\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{a4,amsfonts}

\def\det{\mbox{\rm d\'et}}
\def\comp{\mathbb C}
\def\rat{\mathbb Q}
\title{D\'eterminants de Hankel et th\'eor\`eme de Sylvester}
\author{Christian Radoux, Universit\'e de Mons}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\begin{enumerate}
\item Un d\'eterminant de la forme
$$\det (a_{i+j})_{i,j=1,\ldots,n}$$
est dit {\sl ``de Hankel"}. \\
Outre l'int\'er\^et esth\'etique que pr\'esente souvent l'\'etude de tels
d\'eterminants, il con\-vient de noter qu'ils surgissent tr\`es spontan\'ement
dans de nombreuses questions. \\
Par exemple \cite{1} : \\
Soit la s\'erie formelle
$$f(X) = \sum^\infty_{m=0} a_m X^m \quad ,$$
\`a coefficients $a_m$ dans un champ $K$. \\
Pour que $f(X)$ soit une fraction rationnelle, il faut et il suffit
qu'il existe $n$ tel que, pour tout $k$ assez grand,
$$\det (a_{k+i+j})_{i,j=0,1,\ldots, n} = 0 \quad .$$
\item Voici un {\sl autre exemple}. \\
Dans \cite{6}, on d\'emontre que, si la suite $(B_n)$ des nombres de Bell,
r\'eduite modulo~$p$ premier, est de p\'eriode $k_p$ maximum, c'est-\`a-dire
de p\'eriode $k_p = \frac{p^p - 1}{p-1}$, alors il existe \`a l'int\'erieur
de cette p\'eriode
\begin{itemize}
\item une et une seule $(p-1)$-s\'equence nulle~:
\begin{eqnarray}
B_{a_p} \equiv B_{a_p + 1} \equiv \cdots \equiv B_{a_p + p -2}
\equiv 0 \quad (\mbox{\rm mod}~p) \quad , \label{1}
\end{eqnarray}
avec
\begin{eqnarray}
a_p = \frac{p + (p-2) k_p}{p-1} \label{2}
\end{eqnarray}
\item une et une seule $p$-s\'equence constante~:
\begin{eqnarray}
B_{b_p} \equiv B_{b_p + 1} \equiv \cdots \equiv B_{b_p + p -1}
\equiv c_p \quad (\mbox{\rm mod}~p) \quad , \label{3}
\end{eqnarray}
avec
\begin{eqnarray}
b_p = a_p + \frac{k_p - 1}{p} \quad . \label{4}
\end{eqnarray}
\end{itemize}
N.B. \quad En fait, dans \cite{5}, J.W. Layman d\'emontre que l'existence
et l'unicit\'e de la $(p-1)$-s\'equence nulle est assur\'ee m\^eme si la p\'eriode
n'est pas maximale. \\
\ \\
Se pose donc le probl\`eme de la d\'etermination de $c_p \equiv B_{b_p}$. \\
Appelons $\vec V_i$ le vecteur colonne
$\left( \begin{array}{l} B_i \\ B_{i+1} \\ \vdots \\ B_{i+p-1} \end{array}
\right)$ et posons
\begin{eqnarray}
D_{p,i} = \det (\vec V_i, \vec V_{i+1}, \ldots, \vec V_{i+p-1}) \label{5}
\end{eqnarray}
Sachant \cite{2} que
\begin{eqnarray}
B_{n+p} \equiv B_{n+1} + B_n \quad (\mbox{\rm mod}~p) \quad ,\label{6}
\end{eqnarray}
on voit tout de suite que
\begin{eqnarray}
D_{p,i+1} \equiv D_{p,i} \quad (\mbox{\rm mod}~p) \quad . \label{7}
\end{eqnarray}
En d'autres termes $D_{p,i}$ est ind\'ependant de $i$~:
\begin{eqnarray}
\forall i \; , \; D_{p,i} \equiv D_p \quad (\mbox{\rm mod}~p) \label{8}
\end{eqnarray}
Sachant en outre \cite{2} que
\begin{eqnarray}
B_{np} \equiv B_{n+1} \quad (\mbox{\rm mod}~p) \quad , \label{9}
\end{eqnarray}
on peut r\'ecrire (\ref{3}) comme suit~:
\begin{eqnarray}
B_{(b_p-1)p} \equiv B_{b_pp} \equiv \cdots \equiv
B_{(b_p + p-2)p} \equiv c_p \quad (\mbox{\rm mod}~p) \label{10}
\end{eqnarray}
Soustrayons deux \`a deux les termes cons\'ecutifs, en utilisant \`a nouveau
(\ref{6}).  Il vient
\begin{eqnarray}
B_{(b_p-1)p+1} \equiv B_{b_pp+1} \equiv \cdots \equiv
B_{(b_p + p-3)p+1} \equiv 0 \quad (\mbox{\rm mod}~p) \label{11}
\end{eqnarray}
En r\'eit\'erant cette op\'eration, on obtient~:
\begin{eqnarray}
B_{(b_p-1)p+2} \equiv B_{b_pp+2} \equiv \cdots \equiv
B_{(b_p + p-4)p+2} \equiv 0 \quad (\mbox{\rm mod}~p) \label{12}
\end{eqnarray}
et ainsi de suite. \\
En regardant le tableau ainsi engendr\'e, on voit que la matrice $M$,
d'\'el\'ement
\begin{eqnarray}
M_{i,j} = B_{(b_p -1)p + i + pj} \label{13}
\end{eqnarray}
(o— $i,j = 0, 1, \ldots, p-1)$ v\'erifie
\begin{eqnarray}
M \equiv \left( \begin{array}{cccccc}
c_p & c_p & c_p & \cdots & c_p & c_p \\
0 & 0 & 0 && 0 & \star \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots  & \cdots \\
0 & 0 & 0 & & & \\
0 & 0 & & & & \vdots \\
0 & \star & & & & \star \end{array} \right) \quad (\mbox{\rm mod}~p)
\quad , \label{14}
\end{eqnarray}
les $\star$ d\'esignant des \'el\'ements inconnus, de sorte que
\begin{eqnarray}
( B_{(b_p-1)p}, B_{(b_p-1)p+1}, \ldots, B_{(b_p-1)p+2p-2})
\equiv  (c_p, \underbrace{0, \ldots, 0}_{(p-1)\mbox{fois}},
c_p, \underbrace{0, \ldots, 0}_{(p-2)\mbox{fois}}) \label{15}
\end{eqnarray}
(mod $p$).
\medskip
\par\noindent
Ainsi
\begin{eqnarray}
D_p = D_{p,(b_p-1)p} \equiv \left| \begin{array}{cccccc}
c_p & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & c_p \\
0 & 0 & 0 & \cdots & c_p & 0 \\
0 & 0 & 0 & & & \\
\vdots & \vdots & \vdots & & & \\
0 & 0 & c_p & \cdots & 0 & 0 \\
0 & c_p & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array} \right| =
(-1)^{\frac{p-1}{2}} c^p_p \; (\mbox{\rm mod}~p) \label{16}
\end{eqnarray}
et le th\'eor\`eme de Fermat donne finalement
\begin{eqnarray}
B_{b_p} \equiv c_p \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}} D_p \quad (\mbox{mod}~p)
\label{17}
\end{eqnarray}
Par ailleurs, grƒce \`a la remarque (\ref{8}), nous pouvons \'ecrire~:
\begin{eqnarray}
D_p \equiv D_{p,0} = \det (B_{i+j})_{i,j = 0,1, \ldots, p-1} \label{18}
\end{eqnarray}
En r\'esum\'e, l'\'evaluation de la $p$-s\'equence constante de nombres de Bell
r\'eduits modulo~$p$ m\`ene ``naturellement" au calcul du d\'eterminant de
Hankel construit sur la s\'equence initiale de ces nombres.
\item $\underline{\mbox{Deux techniques de calcul}}$  \\
Plusieurs auteurs ont \'evalu\'e ce d\'eterminant.
\begin{enumerate}
\item $\underline{\mbox{M\'ethode de Philippe Delsarte}}$ \cite{3} \\
Les nombres de Stirling de premi\`ere esp\`ece $s(k,i)$ sont d\'efinis,
pour rappel, par
\begin{eqnarray}
k! \left( x \atop k \right) = \sum^k_{i=0} s(k,i)x^i \label{19}
\end{eqnarray}
(Leur matrice est inverse de celle des nombres de Stirling de seconde
esp\`ece $S(k,i)$~: nombres d'\'equivalences \`a $i$ classes sur un ensemble
de $k$ \'el\'ements.  On a bien s–r
$B_k = \sum\limits^k_{i=1} S(k,i)$.) \\
Delsarte introduit les coefficients
\begin{eqnarray}
c_{n,i} = (-1)^n \sum^n_{k=i} (-1)^k \left(n \atop k \right) s(k,i)
\label{20}
\end{eqnarray}
En particulier
$$c_{n,n} = 1 \qquad \mbox{et} \qquad c_{n,i} = 0 \qquad \mbox{si}
\quad i > n$$
Il montre, au moyen de relations d'orthogonalit\'e entre polyn\^omes de
Charlier, que
\begin{eqnarray}
\forall i,j \leq n \; , \; \sum^n_{k=0} \sum^n_{\ell = 0}
c_{i,k} c_{j,\ell} B_{k+i} = i \delta_{i,j} \quad , \label{21}
\end{eqnarray}
o— $\delta_{i,j}$ est le symbole de Kronecker~:
$\left\{ \begin{array}{ll}
1, & \mbox{\rm si $i = j$} \\
0, & \mbox{\rm si $i \not= j$} \end{array} \right.$
\\
Ceci peut encore s'\'ecrire sous forme matricielle
\begin{eqnarray}
{\cal C}_n {\cal D}_n \tilde{\cal C}_n = \mbox{\rm diag}(0!~1!~\cdots~
(n-1)!) \quad , \label{22}
\end{eqnarray}
o— ${\cal C}_n$ est la matrice (triangulaire) des $c_{i,j}$ (avec
$i,j = 0, 1, \ldots, n-1)$,  $\tilde{\cal C}_n$ est sa transpos\'ee
et ${\cal D}_n$ est la matrice d\'efinie par
$({\cal D}_n)_{i,j} = B_{i+j}$ (avec $i,j = 0, 1, \ldots, n-1$).
\\
Ainsi
\begin{eqnarray}
(\det~{\cal C}_n)^2 (\det~{\cal D}_n) = \prod^n_{k=0} k! \label{23}
\end{eqnarray}
Comme \'evidemment $\det~{\cal C}_n = 1$, (\ref{23}) se r\'eduit \`a
\begin{eqnarray}
\det~{\cal D}_n = \prod^n_{k=0} k! \label{24}
\end{eqnarray}
Remarques :
\begin{itemize}
\item Les $c_{n,i}$ sont tr\`es lourds \`a \'evaluer par leur seule
d\'efinition.  Il vaut mieux \cite{8} les calculer par la r\'ecurrence
\begin{eqnarray}
c_{n+1,i} = c_{n,i-1} - n c_{n-1,i} - (n+1)c_{n,i} \quad , \label{25}
\end{eqnarray}
amorc\'ee par $c_{1,1} = 1$, $c_{2,1} = - 1$, $c_{2,2} = 1$.
\item Pour les sp\'ecialistes de l'analyse $p$-adique (revenir au
paragraphe~1 de ce texte, avec $K = \comp_p$, compl\'et\'e de la cl\^oture
alg\'ebrique de $\rat_p$), la formule (\ref{24}) se traduit
mentalement tout de suite par une valeur absolue $p$-adique de ${\cal
D}_n$ tr\`es petite$\ldots$
\item Pour $p$ premier, (\ref{24}) donne \cite{7}
$$(\det (B_{i+j})_{i,j=0,1,\ldots, p-1})^2 \equiv
\left\{ \begin{array}{l}
1 \\ - 1 \end{array} \right. (\mbox{\rm mod}~p)~\mbox{\rm selon que}~
p \equiv \left\{ \begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array} \right.
\mbox{\rm (mod 4)} $$
\end{itemize}
\item $\underline{\mbox{M\'ethode de Philippe Flajolet}}$ \cite{4} \\
Soit $f(z) = \sum\limits^\infty_{n=0} a_n z^n$ une s\'erie (formelle)
\`a coefficients $a_n$ entiers. \\
Si $f(z)$ admet le d\'eveloppement (formel lui aussi) en fraction continue
de Jacobi-Stieltjes
\begin{eqnarray}
f(z) = {1 \over \displaystyle 1 - \alpha_0 z -
{\strut \beta_1 z^2 \over \displaystyle  1 - \alpha_1 z -
{\strut \beta_2 z^2 \over \displaystyle 1 - \alpha_2 z -
{\strut \beta_3 z^2 \over \ldots}}}} \label{26}
\end{eqnarray}
\`a coefficients $\alpha_i, \beta_i$ entiers, alors
\begin{eqnarray}
\det (a_{i+j})_{i,j=0,1,\ldots, n} = M_1 \ldots M_n \quad , \label{27}
\end{eqnarray}
o— l'on a pos\'e
\begin{eqnarray}
M_n = \beta_1 \ldots \beta_n \label{28}
\end{eqnarray}
Flajolet montre ensuite (entre autres cas particuliers remarquables)
que
\begin{eqnarray}
\mbox{si l'on prend~} a_n = B_n \, , \, \mbox{\rm alors~}
\alpha_k = k+1 \; \mbox{et} \; \beta_k = k \quad . \label{29}
\end{eqnarray}
Dans ce cas particulier, (\ref{28}) co\"\i ncide avec (\ref{24}).
\end{enumerate}
\item $\underline{\mbox{\rm Le th\'eor\`eme de Sylvester}}$ \cite{1} \\
Une fa‡on de formuler son \'enonc\'e est la suivante. \\
Soit $f$ une fonction $(2n-2)$ fois d\'erivable. \\
Soit l'op\'erateur ${\cal D}_n$ d\'efini par
\begin{eqnarray}
{\cal D}_n f = \det \left( \frac{d^{i+j}}{dx^{i+j}} f \right)_{i,j =
0,1, \ldots, n-1} \label{30}
\end{eqnarray}
Alors
\begin{eqnarray}
({\cal D}_{n+1}f) ({\cal D}_{n-1} f) = {\cal D}_2({\cal D}_n f)
\label{31}
\end{eqnarray}
Rappelons par ailleurs  la fonction g\'en\'eratrice ``exponentielle"
des nombres de Bell~:
\begin{eqnarray}
e^{(e^z - 1)} = \sum^\infty_{k=0} \frac{B_k z^k}{k!} \label{32}
\end{eqnarray}
Appliquons donc (\ref{31}) \`a $f(z) = e^{(e^z-1)}$. \\
Par une r\'ecurrence un peu lourde, mais sans probl\`eme, on montre
\cite{7} que
\begin{eqnarray}
{\cal D}_n e^{(e^z-1)} = \left( \prod^{n-1}_{k=0} k! \right)
e^{\frac{n(n-1)}{2}z + ne^z - n} \quad . \label{33}
\end{eqnarray}
Or, par la d\'efinition-m\^eme de ${\cal D}_n$, et en se rappelant
\cite{2} que
\begin{eqnarray}
\forall n \geq 1, \frac{d^n}{dz^n} e^{(e^z)} = \sum^n_{k=1}
S(n,k) e^{(kz + e^z)} \quad , \label{34}
\end{eqnarray}
on trouve d'autre part
\begin{eqnarray}
{\cal D}_n e^{(e^z-1)} = e^{(e^z -1)} \det (S_{i+j}(z))_{i,j=0,1,
\ldots,n-1} \quad , \label{35}
\end{eqnarray}
moyennant
\begin{eqnarray}
S_0(z) = 1 \quad \mbox{et} \quad \forall m \geq 1 \, , \,
S_m(z) = \sum^m_{k=1} S(m,k)e^{kz} \quad . \label{36}
\end{eqnarray}
En comparant (\ref{35}) et (\ref{33}), puis en rempla‡ant $e^z$ par $z$,
on trouve
\begin{eqnarray}
\det (B_{i+j}(z))_{i,j=0,1,\ldots,n} = \left( \prod^n_{k=0} k! \right)
z^{\frac{n(n+1)}{2}} \quad , \label{37}
\end{eqnarray}
o—
\begin{eqnarray}
B_0(z) = 1 \quad \mbox{et} \quad B_n(z) = \sum^n_{k=1} S(n,k)z^k \quad .
\label{38}
\end{eqnarray}
Comme on l'a rappel\'e au paragraphe 3.a), le cas particulier $z = 1$
restitue \`a nouveau (\ref{24}).
\item $\underline{\mbox{\rm Autres applications du th\'eor\`eme
de Sylvester}}$ \cite{7}, \cite{9}, \cite{10} \\
Le th\'eor\`eme de Sylvester pr\'esente l'avantage de permettre l'utilisation
de l'arsenal analytique, via l'usage des fonctions g\'en\'eratrices. \\
C'est ainsi qu'il produit des r\'esultats comme ceux qui suivent~:
\begin{itemize}
\item Soit $E_0 = 1, E_2 = 1, E_4 = 5, E_6 = 61, E_8 = 1385, \ldots$
la suite des nombres d'Euler, engendr\'ee par
$$\frac{1}{\cos z} = \sum^\infty_{k=0} \frac{E_{2k} z^{2k}}{(2k)!}
\qquad (|z| < \frac{\pi}{2})$$
Alors
\begin{eqnarray}
\det(E_{2i+2j})_{i,j=0,1,\ldots,n} = \left( \prod^n_{k=0} (2k)!
\right)^2 \quad . \label{39}
\end{eqnarray}
\item Pour les nombres de Catalan $C_n = \frac{ \left( 2n \atop n \right)}{n+1}$
on trouve
\begin{eqnarray}
\det (C_{i+j})_{i,j=0,1,\ldots,n} = 1 \quad . \label{40}
\end{eqnarray}
\item Pour les coefficients binomiaux centraux $b_i = \left( 2i \atop i
\right)$, on obtient
\begin{eqnarray}
\det (b_{i+j})_{i,j=0,1,\ldots,n} = 2^n \quad . \label{41}
\end{eqnarray}
\item Pour le nombre $I_n$ d'involutions sur un ensemble \`a $n$
\'el\'ements, il vient
\begin{eqnarray}
\det (I_{i+j})_{i,j=0,1,\ldots,n} = \left( \prod^n_{k=0} k! \right)
\quad . \label{42}
\end{eqnarray}
\item Pour les polyn\^omes $d_n(z) = \sum^n_{k=0} (-1)^k \frac{n!}{k!}
z^{n-k}$, on aboutit \`a
\begin{eqnarray}
\det (d_{i+j}(z))_{i,j=0,1,\ldots,n} = \left( \prod^n_{k=0} k!
\right)^2 z^{n(n+1)} \quad . \label{43}
\end{eqnarray}
Notons que $d_n = d_n(1)$ n'est autre que le nombre de d\'erangements
de $n$ objets.
\item Pour les polyn\^omes de Hermite $H_n(x)$, on a
\begin{eqnarray*}
\det (H_{i+j}(z))_{i,j=0,1,\ldots,n} = (-2)^{\frac{n(n-1)}{2}}
\prod^n_{k=0} k!
\end{eqnarray*}
Le cas particulier $z = 0$ est particuli\`erement int\'eressant~:
\begin{eqnarray*}
H_{2n}(0) = \frac{(-1)^n (2n)!}{n!} \quad \mbox{et} \quad
H_{2n+1}(0) = 0
\quad .
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
\item $\underline{\mbox{\rm Un dernier (pour l'instant) point de vue}}$
\\
Dans une communication personnelle \`a l'auteur \cite{11}, en date
du 29 d\'ecembre 1991, Volker Strehl d\'eveloppe, \`a propos de la formule
(\ref{43}), diff\'erentes remarques dont il montre qu'elles s'appliquent
de fa‡on tr\`es g\'en\'erale et
permettent d'\'eviter le recours aux diverses techniques d\'ecrites
ci-dessus.
\\
En fait, en posant
$$e_k(z) = (-z)^k d_k \left( - \frac 1z \right) \quad ,$$
il commence par r\'ecrire (\ref{43}) sous la forme
\begin{eqnarray}
\det (e_{i+j})_{i,j=0,1,\ldots,n} = \left( \prod^n_{k=0} k! \right)^2
\quad . \label{44}
\end{eqnarray}
Pour prouver (\ref{44}), il utilise des calculs de diff\'erences finies
pour d'abord montrer que, effectivement le premier membre est
{\sl constant}.  Un cas num\'erique particulier bien connu lui permet
ensuite de conclure. \\
En outre, Strehl met en \'evidence une propri\'et\'e commune aux polyn\^omes
$p_n(z)$ ``se comportant bien".  Cette propri\'et\'e, qui s'av\`ere
essentielle dans sa d\'emonstration, est de v\'erifier une \'equation
du type
$\frac{d}{dz} p_n(z) = n p_{n-1}(z)$. \\
Pour terminer, Strehl donne une g\'en\'eralisation de (\ref{43})~:
\begin{eqnarray}
\det \left( (x)_{k+i+j} \right)_{i,j=0,1,\ldots,n} =
\prod^n_{j=0} j!(x)_{k+j} \quad , \label{45}
\end{eqnarray}
o—
\begin{eqnarray}
(x)_j = x(x+1)(x+2) \ldots (x+j+1) \quad . \label{46}
\end{eqnarray}
Ce type de g\'en\'eralisation, qui pourrait aussi s'obtenir \`a partir
du th\'eor\`eme de Sylvester (partir de $\frac{d^n}{dz^n}f(z)$ au lieu
de $f(z)$) est fort utile dans des questions comme celles \'evoqu\'ees
tr\`es sommairement au paragraphe~1.
\end{enumerate}
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