MATRICES ET TABLEAUX SEMI-STANDARD

Henri GAUDIER

Université de Valenciennes

On sait calculer une base des représentations irréductibles du groupe général linéaire avec le déterminant (ou bidéterminant) de tableaux semi-standard. On présente ici une variante de cette méthode dans laquelle les tableaux semi-standard sont remplacés par des matrices qui sont appelées semi-standard.

L’algèbre de Schur.

Dans tout ce qui suit k est un corps de caractéristique 0, on se donne un entier n, et on s’intéresse aux représententations polynômiales du groupe linéaire GL_{n}(k). Une telle représentation est donc la donnée d’un k-espace vectoriel et d’un homomorphisme de groupe : ρ : GL_{n}(k) ↦ GL(V) polynômial, c’est à dire que si x = (x_{i,j}) ∈ GL_{n}(k), la matrice de ρ(x) a pour coefficients des polynômes en les x_{i,j}. Il est clair que ρ se prolonge en un homomorphisme de monoïde multiplicatif M_{n}(k) ↦ End(V) noté également ρ.

Si l’on considère maintenant l’espace vectoriel produit k^{M_{n}(ℕ)} et l’application

ι : M_{n}(k) ↦ k^{M_{n}(ℕ)}

définie par ι((x_{i,j})) = (∏_{i,j} x_{i,j}^{a_{i,j}})_{a∈M_{n}(ℕ)}, il est clair que toute application polynô-

miale ρ se factorise de façon unique en ρ = ρ′ι, où ρ′ est une application k-linéaire (un polynôme est une combinaison linéaire de monômes !), et on a de plus

Proposition. Il existe sur k^{M_{n}(ℕ)} une unique multiplication k-linéaire telle que ι soit un homorphisme pour la multiplication, et si ρ est un homomorphisme pour la multiplication, alors ρ′ est un homorphisme de k-algèbre.

On notera kM_{n} l’algèbre ainsi obtenue, et (e_{a})_{a∈M_{n}(ℕ)} sa base (topologique) canonique. On a donc ι((x_{i,j})) = ∑_{a∈M_{n}(ℕ)} ∏_{i,j=1...n} x_{i,j}^{a_{i,j}}.

Selon les méthodes classiques de la théorie des groupes algébriques, la détermination de la multiplication peut se faire de la façon suivante : on considère l’algèbre k[T_{i,j}] avec la comultiplication γ(T_{i,j}) = ∑_{k=1}^{n} T_{i,k} ⊗ T_{k,j}. Si l’on désigne par ε_{c} = ∏_{i,j=1...n} T_{i,j}^{c_{i,j}} la base des monômes dans k[T_{i,j}] soit λ(a, b, c) les entiers tels que

γ(ε_{c}) = ∑_{a,b∈M_{n}(ℕ)} λ(a, b, c) ε_{a} ⊗ ε_{b}.

On a alors

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Proposition. L’algèbre kM_{n} est l’algèbre duale de la cogèbre k[T_{i,j}] ; sa multiplication est donc donnée par :

e_{a} . e_{b} = ∑_{c∈M_{n}(ℕ)} λ(a, b, c) e_{c},

où les coefficients λ(a, b, c) sont donnés par :

λ(a, b, c) = ∑_{ν} ∏_{i,k} \binom{c_{i,k}}{ν_{i,1,k}, …, ν_{i,n,k}}  (1)

avec les ν = (ν_{i,j,k}) ∈ ℕ^{n^{3}} assujettis aux conditions :

\begin{matrix}∑_{j=1}^{n} ν_{i,j,k} = c_{i,k} \\ ∑_{k=1}^{n} ν_{i,j,k} = a_{i,j} \\ ∑_{i=1}^{n} ν_{i,j,k} = b_{j,k} \end{matrix} \}  (2)

L’unité de kM_{n} est ι(I_{n}) = ∑_{d diagonale} e_{d}.

Fig. 1

On peut visualiser (Fig. 1) les relations (1) et (2) dans ℝ^{3} : les coefficients ν_{i,j,k} sont disposés dans un cube, et lorsque l’on somme ces coefficients suivant les directions des axes i, j, k on obtient respectivement les matrices (a_{i,j}), (b_{j,k}) et (c_{i,k}). Le produit e_{a} · e_{b} se calcule alors de la façon suivante : on cherche tous les ν

Fig. 2

qui admettent les matrices a et b comme sommes selon les directions k et i, et pour chaque ν ainsi obtenu, la somme suivant la direction j donne une matrice c avec le coefficient ∏_{i,k} \binom{c_{i,k}}{ν_{i,1,k},... ,ν_{i,n,k}}.

Calculons par exemple le produit e_{( \begin{matrix}0 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix} )}e_{( \begin{matrix}2 & 0 \\ 2 & 2 \end{matrix} )}. Il n’y a que deux ν au dessus

des matrices a et b données, ils sont représentés dans la figure 2.

Le coefficient de e_{( \begin{matrix}1 & 0 \\ 3 & 2 \end{matrix} )} est alors le produit \binom{1}{0}\binom{0}{0}\binom{3}{1}\binom{2}{0} = 3 et celui de e_{( \begin{matrix}0 & 1 \\ 4 & 1 \end{matrix} )}

est \binom{0}{0}\binom{1}{0}\binom{4}{2}\binom{1}{0} = 6. Par conséquent :

e_{( \begin{matrix}0 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix} )}e_{( \begin{matrix}2 & 0 \\ 2 & 2 \end{matrix} )} = 3e_{( \begin{matrix}1 & 0 \\ 3 & 2 \end{matrix} )} + 6e_{( \begin{matrix}0 & 1 \\ 4 & 1 \end{matrix} )}.

L’algèbre kM_{n} est également appelée algèbre de Schur [2], on trouvera dans [3] une autre façon de calculer le produit.

Représentations irréductibles de GL_{n}.

On a une action canonique de kM_{n} sur k[T_{i,j}] définie par e_{b}(ε_{c}) = ∑_{a} λ(a, b, c)ε_{a}˜; on a ainsi une représentation polynômiale de GL_{n}.

Rappelons alors quelques résultats fondamentaux de la théorie des représentations du groupe linéaire (cf. [2]).

Théorème. Soit k un corps de caractéristique 0,

1— il existe une bijection entre l’ensemble des représentations polynômiales irréductibles de GL_{n} de degré r, et l’ensemble P (r, n) des partitions de r en au plus n parts ;

2— L’espace S(n,r) des polynômes homogènes et de degré r en les n^{2} variables T_{i,j} muni de l’action naturelle de GL_{n} contient toutes les représentations irréductibles de GL_{n} de degré r.

3— la représentation irréductible D_{λ} associée à la partition λ = (λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{n}) avec λ_{1} ≥ λ_{2} ≥ … ≥ λ_{n} ≥ 0 a pour dimension le nombre de tableaux semi-standard de forme λ.

On sait ([1] ou [2]) que l’on peut construire une base de D_{λ} en associant un polynôme à chaque tableau semi-standard de forme λ.

Si T est un tableau semi-standard de forme λ, T = (t_{i,j}) avec 1 ≤ i ≤ n, j ≤ λ_{i}, t_{i,j} ∈ [1, n], t_{i,j} ≤ t_{i,j+1} et t_{i,j} < t_{i+1,j}, on considère le bitableau (T^{0}|T ), où T^{0} est le tableau de même forme que T et défini par t_{i,j} = i. Le polynôme associé au tableau T est alors le bidéterminant du bitableau (T^{0}|T ).

L’objectif de ce qui suit est de remplacer ce calcul portant sur les tableaux semistandard par un calcul dans lequel n’interviendront que des matrices de M_{n}(ℕ).

Matrices semi-standard.

Définition. Une matrice a = (a_{i,j}) ∈ M_{n}(ℕ) est dite semi-standard si elle vérifie les conditions suivantes :

— a est triangulaire supérieure, i.e. a_{i,j} = 0 si i > j,

— pour 0 ≤ k ≤ n − 2,on a les inégalités :

∑_{l=0}^{k} a_{1,1+l} ≥ ∑_{l=0}^{k} a_{2,2+l} ≥ … ≥ ∑_{l=0}^{k} a_{n−k,n−k+l}.

En particulier on a, pour k = 0 et k = 1 :

a_{1,1} ≥ a_{2,2} ≥ … ≥ a_{n,n},
a_{1,1} + a_{1,2} ≥ a_{2,2} + a_{2,3} ≥ … ≥ a_{n−1,n−1} + a_{n−1,n},

et on termine pour k = n − 2 avec :

a_{1,1} + ⋯ + a_{1,n−1} ≥ a_{2,2} + ⋯ + a_{2,n}.

Exemple. La matrice a = ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) est semi-standard.

Considérons alors un tableau T ayant au plus n lignes, rempli par des entiers de [1, n] et associons lui la matrice a^{T} telle que a_{i,j}^{T} soit le nombre d’occurrences de l’entier j dans la i^{ème} ligne de T . On a alors de façon immédiate :

Lemme. Le tableau T est semi-standard si et seulement si la matrice a^{T} est semistandard, et on a ainsi une bijection entre les tableaux semistandard et les matrices semi-standard.

Le tableau associé à la matrice semi-standard ci-dessus est 4 3 4 2 3 3 4 1 1 2 3 .

On voit facilement que si λ = (λ_{1}, …, λ_{n}) est la forme du tableau, alors λ_{i} = ∑_{j=1}^{n} a_{i,j}. On dira que la partition λ est le poids en ligne de la matrice a_{i,j}.

Définition. On dit qu’une matrice semi-standard est élémentaire si son poids en ligne est (1, …, 1, 0, …, 0).

Proposition. Toute matrice semi-standard est somme de matrice semi-standard élémentaires

Soit a une matrice semi-standard, et soit Ra la matrice obtenue en diminuant de 1 le coefficient non nul situé le plus à gauche dans chacune des lignes de a. Il est facile de voir que Ra est aussi semi-standard, et a − Ra est semi-standard élémentaire, et on conclut par une récurrence sur le poids total de la matrice.

Exemple. Décomposons la matrice a = ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) on obtient successivement :

( \begin{matrix}2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

( \begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

d’où l’on tire :

( \begin{matrix}2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ,

que nous écrirons, puisque la matrice a représente le monôme ε_{a} :

( \begin{matrix}2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ⟼ ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ⊗ ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ⊗ ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ⊗ ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

L’algorithme de calcul du déterminant d’un bitableau peut alors se transcrire pas à pas pour les matrices semi-standard :

Algorithme. Soit a une matrice semi-standard,

1 — Décomposer a selon la méthode précédente en somme de matrices semistandard élémentaires :

a ⟼ α_{1} ⊗ α_{1} ⊗ ⋯ ⊗ α_{k},

2 — Remplacer chaque matrice semi-standard élémentaire par la somme formelle :

α ⟼ ∑_{σ∈𝔖_{r}} sign(σ)σ(α),

où r est le nombre de 1 dans la matrice α, et où 𝔖_{r} agit sur α en permutant ses r premières lignes,

3 — Développer l’expression obtenue en utilisant la distributivité de ⊗ par rapport à la somme formelle,

4 —Remplacer ensuite chaque produit α′_{1} ⊗ α′_{2} ⊗ ⋯ ⊗ α′_{h} par la matrice somme (au sens usuel de la somme de matrices) α′_{1} + α′_{2} + ⋯ + α′_{h}, on obtient alors une somme formelle de matrices à coefficients dans ℤ,

5 — Dans cette somme remplacer chaque matrice m = (m_{i,j}) par le monôme ε_{m} = ∏_{i,j} T_{i,j}^{m_{i,j}}. On a alors le polynôme cherché.

Exemple. Prenons a = ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ).

L’étape 1 donne :

a ⟼ ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ⊗ ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ⊗ ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ⊗ ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

L’étape 2 donne :

(( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} )) ⊗

(( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )) ⊗ ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ⊗ ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

L’étape 3 donne d’abord :

(( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} )) ⊗

(( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ⊗ ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ⊗ ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ⊗ ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ⊗ ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )) ,

puis

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )⊗( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )⊗( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )⊗( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )−( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )⊗( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )⊗( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )⊗( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) +

( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )⊗( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )⊗( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )⊗( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )−⋯+( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} )⊗( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )⊗( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )⊗( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

L’étape 4 donne alors :

( \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )−( \begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )+2 ( \begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )−( \begin{matrix}0 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )+( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} )−( \begin{matrix}0 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} )−( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )+( \begin{matrix}0 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) −

( \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} )

Et l’étape 5 donne le polynôme

P_{a}(T_{i,j}) = T_{1,1}^{2}T_{1,2}T_{1,3}T_{2,2}T_{2,3}T_{3,3} − T_{1,1}^{2}T_{1,2}T_{1,3}T_{2,3}^{2}T_{3,2} − T_{1,1}T_{1,2}^{2}T_{1,3}T_{2,1}T_{2,3}T_{3,3}

+T_{1,1}T_{1,2}^{2}T_{1,3}T_{2,3}^{2}T_{3,1} − T_{1,1}T_{1,2}T_{1,3}^{2}T_{2,1}T_{2,2}T_{3,3} + 2 T_{1,1}T_{1,2}T_{1,3}^{2}T_{2,1}T_{2,3}T_{3,2}

−T_{1,1}T_{1,2}T_{1,3}^{2}T_{2,2}T_{2,3}T_{3,1} + T_{1,2}^{2}T_{1,3}^{2}T_{2,1}^{2}T_{3,3} − T_{1,2}^{2}T_{1,3}^{2}T_{2,1}T_{2,3}T_{3,1} − T_{1,2}T_{1,3}^{3}T_{2,1}^{2}T_{3,2}

+T_{1,2}T_{1,3}^{3}T_{2,1}T_{2,2}T_{3,1}.

References

1. J.DÉSARMÉNIEN, J.P.S.KUNG and G-C.ROTA, Invariant theory, Young bitableaux and Combinatorics, Adv. in Math. 27 (1978), 63-92.

2. J.A.GREEN, Polynomial Representations of GL_{n}, Lecture Notes in Math. 830, Springer Verlag, Berlin, 1980.

3. J.A.GREEN, On certain subalgebras of the Schur algebra, J. of Algebra 131 (1990), 265-280.

Université de Valenciennes, Département de Mathématiques, le Mont Houy, BP 311, 59304 VALENCIENNES, France.

E-mail address: gaudier@univ-valenciennes.fr