%This is a LaTeX-file
%producing 4 pages output

\documentstyle[12pt]{article}
\begin{document}

\medskip
\centerline{
{\bf Konstruktion endlicher aufl\"osbarer Gruppen}
}

\bigskip
\centerline{R. Laue, Lehrstuhl II f\"ur Mathematik}
\centerline{Universit\"at Bayreuth}

\bigskip
Ein wesentlicher Schritt zur Konstruktion endlicher aufl\"osbarer
Gruppen ist nach \cite{habil} die Bestimmung der Konjugiertenklassen von $p'$-Gruppen
in $GL(n,p).$ Man kann sich nach \cite{habil} dabei auf einige kleinere
Untergruppen von $GL(n,p)$ beschr\"anken. Hier betrachten wir die monomiale Gruppe
$M_n = Z_{p-1}\wr S_n$ und Untergruppen der Ordnung $q,$ wobei $2 \not = q | p-1$
gilt und $p,q$ Primzahlen sind.

\medskip
{\bf 1. Repr\"asentantensysteme}

Sei $GF(p)^* = \langle z \rangle.$ Dann hat $x = z^{\frac {p-1}{q}}$ die Ordnung
$q.$ Zu geeigneter Basis hat ein $u \in GL(n,p)$ der Ordnung $q$ die Matrixdarstellung
$u = diag(x^{e_1}, \ldots ,x^{e_n}).$ Die Abbildung
$$log_x:(B_n)_q \longrightarrow V(n,q): diag(x^{e_1}, \ldots , x^{en}) \longmapsto
 (e_1, \ldots ,e_n)
$$
ist dann ein Homomorphismus der $q$-Sylowgruppe $(B_n)_q$ der Basisgruppe
$B_n$ von $M_n$ in $V(n,q),$ der die Operation von $S_n$ \"ubertr\"agt.
Ist $GF(q)^* = \langle y \rangle,$ so ist
$$log_y: V(n,q) \longrightarrow [-1,q-2]^n:(e_1,\ldots ,e_n) \longmapsto (a_1, \ldots ,a_n)$$
mit $a_i = -1$ falls $e_i = 0$ und $a_i = c$ falls $e_i = y^c$ eine Abbildung, die
die Operation von $S_n$ \"ubertr\"agt.

\medskip
Erzeuger von Untergruppen der Ordnung $q$ von $B_n$ transformieren wir durch 
beide Abbildungen, um durch die {\em lexikographisch kleinsten}
$(a_1, \ldots ,a_n)$ die Konjugiertenklassen von Untergruppen von $B_n$
einfach beschreiben zu k\"onnen.

\medskip
Repr\"asentanten $(a_1, \ldots ,a_n),$ die ein $a_i = -1$ enthalten, ergeben sich aus 
den Repr\"a\-sen\-tanten f\"ur $n-1$ durch Voranstellen einer $-1.$
F\"ur die Tupel $(a_1, \ldots ,a_n)$ ohne $-1$ k\"onnen wir mit Permutationen
$0 \le a_1 \le a_2 \le \ldots \le a_n$ erreichen. Potenzieren in $B_n$ geht \"uber in 
die Addition einer Konstanten aus $Z_{q-1}$ zu jedem $a_i.$ Die lexikographisch
kleinsten Repr\"asentanten der $S_n\times Z_{q-1}$ Bahnen besitzen mindestens einen 
$0$-Eintrag und lassen sich durch keine Subtraktion eines festen $a_i$ von allen $a_j$
und zyklisches Vertauschen der $i$-ten Position an die erste Stelle auf ein lexikographisch
kleineres Tupel transformieren. Das ergibt f\"ur kleine $n$ folgende Repr\"asentantensysteme:

\medskip
\begin{eqnarray}
  n=1: &  \{(0)\}. \nonumber \\
  n=2: &  \{(-1,0)\} \cup \{(0,i) | 0 \le i \le \frac {q-1}{2}\}.                \nonumber \\
  n=3: &  \{(-1,i,j) | (i,j) \mbox{ Repr\"asentant f\"ur } n = 2\} \cup \nonumber \\
       &  \{( 0,i,j) | 0 \le i \le \frac {q-1}{3}, 2 \cdot i \le j \le q - 1 - i\}\nonumber\\
  & \quad\mbox{zus\"atzlich}\quad (0,\frac {q-1}{3}, 2 \cdot \frac {q-1}{3})\quad\mbox{ falls}\quad q \equiv 1 mod 3.\nonumber 
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
  n=4: &  \{(-1,i,j,k) | (i,j,k)\mbox{ Repr\"asentant f\"ur } n = 3\} \cup 
          \{ (0,0,0,k) | 0 \le k < q-1 \} \cup \nonumber\\
        & \{ (0,0,j,j) | 0 \le j \le \frac {q-1}{2} \} \cup 
          \{ (0,0,j,k) | 1 \le j < k  < q-1 \} \cup          \nonumber\\ 
        & \{ (0,i,j,k) | 1 \le i \le \frac {q-1}{4} ,
		 2\cdot i \le j < q-1,
		 u \le k  < q - i -1                            \nonumber\\
  & \quad\mbox{ mit}\quad u = i + j \quad\mbox{falls}\quad j \le \frac {q-1}{2}
    \quad\mbox{ und}\quad   u = i + j + 1 \quad\mbox{sonst } \} \nonumber\\
  & \quad\mbox{zus\"atzlich}\quad (0,\frac {q-1}{4}, 2\cdot \frac{q-1}{4}, 3\cdot \frac{q-1}{4})
    \quad\mbox{
     falls}\quad q \equiv 1 mod 4.\nonumber
\end{eqnarray}

\medskip
Diese Darstellung ist unabh\"angig von $p.$ Durch Bestimmen primitiver Elemente
und Potenzieren erh\"alt man daraus die L\"osung des Ausgangsproblems. Insbesondere
erh\"alt man leicht alle Isomorphietypen von Gruppen $(Z_p)^nZ_q$ f\"ur $n \le 4.$
f\"ur $n = 4$ und $GF(p)^* = \langle z \rangle, \quad b = z^{\frac{p-1}{q}}$ und
$GF(q)^* = \langle y \rangle$ ist die $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ entsprechende Gruppe
$$G = \langle x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 | \quad \mbox{F\"ur}\quad 1 \le i \le j \le 4 \quad\mbox{ist}\quad
x_i^p = 1, [ x_i,x_j] = 1, x_5^q = 1, x_i^{x_5} = x_i ^{c_i} \rangle$$
wobei

 \[ c_i = \left\{ \begin{array}{l@{\quad}ll}
          1 & \mbox{falls}\quad a_i = -1\\
	  b^{y^{a_i}} & sonst \\ \end{array}
	  \right. \quad \mbox{f\"ur} \quad 1 \le i \le 4. \]

F\"ur $n = 2$ wurden die Gruppen implizit von O. H\"older\cite{holder} beschrieben,
und A. Rottl\"ander \cite{rott} zeigte, da\ss\ $\frac {q-3}{2}$ dieser Gruppen
den gleichen Untergruppenverband besitzen.

\bigskip
{\bf 2. Anzahlen.}

\medskip
{\bf Satz:} Sei $k(U,GL(n,p))$ die Anzahl der Konjugiertenklassen zu $U$ isomorpher
Untergruppen von $GL(n,p).$ Dann gilt im Falle $U \cong Z_q, \quad q| p-1, \quad q \not =2$
die Rekursionsformel


\medskip
\begin{eqnarray}
 k(Z_q,GL(1,p)) & = & 1, \nonumber\\
 k(Z_q,GL(n,p)) & = & k(Z_q,GL(n-1,p)) + \frac {1}{q - 1} 
 \sum_{d|ggT(n,q-1)} \phi(d)\cdot
 \frac { 
        \left [  
		 \frac {q-1}{d}
	\right ] ^{ \frac {n}{d} }
       }
       { 
	\left (
	 \frac {n}{d}
	\right ) ! 
       },\nonumber\\
\end{eqnarray}
wobei $[ r ]^s = r(r+1)\cdots(r+s-1)$ die steigenden Faktoriellen bezeichnet.

\medskip
{\bf Beweis des Satzes.}
Wie bei den Repr\"asentantenmengen reicht es hier, nur Tupel $(e_1,\ldots,e_n)$ zu 
betrachten, bei denen jedes $e_i \not = -1$ ist. Um die
Bahnen von $Z_{q-1}$ zu z\"ahlen, die auf der Menge der Bahnen von $S_n$ auf der 
Menge der $n$-Tupel mit Eintr\"agen aus $Z_{q-1}$ existieren, wenden wir das Lemma von
Cauchy-Frobenius an. Zu $a \in Z_{q-1}$ ist $(e_1,\ldots,e_n)^{S_n}$ ein Fixpunkt,
wenn die $e_i$ eine Multimenge der M\"achtigkeit $n$ bilden, bei der zu jedem
$a$-Zyklus einer L\"ange $l$ stets $l$ gleiche Elemente auftreten. Nun besitzt $a$
f\"ur $d = ggT(a,q-1)$ genau $d$ Zyklen der L\"ange $\frac {q-1}{d}.$ Wir haben also
nur dann Fixpunkte, wenn $d | n$ gilt, und dann ist die Anzahl gleich der Anzahl der 
Bahnen von $S_{\frac {n}{d}}$ auf $\{0,1,\ldots,q-1\}^{\{1,\ldots,\frac {n}{d}\}},$
also gleich 
$\frac {1}
       {
	 \left(
	       \frac {n}{d}
	 \right)
	 !
	}
	\cdot 
        \left[
	      \frac {q-1}{d}
        \right ]
	^{\frac{n}{d}}
,$
siehe \cite [Seite 75]{aigner}.

Da zu  festen $d| ggT(n,q-1)$ genau $\phi(d)$ Elemente $a$ mit dieser Bahnenzerlegung
existieren, folgt die Formel.


\begin{thebibliography}{22}
\bigskip


\bibitem{aigner}
Aigner, M.: Combinatorial Theory.
Springer Verlag New York 1970.

\bibitem{holder}
H\"older, O.: Die Gruppen der Ordnung $p^3,pq^2,pqr,p^4$
Math. Ann. 43(1893),301-412.

\bibitem{habil}
Laue, R.: Zur Konstruktion und Klassifikation endlicher aufl\"osbarer Gruppen.
Bayreuther Math. Schr. 9(1982)

\bibitem{rott}
Rottl\"ander, A.: Nachweis der Existenz nicht-isomorpher Gruppen von gleicher
Situation der Untergruppen.
Math. Z. 28(1928),641-653.
\end{thebibliography}

\end{document}

