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\numberwithin{equation}{section}

\newtheorem{theorem}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
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\theoremstyle{remark}
\newtheorem{remark}{Remark}
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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[theorem]{D\'efinition}

\numberwithin{theorem}{section}

\def\al{\alpha}
\def\II{{\mathcal I}}

\begin{document}

\newbox\resume
\setbox\resume\centerline{(r\'esum\'e)}

\title{Un $q$-analogue des polyn\^omes de Bessel \\[6pt]\box\resume}

\newbox\Aut
\setbox\Aut\vbox{
\centerline{\sc Serge Dulucq$^*$}
\vskip18pt
\centerline{LaBRI,}
\centerline{Unit\'e de Recherche Associ\'e au C.N.R.S. 
n$^{\text{o}}$~1304}
\centerline{Universit\'e de Bordeaux I}
}
\author[S. Dulucq]{\box\Aut}

\address{LaBRI, Unit\'e de Recherche Associ\'e au C.N.R.S. 
n$^{\text{o}}$~1304, Universit\'e de Bordeaux I}

\thanks{$^*$ Avec le soutien du P.R.C. Math\'ematiques et Informatique.}

\begin{abstract}
The combinatorial model for the Bessel polynomials, introduced by
Dulucq and Favreau [{\it IMACS Ann. Comput. Appl. Math.} 
{\bf 9} (1991), 243--249],
allows us to define the $q$-Bessel polynomials. This model,
based upon weighted involutions, leads to a combinatorial interpretation
of the three-term recurrence relation and to an explicit formula
for the $n$-th $q$-Bessel polynomial.
\end{abstract}

\maketitle

%First page headline in LaTeX for S\'eminaire Lotharingien de Combinatoire
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\font\rms=cmr8 
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\font\bfs=cmbx8

\markright{\its S\'eminaire Lotharingien de
Combinatoire \bfs 28 \rms (1992), Article~B28i\hfill}
\def\thepage{}

\section{Introduction}

Les polyn\^omes de Bessel, ainsi nomm\'es compte-tenu de leur relation
avec les fonctions de Bessel, apparaissent comme solution de
l'equation diff\'erentielle du second ordre \cite{ref2,ref7}
\begin{equation} \label{eq:1} 
x^2\frac {d^2y} {dx^2}+(2x+2)\frac {dy} {dx}=n(n+1)y.
\end{equation}
Cette famille de polyn\^omes peut \'egalement \^etre d\'efinie \`a
partir de la r\'ecurrence \`a trois termes
\begin{equation} \label{eq:2}
\begin{cases} y_{n+1}(x)=(2n+1)xy_n(x)+y_{n-1}(x),\\
y_0(x)=1, \ y_1(x)=1+x.
\end{cases} 
\end{equation}
La valeur explicite de ces polyn\^omes, en termes de la fonction
hyperg\'eom\'etrique $_2F_0$, est
\begin{align} \notag
y_n(x)&={}_2F_0(-n,n+1;\underline{\hphantom{a}};-x/2)\\
&=
\sum _{k=0} ^{n}\frac {(n+k)!} {(n-k)!\,k!}\left(\frac {x}
{2}\right)^k. 
\label{eq:3}
\end{align}

Dans \cite{ref3}, nous avons propos\'e un mod\`ele combinatoire pour
cette famille de polyn\^omes. Ce mod\`ele nous a permis, non seulement
de retrouver toutes les identit\'es classiques (r\'ecurrence \`a trois
termes \eqref{eq:2}, \'equation differentielle \eqref{eq:1},
\'equation de r\'ecurrence aux d\'eriv\'ees, identit\'e exprimant la
s\'erie g\'en\'eratrice), mais \'egalement d'obtenir une
d\'emonstration enti\`erement combinatoire de l'orthogonalit\'e de
cette famille de polyn\^omes. 

Comme pour les polyn\^omes de Hermite \cite{ref1,ref5,ref6}, ce
mod\`ele combinatoire nous permet de d\'efinir un $q$-analogue des
polyn\^omes de Bessel. Nous montrons alors qu'ils v\'erifient une
r\'ecurrence \`a trois termes qui est un $q$-analogue de \eqref{eq:2}
et nous obtenons une formule explicite pour le $n^{\text{i\`eme}}$
polyn\^ome $y_n(x;q)$.

\section{Un mod\`ele combinatoire pour les $q$-polyn\^omes de Bessel} 

Soit $\II_n$ l'ensemble des involutions ayant exactement $n$
{\it orbites}, o\`u le terme orbite d\'esigne les cycles de longueur
$1$ ou $2$ de l'involution, c'est-\`a-dire les {\it points fixes} ou
les {\it ar\^etes}, et notons $\II_{n,k}$ l'ensemble des
involutions de $\II_n$ ayant $k$ ar\^etes ($0\le k\le n$).

\'Etant donn\'ee une involution $\al$ de $\II_n$, nous d\'efinissons
sa {\it valuation} $v(\al)$ par
$$v(\al)=x^{e(\al)}q^{s(\al)},$$
o\`u 
\begin{align*}
e(\al)&=\text{nombre d'ar\^etes de l'involution $\al$},\\
s(\al)&=
\sum _{\text{ar\^etes $a$}} ^{}s(a)+
\sum _{\text{fixes $f$}} ^{}s(f),
\end{align*}
et, pour une ar\^ete $a=(i,j)$,
$$
s(a)=\big\vert \{k:i<k<j\text{ et }\al(k)<j\}\big\vert,
$$
et, pour un point fixe $f=(f)$,
$$
s(f)=\big\vert \{k:k<f\text{ et }\al(k)<f\}\big\vert.
$$



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\addtocounter{page}{1}
\markboth{\SMALL S. DULUCQ}{\SMALL 
UN $q$-ANALOGUE DES POLYN\^OMES DE BESSEL}
%
%

\begin{definition}
Les $q$-analogues $y_n(x;q)$ des polyn\^omes de Bessel sont d\'efinis par
\begin{align} \label{eq:4}
y_n(x;q)&=
\sum _{\al\in\II_n} ^{}v(\al)\\
&=
\sum _{k=0} ^{n}
\sum _{\al\in\II_{n,k}} ^{}q^{s(\al)}x^k.
\end{align}
\end{definition}

\begin{theorem} \label{thm:1}
Les polyn\^omes $y_n(x;q)$ v\'erifient la relation de r\'ecurrence \`a
trois termes
\begin{equation} \label{eq:5}
\begin{cases} 
y_{n+1}(x;q)=[2n+1]_q\,xy_n(x;q)+q^{2n-1}y_{n-1}(x;q),\\
y_0(x;q)=1, \quad y-1(x;q)=1+x,
\end{cases}
\end{equation}
o\`u $[n]_q=\frac {1-q^n} {1-q}=1+q+q^2+\dots+q^{n-1}$ est le
$q$-analogue usuel de l'entier $n$.
\end{theorem}

\begin{theorem} \label{thm:2}
Le polyn\^ome $y_n(x;q)$ est donn\'e par la formule
\begin{equation} \label{eq:6}
y_n(x;q)=
\sum _{k=0} ^{n}\begin{bmatrix} n+k\\n-k\end{bmatrix}_q\,
[2k-1]_q!!\,q^{\binom {n-k}2}x^k, 
\end{equation}
o\`u $\left[\begin{smallmatrix} n\\k\end{smallmatrix}\right]_q
=\frac {[n]_q!} {[k]_q!\,[n-k]_q!}$ est le $q$-analogue du coefficient
bin\^omial, et $[2k-1]_q!!=\break [1]_q[3]_q[5]_q\cdots [2k-1]_q$ est le
$q$-analogue du nombre d'involutions sans point fixe sur $2k$ points.
\end{theorem}




\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{ref1}
R. A. Askey and M. E. H. Ismail, {\em A generalization of ultraspherical
polynomials}, in: Studies in pure mathematics, Birkh\"auser,
Basel, 1983, pp.~55--78. 

\bibitem{ref2}
T. S. Chihara, {\em
An introduction to orthogonal polynomials},
Mathematics and its Applications, vol.~13, Gordon and Breach Science
Publ., New York, London, Paris, 1978. 

\bibitem{ref3}
S. Dulucq and L. Favreau, {\em A combinatorial model for Bessel
polynomials}, in: Orthogonal polynomials and their applications (Erice,
1990), C.~Brezinski, L.~Gori and A.~Ronveaux (eds.),
IMACS Ann. Comput. Appl. Math., vol.~9, Baltzer,
Basel, 1991, pp.~243--249.

\bibitem{ref4}
J. D\'esarm\'enien, {\em Les $q$-analogues des polyn\^omes d'Hermite},
S\'eminaire Lotharingien Combin. {\bf 8} (1984), Art.~B08b, 6~pp.

\bibitem{ref5}
I. M. Gessel, {\em
A $q$-analog of the exponential formula},
Discrete Math. {\bf 40} (1982), 69--80.  

\bibitem{ref6}
M. E. H. Ismail, D. Stanton and X. Viennot,
{\em The combinatorics of $q$-Hermite polynomials and the Askey--Wilson
integral},
European J. Combin. {\bf 8} (1987), 379--392.  

\bibitem{ref7}
H. L. Krall and O. Frink, 
{\em A new class of orthogonal polynomials: The Bessel polynomials},
Trans. Amer. Math. Soc. {\bf 65} (1949), 100--115. 

\end{thebibliography}

\end{document}

