%This is a plain TeX file that produces 15 output pages.

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%
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% fin du format local

%debut de l'article

\auteurcourant={A. HELVERSEN-PASOTTO}
\titrecourant={GAUSSCHE SUMMEN}

%\raggedbottom
{\eightpoint
\noindent
S\'eminaire Lotharingien de Combinatoire, B33f (1994)
}
\vskip-10pt
\vskip 1.5cm
\centerline{{\bf GAUSSCHE SUMMEN \"UBER ENDLICHEN K\"ORPERN}}
\vskip 5pt
\centerline{{\bf UND GAMMA FUNKTION}}
\vskip 2.8mm
\centerline{\sevenrm VON}
\vskip 2.8mm
\centerline{{\petcap Anna} HELVERSEN-PASOTTO}
\vskip 1cm

\abstract{Gaussian Sums over finite fields are analogous to
values of the gamma function as can be seen via the Eulerian
integral for the Gamma function. This seems to have been known
to Gauss already; this seems to have been for him one of the reasons to
introduce these sums. Nevertheless it has been astonishing for
several authors to discover identities for Gaussian sums which bear a
strong formal analogy with classical identities for the gamma
function; also a $p$-adic gamma function has been invented and
many of the well known classical identities have been shown to
admit $p$-adic analogs. The aim of these lectures is to give an
introduction to the subject discussing some identities, giving
some proofs and pointing out relations to the representation
theory of the general linear group of a finite field (Hecke
algebras). The analogy between binomial coefficients and
Jacobi sums leading to hypergeometric functions over finite
fields is mentioned.}

\titre Inhalt|
\item{1.} Einleitung

\item{2.}  Gaussche Summen  \"uber endlichen K\"orpern

\item{3.} Analogie zur Gammafunktion

\item{4.}  Identit\"aten

\item{5.}  Binomialkoeffizienten, Jacobisummen und
hypergeometrische Funktionen  \"uber endlichen K\"orpern

\item{6.}  Darstellungen von $GL(n,F _ q )$ und Identit\"aten von
Gausschen Summen

\item{7.}  Heckealgebren und Identit\"aten

\section 1. Einleitung|Eine Gaussche Summe $G(A)$ ist eine
gewisse komplexe Zahl, die einem multiplikativen
Charakter~$A$ eines endlichen K\"orpers zugeordnet wird; die
genaue Definition wird im n\"achsten Abschnitt angegeben.
Diese Zahlen $G(A)$ verhalten sich in mancher Beziehung
\"ahnlich wie die Werte $\Gamma(a)$ der Gammafunktion; z.B.
bestehen zwischen solchen Gausschen Summen Beziehungen, die
eine starke Analogie zu klassischen Identit\"aten f\"ur die
Gammafunktion aufweisen. Einige dieser Identit\"aten werden im
vierten Abschnitt diskutiert. Das Eulersche Integral f\"ur die
Gammafunktion gibt einen Hinweis f\"ur das Verst\"andnis
dieser Analogien (siehe Abschnitt 3). Eine Theorie
hypergeometrischer Reihen f\"ur den Fall endlicher K\"orper
l\"asst sich auf einer Analogie zwischen Binomialkoeffizienten
und Jacobisummen aufbauen (siehe Abschnitt 5). Bei Wahl einer
geeigneten Basis f\"ur eine irreduzible Darstellung der
allgemeinen linearen Gruppe eines endlichen K\"orpers treten
in den matriziellen Koeffizienten Gaussche Summen auf; die
Relationen zwischen Gruppenelementen f\"uhren zu
Identit\"aten zwischen Gausschen Summen; manch ein Analogon
einer klassischen Identit\"at l\"asst sich so ``erkl\"aren",
und umgekehrt kann man versuchen, durch diese
Betrachtungsweise neue Identit\"aten zu gewinnen. Dies ist der
Inhalt von Abschnitt~6 und~7. 

Nur wenige Beweise werden angegeben; meist
wird auf die Bibliographie verwiesen, wie auch f\"ur historische
Hinweise. Dies erm\"oglicht, diese Vortr\"age auf nicht
allzuvielen Seiten unterzubringen. 

Die Verfasserin dankt den Organisatoren f\"ur
diese angenehme Gelegenheit, zum Teil auch \"uber ihre eigenen
Forschungsresultate vorzutragen.

\section 2. Gaussche Summen \"uber endlichen K\"orpern|Im
Blick auf eine eventuelle Behandlung dieses Themas durch
formales Rechnen (mit Maple, Reduce oder
Mathematika\dots\thinspace) m\"ochte ich ein paar einfache
Beweise ausf\"uhrlich angeben. In allem folgendem wird ein
einfaches Lemma immer wieder angewendet.

\th Lemma 1|Sei $G$ eine endliche Gruppe, sei $\ord(G)$ die Anzahl
der Elemente von $G$ ; sei $A : G \rightarrow \bbC^{\times}$ ein
Gruppenmorphismus von $G$ in die multiplikative Gruppe
$\bbC^{\times}$ des K\"orpers $\bbC$ der komplexen Zahlen ; dann
gilt
$$
\sum _ {g\in G} A(g)=\delta(A) \ord(G)\,;
$$
dabei ist das Kroneckersymbol $\delta(A)$ gleich $1$, falls $A$
konstant vom Wert ist, anderenfalls gleich Null.
\finth

Wir m\"ochten einen einfachen und wohlbekannten Beweis
angeben: Wenn alle Werte von A gleich Eins sind, so ist
nat\"urlich die Summe aller $A(g)$ \"uber $g$ aus $G$ gleich
der Anzahl
$\ord(G)$ der Elemente von~$G$. Anderenfalls gibt es ein $x$ in
$G$, so dass $A(x)\not=1$ ; man hat
$$\displaylines{
\sum _ {g\in G} A(g) = \sum _{g\in G} A(xg) 
= A(x) \sum _ {g\in G} A(g) , \cr
\noalign{\hbox{und es folgt}}
(1 -  A(x)) \sum _ {g\in G} A(g) = 0 ; \cr}
$$
weil $1-A(x) \not=0$,
folgt weiter $\sum\limits _ {g\in G} A(g)=0$, was zu beweisen war.

\goodbreak
Sei nun $p$ eine Primzahl, dann ist $F _ p =\bbZ  /p\bbZ$ 
ein endlicher K\"orper; wie \"ublich, bezeichnet $\bbZ$ den Ring
der ganzen Zahlen. Sei $F _ p^+$ die additive Gruppe von $F _ p$ ;
durch
$$\eqalign{F _ p^+&\rightarrow \bbC^*\cr
k \bmod p &\mapsto \exp (2\pi ik/p)\cr}
$$
wird ein Gruppenmorphismus definiert.

Sei nun $n\in \bbZ$, $n\ge  1$, $q = p^n$ ; man weiss, 
dass es bis auf Isomorphie genau einen endlichen K\"orper $F _ q$
mit $q$ Elementen gibt, und man kennt die Spurabbildung
$$\eqalignno{\Spur : F _ q&\rightarrow F _ p\cr
x&\mapsto x + x^p + \cdots + x^{p^{n-1}}.\cr
\noalign{\hbox{Durch}}
E : F _ q^+&\rightarrow \bbC^\times\cr
x&\mapsto \exp(2\pi \Spur(x)/p)\cr}
$$
wird ein Gruppenmorphismus von der additiven  Gruppe $F _ q^+$ in
die multiplikative $\bbC^\times$ definiert; dieser ist nicht
konstant vom Wert Eins, man sagt nichttrivial. Man nennt $E$ den
kanonischen nichttrivialen additiven Charakter von $F _ q$. Die
Werte von $E$ sind $p$-te Einheitswurzeln. 

Man betrachtet die
multiplikative Gruppe $F _ q^\times$ von $F _ q$ und 
Gruppenmorphismen
$A :F _ q^\times \rightarrow \bbC^\times$ genannt multiplikative
Charaktere von $F _ q$. Man definiert die {\it Gaussche Summe}
$G(A)$ als 
$$
G(A) = \sum _ {t\in F _ q^\times}     E(t) A(t).
$$

Da $F _ q^\times$ eine Gruppe von $q-1$ Elementen ist, ist jedes
$A(t)$ eine $(q-1)$-te  Einheitswurzel, $E(t) A(t)$ ist eine 
$p(q-1)$-te Einheitswurzel, und $G(A)$ ist ein Element des
algebraischen Zahlk\"orpers $\bbQ(\exp(2(\pi i/(p(q-1)))$,  der
aus dem K\"orper $\bbQ$ der rationalen Zahlen durch Adjunktion
der $p(q-1)$-ten Einheitswurzeln entsteht. Wir wollen ein
paar einfache Eigenschaften von Gausschen Summen beweisen:

\decale{(1)}|Der absolute Betrag der Gausschen Summe $G(A)$ ist
gleich der Quadratwurzel  von $q$, falls $A$ nicht konstant vom
Wert Eins ist. 

\decale{(2)}|Ist hingegen $A$ konstant vom Wert Eins, so ist
$G(A) = -1$. 

\decale {(3)}|F\"ur zwei multiplikative Charaktere $A _ 1$ und 
$A _ 2$, deren Produkt nicht konstant vom Wert 1 ist, hat man
$$
G(A _ 1) G(A _ 2) = B(A _ 1,A _ 2) G(A _ 1A _ 2) ;
$$
hierbei bezeichnet $B(A _ 1,A _ 2)$ die Jacobisumme von $A _ 1$ und
$A _ 2$ ; diese ist  folgendermassen definiert:
$$
B(A _ 1,A _ 2) =\sum _ 
{\scriptstyle x+y=1 \atop
\scriptstyle x,y \in F _ q^\times}
A _ 1(x) A _ 2(y).
$$

Beweis von (1) :
$$
\eqalign{
\overline{G(A)} G(A) 
& = \sum _ {s\neq 0} \overline{E(s)}\, \overline{A(s)} \sum _
{t\neq 0} E(t) A(t) =
\sum _ {s, t\neq 0} E(t-s) A(s^{-1} t)\cr
& = \sum _ {u,s\neq 0} E(s(u-1)) A(u) 
=\sum _ {u\neq 0} A(u) \sum _ {s\neq 0} E(s(u-1)).\cr
}$$
Nun wendet man Lemma 1 auf den folgenden Gruppenmorphismus an:
$$\displaylines{
\eqalign{F _ q ^+ & \longrightarrow \bbC^{\times}\cr
s & \longmapsto E(s(u-1))\cr}\cr
\noalign{\hbox{und erh\"alt so}}
\sum _ {s\in F _ q ^+} E(s(u-1)) =
\cases{q,&f\"ur $u=1$ ;\cr
0,&f\"ur $u\neq 1$ ;\cr}\cr
\noalign{\hbox{und weiter}}
\sum _ {s\neq 0} E(s(u-1)) =
\cases{
q-1,&f\"ur $u=1$ ;\cr
-1,&f\"ur $u\neq 1$.\cr
}\cr}
$$
Es folgt $\overline{G(A)} G(A) = (q -1)- \sum _ {u\neq 0,1} A(u)$ ;
man wendet nochmal Lemma 1 an, diesmal f\"ur den Morphismus $A :
F^\times  \to \bbC ^\times$ und erh\"alt
$$\displaylines{
\sum _ {u\neq 0} A(u) =
\cases{q-1,&f\"ur $A$ konstant gleich 1 ;\cr
0,&anderenfalls ;\cr}\cr
\noalign{\hbox{das heisst}}
\sum _ {u\neq 0,1} A(u) =
\cases{
q-2,&f\"ur $A$ konstant gleich 1 ;\cr
-1,&anderenfalls.\cr}\cr
\noalign{\hbox{Es folgt nun}}
\overline{G(A)} G(A) =
\cases{
q,& f\"ur $A$ nicht konstant gleich 1 ;\cr
1,&anderenfalls ;\cr
}\cr}
$$
und damit ist (1) bewiesen.

Beweis von (2) : Nach Lemma 1 hat man 
$\sum _ {t\in F^+ _ q} E(t) = 0$ ; es
folgt $\sum _ {t\neq 0} E(t)=-1$; f\"ur $A$ konstant gleich Eins
ist $G(A) = \sum _ {t\neq 0} E(t)$, also $G(A)=-1$.   

\medskip
Beweis von (3) : 
$$\eqalignno{
G(A _ 1) G(A _ 2)& = \sum _ {t _ 1, t _ 2\neq 0}
E(t _ 1+t _ 2) A _ 1(t _ 1) A _ 2(t _ 2)\cr
& =\sum _ {u,t _ 2 \neq 0} E((u+1)t _ 2) (A _ 1 A _ 2) (t _ 2) A _ 1 (u)\cr
& =\sum _ {u\neq 0,-1} A _ 1 (u) 
\sum _ {t\neq 0} E((u+1)t) (A _ 1A _ 2)(t) + A(-1) \sum _ {t\neq 0}
(A _ 1 A _ 2)(t).\cr
}$$
Da $A _ 1A _ 2$ nach Voraussetzung nicht konstant gleich Eins
ist, findet man mit Lemma 1, dass der letzte Summand gleich Null
ist. Durch Umparametrieren $(u+1)t = s$ erh\"alt man:
$$
\eqalignno{
G(A _ 1) G(A _ 2) 
& = \sum _ {u\neq 0,-1} A _ 1(u) \sum _ {s\neq 0} E(s) 
(A _ 1 A _ 2)((u+1)^{-1} s)\cr
& =\sum _ {u\neq 0,-1} A _ 1(u)(A _ 1A _ 2)^{-1} (u+1) 
\sum _ {s\neq 0} E(s) (A _ 1A _ 2)(s)\cr
& = G(A _ 1A _ 2) \sum _ {u\neq 0,-1}  
A _ 1\Bigl({u \over u+1}\Bigr) A _ 2 \Bigl({1\over u+1}\Bigr)\cr
& = G(A _ 1 A _ 2) \sum _ 
{\scriptstyle x,y\neq 0\atop \scriptstyle 
x+y =1} A _ 1 (x) A _ 2 (y)\cr
& = G(A _ 1 A _ 2) B(A _ 1,A _ 2),\cr
}$$
was zu beweisen war.

\section 3. Analogie zur Gammafunktion|Die Eulersche Integralformel
$$
\Gamma (a) =\int _ 0 ^\infty e^{-t} t^{a-1} dt,\quad a>0,
$$ 
zeigt eine Analogie von Gammafunktion und Gausschen Summen
$$
G(A) = \sum _ {t\in F^\times  _ q} E(t) A(t)
$$
auf: offenbar verh\"alt sich $t\mapsto e^{-t}$ additiv
$(e^{-(s+t)}=e^{-s} e^{-t})$ und $t\mapsto t^{(a-1)}$ 
multiplikativ $(\, (st) ^{a-1} = s^{a -1} t^{a- 1}\, )$ ; die
Integration entspricht der Summation.

Die klassische Betafunktion
$$\displaylines{
B(a _ 1, a _ 2) =\int _ 0 ^1 t^{a _ 1 -1} (1-t)^{a _ 2-1} dt\cr
\noalign{\hbox{entspricht den Jacobisummen}}
B(A _ 1,A _ 2) = \sum _ {t\neq 0,1} A _ 1(t) A _ 2(1 t),\cr
\noalign{\hbox{und die klassische Identit\"at}}
\Gamma (a _ 1) \Gamma (a _ 2) 
= B(a _ 1, a _ 2)\Gamma  (a _ 1+a _ 2), \quad a _ 1, a _ 2 >0,\cr}
$$
f\"ur Gamma  und Betafunktion entspricht der im vorangehenden 
Abschnitt bewiesenen Identit\"at zwischen Gausschen Summen 
und Jacobisummen
$$
G(A _ 1) G(A _ 2) = B(A _ 1,A _ 2) G(A _ 1A _ 2) , 
\quad A _ 1 A _ 2\ \hbox{\rm nichttrivial}.
$$

Es stellt sich ganz nat\"urlich die Frage: Wie sieht es mit
anderen  klassischen Identit\"aten aus ? Lassen diese sich auf
den ``endlichen" Fall \"ubertragen? In der Tat 
$$\displaylines{
\sin(\pi  a) \Gamma  (a) \Gamma  (1-a) = \pi \cr
\noalign{\hbox{l\"asst sich in}} 
A(-1) G(A) G(A ^{-1}) = q ,\quad A \ \hbox{\rm nichttrivial},\cr
\noalign{\hbox{wiedererkennen; der Spezialfall $a=1/2$}}
\Gamma (1/2)^ 2 = \pi \cr
\noalign{\hbox{entspricht}}  
Q( -1) G(Q)^2 = q,\cr}
$$ 
wobei $Q$ den quadratischen Charakter bezeichnet, $Q(x) = 1$, 
falls $x$ ein Quadrat in $F _ q$ ist, anderenfalls $Q(x) =- 1$ ; 
w\"ahlt man einen
Teich\-m\"ullercharakter $\tau $, d.h. einen Erzeugenden f\"ur
die Gruppe der multiplikativen Charaktere von $F _ q$, so hat
man 
$$
Q=\tau  ^{({q-1})/2}
$$
f\"ur ungerades $q$; f\"ur gerades $q$ ist $Q$ der triviale Charakter (jedes
Element von $F _ q$ ist ein Quadrat).

Die Gaussche Multiplikationsformel 
$$\displaylines{
\prod _ {j=1} ^{k-1} {{\Gamma (a+j/k)}\over {\Gamma (j/k)}}
=k^{-ak} {{\Gamma (ak+1)}\over
{\Gamma (a+1)}}\cr
\noalign{\hbox{entspricht der Multiplikationsformel von Hasse und
Davenport :}}
\prod _ {j=1} ^{k-1} {{G(a+j(k-1)/k)}\over {G(j(q-1)/k)}}
= \tau  (k)^{-ak}
{{G(ak)}\over {G(a)}},\quad k/q-1 ;\cr}
$$
hierbei ist abk\"urzend geschrieben $G(m$) f\"ur $G(\tau ^ m)$ unter
Benutzung eines  Teichm\"ullercharakters $\tau $. 

Die Duplikationsformel (Spezialfall
$k=2$)
$$\displaylines{
{{\Gamma (a+1/2)}\over {\Gamma (1/2)}} 
= 4^{-a} {{\Gamma (2a+1)}\over {\Gamma (a+1)}}\cr
\noalign{\hbox{entspricht}}
{{G(AQ)}\over {G(Q)}}=A^{-1} (4) {{G(A^2)}\over {G(A)}}.\cr}
$$

\section 4. Weitere Identit\"aten|Anfang des Jahrhunderts wurde 
von Barnes beim Studium der L\"osungen  der
hypergeometrischen Differentialgleichung das folgende Lemma
bewiesen (Barnes' First Lemma) : 
$$\displaylines{\qquad
{1\over 2 \pi  i} \int _ {-i \infty} ^{+i \infty} \Gamma (a _ 1 +s) 
\Gamma (a _ 2 -s) \Gamma  (a _ 3 +s)
\Gamma (a _ 4 -s)\, ds \hfill\cr
\noalign{\vskip-5pt}
\hfill{}
={{\Gamma (a _ 1 +a _ 2) \Gamma  (a _ 2 + a _ 3) 
\Gamma (a _ 3 + a _ 4) \Gamma (a _ 4 + a _ 1)}
\over {\Gamma (a _1 + a _ 2 + a _ 3 + a _ 4)}}\qquad\cr}
$$
unter gewissen Einschr\"ankungen an die Wahl des Integrationsweges und
an  die vier komplexen Zahlen $a _ 1, a _ 2, a _ 3$ und $a _ 4$. 

{\overfullrule=0pt
\indent\indent
Beim Studium der Gelfand-Graevschen Darstellung der
Gruppe\break
$GL(2, F _ q)$ stiess 1978 die Verfasserin auf das folgende
Lemma f\"ur Gaussche Summen:
$$
\displaylines{\qquad
{1\over q -1} \sum _ {S \in  X} G(A _ 1 S) 
G(A _ 2 S^{-1}) G(A _ 3 S)G(A _ 4 S^{-1}) \hfill\cr
\noalign{\vskip-5pt}
\hfill{} = {{G(A _ 1 A _ 2) G(A _ 2 A _ 3) G(A _ 3 A _ 4) G(A _ 4 A
_ 1)}\over 
{G(A _ 1 A _ 2 A _ 3 A _ 4)}};\qquad\cr
}$$
hier ist mit $X$ die Menge (Gruppe) der multiplikativen Charaktere von $F _ q$ 
bezeichnet; $A _ 1, A _ 2, A _ 3, A _ 4$ sind in $X$, und es wird
vorausgesetzt, dass das Produkt $A _ 1 A _ 2 A _ 3 A _ 4$ nicht
konstant gleich Eins ist (anderenfalls kann die Identit\"at aber
leicht korrigiert werden durch Hinzuf\"ugen eines
Kroneckersymbols
$\delta (A _ 1 A _ 2 A _ 3 A _ 4)$ multipliziert mit gewissen 
Konstanten und Charakterwerten).

\indent\indent
Dieses Lemma entspricht den Darstellungen der
Hauptreihe von\break
$GL(2,F _ q)$; die diskrete Reihe  hingegen f\"uhrt zu
einer Identit\"at, in der multiplikative Charaktere des K\"orpers
$F _ {q^2}$ von $q^2$ Elementen vorkommen (quadratische
Erweiterung von $F _ q$); f\"ur alles genauere sei auf die Artikel
[HP 78], [HP 86] und [HP 91]  verwiesen. F\"ur einen kurzen
direkten Beweis dieses Lemmas, der im wesentlichen nur Lemma 1
benutzt, sei auf [HP 93] verwiesen. F\"ur einen kompliziertern
Beweis der aber gleichzeitig auch einen neuen Beweis des
klassischen Barnes' First Lemma liefert \"uber
Umparametrisierungen in den Integralformeln sei auf [HP-PS 93]
verwiesen. 

Es sei dieser Abschnitt abgeschlossen mit einem kurzen
Bericht \"uber die  ber\"uhmte Selbergsche Integralformel und ihr
``endliches Analogon". Diese Formel ist eine Verallgemeinerung der
Identit\"at zwischen Gamma  und  Betafunktion und wurde 1944 von
Selberg ver\"offentlicht:
$$ 
\displaylines{\qquad
\int _ 0 ^1 \dots \int _ 0 ^1 (t _ 1 \dots t _ n) ^{a-1} (( 1-t _
1) \dots (1-t _ n))^{b-1}
\Delta  _ n ^c\, dt _ 1 \dots dt _ n\hfill\cr
\noalign{\vskip-5pt}
\hfill{} = n ! \prod _ {j+0} ^{n-1} 
{{\Gamma (a+jc) \Gamma (b+jc) \Gamma (c+jc)}
\over
{\Gamma (c) \Gamma (a+b+c(n+j-1)}},
\qquad\cr
\noalign{\vskip-7pt}}
$$
wobei ${\rm Re}(a)$, ${\rm Re}(b)$, ${\rm Re}(c) > 0$ und
$\Delta  _ n =\displaystyle \prod _ {1\le i\le j\le n} (t _ i-t _
j)^2$.

}

Schon damals besch\"aftigte sich Selberg mit Analogien f\"ur
Gaussche  Summen und bewies gewisse Identit\"aten, ohne diese zu
ver\"offentlichen [Ev 81]. Erst 1990 wurde die folgende allgemeine
Formel f\"ur Gaussche Summen bewiesen
$$
\displaylines{\qquad
\sum _ {F}  \tau ((-1)^{na} F(0) ^a F(1)^b \Delta ^c _ F)
Q(\Delta  _ F)\hfill\cr 
\noalign{\vskip-5pt}
\hfill{}= \prod _ {j=0} ^{n-1} 
{
{G'(a+jc) G'(b+jc) G'(c+jc)}
\over {G'(c) G'(a+b+c(n+j-1)}}, \qquad\cr
}$$
wobei summiert wird \"uber alle unit\"aren Polynome $F$ \"uber
$F_ q$ vom Grad $n$ und wobei $\Delta  _ F$ die Diskriminante von
$F$ bezeichnet; wie in den vorangehenden Abschnitten  bezeichnet
$\tau $ einen Teichm\"ullercharakter und $Q$ den quadratischen
Charakter von $F _ q$ ; die ganzen Zahlen $a, b$ und
$c$ unterliegen gewissen Einschr\"ankungen; die Gausschen Summen
$G'(m)$ sind im wesentlichen die Gausschen Summen des
multiplikativen Charakters $\tau ^{- m}$ f\"ur ganze Zahlen $m$; 
f\"ur alle Einzelheiten und Beweise sei auf [An 90] und [Ev 91]
verwiesen.  

Die Besch\"aftigung mit dem ``endlichen Analogon" hat
Anderson zu einem neuen  kurzen Beweis der urspr\"unglichen
Selbergschen Integralformel gef\"uhrt [An 91] . Diese Art von
Resultaten kann man wohl als ``Rechtfertigung" des Interesses
f\"ur den endlichen Fall auffassen, falls man solch eine braucht.
Eine geometrische Interpretation der ``Selberg Evans Summe" 
(linke Seite der vorangehenden Formel) und ein kohomologischer
Beweis der Formel wurde von Denef und Loeser gefunden [De-Lo 94].

\section 5. Binomialkoeffizienten, Jacobisummen und
hyper\-geo\-me\-trische Funktionen \"uber endlichen
K\"orpern|F\"ur ganze Zahlen, gr\"osser Null, ist 
$\Gamma  (n) = (n-1) !$, 
und man kann die  Gausschen Summen $G(A)$ in Analogie zu
n! sehen. Sei, wie im vorangehenden Abschnitt mit $X$ die Gruppe
der multiplikativen  Charaktere von $F _ q$ bezeichnet. Wir wollen
``Binomialkoeffizienten"
$\displaystyle {A\choose S}$ definieren f\"ur $A$ und $S$ in
$X$. F\"ur $n, k$ ganze Zahlen, $0<k<n$, hat man 
\smash{$\displaystyle { n\choose
k}={{n!}\over k! (n-k)!}$} und man w\"are versucht
$\displaystyle { A\choose S}$  gleich $\displaystyle {{G(A)}\over
{G(S)G(A/S)}}$ zu setzen. Durch einen h\"ubschen Trick beweist J.
Greene den folgenden  Binomialsatz: f\"ur $A$ in $X$ und $x$ in $F
_ q$ hat man
$$\displaylines{
A(1+x) = \Delta (x) + {1\over q-1} 
\sum _ S B(A,S^{- 1}) S(-x)\cr
\noalign{\hbox{offenbar analog zu}}
(1+x) ^a= \sum _ {s=0} ^a {a \choose s} x^s \quad\hbox{\rm
f\"ur nat\"urliche Zahlen $a$} .\cr}
$$ 
Man hat $S^{-1}(x) = \overline{S(x)}$, da $S(x)$ eine $(q-1)-$te 
Einheitswurzel ist; statt $S^{-1}$ kann man daher auch 
$\overline{S}$ schreiben und definieren :
$$
{A\choose S}=
{ {S(-1)} \over {q-1}} B(A, \overline{S})
$$
Wie im zweiten Abschnitt bezeichnet $B$ die Jacobisumme (analog
zur Betafunktion).  Der ``Binomialsatz" nimmt dann die
gew\"unschte Form an:
$$
A(1+x) = \Delta (x) + \sum _ S \pmatrix{ A\cr S\cr} S(x);
$$
es sei nicht vergessen zu bemerken, dass $\Delta (x)=0$ f\"ur
$x\neq 0$ und $\Delta (x)=1$ f\"ur $x=0$, $S(0)=0$ f\"ur alle $S$
in $X$ (per Definition). Benutzt man weiter das Kroneckersymbol
$\delta (S)=1$ f\"ur $S$ konstant vom Wert~1 und $\delta (S)=0$
anderenfalls, wobei $S$ in $X$ sei, so kann man sehen, dass
$$
{A\choose S} ={
{G(A)}\over {G(S) G(A,\overline{S})}} + {q-1\over q} \delta (S) 
+ {q-1\over q} \delta (A,\overline{S}).
$$
Es verhalten sich diese Binomialkoeffizienten zu den Gausschen
Summen ``fast" so wie die normalen Binomialkoeffizienten zur
``Faktoriellen." Die Reihenentwicklung  der Exponentialfunktion
$$
e^x = \sum _ {s=0} ^\infty {1\over \Gamma (s+1)} x^s
$$
entspricht der ``Entwicklung" des kanonischen nichttrivialen
additiven Charakters~$E$ durch die Formel
$$
E(-x) = 1 + {q\over q-1} \sum _ S {1\over G(S)} S(x).
$$
Analog zur klassischen Situation f\"uhrt J. Greene die ``endliche 
hypergeometrische Reihe" ${} _ 2 F _ 1$ ein als
$$\displaylines{
{} _ 2 F _ 1 (^A {} _  C ^B | x ) = {q\over q-1} \sum _  S
\pmatrix{ AS \cr S \cr} 
\pmatrix{ BS \cr
CS \cr
} S(X)\cr
\noalign{\hbox{und erh\"alt die ``Integralformel"}}
{}_ 2 F_ 1 (^A {} _ C ^B | x )=1(x) {{(BC) (-1)}\over {q}} \sum
_ y B(y) ({\overline{B} C)} (1-y) \overline{A} (1-xy) ;\cr}
$$
hier bezeichnet $1$ den multiplikativen Charakter von $F _ q$, 
welcher f\"ur alle $x$ mit $x\neq 0$ gleich 1 ist, w\"ahrend $1(0)=0$. 
Mit Hilfe der ``Gausschen Auswertung"
$$
{} _ 2 F _ 1(^A {} _  C ^B |1 )= A(-1){ B \choose
\overline{A} C}
$$
gewinnt J. Greene das in Abschnitt 4 diskutierte ``endliche Barnes' 
First Lemma". Mit Hilfe weiterer Auswertungen erh\"alt er ``endliche" 
Saalsch\"utz,  Dixon, Watson, Whipple Identit\"aten. F\"ur alle 
Einzelheiten sei auf [Gr 87] verwiesen.

\section 6. Darstellungen von $GL(n,F _ q)$ und 
Identit\"aten von Gauss\-schen
Summen|Nach einem Satz von S.I. Gelfand ist die
Einschr\"ankung jeder Darstellung der ``diskreten Reihe" von
$GL(n,F _ q)$ auf eine gewisse Untergruppe $H$ irreduzibel und isomorph
zu einer leicht konstruierbaren Darstellung $t$; genauer: $H$ ist
im wesentlichen die affine Gruppe \hbox{$\Aff(n -1,F _ q)$}\ und
$t$ ist die induzierte Darstellung
$\Ind _ U ^H (t _ E)$
mit
$$
t _ E
\pmatrix{
1 & a _ {12} & a _ {13} & \dots & a _ {1n}\cr
0 & 1 & a _ {23} &\dots & a _ {2n}\cr
&\cr
&\cr
& & & & a _ {n-1,n}\cr
0 & 0 & \dots & 0 & 1 \cr
}= E(a _ {12} + \cdots + a _ {n-1,n}) ;
$$
U wird von der Menge der hier angegebenen Matrizen gebildet 
(unipotente Untergruppe), $t _ E$ ist eindimensional, $E$ ist der
kanonische nichttriviale additive Charakter von $F _ q$.

Die Darstellungen der diskreten Reihe von $GL(n,F _ q)$ 
entsprechen im wesentlichen den multiplikativen Charakteren des
endlichen K\"orpers $F$ mit $q^n$ Elementen. Die Charaktere
dieser Darstellungen sind bekannt; sei $T _ \Lambda $ solch eine
Darstellung; sei $\chi  _ \Lambda $ ihr Charakter, sei $\Lambda $ 
der entsprechende
multiplikative Charakter von $F$. Dann kann man ``im Prinzip" alle
Operatoren $T _ \Lambda (g)$ f\"ur $g\in G$, $G=GL(n,F _ q)$, mit Hilfe von
$t$ und $\chi  _ \Lambda $ berechnen (siehe [HP 82]). 

F\"ur $a\in F^\times  _ q$ sei $c(a)$ die Skalarmatrix mit $a$ auf
der Diagonalen und Null sonst \"uberall; die Elemente der Gruppe
$H$ k\"onnen als Matrizen geschrieben werden, deren unterste
Linie gleich $(0 0 \dots 0 1)$ ist; weiter sei $w$ das folgende
Element der ``Weylgruppe"
$$ 
\pmatrix{
1 & 0 & \dots & \dots & 0 & 0 \cr
0 & 1 & & & 0 & 0 \cr
. & . \cr
. & . & . & & . &. \cr
& & & 1 & 0 & 0  \cr 
0 & 0 & \dots & & 0 & 1 \cr
 0 & 0 & \dots & \dots & 1 & 0 \cr
}$$
die Gruppe $GL(n,F _ q)$ wird erzeugt durch $H$,
die Skalarmatrizen  und w mit gewissen Relationen. W\"ahlt man f\"ur
den Raum der Darstellung $t$ eine geeignete Basis, so treten in den
matriziellen Koeffizienten der Operatoren $T _ \Lambda (g)$
Gaussche Summen auf. Gewisse Relationen f\"ur $T _ \Lambda  (w)$
f\"uhren zu interessanten Identit\"aten, z.B. zu einem Analogon der
klassischen Dixon Identit\"at. F\"ur alle Einzelheiten sei auf [HP
82] und [HP 94] verwiesen.

\section 7. Heckealgebren und Identit\"aten|Sei $G$ eine endliche
Gruppe und $H$ eine Untergruppe von $G$ ; sei $\bbC$  der K\"orper der
komplexen Zahlen und $\bbC H$ die Gruppenalgebra von $H$ \"uber 
$\bbC$, sei $e$ ein idempotentes Element in $\bbC H$, sei $\psi : H
\to\bbC$ der Charakter der Darstellung von $H$ auf dem Linksmodul
$\bbC Ge$; dann ist
$\bbC Ge$ isomorph zur induzierten Darstellung von $H$ nach $G$
der Darstellung (Linksmodul) $\bbC He$ ; der Charakter von $\bbC
Ge$ ist $\psi ^G$ (der von $H$ nach $G$ induzierte Charakter von
$\psi $). Ist $\xi $ ein irreduzibler Charakter von $G$, so hat man
$$
\langle \zeta, \psi  ^G \rangle = \psi  (e),
$$
d.h. das Skalarprodukt von $\zeta $ und $\psi ^G$ ist gleich 
dem Wert von $\psi $ auf dem Element $e$ aus $\bbC H$.

Man schreibt:
$$
{\cal H}(G,H,\psi ) := e \bbC G e
$$
und nennt diese Algebra die Heckealgebra von $G$, $H$, und $\psi $ ;
diese ist antiisomorph zur Endomorphismenalgebra der induzierten
Darstellung $\Ind _ H ^G(\lambda )$, wenn $\lambda $ die
Darstellung  von $H$ in $\bbC Ge$ bezeichnet.

Anhand der Doppelklassen von $H$ in $G$ l\"asst sich die
Heckealgebra explizit beschreiben.
Sei $x _ 1, \dots, r _ r$ ein Repr\"asentantensystem der
Doppel\-klassen $HxH$ von $H$ in $G$ ; d.h.
$G=Hx _ 1 H \cup \cdots \cup Hx _ r H$ (disjunkte Vereinigung), 
$Hx _ i H \cap Hx _ j H = \emptyset$ f\"ur $i\neq j$.
Man setzt 
$$
e=(\ord H)^{- 1} \sum _ {h\in H} \psi (h^{-1}) h;
$$ 
$e$ ist Idempotentes in $\bbC H$ und $\psi $ ist der Charakter 
der Darstellung von $H$ in $\bbC He$. Sei
$$
J = \{j \in \{ 1, \dots, r\} \mid| \psi  (x _ j ^{-1} hx _ j) =\psi
(h)
\,
\hbox{\rm f\"ur jedes} \, h\in H \cap x _ j Hx _ j ^{-1}\} ;
$$ 
f\"ur $j\in J$ sei $\ind(x _ j)$ der Index von 
$H\cap x _ j Hx _ j ^{-1}$ in $H$ ; sei
$$
a _ j = \ind(x _ j) ex _ je ; 
$$
dann bilden die Elemente $a _ j$ (mit $j\in J$) eine Basis 
der Heckealgebra ${\cal H}
(G,H,\psi )$ ;

Multipliziert man $a _ i$ mit $a _ j$, so erh\"alt man gewisse 
Koeffizienten $\mu  _ {ijk}$
durch
$$\displaylines{
a _ i a _ j =\sum _ {k\in J} \mu  _ {ijk} a _ k ;\cr
\noalign{\hbox{diese Koeffizienten lassen sich berechnen als:}}
\mu  _ {ijk}=\ord H \sum _ {y\in Hx _ i H \cap 
x _ k Hx _ j ^{-1} H} a _ i (y) a _ j (y^{-1} x _ k) ;\cr}
$$
dabei sind die $a _ m(u)$ definiert durch $a _ m
=\sum _ {u\in G} a _ m (u)u$ ;
man nennt $(a _ j) _ {j\in J}$ ``eine Standardbasis" 
der Heckealgebra ${\cal H}(G,H,\psi )$, und man nennt die
komplexen Zahlen $\mu  _ {ijk}$ Strukturkonstanten der
Heckealgebra. Wir wollen die Situation durch das folgende Beispiel
illustrieren: $G=GL(2,F)$, $F=F _ q$, $H=CU$ mit $U$ unipotente
Untergruppe, gebildet von allen Matrizen der Form
$$
\pmatrix{
1 & b \cr
0 & 1 \cr
} \quad\hbox{\rm mit} \, b\in  F,
$$
$C$ Zentrum, gebildet von allen Skalarmatrizen 
$\pmatrix{ a & 0 \cr 0 & a\cr}$ mit
$a\in F^{\times}$, $ \psi : H\to\bbC$ gegeben durch $\psi \Bigl(
\pmatrix{ a & 0 \cr 0 & a \cr}
\pmatrix{ 1 & b \cr 0 & 1 \cr}\Bigr)=A(a) E(b)$ 
f\"ur $a,b \in F$, $a\neq 0$;
dabei ist $A$ ein multiplikativer Charakter von 
$F _ q$ und $E$ ist der kanonische 
nichttriviale additive Charakter. 

Wir benutzen die ``Bruhatsche" Zerlegung der
Gruppe zur Beschreibung der  Doppelklassen; sei $D$ die 
von allen Matrizen der Form
$\pmatrix{ d &0 \cr 0 & 1\cr}$  mit $d\in F$, $d\neq 0$,  
gebildete Untergruppe; sei $z
= \pmatrix{ 0 &1\cr 1 &0 \cr}$ ; dann ist 
$$
G = C U D \cup  C U D z U ;
$$
sei $x _ c=\pmatrix{ c & 0 \cr 0 & 1 \cr}$ und 
$y _ c =\pmatrix{ c & 0 \cr 0 & 1
\cr} z=\pmatrix{0 & c\cr 1 & 0 \cr}$ f\"ur 
$c\in F$, $c\neq 0$ ; all diese Elemente
zusammen bilden ein Repr\"asentantensystem 
der Doppelklassen von $H$ in $G$. Das
idempotente Element $e$ von $\bbC H$, 
welches $\psi $ entspricht, wird gegeben durch
$$
e={1\over q(q-1)}\sum _ {\scriptstyle
a, b \in  F\atop \scriptstyle
a\neq 0} A(a^{-1}) E(-b) \pmatrix{
a & 0 \cr
0 & a \cr
}\pmatrix{
1 & b\cr
0 & 1\cr
} ; 
$$
man sieht leicht,
dass $e = \ind(x _ 1) e x _ 1 e$ ; wir wollen $e$ mit $a _ 0$
bezeichnen und haben damit  das ``erste" Element unserer
``Standardbasis" $(a _ j) _ {j\in J}$ ; dieses Element $a _ 0$ ist
das Einselement unserer Heckealgebra ${\cal H}(G,H,\psi )$. Die
Repr\"asentanten~$x _ c$ mit $c\neq 1$ liefern keine Elemente
f\"ur die Standardbasis, da sie die auf der vorangehenden Seite
oben angegebene Bedingung an
$x _ j$ nicht erf\"ullen. Hingegen alle $y _ c$ erf\"ullen diese
Bedingung; wir setzen 
$$
a _ c =\ind (y _ c) e y _ c e \quad \hbox{\rm f\"ur}\, c\in F, c\neq
0
$$
und erhalten so mit $(a _ b) _ {b\in F}$ eine Standardbasis 
(dabei ist $a _ 0=e$ 
mit eingeschlossen). Man kann die Strukturkonstanten explizit
berechnen und erh\"alt
$$
\mu  _ {ijk} =\sum _ {c^2={{k}/ {(ij)}}} A(c^{-1})
E(c(i+j)-c^{-1})
$$
f\"ur $i,j,k\neq 0$. Wir geben hier die Werte f\"ur $i,j,k=0$ nicht an, 
sondern verweisen 
auf [HP 91], wie auch f\"ur alle Beweise, Literaturhinweise, usw.

Wir bezeichnen wie in den vorangehenden Abschnitten mit $X$ die Gruppe der
multiplikativen Charaktere von $F$ und f\"uhren eine ``neue" Basis der 
Heckealgebra ein, deren Elemente durch
$$
a _ S ={{1}\over {q-1}} \sum _ {c\neq 0} S(c) a _ c
$$
gegeben sind, f\"ur $S\in X$; jedes $a _ S$ ist also eine
Linearkombination der $a _ c$ ;  das Basiselement $a _ 0$ wird
beibehalten ; sei $X'=\{ 0\} \cup X$, unsere neue Basis ist $(a _
S)  _ {S\in X'}$, und wir k\"onnen die Strukturkonstanten $\mu  _
{B,C,S}$ bez\"uglich der neuen Basis berechnen; diese dr\"ucken
sich folgendermassen durch Gaussche Summen aus :
$$
\eqalignno{
a _ B a _ C & = {1\over q(q-1)} \delta (ABC) a _ 0 \cr
&\qquad{} + {{(ABC)(-1)} \over {q(q-1)^2}} G(ABC) \sum _ {S\in X}
S(-1) G(BS^{-1}) G(CS^{-1}) a _ S ;\cr 
\mu  _ {B,C,S}&=
\cases{
\displaystyle { {\delta (ABC)}\over {q(q-1)}},\quad\hbox{f\"ur
$B,C \in X$ und $S=0$} ;\cr 
\noalign{\smallskip}
\displaystyle { {(ABC)(-1) }\over {q(q-1)^2}} G(ABC)
G(BS^{-1}) G(CS^{-1}),&f\"ur$B,C,S \in  X$ ;\cr
}\cr}
$$ 
es sei darauf hingewiesen, dass in diesen Formeln $A$ 
den ein f\"ur alle
mal  festgelegten ``zentralen" Charakter bezeichnet, der in 
die Definition von $\psi $
eingeht (am Anfang des Beispiels). 

Sei nun $\chi :G\to\bbC$ der
Charakter einer irreduziblen Darstellung der Gruppe $G$, so dass
$\chi (e)=1$; dann ist $\chi : {\cal H} \to\bbC$ ein Algebramorphismus; es
sei darauf hingewiesen, dass $\chi  : G \to\bbC$ sich linear als $\chi  :
\bbC G \to\bbC$ fortsetzt und dann auf die Untermenge ${\cal H} =
e\bbC G e$ einschr\"ankt. 

Man hat daher f\"ur solch ein $\chi $
insbesondere
$\chi (a _ B a _ C) = \chi (a _ B) \chi  (a _ C)$, und
aus $a _ B a _ C =\sum\limits _ {s\in X'}
\mu  _ {B,C,S} a _ S$
folgt weiter
$$
\chi (a _ B) \chi (a _ C) 
=\sum _ {S\in X'} \mu  _ {B,C,S} \chi (a _ S).
$$
Nun kann man die bekannte Charaktertafel der Gruppe $GL(2,F _ q)$ 
verwenden, um ganz explizit in die letzte Formel die Werte
$\chi (a _ B)$, $\chi (a _ C)$ und $\chi (a _ S)$ einzusetzen. 

Dies f\"uhrt f\"ur
die sogenannte ``Hauptreihe" von Darstellungen genau auf die
Barnesidentit\"at (Seite 7); f\"ur die diskrete Reihe f\"uhrt es auf
neue interessante Identit\"aten. F\"ur eine genaue Formulierung
dieser Identit\"aten, wie auch f\"ur alle Beweise sei auf [HP 91]
und die dort angegebene Literatur verwiesen.

\vfill\eject
\null\vfill
\eightpoint
\centerline{LITERATURHINWEISE}
\overfullrule=0pt

\medskip
\article An 90|\pd ANDERSON (Greg W.)|The evaluation of Selberg
Sums|C.R. Acad. Sc. Paris|311|1990|469--472|

\article An 91|\pd ANDERSON (Greg W.)|A short Proof of Selberg's
Generalized Beta Formula|Forum Mathematikum|3|1991|415--417|

\article De-Lo 94|\pd DENEF (J.) et \pd LOESER (F.)|D\'etermination
g\'eom\'etrique des sommes de Selberg-Evans|Bull. Soc. Math.
France|122|1994|533--551|

\article Ev 81|\pd EVANS (Ronald J.)|Identities for
Products of Gauss Sums over Finite Fields|Ens.
Math.|27|1981|197--209|

\article Ev 91|\pd EVANS (Ronald J.)|The Evaluation of Selberg
Character Sums|Ens. Math.|37|1991|235--248|

\article Gr 87|\pd GREENE (John)|Hypergeometric Functions over
Finite Fields|Trans. Amer. Math. Soc.|301|1987|77--101|

\article HP 78|{\pc HELVERSEN|}-\pd PASOTTO (Anna)|L'identit\'e
de Barnes pour les corps finis|C. R. Acad.
Paris|286|1978|297--300|

\article HP 82|{\pc HELVERSEN|}-\pd PASOTTO (Anna)|Darstellungen
von $GL(3,F _ q)$ und Gaussche Summen|Math. Ann.|260|1982|1--21|

\article HP 86|{\pc HELVERSEN|}-\pd PASOTTO
(Anna)|Representation de Gelfand-Graev et identit\'es de Barnes,
le cas de $GL(2,F _ q)$|Ens. Math.|32|1986|57--77|

\divers HP 91|{\pc HELVERSEN|}-\pd PASOTTO (Anna)|On the
Structure Constants of certain Hecke algebras, {\sl Rend. Circ.
Mat. Palermo}, Serie II, numero 26, {\oldstyle 1991}|


\divers HP 93|{\pc HELVERSEN|}-\pd PASOTTO
(Anna)|Gamma-Function and Gaussian-Sum-Function, {\sl Rend.
Circ. Mat. Palermo}, Serie II, numero 30, {\oldstyle 1993}|

\article HP-PS 93|{\pc HELVERSEN|}-\pd PASOTTO
(Anna) et \pd SOLE (Patrick)|Barnes' First Lemma and its
Finite Analogue|Canad. Math. Bull.|36|1993|273--282|

\divers HP 94|{\pc HELVERSEN|}-\pd PASOTTO
(Anna)|Character Sum Identities in
Analogy with Special Functions Identities, Universit\'e de Nice
Sophia Antipolis, Imprimerie Maths, Pr\'epublication no. 342, 
{\oldstyle 1993}
(zur Ver\"offentlichung umgearbeitet {\oldstyle 1994})|

\tenpoint
\nobreak
\vskip 1cm
\rightline{\vbox{\hbox{Anna {\petcap Helversen-Pasotto},}
                 \hbox{Laboratoire ``Jean-Alexandre Dieudonn\'e",}
                 \hbox{Math\'ematiques,}
                 \hbox{Universit\'e de Nice Sophia Antipolis,}
                 \hbox{Parc Valrose, B.P. 71,}
                 \hbox{F-06108 Nice Cedex 2.}
                 \hbox{email : {\tt
helpa@math.unice.fr}}}\qquad}

\bye
