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\nologo

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\def\al{\alpha}
\def\be{\beta}
\def\Om{\Omega}
\def\om{\omega}
\def\F{\Cal F}

\topmatter 
\title Sur les polyn\^omes de Catalan multiples
\endtitle 
\author G. Kreweras
\endauthor 
\affil 
Paris VI
\endaffil

\endtopmatter
\document

Une des d\'efinitions possibles des polyn\^omes de Catalan multiples
est la suivante~: en appelant $c(x)$ la fonction g\'en\'eratrice des
nombres de Catalan,
$$c(x)=1+x+2x^2+5x^3+14x^4+\cdots,$$
le polyn\^ome de Catalan $k$-uple $P(m_1,m_2,\dots,m_k;u)$ est le
coefficient du mon\^ome $x_1^{m_1}x_2^{m_2}\cdots x_m^{m_m}$ dans le
d\'eveloppement de
$$\left(1-x_1c(x_1)-x_2c(x_2)-\dots-x_kc(x_k)\right)^{-u-1}.$$
Son degr\'e en $u$ est $m_1+m_2+\dots m_k$.

Les polyn\^omes de Catalan simples et doubles ($k=1$ et $k=2$) ont
fait l'objet d'une \'etude d\'etaill\'ee, \`a para\^\i tre dans le
``Journal Europ\'een de Combinatoire". En particulier leurs z\'eros
sont des entiers n\'egatifs distincts.

Pour $k\ge 3$, on peut d\'emontrer les propri\'et\'es suivantes~:

\roster 
\item "1*)" Les z\'eros de $P(m_1,m_2,\dots,m_k;u)$ continuent
d'\^etre des r\'eels n\'egatifs distincts, mais ne sont plus
n\'ecessairement entiers.
\item "2*)" Si aucun des $m_i$ n'est nul, les entiers $-1$, $-2$,
\dots, $-k$ se trouvent parmi les z\'eros.
\item "3*)" Sous la m\^eme condition $m_1m_2\cdots m_k\ne 0$, on peut
poser $m_i=r_i+1$ et faire le changement de variables $v=-k-1-u$. Les
$r_1+r_2+\dots+r_k$ z\'eros de $P(m_1,m_2,\dots,m_k;u)$ autres que
$-1$, $-2$, \dots, $-k$ sont alors donn\'es par ceux d'un polyn\^ome
$Q(r_1,r_2,\dots,r_k;v)$ dont les coefficients se calculent par une
r\`egle de convolution simple.
\item "4*)" Les z\'eros du polyn\^ome $Q(r_1,r_2,\dots,r_k;v)$, dont
le degr\'e est $d=r_1+r_2+\dots+r_k$, sont non seulement r\'eels et
distincts, mais en outre appartiennent tous au segment $[0,2d]$. Si
l'on a de plus
$r_1>r_2+r_3+\dots+r_k$, $r_1-r_2-r_3-\dots-r_k$ d'entre eux sont les
entiers du segment $[d+1,2r_1]$.
\item "5*)" Dans le cas particulier o\`u $r_1=r_2=\dots=r_k=1$, on
peut poser\linebreak $Q(1,1,\dots,1;v)=Q_k(v)$. On a alors
$$Q_k(v)=\sum _{i=0} ^{k}(-2)^i\binom ki (v)_{k-i},$$
avec $(v)_j=v(v-1)\cdots(v-j+1)$, et les $Q_k(v)$ se trouvent former
une famille de polyn\^omes orthogonaux dont la r\'ecurrence de
Darboux--Christoffel est
$$Q_k(v)=(v-k-1)Q_{k-1}(v)-2(k-1)Q_{k-2}(v),$$
avec $Q_0(v)=1$ et $Q_1(v)=v-2$.
\item "6*)" {\it Exemple}: Les six z\'eros du polyn\^ome de Catalan
triple $P(2,2,2;u)$ sont
$$-1,\quad  -2,\quad -3,\quad -4.510\dots,\quad -6.710\dots,\quad
-9.778\dots\ .$$
\endroster


\enddocument