\input amstex
\input amsppt.sty

\nologo

\magnification1200
\hsize13cm
\vsize19cm

\def\al{\alpha}
\def\be{\beta}
\def\Om{\Omega}
\def\om{\omega}
\def\F{\Cal F}

\topmatter 
\title Ordnungen nichtkommutativer Ringe
\endtitle 
\author Udo Hebisch und Wilfried Lex
\endauthor 
\address
Institut f\"ur Mathematik, Technische Universit\"at Clausthal,
Erzstra{\ss}e~1, D-38678 Clausthal--Zellerfeld  
\endaddress
\address
Institut f\"ur Informatik, Technische Universit\"at Clausthal,
Erzstra{\ss}e~1, D-38678 Clausthal--Zellerfeld
\endaddress

\abstract
The cardinalities of non-commutative finite rings are completely
determined: there is a non-commutative
ring of order $n$ or such a ring with identity if and only if $n$ is
not square-free or cube-free, respectively.
\endabstract

\endtopmatter
\document

Unter einem {\it Ring} $\Cal R=(R,+,\cdot)$ soll hier ine Struktur mit
bin\"aren Verkn\"upfungen $+$ und $\cdot$ so verstanden werden,
da{\ss} $(R,+)$ eine Abelsche Gruppe und $\cdot$ distributiv
bez\"uglich $+$ ist. $\Cal R$ hei\ss e {\it assoziativ}
beziehungsweise {\it kommutativ} im Falle der Assoziativit\"at
beziehungsweise Kommutativit\"at von $(R,\cdot)$ und nat\"urlich {\it
nichtkommutativ} beziehungsweise {\it nichtassoziativ}, falls $\Cal R$
nicht kommutativ beziehungsweise nicht assoziativ ist. --- $\Bbb N$
stehe f\"ur die Menge der positiven ganzen Zahlen.

Bekanntlich ist f\"ur jedes $n$ aus $\Bbb N$ der Restklassenring der
ganzen Zahlen modulo $n$ ein kommutativer Ring der {\it Ordnung} $n$
--- d.h\. ein Ring mit $n$ Elementen ---, sogar ein assoziativer mit
Einselement; aber nichtkommutative Ringe, selbst nichtassoziative,
sind, zumindest was die m\"oglichen Ordnungen angeht, weit seltener:

Wie \"ublich nennen wir eine ganze Zahl $n$ {\it quadratfrei}
beziehungsweise {\it kubusfrei}, falls es kein $t$ aus $\Bbb
N\backslash\{1\}$ mit $t^2\mid n$ beziehungsweise $t^3\mid n$ gibt
wobei "$\mid$" f\"ur "teilt" stehe.

Betrachtet man die m\"oglichen Zerlegungen der additiven Gruppe eines
endlichen Ringes in direkte Summen zyklischer Gruppen und benutzt die
Tatsache, da{\ss} jeder endliche Ring direktes Produkt von Ringen mit
Primzahlpotenzordnungen ist (vgl\. etwa \cite{1}, (I.1), S.~2), so
gewinnt man den folgenden Satz.

\proclaim{Satz} F\"ur $n\in \Bbb N$ gibt es dann, und nur dann, einen
nichtkommutativen, assoziativen Ring der Ordnung $n$ beziehungsweise
einen solchen mit Eins, wenn $n$ nicht quadratfrei beziehungsweise
nicht kubusfrei ist.
\endproclaim

Die Teilaussage, da{\ss} jeder assoziative Ring kubusfreier Ordnung
mit Eins kommutativ ist, findet sich bereits in \cite{1}, (I.3), (c),
S.~4. --- Satz und Beweis bleiben g\"ultig, falls "assoziativen"
gestrichen wird. --- Dieses Resultat ergab sich im Zusammenhang mit
der Entwicklung eines Computerprogramms zur Klassifikation
algebraischer Strukturen. --- Eine ausf\"uhrlichere englische
Darstellung soll noch publiziert werden.

\Refs\nofrills{Literatur}

\ref\key 1\by B. R. McDonald\book Finite Rings with Identity\publ
Marcel Dekker\publaddr New York\yr 1974\endref


\endRefs


\enddocument