\magnification=1200

%��������������������� Reglages generaux ����������� 
%��������������������� que vous pouvez modifier ������ 
%���������������������� sans faire de degats �������� 
%\input tex8bits

\hsize=11.25cm    
\vsize=18cm       
\parindent=12pt   \parskip=0pt     
\pageno=1 

\ifnum\mag=1000
\hoffset= 0 mm    % offset horizontal en \magnification=1000
\voffset=10 mm    % offset vertical en \magnification=1000
\fi

\ifnum\mag=1200
\hoffset=7 mm   % offset horizontal en \magnification=1200
\voffset=8 mm   % offset vertical en \magnification=1200
\fi

\ifnum\mag=1440
\hoffset=0 mm   % offset horizontal en \magnification=1440
\voffset=-3 mm  % offset vertical en \magnification=1440
\fi 

% ��������������������������� Reglages ���������� 
% ����������� auquels il ne vaut mieux pas toucher ������ 

\pretolerance=500 \tolerance=1000  \brokenpenalty=5000


% �������������������� Debut des macros privees ������ 
\catcode`\@=11
% ��������������������� Les fontes ��������������� 

\font\eightrm=cmr8         \font\eighti=cmmi8
\font\eightsy=cmsy8        \font\eightbf=cmbx8
\font\eighttt=cmtt8        \font\eightit=cmti8
\font\eightsl=cmsl8        \font\sixrm=cmr6
\font\sixi=cmmi6           \font\sixsy=cmsy6
\font\sixbf=cmbx6

% Fontes AMS

\font\tengoth=eufm10       \font\tenbboard=msbm10
\font\eightgoth=eufm8      \font\eightbboard=msbm8
\font\sevengoth=eufm7      \font\sevenbboard=msbm7
\font\sixgoth=eufm6        \font\fivegoth=eufm5

% Pour que les accents se placent correctement en mode math en corps 8 et 6

\skewchar\eighti='177 \skewchar\sixi='177
\skewchar\eightsy='60 \skewchar\sixsy='60

% Nouvelles familles pour les maths

\newfam\gothfam           \newfam\bboardfam

\def\tenpoint{%
  \textfont0=\tenrm \scriptfont0=\sevenrm \scriptscriptfont0=\fiverm
  \def\rm{\fam\z@\tenrm\let\bigf@nt=\tenrm\let\smallf@nt=\sevenrm}%
  \textfont1=\teni  \scriptfont1=\seveni  \scriptscriptfont1=\fivei
  \def\oldstyle{\fam\@ne\teni}\let\old=\oldstyle
  \textfont2=\tensy \scriptfont2=\sevensy \scriptscriptfont2=\fivesy
  \def\calfont{\fam2 \tensy}%
  \textfont\gothfam=\tengoth \scriptfont\gothfam=\sevengoth
  \scriptscriptfont\gothfam=\fivegoth
  \def\gothfont{\fam\gothfam\tengoth}%
  \textfont\bboardfam=\tenbboard \scriptfont\bboardfam=\sevenbboard
  \scriptscriptfont\bboardfam=\sevenbboard
  \def\bbfont{\fam\bboardfam\tenbboard}%
  \textfont\itfam=\tenit
  \def\it{\fam\itfam\tenit\let\bigf@nt=\tenit \let\smallf@nt=\eightit}%
  \textfont\slfam=\tensl
  \def\sl{\fam\slfam\tensl}%
  \textfont\bffam=\tenbf \scriptfont\bffam=\sevenbf
  \scriptscriptfont\bffam=\fivebf
  \def\bf{\fam\bffam\tenbf\let\bigf@nt=\tenbf \let\smallf@nt=\sevenbf}%
  \textfont\ttfam=\tentt
  \def\tt{\fam\ttfam\tentt}%
  \abovedisplayskip=13pt plus 3pt minus 9pt
   \belowdisplayskip=11pt plus 3pt minus 9pt
    \abovedisplayshortskip=6pt plus 3pt
     \belowdisplayshortskip=11pt plus 3pt minus 9pt
  \smallskipamount=3pt plus 1pt minus 1pt
  \medskipamount=6pt plus 2pt minus 2pt
  \bigskipamount=12pt plus 4pt minus 4pt
  \normalbaselineskip=13pt
  \setbox\strutbox=\hbox{\vrule height8.5pt depth3.5pt width0pt}%
  \normalbaselines\rm}

\def\eightpoint{%
  \textfont0=\eightrm \scriptfont0=\sixrm \scriptscriptfont0=\fiverm
  \def\rm{\fam\z@\eightrm\let\bigf@nt=\eightrm\let\smallf@nt=\sixrm}%
  \textfont1=\eighti  \scriptfont1=\sixi  \scriptscriptfont1=\fivei
  \def\oldstyle{\fam\@ne\eighti}\let\old=\oldstyle
  \textfont2=\eightsy \scriptfont2=\sixsy \scriptscriptfont2=\fivesy
  \def\calfont{\fam2 \eightsy}%
  \textfont\gothfam=\eightgoth \scriptfont\gothfam=\sixgoth
  \scriptscriptfont\gothfam=\fivegoth
  \def\gothfont{\fam\gothfam\eightgoth}%
  \textfont\bboardfam=\eightbboard \scriptfont\bboardfam=\sevenbboard
  \scriptscriptfont\bboardfam=\sevenbboard
  \def\bbfont{\fam\bboardfam\eightbboard}%
  \textfont\itfam=\eightit
  \def\it{\fam\itfam\eightit\let\bigf@nt=\eightit\let\smallf@nt=\eightit}%
  \textfont\slfam=\eightsl
  \def\sl{\fam\slfam\eightsl}%
  \textfont\bffam=\eightbf \scriptfont\bffam=\sixbf
  \scriptscriptfont\bffam=\fivebf
  \def\bf{\fam\bffam\eightbf\let\bigf@nt=\eightbf\let\smallf@nt=\sixbf}%
  \textfont\ttfam=\eighttt
  \def\tt{\fam\ttfam\eighttt}%
  \abovedisplayskip=9pt plus 3pt minus 6pt
   \belowdisplayskip=\abovedisplayskip
    \abovedisplayshortskip=4pt plus 3pt
     \belowdisplayshortskip=9pt plus 3pt minus 6pt
  \smallskipamount=2pt plus 1pt minus 1pt
  \medskipamount=4pt plus 2pt minus 1pt
  \bigskipamount=9pt plus 3pt minus 3pt
  \normalbaselineskip=10pt
  \setbox\strutbox=\hbox{\vrule height7pt depth2pt width0pt}%
  \normalbaselines\rm}

\tenpoint

\def\cal#1{{\calfont#1}}
\def\bb#1{{\bbfont#1}}
\def\goth#1{{\gothfont#1}}
%���������������������������������������������������
% D�finition des petites capitales qui r�agissent au \tenpoint et \eightpoint
% Syntaxe : \pc FERMAT|, \pd �RASME et \pc G\"ODEL| 
% ou encore \pc fermat|, \pd �rasme et \pc g\"odel| (pas besoin de capitales)
% ou encore  \pc Fermat|, \pd �rasme et \pc G\"odel|


% La programmation est tordue 
% pour que \pc Th�or�me| \quad \pc Th\'eor�me| \quad \pc Th�or\`eme|
% donnent tous le m�me r�sultat

%������������������������������������������

\def\pc#1#2|{{\bigf@nt#1\smallf@nt\uppercase{#2}}}  
 \def\pd#1 {\pc#1| }

%���������������������� dactylographie francaise ��������� 
%������������ dactylographie fran�aise �������������������

{\catcode`\;=\active
  \catcode`\:=\active
   \catcode`\!=\active
    \catcode`\?=\active
\gdef\frenchdactylography{\frenchspacing
      \catcode`\;=\active
       \catcode`\:=\active
        \catcode`\!=\active
         \catcode`\?=\active
\def;{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
       \unskip\fi\kern\fontdimen2 \font\kern -1.2 \fontdimen3 \font\fi\string;}%
\def:{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@\unskip\fi\penalty\@M\ \fi\string:}%
\def!{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
       \unskip\fi\kern\fontdimen2 \font \kern -1.1 \fontdimen3 \font\fi\string!}%
\def?{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
       \unskip\fi\kern\fontdimen2 \font \kern -1.1 \fontdimen3 \font\fi\string?}%
}}
% fin \frenchdactylography

\frenchdactylography
% \frenchspacing

\def\^#1{\if#1i{\accent"5E\i}\else{\accent"5E #1}\fi}
\def\"#1{\if#1i{\accent"7F\i}\else{\accent"7F #1}\fi}


% ���������������� Le format de sortie ������������� 
% Haut et bas de page 

\newtoks\auteurcourant      \auteurcourant={\hfil}
\newtoks\titrecourant       \titrecourant={\hfil}

\newtoks\hautpagetitre      \hautpagetitre={\hfil}
\newtoks\baspagetitre       \baspagetitre={\hfil}

\newtoks\hautpagegauche   \newtoks\hautpagedroite 
  
\hautpagegauche={\tenrm\rlap{\folio}\tenit\hfil\the\auteurcourant\hfil}
\hautpagedroite={\tenit\hfil\the\titrecourant\hfil\tenrm\llap{\folio}}

\newtoks\baspagegauche      \baspagegauche={\hfil} 
\newtoks\baspagedroite      \baspagedroite={\hfil}

\newif\ifpagetitre          \pagetitretrue  

% \nopagenumbers : c'est un peu violent, mais �a marche. Alors ...

\def\nopagenumbers{\def\folio{\hfil}}  

\headline={\ifpagetitre\the\hautpagetitre
            \else\ifodd\pageno\the\hautpagedroite
             \else\the\hautpagegauche
              \fi\fi}

\footline={\ifpagetitre\the\baspagetitre\else
            \ifodd\pageno\the\baspagedroite
             \else\the\baspagegauche
              \fi\fi
               \global\pagetitrefalse}

% Redefinition de \raggedbottom pour avoir plus de mou en bas de page
% (necesssaire quand il y a beaucoup de grumeaux, des grosses
% formules centrees et pas beaucoup de texte entre)

\def\raggedbottom{\topskip 10pt plus 36pt\r@ggedbottomtrue}

%��������������������������������������������������� 
%���������������������� Macros de mise en page ����������� 
%��������������������������������������������������� 

% Un point-tiret

\def\pointir{\unskip . --- \ignorespaces}

%��������������������������������������������������� 
% Texte centre dans une boite : le resultat est le plus petit 
% rectangle qui contient le texte. Ce resultat est
% place dans une boite centree.
% SYNTAXE : le passage a la ligne definit les lignes
%     \ctexte
%     La petite fille
%     est all\'ee \`a l'\'ecole
%     \endctexte

{\obeylines%
  \gdef\ctexte%
       {\begingroup\obeylines%
         \let^^M=\cr\makectexte}}

\def\makectexte#1\endctexte%
    {\hbox{$\vcenter{\halign{\hfill##\hfill\crcr#1\crcr}}$}%
      \endgroup%
       }

%���������������������������������� 
% pour etre en mode centre dans une boite
% Syntaxe {\centermode ... \par}
% ne pas oublier le \par, sinon la derniere ligne
% ne sera pas centree !
% VARIANTE POSSIBLE :
% \leftskip=0pt plus 25pt (au lieu de 1fill)

\def\centermode 
    {\parindent=0pt
      \leftskip=0pt plus 1fill
       \rightskip=\leftskip
        \parfillskip=0pt
         }

%������������������������������� 
% Titre centre (en gras)

\def\ctitre 
    {\vglue 24 pt plus 3pt minus 3pt
      \begingroup
       \centermode
        \baselineskip=17pt
         \parskip=0pt
          \obeylines\bf
           }

\def\endctitre 
    {\par\endgroup
      \nobreak\bigskip
       }
%����������������������������������� 
% on redefinit d'abord \bigbreak et \medbreak
% pour attenuer les \penalty

\def\bigbreak{\par
               \ifdim\lastskip<\bigskipamount
                \removelastskip\penalty-100\bigskip
                 \fi
                  }

\def\medbreak{\par
               \ifdim\lastskip<\medskipamount
                \removelastskip\penalty-50\medskip
                 \fi
                  }

\def\smallbreak{\par
                 \ifdim\lastskip<\smallskipamount
                  \removelastskip\penalty-25\smallskip
                   \fi
                    }
%���������������������������������������� 
% Materiel pour la numerotation automatique

\newif\ifsubsectiontitle
\newcount\sectionnumber   \sectionnumber=0
\newcount\subsectionnumber

\def\secsubnumber{\the\sectionnumber.\the\subsectionnumber}

\def\withnum 
    {\ifsubsectiontitle\global\advance\subsectionnumber by 1
      \the\sectionnumber.\the\subsectionnumber.\enspace\ignorespaces
       \else\global\advance\sectionnumber by 1
        \global\subsectionnumber=0
         \the\sectionnumber.\enspace\ignorespaces
          \fi}
%������������������������������������ 
% Les sections

\long\def\section#1\endsection 
      {\global\subsectiontitlefalse
        \bigbreak{\bf#1\unskip}\pointir}

\long\def\sectiona#1\endsection 
     {\global\subsectiontitlefalse
       \bigbreak\vbox{\bf#1\unskip}\par\nobreak}

%������������������������������������� 
% Les sous-sections

\long\def\subsection#1\endsubsection 
     {\global\subsectiontitletrue
       \medbreak{\it#1\unskip}\pointir}

\long\def\subsectiona#1\endsubsection 
     {\global\subsectiontitletrue
       \medbreak\vbox{\it#1\unskip}\par\nobreak}
%��������������������������������������� 
% Differentes manieres de commencer un nouveau paragraphe

\def\newparwithcolon#1\endnewparwithcolon 
    {\global\subsectiontitletrue\medbreak
      {#1\unskip:}  
       }

\def\newparwithpointir#1\endnewparwithpointir 
    {\global\subsectiontitletrue\medbreak
      {#1\unskip}\pointir
       }

\def\newpara#1\endnewpar 
    {\global\subsectiontitletrue\medbreak
      {#1\unskip}\par\nobreak\smallskip
       }

%��������������������������������������� 
% Exemples d'utilisation des macros precedentes 
% 
\def\remarque{\newparwithcolon
                \pc REMARQUE|
                 \endnewparwithcolon}
 
% \def\remarques{\newpara
%                 \pc REMARQUES|
%                  \endnewpar}

% \def\exemple{\newparwithcolon
%               \pc EXEMPLE|
%                \endnewparwithcolon}
% 
% \def\exemples{\newpara
%                \pc EXEMPLES|
%                 \endnewpar}
% 
% \def\definition{\newparwithpointir
%                  \pc D\'EFINITION|
%                   \endnewparwithpointir}
% 
% \def\definitions{\newpara
%                   \pc D\'EFINITIONS|
%                    \endnewpar}
% 
 \def\demonstration{\newparwithcolon
                     \it D\'emonstration
                      \endnewparwithcolon}


%������������ r�sum� ����������������������

\def\resume{\bgroup\eightpoint\noindent R\'esum\'e\pointir} 
 \def\endresume{\par\egroup}     

\def\abstract{\bgroup\eightpoint\noindent Abstract\pointir} 
 \def\endabstract{\par\egroup}     

\def\summary{\bgroup\eightpoint\noindent Summary\pointir} 
 \def\endsummary{\par\egroup}     
%���������������������������������������� 
% enonces de theoremes avec numerotation APRES
% #1 = THEOREME, COROLLAIRE, etc.
% #2 = numero (par exemple 3, 3.1, etc.)
% #3 = l'enonce du th proprememnt dit.

%------- pour que les parentheses et la ponctuation
%-------- ne soit pas en italique 

\def\virg@le{\relax
     \ifmmode\string,
      \else{\rm\string,}
       \fi}

\def\point@virgule{\relax
     \ifhmode
      \ifdim\lastskip>\z@\unskip\fi
       \kern\fontdimen2 \font\kern -1.2 \fontdimen3 \font
        {\rm\string;}%
         \else\ifmmode
          \mathpunct{\string;}%
           \fi\fi}

\def\deux@points{\relax
     \ifhmode
      \ifdim\lastskip>\z@\unskip\fi
       \penalty\@M\space{\rm \string:}%
        \else\ifmmode
         \mathrel{\string:}%
          \fi\fi}

{\catcode`\(=\active 
  \catcode`\)=\active 
   \catcode`\,=\active 
    \catcode`\;=\active 
     \catcode`\:=\active 
\gdef\specialit{%
      \catcode`\(=\active  \gdef({\ifmmode\string(\else{\rm\string(}\fi}%
       \catcode`\)=\active  \gdef){\ifmmode\string)\else{\rm\string)}\fi}%
        \catcode`\,=\active  \gdef,{\virg@le}%
         \catcode`\;=\active  \gdef;{\point@virgule}%
          \catcode`\:=\active  \gdef:{\deux@points}%
           \it}}
%---------------------------- 
\def\th#1 #2\enonce{\medbreak
              \pc#1| {#2\unskip}\pointir
               \bgroup\specialit}

\def\endth{\ifdim\lastskip<4pt\vskip-\lastskip\medskip\fi\egroup
            \frenchdactylography}
%-----------------------------
\def\tha#1 #2\enonce{\medbreak
              \pc#1| {#2\unskip}\nobreak\par
               \bgroup\specialit}

%��������������������������������������� 
% enonces de theoremes avec numerotation AVANT
% #1 = numero (par exemple 3, 3.1, etc.)
% #2 = THEOREME, COROLLAIRE, etc.
% #3 = l'enonce du th proprememnt dit.

\def\Th#1 #2 #3\enonce{\medbreak
       #1 \pc#2| {#3\unskip}\pointir
               \bgroup\specialit}

\long\def\Tha#1 #2 #3\enonce{\medbreak
       #1 {\pd#2 } #3\nobreak\par
               \bgroup\specialit}

%������������������������������������� 
% les differents retraits
% on peut aussi utiliser \item et \itemitem)

\def\decale#1{\smallbreak
               \noindent\hskip 28pt\llap{\rm #1}\
                \ignorespaces}

\def\decaledecale#1{\smallbreak
                     \noindent\hskip 34pt\llap{\rm #1}\ 
                            \ignorespaces}

\def\puce{\smallbreak
           \noindent\hskip 6pt$\scriptstyle\bullet$\enspace\ignorespaces}

% ��������������������������������������������� 
% �������������� ce que Knuth n'a pas fait ������������ 
% ���������������������������������������������� 
% Math�matiques centr�es
% �������������������������

%--------- pour couper une formule trop longue 
% DANS un \displaylines
%----- syntaxe (pas besoin de \cr) :
%
%    $$\displaylines{
%    .....
%    \cutdisplay
%    ......
%    \cutdisplay
%    ......
%    }$$

\def\cutdisplay{\hfill\cr\hfill{}}

%----------------------------------
% un ``small''displaylines analogue � une matrice ;
% fabrique une boite centree, donc \leqno possible

\def\smalldisplaylines#1{\displ@y\vcenter{\halign{&\strut
$\@lign\hfil\displaystyle##\hfil$\crcr#1\crcr}}}

%----------------------------------
% Un \displaylines qui num�rote � droite.
% La syntaxe est la meme que celle de \eqalignno

\def\displaylinesno#1{\displ@y\halign{
\hbox to\displaywidth{$\@lign\hfil\displaystyle##\hfil$}&
\llap{$##$}\crcr#1\crcr}}

%----------------------------------
% Un \displaylines qui numerote a gauche.
% La syntaxe est la meme que celle de \leqalignno

\def\ldisplaylinesno#1{\displ@y\halign{ 
\hbox to\displaywidth{$\@lign\hfil\displaystyle##\hfil$}&
\kern-\displaywidth\rlap{$##$}\tabskip\displaywidth\crcr#1\crcr}}

%----------------------------------
% Un \eqalign qui accepte plusieurs alignements verticaux
% Motif : \hfil # & # \hfil & \hfil # & # \hfill, etc.

\def\eqalign#1{\null\,\vcenter{\openup\jot\m@th\ialign{\strut
\hfil$\displaystyle{##}$&$\displaystyle{{}##}$\hfil
&&\quad\strut\hfil$\displaystyle{##}$&$\displaystyle{{}##}$\hfil
\crcr#1\crcr}}\,}

%--------------------------------------------
% Un eqalign avec numerotation a gauche ET a droite
% syntaxe :
% numero gauche & A & = B & numero droit \cr

\def\fulleqalignno#1{\displ@y\tabskip=\z@skip
      \halign to\displaywidth {
       \rlap{$##$}  \tabskip=\centering &
        \hfil $\@lign \displaystyle {##}$ \tabskip \z@skip &
         $\@lign \displaystyle {{}##}$\hfil  \tabskip \centering &
          \llap {$\@lign ##$}  \tabskip \z@skip \crcr 
           #1\crcr}}
%--------------------------------------------
% idem avec \displaylines

\def\fulldisplaylinesno#1{\displ@y \tabskip=\z@skip
     \halign to\displaywidth{%
      \rlap{$##$}\tabskip=\centering &
       $\@lign \hfil \displaystyle ##\hfil $&
        \llap{$##$}\tabskip=\z@skip\crcr 
         #1\crcr}}

%--------------------------------------------
% Systeme d'equations precede d'une accolade.
% Copi\'e sur \eqalign, on s'en sert comme une matrice
% syntaxe : signe & coef & inconnue
% les coef sont justifi\'es \`a droite (\hfil coef)
% et les inconnues \`a gauche (inconnue\hfil)
% attention : un seul & ou deux && avant le signe =
% selon la justification choisie !
% Exemple : $$\system{
%             &2 &x &- &3 & y & = &&  -5 \cr
%            -&  &x &+ &  & y & = &&   6 \cr
%           }$$

\def\system#1{\left\{\null\,\vcenter{\openup1\jot\m@th
\ialign{\strut$##$&\hfil$##$&$##$\hfil&&
        \enskip$##$\enskip&\hfil$##$&$##$\hfil\crcr#1\crcr}}\right.}


% ������������������������������������������ 
% ����������������� Divers gadgets �������������� 
% ������������������������������������������� 

% Pour se rendre la vie facile : \up{er}, \up{i\`eme}, n\up{0}, etc.
\def\up#1{\raise 0.85ex\hbox{\smallf@nt#1}}
%----------------------------
% Utilisation : \cf. \etc. \ie. (ne pas oublier le point a la fin !
%----------------------------
\def\cf{{\it cf}} \def\etc{{\it etc}} \def\ie{{\it i.e}}
%----------------------------
\def\qed{\lower 2pt\hbox{\vrule\vbox to 10pt{\hrule width 4pt
                                             \vfill
                                             \hrule}\vrule}}

\def\cqfd{\unskip\penalty 500\kern 10pt\qed}
%----------------------------
% virgule apres une fraction
\def\virg{\raise .4ex\hbox{,}}   
%----------------------------
\def\pv{\ ;\enspace} % point-virgule de ponctuation en maths

%----------------------------
% Pour obtenir un cadre rectangulaire :
% Entoure #2 (le texte) d'un filet. 
% Le filet est ecarte de #1 du texte
% La ligne de base n'est pas perdue
% Syntaxe : \boxit[5pt]{...}. 

\def\boxit[#1]#2%
    {\setbox1=\hbox{\kern#1{#2}\kern#1}%
      \dimen1=\ht1 \advance\dimen1 by #1 
       \dimen2=\dp1 \advance\dimen2 by #1 
        \setbox1=\hbox{\vrule height\dimen1 depth\dimen2\box1\vrule}%  
         \setbox1=\vbox{\hrule\box1\hrule}%
          \advance\dimen1 by .4pt \ht1=\dimen1 
           \advance\dimen2 by .4pt \dp1=\dimen2  \box1\relax
            }
%-----------------------------
% analogue, mais avec effet d'ombre
% #1 = epaisseur de l'ombre
% #2 = blanc qui separe le filet du texte
% #3 = ce qu'on veut mettre dans la boite ombree
% la ligne de base n'est pas perdue
% Syntaxe : \shadebox[3pt][5pt]{...}

\def\shadebox[#1][#2]#3%
    {\setbox1=\hbox{\kern#2{#3}\kern#2}%
      \dimen1=\ht1 \advance\dimen1 by #2 
       \dimen2=\dp1 \advance\dimen2 by #2 
        \setbox1=\hbox{\vrule height\dimen1 depth\dimen2 width 0.2pt
                        \box1
                         \vrule  width 0.2pt}%  
          \setbox1=\vbox{\hrule height 0.2pt
                          \box1
                           \hrule height 0.2pt}%
             \dimen3=\wd1 \advance\dimen3 by -#1 
              \dimen4=\ht1 \advance\dimen4 by -#1
               \setbox2=\hbox{\vrule height #1 depth 0pt width\dimen3
                               \vrule height\ht1 depth 0pt width #1}%
                 \advance\dimen1 by .2pt 
                  \ht1=\dimen1 
                   \advance\dimen2 by .2pt \advance\dimen2 by #1
                    \dp1=\dimen2  
                     \box1\kern-\dimen3\lower\dimen2\box2\relax
                      }

%������������������������������������������ 
% quand il faut smasher seulement le dessus ou le dessous d'une formule 
% Ne tient pas compte du style !!!

\def\smashtop#1{\setbox0=\hbox{#1}\ht0=0pt\box0}
\def\smashbot#1{\setbox0=\hbox{#1}\dp0=0pt\box0}

%������������������������������������������ 
% \date : 15 Novembre 1987
% j'ai abandonne \date qui provoquait des conflits
% avec le token \date que j'utilise dans les bibliographies

\def\today
    {\ignorespaces\space\the\day\space
      \ifcase\month\or janvier\or f\'evrier\or mars\or avril
       \or mai\or juin\or juillet\or ao\^ut\or septembre
        \or octobre\or novembre\or d\'ecembre\fi\space\the\year
         }
%��������������������������������������� 
% fractions intelligentes (sans parentheses, puis avec parentheses)

\def\frac#1#2{\mkern 1.5mu {#1\over #2}\mkern 1.5mu }

\font\ninerm=cmr9

\def\sfrac#1#2{\mkern 1.5mu
     \ifmmode\ifinner 
       {\textstyle{\raise 0.5pt\hbox{\sevenrm #1}\over
        \lower 0.5pt\hbox{\sevenrm #2}}} 
         \else 
          {{\textstyle{\hbox{\ninerm #1}\over
            \lower 1.5pt\hbox{\ninerm #2}}}}
             \fi\fi\mkern 1.5mu}

\def\demi{\sfrac 12}

\def\pfrac#1#2{
     \bgroup\mathchoice
      {\Bigl({#1\over #2}\Bigr)}  % \displaystyle 
       {({#1\over #2})}           % \textstyle
        {{\textstyle(}{#1\over #2}{\textstyle)}}  % \scriptstyle
         {{\textstyle(}{#1\over #2}{\textstyle)}}  %\scriptscriptstyle
          \egroup}

%��������������������������������������� 
% crochets de taille que l'on definit soi-meme
% #1 : dimension qui monte ou descend le crochet
% #2 : la taille du crochet

\def\lbk[#1][#2]{\raise #2\hbox{$\left[\vcenter to #1{}\right. $}}
\def\rbk[#1][#2]{\raise #2\hbox{$\left.\vcenter to #1{}\right]$}}

%��������������������������������������� 
% pour surligner convenablement
% remplace avantageusement \overline si l'on desire
% de bons resultats

\def\lineover#1#2#3{\mkern#1mu\overline{\mkern-#1mu#2\mkern-#3mu}\mkern#3mu}

%��������������������������������������� 
% regle graduee en cm
% utile pour la mise au point 
% de la largeur de certaines boites
% syntaxe : \reglegraduee

\def\Graduation{\vrule height 5pt depth 0pt width 0.2pt\kern -0.2pt}
 \def\tiret{\Graduation\vrule height 0.2pt depth 0pt width 5mm}
  \def\nombre#1{\kern 10mm\hbox to 0pt{\hss\sevenrm#1\hss}}

\def\reglegraduee
    {\hrule width 12cm
      \vbox{\count10=24
       \hbox to 0pt{\loop\ifnum\count10>0
                     \tiret
                      \advance\count10 by -1
                       \repeat
                        \Graduation\hss}
          \nointerlineskip\smallskip
           \hbox to 0pt{\count10=1
                         \loop\ifnum\count10<13
                          \nombre{\the\count10}%
                           \advance\count10 by 1
                            \repeat
                             \hss}
               }}

%������������������������������������������� 
% fleche horizontale dirig\'ee vers la droite et intelligente
% si elle n'a pas de decoration (indice ou exposant)
% c'est une \rightarrow
% si l'indice et l'exposant ne sont pas trop longs,
% c'est une longrightarrow
% sinon, elle s'allonge en cons\'equence
% Syntaxe : \arrow{...}{...}
% le premier groupe est l'exposant, le deuxieme l'indice
% ces deux groupes (memes vides) sont obligatoires !!!

\newdimen\lengtharrow
 \newbox\exponant \newbox\indice
  \newbox\arrowbox

%------------------------------------------------------------
% la longueur d'une \longrightarrow est de 16.11...pt
% la longueur de \arrow sera donc celle d'une \longrightarrow
% tant que l'exposant ne d\'epasse pas 8pt de large
% sinon, on rajoute 4pt de part et d'autre.
% Cas particulier : s'il n'y a ni indice, ni exposant,
% on retrouve \rightarrow

\def\dimmax#1#2{\ifdim#1<#2 #2\else #1\fi}

\def\arrow#1#2%
    {\setbox\exponant=\hbox{$\scriptstyle#1$}
      \setbox\indice=\hbox{$\scriptstyle#2$}
       \lengtharrow=\dimmax{\wd\indice}{\wd\exponant}
        \ifdim \lengtharrow=0pt \setbox\arrowbox=\hbox{$\rightarrow$}
         \else \ifdim\lengtharrow<8pt
                \lengtharrow=16pt
                 \else \advance\lengtharrow by 8pt
                  \fi
                   \setbox\arrowbox=\hbox to\lengtharrow{\rightarrowfill}
                    \ht\arrowbox=3.66875pt \dp\arrowbox=0pt 
                     \setbox\arrowbox=\hbox{$\mathop{\box\arrowbox}\limits
                                            _{\box\indice}^{\box\exponant}$}
                       \fi
                \mathrel{\box\arrowbox}}

%����������������������������������������� 
% generalise le \buildrel de plain
% exemples de syntaxe avec une fleche dirigee a gauche
% \build\longleftarrow_{...}\endbuild
% \build\longleftarrow^{...}\endbuild
% \build\longleftarrow_{...}^{...}\endbuild
% l'indice ou l'exposant sont facultatifs
% ne surtout pas oublier le \endbuild !!!!

\def\build#1{\mathrel\bgroup\mathop{#1\kern 0pt}\limits}
 \let\endbuild=\egroup

%������������������������������������������ 
% commodites pour la construction de tableaux
% \vmove[5pt]{...} deplace le groupe vers le haut de 5pt
% SANS RIEN DERANGER DANS LE TABLEAU

\def\vmove[#1]#2{\setbox1=\hbox{\raise#1\hbox{#2}}%
                 \ht1=0pt \dp1=0pt\box1}

%---------------------------------------
% \vspace[5pt] ecarte deux lignes d'un tableau
% \vspace[-2mm] rapproche deux lignes d'un tableau
% (ne peut fonctionner qu'apres un \cr)

\def\vspace[#1]{\noalign{\vskip#1}}

%������������������������������������������ 
% pour ne pas avoir a chosir entre \hat et \widehat,
% \tilde et \widetilde

\def\hat#1{\setbox1=\hbox{$#1$}
               \ifdim\wd1>7pt
                \mathaccent "0362 {#1}
                 \else\mathaccent"705E {#1}
                  \fi
                   }

\def\tilde#1{\setbox1=\hbox{$#1$}
               \ifdim\wd1>7pt
                \mathaccent "0365 {#1}
                 \else\mathaccent"707E {#1}
                  \fi
                   }

% ������������������������������������� 
% pour qu'il la ferme le plus possible...

\showboxbreadth=-1  \showboxdepth=-1

% ������������������������������������� 
% pour avoir des messages raisonnables avec les lettres accentu\'ees
% et les petites capitales

\let\@ldmessage=\message

 \def\message#1%
     {\begingroup
       \def\pc##1{\string\pc\space##1}%
        \def\'{\string'}\def\`{\string`}%
         \def\^{\string^}\def\"{\string"}%
          \@ldmessage{#1}%
           \endgroup
            }


%����������������������������
% Pour les tableaux
%-----------------------
% syntaxe \tableau\preambule...\endtableau
% pour les filets horizontaux
% utiliser \cr\th ou encore
% \th\vspace[2pt]\th
% en cas de traits espaces

\def\tvi{\vrule height 12pt depth 5pt width 0pt}
\def\tv{\tvi\vrule}

%-------------------------
\def\tableau
    {\vtop\bgroup
      \def\th{\noalign{\hrule}}
       \offinterlineskip\halign\expandafter\bgroup
        }

\def\endtableau{\egroup\egroup}

%-----------------------
% divers preambules (liste non exhaustive !)
%-----------------------
% justification a droite, pas de filet, mode math

\def\preambuleI[#1]{% 
     \tvi\hfil\kern#1$##$\kern#1&&
      \tvi\hfil\kern#1$##$\kern#1\cr}
%-----------------------
% justification a droite, filets verticaux, mode math

\def\preambuleItv[#1]{%
     \tv\hfil\kern#1$##$\kern#1\tv&&
      \tvi\hfil\kern#1$##$\kern#1\tv\cr}

%-----------------------
% mode centre, pas de filet, mode math

\def\preambuleII[#1]{%
     \tvi\hfil\kern#1$##$\kern#1\hfil&&
      \tvi\hfil\kern#1$##$\hfil\kern#1\cr}

%-----------------------
% mode centre, filets verticaux, mode math

\def\preambuleIItv[#1]{%
     \tv\hfil\kern#1$##$\kern#1\hfil\tv&&
      \tvi\hfil\kern#1$##$\hfil\kern#1\tv\cr}





% ���������������������������������� 
% fin des macros privees
% ���������������������������������� 

\catcode`\@=12
%%%%%%% bibliographie selon AMS style %%%%%%%%%%%
%%%%%%% inspir� de TUGboat 11 (1990), p. 609 %%%%%%%


\newbox\auteurbox
\newbox\titrebox    
\newbox\editeurbox
\newbox\datebox
\newbox\nomrevuebox
\newbox\tomebox
\newbox\pagesbox
\newbox\textebox
\newbox\diversbox
\newbox\refbox

%--------------------------------------------
\def\makebox#1#2{\par\egroup
                     \setbox#1=\vbox\bgroup
                      \leftskip=0pt   
                       \hsize=\maxdimen \noindent#2}
%--------------------------------------------
\def\ref{\par\vskip 3pt plus 30pt
           \setbox0=\vbox\bgroup\makebox\refbox\bf}
%--------------------------------------------
\def\auteur{\makebox\auteurbox\pd}
 \def\titre{\makebox\titrebox\sl}
  \def\editeur{\makebox\editeurbox\rm}
   \def\nomrevue{\makebox\nomrevuebox\rm}
    \def\tome{\makebox\tomebox\bf}
%--------------------------------------------
{\catcode`\-=\active
           \gdef\date{\makebox\datebox
            \catcode`\-=\active
             \def-{\hbox{\rm \string-\string-}}%
              \oldstyle}}
%--------------------------------------------
{\catcode`\-=\active
           \gdef\pages{\makebox\pagesbox
            \catcode`\-=\active
             \def-{\hbox{\rm\string-\string-}}%
              \rm}}
%--------------------------------------------
{\catcode`\-=\active
           \gdef\divers{\makebox\diversbox
            \catcode`\-=\active
             \def-{\hbox{\rm\string-\string-}}%
              \rm}}
%--------------------------------------------
\def\addref#1{\setbox0=\vbox{\unvbox#1%
                \global\setbox1=\lastbox}%
                 \unhbox1 \unskip\unskip\unpenalty}
%--------------------------------------------
\newif\iffirstitem        
\def\separateur{\iffirstitem\pointir\global\firstitemfalse
                   \else, \ignorespaces\fi}
%--------------------------------------------
\def\voidallboxes
{\setbox0=\box\auteurbox
  \setbox0=\box\titrebox 
   \setbox0=\box\editeurbox
    \setbox0=\box\datebox
     \setbox0=\box\nomrevuebox
      \setbox0=\box\tomebox
       \setbox0=\box\pagesbox
        \setbox0=\box\textebox
         \setbox0=\box\diversbox
          \setbox0=\box\refbox
           \setbox0=\null}
%--------------------------------------------
\def\makelivre 
    {\ifdim\ht\auteurbox>0pt   \addref\auteurbox\fi 
      \ifdim\ht\titrebox>0pt     \separateur\addref\titrebox\fi
       \ifdim\ht\editeurbox>0pt   \pointir\global\firstitemfalse
                                      \addref\editeurbox\fi
         \ifdim\ht\datebox>0pt      \separateur\addref\datebox\fi}
%--------------------------------------------
\def\makearticle 
   {\ifdim\ht\auteurbox>0pt     \addref\auteurbox\fi 
     \ifdim\ht\titrebox>0pt      \separateur\addref\titrebox\fi
      \ifdim\ht\nomrevuebox>0pt  \separateur\addref\nomrevuebox\fi
       \ifdim\ht\tomebox>0pt      \separateur t.~\addref\tomebox\fi
        \ifdim\ht\datebox>0pt      \separateur\addref\datebox\fi
         \ifdim\ht\pagesbox>0pt     \separateur p.~\addref\pagesbox\fi}
%--------------------------------------------
\def\makedivers
   {\ifdim\ht\auteurbox>0pt     \addref\auteurbox\fi 
     \ifdim\ht\diversbox>0pt      \separateur\addref\diversbox\fi}
%--------------------------------------------
\def\endref
{\egroup\global\firstitemtrue
  \vskip 3pt plus 2pt minus 1pt
   \putref
    \ifdim\ht\nomrevuebox>0pt \makearticle
     \else\ifdim\ht\editeurbox>0pt \makelivre
      \else\ifdim\ht\diversbox>0pt \makedivers
       \fi\fi\fi
       .\voidallboxes}
%--------------------------------------------
\spaceskip=3pt plus 3pt minus 1pt 
\xspaceskip=3pt plus 3pt minus 1pt
\frenchspacing

%--------------------------------------------
\def\putrefI{\noindent[\addref\refbox]\quad}
\def\putrefII{\noindent\llap{[\addref\refbox]\enspace}}
\def\putrefIII{\noindent}
\def\putrefIV{\leftskip=15pt\noindent\hskip-\leftskip}

\def\styleI{\let\putref=\putrefI}
\def\styleII{\let\putref=\putrefII}
\def\styleIII{\let\putref=\putrefIII}
\def\styleIV{\let\putref=\putrefIV}

\styleI

\hsize 135mm
\hoffset=-.15mm
\catcode`\�=\active \def�{\'e}
\catcode`\�=\active \def�{\`e}
\catcode`\�=\active \def�{\`a}
\catcode`\�=\active \def�{\^o}
\catcode`\�=\active \def�{\^e}
\catcode`\�=\active \def�{\`u} 
\catcode`\�=\active \def�{\^u} 
\def\E{\mathop {\rm E}\nolimits}
\def\mi{\mathop {\rm mi}\nolimits}
\def\mp{\mathop {\rm mp}\nolimits}
\def\fd{\mathop {\rm fd}\nolimits}
\def\fnd{\mathop {\rm fnd}\nolimits}
\def\sd{\mathop {\rm sd}\nolimits}
\def\snd{\mathop {\rm snd}\nolimits}
\def\max{\mathop {\rm max}\nolimits}
\def\fix{\mathop {\rm fix}\nolimits}
\def\sur{\mathop {\rm sur}\nolimits}
\def\sai{\mathop {\rm sai}\nolimits}
\def\G{\Gamma } 
\def\FR{\over\displaystyle}
\font\eightrm=cmr8
%\hfill \today
\auteurcourant={A. Randrianarivony}
\titrecourant={polyn�mes de Dumont-Foata g�n�ralis�s}

\centerline{\bf  POLYN\^OMES DE DUMONT-FOATA G\'EN\'ERALIS\'ES}
\vskip 2mm
\centerline{\bf par}
\vskip 2mm
\centerline{{\bf Arthur RANDRIANARIVONY} \footnote{$(^*)$}{Avec le concours du
programme des Communaut\'es Europ\'eennes en Combinatoire
Alg\'ebrique, 1994-95.}} 
\vskip 5mm
\abstract
We study a sequence of polynomials with six variables which is 
an extension of Dumont-Foata polynomials. In particular we prove
the three recent Dumont conjectures on the ternary symmetries
related to Genocchi numbers [D].
\endabstract
\def\B{\overline}
\sectiona
1 Introduction
\endsection
Les nombres de Genocchi $(G_{2n})_{n\ge 1}$ peuvent �tre d\'efinis 
par la fonction g\'en\'eratrice exponentielle :
$$
G(t)={2t\over e^t+1}=t+\sum_{n\ge 1}(-1)^nG_{2n}{t^{2n}\over (2n)!}\cdot
$$
\pc Dumont| et \pc Foata| ont donn\'e un raffinement de ces nombres [DF]. Ils ont
introduit les polyn�mes $F_n(x,y,z)$ dits de Dumont-Foata
et d\'efinis par la r\'ecurrence :
$$
\system{
F_1(x,y,z)&=& 1,\cr
F_n(x,y,z)&=& (x+y)(x+z)F_{n-1}(x+1,y,z)-x^2F_{n-1}(x,y,z)
 \qquad (n\ge 2)\cr
}\leqno (1)
$$
et en ont donn\'e une interpr\'etation combinatoire en termes d'escaliers.

Rappelons qu'un escalier $F$ de taille $n$ est le graphe d'une
application surjective $f$ de $\{1,2,\ldots,2n\}$ sur
$\{2,4,\ldots,2n\}$ et exc\'edante, \ie,\ $f(k)\ge k$\ pour tout $k$. 
Un point $(k,f(k))$ de $F$ est dit {\it maximal} si $f(k)=2n$,
{\it fixe} (resp. {\it surfixe, saillant}) s'il n'est maximal 
et si $f(k)=k$ (resp. $f(k)=k+1$,\quad pour tout $j<i,\ f(j)<f(i)$).
On note $\max(F)$ le nombre de points maximaux de $F$ \`a l'exception 
des points $(2n-1,2n)$ et $(2n,2n)$,\quad $\fix(F)$
(resp. $\sur(F), \sai(F)$) le nombre de ses points fixes 
(resp. surfixes, saillants).

\th Th\'eor\`eme 1 (Dumont-Foata)
\enonce On a, pour tout $n\ge 1$, l'identit\'e :
$$
F_n(x,y,z)=\sum_Fx^{\max(F)}y^{\fix(F)}z^{\sai(F)} 
$$
o\`u la sommation est \'etendue \`a tous les escaliers $F$
de taille $n$.

De plus, $F_n(x,y,z)$ est sym\'etrique en les variables $x, y, z$
 et que $F_n(1,1,1)=G_{2n+2}$. 
\endth

R\'ecemment \pc Han| Guo Niu [H] a  trouv\'e plusieurs interpr\'etations de
ces polyn�mes. On lui doit d'avoir �tabli le th�or�me suivant.

\th Th\'eor\`eme 2
\enonce   On a :
$$
F_n(x,y,z)=\sum_Fx^{\max(F)}y^{\fix(F)}z^{\sur(F)}
$$
o\`u la sommation est \'etendue \`a tous les escaliers $F$ de taille $n$.
\endth
Dans ce travail, nous allons �tudier une suite de 
polyn�mes $\G _n(x,y,z,\B x,\B y,\B z)$ qui raffinent les
 $F_n(x,y,z)$.

\'Etant donn\'e un escalier $F$ de taille $n$, un point $(k,f(k))$
de $F$ est dit doubl\'e s'il existe $j\ne k$ tel que $f(j)=f(k)$. 
On note respectivement $\mi(F)$ et $\mp(F)$) le nombre de ses points
maximaux d'abscisses impaires et maximaux d'abscisses paires
\`a l'exception des points $(2n-1,2n)$ et $(2n,2n)$,\
$\fd(F)$ et $\fnd(F)$ le nombre de ses points fixes doubl\'es et fixes
non doubl\'es,\  $\sd(F)$ et $\snd(F)$ le nombre de ses
points surfixes doubl\'es et surfixes non doubl\'es. On doit �
\pc Dumont| [D] d'avoir d�fini combinatoirement les polyn�mes
$\G _n(x,y,z,\B x,\B y,\B z)$ par
$$
\G _n(x,y,z,\B x,\B y,\B z)=\sum x^{\mi(F)}y^{\fd(F)}z^{\snd(F)}
\B x^{\mp(F)}\B y^{\fnd(F)}\B z^{\sd(F)}
$$
o\`u la sommation est \'etendue \`a tous les escaliers $F$ de
taille $n$.
\medskip
Consid\'erons \`a pr\'esent la fraction continue formelle suivante :
$$
\G (x,y,z,\B x,\B y,\B z;t)=
  {t\FR 1-(x\B y+y\B z+z\B x)t-
   {\strut (\B x+y)(\B y+z)(\B z+x)t^2\FR\ddots
}}$$
dont le c\oe fficient situ\'e sous le $(n+1)$-i\`eme trait
de fraction est
$$ \displaylines{ 
\quad 1-[(x+n)(\B y+n)+(y+n)(\B z+n)+(z+n)(\B x+n)-n(n+1)]t\hfill\cr
\hfill-{(n+1)(\B x+y+n)(\B y+z+n)(\B z+x+n)t^2\over\ddots}\cdot\quad\cr
}$$
L'objet principal de cet article est de d�montrer les trois 
th\'eor\`emes suivants. 
\th Th\'eor\`eme 3
\enonce Les polyn�mes $\G _n(x,y,z,\B x,\B y,\B z)$ sont
 d\'efinis par la r\'ecurrence :
$$
\system{
\G _1(x,y,z,\B x,\B y,\B z)&=&1,\cr
\G _n(x,y,z,\B x,\B y,\B z)&=&(x+\B z)(y+\B x)
\G _{n-1}(x+1,y,z,\B x+1,\B y,\B z)\cr
&&+[x(\B y-y)-\B x(\B z-z)-x\B x]\G _{n-1}(x,y,z,\B x,\B y,\B z),
\quad (n\ge 2).\cr
}\leqno (2)$$
\endth
\th Th\'eor\`eme 4
\enonce On a la repr\'esentation suivante :
$$ \displaylines{
\qquad\G (x,y,z,\B x,\B y,\B z;t)=\hfill\cr
\hfill\sum_{n\ge 1}{(x+\B z)_{n-1}
(y+\B x)_{n-1}t^n\over \prod_{o\le k\le n-1}[1-\bigl((x+k)
(\B y-y)-(\B x+k)(\B z-z)-(x+k)(\B x+k)\bigr)t]}\qquad\cr
}$$
o\`u on note $(a)_o=1$ et, pour $j\ge 1,\ (a)_j=a(a+1)(a+2)
\cdots(a+j-1)$.
\endth
\th Th\'eor\`eme 5 (2-i\`eme conjecture de Dumont)
\enonce Le d\'eveloppement selon les puissances croissantes
de la fraction continue $\G (x,y,z,\B x,\B y,\B z;t)$ est 
la s\'erie g\'en\'eratrice ordinaire des polyn�mes 
$\G _n(x,y,z,\B x,\B y,\B z)$.
\endth

{\it Remarque} : Par un calcul analogue � celui de Carlitz [C2], on d\'eduit
du Th\'eor\`eme 4 la formule explicite suivante :
$$\eqalign{
&\G _n(x,y,z,\B x,\B y,\B z)\cr
&=\sum_{l=1}^n{1\over (l-1)!}(x+1)_{l-1}(y+1)_{l-1}
\sum_{k=0}^{l-1}(-1)^k{l-1\choose k}{(x+y-z+\B x
-\B y+\B z+2k)\over (x+y-z+\B x-\B y+\B z+k)_l}�_k^n\cr
}$$
o� \qquad $�_k=\bigl((x+k)(\B y-y)-(\B x+k)(\B z-z)
-(x+k)(\B x+k)\bigr)$.
\medskip
D'abord, le Th\'eor\`eme 5 nous fournit les propri\'et\'es des polyn�mes
$\G _n$ suivantes :
\th Corollaire 6
\enonce Pour toute permutation circulaire $(u,v,w)$ de $(x,y,z)$, on a
les identit\'es :
$$
\G _n(x,y,z,\B x,\B y,\B z)=\G _n(u,v,w,\B u,\B v,\B w)=
\G _n(\B u,\B w,\B v,u,w,v).
$$
\endth
\medskip
On voit que $F_n(x,y,z)=\G _n(x,y,z,x,y,z)$ est sym�trique en $x$,
$y$ et $z$. En outre, on tire �galement du Th�or�me 5
 la 1-i\`ere conjecture de Dumont suivante. 
\th Corollaire 7 
\enonce La s\'erie g\'en\'eratrice ordinaire des polyn�mes $F_n(x,y,z)$
 admet le d\'eveloppement en fraction continue formelle :
$$\sum_{n\geq 1}F_n(x,y,z)t^n=
 {t\FR 1-(xy+yz+zx)t-
  {\strut (x+y)(y+z)(z+x)t^2\FR\ddots
}}$$
dont le c\oe fficient situ\'e sous le (n+1)-i\`eme trait 
de fraction est
$$\displaylines{
\quad 1-[(x+n)(y+n)+(y+n)(z+n)+(z+n)(x+n)-n(n+1)]t\hfill\cr
\hfill-{(n+1)(x+y+n)(y+z+n)(z+x+n)t^2\over\ddots}\cdot\quad\cr
}$$
\endth
Sa 3-i\`eme conjecture r�sulte des Th�or�mes 4 et 5.
\th Corollaire 8 (3-i\`eme conjecture)
\enonce Soit $G_n(x,y,z)$ les polyn�mes d\'efinis
 combinatoirement par 
$$
G_n(x,y,z)=\sum x^{\mi(F)}y^{\fd(F)}z^{\snd(F)}
$$  
o\`u la sommation est \'etendue \`a tous les escaliers $F$
de taille $n$.

Alors la s\'erie g\'en\'eratrice ordinaire de ces polyn�mes admet la
repr\'esentation suivante :
$$
G(x,y,z;t)=\sum_{n\ge 1}{(x+1)_{n-1}(y+1)_{n-1}t^n\over 
\prod_{0\le k\le n-1}[1+((x+k)(y+k)-(k+1)(z-1))t]}\cdot
$$
\endth
\smallskip
Comme autre cas particulier, en rempla\c cant $y,z,\B y,\B z$ par 1 puis $\B x$ par $y$ dans 
le Th\'eor\`eme 3, nous retrouvons les polyn�mes de Dumont \`a 
deux variables $B_n(x,y)$ �tudi�s dans [DR2]. En outre, gr�ce aux propri\'et\'es
de la fraction continue formelle $\G (x,y,z,\B x,\B y,\B z;t)$ et
compte-tenu du Th\'eor\`eme 5, on a les identit\'es suivantes :
$$ \eqalign{
B_n(x,y)&=\G _n(x,1,1,y,1,1)=\G _n(1,x,1,1,y,1)\cr
&=\G _n(1,1,x,1,1,y)=\G _n(x,y,1,1,1,1)=\G _n(1,1,1,x,y,1). \cr
}$$
Ce qui nous donne le r�sultat suivant. 
\th Corollaire 9
\enonce On a, pour tout $n\ge 1$, les identit\'es :
$$
\eqalign{
B_n(x,y)&=\sum x^{\mi(F)}y^{\mp(F)}=\sum x^{\fd(F)}y^{\fnd(F)}=
          \sum x^{\sd(F)}y^{\snd(F)}\cr
          &=\sum x^{\mi(F)}y^{\fd(F)}=\sum x^{\mp(F)}y^{\fnd(F)}\cr
}$$
o\`u les sommations sont \'etendues \`a tous les escaliers $F$ 
de taille $n$.
\endth
{\it Remarque} : La 1-i�re �galit� a \'et\'e d�j� �tablie 
dans [DR2].
\medskip
D'autres interpr\'etations combinatoires pour les nombres 
de Genocchi $G_{2n}$ et les nombres de Genocchi m\'edians $H_{2n+1}$
s'en d�duisent. Rappelons tout d'abord que les nombres de Genocchi
m\'edians $H_{2n+1}$ sont d\'efinis comme suit :\par\noindent
Soit $(g_{k,n})$ la matrice de Seidel associ\'ee aux nombres de
 Genocchi $G_{2n}$ , \ie,\  les $g_{k,n}$ sont d\'efinis par 
la r\'ecurrence :
$$
\system{
g_{0,0}&=&0,\quad g_{0,1}=1,\quad g_{0,2n}=(-1)^nG_{2n},\quad
 g_{0,2n+1}=0, \qquad (n\ge 1)\cr
g_{k,n}&=&g_{k-1,n}+g_{k-1,n+1}, \qquad(k\ge 1).\cr
}
$$
On d\'efinit les nombres de Genocchi m\'edians par $H_{2n+1}=(-1)^n
g_{n,n+1}$ [B].\par
Consid\'erons alors les polyn�mes de Gandhi $Q_n(x)$ et
de Dumont $H_n(x)$ d\'efinis par
$$
\system{
Q_0(x)&=&1,\cr
Q_n(x)&=&x^2Q_{n-1}(x+1)-(x-1)^2Q_{n-1}(x), \qquad (n\ge 1)\cr
}$$
$$\system{
H_1(x)&=&x,\cr
H_n(x)&=&x(x+1)[H_{n-1}(x+1)-H_{n-1}(x)], \qquad (n\ge 2).\cr
}$$
En comparant avec la r\'ecurrence d\'efinissant les $B_n(x,y)$,
on a :
$$
Q_{n-1}(x)=B_n(x-1,x-1)\quad \hbox{et} \quad H_{n+1}(x)=
x(x+1)B_n(x,x+1) \qquad (n\ge 1).
$$
\pc Gandhi| a conjectur� que $Q_n(1)=G_{2n+2}$ et cette conjecture
 a �t� d�montr�e par \pc Carlitz| [C1], et par \pc Riordan|
et \pc Stein| [RS]. D'autre part, nous avons d�montr� dans [DR1] que
$H_n(1)=H_{2n+1}$. En appliquant ainsi le corollaire 9 et
en remarquant que $2B_n(1,2)=B_{n+1}(0,1)$,
on obtient les interpr�tations suivantes.
\tha Corollaire 10
\enonce
(i) $G_{2n}$ est \'egal au nombre d'escaliers de taille $n$ sans point
fixe (resp. surfixe).\par
(ii) $H_{2n+1}$ est \'egal au nombre d'escaliers de taille $n$ dont tous
les points fixes (resp. surfixes)sont non doubl\'es.\par
(iii) $H_{2n+1}$ est \'egal au nombre d'escaliers de taille $n$ dont tous
les points maximaux, \`a l'exception du point $(2n-1,2n)$ (resp.
$(2n,2n)$) sont d'abscisses paires (resp. impaires).
\endth
Nous d\'emontrons les th\'eor\`emes 3, 4 et 5 respectivement aux
paragraphes 2, 3 et 4.
\sectiona
2. Caract�risation des polyn�mes $\Gamma_n(x,y,z,\overline x,\overline y,  
\overline z).$
\endsection
Notons $\E_n$ l'ensemble de tous les escaliers de taille $n$ et consid�rons
l'application restriction $r : \E_n \rightarrow \E_{n-1},\ F \mapsto G=r(F)$
telle que, pour tout $i\in [2n-2], g(i)=inf(f(i),2n-2)$.\par
Si $i$ (resp. $p$) est le nombre de points maximaux d'abscisses impaires
(resp. paires) de $F$, le nombre $l$ (resp. $m$) de points maximaux 
d'abscisses impaires (resp. paires) de $G$ est au moins �gal � $i-1$
(resp. $p-1$) et de plus $l+m\geq i+p-1$. D'autre part, le nombre de points
fixes (resp. surfixes) de $G$ d�pend de la position du point d'abscisse
$2n-2$ (resp. $2n-3$) de $F$ (voir Fig. 1, par exemple). 6 cas sont �
distinguer.
{\parindent=.5cm
\item {(1)} Si $(2n-3,2n)$ et $(2n-2,2n)$ sont des points maximaux de
$F$, alors
$$\displaylines{
\mi(G)\geq \mi(F)-1,\ \fd(G)=\fd(F),\ \snd(G)=\snd(F),\cr
\mp(G)\geq \mp(F)-1,\ \mi(G)+\mp(G)\geq \mi(F)+\mp(F)-1,\cr
\fnd(G)=\fnd(F),\ \sd(G)=\sd(F).\cr
}$$
\item {(2)} Si $(2n-3,2n-2)$ et $(2n-2,2n-2)$ sont respectivement
des points surfixe et fixe de $F$, alors
$$\displaylines{
\mi(G)\geq \mi(F),\ \fd(G)=\fd(F)-1,\ \snd(G)=\snd(F),\cr
\mp(G)\geq \mp(F),\ \fnd(G)=\fnd(F),\ \sd(G)=\sd(F)-1.\cr
}$$
\item {(3)} Si $(2n-3,2n)$ est un point maximal de $F$ et $(2n-2,2n-2)$
un point fixe non doubl�, alors
$$\displaylines{
\mi(G)=\mi(F)-1,\ \fd(G)=\fd(F),\ \snd(G)=\snd(F),\cr
\mp(G)=\mp(F),\ \fnd(G)=\fnd(F)-1,\ \sd(G)=\sd(F).\cr
}$$
\item {(4)} Si $(2n-3,2n)$ est un point maximal de $F$ et $(2n-2,2n-2)$
un point fixe doubl�, alors
$$\displaylines{
\mi(G)\geq \mi(F)-1,\ \fd(G)=\fd(F)-1,\ \snd(G)=\snd(F),\cr
\mp(G)\geq \mp(F),\ \mi(G)+\mp(G)\geq \mi(F)+\mp(F),\cr
\fnd(G)=\fnd(F),\ \sd(G)=\sd(F).\cr
}$$
\item {(5)} Si $(2n-2,2n)$ est un point maximal de $F$ et $(2n-3,2n-2)$
un point surfixe non doubl�, alors
$$\displaylines{
\mi(G)=\mi(F),\ \fd(G)=\fd(F),\ \snd(G)=\snd(F)-1,\cr
\mp(G)=\mp(F)-1,\ \fnd(G)=\fnd(F)-1,\ \sd(G)=\sd(F).\cr
}$$
\item {(6)} Si $(2n-2,2n)$ est un point maximal de $F$ et $(2n-3,2n-2)$
un point surfixe doubl�, alors
$$\displaylines{
\mi(G)\geq \mi(F),\ \fd(G)=\fd(F),\ \snd(G)=\snd(F),\cr
\mp(G)\geq \mp(F)-1,\ \mi(G)+\mp(G)\geq \mi(F)+\mp(F),\cr
\fnd(G)=\fnd(F),\ \sd(G)=\sd(F)-1.\cr
}$$
\par}
\medskip
Notons $E_{n,i,j,k,p,q,r}$ le sous-ensemble de $\E_n$ 
form\'e des escaliers $F$ tels que 
$$
\mi(F)=i-1,\, \fd(F)=j,\, \snd(F)=k,\, \mp(F)=p-1,\, 
\fnd(F)=q,\, \sd(F)=r,
$$
$E_n^{(l)}$ l'ensemble des $F\in E_{n,i,j,k,p,q,r}$ v\'erifiant
la condition (l) ci-dessus \ $(l=1,2,\ldots,6)$.
\medskip
R\'eciproquement, soit $G$ un escalier de taille $n-1$. 
Un ant\'ec\'edent $F$ de $G$ dans $E_{n,i,j,k,p,q,r}$ par l'
application $r$ est enti\`erement
d\'etermin\'e par le choix des points maximaux de $G$ qu'on remonte
sur la ligne $2n$ pour qu'ils soient des points maximaux de $F$ 
(voir par exemple Fig. 2 et 3).
 D'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede,

(i) si $G\in E_{n-1,l,j,k,m,q,r} (l\ge i-1,m\ge p-1,l+m\ge i+p-1),
F\in E_n^{(1)}$ et par suite le nombre d'ant\'ec\'edents
de $G$ est \'egal au nombre de fa\c cons de choisir $i-2$ points
parmi ses $l-1$ points maximaux d'abscisses impaires $\ne 2n-3$ 
et $p-2$ points parmi ses $m-1$ points maximaux d'abscisses
paires $\ne 2n-2$, \par
soit ${l-1\choose i-2}{m-1\choose p-2}$ ant\'ec\'edents. Par suite
\vskip 2mm
$\hfill|E_n^{(1)}|=\displaystyle\sum_{l+m\ge i+p-1}{l-1\choose i-2}{m-1\choose p-2}
|E_{n-1,l,j,k,m,q,r}|.\hfill$
\vskip 2mm
(ii) si $G\in E_{n-1,l,j-1,k,m,q,r-1} (l\ge i, m\ge p), F\in  E_n^{(2)}$.
 Par cons\'equent, $G$ admet
${l-1\choose i-1}{m-1\choose p-1}$ ant\'ec\'edents.
D'o\`u
\vskip 2mm
$\hfill|E_n^{(2)}|=\displaystyle\sum_{l,m}
{l-1\choose i-1}{m-1\choose p-1}|E_{n-1,l,j-1,k,m,q,r-1}|.\hfill$
\vskip 2mm
(iii) si $G\in E_{n-1,i-1,j,k,p,q-1,r}$, $F\in E_n^{(3)}$.
 Dans ce cas, $G$ n'a qu'un seul ant\'ec\'edent. Par suite
\vskip 2mm
$\hfill|E_n^{(3)}|=|E_{n-1,i-1,j,k,p,q-1,r}|.\hfill$
\vskip 2mm
(iv) si $G\in E_{n-1,l,j-1,k,m,q,r} (l\ge i-1,m\ge p,l+m\ge i+p)$,
alors $F\in  E_n^{(4)}$.
 Ainsi $G$ a ${l-1\choose i-2}{m-1\choose p-1}$ ant\'ec\'edents (Fig 2). 
Par suite 
\vskip 2mm
$\hfill|E_n^{(4)}|=\displaystyle\sum_{l+m\ge i+p}{l-1\choose i-2}
{m-1\choose p-1}|E_{n-1,l,j-1,k,m,q,r}|.\hfill$
\vskip 2mm
(v) si $G\in E_{n-1,i,j,k-1,p-1,q,r}$, elle  n'a qu'un seul 
ant\'ec\'edent $F$ qui appartient \`a $E_n^{(5)}$. D'o\`u :
\vskip 2mm
$\hfill|E_n^{(5)}|=|E_{n-1,i,j,k-1,p-1,q,r}|.\hfill$
\vskip 2mm
(vi) si $G\in E_{n-1,l,j,k,m,q,r-1} (l\ge i,m\ge p-1,l+m\ge i+p)$,
$F\in  E_n^{(6)}$ et
$G$ admet ${l-1\choose i-1}{m-1\choose p-2}$ ant\'ec\'edents (Fig 3). On a
alors :
\vskip 2mm
$\hfill|E_n^{(6)}|=\displaystyle\sum_{l+m\geq i+p}{l-1\choose i-1}{m-1\choose p-2}
|E_{n-1,l,j,k,m,q,r-1}|.\hfill$ 
\vskip 2mm
Puisque \quad $|E_{n,i,j,k,p,q,r}|=|E_n^{(1)}|+|E_n^{(2)}|+\cdots +
|E_n^{(6)}|$,\ on a l'identit\'e suivante :
\vskip 2mm
$\hfill|E_{n,i,j,k,p,q,r}|=
\sum_{l,m}{l-1\choose i-2}{m-1\choose p-2}|E_{n-1,l,j,k,m,q,r}|
-|E_{n-1,i-1,j,k,p-1,q,r}|\hfill$
\vskip 2mm
$\hfill+\sum_{l,m}{l-1\choose i-1}{m-1\choose p-1}|E_{n-1,l,j-1,k,m,q,r-1}|
+|E_{n-1,i-1,j,k,p,q-1,r}|\quad$
\vskip 2mm
$\hfill+\sum_{l,m}{l-1\choose i-2}{m-1\choose p-1}|E_{n-1,l,j-1,k,m,q,r}|
-|E_{n-1,i-1,j-1,k,p,q,r}|\quad$
\vskip 2mm
$\hfill\quad+|E_{n-1,i,j,k-1,p-1,q,r}|\hfill\hfill$
\vskip 2mm
$\hfill+\sum_{l,m}{l-1\choose i-1}{m-1\choose p-2}|E_{n-1,l,j,k,m,q,r-1}|
-|E_{n-1,i,j,k,p-1,q,r-1}|.\quad$
\vskip 2mm
Comme \qquad
$\G _n(x,y,z,\B x,\B y,\B z)=\sum |E_{n,i,j,k,p,q,r}|
x^{i-1}y^j z^k\B x^{p-1}\B y^q\B z^r,$\par\noindent 
alors nous avons :
\vskip 2mm
$\quad\G _n(x,y,z,\B x,\B y,\B z)=x\B x\sum |E_{n-1,l,j,k,m,q,r}|
(x+1)^{l-1}y^j z^k(\B x+1)^{m-1}\B y^q\B z^r$
\vskip 1mm
$\hfill-\sum |E_{n-1,i-1,j,k,p-1,q,r}|
x^{i-1}y^j z^k\B x^{p-1}\B y^q\B z^r\qquad$ 
\vskip 1mm
$\hfill+\sum |E_{n-1,l,j-1,k,m,q,r-1}|
(x+1)^{l-1}y^j z^k(\B x+1)^{m-1}\B y^q\B z^r\qquad$ 
\vskip 1mm
$\hfill+\sum |E_{n-1,i-1,j,k,p,q-1,r}|
x^{i-1}y^j z^k\B x^{p-1}\B y^q\B z^r\qquad$
\vskip 1mm
$\hfill+x\sum |E_{n-1,l,j-1,k,m,q,r}|
(x+1)^{l-1}y^j z^k(\B x+1)^{m-1}\B y^q\B z^r\qquad$
\vskip 1mm
$\hfill-\sum |E_{n-1,i-1,j-1,k,p,q,r}|
x^{i-1}y^j z^k\B x^{p-1}\B y^q\B z^r\qquad$
\vskip 1mm
$\hfill+\sum |E_{n-1,i,j,k-1,p-1,q,r}|
x^{i-1}y^j z^k\B x^{p-1}\B y^q\B z^r\qquad$ 
\vskip 1mm
$\hfill+\B x\sum |E_{n-1,l,j,k,m,q,r-1}|
(x+1)^{l-1}y^j z^k(\B x+1)^{m-1}\B y^q\B z^r\qquad$ 
\vskip 1mm
$\hfill-\sum |E_{n-1,i,j,k,p-1,q,r-1}|
x^{i-1}y^j z^k\B x^{p-1}\B y^q\B z^r,\qquad$ 
\vskip 1mm
soit
$$\displaylines{
\quad\G _n(x,y,z,\B x,\B y,\B z)=(x+\B z)(y+\B x)\G _{n-1}
(x+1,y,z,\B x+1,\B y,\B z)\hfill\cr
\hfill+(x(\B y-y)-\B x(\B z-z)-x\B x)
\G _{n-1}(x,y,z,\B x,\B y,\B z).\qquad\cr}$$
On obtient ainsi le th\'eor\`eme 3. \qed
\sectiona
3. D\'emonstration du th\'eor\`eme 4.
\endsection
Soit $(a_{n,k})$ et $(b_{n,k})$ deux suites de polyn�mes
d\'efinies respectivement par :
$$
\system{
a_{0,k}&=&1,\cr
a_{n,k}&=&[(x+k)(\B y-y)-(\B x+k)(\B z-z)-(x+k)(\B x+k)]a_{n-1,k}\cr
        & &+(x+\B z+k)(y+\B x+k)a_{n-1,k+1},\cr
}\leqno (3)
$$
$$
\system{
b_{0,0}&=&1,\quad b_{n,k}=0\ si\ k\notin [0,n],\cr
b_{n,k}&=&b_{n-1,k-1}+[(x+k)(\B y+k)+(y+k)(\B z+k)+
(z+k)(\B x+k)\cr
&&-k(k+1)]b_{n-1,k}+(k+1)(\B x+y+k)(\B y+z+k)
(\B z+x+k)b_{n-1,k+1}.\cr
}\leqno (4)
$$
\th Lemme 9
\enonce On a :
$$
a_{n,k}=\sum_{0\le j\le k}{k!\over (k-j)!}(\B y+z)_jb_{n,j}.\leqno (5)
$$
\endth 
{\sl D\'emonstration} : Il est \'evident que le lemme est vrai pour 
$n=0$. Supposons-le vrai pour $n=i-1$ et montrons-le pour $n=i$.\par
L'hypoth\`ese de r\'ecurrence et la relation (3) nous 
permettent d'\'ecrire pour $n=i$ :
$$
\eqalign{
a_{i,k}=&(x+\B z+k)(y+\B x+k)\sum_{0\le j\le k+1}{(k+1)!\over 
(k+1-j)!}(\B y+z)_jb_{i-1,j}\cr
+[(x+k)&(\B y-y)-(\B x+k)(\B z-z)-(x+k)(\B x+k)]
\sum_{0\le j\le k}{k!\over (k-j)!}(\B y+z)_jb_{i-1,j}\cr
=&\sum_{0\le j\le k+1}{k!\over (k+1-j)!}(\B y+z)_j\Bigl(
(k+1)(x\B y+y\B z+z\B x+k\B y+kz)\cr
&-j\bigl((x+k)(\B y-y)-
        (\B x+k)(\B z-z)-(x+k)(\B x+k)\bigr)\Bigr)b_{i-1,j}.\cr
}
$$
Or, d'apr\`es la relation (4), le second membre de (5) 
devient pour $n=i$ :
$$
\eqalign{
&\sum_{0\le j\le k}{k!\over (k-j)!}(\B y+z)_jb_{i,j}=
\sum_{1\le j\le k}{k!\over (k-j)!}(\B y+z)_jb_{i-1,j-1}\cr
+&\sum_{0\le j\le k}{k!\over (k-j)!}(\B y+z)_j\cr
&\hfill \bigl((x+j)(\B y+j)\cr
&+(y+j)(\B z+j)+(z+j)(\B x+j)-j(j+1)\bigr)b_{i-1,j}\cr
&+\sum_{0\le j\le k}{k!\over (k-j)!}(\B y+z)_j(j+1)(\B x+y+j)
(\B y+z+j)(\B z+x+j)b_{i-1,j+1}\hfill\cr
&=\sum_{0\le j\le k+1}{k!\over (k+1-j)!}
(\B y+z)_j\alpha _jb_{i-1,j}\cr
}$$
o\`u
$$ \eqalign{
 \alpha _j=&(k+1)(x\B y+y\B z+z\B x+k\B y+kz)\cr
&-j[(x+k)(\B y-y)-(\B x+k)(\B z-z)-(x+k)(\B x+k)],\cr
}$$
ce qui ach\`eve la d\'emonstration du lemme. \qed

Posons maintenant, pour $k\ge 0$,
$$
A_k(t)=1+a_{1,k}t+a_{2,k}t^2+\cdots
+a_{n,k}t^n+\cdots
$$
et
$$
B_k(t)=t^k+b_{k+1,k}t^{k+1}+
b_{k+2,k}t^{k+2}+\cdots+b_{n,k}t^n+\cdots
$$
D'apr\`es le lemme, on a :
$$
A_0(t)=B_0(t).\leqno (6)
$$
Multiplions, d'autre part, les deux membres de (3) par $t^n$ puis
sommons sur $n$. Nous avons : 
$$ A_k(t)={1+(x+\B z+k)(y+\B x+k)tA_{k+1}(t)\over
 1-[(x+k)(\B y-y)-(\B x+k)(\B z-z)-(x+k)(\B x+k)]t}\cdot
$$
Par it\'eration, on a :
$$
A_0(t)=
\sum_{n\ge 0}{(x+\B z)_n
(y+\B x)_nt^n\over \prod_{o\le k\le n}[1-\bigl((x+k)
(\B y-y)-(\B x+k)(\B z-z)-(x+k)(\B x+k)\bigr)t]}\cdot \leqno (7)
$$
De l'autre c�t\'e, la r\'ecurrence (4) nous donne :
$$
(1-(x\B y+y\B z+z\B x)t)B_0(t)=
1+(\B x+y)(\B y+z)(\B z+x)tB_1(t)
$$
et pour $j\ge 1$
$$ \eqalign{
[1-((x+j)(\B y+j)&+(y+j)(\B z+j)+(z+j)(\B x+j)-j(j+1))t]
B_j(t)=\cr
&tB_{j-1}(t)+(j+1)(\B x+y+j)(\B y+z+j)(\B z+x+j)tB_{j+1}(t).\cr
}$$
Par cons\'equent,
$$
B_0(t)={1\over 1-(x\B y+y\B z+z\B x)t-(\B x+y)
(\B y+z)(\B z+x)t(B_1(t)/B_0(t))}
$$
et pour $j\ge 1$
$$ 
{B_j(t)\over B_{j-1}(t)}=
{t\FR 1-\beta _jt-(j+1)(\B x+y+j)
(\B y+z+j)(\B z+x+j)t{\strut B_{j+1}(t)\FR B_j(t)}}
$$
o\`u\quad $\beta _j=(x+j)(\B y+j)+(y+j)(\B z+j)+
(z+j)\B x+j)-j(j+1)$.\par
Par it\'eration, on trouve $B_0(t)=
(1/t)\G (x,y,z,\B x,\B y,\B z;t)$.\par
Compte-tenu des relations (6) et (7), nous obtenons
 le th\'eor\`eme 4. \qed
\sectiona
4. D\'emonstration du th\'eor\`eme 5
\endsection
On d\'eduit du th\'eor\`eme 4 la relation 
$$ \eqalign{
[1-(x(\B y-y)-\B x(\B z-z)&-x\B x)t]\G (x,y,z,\B x,\B y,\B z;t)\cr
&=t[1+(x+\B z)(y+\B x)\G (x+1,y,z,\B x+1,\B y,\B z;t)].\cr
}$$
En posant $\G (x,y,z,\B x,\B y,\B z;t)=\sum_{n\ge 1}
\B \G _n(x,y,z,\B x,\B y,\B z)t^n$, on a alors :
$$
\eqalign{
\sum_{n\ge 1}\B \G _n(x,y,z,\B x,\B y,\B z)t^n&=t+(x+\B z)(y+\B x)
\sum_{n\ge 1}\B \G _n(x+1,y,z,\B x+1,\B y,\B z)t^{n+1}\cr
&+[x(\B y-y)-\B x(\B z-z)-x\B x]\sum_{n\ge 1}
\B \G _n(x,y,z,\B x,\B y,\B z)t^{n+1}\cr
}$$
En identifiant les c\oe fficients de $t^n$ des deux membres de cette
identit\'e, on voit que $\B \G _n(x,y,z,\B x,\B y,\B z)$ v\'erifie
la m�me r\'ecurrence que $\G _n(x,y,z,\B x,\B y,\B z)$. Il s'ensuit
que $\B \G _n(x,y,z,\B x,\B y,\B z)=\G _n(x,y,z,\B x,\B y,\B z)$ 
pour tout $n\ge 1$. \qed

\def\tvi{\vrule height 10pt depth 4pt width 0pt}
\def\tv{\tvi\vrule}
\def\th{\vrule height 0.2pt width 1.7em}
\def\thi{\vrule height 0.2pt width 0pt}
\def\cc#1{$\hfill#1\hfill$}
\def\ll#1{$\hskip 13pt #1$}
\def\dd#1{$\hfill#1$}
\setbox10=\vbox{\offinterlineskip
\cleartabs
\+\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\cr
\+\tv\cc{\times}&\tv&\tv&\tv&\tv&\tv&\tv\cc{\times}&
\tv\cc{\times}&\tv\cc{\times}&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\cr
\+ \th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\cr
\+\tv&\tv&\tv&\tv&\tv\cc{\times}&\tv&\tv&\tv&\tv\cr
\+\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th\cr
\+\tv&\tv&\tv&\tv&\tv&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\th&\th&\th&\th&\th&\th\cr
\+\tv&\tv&\tv\cc{\times}&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\th&\th&\th&\th\cr
\+\tv&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\th&\th\cr
\+\tvi\cr
\+\tvi&\tvi&\tvi&$F\in E_{5,3,1,0,2,2,1}$\cr
}
\setbox20=\vbox{\offinterlineskip
\cleartabs
\+\tvi\cr
\+\tvi&$\longrightarrow$&\thi&\cr
\+\tvi\cr\+\tvi\cr\+\tvi\cr\+\tvi\cr
}
\setbox30=\vbox{\offinterlineskip
\cleartabs
\+ \th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\cr
\+\tv\cc{\otimes}&\tv&\tv&\tv&\tv\cc{\times}&\tv&
\tv\cc{\otimes}&
\tv\cc{\otimes}&\tv\cr
\+\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th\cr
\+\tv&\tv&\tv&\tv&\tv&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\th&\th&\th&\th&\th&\th\cr
\+\tv&\tv&\tv\cc{\times}&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\th&\th&\th&\th\cr
\+\tv&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\th&\th\cr
\+\tvi\cr
\+\tvi&\tvi&$G\in E_{4,3,1,0,1,2,1}$\cr
}
\setbox40=\vbox{\offinterlineskip
\cleartabs
\+\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\cr
\+\tv\cc{\times}&\tv&\tv&\tv&\tv&\tv&\tv\cc{\times}&
\tv&\tv\cc{\times}&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\cr
\+\tv&\tv&\tv&\tv&\tv\cc{\times}&\tv&\tv&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th\cr
\+\tv&\tv&\tv&\tv&\tv&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\th&\th&\th&\th&\th&\th\cr
\+\tv&\tv&\tv\cc{\times}&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\th&\th&\th&\th\cr
\+\tv&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\th&\th\cr
}
\setbox50=\vbox{\offinterlineskip
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\+\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\cr
\+\tv&\tv&\tv&\tv&\tv\cc{\times}&\tv&\tv\cc{\times}&
\tv&\tv\cc{\times}&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\cr
\+\tv\cc{\times}&\tv&\tv&\tv&\tv&\tv&\tv&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th\cr
\+\tv&\tv&\tv&\tv&\tv&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\th&\th&\th&\th&\th&\th\cr
\+\tv&\tv&\tv\cc{\times}&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\th&\th&\th&\th\cr
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\+\th&\th\cr
}
\setbox60=\vbox{\offinterlineskip
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\tv\cc{\times}&\tv\cc{\times}&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\cr
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\+\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th\cr
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}
\setbox70=\vbox{\offinterlineskip
\cleartabs
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\tv\cc{\times}&\tv\cc{\times}&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\cr
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\tv&\tv\cc{\times}&\tv&\tv\cr
\+\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th\cr
\+\tv&\tv&\tv&\tv&\tv&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\th&\th&\th&\th&\th&\th\cr
\+\tv&\tv&\tv\cc{\times}&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\th&\th&\th&\th\cr
\+\tv&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\th&\th\cr
}
\vskip 2mm
$$\box10\quad\box20\quad\box30$$
\vskip 2mm
\centerline{Fig. 1}
\smallskip
$$\box40\quad\box50$$
\centerline{Ant\'ec\'edents de $G$ dans $E_{,5,3,2,0,1,2,1}$}
\vskip 2mm
\centerline{Fig 2}
\smallskip
$$\box60\quad\box70$$
\centerline{Ant\'ec\'edents de $G$ dans $E_{,5,2,1,0,2,2,2}$}
\vskip 2mm
\centerline{Fig 3}


\vfill\vfill\eject
\ctitre
BIBLIOGRAPHIE
\endctitre
{\parindent 1cm
\item{[B]} D. \pc Barsky|. --- 
{\sl Congruences pour les nombres de Genocchi de deuxi\`eme
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\par}
\vskip 20pt
{\obeylines{
\hskip 7cm D\'epartement de Math\'ematiques
\hskip 7cm Universit\'e Louis-Pasteur
\hskip 7cm 7, rue Ren\'e Descartes
\hskip 7cm 67084 Strasbourg Cedex, France}
}
  
\bye 
