Konstruktion endlicher auflösbarer Gruppen

R. Laue, Lehrstuhl II für Mathematik Universität Bayreuth

Ein wesentlicher Schritt zur Konstruktion endlicher auflösbarer Gruppen ist nach [3] die Bestimmung der Konjugiertenklassen von p′-Gruppen in GL(n, p). Man kann sich nach [3] dabei auf einige kleinere Untergruppen von GL(n, p) beschränken. Hier betrachten wir die monomiale Gruppe M_{n} = Z_{p−1} ≀ S_{n} und Untergruppen der Ordnung q, wobei 2 ≠ q|p − 1 gilt und p, q Primzahlen sind.

1. Repräsentantensysteme

Sei GF (p)^{∗} = ⟨z⟩. Dann hat x = z^{\frac{p−1}{q}} die Ordnung q. Zu geeigneter Basis hat ein u ∈ GL(n, p) der Ordnung q die Matrixdarstellung u = diag(x^{e_{1}},…, x^{e_{n}}). Die Abbildung

log_{x} : (B_{n})_{q} ⟶ V (n, q) : diag(x^{e_{1}},…, x^{en}) ⟼ (e_{1},…, e_{n})

ist dann ein Homomorphismus der q-Sylowgruppe (B_{n})_{q} der Basisgruppe B_{n} von M_{n} in V (n, q), der die Operation von S_{n} überträgt. Ist GF (q)^{∗} = ⟨y⟩, so ist

log_{y} : V (n, q) ⟶ [−1, q − 2]^{n} : (e_{1},…, e_{n}) ⟼ (a_{1},…, a_{n})

mit a_{i} = −1 falls e_{i} = 0 und a_{i} = c falls e_{i} = y^{c} eine Abbildung, die die Operation von S_{n} überträgt.

Erzeuger von Untergruppen der Ordnung q von B_{n} transformieren wir durch beide Abbildungen, um durch die lexikographisch kleinsten (a_{1},…, a_{n}) die Konjugiertenklassen von Untergruppen von B_{n} einfach beschreiben zu können.

Repräsentanten (a_{1},…, a_{n}), die ein a_{i} = −1 enthalten, ergeben sich aus den Repräsentanten für n − 1 durch Voranstellen einer −1. Für die Tupel (a_{1},…, a_{n}) ohne −1 können wir mit Permutationen 0 ≤ a_{1} ≤ a_{2} ≤ … ≤ a_{n} erreichen. Potenzieren in B_{n} geht über in die Addition einer Konstanten aus Z_{q−1} zu jedem a_{i}. Die lexikographisch kleinsten Repräsentanten der S_{n}×Z_{q−1} Bahnen besitzen mindestens einen 0-Eintrag und lassen sich durch keine Subtraktion eines festen a_{i} von allen a_{j} und zyklisches Vertauschen der i-ten Position an die erste Stelle auf ein lexikographisch kleineres Tupel transformieren. Das ergibt für kleine n folgende Repräsentantensysteme:

n = 1 :  {(0)}.
n = 2 :  \{(−1, 0)\} ∪ \{(0, i)|0 ≤ i ≤ \frac{q−1}{2}\}.
n = 3 :  {(−1, i, j)|(i, j) Repräsentant für n = 2} ∪
\{(0, i, j)|0 ≤ i ≤ \frac{q−1}{3}, 2 · i ≤ j ≤ q − 1 − i\}
zusätzlich (0, \frac{q−1}{3}, 2 · \frac{q−1}{3}) falls q ≡ 1mod3.

n = 4 : {(−1, i, j, k)|(i, j, k) Repräsentant für n = 3} ∪ {(0, 0, 0, k)|0 ≤ k < q − 1} ∪
\{(0, 0, j, j)|0 ≤ j ≤ \frac{q−1}{2}\} ∪ \{(0, 0, j, k)|1 ≤ j < k < q − 1\} ∪
\{(0, i, j, k)|1 ≤ i ≤ \frac{q−1}{4}, 2 · i ≤ j < q − 1, u ≤ k < q − i − 1
mit u = i + j falls j ≤ \frac{q−1}{2} und u = i + j + 1 sonst \}
zusätzlich (0, \frac{q−1}{4}, 2 · \frac{q−1}{4}, 3 · \frac{q−1}{4}) falls q ≡ 1mod4.

Diese Darstellung ist unabhängig von p. Durch Bestimmen primitiver Elemente und Potenzieren erhält man daraus die Lösung des Ausgangsproblems. Insbesondere erhält man leicht alle Isomorphietypen von Gruppen (Z_{p})^{n}Z_{q} für n ≤ 4. für n = 4 und GF (p)^{∗} = ⟨z⟩, b = z^{\frac{p−1}{q}} und GF (q)^{∗} = ⟨y⟩ ist die (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) entsprechende Gruppe

G = ⟨x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}| Für 1 ≤ i ≤ j ≤ 4 ist x_{i}^{p} = 1, [x_{i}, x_{j}] = 1, x_{5}^{q} = 1, x_{i}^{x_{5}} = x_{i}^{c_{i}}⟩

wobei

c_{i} = \{ \begin{matrix}1 & falls a_{i} = −1 \\ b^{y^{a_{i}}} & sonst \end{matrix} für 1 ≤ i ≤ 4.

Für n = 2 wurden die Gruppen implizit von O. Hölder[2] beschrieben, und A. Rottländer [4] zeigte, daß \frac{q−3}{2} dieser Gruppen den gleichen Untergruppenverband besitzen.

2. Anzahlen.

Satz: Sei k(U, GL(n, p)) die Anzahl der Konjugiertenklassen zu U isomorpher Untergruppen von GL(n, p). Dann gilt im Falle U ≅ Z_{q}, q|p − 1, q ≠ 2 die Rekursionsformel

k(Z_{q}, GL(1, p)) = 1,
k(Z_{q}, GL(n, p)) = k(Z_{q}, GL(n − 1, p)) + \frac{1}{q − 1} ∑_{d|ggT (n,q−1)} ϕ(d) · \frac{[\frac{q−1}{d}]^{\frac{n}{d}}}{(\frac{n}{d})!} ,

(1)

wobei [r]^{s} = r(r + 1) ⋯ (r + s − 1) die steigenden Faktoriellen bezeichnet.

Beweis des Satzes. Wie bei den Repräsentantenmengen reicht es hier, nur Tupel (e_{1},…, e_{n}) zu betrachten, bei denen jedes e_{i} ≠ −1 ist. Um die Bahnen von Z_{q−1} zu zählen, die auf der Menge der Bahnen von S_{n} auf der Menge der n-Tupel mit Einträgen aus Z_{q−1} existieren, wenden wir das Lemma von Cauchy-Frobenius an. Zu a ∈ Z_{q−1} ist (e_{1},…, e_{n})^{S_{n}} ein Fixpunkt, wenn die e_{i} eine Multimenge der Mächtigkeit n bilden, bei der zu jedem a-Zyklus einer Länge l stets l gleiche Elemente auftreten. Nun besitzt a für d = ggT (a, q − 1) genau d Zyklen der Länge \frac{q−1}{d}. Wir haben also nur dann Fixpunkte, wenn d|n gilt, und dann ist die Anzahl gleich der Anzahl der Bahnen von S\frac{n}{d} auf \{0, 1,…, q − 1\}^{\{1,..., \frac{n}{d} \}}, also gleich _{\frac{1}{(\frac{n}{d})!}} · [\frac{q−1}{d}]^{\frac{n}{d}} , siehe [1,

Seite 75].

Da zu festen d|ggT (n, q − 1) genau ϕ(d) Elemente a mit dieser Bahnenzerlegung existieren, folgt die Formel.

References

[1] Aigner, M.: Combinatorial Theory. Springer Verlag New York 1970.

[2] Hölder, O.: Die Gruppen der Ordnung p^{3}, pq^{2}, pqr, p^{4} Math. Ann. 43(1893),301-412.

[3] Laue, R.: Zur Konstruktion und Klassifikation endlicher auflösbarer Gruppen. Bayreuther Math. Schr. 9(1982)

[4] Rottländer, A.: Nachweis der Existenz nicht-isomorpher Gruppen von gleicher Situation der Untergruppen. Math. Z. 28(1928),641-653.