Déterminants de Hankel et théorème de Sylvester

Christian Radoux, Université de Mons

1. Un déterminant de la forme

dét(a_{i+j})_{i,j=1,...,n}

est dit “de Hankel”. Outre l’intérêt esthétique que présente souvent l’étude de tels déterminants, il convient de noter qu’ils surgissent très spontanément dans de nombreuses questions. Par exemple [1] : Soit la série formelle

f(X) = ∑_{m=0}^{∞} a_{m}X^{m} ,

à coefficients a_{m} dans un champ K. Pour que f(X) soit une fraction rationnelle, il faut et il suffit qu’il existe n tel que, pour tout k assez grand,

dét(a_{k+i+j})_{i,j=0,1,...,n} = 0 .

2. Voici un autre exemple. Dans [6], on démontre que, si la suite (B_{n}) des nombres de Bell, réduite modulo p premier, est de période k_{p} maximum, c’est-à-dire de période k_{p} = \frac{p^{p}−1}{p−1}, alors il existe à l’intérieur de cette période

• une et une seule (p − 1)-séquence nulle :

B_{a_{p}} ≡ B_{a_{p}+1} ≡ ⋯ ≡ B_{a_{p}+p−2} ≡ 0 (mod p) ,  (1)

avec

a_{p} = \frac{p + (p − 2)k_{p}}{p − 1}  (2)

• une et une seule p-séquence constante :

B_{b_{p}} ≡ B_{b_{p}+1} ≡ ⋯ ≡ B_{b_{p}+p−1} ≡ c_{p} (mod p) ,  (3)

avec

b_{p} = a_{p} + \frac{k_{p} − 1}{p} .  (4)

N.B. En fait, dans [5], J.W. Layman démontre que l’existence et l’unicité de la (p − 1)-séquence nulle est assurée même si la période n’est pas maximale.

Se pose donc le problème de la détermination de c_{p} ≡ B_{b_{p}}.

Appelons V⃗_{i} le vecteur colonne ( B_{i} ; B_{i+1} ; ⋮ ; B_{i+p−1} ) et posons

D_{p,i} = dét(V⃗_{i}, V⃗_{i+1}, …, V⃗_{i+p−1})  (5)

Sachant [2] que

B_{n+p} ≡ B_{n+1} + B_{n} (mod p) ,  (6)

on voit tout de suite que

D_{p,i+1} ≡ D_{p,i} (mod p) .  (7)

En d’autres termes D_{p,i} est indépendant de i :

∀i , D_{p,i} ≡ D_{p} (mod p)  (8)

Sachant en outre [2] que

B_{np} ≡ B_{n+1} (mod p) ,  (9)

on peut récrire (3) comme suit :

B_{(b_{p}−1)p} ≡ B_{b_{p}p} ≡ ⋯ ≡ B_{(b_{p}+p−2)p} ≡ c_{p} (mod p)  (10)

Soustrayons deux à deux les termes consécutifs, en utilisant à nouveau (6). Il vient

B_{(b_{p}−1)p+1} ≡ B_{b_{p}p+1} ≡ ⋯ ≡ B_{(b_{p}+p−3)p+1} ≡ 0 (mod p)  (11)

En réitérant cette opération, on obtient :

B_{(b_{p}−1)p+2} ≡ B_{b_{p}p+2} ≡ ⋯ ≡ B_{(b_{p}+p−4)p+2} ≡ 0 (mod p)  (12)

et ainsi de suite. En regardant le tableau ainsi engendré, on voit que la matrice M, d’élément

M_{i,j} = B_{(b_{p}−1)p+i+pj}  (13)

(o i, j = 0, 1, …, p − 1) vérifie

M ≡ ( \begin{matrix}c_{p} & c_{p} & c_{p} & ⋯ & c_{p} & c_{p} \\ 0 & 0 & 0 & & 0 & ⋆ \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & & & & ⋮ \\ 0 & ⋆ & & & & ⋆ \end{matrix} ) (mod p) ,  (14)

les ⋆ désignant des éléments inconnus, de sorte que

(B_{(b_{p}−1)p}, B_{(b_{p}−1)p+1}, …, B_{(b_{p}−1)p+2p−2}) ≡ (c_{p}, \underbrace{0, …, 0}_{(p−1)fois}, c_{p}, \underbrace{0, …, 0}_{(p−2)fois}) (15)

(mod p).

Ainsi

D_{p} = D_{p,(b_{p}−1)p} ≡ | \begin{matrix}c_{p} & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & c_{p} \\ 0 & 0 & 0 & ⋯ & c_{p} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & c_{p} & ⋯ & 0 & 0 \\ 0 & c_{p} & 0 & ⋯ & 0 & 0 \end{matrix} | = (−1)^{\frac{p−1}{2}} c_{p}^{p} (mod p) (16)

et le théorème de Fermat donne finalement

B_{b_{p}} ≡ c_{p} ≡ (−1)^{\frac{p−1}{2}} D_{p} (mod p)  (17)

Par ailleurs, grce à la remarque (8), nous pouvons écrire :

D_{p} ≡ D_{p,0} = dét(B_{i+j})_{i,j=0,1,...,p−1}  (18)

En résumé, l’évaluation de la p-séquence constante de nombres de Bell réduits modulo p mène “naturellement” au calcul du déterminant de Hankel construit sur la séquence initiale de ces nombres.

3.

Deux techniques de calcul Plusieurs auteurs ont évalué ce déterminant.

(a) \underline{Méthode de Philippe Delsarte} [3] Les nombres de Stirling de première espèce s(k, i) sont définis, pour rappel, par

k! \binom{x}{k} = ∑_{i=0}^{k} s(k, i)x^{i}  (19)

(Leur matrice est inverse de celle des nombres de Stirling de seconde espèce S(k, i) : nombres d’équivalences à i classes sur un ensemble de

k éléments. On a bien sr B_{k} = ∑_{i=1}^{k} S(k, i).)

Delsarte introduit les coefficients

c_{n,i} = (−1)^{n} ∑_{k=i}^{n}(−1)^{k} \binom{n}{k} s(k, i)  (20)

En particulier

c_{n,n} = 1 et c_{n,i} = 0 si i > n

Il montre, au moyen de relations d’orthogonalité entre polynômes de Charlier, que

∀i, j ≤ n , ∑_{k=0}^{n} ∑_{ℓ=0}^{n} c_{i,k}c_{j,ℓ}B_{k+i} = iδ_{i,j} ,  (21)

o δ_{i,j} est le symbole de Kronecker : \{ \begin{matrix}1, & si i = j \\ 0, & si i ≠ j \end{matrix}

Ceci peut encore s’écrire sous forme matricielle

C_{n}D_{n}C̃_{n} = diag(0! 1! ⋯ (n − 1)!) ,  (22)

o C_{n} est la matrice (triangulaire) des c_{i,j} (avec i, j = 0, 1, …, n − 1), C̃_{n} est sa transposée et D_{n} est la matrice définie par (D_{n})_{i,j} = B_{i+j} (avec i, j = 0, 1, …, n − 1). Ainsi

(dét C_{n})^{2}(dét D_{n}) = ∏_{k=0}^{n} k!  (23)

Comme évidemment dét C_{n} = 1, (23) se réduit à

dét D_{n} = ∏_{k=0}^{n} k!  (24)

Remarques :

• Les c_{n,i} sont très lourds à évaluer par leur seule définition. Il vaut mieux [8] les calculer par la récurrence

c_{n+1,i} = c_{n,i−1} − nc_{n−1,i} − (n + 1)c_{n,i} ,  (25)

amorcée par c_{1,1} = 1, c_{2,1} = −1, c_{2,2} = 1.

• Pour les spécialistes de l’analyse p-adique (revenir au paragraphe 1 de ce texte, avec K = ℂ_{p}, complété de la clôture algébrique de ℚ_{p}), la formule (24) se traduit mentalement tout de suite par une valeur absolue p-adique de D_{n} très petite…

• Pour p premier, (24) donne [7]

(dét(B_{i+j})_{i,j=0,1,...,p−1})^{2} ≡ \{ \begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix} (mod p) selon que p ≡ \{ \begin{matrix}3 \\ 1 \end{matrix} (mod 4)

(b) \underline{Méthode de Philippe Flajolet} [4]

Soit f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} une série (formelle) à coefficients a_{n} entiers.

Si f(z) admet le développement (formel lui aussi) en fraction continue de Jacobi-Stieltjes

f(z) = \frac{1}{1 − α_{0}z − \frac{β_{1}z^{2}}{1 − α_{1}z − \frac{β_{2}z^{2}}{1 − α_{2}z − \frac{β_{3}z^{2}}{…}}}}  (26)

à coefficients α_{i}, β_{i} entiers, alors

dét(a_{i+j})_{i,j=0,1,...,n} = M_{1} … M_{n} ,  (27)

o l’on a posé

M_{n} = β_{1} … β_{n}  (28)

Flajolet montre ensuite (entre autres cas particuliers remarquables) que

si l’on prend a_{n} = B_{n} , alors α_{k} = k + 1 et β_{k} = k .  (29)

Dans ce cas particulier, (28) coïncide avec (24).

4. \underline{Le théorème de Sylvester} [1] Une faon de formuler son énoncé est la suivante. Soit f une fonction (2n − 2) fois dérivable. Soit l’opérateur D_{n} défini par

D_{n}f = dét (\frac{d^{i+j}}{dx^{i+j}} f)_{i,j=0,1,...,n−1}  (30)

Alors

(D_{n+1}f)(D_{n−1}f) = D_{2}(D_{n}f)  (31)

Rappelons par ailleurs la fonction génératrice “exponentielle” des nombres de Bell :

e^{(e^{z}−1)} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{B_{k}z^{k}}{k!}  (32)

Appliquons donc (31) à f(z) = e^{(e^{z}−1)}. Par une récurrence un peu lourde, mais sans problème, on montre [7] que

D_{n}e^{(e^{z}−1)} = (∏_{k=0}^{n−1} k!) e^{\frac{n(n−1)}{2} z+ne^{z}−n} .  (33)

Or, par la définition-même de D_{n}, et en se rappelant [2] que

∀n ≥ 1, \frac{d^{n}}{dz^{n}} e^{(e^{z})} = ∑_{k=1}^{n} S(n, k)e^{(kz+e^{z})} ,  (34)

on trouve d’autre part

D_{n}e^{(e^{z}−1)} = e^{(e^{z}−1)}dét(S_{i+j}(z))_{i,j=0,1,...,n−1} ,  (35)

moyennant

S_{0}(z) = 1 et ∀m ≥ 1 , S_{m}(z) = ∑_{k=1}^{m} S(m, k)e^{kz} .  (36)

En comparant (35) et (33), puis en remplaant e^{z} par z, on trouve

dét(B_{i+j}(z))_{i,j=0,1,...,n} = (∏_{k=0}^{n} k!) z^{\frac{n(n+1)}{2}} ,  (37)

o

B_{0}(z) = 1 et B_{n}(z) = ∑_{k=1}^{n} S(n, k)z^{k} .  (38)

Comme on l’a rappelé au paragraphe 3.a), le cas particulier z = 1 restitue à nouveau (24).

5. \underline{Autres applications du théorème de Sylvester} [7], [9], [10] Le théorème de Sylvester présente l’avantage de permettre l’utilisation de l’arsenal analytique, via l’usage des fonctions génératrices. C’est ainsi qu’il produit des résultats comme ceux qui suivent :

• Soit E_{0} = 1, E_{2} = 1, E_{4} = 5, E_{6} = 61, E_{8} = 1385, … la suite des nombres d’Euler, engendrée par

\frac{1}{cos z} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{E_{2k}z^{2k}}{(2k)!} (|z| < \frac{π}{2} )

Alors

dét(E_{2i+2j})_{i,j=0,1,...,n} = (∏_{k=0}^{n}(2k)!)^{2} .  (39)

• Pour les nombres de Catalan C_{n} = \frac{\binom{2n}{n}}{n+1} on trouve

dét(C_{i+j})_{i,j=0,1,...,n} = 1 .  (40)

• Pour les coefficients binomiaux centraux b_{i} = \binom{2i}{i}, on obtient

dét(b_{i+j})_{i,j=0,1,...,n} = 2^{n} .  (41)

• Pour le nombre I_{n} d’involutions sur un ensemble à n éléments, il vient

dét(I_{i+j})_{i,j=0,1,...,n} = (∏_{k=0}^{n} k!) .  (42)

• Pour les polynômes d_{n}(z) = ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k} \frac{n!}{k!}z^{n−k}, on aboutit à

dét(d_{i+j}(z))_{i,j=0,1,...,n} = (∏_{k=0}^{n} k!)^{2} z^{n(n+1)} .  (43)

Notons que d_{n} = d_{n}(1) n’est autre que le nombre de dérangements de n objets.

• Pour les polynômes de Hermite H_{n}(x), on a

dét(H_{i+j}(z))_{i,j=0,1,...,n} = (−2)^{\frac{n(n−1)}{2}} ∏_{k=0}^{n} k!

Le cas particulier z = 0 est particulièrement intéressant :

H_{2n}(0) = \frac{(−1)^{n}(2n)!}{n!} et H_{2n+1}(0) = 0 .

6.

Un dernier (pour l’instant) point de vue Dans une communication personnelle à l’auteur [11], en date du 29 décembre 1991, Volker Strehl développe, à propos de la formule (43), différentes remarques dont il montre qu’elles s’appliquent de faon très générale et permettent d’éviter le recours aux diverses techniques décrites ci-dessus. En fait, en posant

e_{k}(z) = (−z)^{k}d_{k} (−\frac{1}{z}) ,

il commence par récrire (43) sous la forme

dét(e_{i+j})_{i,j=0,1,...,n} = (∏_{k=0}^{n} k!)^{2} .  (44)

Pour prouver (44), il utilise des calculs de différences finies pour d’abord montrer que, effectivement le premier membre est constant. Un cas numérique particulier bien connu lui permet ensuite de conclure. En outre, Strehl met en évidence une propriété commune aux polynômes p_{n}(z) “se comportant bien”. Cette propriété, qui s’avère essentielle dans sa démonstration, est de vérifier une équation du type \frac{d}{dz}p_{n}(z) = np_{n−1}(z). Pour terminer, Strehl donne une généralisation de (43) :

dét ((x)_{k+i+j})_{i,j=0,1,...,n} = ∏_{j=0}^{n} j!(x)_{k+j} ,  (45)

o

(x)_{j} = x(x + 1)(x + 2) … (x + j + 1) .  (46)

Ce type de généralisation, qui pourrait aussi s’obtenir à partir du théorème de Sylvester (partir de \frac{d^{n}}{dz^{n}} f(z) au lieu de f(z)) est fort utile dans des questions comme celles évoquées très sommairement au paragraphe 1.

References

[1] Yvette Amice, Les nombres p-adiques, Presses Universitaires de France, Collection SUP, “Le mathématicien”, n14, 1975.

[2] Louis Comtet, Analyse combinatoire, Presses Universitaires de France, Collection SUP, “Le mathématicien”, n4 (2 tomes), 1970.

[3] Philippe Delsarte, Nombres de Bell et polynômes de Charlier, C.R.A.S. de Paris, t. 287, série A, 1978, 271-273.

[4] Philippe Flajolet, On congruences and continued fractions for some combinatorial quantities, Discrete Mathematics, 41, 1982, 141-153.

[5] J.W. Layman, Maximum zero strings of Bell numbers modulo primes, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 40, 1985, 161-168.

[6] Christian Radoux, Nombres de Bell, modulo p premier, et extensions de degré p de 𝔽_{p}, C.R.A.S. de Paris, t. 281, 1975, 879-882.

[7] Christian Radoux, Calcul effectif de certains déterminants de Hankel, Bulletin de la Société Mathématique de Belgique, vol. XXXI, fasc. 1, série B, 1979, 49-54.

[8] Christian Radoux, Quelques conséquences d’une formule de P. Delsarte, Bulletin de la Société Mathématique de Belgique, vol. XXXIV, fasc. 1, série B, 1982, 137-141.

[9] Christian Radoux, Déterminant de Hankel construit sur des polynômes liés aux nombres de dérangements, European Journal of Combinatorics, 12, 1991, 327-329.

[10] Christian Radoux, Déterminant de Hankel construit sur les polynômes de Hermite, Annales de la Société Scientifique de Bruxelles, t. 104, fasc. 2, 1990, 59-61.

[11] Volker Strehl, A note on polynomial Hankel determinants (à paraître).