Sminaire Lotharingien de Combinatoire 28 (1992), Article B28i

UN q-ANALOGUE DES POLYNÔMES DE BESSEL

(résumé)

Serge Dulucq^{∗}

LaBRI, Unité de Recherche Associé au C.N.R.S. n^{o} 1304 Université de Bordeaux I

Résumé. The combinatorial model for the Bessel polynomials, introduced by Dulucq and Favreau [IMACS Ann. Comput. Appl. Math. 9 (1991), 243–249], allows us to define the q-Bessel polynomials. This model, based upon weighted involutions, leads to a combinatorial interpretation of the three-term recurrence relation and to an explicit formula for the n-th q-Bessel polynomial.

1. Introduction

Les polynômes de Bessel, ainsi nommés compte-tenu de leur relation avec les fonctions de Bessel, apparaissent comme solution de l’equation différentielle du second ordre [2, 7]

x^{2} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + (2x + 2)\frac{dy}{dx} = n(n + 1)y.  (1.1)

Cette famille de polynômes peut également être définie à partir de la récurrence à trois termes

\begin{cases}y_{n+1}(x) = (2n + 1)xy_{n}(x) + y_{n−1}(x), \\ y_{0}(x) = 1, y_{1}(x) = 1 + x. \end{cases}  (1.2)

La valeur explicite de ces polynômes, en termes de la fonction hypergéométrique _{2}F_{0}, est

y_{n}(x) = _{2}F_{0}(−n, n + 1; ; −x/2)
= ∑_{k=0}^{n} \frac{(n + k)!}{(n − k)! k!} (\frac{x}{2})^{k} .  (1.3)

Dans [3], nous avons proposé un modèle combinatoire pour cette famille de polynômes. Ce modèle nous a permis, non seulement de retrouver toutes les identités classiques (récurrence à trois termes (1.2), équation differentielle (1.1), équation de récurrence aux dérivées, identité exprimant la série génératrice), mais également d’obtenir une démonstration entièrement combinatoire de l’orthogonalité de cette famille de polynômes.

∗ Avec le soutien du P.R.C. Mathématiques et Informatique.

Comme pour les polynômes de Hermite [1, 5, 6], ce modèle combinatoire nous permet de définir un q-analogue des polynômes de Bessel. Nous montrons alors qu’ils vérifient une récurrence à trois termes qui est un q-analogue de (1.2) et nous obtenons une formule explicite pour le n^{ième} polynôme y_{n}(x; q).

2. Un modèle combinatoire pour les q-polynômes de Bessel

Soit I_{n} l’ensemble des involutions ayant exactement n orbites, où le terme orbite désigne les cycles de longueur 1 ou 2 de l’involution, c’est-à-dire les points fixes ou les arêtes, et notons I_{n,k} l’ensemble des involutions de I_{n} ayant k arêtes (0 ≤ k ≤ n).

Étant donnée une involution α de I_{n}, nous définissons sa valuation v(α) par

v(α) = x^{e(α)}q^{s(α)},

où

e(α) = nombre d’arêtes de l’involution α,
s(α) = ∑_{arêtes a} s(a) + ∑_{fixes f} s(f),

et, pour une arête a = (i, j),

s(a) = |{k : i < k < j et α(k) < j}|,

et, pour un point fixe f = (f),

s(f) = |{k : k < f et α(k) < f}|.

Définition 2.1. Les q-analogues y_{n}(x; q) des polynômes de Bessel sont définis par

y_{n}(x; q) = ∑_{α∈I_{n}} v(α)  (2.1)

= ∑_{k=0}^{n} ∑_{α∈I_{n,k}} q^{s(α)}x^{k}.  (2.2)

Théorème 2.2. Les polynômes y_{n}(x; q) vérifient la relation de récurrence à trois termes

\begin{cases}y_{n+1}(x; q) = [2n + 1]_{q} xy_{n}(x; q) + q^{2n−1}y_{n−1}(x; q), \\ y_{0}(x; q) = 1, y − 1(x; q) = 1 + x, \end{cases}  (2.3)

où [n]_{q} = \frac{1−q^{n}}{1−q} = 1 + q + q^{2} + ⋯ + q^{n−1} est le q-analogue usuel de l’entier n.

Théorème 2.3. Le polynôme y_{n}(x; q) est donné par la formule

y_{n}(x; q) = ∑_{k=0}^{n} [\begin{matrix}n + k \\ n − k \end{matrix}]_{q} [2k − 1]_{q}!! q^{\binom{n−k}{2}}x^{k},  (2.4)

où [ \begin{matrix}n \\ k \end{matrix}]_{q} = \frac{[n]_{q}!}{[k]_{q}! [n−k]_{q}!} est le q-analogue du coefficient binômial, et [2k − 1]_{q}!! = [1]_{q}[3]_{q}[5]_{q} ⋯ [2k − 1]_{q} est le q-analogue du nombre d’involutions sans point fixe sur 2k points.

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Références

[1] R. A. Askey and M. E. H. Ismail, A generalization of ultraspherical polynomials, in : Studies in pure mathematics, Birkhäuser, Basel, 1983, pp. 55–78.

[2] T. S. Chihara, An introduction to orthogonal polynomials, Mathematics and its Applications, vol. 13, Gordon and Breach Science Publ., New York, London, Paris, 1978.

[3] S. Dulucq and L. Favreau, A combinatorial model for Bessel polynomials, in : Orthogonal polynomials and their applications (Erice, 1990), C. Brezinski, L. Gori and A. Ronveaux (eds.), IMACS Ann. Comput. Appl. Math., vol. 9, Baltzer, Basel, 1991, pp. 243–249.

[4] J. Désarménien, Les q-analogues des polynômes d’Hermite, Séminaire Lotharingien Combin. 8 (1984), Art. B08b, 6 pp.

[5] I. M. Gessel, A q-analog of the exponential formula, Discrete Math. 40 (1982), 69–80.

[6] M. E. H. Ismail, D. Stanton and X. Viennot, The combinatorics of q-Hermite polynomials and the Askey–Wilson integral, European J. Combin. 8 (1987), 379–392.

[7] H. L. Krall and O. Frink, A new class of orthogonal polynomials : The Bessel polynomials, Trans. Amer. Math. Soc. 65 (1949), 100–115.

LaBRI, Unité de Recherche Associé au C.N.R.S. n^{o} 1304, Université de Bordeaux I