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\vglue 1cm
\centerline{{\bf CONS\'EQUENCES \'ENUM\'ERATIVES DE LA SYM\'ETRIE}} 
\vskip 3pt \centerline{{\bf DES FONCTIONS DE SCHUR
\footnote{(*)}{Soutien par le P.R.C. Math\'ematiques et Informatique.}}}
\medskip\medskip \centerline{Jacques \petcap D\'esarm\'enien
\footnote{(**)}% 
{D\'epartement d'informatique, I.U.T. Strasbourg~III, 72,
route du Rhin, F-67400~Ill\-kirch-Graf\-fen\-staden.}}

\bigskip\bigskip
\resume{Nous donnons les cons\'equences combinatoires de la sym\'etrie 
des fonctions de Schur sur les tableaux et permutations sous-jacents.}
\smallskip 
\abstract{We indicate the combinatorial consequences of the symmetry of
Schur functions for the underlying tableaux and permutations.} 

\titre Introduction|
Nous avons grandement exploit\'e dans plusieurs publications le lien 
existant entre fonctions sym\'etriques (plus sp\'ecialement certaines
fonctions de Schur) et d\'enombrement de permutations par nombre de
reculs et indice majeur inverse ({\it cf.}~[D--F] et [D--W], entre
autres). Assez curieusement, l'une des caract\'eristiques des fonctions
de Schur, la sym\'etrie, n'y est pas utilis\'ee. Elle se traduit pourtant de
mani\`ere simple et les interpr\'etations bijectives se transportent sans
peine des unes aux autres. De plus, une bijection de Gessel [G] permet de
donner le m\^eme type de r\'esultat pour les permutations de structure
cyclique donn\'ee.

\titre 1. R\'esultats|
Soit $\sigma $ une permutation dans $\gos_n$. Un {\it recul} de 
$\sigma $ est un entier $i\in [n-1]$ tel que $\sigma (i+1)<\sigma (i)$.
On note $\rec(\sigma )$ l'ensemble des reculs de $\sigma $. 

Les sous-ensembles de $[n]$ sont en bijection avec les 
{\it compositions} (ou permutations ordonn\'ees) de $n$. \`A l'ensemble
$E=\{e_1,e_2,\ldots,e_k\}$, dont les \'el\'ements sont ordonn\'es de fa\c
con croissante, on associe la composition $(e_1, e_2-e_1, \ldots,
e_k-e_{k-1}, n-e_k)$ de $n$. On identifiera par la suite l'ensemble $E$
et la composition associ\'ee. En ``oubliant'' l'ordre des \'el\'ements de la
composition $E$, on obtient une partition $\pi (E)$ de $n$. 

On dira enfin que la permutation $\sigma $ est de {\it classe} $E$ 
lorsque $\rec(\sigma )\in E$.

Nous distinguerons la {\it forme} (``up-down sequence'') et le {\it type} 
(stucture en cycles) d'une permutation. Soient $\varphi $ une forme et
$\lambda $ une partition de $n$, ainsi que $E$ une composition de $n$. 

Notons respectivement ${\cal A}_{\varphi }(E)$ et 
${\cal B}_{\lambda }(E)$ les ensembles de permutations de classe $E$ et
de forme $\varphi $ ou de type $\lambda $. Notons pour finir $A_\varphi
(E)$ et $B_\lambda (E)$ le nombre respectif d'\'el\'ements des deux
ensembles pr\'ec\'edents.

\th Th\'eor\`eme 1|La forme $\varphi $ et le type $\lambda $ \'etant 
fix\'es, les nombres $A_\varphi (E)$ et $B_\lambda (E)$ ne d\'ependent
que de la partition $\pi (E)$ sous-jacente \`a $E$. \finth

La d\'emonstration de ce r\'esultat va \^etre illustr\'ee par un exemple 
dans la section suivante. Les d\'etails des constructions utilis\'ees et
les justificatifs se trouvent r\'esum\'es dans [D--W]. 

\titre 2. Exemples|
Consid\'erons la permutation $\sigma = 623471598$ de $\gos_9$. On a 
$\rec(\sigma )=\{1,5,8\}$. Sa forme est repr\'esent\'ee de mani\`ere
commode en assimilant cette permutation \`a un tableau de Young : 
$$\young{6\cr 2&3&4&7\cr &&&1&5&9\cr &&&&&8\cr }\quad. $$

Fixons-nous maintenant un sous-ensemble $E\subset [n]$ contenant 
$\rec(\sigma )$ de fa\c con que $\sigma $ soit de classe $E$. Prenons
$E=\{1,5,7,8\}$ dont la composition associ\'ee est $E=(1,4,2,1,1)$. Pour
illustrer le th\'eor\`eme, nous allons montrer comment construire une
permutation $\sigma '$ de m\^eme forme et dont la classe $E'=(1,2,4,1,1)$
s'obtient en permutant deux \'el\'ements cons\'ecutifs de $E$.

\`A partir de $E=(e_1,e_2,\ldots,e_k)$ on construit la suite $s$ 
constitu\'ee de $e_1$ fois $k$, $e_2$ fois $k-1$, \dots, $e_k$ fois 1, en
ordre d\'ecroissant. Ici, $s=(5,4,4,4,4,3,3,2,1)$. 

Reportons ces valeurs dans l'ordre dans le tableau de Young associ\'e 
\`a~$\sigma $ :
$$
\young{3\cr 4&4&4&3\cr &&&5&4&1\cr &&&&&2\cr }\quad. $$
On obtient ainsi un {\it tableau semi-standard} dont les \'el\'ements 
sont strictement d\'ecroissants dans les colonnes et d\'ecroissants au
sens large dans les lignes. Ce sont pr\'ecis\'ement ces tableaux qui
interviennent dans les fonctions de Schur. 

Il s'agit maintenant de permuter convenablement les 3 et les 4 de ce 
tableau. Les groupes constitu\'es de ces deux nombres superpos\'es sont
laiss\'es inchang\'es ; dans une m\^eme ligne, les 4 et les 3 restants
sont permut\'es puis r\'eordonn\'es. Le tableau semi-standard ainsi
obtenu est : 
$$ \young{3\cr 4&4&3&3\cr &&&5&3&1\cr &&&&&2\cr }\quad. $$

Enfin, on renormalise en num\'erotant par ordre d\'ecroissant et de 
gauche \`a droite :
$$
\young{4\cr 2&3&5&6\cr &&&1&7&9\cr &&&&&8\cr }\quad. $$

La permutation associ\'ee $\sigma '=423561798$ a la m\^eme forme que 
$\sigma $ ; elle est bien de classe $E'=(1,2,4,1,1)=\{1,3,7,8\}$, puisque
$\rec(\sigma ')=\{1,3,8\}$.

L'argument utilis\'e ici est la proposition~2 de [D--W] ({\it cf.}~[M]), 
et la sym\'etrie des fonctions de Schur. 

En utilisant la bijection de Gessel ({\it cf.}[G] et proposition~8 de 
[D--W]), on obtient une construction analogue qui pr\'eserve le type. 

Reprenons la permutation $\sigma $ plus haut. Sa d\'ecomposition en 
cycles est :
$$
\sigma =(16)(2)(3)(4)(57)(89).
$$

R\'ecrivons ces cycles en commen\c cant par leur plus grand \'el\'ement 
et par ordre croissant de celui-ci : $2\ 3\ 4\ 61\ 75\ 98$. Cette
\'ecriture permet de reconstituer $\sigma $ : les d\'ebuts de cycles ne
sont autres que les {\it \'el\'ements saillants} du mot. Utilisons
maintenant la m\^eme suite $s=(5,4,4,4,4,3,3,2,1)$ d\'efinie par la
composition $E$ que nous pla\c cons dans le mot pr\'ec\'edent dans
l'ordre indiqu\'e par celui-ci : 
$$ 4\ 4\ 4\ 35\ 34\ 12. $$ 
Nous obtenons
ainsi un mot dont la factorisation de Lyndon ({\it cf.}~[L] et [D--W])
correspond au type cyclique de $\sigma $. 

Permutons maintenant les 3 et les 4 dans chacun des facteurs : 
$$
3\ 3\ 3\ 45\ 43\ 12.
$$
Apr\`es permutation circulaire \'eventuelle des facteurs et leur r\'eordonnement de mani\`ere \`a obtenir de nouveau une factorisation de Lyndon :
$$
45\ 34\ 3\ 3\ 3\ 12,
$$
puis normalisation dont la m\'ethode est indiqu\'ee dans [D--W] : $$
21\ 43\ 5\ 6\ 7\ 98.
$$

On obtient ainsi la d\'ecomposition en cycles d'une permutation 
$\sigma ''=(12)(34)(5)(6)(7)(89)$dont la suite des valeurs est $\sigma
''=214356798$. Cette permutation a bien entendu m\^eme type que $\sigma
$. On peut, de plus, montrer que sa classe est $E'=\{1,3,7,8\}$ comme pour
$\sigma '$. Ici, $\rec(\sigma '')=\{1,3,8\}$.


Dans un cas comme dans l'autre, la construction sommairement d\'ecrite 
est \'evidemment une bijection.

En fait, les nombres $A_\varphi (E)$ et $B_\lambda (E)$ sont les 
coefficients des mon\^omes $x_1^{e_1}x_2^{e_2}\ldots x_k^{e_k}$ dans
la fonction de Schur $S_\varphi $ et dans la fonction sym\'etrique de
colliers $L_\lambda $ respectivement. La sym\'etrie de ces fonctions est
bien \'evidemment \'equivalente au th\'eor\`eme~1. Dans le premier cas,
ce coefficient est bien connu. 

\th Th\'eor\`eme 2|Le nombre $A_\varphi (E)$ est \'egal au nombre de 
Kostka $K_\varphi (\pi (E))$, coefficient de la fonction monomiale $m_{\pi
(E)}$ dans $S_\varphi $. 
\finth 

\goodbreak\vskip 44pt
\eightpoint
\centerline{BIBLIOGRAPHIE}
\nobreak\vskip 6pt

\article D--F|\pd D\'ESARM\'ENIEN (Jacques) et \pd FOATA 
(Dominique)|Fonctions sym\'etriques et s\'eries hyperg\'eom\'etriques 
basiques multivari\'ees|Bull. Soc. math. France|113|1985|3--22|

\divers D--W|\pd D\'ESARM\'ENIEN (J.) et \pd WACHS (M.)|Descentes sur 
les d\'erangements et mots circulaires, {\it S\'eminaire lotharingien de
combinatoire}, 19\emini~session, [Strehl (V.), \'ed. ; Schlo\ss\
Schwannberg/Ufr. 22--25~mars 1988], p.13--21\pointir Strasbourg, Publ.
I.R.M.A. 361/S--19, {\oldstyle 1988}| 

\divers G|\pd GESSEL (Ira)|Note non publi\'ee| 

\livre L|\pd LOTHAIRE (M.)|Combinatorics on words|Reading, Addison-Wesley (Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol.~{\bf 17}), {\oldstyle 1983}|

\livre M|\pd MACDONALD (Ian G.)|Symmetric functions and Hall 
polynomials|Oxford, Clarendon Press, {\oldstyle 1979}| 

\bye

