\documentclass[12pt]{article} 
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\newtheorem{example}{Exemple}[section]
\newtheorem{theorem}[example]{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{corollary}[example]{Corollaire}
\newtheorem{definition}[example]{D\'efinition}
\newtheorem{algorithm}[example]{Algorithme}
\newtheorem{lemma}[example]{Lemme}
\newtheorem{proposition}[example]{Proposition}
\def\cqfd{\hfill \Box \bigskip}
\title{TABLEAUX DE DOMINOS, FONCTIONS $H$ ET PLETHYSMES}
\author{\sc Christophe CARR\'E\thanks{LIR, Universit\'e de Rouen, Place E. Blondel, Boite Postale 118, 76134 Mont-Saint-Aignan Cedex.\ \  
\hskip 2cm {\it E-mail:} carre@litp.ibp.fr}
\  et Bernard LECLERC\thanks{L.I.T.P., Universit\'e Paris 7, 2 Place Jussieu, 75251 Paris Cedex 05.
\ {\it E-mail:} bl@litp.ibp.fr}}
\date{}
\begin{document}
\newfont{\rml}{cmu10}
\newfont{\rmL}{cmr12}
\maketitle
\bigskip\bigskip
\begin{abstract}
We present a new family of symmetric functions, denoted by $H_I(q)$, defined in terms
of domino tableaux. These functions which depend on a parameter $q$, specialize to 
Schur $S$-functions for $q=0$, to a product of two $S$-functions for $q=1$, and for
$q=-1$ (when $I$ is a double partition) to a plethysm. This allows to split the
square of a Schur function into its symmetric and antisymmetric parts, \it i.e. \rm
to give a combinatorial expression of the expansion on the basis of Schur functions
of the plethysms $S_2(S_I)$ and $\Lambda_2(S_I)$.

\medskip
\centerline{\bf R\'esum\'e}

\medskip
Nous pr\'esentons une nouvelle famille de fonctions sym\'etriques, not\'ees $H_I(q)$, 
d\'efinies en termes de tableaux de dominos. Ces fonctions
qui d\'ependent d'un para\-m\`e\-tre $q$, se sp\'ecialisent pour $q=0$ en les fonctions
$S$ de Schur, pour $q=1$ en un produit de deux fonctions $S$, et pour $q=-1$ (lorsque $I$
est une partition double) en un pl\'ethysme. Ceci permet de s\'eparer la partie sym\'etrique
et la partie antisym\'etrique du carr\'e d'une fonction de Schur, \it i.e. \rm de donner
une expression combinatoire du d\'eveloppement sur la base des fonctions $S$ des pl\'ethysmes
$S_2(S_I)$ et $\Lambda_2(S_I)$.
\end{abstract}
\vskip 1cm

\section{Introduction}
Les vecteurs de poids de la repr\'esentation irr\'eductible $V_I$ de $GL(n,C)$ peuvent
\^etre cod\'es par les tableaux de Young de forme $I$ sur l'alphabet $\{1,\,2,\,\ldots \,n\,\}$.
Le poids d'un tel tableau $t$ est alors le mon\^ome $a^t = a_1^{j_1}a_2^{j_2}\ldots a_n^{j_n}$,
o\`u $J = (j_1,\,j_2,\,\ldots \,,\,j_n)$ est l'\'evaluation de $t$. En sommant ces mon\^omes
on obtient le caract\`ere de $V_I$, c'est-\`a-dire la fonction de Schur $S_I$ (voir Section 2).

\smallskip

Le but de cet expos\'e est d'introduire de nouvelles fonctions, not\'ees $H_I$, obtenues en
rempla\c{c}ant dans la construction pr\'ec\'edente les tableaux de Young par des tableaux de dominos.
Une bijection due \`a Stanton et White \cite{SW} montre que les tableaux de dominos correspondent
\`a des couples de tableaux de Young ordinaires. On peut donc les voir comme les vecteurs de
poids du produit tensoriel de deux repr\'esentations irr\'eductibles de $GL(n,C)$.

\smallskip

Le premier probl\`eme qui se pose est d'identifier les tableaux de dominos correspondant aux 
vecteurs de plus haut poids. Ces tableaux, que nous appellerons tableaux de Yamanouchi, sont 
d\'ecrits dans la Section 2. Nous pouvons ainsi d\'ecomposer ce produit tensoriel en ses 
composantes irr\'eductibles, et exprimer les multiplicit\'es (coefficients de Littlewood-Richardson)
comme des nombres de tableaux de dominos de Yamanouchi. 

\smallskip

En deuxi\`eme lieu, nous associons \`a tout tableau de dominos un demi-entier, appel\'e spin,
\'egal \`a la moiti\'e du nombre de ses dominos verticaux. Il se trouve que tous les tableaux
de dominos figurant dans une m\^eme composante irr\'eductible poss\`edent le m\^eme spin, de
sorte qu'un spin est en fait attach\'e \`a chacune de ces composantes. On d\'efinit alors la
fonction $H_I$ comme la somme des mon\^omes $q^{spin(T)}\,a^T$, o\`u $T$ parcourt l'ensemble des
tableaux de dominos de forme $2I$. Elle repr\'esente donc le caract\`ere du produit tensoriel
$V_{I_0}\otimes V_{I_1}$ gradu\'e par le spin, les partitions $I_0$ et $I_1$ \'etant d\'efinies
en fonction de $I=(i_1,\,\ldots \,,i_n)$ par $I_0 = (i_2,\,i_4,\,i_6,\,\ldots \,)$,
$I_1=(i_1,\,i_3,\,i_5,\,\ldots \,)$ (Th\'eor\`emes \ref{HS} et \ref{LR}).

\smallskip

Il est naturel de se demander quelle peut \^etre la signification du spin en th\'eorie des
repr\'esentations. Nous donnons une premi\`ere r\'eponse dans le cas particulier du carr\'e
tensoriel d'une repr\'esentation irr\'eductible $V_I$. Le Th\'eor\`eme \ref{H-1} et son
Corollaire \ref{PL} montrent en effet que si l'on s\'epare les composantes irr\'eductibles
de $V_I\otimes V_I$ suivant la parit\'e de leur spin, on obtient la d\'ecomposition de ce
carr\'e en ses parties sym\'etrique et anti-sym\'etrique
  \[ V_I\otimes V_I = S^2(V_I)\oplus \Lambda^2(V_I) \ . \]
Nous r\'esolvons ainsi un probl\`eme pos\'e par Littlewood \cite{L1} dans le contexte de 
la th\'eorie classique des invariants. Il est \`a noter que la r\`egle de Littlewood-Richardson,
qui fait jouer un r\^ole diff\'erent aux deux facteurs $V_I$, n'est pas adapt\'ee
\`a cette d\'ecomposition. La r\`egle que nous proposons traite les deux facteurs
sur un pied d'\'egalit\'e, ce qui permet de mettre \`a jour cette sym\'etrie cach\'ee.   
Il serait int\'eressant de d\'ecrire une correspondance explicite entre les deux
r\`egles.

\smallskip

Les th\'eor\`emes que nous venons de mentionner sont \'enonc\'es plus pr\'ecis\'ement et en
termes de fonctions sym\'etriques dans la Section 2. Le lecteur int\'eress\'e par les
constructions combinatoires permettant de les prouver est renvoy\'e \`a \cite{CL}, o\`u il
trouvera \'egalement des formulations plus g\'en\'erales et des r\'esultats compl\'ementaires.

\smallskip

La Section 3 indique plusieurs prolongements de cet expos\'e.

\bigskip

\centerline{\sc Remerciements}

\medskip

Ce travail doit beaucoup au soutien chaleureux du Phalanst\`ere de Combinatoire Alg\'e\-bri\-que
de Marne-la-Vall\'ee, dont nous voudrions remercier tous les membres, permanents et invit\'es,
J. D\'esarm\'enien, G. Duchamp, S. Kim, A. N. Kirillov, D. Krob, A. Lascoux, P. A. Picon,
C. Precetti, T. Scharf, M. P. Sch\"{u}tzenberger, J. Y. Thibon.

\smallskip

Les algorithmes relatifs \`a cet expos\'e ont \'et\'e impl\'ement\'es \`a l'aide du syst\`eme
de calcul formel $SYMMETRICA$ d\'evelopp\'e \`a Bayreuth par A. Kerber et A. Kohnert, en collaboration
avec le L.I.T.P. \cite{KKL}.

\section{Fonctions $H$ et pl\'ethysmes}
Rappelons pour commencer la d\'efinition des fonctions $S$ de Schur (voir \cite{Mcd}).
Fixons un ensemble
de variables $A=\{a_1,\,a_2,\, \ldots\,\}$. A chaque tableau de Young $t$ 
on associe un mon\^ome $a^t$ d\'efini par
\begin{equation}\label{MON}
 a^t = \prod_i a_i^{k_i} \ ,
\end{equation}
o\`u $k_i$ d\'esigne le nombre de bo\^{\i}tes de $t$ num\'erot\'ees $i$. Par exemple, si
 
      \setlength{\unitlength}{0.25pt}
      \centerline{
      \begin{picture}(350,250)(0,0)
      \put(100,0){\begin{picture}(200,250)
            \put(0,0){\framebox(50,50){1}}
            \put(50,0){\framebox(50,50){1}}
            \put(0,50){\framebox(50,50){2}}
            \put(50,50){\framebox(50,50){3}}
            \put(100,50){\framebox(50,50){7}}
            \put(150,50){\framebox(50,50){8}}
            \put(100,0){\framebox(50,50){1}}
            \put(150,0){\framebox(50,50){2}}
            \put(200,0){\framebox(50,50){4}}
            \put(0,100){\framebox(50,50){3}}
            \put(50,100){\framebox(50,50){4}}
            \put(0,150){\framebox(50,50){5}}
            \put(50,150){\framebox(50,50){6}}
          \end{picture}}
      \put(0,15){$t=$}
      \end{picture}
      }

\medskip
\noindent
le mon\^ome $a^t$ est \'egal \`a
$ a^t = a_1^3\, a_2^2\, a_3^2\, a_4^2\, a_5^1\, a_6^1\, a_7^1\, a_8^1 \ \ .$ 
La {\it forme} du tableau $t$, c'est-\`a-dire la suite des longueurs
de ses lignes est une {\it partition}, \it i.e. \rm  une suite croissante au sens large
d'entiers positifs $I=(i_1,\, \ldots\,,\,i_m)$. Dans l'exemple pr\'ec\'edent,
$I=(2,\,2,\,4,\,5)$. La fonction de Schur $S_I(A)$ est alors d\'efinie par
\begin{equation}\label{SF}
S_I(A)=\sum_t a^t \ ,
\end{equation}
la somme portant sur l'ensemble de tous les tableaux de Young de forme $I$.

\smallskip

Les fonctions $H_I$ sont obtenues en rempla\c{c}ant dans (\ref{SF}) les tableaux
de Young par des tableaux de dominos. Plus pr\'ecis\'ement, nous appellerons
{\it tableau de dominos de forme} $I$ un pavage de $I$ par des rectangles $2\times 1$
ou $1\times 2$ appel\'es {\it dominos}. Chaque domino est \'etiquet\'e par un entier
positif, et l'on demande que les \'etiquettes soient croissantes au sens large
dans les lignes, et croissantes au sens strict dans les colonnes (comme pour un
tableau de Young). Ainsi la Figure~\ref{TD}a repr\'esente un tableau de dominos de 
forme $(1,\,1,\,2,\,4,\,4)$, tandis que les Figures~\ref{TD}b et \ref{TD}c ne 
sont pas des tableaux de dominos.

\begin{figure}[h]
\setlength{\unitlength}{0.3pt}
\centerline{
\begin{picture}(850,400)(-50,-75)
\put(-50,0){\framebox(50,100){1}}
\put(0,0){\framebox(100,50){1}}
\put(0,50){\framebox(100,50){2}}
\put(100,0){\framebox(50,100){2}}
\put(-50,100){\framebox(100,50){3}}
\put(-50,150){\framebox(50,100){4}}
%
\put(300,0){\framebox(50,100){1}}
\put(350,0){\framebox(100,50){1}}
\put(350,50){\framebox(100,50){2}}
\put(300,100){\framebox(100,50){2}}
%
\put(600,0){\framebox(50,100){1}}
\put(650,0){\framebox(100,50){1}}
\put(650,50){\framebox(100,50){2}}
\put(750,0){\framebox(50,100){1}}
%
\put(25,-50){({\it a})}
\put(350,-50){({\it b})}
\put(675,-50){({\it c})}
\end{picture}
}
\caption{\label{TD}}
\end{figure}

On associe de m\^eme \`a chaque tableau de dominos $T$ un mon\^ome $a^T=\prod a_i^{k_i}$,
o\`u $k_i$ d\'esigne le nombre de dominos de $T$ \'etiquet\'es $i$. Soit $n$ le plus grand entier
tel que $k_n\not=0$. Le vecteur $(k_n,\,k_{n-1},\,\ldots \,,k_1)$
s'appelle l'{\it \'evaluation} de $T$. 
Enfin, on d\'efinit le
{\it spin} de $T$, comme la moiti\'e du nombre de ses dominos verticaux. Ainsi, 
l'\'evaluation du tableau $T$ de la Figure~\ref{TD}a est $(1,\,1,\,2,\,2)$, et nous avons
\[ a^T = a_1^2\,a_2^2\,a_3^1\,a_4^1\ ,\ \ \ spin(T)=3/2 \ .\]

Nous pouvons maintenant donner la
\begin{definition}
Soit $I=(i_1,\, \ldots\,,\,i_m)$ une partition. La fonction $H_I$ est d\'efinie par 
\begin{equation}
H_I(A,q) = \sum_T q^{spin(T)} \, a^T \ ,
\end{equation}
o\`u la somme porte sur tous les tableaux de dominos de forme $2I:=(2i_1,\, \ldots\,,\,2i_m)$.
\end{definition}

Il existe une bijection \'evidente entre les tableaux de dominos de forme $2I$ et de spin 0,
et les tableaux de Young de forme $I$. On en d\'eduit, compte tenu de (\ref{SF}), la
\begin{proposition}
Pour toute partition $I$, on a
\[ H_I(A,0) = S_I(A) \ .\]
\end{proposition}

\smallskip
Les th\'eor\`emes qui suivent sont moins \'evidents. Ils r\'esultent de diverses constructions
combinatoires pour lesquelles nous renvoyons le lecteur \`a \cite{CL}.

\begin{theorem}
Les fonctions $H_I(A,q)$ sont des fonctions sym\'etriques de l'ensemble de variables $A$.
\end{theorem}

Pour d\'ecrire le d\'eveloppement de ces fonctions sur la base des fonctions de Schur nous
aurons besoin de quelques d\'efinitions suppl\'ementaires.

\smallskip
La {\it lecture colonne} d'un tableau de dominos $T$ est le mot obtenu en lisant les colonnes 
successives de $T$ de haut en bas et de gauche \`a droite. Les dominos horizontaux, qui appartiennent
\`a deux colonnes cons\'ecutives $i$ et $i+1$, sont lus une fois seulement, lors de la lecture
de la colonne $i$. Par exemple, la lecture colonne du tableau $T$ de la Figure~\ref{TD}a est
$w=4\,3\,1\,2\,1\,2$. 

\smallskip
Un {\it tableau de dominos de Yamanouchi} est un tableau de dominos dont la lecture colonne
est un mot de Yamanouchi, {\it i.e.} un mot $w$ tel que tout facteur droit $w'$ de $w$ contient
plus de lettres $1$ que de lettres $2$ (au sens large), plus de lettres $2$ que de lettres $3$,
{\it etc.}.

\begin{example} {\rm La Figure~\ref{YAM} repr\'esente les huit tableaux de dominos de Yamanouchi
de forme $(2,\,2,\,2,\,4,\,4)$.

\begin{figure}[t]
\setlength{\unitlength}{0.3pt}
\centerline{
\begin{picture}(1100,350)(0,0)
\put(0,0){\framebox(50,100){1}}
\put(50,0){\framebox(50,100){1}}
\put(100,0){\framebox(50,100){1}}
\put(150,0){\framebox(50,100){1}}
\put(0,100){\framebox(50,100){2}}
\put(50,100){\framebox(50,100){2}}
\put(0,200){\framebox(100,50){3}}
%
\put(300,0){\framebox(50,100){1}}
\put(350,0){\framebox(50,100){1}}
\put(400,0){\framebox(50,100){1}}
\put(450,0){\framebox(50,100){1}}
\put(300,100){\framebox(100,50){2}}
\put(300,150){\framebox(100,50){3}}
\put(300,200){\framebox(100,50){4}}
%
\put(600,0){\framebox(50,100){1}}
\put(650,0){\framebox(50,100){1}}
\put(700,0){\framebox(100,50){1}}
\put(700,50){\framebox(100,50){2}}
\put(600,100){\framebox(100,50){2}}
\put(600,150){\framebox(50,100){3}}
\put(650,150){\framebox(50,100){3}}
%
\put(900,0){\framebox(50,100){1}}
\put(950,0){\framebox(50,100){1}}
\put(1000,0){\framebox(100,50){1}}
\put(1000,50){\framebox(100,50){2}}
\put(900,100){\framebox(100,50){2}}
\put(900,150){\framebox(100,50){3}}
\put(900,200){\framebox(100,50){4}}
%
\end{picture}
}

\setlength{\unitlength}{0.3pt}
\centerline{
\begin{picture}(1100,350)(0,0)
\put(0,0){\framebox(50,100){1}}
\put(50,0){\framebox(50,100){1}}
\put(100,0){\framebox(100,50){1}}
\put(100,50){\framebox(100,50){2}}
\put(0,100){\framebox(50,100){2}}
\put(50,100){\framebox(50,100){3}}
\put(0,200){\framebox(100,50){4}}
%
\put(300,0){\framebox(50,100){1}}
\put(350,0){\framebox(50,100){1}}
\put(400,0){\framebox(100,50){1}}
\put(400,50){\framebox(100,50){2}}
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\put(300,200){\framebox(100,50){5}}
%
\put(600,0){\framebox(100,50){1}}
\put(600,50){\framebox(100,50){2}}
\put(700,0){\framebox(100,50){1}}
\put(700,50){\framebox(100,50){2}}
\put(600,100){\framebox(50,100){3}}
\put(650,100){\framebox(50,100){3}}
\put(600,200){\framebox(100,50){4}}
%
\put(900,0){\framebox(100,50){1}}
\put(900,50){\framebox(100,50){2}}
\put(1000,0){\framebox(100,50){1}}
\put(1000,50){\framebox(100,50){2}}
\put(900,100){\framebox(100,50){3}}
\put(900,150){\framebox(100,50){4}}
\put(900,200){\framebox(100,50){5}}
%
\end{picture}
}
\caption{\label{YAM}}
\end{figure}
}
\end{example}

Nous pouvons maintenant \'enoncer le 
\begin{theorem}\label{HS}
Le d\'eveloppement de la fonction $H_I(A,q)$ sur la base des fonctions de Schur
est donn\'e par
\begin{equation}
H_I(A,q)=\sum_T q^{spin(T)}\,S(T) \ ,
\end{equation}
o\`u la somme porte sur les tableaux de dominos de Yamanouchi $T$ de forme $2I$, et o\`u
l'on d\'esigne par $S(T)$ la fonction de Schur index\'ee par l'\'evaluation de $T$.
\end{theorem}

\begin{example}
{\rm 
En lisant l'\'evaluation et le spin des huit tableaux de la Figure~\ref{YAM} on obtient
\[ H_{11122}(q) = q^3\,S_{124} + q^2\,S_{1114} + q^2\,S_{223} + (q+q^2)\,S_{1123} + q\,S_{11113} + q\,S_{1222} + S_{11122} \ . \]
}
\end{example}

Le lien entre les tableaux de dominos et la r\`egle de Littlewood-Richardson \cite{L2} \cite{Mcd} appara\^{\i}t
dans le th\'eor\`eme suivant, qui r\'esulte d'une bijection de Stanton et White entre tableaux
de dominos et couples de tableaux ordinaires \cite{SW} \cite{FS} \cite{CL}.
\begin{theorem}\label{LR}
Soit $I=(i_1,\,\ldots \,,i_n)$ une partition, et notons $I_0$ et $I_1$ les partitions
$I_0 = (i_2,\,i_4,\,i_6,\,\ldots \,)$, 
 $I_1=(i_1,\,i_3,\,i_5,\,\ldots \,)$. La sp\'ecialisation $q\rightarrow 1$ de $H_I(A,q)$ est
donn\'ee par
\begin{equation}
H_I(A,1)=S_{I_0}(A)\,S_{I_1}(A) \ .
\end{equation}
\end{theorem}

Compte tenu du Th\'eor\`eme~\ref{HS}, le Th\'eor\`eme~\ref{LR} montre que les coefficients
de Little\-wood-Richardson (ou nombres de Clebsch-Gordan)
$c_{I_0\,I_1}^{K}=(S_{I_0}\,S_{I_1}\,,\,S_K)$
sont des nombres de tableaux de dominos de Yamanouchi. Ceci s'\'etend aux coefficients de 
Littlewood-Richardson
plus g\'en\'eraux $c_{I\,J}^K$ pour lesquels la suite $(i_1,\,j_1,\,i_2,\,j_2,\,\ldots \,)$
n'est pas n\'ecessai\-re\-ment une partition 
({\it cf.} \cite{CL}).

Ainsi, les coefficients du d\'eveloppement de $H_I(A,q)$ sur la base des fonctions de Schur 
apparaissent-ils comme des $q$-analogues de coefficients de Littlewood-Richardson. Le th\'eor\`eme
suivant montre que ces $q$-analogues ont une signification alg\'ebrique int\'eressante.

\begin{theorem}\label{H-1}
Soit $I=(i_1,\,\ldots \,,i_n)$ une partition, et notons $I\vee I$ la partition doubl\'ee
\[ I\vee I=(i_1,\,i_1,\,i_2,\,i_2,\,\ldots \,i_n,\,i_n) \ . \]
Alors la sp\'ecialisation $q\rightarrow -1$ de $H_{I\vee I}(A,q)$ est \'egale au pl\'ethysme
\begin{equation}
H_{I\vee I}(A,-1) = (-1)^{\sum i_k}\ \Psi_2(S_I(A)) \ .
\end{equation}
\end{theorem}

Rappelons que le pl\'ethysme $\Psi_2(F(A))$ d'une fonction sym\'etrique $F$ n'est rien d'autre 
que la fonction $F$ en les carr\'es des variables
\begin{equation}
\Psi_2(F(a_1,\,\ldots \,,\,a_m)) = F(a_1^2,\,\ldots \,,\,a_m^2) \ .
\end{equation}
Ce pl\'ethysme peut aussi s'\'ecrire comme la diff\'erence entre la partie sym\'etrique et 
la partie antisym\'etrique du carr\'e de $F$, comme le montrent les \'equations suivantes
\begin{equation}\label{C1}
F(A)^2 = S_2(F(A)) + \Lambda_2(F(A))\ , 
\end{equation}
\begin{equation}\label{C2}
\Psi_2(F(A)) = S_2(F(A)) - \Lambda_2(F(A))\ .
\end{equation}
Nous renvoyons le lecteur \`a \cite{K} \cite{Mcd} pour de plus amples informations
sur les pl\'e\-thys\-mes.
On d\'eduit des Th\'eor\`emes~\ref{LR}, \ref{H-1} et des relations (\ref{C1}), (\ref{C2})
le

\begin{sloppypar}
\begin{corollary}[Expression combinatoire des pl\'ethysmes $S_2(S_I)$ et $\Lambda_2(S_I)$]\label{PL}
Soit $I$ une partition et notons
\[ S_2(S_I) = \sum_J \alpha_{IJ} S_J\ , \ \ \ \ \Lambda_2(S_I) =  \sum_J \beta_{IJ} S_J\ .\]
L'entier $\alpha_{IJ}$ {\rm (resp.} $\beta_{IJ}${\rm )} est \'egal au nombre de tableaux de dominos de 
Yamanouchi de forme $2I\vee 2I := (2i_1,\,2i_1,\,2i_2,\,2i_2,\,\ldots ,\,2i_n,\,2i_n)$ et
d'\'evaluation $J$, dont le
nombre de dominos horizontaux est $\equiv 0\ mod\ 4$ {\rm(resp.} $\equiv 2\ mod\ 4${\rm )}.
\end{corollary} 
\end{sloppypar}

\begin{example}{\rm
Choisissons $I=(1,\,2)$. Les huit tableaux de dominos de Yamanouchi de forme $(2,\,2,\,4,\,4)$
sont repr\'esent\'es par la Figure~\ref{EX}

\begin{figure}[h]
\setlength{\unitlength}{0.3pt}
\centerline{
\begin{picture}(1100,500)(0,-250)
\put(0,0){\framebox(50,100){1}}
\put(50,0){\framebox(50,100){1}}
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\put(900,-100){\framebox(100,50){4}}
\end{picture} 
}
\caption{\label{EX}}
\end{figure}

On d\'eduit du Th\'eor\`eme \ref{HS} et du Corollaire \ref{PL} les expressions suivantes
 \[ S_{12}\ S_{12}=S_{24}+S_{114}+S_{33}+2S_{123}+S_{1113}+S_{222}+S_{1122} \ , \]
  \[
    \left\{ \begin{array}{c}
    S_2(S_{12})=S_{24}+S_{123}+S_{1113}+S_{222}\ , \\
    \Lambda_2(S_{12})=S_{114}+S_{33}+S_{123}+S_{1122}\ .
    \end{array} \right.
  \]
}
\end{example}
\pagebreak
\section{Commentaires}

Mentionnons quelques prolongements de ce travail. 

\begin{enumerate}
\item D'autres identit\'es satisfaites par les fonctions $H$ sont \'etudi\'ees dans \cite{KLLT},
\`a savoir, une ``demi-formule de Pieri'', et des s\'eries g\'en\'eratrices qui g\'en\'eralisent
les identit\'es suivantes de Schur et Littlewood
\[ \sum_I S_I(A) = \prod_i{1\over 1-a_i}\prod_{i<j}{1\over 1-a_ia_j} \ ,\]
\[ \sum_I S_{I\vee I}(A) = \prod_{i<j}{1\over 1-a_ia_j}\ ,\]
\[ \sum_I S_{2I}(A) = \prod_{i\leq j}{1\over 1-a_ia_j}\ .\]
\item Les fonctions $H$ ont \'et\'e d\'ecouvertes \`a l'occasion de recherches sur les fonctions de 
Hall-Littlewood, et notamment de leurs sp\'ecialisations aux racines de l'unit\'e. Ainsi
le Th\'eor\`eme~\ref{H-1} est-il \`a comparer aux r\'esultats de \cite{LLT} dans le cas
$k=2$. Dans cette perspective, les fonctions $H$ d\'efinies dans cet expos\'e apparaissent
comme la premi\`ere \'etape d'une filtration des fonctions de Hall-Littlewood en une suite
croissante de polyn\^omes. Ce point de vue sera d\'evelopp\'e ult\'erieurement.
\end{enumerate}

\bigskip\bigskip

\begin{thebibliography}{ABCD}

\bibitem[\bf CL]{CL} {\sc C. Carr\'e et B. Leclerc}, {\it Splitting the square of a Schur function into
its symmetric and antisymmetric parts}, Rapport LITP 93.51, universit\'e Paris 7, 1993

\bibitem[\bf FS]{FS} {\sc S. Fomin et D. Stanton}, {\em Rim hook lattices}, Mittag-Leffler institute,
preprint No 23, 1991/92

\bibitem[\bf K]{K} {\sc A. Kerber}, Algebraic combinatorics via finite group actions,
Wissenschaftsverlag, Mannheim 1991

\bibitem[\bf KKL]{KKL} {\sc A. Kerber, A. Kohnert et A. Lascoux}, {\it SYMMETRICA, an object oriented
computer-algebra system for the symmetric group}, J. Symbolic Computation 14 (1992), 195-203

\bibitem[\bf KLLT]{KLLT} {\sc A. N. Kirillov, A. Lascoux, B. Leclerc et J.Y. Thibon}, {\it S\'eries
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\bibitem[\bf L1]{L1} {\sc D. E. Littlewood}, {\em Invariant theory, tensors and group characters},
Phil. Trans. Roy. Soc. A, 239 (1944), 305-65

\bibitem[\bf L2]{L2} {\sc D. E. Littlewood}, The theory of group characters and matrix representations
of groups, Oxford 1950

\bibitem[\bf LLT]{LLT} {\sc A.Lascoux, B. Leclerc and J.Y. Thibon}, {\it Fonctions
de Hall-Littlewood
et polyn\^{o}mes de Kostka-Foulkes aux racines de l'unit\'e}, C.R. Acad. Sci. Pa
ris, t. 316, S\'erie I,
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\bibitem[\bf Mcd]{Mcd} {\sc I. G. Macdonald}, Symmetric functions and Hall polynomials, Oxford 1979


\bibitem[\bf SW]{SW} {\sc D. Stanton et D. White}, {\em A Schensted algorithm for rim-hook tableaux},
J. Comb. Theory A 40, (1985), 211-247

\end{thebibliography}
\end{document}

