\input amstex
\input amsppt.sty

\nologo

\magnification1200
\hsize13cm
\vsize19cm

\font\Bf=cmbx12
\font\Rm=cmr12
\def\LL{\leavevmode\setbox0=\hbox{L}\hbox to\wd0{\hss\char'40L}}
\def\al{\alpha}
\def\be{\beta}
\def\ga{\gamma}
\def\de{\delta}
\def\ep{\varepsilon}
\def\ze{\zeta}
\def\et{\eta}
\def\th{\theta}
\def\vt{\vartheta}
\def\io{\iota}
\def\ka{\kappa}
\def\la{\lambda}
\def\rh{\rho}
\def\si{\sigma}
\def\ta{\tau}
\def\ph{\varphi}
\def\ch{\chi}
\def\ps{\psi}
\def\om{\omega}
\def\Ga{\Gamma}
\def\De{\Delta}
\def\Th{\Theta}
\def\La{\Lambda}
\def\Si{\Sigma}
\def\Ph{\Phi}
\def\Ps{\Psi}
\def\Om{\Omega}
\def\row#1#2#3{#1_{#2},\ldots,#1_{#3}}
\def\rowup#1#2#3{#1^{#2},\ldots,#1^{#3}}
\def\x{\times}
\def\crf{}            %used for crossreferencing, Tex should ignore.
\def\rf{}             %used for refencing (section-numbers)
\def\rfnew{}          %used for new-section numbers
\def\P{{\Bbb P}}
\def\R{{\Bbb R}}
\def\X{{\Cal X}}
\def\C{{\Bbb C}}
\def\Mf{{\Cal Mf}}
\def\FM{{\Cal F\Cal M}}
\def\F{{\Cal F}}
\def\G{{\Cal G}}
\def\V{{\Cal V}}
\def\T{{\Cal T}}
\def\A{{\Cal A}}
\def\N{{\Bbb N}}
\def\Z{{\Bbb Z}}
\def\Q{{\Bbb Q}}
\def\ddt{\left.\tfrac \partial{\partial t}\right\vert_0}
\def\dd#1{\tfrac \partial{\partial #1}}
\def\today{\ifcase\month\or
 January\or February\or March\or April\or May\or June\or
 July\or August\or September\or October\or November\or December\fi
 \space\number\day, \number\year}
\def\nmb#1#2{#2} %zum Nummerieren
\def\iprod#1#2{\langle#1,#2\rangle}
\def\pder#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\def\iint{\int\!\!\int}
\def\({\left(}
\def\){\right)}
\def\[{\left[}
\def\]{\right]}
\def\supp{\operatorname{supp}}
\def\Df{\operatorname{Df}}
\def\dom{\operatorname{dom}}
\def\Ker{\operatorname{Ker}}
\def\Tr{\operatorname{Tr}}
\def\Res{\operatorname{Res}}
\def\Aut{\operatorname{Aut}}
\def\kgV{\operatorname{kgV}}
\def\ggT{\operatorname{ggT}}
\def\diam{\operatorname{diam}}
\def\Im{\operatorname{Im}}
\def\Re{\operatorname{Re}}
\def\ord{\operatorname{ord}}
\def\rang{\operatorname{rang}}
\def\rng{\operatorname{rng}}
\def\grd{\operatorname{grd}}
\def\inv{\operatorname{inv}}
\def\maj{\operatorname{maj}}
\def\des{\operatorname{des}}
\def\varmaj{\operatorname{\overline{maj}}}
\def\vardes{\operatorname{\overline{des}}}
\def\pvarmaj{\operatorname{\overline{maj}'}}
\def\pmaj{\operatorname{maj'}}
\def\ln{\operatorname{ln}}
\def\der{\operatorname{der}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\tr{\operatorname{tr}}
\def\Span{\operatorname{Span}}
\def\grad{\operatorname{grad}}
\def\div{\operatorname{div}}
\def\rot{\operatorname{rot}}
\def\Sp{\operatorname{Sp}}
\def\sgn{\operatorname{sgn}}
\def\liml{\lim\limits}
\def\supl{\sup\limits}
\def\bigcupl{\bigcup\limits}
\def\bigcapl{\bigcap\limits}
\def\limsupl{\limsup\limits}
\def\liminfl{\liminf\limits}
\def\intl{\int\limits}
\def\suml{\sum\limits}
\def\maxl{\max\limits}
\def\minl{\min\limits}
\def\prodl{\prod\limits}
\def\tg{\operatorname{tan}}
\def\ctg{\operatorname{cot}}
\def\arctg{\operatorname{arctan}}
\def\arccot{\operatorname{arccot}}
\def\arcctg{\operatorname{arccot}}
\def\tgh{\operatorname{tanh}}
\def\ctgh{\operatorname{coth}}
\def\arcsinh{\operatorname{arcsinh}}
\def\arccosh{\operatorname{arccosh}}
\def\arctgh{\operatorname{arctanh}}
\def\arcctgh{\operatorname{arccoth}}
\def\3{\ss}
\catcode`\@=11
\def\dddot#1{\vbox{\ialign{##\crcr
      .\hskip-.5pt.\hskip-.5pt.\crcr\noalign{\kern1.5\p@\nointerlineskip}
      $\hfil\displaystyle{#1}\hfil$\crcr}}}

\newif\iftab@\tab@false
\newif\ifvtab@\vtab@false
\def\tab{\bgroup\tab@true\vtab@false\vst@bfalse\Strich@false%
   \def\\{\global\hline@@false%
     \ifhline@\global\hline@false\global\hline@@true\fi\cr}
   \edef\l@{\the\leftskip}\ialign\bgroup\hskip\l@##\hfil&&##\hfil\cr}
\def\endtab{\cr\egroup\egroup}
\def\vtab{\vtop\bgroup\vst@bfalse\vtab@true\tab@true\Strich@false%
   \bgroup\def\\{\cr}\ialign\bgroup&##\hfil\cr}
\def\endvtab{\cr\egroup\egroup\egroup}
\def\stab{\D@cke0.5pt\null 
 \bgroup\tab@true\vtab@false\vst@bfalse\Strich@true\Let@@\vspace@
 \normalbaselines\offinterlineskip
  \openup\spreadmlines@
 \edef\l@{\the\leftskip}\ialign
 \bgroup\hskip\l@##\hfil&&##\hfil\crcr}
\def\endstab{\crcr\egroup
 \egroup}
\newif\ifvst@b\vst@bfalse
\def\vstab{\D@cke0.5pt\null
 \vtop\bgroup\tab@true\vtab@false\vst@btrue\Strich@true\bgroup\Let@@\vspace@
 \normalbaselines\offinterlineskip
  \openup\spreadmlines@\bgroup}
\def\endvstab{\crcr\egroup\egroup
 \egroup\tab@false\Strich@false}

\newdimen\htstrut@
\htstrut@8.5\p@
\newdimen\htStrut@
\htStrut@12\p@
\newdimen\dpstrut@
\dpstrut@3.5\p@
\newdimen\dpStrut@
\dpStrut@3.5\p@
\def\openup{\afterassignment\@penup\dimen@=}
\def\@penup{\advance\lineskip\dimen@
  \advance\baselineskip\dimen@
  \advance\lineskiplimit\dimen@
  \divide\dimen@ by2
  \advance\htstrut@\dimen@
  \advance\htStrut@\dimen@
  \advance\dpstrut@\dimen@
  \advance\dpStrut@\dimen@}
\def\Let@@{\relax\iffalse{\fi%
    \def\\{\global\hline@@false%
     \ifhline@\global\hline@false\global\hline@@true\fi\cr}%
    \iffalse}\fi}
\def\matrix{\null\,\vcenter\bgroup
 \tab@false\vtab@false\vst@bfalse\Strich@false\Let@@\vspace@
 \normalbaselines\openup\spreadmlines@\ialign
 \bgroup\hfil$\m@th##$\hfil&&\quad\hfil$\m@th##$\hfil\crcr
 \Mathstrut@\crcr\noalign{\kern-\baselineskip}}
\def\endmatrix{\crcr\Mathstrut@\crcr\noalign{\kern-\baselineskip}\egroup
 \egroup\,}
\def\smatrix{\D@cke0.5pt\null\,
 \vcenter\bgroup\tab@false\vtab@false\vst@bfalse\Strich@true\Let@@\vspace@
 \normalbaselines\offinterlineskip
  \openup\spreadmlines@\ialign
 \bgroup\hfil$\m@th##$\hfil&&\quad\hfil$\m@th##$\hfil\crcr}
\def\endsmatrix{\crcr\egroup
 \egroup\,\Strich@false}
\newdimen\D@cke
\def\Dicke#1{\global\D@cke#1}
\newtoks\tabs@\tabs@{&}
\newif\ifStrich@\Strich@false
\newif\iff@rst

\def\Stricherr@{\iftab@\ifvtab@\errmessage{\noexpand\s not allowed
     here. Use \noexpand\vstab!}%
  \else\errmessage{\noexpand\s not allowed here. Use \noexpand\stab!}%
  \fi\else\errmessage{\noexpand\s not allowed
     here. Use \noexpand\smatrix!}\fi}
\def\format{\ifvst@b\else\crcr\fi\egroup\iffalse{\fi\ifnum`}=0 \fi\format@}
\def\format@#1\\{\def\preamble@{#1}%
 \def\Str@chfehlt##1{\ifx##1\s\Stricherr@\fi\ifx##1\\\let\Next\relax%
   \else\let\Next\Str@chfehlt\fi\Next}%
 \def\c{\hfil\noexpand\ifhline@@\hbox{\vrule height\htStrut@%
   depth\dpstrut@ width\z@}\noexpand\fi%
   \ifStrich@\hbox{\vrule height\htstrut@ depth\dpstrut@ width\z@}%
   \fi\iftab@\else$\m@th\fi\the\hashtoks@\iftab@\else$\fi\hfil}%
 \def\r{\hfil\noexpand\ifhline@@\hbox{\vrule height\htStrut@%
   depth\dpstrut@ width\z@}\noexpand\fi%
   \ifStrich@\hbox{\vrule height\htstrut@ depth\dpstrut@ width\z@}%
   \fi\iftab@\else$\m@th\fi\the\hashtoks@\iftab@\else$\fi}%
 \def\l{\noexpand\ifhline@@\hbox{\vrule height\htStrut@%
   depth\dpstrut@ width\z@}\noexpand\fi%
   \ifStrich@\hbox{\vrule height\htstrut@ depth\dpstrut@ width\z@}%
   \fi\iftab@\else$\m@th\fi\the\hashtoks@\iftab@\else$\fi\hfil}%
 \def\s{\ifStrich@\ \the\tabs@\vrule width\D@cke\the\hashtoks@%
          \fi\the\tabs@\ }%
 \def\sa{\ifStrich@\vrule width\D@cke\the\hashtoks@%
            \the\tabs@\ %
            \fi}%
 \def\se{\ifStrich@\ \the\tabs@\vrule width\D@cke\the\hashtoks@\fi}%
 \def\cd{\hfil\noexpand\ifhline@@\hbox{\vrule height\htStrut@%
   depth\dpstrut@ width\z@}\noexpand\fi%
   \ifStrich@\hbox{\vrule height\htstrut@ depth\dpstrut@ width\z@}%
   \fi$\dsize\m@th\the\hashtoks@$\hfil}%
 \def\rd{\hfil\noexpand\ifhline@@\hbox{\vrule height\htStrut@%
   depth\dpstrut@ width\z@}\noexpand\fi%
   \ifStrich@\hbox{\vrule height\htstrut@ depth\dpstrut@ width\z@}%
   \fi$\dsize\m@th\the\hashtoks@$}%
 \def\ld{\noexpand\ifhline@@\hbox{\vrule height\htStrut@%
   depth\dpstrut@ width\z@}\noexpand\fi%
   \ifStrich@\hbox{\vrule height\htstrut@ depth\dpstrut@ width\z@}%
   \fi$\dsize\m@th\the\hashtoks@$\hfil}%
 \ifStrich@\else\Str@chfehlt#1\\\fi%
 \setbox\z@\hbox{\xdef\Preamble@{\preamble@}}\ifnum`{=0 \fi\iffalse}\fi
 \ialign\bgroup\span\Preamble@\crcr}
\newif\ifhline@\hline@false
\newif\ifhline@@\hline@@false
\def\hlinefor#1{\multispan@{\strip@#1 }\leaders\hrule height\D@cke\hfill%
    \global\hline@true\ignorespaces}
\def\Item "#1"{\par\noindent\hangindent2\parindent%
  \hangafter1\setbox0\hbox{\rm#1\enspace}\ifdim\wd0>2\parindent%
  \box0\else\hbox to 2\parindent{\rm#1\hfil}\fi\ignorespaces}
\def\ITEM #1"#2"{\par\noindent\hangafter1\hangindent#1%
  \setbox0\hbox{\rm#2\enspace}\ifdim\wd0>#1%
  \box0\else\hbox to 0pt{\rm#2\hss}\hskip#1\fi\ignorespaces}
\def\item"#1"{\par\noindent\hang%
  \setbox0=\hbox{\rm#1\enspace}\ifdim\wd0>\the\parindent%
  \box0\else\hbox to \parindent{\rm#1\hfil}\enspace\fi\ignorespaces}
\let\plainitem@\item
\catcode`\@=13


\def\al{\alpha}
\def\be{\beta}
\def\ep{\epsilon}
\def\Om{\Omega}
\def\om{\omega}
\def\F{\Cal F}
\def\gl{\operatorname{\text{\sl gl}}}
\def\sl{\operatorname{\text{\sl sl}}}
\def\Psl{\operatorname{\text{\sl Psl}}}
\def\End{\operatorname{End}}
\def\tr{\operatorname{tr}}
\def\str{\operatorname{str}}
\def\ev{\operatorname{ev}}
\def\mat{\operatorname{mat}}
\def\ch{\operatorname{ch}}
\def\ad{\operatorname{ad}}

\topmatter 
\title Identit\'e cyclotomique, superalg\`ebres de Lie et bicaract\`eres
\endtitle 
\author G\'erard Duchamp
\endauthor 
\address 
L.I.R., Universit\'e de Rouen, Place E.~Blondel, B.P.~118, 76134
Mont-Saint-Aignan Cedex, France
\endaddress

\abstract
The introduction of an arbitrary bicharacter unifies the theories of
Lie algebras and superalgebras. Here, we give the structure of
bicharacters and study those that are compatible with linear and
symmetric actions on the free Lie superalgebra. We also give a way to
adapt the construction of classical bases of Lie algebras to
superalgebras and derive consequences on modules and characters.

\medskip\noindent
{\smc R\'esum\'e.} L'introduction d'un bicaract\`ere arbitraire unifie
les th\'eories des alg\`ebres et des superalg\`ebres de Lie. Ici, nous
donnons la structure des bicaract\`eres et d\'eterminons ceux qui sont
compatibles avec les actions des changements de variables par les
groupes lin\'eaires et sym\'etriques. Nous indiquons aussi un moyen
d'adapter les bases classiques des alg\`ebres de Lie aux
superalg\`ebres et en d\'eduisons des propri\'et\'es des modules
associ\'es et de leurs caract\`eres.
\endabstract

\endtopmatter


\document

\subhead 1. Introduction\endsubhead
Il est bien connu que les d\'erivations d'une alg\`ebre forment une
alg\`ebre de Lie. Mais l'analyse offre des situations o\`u les
d\'erivations v\'erifient
$$\partial xy=\partial x.y+\chi\, x.\partial y$$
avec un facteur $\chi$ scalaire diff\'erent de 1. L'exemple le plus
connu \'etant la diff\'erentielle ext\'erieure des formes sur une
vari\'et\'e.

Les axiomes que v\'erifie $\chi$ sont ceux des bicaract\`eres
(cf\. section~3), ils ont \'et\'e \'enonc\'e pour la premi\`ere fois
sous leur forme actuelle par {\smc R.~Ree} \cite{Ree} qui, dans son papier,
d\'efinit en toute g\'en\'eralit\'e la notion de $\chi$-alg\`ebre,
donne un analogue des caract\'erisations classiques des polyn\^omes de
Lie ({\smc Friedrichs, Dynkin--Specht--Wever}) et des formules de
{\smc Witt}.

Les superalg\`ebres ont \'et\'e \'etudi\'ees principalement avec le
facteur de commutation $(-1)^{\text{degr\'e}(x)\cdot
\text{degr\'e}(y)}$ \cite{Sc}. Plus r\'ecemment l'\'ecole de Moscou en
a repris l'\'etude dans toute sa g\'en\'eralit\'e et le lecteur
curieux des questions comme les identit\'es dans les alg\`ebres
enveloppantes, les $p$-alg\`ebres et les vari\'et\'es d'alg\`ebres est
invit\'e \`a consulter le livre qu'elle vient de publier \cite{Ba}.

Ce qui suit est consacr\'e aux aspects combinatoires des
bicaract\`eres et des bases effectives des $\chi$-alg\`ebres. Apr\`es
un bref rappel du cas classique (section~2) et du cas g\'en\'eral
(section~3), on donne un th\'eor\`eme de structure des bicaract\`eres
(section~4). Sur tous les bicaract\`eres possibles, la condition que
la superalg\`ebre libre soit stable par les changements de variables
n'en retient que deux (les deux classiques d'ailleurs) et quatre si on
n'autorise que les substitutions (section~5).

Enfin, dans la section~6, l'\'elimination de {\smc Lazard} permet de
voir tr\`es facilement (en se ramenant au cas d'un seul
g\'en\'erateur) comment adapter aux superalg\`ebres les constructions
de bases classiques connues dans le cas des alg\`ebres de Lie. Nous en
d\'eduisons
quelques cons\'equences \'enum\'eratives sur les dimensions, les
modules et leurs caract\`eres.

\subhead 2. Superalg\`ebres de Lie classiques\endsubhead
On dira qu'une alg\`ebre $\Cal G=\Cal G_0\oplus \Cal G_1$, $\Bbb
Z/2\Bbb Z$-gradu\'ee et munie d'une loi $[\ ,\ ]$, est une
superalg\`ebre de Lie si elle v\'erifie identiquement, pour $x\in \Cal
G_p$, $y\in\Cal G_q$~:
$$\align [x,[y,z]]&=[[x,y],z]+(-1)^{pq}[y,[x,z]],\tag $J$\\
[x,y]&=-(-1)^{pq}[y,x].\tag $S$
\endalign$$

\example{Exemples} {\it 1)} Soit $\Cal A=\Cal A_0\oplus\Cal A_1$ une
alg\`ebre associative $\Bbb Z/2\Bbb Z$-gradu\'ee. La formule
$$[x,y]=xy-(-1)^{pq}yx$$
d\'efinie pour $x\in\Bbb A_p$ et $y\in\Bbb A_q$ s'\'etend par
lin\'earit\'e \`a toute $\Cal A$ et la munit d'une structure de
superalg\`ebre de Lie.

\def\sl{\operatorname{\text{\sl sl}}}

{\it 2)} On peut d\'efinir ainsi les superalg\`ebres $\gl(m\vert n)$,
$\sl(m\vert n)$ et $\Psl(n\vert n)$ qui sont utilis\'ees par les
physiciens \cite{DeW}\cite{F}.

La superalg\`ebre lin\'eaire $\gl(m\vert n)$ est un cas particulier du
permier exemple.

Soit $V=V_0\oplus V_1$, un espace vectoriel  $\Bbb Z/2\Bbb Z$-gradu\'e
($V_0$ est appell\'e secteur de Bose et $V_1$, de Fermi). $\End(V)$
($=\End^{gr}(V)$) est munie naturellement d'une structure d'alg\`ebre
$\Bbb Z/2\Bbb Z$-gradu\'ee par
$$\End^{(i)}(V)=\{f\in\End(V):f(V_j)\subset V_{i+j}\text{ pour tout
}j\}$$
qui permet, selon l'exemple pr\'ec\'edent, de munir $\End(V)$ d'une
structure de superalg\`ebre de Lie. Cette alg\`ebre n'est pas simple
et admet un id\'eal non trivial, $\sl(m\vert n)$ qui est le noyeau de
la forme ``supertrace" dont la d\'efinition est ($p_0$ et $p_1$
d\'esignant les projecteurs associ\'es \`a la somme $V=V_0\oplus V_1$)
$$\str(f)=\tr(p_0f)-\tr(p_1f).$$
Si $m\ne n$, $\sl(m\vert n)$ est simple, $\sl(n\vert n)$ admet encore
un id\'eal non trivial, son centre, qui est la droite des matrices
scalaires. Le quotient $\Psl(n\vert n)=\sl(n\vert n)/(\Bbb C\cdot 1)$
est simple pour $n\ge2$ (cf\. \cite{DeW}\cite{F}).
\endexample

\remark{Remarques}
{\it 1)} Les $\Bbb C$-superalg\`ebres simples de dimension finie ont
\'et\'e classifi\'ees par {\smc Kac} \cite{K}.

{\it 2)} La cat\'egorie des superalg\`ebres de Lie a un comportement
tr\`es semblable \`a celle des alg\`ebres de Lie par rapport aux
objets libres et aux alg\`ebres enveloppantes.
\endremark

Cette remarque conduit \`a la question suivante~:

\smallskip
\noindent
{\smc Question}~: Existe-t-il une famille de structures qui ait le
m\^eme comportement et qui contienne \`a la fois les alg\`ebres et
superalg\`ebres de Lie~?

\smallskip\noindent
{\smc R\'eponse}~: Oui, les $\chi$-superalg\`ebres de Lie. {\smc
Rhimac REE} \cite{Ree} a remarqu\'e que $(-1)^{pq}$ pouvait se
remplacer par un facteur de commutation $\chi$, bilin\'eaire
anti\-sy\-m\'e\-trique sur le mono\"\i de des degr\'es (qui n'est alors plus
n\'ecessairement $\Bbb Z/2\Bbb Z$). Nous allons maintenant en donner
la d\'efinition exacte.

\subhead 3. $\chi$-superalg\`ebres\endsubhead
Soit $K$, un anneau et $(\Cal G_\alpha)_{\alpha\in M}$, une
$K$-alg\`ebre gradu\'ee par un mono\"\i de commutatif $M$ et dont la
loi est not\'ee $[\ ,\ ]$. Un bicaract\`ere (ou facteur de commutation
sur $M$) est une application $\chi:M\times M\longrightarrow K$ telle
que les identit\'es suivantes soient v\'erifi\'ees pour $x,y,z\in M$
$$\left\{
\matrix 
\chi(x+y,z)=\chi(x,z)+\chi(y,z),&(bc1)\\
\chi(x,y+z)=\chi(x,y)+\chi(x,z),&(bc2)\\
\chi(x,y)\chi(y,x)=1,&(bc3)\\
\chi(x,x)=\pm1.&(bc4)\\
\endmatrix
\right.
$$
$(bc1)$, $(bc2)$ et $(bc3)$ signifient que $\chi$ est bilin\'eaire
antisym\'etrique et $(bc4)$ est une condition diagonale qui est
toujours r\'ealis\'ee lorsque $K$ est un corps. On peut alors
d\'efinir la structure de superalg\`ebre.

\definition{D\'efinition}
Soit $(M,+)$ un mono\"\i de comutatif, $K$ un anneau tel que $2,3\in
K^*$ et $\chi:M\times M\longrightarrow K$ un bicaract\`ere, on dit
qu'une alg\`ebre gradu\'ee $\Cal G=\bigoplus_{\alpha\in M}\Cal
G_\alpha$ est une $\chi$-superalg\`ebre (ou superalg\`ebre color\'ee
\cite{Bah}) si elle v\'erifie les identit\'es suivantes
$$\left\{
\matrix [x,[y,z]]=[[x,y],z]+\chi(\alpha,\beta)[y,[x,z]],&(J)\\
[x,y]=-\chi(\alpha,\beta)[y,x],&(A)
\endmatrix
\right.$$
identiquement pour $x\in\Cal G_\alpha$ et  $y\in\Cal G_\beta$.
\enddefinition

\example{Exemple}
On peut d\'ej\`a d\'efinir une telle structure sur l'anneau des
polyn\^omes non commutatifs (dont nous verrons qu'elle est l'alg\`ebre
enveloppante de la superalg\`ebre libre).

Soit $\Bbb A$, un alphabet. Pour un mot $w\in \Bbb A^*$, $\vert
w\vert_a$ d\'esignera le nombre d'occurrences de la lettre $a$ dans
$w$ et $\ev(w):=(\vert w\vert_a)_{a\in \Bbb A}$, son
\'evaluation. Soit $\alpha\in\Bbb N^{\Bbb A}$, on pose $\Bbb
A^\alpha:=\ev^{-1}(\alpha)$ et $\Bbb C_\al\langle \Bbb A\rangle:=\Bbb
C\Bbb A^\al$.

Muni de cette graduation $\Bbb C\langle \Bbb A\rangle=
\bigoplus_{\al\in\Bbb N^{\Bbb A}}\Bbb C_\al\langle \Bbb A\rangle$
est une $\Bbb C$-alg\`ebre gradu\'ee. Maintenant, si l'alphabet $\Bbb
A=\Bbb A^++\Bbb A^-$ est sign\'e, on peut d\'efinir le bicaract\`ere
$\chi$ par la formule
$$\chi(\al,\be)=\xi^{\dsize(d_+(\al)\quad d_-(\be))\pmatrix
\hphantom{-}0&1\\-1&0
\endpmatrix\pmatrix d_+(\al)\\ d_-(\be)\endpmatrix}$$
avec $d_\ep(\al)=
\sum _{_{a\in\Bbb A^\ep}} ^{}\al(a)$ et $\xi\in\Bbb C$.

Le crochet
$$[P,Q]=PQ-\chi(\al,\be)QP$$
d\'efini pour $P\in \Bbb C_\al\langle \Bbb A\rangle$ et
$Q\in \Bbb C_\be\langle \Bbb A\rangle$ munit $\Bbb C\langle \Bbb
A\rangle$ d'une structure de superalg\`ebre de Lie.
\endexample

\remark{Remarques}
{\it 1)} Des superalg\`ebres dont le bicaract\`ere n'est ni trivial
($\chi=1$), ni classique ($\chi=(-1)^{pq}$) peuvent se trouver dans
\cite{RW}.

{\it 2)} Nous allons voir que l'exemple pr\'ec\'edent est en quelque
mesure g\'en\'erique puisque tout bicaract\`ere est le produit
d'exponentielles de formes antisym\'etriques et d'un facteur
$(-1)^\be$ o\`u $\be$ est sym\'etrique. Ceci conduit \`a la question
suivante~:

\smallskip\noindent
{\smc Question}~: Pour un mono\"\i de donn\'e $M$, peut-on conna\^\i
tre et construire tous les bicaract\`eres~?

\smallskip
La r\'eponse est positive et ca \^etre rendue plus pr\'ecise dans la
section suivante.
\endremark

\subhead 4. Structure des bicaract\`eres\endsubhead
Pour l'\'enoncer, nous aurons besoin de la notion de matrice admissible.

\definition{D\'efinition} Soit $F$ un sous-ensemble d'un groupe
commutatif. Une matrice $C=[a_{gh}]_{g,h\in F}$ \`a valeurs dans $K^*$
sera dite {\it admissible} si elle v\'erifie les trois conditions
suivantes~:\footnote{($T$) est une condition de compatibilit\'e avec
la torsion, ($A$) la condition d'antisym\'etrie et ($D$) la condition
diagonale ($bc4$) toujours r\'ealis\'ee lorsque $K$ est un corps.} 
$$\left\{\matrix ng=0\ \Longrightarrow\ (a_{gh})^n=1,&(T)\\
a_{gh}a_{hg}=1,&(A)\\
a_{gg}=\pm1.&(D)\endmatrix\right.$$
\enddefinition
Nous pouvons maintenant donner la structure des bicaract\`eres.

\proclaim{Proposition \smc[DDKM]} Soit $M$ un mono\"\i de
commutatif de type fini et $\phi:M\to \bar M$ le morphisme canonique
dans le groupe librement engendr\'e par $M$. Soit $\bar
M=\bigoplus_{g\in F}\Bbb Zg$ une d\'ecomposition directe de $\bar M$
en sous-modules monog\`enes {\rm(}$F$ est alors finie{\rm)}. Soit enfin
$C=[a_{gh}]_{g,h\in F}$ une matrice admissible. Alors

{\rm i)} Pour tous $u,v\in M$, la quantit\'e
$$\chi_C(u,v)=
\prod _{g,h\in F} ^{}a_{gh}^{n_gm_h}\tag $*$ $$
est ind\'ependante des d\'ecompositions $\phi(u)=
\sum _{g\in F} ^{}n_gg$ et $\phi(v)=
\sum _{g\in F} ^{}m_hh.$

{\rm ii)} {\rm($*$)} d\'efinit un bicaract\`ere sur $M$.

{\rm iii)} Tout bicaract\`ere sur $M$ peut s'obtenir ainsi.
\endproclaim

\demo{Preuve} i) Pout tout $g\in F$ soit $o(g)$ l'ordre de $g$. Si $\phi(u)=
\sum _{g\in F} ^{}n'_gg$ est une seconde d\'ecomposition on a
$$\matrix\format\r\ &\l&\quad \l\\
n_g-n'_g &\in o(g)\Bbb Z&\text{si }o(g)<\infty,\\
&=0&\text{sinon.} 
\endmatrix$$
Le fait que le second membre ait la m\^eme valeur selon les deux
d\'ecompositions r\'esulte alors de la condition ($T$) de la matrice
admissible. On raisonne de m\^eme avec une double d\'ecomposition de $v$.

ii) R\'esulte des conditions ($A$) et ($D$).

iii) Si $\chi$ est un bicaract\`ere donn\'e, $\chi$ se factorise \`a
travers $\phi$. Soit\break $C=[\chi(u_g,u_h)]_{g,h\in F}$ avec
$\chi(u_h)=h$. $C$ est ind\'ependante des repr\'esentants choisis et
admissible. De plus $\chi=\chi_C$.\qed
\enddemo

On d\'eduit aussit\^ot de cette param\'etrisation la d\'ecomposition
suivante. 

\proclaim{Corollaire \smc [DDKM]}Soit $K$ un corps de
caract\'eristique diff\'erente de $2,3$ et $\chi:M\times M\to K$ un
bicaract\`ere. Il existe alors une d\'ecomposition de $\chi$,
$$\chi=\chi_a\cdot (-1)^\beta,$$
o\`u $\chi_a$ est altern\'e\/ {\rm(}i.e.\ $\chi_a(u,u)=0$ pour
tout\footnote{La seule nullit\'e sur la diagonale de la matrice ne
suffit pas \`a entrainer qu'un bicaract\`ere soit altern\'e.} $u\in M${\rm)}
et $\beta:M\times M\to \Bbb Z/2\Bbb Z$ est une forme bilin\'eaire
sym\'etrique. 
\endproclaim
\demo{Preuve}Si $C_1$ et $C_2$ sont deux matrices admissibles leur
produit de {\smc Hadamard} est un matrice admissible et
$$\chi_{C_1\odot C_2}=\chi_{C_1}\chi_{C_2}.$$
Soit $\chi=\chi_C$ un bicaract\`ere avec $C=[a_{gh}]_{g,h\in F}$. Posons
$$\matrix \format\r\ &\l\quad &\l\\
a'_{gh}&=a_{gh}&\text{si }a_{gh}\ne a_{hg},\\
&=1&\text{sinon.}\endmatrix$$
Il est clair que $C'=[a'_{gh}]_{g,h\in F}$ et 
$C''=[a_{gh}/a'_{gh}]_{g,h\in F}$ sont admissibles et que
$\chi=\chi_{C'}\chi_{C''}$. $\chi_{C'}$ est altern\'e par construction
et $\chi_{C''}$ est sym\'etrique, ce qui entraine qu'il est de la
forme $(-1)^\beta$ o\`u $\beta:M\times M\to \Bbb Z/2\Bbb Z$ est une
forme bilin\'eaire sym\'etrique.\qed
\enddemo

\remark{Remarques}
{\it 1)} La factorisation $\chi=\chi_a\cdot (-1)^\beta$ n'est en
g\'en\'eral pas unique comme le montre l'exemple suivant.

Consid\'erons, sur $\Bbb N^2$ le bicaract\`ere complexe $\chi=i^\phi$
($i=\sqrt{-1}$) o\`u avec $\mat(\phi)=\left(\smallmatrix
2&3\\1&2\endsmallmatrix\right)$ (on note $\mat(\phi)$ la matrice de $\phi$
dans la base canonique de $\Bbb N^2$). On a alors deux
d\'ecompositions $\chi=i^{\phi_1}\cdot (-1)^{\phi_2}$,
$$\mat(\phi_1)=\pmatrix 0&3\\1&0\endpmatrix;\quad 
\mat(\phi_2)=\pmatrix 1&0\\0&1\endpmatrix,$$
ou bien
$$\mat(\phi_1)=\pmatrix 0&1\\3&0\endpmatrix;\quad 
\mat(\phi_2)=\pmatrix 1&1\\1&1\endpmatrix.$$

{\it 2)} La d'ecomposition $\Cal G=\Cal G_+\oplus \Cal G_-$ avec
$$\Cal G_\epsilon=\underset
\chi(\alpha,\alpha)=\epsilon1\to{\bigoplus_{\alpha\in M}}\Cal
G_\alpha$$
ne d\'epend que de $(-1)^\beta$, et c'est seulement de cette
d\'ecomposition que d\'epend la structure de module gradu\'e de
l'alg\`ebre enveloppante.
\endremark

\medskip
Nous allons d\'ecire maintenant les objets libres et les alg\`ebres
enveloppantes. 

\subhead 5. Alg\`ebres libres et enveloppantes\endsubhead
Soit $\Bbb A$ un alphabet, $K$ un anneau tel que $2,3\notin K$ et
$\chi:\Bbb A\times \Bbb A\to K$ une application telle que l'on ait
identiquement 
$$\left\{\matrix \format\r&\l\\
\chi(a,b)\chi(b,a)&{}=1,\\
\chi(a,a)&{}=\pm1.\endmatrix\right.$$
On cherche une solution du probl\`eme universel suivant.

\smallskip
{\it

{\rm(}L{\rm)} Trouver un couple $(j,\Cal L)$ tel que

1) $\Cal L$ est une superalg\`ebre $\Bbb N^{\Bbb A}$-gradu\'ee et $j$ est une
application $\Bbb A\to \Cal L$ telle que $a\in\Bbb A$
$\Longrightarrow$ $j(a)\in\Cal L_{\epsilon_a}$, o\`u $\epsilon_a$
d\'esigne l'image de $a$ dans $\Bbb N^{\Bbb A}$.

2) Toute application $g:\Bbb A\to\Cal G$ v\'erifiant la condition (1)
ci-dessus se factorise $g=\bar g\circ j$ o\`u $\bar g:\Cal L\to\Cal G$
est un morphisme de superalg\`ebres.
}
\smallskip

Comme dans le cas des alg\`ebres de Lie (soit $\chi=1$), la solution
est donn\'ee par la sous-alg\`ebre engendr\'ee par les lettres dans
l'alg\`ebre libre \cite{Bah, ch.~2}. Nous allons d\'ecrire maintenant
compl\`etement cette construction.

On \'etend d'abord $\chi$ par lin\'earit\'e en un bicaract\`ere sur
$\Bbb N^{\Bbb A}$. La formule 
$$[P,Q]=PQ-\chi(\alpha,\beta)QP,\quad P\in K_\alpha\langle \Bbb
A\rangle,\ Q\in K_\beta\langle \Bbb
A\rangle,$$
munit $K\langle \Bbb A\rangle=\bigoplus_{\alpha\in \Bbb
N^{\Bbb A}}K_\alpha\langle \Bbb A\rangle$ d'une structure de superalg\`ebre
$\Bbb N^{\Bbb A}$-gradu\'ee. Alors la sous-alg\`ebre de $K\langle \Bbb
A\rangle$ engendr\'ee par les lettres, $L_k^\chi(\Bbb A)$ et
l'injection canonique $j:\Bbb A\to L_K^\chi(\Bbb A)$ forment une
solution au probl\`eme universel ($L$).

\medskip
Pour pouvoir calculer les caract\`eres de $GL_n$ et $\frak S_n$ sur le
sous-module ainsi d\'efini, il faut r\'esoudre le probl\`eme de sa
stabilit\'e. On peut d\'eterminer les bicaract\`eres qui sont
compatibles avec ces changements de variables. Plus pr\'ecisement on a
le r\'esultat suivant.

\proclaim{Proposition \smc [DDKM]} Soit $K$ un corps
{\rm(}$\ch(K)>3${\rm)} et $\Bbb A$, $L_k^\chi(\Bbb A)$ comme
ci-dessus. Alors~:

Pour que $L_K^\chi(\Bbb A)$ soit stable pour l'action de $G$
{\rm(}$=GL(K\Bbb A)$, $\frak S_{\Bbb A}${\rm)} il faut et il suffit que
$\chi$ soit un des bicaract\`eres donn\'es par le tableau ci-dessous~:

$$\smatrix\format\l&\quad \l&\quad \l&\quad \l&\quad \l\\
\text{\rm Groupe}&\chi={}&\\
\hlinefor5\\
\frak S_{\Bbb A}&1&(-1)^{pq}&(-1)^{\vert \al\odot\be\vert}&(-1)^{pq+\vert
\al\odot\be\vert} \\
\hlinefor5\\
GL(K\Bbb A)&1&(-1)^{pq}&\\
\hlinefor5
\endsmatrix$$
avec $\vert \al\odot\be\vert=
\sum _{\al\in\Bbb A} ^{}\al(a)\be(a)$. 
\endproclaim
\demo{Preuve}$L_\chi$ est un sous-module gradu\'e. Soient $a,b$ deux
lettres. On a $(L_\chi)^\si_{a+b}=(L_\chi)_{\si(a)+\si(b)}$. On va d'abord
montrer que, si $a\ne b$, alors $\chi(a,b)=\chi(b,a)$.

Supposons que $L_\chi$ soit stable par $\frak S_{\Bbb A}$. Pour tout
$\si$ on a 
$$[a,b]^\si=\si(a)\si(b)-\chi(a,b)\si(b)\si(a)$$
et
$$[\si(a),\si(b)]^\si=\si(a)\si(b)-\chi(\si(a),\si(b))\si(b)\si(a).$$
Mais, le fait que $(L_\chi)_{a+b}$ soit un sous espace vectoriel de
dimension $\le 1$ entraine que
$$\chi(a,b)=\chi(\si(a),\si(b)).\tag$*$ $$
En particulier, on a $\chi(a,b)=\chi(b,a)$ et compte tenu de ce que
$K$ est un corps $\chi(a,b)\in \{1,-1\}$. Le bicaract\`ere est donc de
la forme $(-1)^\be$ o\`u $\be:M\times M\to\Bbb Z/2\Bbb Z$ est une
forme bilin\'eaire invariante par le groupe sum\'etrique. Ceci montre
que $\chi$ est de l'une des quatre formes de la premi\`ere ligne. Pour
la deuxi\`eme ligne, il est facile de voir que les deux bicaract\`eres
suppl\'ementaires ne sont pas compatibles avec les changements de
variables lin\'aires.\qed
\enddemo

\remark{Remarques}
{\it 1)} Le caract\`ere de la repr\'esentation de $GL(K\Bbb A)$ sur
$L_K^\chi(\Bbb A)$ pour $\chi=(-1)^{pq}$ peut de d\'eduire ais\'ement
de l'isomorphisme
$$K\langle \Bbb A\rangle\cong \Cal U(L)\cong S(L^+)\otimes
\La(L^-),$$
o\`u $L$ d\'esigne $L_K^\chi(\Bbb A)$. Qui r\'esulte de l'identit\'e
cyclotomique comme nous le verrons \`a la section suivante.
\endremark

{\it 2)} Le caract\`ere de la repr\'esentation de $\frak S_{\Bbb A}$
sur ce m\^eme module a \'et\'e calcul\'e par {\smc Molev} et {\smc
Tsalenko} \cite{MT}.

\subhead 6. Calcul de bases effectives et identit\'e cyclotomique\endsubhead
Toutes les bases classiques\footnote{Et m\^eme plus g\'en\'eralement
les bases multihomog\`enes.} de l'alg\`ebre de Lie libre (et de la
superalg\`ebre) sont compatibles avec l'\'elimination de {\smc
Lazard}. Rappelons ici les outils de base de cette th\'eorie. Soit
$\Bbb A=\Bbb B+\Bbb Y$ un alphabet. Il est imm\'ediat \cite{Lo} que
$$\Bbb A^*=(\Bbb B^*\Bbb Y)^*\Bbb B^*.$$
En particulier, si $\Bbb B=\{b\}$, on a $\Bbb A^*=\big(\Bbb B^*(\Bbb
A-b)\big)^*b^*$, ce qui revient \`a dire que tout mot $w$ peut
s'\'ecrire de fa\c con unique
$$w=b^{n_1}y_1b^{n_2}y_2\dots b^{n_k}y_kb^{n_{k+1}},\quad y_i\ne b.$$
Il lui correspond le r\'esultat d'\'elimination suivant dont la preuve
se fait comme dans le cas classique par recomposition du produit
smie-direct. 

\proclaim{Th\'eor\`eme \smc [DDKM]} Soit $K$ un anneau avec $2,3\in
K^*$, les autres notations \'etant comme ci-dessus. Alors on a
$$\matrix\format\r&\l&\quad \l\\
L_K^\chi(\Bbb A)&{}\cong K\cdot b\bowtie L_K^\chi(b^*(\Bbb A-b))&
\text{si }b\in \Bbb A^+,\\
&{}\cong (K\cdot b\oplus K\cdot [b,b])\bowtie L_K^\chi(b^*(\Bbb
A-b))& \text{si }b\in\Bbb A^-,
\endmatrix$$
o\`u $\Bbb A^\epsilon=\{a\in \Bbb A\mid \chi(a,a)=\epsilon1\}$,
l'isomorphisme \'etant donn\'e par
$$\left\{\matrix \format \r&\l\\
b&{}\longrightarrow b,\\
[b,b]&{}\longrightarrow [b,b],\\
b^ky&{}\longrightarrow \underset k\text{ fois}\to{
\underbrace{[b,[b,[\cdots[b,{}}}y]\cdots]]]=\ad_b^k(y).
\endmatrix\right.$$
\endproclaim

Remarquons que ce proc\'ed\'e peut \^etre r\'ep\'et\'e. Avec des
notations \'evidentes
$$\matrix \format\r&\l&\quad \c &\quad \l\\
L(\Bbb A)&{}=L_b\oplus L\big(b^*(\Bbb A-b)\big)&\dots&\text{choisir
}t_1\in b^*(\Bbb A-b),\\
&{}=L_b\oplus L_{t_1}\oplus L(C_2)&\dots&\text{choisir
}t_2\in C_2,\\
&\innerhdotsfor3\after \quad  \\
&{}=\bigoplus_{n=0}^\infty L_{t_n}\oplus L(C),
\endmatrix$$
avec $t_0=b$. Si l'alphabet est fini, on peut choisir la suite
$(t_n)_{n\in \Bbb N}$ de fa\c con $C=\emptyset$ (la suite
$(t_n)_{n\in\Bbb N}$ est alors une suite de {\smc Hall}
\cite{Re}). Les mon\^omes de Lie correspondant dans $L_K^\chi(\Bbb A)$
forment alors une base (lin\'eaire) de $L_K^\chi(\Bbb A)$. On a donc
le r\'esultat suivant.

\proclaim{Proposition \smc [DDKM]} Soit $\Cal H=(t_n)_{n\ge0}=\Cal
H^++\Cal H^-$ une suite de {\smc Hall} dans $\Bbb A^*$, alors
$$\Cal B=\psi(t_i)_{t_i\in \Cal H}\cup
\big([\psi(t_i),\psi(t_i)]\big)_{t_i\in\Cal H^-}$$
est une base lin\'eaire de $L_K^\chi(\Bbb A)$.
\endproclaim
\remark{Remarques}
{\it 1)} Le r\'esultat pr\'ec\'edent vaut plus g\'en\'eralement pour
les bases de {\smc La\-zard--Viennot} (famille qui englobe toutes les bases
classiques connues) puisqu'une telle base co\"\i ncide {\it
localement\/} avec une base obtenue par \'eliminations
successives.\footnote{Cependant une suite unique d'\'eliminations ne
suffit pas en g\'en\'eral pour obtenir toute la base.}

{\it 2)} Les bases de {\smc Lyndon} ont \'et\'e obtenues par {\smc
Shtern} et {\smc Mikhalev} \cite{Sh}\cite{Mi}, les bases de {\smc
Hall} sont dues \`a {\smc Melan\c con} \cite{Me}, ainsi que des
r\'ecritures permettant de d\'ecomposer un mot sur la base de {\smc
Poincar\'e--Birkhoff--Witt} associ\'ee (cf.\ aussi \cite{Re}).
\endremark

\medskip
Les suites de {\smc Hall} sont des factorisations compl\`etes de $\Bbb
A^*$ et ceci permet de montrer l'isomorphisme annonc\'e en
section~5. Soit $(t_i)_{i\ge0}$ une telle suite. Alors \cite{Lo}
$$\Bbb A^*=
\prod _{i=0} ^{\infty}t_i^*\quad \text{dans }\Bbb Z\langle\langle \Bbb
A\rangle\rangle,$$
en passant \`a l'image commutative, ceci donne
$$\frac {1} {1-\Bbb A}=
\prod _{i=0} ^{\infty}\frac {1} {1-t_i},$$
et, avec $I^\epsilon=\{i\in\Bbb N\mid \chi(t_i,t_i)=\epsilon1\}$ on obtient
$$\frac {1} {1-\Bbb A}=
\prod _{i\in I^+} ^{}\frac {1} {1-t_i}
\prod _{i\in I^-} ^{}\frac {1+t_i} {1-t_i^2}=
\underset \text{base de }L^+\to{\underbrace{
\prod _{i\in I^+} ^{}\frac {1} {1-t_i}
\prod _{i\in I^-} ^{}\frac {1} {1-t_i^2}}}
\,\,
\underset \text{base de }L^-\to{\underbrace{
\prod _{i\in I^-} ^{}(1+t_i)}}.
$$

\remark{Cons\'equences}
{\it 1)} $K\langle \Bbb A\rangle\cong \Cal U(L)\cong S(L^+)\otimes
\La(L^-)$. 

{\it 2)} Comme cons\'equence du th\'eor\`eme de factorisation de {\smc
Sch\"utzenberger} appliqu\'e \`a la factorisation compl\`ete $\Bbb A^*=
\prod _{i=0} ^{\infty}t_i^*$ on a les formules de {\smc Witt}
multihomog\`enes \cite{Lo}~:
$$l_\al=\#\{t_i\mid \ev(t_i)=\al\}=\frac {1} {\vert \al\vert}
\sum _{d\mid\al} ^{}\nu(d)\frac {(\vert \al\vert/d)!} {(\al/d)!},$$
o\`u $\mu$ est la fonction de {\smc M\"obius} arithm\'etique.

Gr\^ace \`a la construction des bases faites plus haut, on obtient
d'abord que
$$l_\al=\dim L_K(\Bbb A)_\al\quad (\text{pour }\chi=1)$$
puis
$$\matrix\format\r&\l&\quad \l\\
\dim L_K^\chi(\Bbb A)_\al&{}=l_\al+l_{\al/2}&\text{si $\al/2$ est
n\'egatif,}\\
&{}=l_\al&\text{sinon.}
\endmatrix$$
Ceci donne, en consid\'erant l'action des matrices diagonales, le
caract\`ere de la re\-pr\'e\-sen\-ta\-tion de $GL(V)$ sur $L^+$ et $L^-$
(pour $\chi=(-1)^{pq}$),
$$\align \ch(L^+)&=
\sum _{n\ge0} ^{}l_n+
\sum _{n\text{ impair}} ^{}\psi^2(l_n),\\
\ch(L^-)&=
\sum _{n\text{ impair}} ^{}l_n.
\endalign$$
\endremark

\subhead 7. Conclusion\endsubhead
Nous poss\'edons maintenant une famille de structures qui englobe \`a
la fois les alg\`ebres et les superalg\`ebres de Lie classiques. Elles
correspondent aux d\'erivations dont la formule de {\smc Leibniz}
comporte un facteur de commutation $\chi$ qui est \`a valeurs dans
l'anneau de base. Nous savons compl\`etement d\'ecrire la structure de
ces facteurs, les objets libres et leurs caract\`eres. Deux voies
semblent d\`es lors prometteuses.

La premi\`ere serait d'explorer la combinatoire de l'alg\`ebre libre
vue comme alg\`ebre enveloppante de superalg\`ebres libres.

La seconde serait de g\'en\'eraliser la structure \`a des facteurs de
commutation non commutatifs, puisqu'ils interviennent dans les
formules de {\smc Leibniz} d'op\'erateurs de base comme les
diff\'erences divis\'ees \cite{LS}.




\widestnumber\key{DDKM}
\Refs

\ref\key Ba\by BAHTURIN Y.A., MIKHALEV A.A., PETROGRADSKY V.M., ZAICEV
M.V.\book Infinite dimensional Lie superalgebras \publ W. de
Gruyter\publaddr Berlin\yr 1992 \endref

\ref\key Be\by BEREZIN F.A. \book Introduction to algebra and
analysis with anticommuting variables\publ  MGU Moscou\yr 1983\endref

\ref\key DeW\by DeWitt B.\book Supermanifolds\bookinfo Second
edition\publ Cambridge University Press\publaddr Cambridge\yr 1992\endref

\ref\key DDKM\by D\'ESARM\'ENIEN J., DUCHAMP G., KROB D., MELAN\c CON
G.\paper  Quelques remarques sur les super-alg\`ebres de Lie
libres\jour  C. R. Acad.\ Sci.\ Paris S\'er.~I Math.\ \vol 318\yr
1994\pages 419--424 \endref

\ref\key F\by FREUND P.G.O.\book Introduction to supersymmetry\publ
Cambridge University Press\publaddr Cambridge\yr 1986\endref

\ref\key K\by KAC V.G.\paper Lie superalgebras\jour Adv.\ in Math.\vol
26\yr 1977\pages 8--96\endref

\ref\key LS\by LASCOUX A., SCH\"UTZENBERGER M.P.\paper Symmetrization
operators on polynomial\break rings\jour Funct.\ Anal.\ Appl.\vol 21\yr
1987\pages 77--78\endref

\ref\key Lo\by LOTHAIRE M.\book Combinatorics on words\publ
Addison--Wesley\publaddr Reading, Mass.\yr 1983\endref

\ref\key Me\by MELAN\c CON G.\book R\'e\'ecritures dans l'alg\`ebre de
Lie libre, le groupe libre et l'alg\`ebre associative libre\publ
Publications du LACIM, no.~8 \publaddr Universit\'e de Qu\'ebec \`a
Montr\'eal\yr 1991 \endref

\ref\key Mi\by MIKHALEV A.A.\paper Free color Lie algebras \jour Sov.\
Math.\ Dokl.\vol 33 \yr 1986\pages 136--139\endref

\ref\key MT\by MOLEV A.I., TSALENKO L.M.\paper Representations of the
symmetric group in the free Lie (super)algebra and in the space of
harmonic polynomials\jour Funct.\ Anal.\ Appl.   \vol 20{\rm(2)} \yr
1986\pages 150--152\endref

\ref\key Ree\by REE R.\paper Generalized Lie elements\jour Can.\
J. Math.\ \vol 12 \yr 1960\pages 493--502\endref

\ref\key Re\by REUTENAUER C.\book Free Lie algebras \publ Clarendon
Press\publaddr New York\yr 1993 \endref

\ref\key RW\by RITTENBERG V., WYLER D.\paper Sequences of
$Z\sb{2}\oplus Z\sb{2}$ graded Lie algebras and superalgebras\jour
J. Math.\ Phys.\ \vol 19 \yr 1978\pages 4806--4811\endref

\ref\key S\by SCH\"UTZENBERGER M.P.\paper Sur une propri\'et\'e 
combinatoire des alg\`ebres de Lie libres pouvant \^etre utilis\'ee
dans un probl\`eme de math\'ematiques appliqu\'ees\jour S\'eminaire
Dubreuil--Pisot, Ann\'ee 1958--1959\endref

\ref\key Sc\by SCHEUNERT M. \book The theory of Lie superalgebras
\publ Lecture Notes in Math., vol.~716, Springer--Verlag\publaddr
Berlin\yr 1979\endref

\ref\key Sh\by SHTERN A.S.\paper Free Lie superalgebras\jour Siberian
Math.\ J.\vol 27 \yr 1986\pages 136--140\endref

\ref\key Vi\by VIENNOT G.\book Alg\`ebres de Lie libres et mono\"\i
des libres\publ Lecture
Notes in Math., vol.~691, Springer--Verlag\publaddr Berlin\yr 1976 \endref






\endRefs






\enddocument
