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\def\3{\ss}
\def\rh{\rho}

\topmatter 

\address 
Fachbereich Mathematik der Universit\"at Kaiserslautern,
Pfaffenbergstra\3e 95,
D-6750 Kaiserslautern
\endaddress
\endtopmatter

\document

\head {\bf Was machte Nicolo Tartaglia in der Nacht zum Aschermittwoch
des Jahres 1523 in Verona? \\\vskip0pt Antwort auf diese Frage gibt hier an Hand
des Zeugnisses von Tartaglia}\\\vskip0pt
\smc Heinz L\"uneburg
\endhead

\vskip1cm

Mathematik nat\"urlich und zwar sch\"one Mathematik, die es wert ist,
nicht vergessen zu werden. Da sein Buch {\it General trattato di
numeri et misure} heute nur noch schwer zug\"anglich ist, sei es erlaubt
da\3 ich hier berichte, welche Antwort Tartaglia im zweiten Teil des
{\it General trattato} auf Blatt $17 ^{\text {recto}}$ auf obige Frage gibt.
Er schildert dort, er sei 1523 in Verona gewesen. In dieser Stadt
h\"atten am Fastnachtsdienstag ein Schwarm Jugendlicher sowie Leute
reiferen Alters mit drei W\"urfeln das sogenannte Gl\"ucksbuch Lorenzo
spirto befragt, um herauszufinden, was ein solches Buch ihnen in
solchen Dingen vorherbestimme, \"uber die ein solches Buch vorgebe,
Auskunft zu erteilen. Tartaglia bemerkte, da\3 sich auf jedem Blatt des
Buches alle 56 Wurfvariationen der drei W\"urfel befanden, die der Autor
des Buches durch Erfahrung herausgefunden h\"atte. Dies regte Tartaglia
an, zu versuchen herauszufinden, wieviele W\"urfe man nicht nur mit
drei, sondern mit jeder anderen Zahl von W\"urfel machen kann. Dar\"uber
dachte er rasend ({\it freneticando}), wie er schreibt, die ganze
Nacht nach. Am n\"achsten Tag, dem ersten der Fastenzeit, am
Aschermittwoch also, hatte er dann seine L\"osung. 
  
Wie seine gleich wiederzugebende Tabelle zeigt, verfeinert er die
Fragestellung, ohne sie nach meinem Daf\"urhalten befriedigend zu
erl\"autern. Er fragt n\"amlich, so interpretiere ich die Tabelle,
wieviele W\"urfe man mit $k$ W\"urfeln machen k\"onne, so da\3 die h\"ochste
Augenzahl eines W\"urfels gleich $i$ ist mit $i \in \{1,2,3,4,5,6\}$.
Nat\"urlich soviel, wie man mit $k-1$ W\"urfel werfen kann, so da\3 die
h\"ochste Augenzahl eines W\"urfels h\"ochstens gleich $i$ ist. Mit einem
W\"urfel kann man aber genau einen Wurf mit der Augenzahl $i$ machen.
Somit ergibt sich rekursiv folgende Tabelle, wobei der Leser beachte,
da\3 Tartaglia den W\"urfel {\it dato} nennt. Im heutigen Italienisch
wird der W\"urfel mit {\it dado} bezeichnet.
$$\matrix \text {\it per } 1 \text { \it dato} & 1 & 1 &
\hphantom{0}1 &  \hphantom{00}1 & \hphantom{00}1 & \hphantom{00}1 \\
\text {\it per }  2  \text { \it dati} & 1 & 2 & \hphantom{0}3 & \hphantom{00}4 & \hphantom{00}5 & \hphantom{00}6 \\
\text {\it per }  3  \text { \it dati} & 1 & 3 & \hphantom{0}6 & \hphantom{0}10 & \hphantom{0}15 & \hphantom{0}21 \\
\text {\it per }  4  \text { \it dati} & 1 & 4 & 10 & 
\hphantom{0}20 & \hphantom{0}35 & \hphantom{0}56 \\
\text {\it per }  5  \text { \it dati} & 1 & 5 & 15 & 
\hphantom{0}35 & \hphantom{0}70 & 126 \\
\text {\it per }  6  \text { \it dati} & 1 & 6 & 21 & \hphantom{0}56 & 126 & 252 \\
\text {\it per }  7  \text { \it dati} & 1 & 7 & 28 & \hphantom{0}84 & 210 & 462 \\
\text {\it per }  8  \text { \it dati} & 1 & 8 & 36 & 120 & 330 & 792
\endmatrix$$

Bei acht W\"urfel gibt es also 
$$1+8+36+120+330+792=1287$$
W\"urfe. So fortfahrend, k\"onne man herausfinden, wieviele
Wurfm\"oglichkeiten man bei 10000 W\"urfeln habe.
\medskip

\remark{Bemerkungen} --- 1. Wir erkennen nat\"urlich sofort, da\3 hier ein
Streifen des Pascalschen Dreiecks entsteht, welches man mit Pascal
besser arithmetisches Dreieck nennen sollte. \newline

2. Tartaglia gibt es keine weiteren Erl\"auterungen, auch nicht hundert
Seiten sp\"ater, wo das arithmetische Dreieck im Zusammenhang mit dem
binomischen Lehrsatz auftaucht. \newline

3. Warum W\"urfel? Warum nicht Dodekaeder oder Ikosaeder? Oder abstrakt:
Man z\"ahle all $k$-Tupel $a_1, \dots, a_k$ mit $a_i \in \{1, \dots,
n\}$ und $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_k$. Die Rekursion bleibt die
gleiche und man erh\"alt das gesamte arithmetische Dreieck. \newline

4. Ein anderes Verfahren, dessen Autor ich nicht kenne, die Anzahl
dieser $k$-Tupel zu z\"ahlen, ist, da\3 man die Abbildung $\rh $, die
durch 
$$\rh (a): = \{a_i + i - 1 \mid i : = 1, \dots, k\}$$
definiert ist, betrachtet und feststellt, da\3 sie eine Bijektion der
Menge der fraglichen $k$-Tupel auf die Menge der $k$-Teilmengen der
Menge $\{1, \dots, n + k - 1\}$ ist. Dies zeigt, da\3 ihre Anzahl
gleich $\binom {n+k-1} {k}$ ist. Riordan (1964, S.~7) meint, da\3 dieses
Argument auf Euler zur\"uckgehen k\"onnte. Vielleicht wei\3 einer der Leser
N\"aheres. \newline

5. Tartaglias Argument hat einen kleinen Vorteil gegen\"uber dem gerade
erw\"ahnten, da es gleichzeitig eine M\"oglichkeit bietet, alle W\"urfe, die
man mit $k$ W\"urfeln machen kann, rekursiv zu erzeugen.
\endremark
\medskip

Tartaglia erw\"ahnt an dieser Stelle {\it il libro (detto) della ventura
di Lorenzo spirto}. Es reizte mich ungemein, mehr \"uber dieses Buch
herauszufinden. Ich las in Tartaglias Buch im Mathematischen Institut
in Florenz. Das dort aufbewahrte Exemplar geh\"ort zu der Sammlung Toja,
einer bedeutenden Sammlung mathematischer Werke, die eben dieser Toja
zusammengebracht und schlie\3lich der Universit\"at Florenz vermacht hat.
Als Sammler mu\3 man nat\"urlich \"uber seltene B\"ucher und ihre bei
Verk\"aufen erzielten Preise Bescheid wissen. So ist es nicht
verwunderlich, da\3 sich in dieser Sammlung auch ein Handbuch f\"ur
Antiquare und Liebhaber alter B\"ucher findet (Brunet 1966). Nachsehen
unter Lorenzo brachte nichts. Der Beiname spirto f\"uhrte zu Spirito, wo
ich f\"undig wurde. Neben weiteren bibliographischen Angaben fand ich
auch den richtigen Teil des Buches, n\"amlich ``Delle sorti", sowie den
Hinweis, da\3 die Stadtbibliothek von Ulm am 28.~9.~1842, vor rund
hundertundf\"unfzig Jahren also, ein Zweitexemplar dieses Buches
verkauft habe. Meine bange Frage --- Bibliotheken sind zwar
konservativ, doch Ulm hat im zweiten Weltkrieg schrecklich gelitten ---
an die Ulmer Stadtbibliothek, ob das Erstexemplar noch in ihrem Besitz
sei, wurde von Herrn Dr\. Bernd Breitenbruch bejahend beantwortet. Wie
ich durch ihn weiter erfuhr, gibt es seit 1980 einen Nachdruck dieses
Buches, so da\3 es kein Problem mehr war, \"uber die Fernleihe an alle
gew\"unschte Information zu gelangen. Ich m\"ochte Herrn Breitenbruch auch
an dieser Stelle f\"ur seine Hilfe danken. 

Hier nun eine kurze Beschreibung des Buches, das Tartaglia veranla\3te,
ein Problem der Kombinatorik zu formulieren und sogleich auch zu
beantworten. Das Buch beginnt, von der Titelei abgesehen, mit einer
Darstellung des Gl\"ucksrades. Dieses ist umgeben mit zwanzig Fragen,
die im menschlichen Leben eine wichtige Rolle spielen: Wird das Leben
gl\"ucklich oder ungl\"ucklich sein? Wird die Frau einen Knaben oder ein
M\"adchen geb\"aren? Wird man von einer Krankheit genesen? Soll man einer
Blutrache nachgehen? Wird man das bei einem Diebstahl Verlorene
wiederfinden? Dies sind f\"unf von jenen Fragen. F\"ur jede der Fragen ist
einer von zwanzig K\"onigen zust\"andig, die zu je vieren auf den n\"achsten
f\"unf Seiten des Buches abgebildet sind. Dabei werden die zwanzig
K\"onige durch f\"unf Holzschnitte repr\"asentiert. Es ist aber nicht so,
da\3 je vier K\"onige durch ein und denselben Holzschnitt dargestellt
werden, vielmehr wird K\"onig David durch einen Holzschnitt dargestellt,
der f\"ur keinen weiteren K\"onig mehr verwendet wird. Drei weitere
Holzschnitte werden als Konterfei f\"ur je f\"unf K\"onige verwendet,
w\"ahrend der letzte Holzschnitt als Abbild f\"ur vier K\"onige herhalten
mu\3.

Man ist mit seiner Frage also an einen K\"onig verwiesen worden. Sollte
man sich an K\"onig David wenden, so verweist dieser den Fragesteller an
das Zeichen des Mondes, K\"onig Priamos verweist ihn an das Zeichen des
Greifs und so jeder der K\"onige an ein anderes Zeichen. Es gibt also
zwanzig Zeichen, Tierkreiszeichen und andere.

F\"ur die Zeichen sind die n\"achsten zwanzig Seiten reserviert. Jede
dieser Seiten ist in $10 \cdot 6 = 60$ Quadrate eingeteilt, wobei die
vier mittleren Quadrate zu einem gr\"o\3eren zusammengefa\3t sind. In
diesem findet sich das Zeichen abgebildet. Der Name des Zeichens steht
zugleich am Kopf des Blattes. In den verbleibenden 56 Quadraten sind
die 56 W\"urfe, die man mit drei W\"urfeln machen kann, abgebildet. Die
Anordnung ist bei allen Zeichen die folgende:

$$\matrix 111 & 116 & 336 & 553 & 651 & 541 \\
222 & 221 & 441 & 554 & 652 & 542 \\
333 & 223 & 442 & 556 & 653 & 543 \\
444 & 224 & 443 & 661 & 654 & 531 \\
555 & 225 & & & 641 & 532 \\
666 & 226 & & & 642 & 521 \\
112 & 331 & 445 & 662 & 643 & 431 \\
113 & 332 & 446 & 663 & 631 & 432 \\
114 & 334 & 351 & 664 & 632 & 421 \\
115 & 335 & 552 & 665 & 621 & 321  \endmatrix$$
Wie man sieht, ist die vollst\"andige Auflistung nicht ungeschickt
vorgenommen. 

Hat man nun $xyz$ gew\"urfelt, so suche man das $xyz$-Feld des
Zeichens auf, an das man verwiesen wurde. Dort wird man dann
angewiesen, einen von 56 Fl\"ussen in der Sph\"are eines der schon
erw\"ahnten zwanzig Zeichen zu suchen. Diese zwanzig Sph\"aren finden
sich auf den n\"achsten zwanzig Seiten. Die sechsundf\"unfzig Fl\"usse sind
auf der jeweiligen Sph\"are in zwei Kreisen angeordnet. Hat man den Flu\3
gefunden, so wird man schlie\3lich an einen von zwanzig Propheten
verwiesen, wobei gleichzeitig noch eine Zahl zwischen 1 und 56 genannt
ist. F\"ur jeden der Propheten sind zwei Seiten reserviert, wobei stets
mit einer linken Seite begonnen wird, so da\3 beide Seiten gleichzeitig
sichtbar sind. Auf diesen beiden Seiten finden sich auf vier Kolumnen
verteilt $3 \cdot 56$ jene, die zu je dreien von 1 bis 56 numeriert sind.
Die drei Verse, die durch die Zahl angesprochen werden, beinhalten
schlie\3lich die Weissagung. Diese, in jugendlichem Italienisch
verfa\3t, sind f\"ur mich meist dunkel. Tartaglias Mathematik liest sich
sehr viel einfacher. 

Wie ich diese W\"urfelgeschichte bei Tartaglia gefunden habe, m\"ochten
Sie, lieber Leser, wissen? Das begann vor mehr als zwanzig Jahren. ---
Doch das ist eine lange, das ist eine andere Geschichte, von der ich
etwas in meinem n\"achsten Buch erz\"ahlen werde, das, wie ich hoffe, 1992
erscheinen wird.

Zum Schlu\3 m\"ochte ich mich bei meinen florentiner Freunden recht
herzlich bedanken, da\3 sie mir den Zugang zu der Sammlung Toja
gew\"ahrten, wo ich insbesondere auch im Hinblick auf meine
Untersuchungen zu Fibonaccis {\it liber abbaci} Kenntnisse
unsch\"atzbaren Wertes gewann.

\head \bf Literatur \endhead 

Jacques-Charles Brunet \vskip2pt
--- Manuel du libraire et de l'amateur de livres. Bd.~5 Nachdruck der 5.~Auflage. 
Mayenne 1966
\vskip0,4cm

Lorenzo Spirito Gualtieri \vskip2pt
--- Il libro delle sorti. Facsimilenachdruck der Ausgabe Perugia 1482.
Perugia 1980
\vskip0,4cm

Heinz L\"uneburg \vskip2pt
--- Leonardi pisani {\it liber abbaci} oder Lesevergn\"ugen eines
Mathematikers. Second edition. Bibliographisches Institut, Mannheim, 1993. 
\vskip0,4cm

John Riordan \vskip2pt
--- An Introduction to Combinatorial Analysis. 2$ ^{\text{nd}}$ printing. New
York and London 1964
\vskip0,4cm

Nicolo Tartaglia \vskip2pt
--- General trattato di numeri et misure. Teile 1 und 2 Venedig 1556,
Teile 3, 4, 5 und 6 Venedig 1560




\enddocument
