SUR LES POLYNÔMES DE CATALAN MULTIPLES

G. Kreweras

Paris VI

Une des définitions possibles des polynômes de Catalan multiples est la suivante : en appelant c(x) la fonction génératrice des nombres de Catalan,

c(x) = 1 + x + 2x^{2} + 5x^{3} + 14x^{4} + ⋯,

le polynôme de Catalan k-uple P (m_{1}, m_{2}, …, m_{k}; u) est le coefficient du monôme x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}} ⋯ x_{m}^{m_{m}} dans le développement de

(1 − x_{1}c(x_{1}) − x_{2}c(x_{2}) − ⋯ − x_{k}c(x_{k}))^{−u−1} .

Son degré en u est m_{1} + m_{2} + … m_{k}.

Les polynômes de Catalan simples et doubles (k = 1 et k = 2) ont fait l’objet d’une étude détaillée, à paraître dans le “Journal Européen de Combinatoire”. En particulier leurs zéros sont des entiers négatifs distincts.

Pour k ≥ 3, on peut démontrer les propriétés suivantes : 1*) Les zéros de P (m_{1}, m_{2}, …, m_{k}; u) continuent d’être des réels négatifs distincts,

mais ne sont plus nécessairement entiers. 2*) Si aucun des m_{i} n’est nul, les entiers −1, −2, …, −k se trouvent parmi les

zéros. 3*) Sous la même condition m_{1}m_{2} ⋯ m_{k} ≠ 0, on peut poser m_{i} = r_{i} + 1 et faire

le changement de variables v = −k − 1 − u. Les r_{1} + r_{2} + ⋯ + r_{k} zéros de P (m_{1}, m_{2}, …, m_{k}; u) autres que −1, −2, …, −k sont alors donnés par ceux d’un polynôme Q(r_{1}, r_{2}, …, r_{k}; v) dont les coefficients se calculent par une règle de convolution simple.

4*) Les zéros du polynôme Q(r_{1}, r_{2}, …, r_{k}; v), dont le degré est d = r_{1} +r_{2} +⋯+ r_{k}, sont non seulement réels et distincts, mais en outre appartiennent tous au segment [0, 2d]. Si l’on a de plus r_{1} > r_{2} + r_{3} + ⋯ + r_{k}, r_{1} − r_{2} − r_{3} − ⋯ − r_{k} d’entre eux sont les entiers du segment [d + 1, 2r_{1}].

5*) Dans le cas particulier où r_{1} = r_{2} = ⋯ = r_{k} = 1, on peut poser Q(1, 1, …, 1; v) = Q_{k}(v). On a alors

Q_{k}(v) = ∑_{i=0}^{k}(−2)^{i}\binom{k}{i}(v)_{k−i},

avec (v)_{j} = v(v − 1) ⋯ (v − j + 1), et les Q_{k}(v) se trouvent former une famille de polynômes orthogonaux dont la récurrence de Darboux–Christoffel est

Q_{k}(v) = (v − k − 1)Q_{k−1}(v) − 2(k − 1)Q_{k−2}(v),

avec Q_{0}(v) = 1 et Q_{1}(v) = v − 2. 6*) Exemple: Les six zéros du polynôme de Catalan triple P (2, 2, 2; u) sont

−1, −2, −3, −4.510 …, −6.710 …, −9.778 ….