\ x_n)^m\cdot
x_1^{n-1}...\ x_{n-1})=(x_1...\ x_n)^m\d_{\a^{-1}}(x_1^{n-1}...\ x_{m-1})$$
$$=\sc_{\o_{n+m}(\o_n\times\o_m)}\cdot\sc_{\o_n\cdot\a};$$
cette derni\`ere identit\'e en vertu du corollaire 1,5. D'o\`u la
proposition.\par\ \par
\bf 2. Calcul d'intersection des permutations d\'ecomposables.\par\
\par

\rm On note, comme dans l'introduction,
${\cal F}_k$ la vari\'et\'e des drapeaux complets de ${\bf C}^k$:
$$(A)=(A_1\subset A_2\subset ...\subset A_k),\ dim_{\bf C}A_i=i.$$
La vari\'et\'e (l'espace homog\`ene) $\fl_k$ admet une d\'ecomposition
cellulaire [E] dont on rappelle bri\`evement la construction.\par
Consid\'erons la base canonique de ${\bf C}^k$: ${\cal B}=(e_1,...,e_k)$. Tout
vecteur non nul $v\in {\bf C}^k$ s'\'ecrit de mani\`ere unique, pour
un certain $j\leq k$ que l'on notera dans la suite $j(v)$, sous la
forme:
$$v=x_1(v)\cdot e_1+...+x_j(v)\cdot e_j,$$
avec $x_j(v)\not= 0$. On pose: $$\vert v\vert :={v\over{x_{j(v)}(v)}}.$$
Soit alors $(A)\in \fl_k$; on code $(A)$ par une matrice inversible
$(a_{ij})_{i,j\leq k}$ de la mani\`ere suivante.
Soit $z_1$ un g\'en\'erateur de la droite $A_1$. On pose:
$$a_{1,n}:=x_n(\vert z_1\vert ).$$
On a donc en particulier $a_{1,j(z_1)}=1$ et $a_{1,n}=0$
pour $n>j( z_1 ).$ Il existe alors, \`a un scalaire pr\`es,
un unique $z_2\in A_2$ avec $A_2={\CM}\cdot z_1\oplus{\CM}\cdot
z_2$ et $x_{j(z_1)}( z_2 )=0$. On pose:
$$a_{2,n}:=x_n(\vert z_2\vert ),$$
et ainsi de suite. On aura donc: $A_m={\CM}\cdot z_1\oplus
...\oplus{\CM}\cdot z_m ,$ avec $x_{j(\vert z_i\vert )}(\vert
  z_m\vert )=0$ pour $i<m$ et:
$$a_{m,n}:=x_n(\vert z_m\vert ).$$
La matrice $(a_{i,j})$ code le drapeau $(A)$, au sens o\`u $(A)$ est
enti\`erement d\'etermin\'e par la donn\'ee des $a_{i,j}$.\par
Soit alors $\s\in S_k$. D\'efinissons $GL_\s$ comme l'ensemble des
matrices $U\in GL_k(\CM )$ satisfaisant aux conditions:
{\settabs 8 \columns
\+&$\bu\ j=\s (i)\Longrightarrow U_{i,j}=1$\cr
\+&$ \bu\  j>\s (i)\Longrightarrow U_{i,j}=0$\cr
\+&$\bu\ \forall i,j:\exists k<i,\ j=\s (k)\Longrightarrow U_{i,j}=0.$\cr}
Par construction, $GL_\s$ est isomorphe \`a $\CM^{l(\s )}$ et tout
\'el\'ement $U$ de $GL_\s$ est le code d'un unique drapeau not\'e
$Drap(U)$. Qui plus est:
$$\fl_k=\cup_{\s\in S_k}Drap(GL_\s ).$$
La cl\^oture topologique $X_\s$ de la \it cellule de Schubert \rm
$$Drap(GL_\s ):=\lbrace Drap(U)\rbrace_{U\in GL_\s}$$
est dite \it vari\'et\'e de Schubert \rm et v\'erifie:
$$X_\s=\cup_{\b\leq\s}Drap(GL_\b ),$$
o\`u l'ordre not\'e $\leq$ est, comme il se doit, l'ordre de Bruhat-Ehresmann, ce qui
donne la d\'ecomposition cellulaire annonc\'ee de $\fl_k$.\par
Les classes des vari\'et\'es de Schubert, les \it cycles de Schubert
\rm $[X_\s ], \ \s\in S_k$, forment une base de l'anneau de Chow de
$\fl_k$ [F]. On va s'int\'eresser aux propri\'et\'es multiplicatives des
cycles associ\'es aux permutations d\'ecomposables.\par
On remarque tout d'abord que le morphisme:
$$\fl_n\times\fl_m\mapright{i}\fl_{n+m}$$
$$((A),(B))\longmapsto A_1\subset ...\subset A_n\subset A_n\oplus
B_1\subset ...\subset A_n\oplus B_m$$
d\'efinit une immersion ferm\'ee. Le morphisme d'image directe:
$$A_\ast (\fl_n )\ot A_\ast (\fl_m)\mapright{i_\ast}A_\ast
(\fl_{n+m})$$
est donn\'e par:
$$i_\ast ([X_\s ]\ot [X_\b ])=[X_{\s\times\b }],$$
ce que l'on peut voir via la description matricielle des cellules de
Schubert $Drap(GL_\s ),\ Drap(GL_\b)$ et $Drap(GL_{\s\times\b})$. On
convient de noter $\cap_k$ (resp. $\cap_{k,l}$) le produit
d'intersection dans $A_\ast (\fl_k)$ (resp. $A_\ast (\fl_k)\ot A_\ast
(\fl_l)$). En utilisant la construction des produits d'intersection de
[F], comme les vari\'et\'es $\fl_k$ sont non singuli\`eres, on peut
raffiner la description de $\cap_{n+m}$ de telle sorte qu'on ait:
$$\forall (\a ,\b ,\g )\in S_{n+m}\times S_n\times S_m,\ [X_\a
]\cap_{n+m}[X_{\b\times\g}]\in A_\ast (\fl_n )\ot A_\ast (\fl_m).$$
Dans la suite on identifiera implicitement $A_\ast (\fl_n )\ot A_\ast
(\fl_m)$ \`a son image directe dans $A_\ast (\fl_{n+m})$.\par\ \par

\bf Lemme 2,1. \sl Soit $\s\in S_{n+m}$. Si $\s$ est
antid\'ecomposable de type $(n,m)$ avec $\s =\o_{n+m}(\a\times\b ), \
\a\in S_n,\ \b\in S_m,$ alors:
$$[X_\s ]\cap_{n+m}[X_{\o_n\times\o_m}]=[X_{\o_n\a}]\ot
[X_{\o_m\b}]\in A_\ast (\fl_n )\ot A_\ast (\fl_m)$$
Sinon:
$$[X_\a ]\cap_{n+m}[X_{\o_n\times\o_m}]=0.$$\par\ \par
\rm
Notons respectivement $<,>_{n+m}$ et $<,>_{n,m}$ les formes
bilin\'eaires induites sur $A_\ast (\fl_{n+m})$ et $A_\ast (\fl_n )\ot
A_\ast (\fl_m)$ par dualit\'e de Poincar\'e.\par
On a, d'apr\`es [E]:
$$<[X_\a ]\vert[X_\b ]>_{n+m}=\d_{\o_{n+m}\cdot\b}^\a$$
et$$<[X_{\a\times\b }]\vert
[X_{\g\times\e}]>_{n,m}=\d_{\o_n\g\times\o_m\e}^{\a\times\b}.$$
La ``loi de r\'eciprocit\'e'': $$i_\ast (x\cap_{n,m}i^\ast (y))=i_\ast
(x)\cap_{n+m}y$$ implique que, pour $(\a ,\b , \g)\in S_{n+m}\times
S_n\times S_m$:
$$<[X_\a ]\vert [X_{\b\times\g}]>_{n+m}=<i^\ast [X_\a ]\vert
[X_{\b\times\g}]>_{n,m}$$
$$=<[X_\a ]\cap_{n+m}[X_{\o_n\times\o_m}]\vert
[X_{\b\times\g}]>_{n,m};$$
d'o\`u le lemme.\par\ \par
\bf Proposition 2,2. \sl Supposons que $\s\in S_{n+m}$ ne soit pas
anti\-d\'e\-com\-posable de type $(n,m)$. Alors, pour $\a\in S_n$ et $\b\in S_m$
on a:
$$[X_\s ]\cap_{n+m}[X_{\a\times\b}]=0.$$\par\ \par
\rm En effet, on a alors:
$$[X_\s
]\cap_{n+m}[X_{\a\times\b}]=([X_\s]\cap_{n+m}[X_{\o_n\times\o_m}])\cap_{n,m}[X_{\a\times\b}]=0.$$\par\
\par
\bf Proposition 2,3. \sl Pour tout 4-uplet $(\a ,\b ,\g ,\d )\in
S_n\times S_m\times S_n\times S_m$, on a l'\'egalit\'e suivante dans $A_\ast (\fl_n )\ot A_\ast (\fl_m
    )$:
$$[X_{\o_{n+m}(\g\times\d
  )}]\cap_{n+m}[X_{\a\times\b}]=([X_{\o_n\g}]\cap_n[X_\a ])\ot
  ([X_{\o_m\d} ]\cap_m [X_\b ]).$$\par\ \par
\rm La preuve est identique \`a celle de la proposition 2,2 \it
  mutatis mutandis \rm .\par\ \par
Les propositions 2,2 et 2,3 permettent de calculer pour une classe
importante de cycles de Schubert des produits d'intersection
explicites en fonction de produits de cycles associ\'es \`a des
drapeaux de longueur inf\'erieure, ce qui est d'un int\'er\^et
\'evident, entre autres du point de vue de l'effectivit\'e.\par\ \par
\bf Corollaire 2,4. \sl Supposons $(\s ,\a ,\b )\in S_{n+m}\times
S_n\times S_m$ avec $\s$ non d\'ecomposable de type
$(n,m)$. Alors $\sc_\s\cdot\sc_{\o_{n+m}(\a\times\b )}$ est dans
l'id\'eal de $\ZM [X_1,...,X_{n+m}]$ engendr\'e par les polyn\^omes
sy\-m\'e\-tri\-ques.\par\ \par
\rm Cela r\'esulte de la proposition 2,2 et de ce que, dans la
repr\'esentation de Demazure de la cohomologie de $\fl_{n+m}$, on peut
voir les polyn\^omes de Schubert comme classes dans $\ZM
[X_1,...,X_{n+m}]$ modulo l'id\'eal engendr\'e par les polyn\^omes
sy\-m\'e\-tri\-ques. Voir [LS1] par exemple pour plus de d\'etails sur ce
point de vue sur les polyn\^omes de Schubert.\par\ \par
\bf Corollaire 2,5. \sl Pour tout $\d\in S_m,\
(\sc_{1_n\times\d}-\sc_\d (n))\cdot\sc_{\o_{n+m}(\o_n\times\o_m )}$
est dans l'id\'eal de $\ZM [X_1,...,X_{n+m}]$ engendr\'e par les
polyn\^omes sy\-m\'e\-tri\-ques.\par\ \par
\rm M\^eme remarque que pour le corollaire 2,4. Appliquer 2,3 avec
$\g =1_n,\ \a =\o_n$ et $\b =\o_m$.\par\ \par

Concluons par un exemple \'el\'ementaire \`a titre d'illustration des
propositions 2,2 et 2,3. posons $\s_i =\o_{n+m}\t_i$, o\`u $\t_i$ est
la transposition \'echan\-geant $i$ et $i=1$. Donnons-nous aussi $(\a
,\b )\in S_n\times S_m$. On a alors:
$$[X_{\s_n}]\cap_{n+m}[X_{\a\times\b} ]=0$$
$$[X_{\s_i}]\cap_{n+m}[X_{\a\times\b} ]=([X_{\o_n\t_i }]\cap_n[X_\a
  ])\ot [X_\b]\ \ si\ i<n$$
et
$$[X_{\s_i}]\cap_{n+m}[X_{\a\times\b}]=[X_\a ]\ot ([X_{\o_m\t_{i-n}}]\cap_m
[X_\b ])\ si \ i>n,$$
ce que l'on peut retrouver par la formule de Monk.\par\ \par
Une ultime remarque: les morphismes d'image directe et d'image inverse permettent de munir
le $\ZM$-module $\fl :=\bigoplus\limits_{n\in\NM}A_\ast (\fl_n)$ d'une
structure de $\ZM$-alg\`ebre (associative) et de $\ZM$-cog\`ebre
(coassociative) -par fonctorialit\'e des morphimes d'image directe et
inverse des classes de cycles. Ces structures d'alg\`ebre et de
cog\`ebre ne munissent pas $\fl$ d'une structure d'alg\`ebre de Hopf,
mais sont adjointes au sens o\`u, par la loi de r\'eciprocit\'e:
$$\forall \s\in S_{n+m}, \ \forall \a\in S_n,\ \forall\b\in S_m:\ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$
$$
<i^\ast [X_\s ]\vert [X_\a ]\ot [X_\b ]>_{n,m}=<[X_\s
]\vert [X_{\a\times \b}]>_{n+m}.$$\par\ \par

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