IDENTITÉ CYCLOTOMIQUE, SUPERALGÈBRES

DE LIE ET BICARACTÈRES

Gérard Duchamp

Abstract. The introduction of an arbitrary bicharacter unifies the theories of Lie algebras and superalgebras. Here, we give the structure of bicharacters and study those that are compatible with linear and symmetric actions on the free Lie superalgebra. We also give a way to adapt the construction of classical bases of Lie algebras to superalgebras and derive consequences on modules and characters.

Résumé. L’introduction d’un bicaractère arbitraire unifie les théories des algèbres et des superalgèbres de Lie. Ici, nous donnons la structure des bicaractères et déterminons ceux qui sont compatibles avec les actions des changements de variables par les groupes linéaires et symétriques. Nous indiquons aussi un moyen d’adapter les bases classiques des algèbres de Lie aux superalgèbres et en déduisons des propriétés des modules associés et de leurs caractères.

1. Introduction. Il est bien connu que les dérivations d’une algèbre forment une algèbre de Lie. Mais l’analyse offre des situations où les dérivations vérifient

∂xy = ∂x.y + χ x.∂y

avec un facteur χ scalaire différent de 1. L’exemple le plus connu étant la différentielle extérieure des formes sur une variété.

Les axiomes que vérifie χ sont ceux des bicaractères (cf. section 3), ils ont été énoncé pour la première fois sous leur forme actuelle par R. Ree [Ree] qui, dans son papier, définit en toute généralité la notion de χ-algèbre, donne un analogue des caractérisations classiques des polynômes de Lie (Friedrichs, Dynkin–Specht– Wever) et des formules de Witt.

Les superalgèbres ont été étudiées principalement avec le facteur de commutation (−1)^{degré(x)·degré(y)} [Sc]. Plus récemment l’école de Moscou en a repris l’étude dans toute sa généralité et le lecteur curieux des questions comme les identités dans les algèbres enveloppantes, les p-algèbres et les variétés d’algèbres est invité à consulter le livre qu’elle vient de publier [Ba].

Ce qui suit est consacré aux aspects combinatoires des bicaractères et des bases effectives des χ-algèbres. Après un bref rappel du cas classique (section 2) et du cas général (section 3), on donne un théorème de structure des bicaractères (section 4). Sur tous les bicaractères possibles, la condition que la superalgèbre libre soit stable par les changements de variables n’en retient que deux (les deux classiques d’ailleurs) et quatre si on n’autorise que les substitutions (section 5).

Enfin, dans la section 6, l’élimination de Lazard permet de voir très facilement (en se ramenant au cas d’un seul générateur) comment adapter aux superalgèbres les constructions de bases classiques connues dans le cas des algèbres de Lie. Nous en déduisons quelques conséquences énumératives sur les dimensions, les modules et leurs caractères.

2. Superalgèbres de Lie classiques. On dira qu’une algèbre G = G_{0} ⊕ G_{1}, ℤ/2ℤgraduée et munie d’une loi [ , ], est une superalgèbre de Lie si elle vérifie identiquement, pour x ∈ G_{p}, y ∈ G_{q} :

(J)  [x, [y, z]] = [[x, y], z] + (−1)^{pq}[y, [x, z]],
(S)  [x, y] = −(−1)^{pq}[y, x].

Exemples. 1) Soit A = A_{0} ⊕ A_{1} une algèbre associative ℤ/2ℤ-graduée. La formule

[x, y] = xy − (−1)^{pq}yx

définie pour x ∈ 𝔸_{p} et y ∈ 𝔸_{q} s’étend par linéarité à toute A et la munit d’une structure de superalgèbre de Lie.

2) On peut définir ainsi les superalgèbres gl(m|n), sl(m|n) et Psl(n|n) qui sont utilisées par les physiciens [DeW][F].

La superalgèbre linéaire gl(m|n) est un cas particulier du permier exemple.

Soit V = V_{0} ⊕ V_{1}, un espace vectoriel ℤ/2ℤ-gradué (V_{0} est appellé secteur de Bose et V_{1}, de Fermi). End(V) (= End^{gr}(V)) est munie naturellement d’une structure d’algèbre ℤ/2ℤ-graduée par

End^{(i)}(V) = {f ∈ End(V) : f(V_{j}) ⊂ V_{i+j} pour tout j}

qui permet, selon l’exemple précédent, de munir End(V) d’une structure de superalgèbre de Lie. Cette algèbre n’est pas simple et admet un idéal non trivial, sl(m|n) qui est le noyeau de la forme “supertrace” dont la définition est (p_{0} et p_{1} désignant les projecteurs associés à la somme V = V_{0} ⊕ V_{1})

str(f) = tr(p_{0}f) − tr(p_{1}f).

Si m ≠ n, sl(m|n) est simple, sl(n|n) admet encore un idéal non trivial, son centre, qui est la droite des matrices scalaires. Le quotient Psl(n|n) = sl(n|n)/(ℂ · 1) est simple pour n ≥ 2 (cf. [DeW][F]).

Remarques. 1) Les ℂ-superalgèbres simples de dimension finie ont été classifiées par Kac [K].

2) La catégorie des superalgèbres de Lie a un comportement très semblable à celle des algèbres de Lie par rapport aux objets libres et aux algèbres enveloppantes.

Cette remarque conduit à la question suivante : Question : Existe-t-il une famille de structures qui ait le même comportement et qui contienne à la fois les algèbres et superalgèbres de Lie ? Réponse : Oui, les χ-superalgèbres de Lie. Rhimac REE [Ree] a remarqué que (−1)^{pq} pouvait se remplacer par un facteur de commutation χ, bilinéaire antisymétrique sur le monoïde des degrés (qui n’est alors plus nécessairement ℤ/2ℤ). Nous allons maintenant en donner la définition exacte.

3. χ-superalgèbres. Soit K, un anneau et (G_{α})_{α∈M}, une K-algèbre graduée par un monoïde commutatif M et dont la loi est notée [ , ]. Un bicaractère (ou facteur de commutation sur M) est une application χ : M × M ⟶ K telle que les identités suivantes soient vérifiées pour x, y, z ∈ M

\{ \begin{matrix}χ(x + y, z) = χ(x, z) + χ(y, z), & (bc1) \\ χ(x, y + z) = χ(x, y) + χ(x, z), & (bc2) \\ χ(x, y)χ(y, x) = 1, & (bc3) \\ χ(x, x) = ±1. & (bc4) \end{matrix}

(bc1), (bc2) et (bc3) signifient que χ est bilinéaire antisymétrique et (bc4) est une condition diagonale qui est toujours réalisée lorsque K est un corps. On peut alors définir la structure de superalgèbre.

Définition. Soit (M, +) un monoïde comutatif, K un anneau tel que 2, 3 ∈ K^{∗} et χ : M × M ⟶ K un bicaractère, on dit qu’une algèbre graduée G = ⨁_{α∈M} G_{α} est une χ-superalgèbre (ou superalgèbre colorée [Bah]) si elle vérifie les identités suivantes

\{ \begin{matrix}[x, [y, z]] = [[x, y], z] + χ(α, β)[y, [x, z]], & (J) \\ [x, y] = −χ(α, β)[y, x], & (A) \end{matrix}

identiquement pour x ∈ G_{α} et y ∈ G_{β}.

Exemple. On peut déjà définir une telle structure sur l’anneau des polynômes non commutatifs (dont nous verrons qu’elle est l’algèbre enveloppante de la superalgèbre libre).

Soit 𝔸, un alphabet. Pour un mot w ∈ 𝔸^{∗}, |w|_{a} désignera le nombre d’occurrences de la lettre a dans w et ev(w) := (|w|_{a})_{a∈𝔸}, son évaluation. Soit α ∈ ℕ^{𝔸}, on pose 𝔸^{α} := ev^{−1}(α) et ℂ_{α}⟨𝔸⟩ := ℂ𝔸^{α}.

Muni de cette graduation ℂ⟨𝔸⟩ = ⨁_{α∈ℕ^{𝔸}} ℂ_{α}⟨𝔸⟩ est une ℂ-algèbre graduée. Maintenant, si l’alphabet 𝔸 = 𝔸^{+} + 𝔸^{−} est signé, on peut définir le bicaractère χ par la formule

χ(α, β) = ξ(d_{+}(α) d_{−}(β)) ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}d_{+}(α) \\ d_{−}(β) \end{matrix} )

avec d_{ϵ}(α) = ∑_{a∈𝔸^{ϵ}} α(a) et ξ ∈ ℂ.

Le crochet

[P, Q] = P Q − χ(α, β)QP

défini pour P ∈ ℂ_{α}⟨𝔸⟩ et Q ∈ ℂ_{β}⟨𝔸⟩ munit ℂ⟨𝔸⟩ d’une structure de superalgèbre de Lie.

Remarques. 1) Des superalgèbres dont le bicaractère n’est ni trivial (χ = 1), ni classique (χ = (−1)^{pq}) peuvent se trouver dans [RW].

2) Nous allons voir que l’exemple précédent est en quelque mesure générique puisque tout bicaractère est le produit d’exponentielles de formes antisymétriques et d’un facteur (−1)^{β} où β est symétrique. Ceci conduit à la question suivante : Question : Pour un monoïde donné M, peut-on connaître et construire tous les bicaractères ?

La réponse est positive et ca être rendue plus précise dans la section suivante.

4. Structure des bicaractères. Pour l’énoncer, nous aurons besoin de la notion de matrice admissible.

Définition. Soit F un sous-ensemble d’un groupe commutatif. Une matrice C = [a_{gh}]_{g,h∈F} à valeurs dans K^{∗} sera dite admissible si elle vérifie les trois conditions suivantes :^{1}

\{ \begin{matrix}ng = 0 ⟹ (a_{gh})^{n} = 1, & (T) \\ a_{gh}a_{hg} = 1, & (A) \\ a_{gg} = ±1. & (D) \end{matrix}

Nous pouvons maintenant donner la structure des bicaractères.

Proposition [DDKM]. Soit M un monoïde commutatif de type fini et ϕ : M → M̄ le morphisme canonique dans le groupe librement engendré par M. Soit M̄ = ⨁_{g∈F} ℤg une décomposition directe de M̄ en sous-modules monogènes (F est alors finie). Soit enfin C = [a_{gh}]_{g,h∈F} une matrice admissible. Alors

i) Pour tous u, v ∈ M, la quantité

(∗)  χ_{C}(u, v) = ∏_{g,h∈F} a_{gh}^{n_{g}m_{h}}

est indépendante des décompositions ϕ(u) = ∑_{g∈F} n_{g}g et ϕ(v) = ∑_{g∈F} m_{h}h. ii) (∗) définit un bicaractère sur M. iii) Tout bicaractère sur M peut s’obtenir ainsi.

Preuve. i) Pout tout g ∈ F soit o(g) l’ordre de g. Si ϕ(u) = ∑_{g∈F} n′_{g}g est une seconde décomposition on a

\begin{aligned}n_{g} − n′_{g} & ∈ o(g)ℤ & si o(g) < ∞, \\ & = 0 & sinon. \end{aligned}

Le fait que le second membre ait la même valeur selon les deux décompositions résulte alors de la condition (T) de la matrice admissible. On raisonne de même avec une double décomposition de v.

ii) Résulte des conditions (A) et (D).

iii) Si χ est un bicaractère donné, χ se factorise à travers ϕ. Soit C = [χ(u_{g}, u_{h})]_{g,h∈F} avec χ(u_{h}) = h. C est indépendante des représentants choisis et admissible. De plus χ = χ_{C}. □

On déduit aussitôt de cette paramétrisation la décomposition suivante.

Corollaire [DDKM]. Soit K un corps de caractéristique différente de 2, 3 et χ : M × M → K un bicaractère. Il existe alors une décomposition de χ,

χ = χ_{a} · (−1)^{β},

1(T) est une condition de compatibilité avec la torsion, (A) la condition d’antisymétrie et (D) la condition diagonale (bc4) toujours réalisée lorsque K est un corps.

où χ_{a} est alterné (i.e. χ_{a}(u, u) = 0 pour tout^{2} u ∈ M) et β : M × M → ℤ/2ℤ est une forme bilinéaire symétrique.

Preuve. Si C_{1} et C_{2} sont deux matrices admissibles leur produit de Hadamard est un matrice admissible et

χ_{C_{1}⊙C_{2}} = χ_{C_{1}}χ_{C_{2}}.

Soit χ = χ_{C} un bicaractère avec C = [a_{gh}]_{g,h∈F}. Posons

\begin{aligned}a′_{gh} & = a_{gh} & si a_{gh} ≠ a_{hg}, \\ & = 1 & sinon. \end{aligned}

Il est clair que C′ = [a′_{gh}]_{g,h∈F} et C′′ = [a_{gh}/a′_{gh}]_{g,h∈F} sont admissibles et que χ = χ_{C′}χ_{C′′}. χ_{C′} est alterné par construction et χ_{C′′} est symétrique, ce qui entraine qu’il est de la forme (−1)^{β} où β : M × M → ℤ/2ℤ est une forme bilinéaire symétrique. □

Remarques. 1) La factorisation χ = χ_{a} · (−1)^{β} n’est en général pas unique comme le montre l’exemple suivant.

Considérons, sur ℕ^{2} le bicaractère complexe χ = i^{ϕ} (i = \sqrt{−1}) où avec mat(ϕ) = ( \begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) (on note mat(ϕ) la matrice de ϕ dans la base canonique de ℕ^{2}). On a alors

deux décompositions χ = i^{ϕ_{1}} · (−1)^{ϕ_{2}},

mat(ϕ_{1}) = ( \begin{matrix}0 & 3 \\ 1 & 0 \end{matrix} ); mat(ϕ_{2}) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ,

ou bien

mat(ϕ_{1}) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 3 & 0 \end{matrix} ); mat(ϕ_{2}) = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) .

2) La d’ecomposition G = G_{+} ⊕ G_{−} avec

G_{ϵ} = _{⨁_{α∈M} ; χ(α,α)=ϵ1}G_{α}

ne dépend que de (−1)^{β}, et c’est seulement de cette décomposition que dépend la structure de module gradué de l’algèbre enveloppante.

Nous allons décire maintenant les objets libres et les algèbres enveloppantes.

5. Algèbres libres et enveloppantes. Soit 𝔸 un alphabet, K un anneau tel que 2, 3 ∉ K et χ : 𝔸 × 𝔸 → K une application telle que l’on ait identiquement

\{ \begin{matrix}χ(a, b)χ(b, a) & = 1, \\ χ(a, a) & = ±1. \end{matrix}

2La seule nullité sur la diagonale de la matrice ne suffit pas à entrainer qu’un bicaractère soit alterné.

On cherche une solution du problème universel suivant.

(L) Trouver un couple (j, L) tel que

1) L est une superalgèbre ℕ^{𝔸}-graduée et j est une application 𝔸 → L telle que a ∈ 𝔸 ⟹ j(a) ∈ L_{ϵ_{a}}, où ϵ_{a} désigne l’image de a dans ℕ^{𝔸}.

2) Toute application g : 𝔸 → G vérifiant la condition (1) ci-dessus se factorise g = ḡ ∘ j où ḡ : L → G est un morphisme de superalgèbres.

Comme dans le cas des algèbres de Lie (soit χ = 1), la solution est donnée par la sous-algèbre engendrée par les lettres dans l’algèbre libre [Bah, ch. 2]. Nous allons décrire maintenant complètement cette construction.

On étend d’abord χ par linéarité en un bicaractère sur ℕ^{𝔸}. La formule

[P, Q] = P Q − χ(α, β)QP, P ∈ K_{α}⟨𝔸⟩, Q ∈ K_{β}⟨𝔸⟩,

munit K⟨𝔸⟩ = ⨁_{α∈ℕ^{𝔸}} K_{α}⟨𝔸⟩ d’une structure de superalgèbre ℕ^{𝔸}-graduée. Alors la sous-algèbre de K⟨𝔸⟩ engendrée par les lettres, L_{k}^{χ}(𝔸) et l’injection canonique j : 𝔸 → L_{K}^{χ}(𝔸) forment une solution au problème universel (L).

Pour pouvoir calculer les caractères de GL_{n} et 𝔖_{n} sur le sous-module ainsi défini, il faut résoudre le problème de sa stabilité. On peut déterminer les bicaractères qui sont compatibles avec ces changements de variables. Plus précisement on a le résultat suivant.

Proposition [DDKM]. Soit K un corps (ch(K) > 3) et 𝔸, L_{k}^{χ}(𝔸) comme ci-dessus. Alors :

Pour que L_{K}^{χ}(𝔸) soit stable pour l’action de G (= GL(K𝔸), 𝔖_{𝔸}) il faut et il suffit que χ soit un des bicaractères donnés par le tableau ci-dessous :

Groupe χ =
𝔖_{𝔸}  1  (−1)^{pq} (−1)^{|α⊙β|} (−1)^{pq+|α⊙β|}
GL(K𝔸) 1  (−1)^{pq}

avec |α ⊙ β| = ∑_{α∈𝔸} α(a)β(a).

Preuve. L_{χ} est un sous-module gradué. Soient a, b deux lettres. On a (L_{χ})_{a+b}^{σ} = (L_{χ})_{σ(a)+σ(b)}. On va d’abord montrer que, si a ≠ b, alors χ(a, b) = χ(b, a).

Supposons que L_{χ} soit stable par 𝔖_{𝔸}. Pour tout σ on a

[a, b]^{σ} = σ(a)σ(b) − χ(a, b)σ(b)σ(a)

et

[σ(a), σ(b)]^{σ} = σ(a)σ(b) − χ(σ(a), σ(b))σ(b)σ(a).

Mais, le fait que (L_{χ})_{a+b} soit un sous espace vectoriel de dimension ≤ 1 entraine que

(∗)  χ(a, b) = χ(σ(a), σ(b)).

En particulier, on a χ(a, b) = χ(b, a) et compte tenu de ce que K est un corps χ(a, b) ∈ {1, −1}. Le bicaractère est donc de la forme (−1)^{β} où β : M × M → ℤ/2ℤ est une forme bilinéaire invariante par le groupe sumétrique. Ceci montre que χ est de l’une des quatre formes de la première ligne. Pour la deuxième ligne, il est facile de voir que les deux bicaractères supplémentaires ne sont pas compatibles avec les changements de variables lináires. □

Remarques. 1) Le caractère de la représentation de GL(K𝔸) sur L_{K}^{χ}(𝔸) pour χ = (−1)^{pq} peut de déduire aisément de l’isomorphisme

K⟨𝔸⟩ ≅ U(L) ≅ S(L^{+}) ⊗ Λ(L^{−}),

où L désigne L_{K}^{χ}(𝔸). Qui résulte de l’identité cyclotomique comme nous le verrons à la section suivante.

2) Le caractère de la représentation de 𝔖_{𝔸} sur ce même module a été calculé par Molev et Tsalenko [MT].

6. Calcul de bases effectives et identité cyclotomique. Toutes les bases classiques^{3} de l’algèbre de Lie libre (et de la superalgèbre) sont compatibles avec l’élimination de Lazard. Rappelons ici les outils de base de cette théorie. Soit 𝔸 = 𝔹 + 𝕐 un alphabet. Il est immédiat [Lo] que

𝔸^{∗} = (𝔹^{∗}𝕐)^{∗}𝔹^{∗}.

En particulier, si 𝔹 = {b}, on a 𝔸^{∗} = (𝔹^{∗}(𝔸 − b))^{∗}b^{∗}, ce qui revient à dire que tout mot w peut s’écrire de façon unique

w = b^{n_{1}}y_{1}b^{n_{2}}y_{2} … b^{n_{k}}y_{k}b^{n_{k+1}}, y_{i} ≠ b.

Il lui correspond le résultat d’élimination suivant dont la preuve se fait comme dans le cas classique par recomposition du produit smie-direct.

Théorème [DDKM]. Soit K un anneau avec 2, 3 ∈ K^{∗}, les autres notations étant comme ci-dessus. Alors on a

\begin{aligned}L_{K}^{χ}(𝔸) & ≅ K · b ▷◁ L_{K}^{χ}(b^{∗}(𝔸 − b)) & si b ∈ 𝔸^{+}, \\ & ≅ (K · b ⊕ K · [b, b]) ▷◁ L_{K}^{χ}(b^{∗}(𝔸 − b)) & si b ∈ 𝔸^{−}, \end{aligned}

où 𝔸^{ϵ} = {a ∈ 𝔸 | χ(a, a) = ϵ1}, l’isomorphisme étant donné par

\{ \begin{matrix}b & ⟶ b, \\ [b, b] & ⟶ [b, b], \\ b^{k}y & ⟶ \underbrace{[b, [b, [⋯ [b,}_{k fois}y] ⋯]]] = ad_{b}^{k}(y). \end{matrix}

Remarquons que ce procédé peut être répété. Avec des notations évidentes

L(𝔸) = L_{b} ⊕ L(b^{∗}(𝔸 − b)) … choisir t_{1} ∈ b^{∗}(𝔸 − b),
= L_{b} ⊕ L_{t_{1}} ⊕ L(C_{2}) … choisir t_{2} ∈ C_{2},
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= ⨁_{n=0}^{∞} L_{t_{n}} ⊕ L(C),

avec t_{0} = b. Si l’alphabet est fini, on peut choisir la suite (t_{n})_{n∈ℕ} de façon C = ∅ (la suite (t_{n})_{n∈ℕ} est alors une suite de Hall [Re]). Les monômes de Lie correspondant dans L_{K}^{χ}(𝔸) forment alors une base (linéaire) de L_{K}^{χ}(𝔸). On a donc le résultat suivant.

3Et même plus généralement les bases multihomogènes.

Proposition [DDKM]. Soit H = (t_{n})_{n≥0} = H^{+} + H^{−} une suite de Hall dans 𝔸^{∗}, alors

B = ψ(t_{i})_{t_{i}∈H} ∪ ([ψ(t_{i}), ψ(t_{i})])_{t_{i}∈H^{−}}

est une base linéaire de L_{K}^{χ}(𝔸).

Remarques. 1) Le résultat précédent vaut plus généralement pour les bases de Lazard–Viennot (famille qui englobe toutes les bases classiques connues) puisqu’une telle base coïncide localement avec une base obtenue par éliminations successives.^{4}

2) Les bases de Lyndon ont été obtenues par Shtern et Mikhalev [Sh][Mi], les bases de Hall sont dues à Melançon [Me], ainsi que des récritures permettant de décomposer un mot sur la base de Poincaré–Birkhoff–Witt associée (cf. aussi [Re]).

Les suites de Hall sont des factorisations complètes de 𝔸^{∗} et ceci permet de montrer l’isomorphisme annoncé en section 5. Soit (t_{i})_{i≥0} une telle suite. Alors [Lo]

𝔸^{∗} = ∏_{i=0}^{∞} t_{i}^{∗} dans ℤ⟨⟨𝔸⟩⟩,

en passant à l’image commutative, ceci donne

\frac{1}{1 − 𝔸} = ∏_{i=0}^{∞} \frac{1}{1 − t_{i}} ,

et, avec I^{ϵ} = {i ∈ ℕ | χ(t_{i}, t_{i}) = ϵ1} on obtient

\frac{1}{1 − 𝔸} = ∏_{i∈I^{+}} \frac{1}{1 − t_{i}} ∏_{i∈I^{−}} \frac{1 + t_{i}}{1 − t_{i}^{2}} = \underbrace{∏_{i∈I^{+}} \frac{1}{1 − t_{i}} ∏_{i∈I^{−}} \frac{1}{1 − t_{i}^{2}}}_{base de L^{+}} \underbrace{∏_{i∈I^{−}}(1 + t_{i})}_{base de L^{−}}.

Conséquences. 1) K⟨𝔸⟩ ≅ U(L) ≅ S(L^{+}) ⊗ Λ(L^{−}).

2) Comme conséquence du théorème de factorisation de Schützenberger appliqué à la factorisation complète 𝔸^{∗} = ∏_{i=0}^{∞} t_{i}^{∗} on a les formules de Witt multihomogènes [Lo] :

l_{α} = #\{t_{i} | ev(t_{i}) = α\} = \frac{1}{|α|} ∑_{d|α} ν(d)\frac{(|α|/d)!}{(α/d)!},

où μ est la fonction de Möbius arithmétique.

Grâce à la construction des bases faites plus haut, on obtient d’abord que

l_{α} = dim L_{K}(𝔸)_{α} (pour χ = 1)

4Cependant une suite unique d’éliminations ne suffit pas en général pour obtenir toute la base.

puis

dim L_{K}^{χ}(𝔸)_{α} = l_{α} + l_{α/2} si α/2 est négatif,
= l_{α}  sinon.

Ceci donne, en considérant l’action des matrices diagonales, le caractère de la représentation de GL(V) sur L^{+} et L^{−} (pour χ = (−1)^{pq}),

ch(L^{+}) = ∑_{n≥0} l_{n} + ∑_{n impair} ψ^{2}(l_{n}),

ch(L^{−}) = ∑_{n impair} l_{n}.

7. Conclusion. Nous possédons maintenant une famille de structures qui englobe à la fois les algèbres et les superalgèbres de Lie classiques. Elles correspondent aux dérivations dont la formule de Leibniz comporte un facteur de commutation χ qui est à valeurs dans l’anneau de base. Nous savons complètement décrire la structure de ces facteurs, les objets libres et leurs caractères. Deux voies semblent dès lors prometteuses.

La première serait d’explorer la combinatoire de l’algèbre libre vue comme algèbre enveloppante de superalgèbres libres.

La seconde serait de généraliser la structure à des facteurs de commutation non commutatifs, puisqu’ils interviennent dans les formules de Leibniz d’opérateurs de base comme les différences divisées [LS].

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