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%Publ. I.R.M.A. Strasbourg, 1991, 461/s--24
%Acts $24^e$ S\'eminaire Lotharingien, p.39--76 


\documentclass{article} 
\usepackage{amsfonts}
\begin{document} 

\title{Algoritmi combinatori per l'interpolazione polinomiale 
in dimensione $\geq 2$.}
\author{L.Cerlienco e M.Mureddu \\Universit\`a di Cagliari, Italy} 
\date{}
\maketitle 

\section{Introduzione.} 
Sia $K$ un campo, $X:=\{x_1,x_2,\ldots ,x_n\}$ 
un insieme di 
indeterminate e $K[X]:=K[x_1,\ldots ,x_n]$ l'usuale algebra dei polinomi 
nelle indetermiante $x_j$. Faremo uso delle notazioni: 
${\bf i}:=(i_1,\ldots,i_n)\in {\bf N}^n$ e ${\bf x^i}:=
x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}$.
Consideriamo i problemi seguenti.
\vskip .2in 
\noindent {\bf Problema 1.} $\;$ Dati  N  elementi distinti 
$P_i \;(i=1,\ldots ,N)$ 
dello spazio vettoriale $K^n$ e  fissati N   valori  $\alpha _i\in  K$,  si 
vuole  determinare un polinomio $p(x_1,\ldots  ,x_n)\in  K[X]$  
tale che 
$$p(P_i)=\alpha _i \indent \indent  (i=1,\ldots ,N).$$ 
\vskip .2in
\noindent {\bf NB.} \indent Volutamente non ci si \`e riferiti a 
$K^n$ come al $K$--spazio affine n--dimensionale $A^n_K$.  Infatti  alcuni 
aspetti rilevanti  della  trattazione  che  segue  \underline{non} 
hanno --- nel caso $n\geq 2$ --- carattere geometrico  intrinseco. 
Rinviamo  all'Ap\-pen\-di\-ce  1  per  maggiori  chiarimenti  su  questo 
aspetto. \`E pertanto solamente per comodit\`a di linguaggio che 
chiameremo {\sl punti} di $K^n$ gli elementi $P_i$.

\vskip .2in 
\noindent {\bf Problema  2.}  $\;$  Analogo  al  Problema   1   ma  
nell'ipotesi che  si conoscano 
oltre che i valori di p nei  punti  $P_i$  anche  di   quelli   di  
certe  sue derivate parziali (derivate di ordine eventualmente 
variabile da punto a punto). 
\vskip .2in 

Occupiamoci dapprima del Problema 1. Nei termini  enunciati  esso 
\`e mal posto; occorre precisare ulteriormente la natura del 
polinomio cercato in modo tale  che  venga  assicurata  
l'esistenza  e   l'unicit\`a   della soluzione. Infatti, \`e 
imme\-dia\-to osservare che se $p$ \`e un polinomio  che  
soddisfa alle condizioni richieste, tale 
\`e pure un qualunque altro polinomio $p'$ congruo  a  $p$  modulo 
l'ideale 
$\Im ({\cal P})$ di tutti i polinomi che si annullano sui punti 
dell'insieme ${\cal P}:=\{P_1,\ldots ,P_N\}$. 
\eject

\noindent
Tale ideale 
$\Im ({\cal P})$ \`e cofinito: 
$$
codim\Im ({\cal P}):=dim K[X]/\Im ({\cal P})=N.
$$
Se ${\bf x}^{{\bf i}_1},\ldots ,{\bf x}^{{\bf i}_N}$  sono  monomi  
tali   che   le   classi   di 
equivalenza 
$[{\bf x}^{{\bf i}_1}],\ldots ,[{\bf x}^{{\bf i}_N}]$ 
(modulo $\Im ({\cal P})$) 
formano una  base  per  l'algebra  quoziente 
$K[X]/\Im ({\cal P})$ ---  basi  di  questo  tipo  verranno  dette  
{\em  basi monomiali} --- la 
classe di equivalenza  $[p]$  di  un  qualunque  polinomio   $p\in  
K[X]$ 
contiene 
uno ed un solo polinomio $\overline{p}$  della forma 
\begin{equation} 
%1
\overline {p}=a_1{\bf x}^{{\bf i}_1}+ \cdots  
+a_N {\bf x}^{{\bf i}_N} \indent \indent (a_i \in K)
\end{equation} 
 ( che chiameremo  ``resto  di  $p$  (mod. $\Im ({\cal P})$)   
rispetto alla base 
${\bf x}^{{\bf i}_1},\ldots ,{\bf x}^{{\bf i}_N}$  fissata''). 
Si pu\`o quindi affermare  che 
esiste   uno   ed   un   solo   polinomio   della    forma     (1)   
sod\-di\-sfa\-cen\-te  alle condizioni poste. 

Appare opportuno imporre un'altra ragionevole restrizione, atta  a 
limitare la variet\`a delle  possibili  basi  monomiali  e  quindi 
delle soluzioni al problema. \`E infatti naturale --- ed \`e ci\`o 
che  si  fa  {\em  tacitamente}  nel  caso   unidimensionale   --- 
privilegiare basi monomiali  che  siano  ``minimali''  nel  senso 
seguente.
Indichiamo con $M$ l'insieme dei {\em termini} ($:=$ monomi monici) 
di $K[X]$ e con $\preceq$ un arbitrario {\it term-ordering} 
su $M$ (ordine lineare 
compatibile con la sua struttura di monoide); ancora: 
``${\bf x^i}\prec {\bf x^j}$'' sta per 
``${\bf x^i}\preceq {\bf x^j} \, 
\mbox{ e } \, {\bf x^i}\not={\bf x^j}$''. 
La base monomiale 
$[{\bf x}^{{\bf i}_1}],\ldots ,[{\bf x}^{{\bf i}_N}]$ 
di $K[X]/\Im ({\cal P})$ 
$({\bf x}^{{\bf i}_1}\prec \ldots \prec {\bf x}^{{\bf i}_N})$ 
verr\`a detta {\em minimale} rispetto 
a $\preceq$ se, per qualunque altra base monomiale 
$[{\bf x}^{{\bf i'}_1}],\ldots ,[{\bf x}^{{\bf i'}_N}]$ 
di $K[X]/\Im ({\cal P})$ $\;$ 
(con ${\bf x}^{{\bf i'}_1}\prec \ldots \prec {\bf x}^{{\bf i'}_N}$) 
si ha ${\bf x}^{{\bf i}_j}\preceq {\bf x}^{{\bf i'}_j}$ 
per ogni $j=1,\ldots,N$. Nel seguito 
chiameremo {\em base monomiale minimale} ogni base  monomiale  che 
sia minimale rispetto ad un qualche ordine lineare compatibile 
$\preceq$.

Come vedremo  nei  prossimi  paragrafi, qualora si disponga di una 
base monomiale per  $K[X]/\Im ({\cal P})$,  il  Problema  1  \`e  
di  soluzione 
pressoch\'e immediata. Esso viene cos\`\i \  ricondotto 
a determinare algoritmi effettivi    
per trovare  una  base  
monomiale minimale per $K[X]/\Im ({\cal P})$. 

Per tale questione verranno proposte soluzioni di  tipo 
diverso: sia riconducendola alla ricerca di un minore non nullo di 
ordine $N$ di una matrice a N righe; sia, dopo aver determinato 
un sistema di generatori per $\Im ({\cal P})$, facendo uso 
della teoria 
delle basi di Groebner; sia infine --- e questo  riteniamo  essere 
il principale risultato  del presente lavoro --- attraverso un 
semplice algoritmo puramente combinatorio che fornisce direttamente la 
base monomiale, minimale rispetto all'ordine 
lessicografico inverso $\preceq_{i.l.}$, di $K[X]/\Im({\cal P})$ 

Il Problema 2 richieder\`a ulteriori precisazioni, dopo di che  la 
sua soluzione non si discoster\`a molto da quella del Problema  1. 
Ad esso sar\`a dedicato l'ultimo paragrafo della presente nota.
\newpage 

\noindent 
\section{L'ideale $\Im({\cal P})$ dell'insieme 
${\cal P} :=\{P_1, \ldots ,P_N \}$.}

{\bf 2.1} \indent 
Dato un ideale 
$I\subseteq K[X]$, sia 
$G=\{g_1,\cdots ,g_s\}$ la {\em base di  Groebner  ridotta}  (cfr. 
[1]) di $I$ relativa all'ordine $\preceq$, in simboli:
$$G=\{g_1,\cdots ,g_s\}\, := \, RGB_{\preceq}(I).$$ 
Detto $t_i$ il {\em termine direttore} di $g_i$ (cio\`e il termine di 
$g_i$ pi\`u grande nell'ordine $\preceq$), poniamo 
$$ T_{i}:=t_i\cdot M \indent \mbox{e} \indent B:=M-\bigcup_{i=1}^{s} 
T_{i} .$$ 
\`E facile verificare che l'insieme delle classi  di  equivalenza, 
modulo $I$, dei termini in $B$ costituisce una base monomiale  per 
$K[X]/I$ che \`e  minimale  rispetto  al  term-ordering  $\preceq$ 
considerato.

Osserviamo anche che l'insieme ${\cal F}:={\cal F}_{\prec}(I)
:= \{{\bf i}\in {\bf N}^n\mid {\bf x^i}\in B\}$ 
\`e un diagramma di Ferrers (cfr. 
{\bf 4.6}) i cui elementi diedrali esterni 
${\bf f}_1,\ldots ,{\bf f}_s$ sono tali che 
${\bf x}^{{\bf f}_i}=t_i$. Viceversa, \`e facile provare che se 
${\cal F}\subseteq {\bf N}^n$ \`e tale che 
$\{[{\bf x^i}]_I\mid {\bf i}\in {\cal F}\}$ costituisce 
una base monomiale, minimale rispetto al term-ordering $\preceq$, 
per $K[X]/I$ allora

a) ${\cal F}$ \`e un diagramma di Ferrers;

b) indicati con ${\bf f}_1,\ldots,{\bf f}_s$ gli elementi diedrali 
esterni di ${\cal F}$ e, per ogni $j=1,\ldots,s$, con 
$p_j\in span_K\{{\bf x^i}\mid {\bf i}\in {\cal F}_j\}$ (dove 
${\cal F}_j:=\{{\bf i}\in {\cal F}\mid {\bf i}\prec {\bf f}_j$\} ) il 
polinomio univocamente determinato tale che 
${\bf x}^{{\bf f}_j}-p_j\equiv 0 \; mod.I$, allora l'insieme 
$\{{\bf x}^{{\bf f}_1}-p_1, \ldots,{\bf x}^{{\bf f}_s}-p_s\}$ 
costituisce la base di Groebner ridotta $RGB_{\preceq}(I)$. Nel 
seguito queste osservazioni verranno spesso sfruttate tacitamente.

\vskip .2in \noindent {\bf 2.2} \indent 
Per ogni sottoinsieme $T\subseteq M$, 
indichiamo con $T_{\prec}$ la sequenza 
$$
T_{\prec}:=(t_0,t_1,\ldots   ,t_s,\ldots   )\indent   \indent  
(t_i\in T) 
$$
formata dagli elementi di $T$ ordinati secondo l'ordine indotto da 
$\preceq$: $r<s \Rightarrow t_r \prec t_s$.

Se $P\in K^n$ poniamo 
\begin{eqnarray*}
v_P:\, K[x_1,\ldots  ,x_n] & \longrightarrow &  \;  \;  K  \indent 
\indent \mbox{(valutazione in $P$)} \\
f \indent \indent & \longmapsto & f(P) 
\end{eqnarray*}
e indichiamo con $T_{\prec}(P)$ la lista 
$$T_{\prec}(P):=(v_P(t_0), \ldots ,v_P(t_s), \ldots ).$$
Inoltre, in riferimento ad un insieme finito (lin. ordinato) ${\cal 
P}=\{P_1,\ldots ,P_N\} \subseteq K^n$, indichiamo con  
$T_{\prec}({\cal P})$ la matrice con 
$N':=\# T\leq \infty$ 
colonne ed $N$ righe, la cui j-esima riga \`e $T_{\prec}(P_j)$.
\vskip .2in \noindent {\bf 2.3} \indent 
Adottando anche nel presente lavoro la terminologia  gi\`a  utilizzata 
in [2], chiameremo {\it ideale elementare} un qualunque ideale 
$\Gamma=(\gamma_1(x_1),\ldots ,\gamma_n(x_n))$ di $K[x_1,\ldots ,x_n]$ 
generato da n polinomi, ciascuno  in  una  sola  variabile. 
Osser\-via\-mo che l'insieme dei generatori 
$(\gamma_1,\ldots ,\gamma_n)$ di $\Gamma$ costituisce  anche 
{\it la} sua base di Groebner ridotta (qualunque sia l'ordine  lineare 
compatibile $\preceq$ adottato).

Conviene  associare  a  ${\cal  P}=\{P_1,\ldots  ,P_N\}$   un   ideale 
elementare $\Gamma$ nel modo seguente. Dapprima associamo a ${\cal P}$ 
l'insieme  $\tilde {\cal P}$ di tutti i punti $P(a_1,\dots ,a_n)$ di 
$K^n $ tale che, per 
ogni $1\leq j \leq n$, $a_j$ sia la j-esima coordinata di almeno uno 
dei punti $P_1, \ldots, P_N$, e  poniamo  poi  $\Gamma:=\Im(\tilde 
{\cal P})$.
 
Osserviamo che se il complesso dei punti in ${\cal P}$ ha $h_j$ 
valori distinti per j-esime coordinate allora
$\# \tilde{\cal P} = h := h_1 \cdots h_n \geq N =\# {\cal P}$.
Conveniamo inoltre di 
ordinare linearmente i punti in $\tilde{{\cal P}}$  assumendo 
che i primi N siano proprio i punti di ${\cal  P}\subseteq 
\tilde{{\cal P}}$:
$$
\tilde{{\cal P}}=\{ P_1,\ldots ,P_N,P_{N+1},\ldots ,P_h \} \indent 
(h= h_1 \cdots h_n) \ .
$$

Va notato che l'ideale  
$\Gamma:=\Im(\tilde {\cal P})$ 
 di $\tilde{\cal P}$,
 \`e l'ideale elementare generato 
dagli n polinomi quadrat-frei 
$\gamma _j(x_j), \; j=1,\ldots ,n$\ , $\;$ 
definiti dalle condizioni
$$ deg(\gamma _j)=h_j \ ,$$
$$
\gamma _j(\rho )=0 \Longleftrightarrow \rho \ \mbox{\`e  la j-esima  
coordinata  di almeno  uno  dei punti $P_1,\ldots ,P_N$}\ .
$$
Pertanto le classi di equivalenza mod.$\Gamma$ dei termini in
$$
H:=\{{\bf x^i}=x_1^{r_1} \cdots x_n^{r_n}\mid 0\leq r_j\leq h_j-1\}
$$
costituiscono una base per $K[X]/\Gamma$. 
\vskip .1in

\newtheorem{theorem}{Proposizione}
%Proposizione 1
\begin{theorem}
\indent La matrice ${\cal H}:=H_{\prec}(\tilde{{\cal P}})$ \`e non 
degenere.
\end{theorem}
{\bf Dimostrazione.} \indent Facciamo uso della formula (vedi 
Appendice 2)
%2
\begin{eqnarray}
\mid A_1\otimes A_2 \otimes \cdots \otimes A_n \mid & = & \\
=\mid A_1 
\mid ^{h_2 \cdots h_n}\,\mid A_2 \mid ^{h_1  h_3  \cdots 
h_n} 
\,
\cdots \, \mid A_n \mid ^{h_1 \cdots h_{n-1}}  
 & = & \frac{(\mid A_1 \mid 
\cdots \mid A_n \mid )^{h_1 h_2 \cdots h_n}}{\mid A_1 \mid 
^{h_1} \cdots \mid A_n \mid ^{h_n}} \nonumber
\end{eqnarray}
\noindent dove $A_j$ \`e una matrice quadrata d'ordine $h_j$.

L'enunciato discende dalla (2) non appena si osservi che la matrice  
$H_{\prec}(\tilde{{\cal P}}) $ \`e il prodotto 
tensoriale di n matrici di Vandermonde, la j-esima delle quali \`e 
asso\-cia\-ta alle j-esime coordinate  dei punti $P_1, \ldots ,P_N$. 
Anzi, posto $P_i~\equiv~(\rho _{i,1},  \ldots  ,  \rho  _{i,n})$ 
con $P_i\in {\cal P}$, si ha 
\begin{equation}
% 3
det \; H_{\prec}(\tilde{{\cal P}})= \prod_{j=1}^n \Bigl[ 
\prod_{\rho  _{r,j}  \neq  \rho  _{s,j}  }  (\rho  _{r,j}  -  \rho 
_{s,j})\Bigr]^{\overline{h}_j} \neq 0
\end{equation}
con $\overline{h}_j :=h/h_j$. \hfill $\Box$

\vskip .2in \noindent {\bf 2.4} \indent 
Per la Prop.1 la matrice ${\cal H}:=H_{\prec}(\tilde{{\cal P}})$
\`e invertibile. Consideriamo la sua  inversa  ${\cal  H} ^{-1}  = 
(\alpha _s ^r)$ e, posto 
$H_{\prec}:=\{{\bf x}^{{\bf i}_1},\ldots ,{\bf x}^{{\bf i}_h}\}$, 
associamo alla sua s-esima colonna  il polinomio  
$ p_s = \sum ^h _{r=1} \alpha _s ^r {\bf x}^{{\bf i}_r}\ .$
%Proposizione 2
\begin{theorem}
L'ideale \, 
$I := (p_{N+1}, \ldots ,p_h,  \gamma  _1,  \ldots  ,\gamma  _n  )$ 
\, 
\`e l'ideale dell'in\-sie\-me ${\cal P} = \{ P_1, \ldots  ,P_N \}$:
$$ I := (p_{N+1},  \ldots  ,p_h,  \gamma  _1,  \ldots  ,\gamma  _n 
) = \Im ({\cal P}).$$
\end{theorem}
{\bf  Dimostrazione}  \indent  Il  fatto   che   ${\cal 
H}^{-1}$  sia 
inversa di ${\cal H}$ comporta che  $p_s$  assume 
il valore 1 in $P_s\in \tilde{{\cal P}}$ ed il valore zero in tutti gli 
    altri punti di 
$\tilde{{\cal P}}$:
$$
p_s(P_t)=v_{P_t}(p_s)=\delta_s^t.
$$
Pertanto ${\cal V}(I)={\cal P}$ (${\cal  V}(I)$  indica  l'insieme 
algebrico dell'ideale $I$).  Ne  consegue 
che $I\subseteq \Im({\cal V}(I))=\Im ({\cal P})$ e quindi che 
$codim \ I \geq N=codim \ \Im ({\cal P})$. Per concludere che 
$I=\Im ({\cal P})$ basta allora provare che  $codim  \  I=N$.  \`E 
cio\`e sufficiente provare che in $H$ esistono $N$ monomi 
${\bf x}^{{\bf i}_{\sigma(1)}},\ldots,
{\bf x}^{{\bf i}_{\sigma(N)}}$ 
tali   che   per    ciascuno 
${\bf x}^{{\bf i}_{\sigma(N+t)}}$ \  ($t=1,\ldots ,h-N$) degli altri si abbia 
\begin{equation}
%4
 {\bf x}^{{\bf i}_{\sigma(N+t)}}\equiv \sum_{r=1}^N \eta_{t,r}\ 
{\bf x}^{{\bf i}_{\sigma(r)}}
\indent  (\mbox{mod.}\ I).
\end{equation}
Per la Prop. 1, la matrice  (di tipo $N\times h$) $\;$ 
$H_{\prec}({\cal P})$ ha rango $N$. Fissato un suo minore non 
nullo $L$ di ordine $N$, siano 
${\bf x}^{{\bf i}_{\sigma(1)}},\ldots,
{\bf x}^{{\bf i}_{\sigma(N)}} \in H$ 
i monomi corrispondenti alle colonne di $L$ e 
${\bf x}^{{\bf i}_{\sigma(N+1)}},\ldots,
{\bf x}^{{\bf i}_{\sigma(h)}}$ 
gli altri; si ha: 
$$ 
p_s = \sum ^h _{r=1} \alpha _s ^{\sigma(r)} \ 
{\bf x}^{{\bf i}_{\sigma(r)}}
$$
Riguardando i monomi 
${\bf x}^{{\bf i}_{\sigma(r)}}$ 
come $h$ indeterminate, 
consideriamo il sistema di $h-N$ equazioni lineari nelle 
${\bf x}^{{\bf i}_{\sigma(r)}}$: 
\begin{equation}
%5
 \sum ^h _{r=1} \alpha _s ^{\sigma(r)} \ 
{\bf x}^{{\bf i}_{\sigma(r)}}=0 \indent 
(s=N+1,\ldots ,h).
\end{equation}
Il minore 
$$
\left|\alpha _s ^{\sigma(r)}\right| \indent (r,s=N+1,\ldots ,h)
$$ 
della matrice dei coefficienti \`e, 
per l'identit\`a di Jacobi (cfr. [3]), diverso da 
zero. Pertanto \`e possibile risolvere il sistema (5) esprimendo 
le incognite 
${\bf x}^{{\bf i}_{\sigma(N+1)}},\ldots$
\eject

\noindent $\ldots,
{\bf x}^{{\bf i}_{\sigma(h)}}$ 
in funzione 
delle 
${\bf x}^{{\bf i}_{\sigma(1)}},\ldots,
{\bf x}^{{\bf i}_{\sigma(N)}}$: 
\begin{equation}
%6
{\bf x}^{{\bf i}_{\sigma(N+t)}}= \sum_{r=1}^N \eta_{t,r}\ 
{\bf x}^{{\bf i}_{\sigma(r)}}.
\end{equation}
Le operazioni formali che producono le (6) a partire dalle (5) 
possono essere anche utilizzate per ottenere le (4) a partire da 
$$ 
p_s = \sum ^h _{r=1} \alpha _s ^{\sigma(r)} \ 
{\bf x}^{{\bf i}_{\sigma(r)}} \equiv 0 
\indent (\mbox{mod.}\ I)\indent (s=N+1,\ldots ,h).
$$
L'asserto resta pertanto provato.  \hfill $\Box$ 

\vskip .3in
\newtheorem{lemma}{Lemma}
\noindent
\section{Basi di Groebner per $\Im({\cal P})$ e   algoritmi  per    il  
calcolo  del polinomio interpolatore.}

{\bf 3.1} \indent In generale l'insieme di generatori 
$( p_{N+1},  \ldots  ,p_h,  \gamma  _1,  \ldots  ,\gamma  _n  )$ 
di $I=\Im ({\cal P})$, considerato nella Prop.~2, non costituisce  una 
base di Groebner di $I$. In relazione a $I=\Im ({\cal P})$, 
as\-su\-mia\-mo $G$  e  $B$  come  in  {\bf 
2.1}; si ha ora: $B\subseteq H$ e $\#  B=N$.  Posto  $\{b_1,\ldots 
,b_N\} := B_{\prec}$, sia ${\cal B}^{-1}$ la matrice inversa della 
matrice ${\cal B}:=B_{\prec}({\cal P})$  d'ordine  N  (vengono  usate, 
qui, le notazioni introdotte in {\bf 2.2}). Posto infine 
$\alpha := (\alpha _1, \ldots ,\alpha _N)_{-1}$, il polinomio 
\begin{equation}
p(x_1, \ldots ,x_n) := \sum _{j=1}^N ({\cal B}^{-1}\alpha)_j  \, 
b_j
\end{equation} 
\`e il polinomio interpolatore cercato.

\vskip .2in \noindent {\bf 3.2} \indent 
Un ragionamento alternativo, ma facente uso di un {\em machinery} 
simile, \`e il seguente.

Supponiamo che i punti $P_i$ dati  abbiano  coordinate 
$(\rho _{i,1}, \ldots ,\rho _{i,n})$ ed associamo ad ogni  $P_i$  il 
punto  $Q_i  \in K^{n+1}$  di  coordinate  
$(\rho_{i,1}, \ldots ,\rho_{i,n},\alpha_i)$.   
 Sia    $J \subseteq K[x_1,\ldots ,x_n,y]$  l'ideale  dell'insieme  
${\cal Q}:=\{Q_1,\ldots ,Q_N\}$.   Se fissiamo sul monoide dei termini  di 
$K[x_1, \ldots  ,x_n,y]$  un ordine $\preceq$ per il quale la $y$ abbia 
un peso infinito rispetto a ciascuna delle $x_i$, allora la base di 
Groebner  ridotta  $L:= RGB_{\preceq} (J)$ di $J$ rispetto a tale 
ordine conterr\`a --- oltre  che dei polinomi nelle variabili 
$x_1, \ldots ,x_n$--- uno ed  un  solo polinomio contenente 
effettivamente  la  variabile  $y$,  diciamolo 
$g(x_1, \ldots ,x_n,y)$.

Poich\`e, comunque si assegnino le prime coordinate  $\sigma  _1, 
\ldots ,\sigma _n \in K$ esiste al pi\`u un valore $\beta  \in  K$ 
tale che il punto di coordinate $(\sigma _1,  \ldots  ,\sigma  _n, 
\beta )$ stia in $Q$,  tale  polinomio  dovr\`a  essere  della  forma 
$$y-p(x_1,\ldots ,x_n).$$
Il  polinomio  $p(x_1,\ldots  ,x_n)$  che  qui  compare   sar\`a 
ovviamente quello cercato.

\vskip .2in \noindent {\bf 3.3} \indent 
L'algoritmo descritto in {\bf 3.1} richiedeva la conoscenza di  una 
base monomiale $B$ di $K[X]/\Im({\cal P})$ e  ci\`o  al  fine  di  
\indent  i) precisare la natura del polinomio $p$ cercato: $p  \in  
span_K(B)$ 
\indent e \indent ii) determinare la  matrice  
${\cal B}:=B_{\prec}({\cal P})$ che --- via la (7) --- consentiva di 
esprimere $p$. 
La procedura per  trovare  tale  base  prevedeva  innanzitutto  di 
\indent a) determinare l'ideale $I:=\Im ({\cal P})$ \indent e \indent 
b) trovare la base di Groebner ridotta per $I$.

Vogliamo qui osservare  che  si  pu\`o  anche  procedere  in  modo 
diverso,  in  un  certo  senso   invertendo   quel   ragionamento. 
Osserviamo in primo luogo che vi \`e una corrispondenza  biunivoca 
tra le basi monomiali $B\subseteq H$ e i minori non nulli d'ordine 
$N$ della matrice $H_{\prec}({\cal P})$. Determinato uno  di  tali 
minori non nulli, diciamolo $A$, sia 
$B_A=\{b_1,\ldots ,b_N\}$ l'insieme  dei  termini 
corrispondenti alle  colonne  di  $A$.  A  questo  punto,  assunto 
$B=B_A$, possiamo procedere come in {\bf 3.1}, o anche 
semplicemente   esprimere 
il polinomio $y=p(x_1,\ldots ,x_n)$ cercato mediante la formula 
$$
\left| \begin{array}{cccc}
b_1 & \ldots & b_N & y \\
\ & \ & \ & \alpha_1 \\
\ & A & \ &\vdots \\
\ & \ & \ & \alpha_N
\end{array} \right|
=0
$$
dove $A=(a_{ij})$ con $a_{ij}:=b_j(P_i)=v_{P_i}(b_j)$.

\vskip .2in \noindent {\bf 3.4} \indent 
Aggiungiamo a quanto precede che se il minore non nullo 
$A$ di cui in {\bf 3.3} viene 
scelto in  modo  conveniente, 
possiamo sfruttarlo anche  per  ottenere  una   procedura  atta  a 
determinare direttamente  un  sistema  di  generatori  dell'ideale 
cofinito $\Im ({\cal P})$  che sia anche la sua base di  Groebner 
ridotta rispetto ad un fissato term-ordering $\preceq$. 
Supponiamo infatti di aver scelto $A$  in  modo  tale  che,  detto 
$b$  il 
termine  di  $B_A$  pi\`u  grande in $\preceq$ e   detto 
$D\subseteq H$, $D\not = B_A$ 
un insieme di $N$ termini tutti minori  o  uguali  a  $b$,   si  
abbia 
$det(D_{\prec}({\cal   P}))=0$. 
Siano $b_1,\ldots ,b_N$ (con $b_1\prec \ldots 
\prec b_N$) i termini di $H$ corrispondenti alle colonne di $A$  e 
sia 
$\{\tau_1,\ldots ,\tau_l\}$ il pi\`u piccolo sottoinsieme di 
$H-\{b_1,\ldots ,b_N\}$ tale che, comunque si prenda 
$\tau \in H-\{b_1,\ldots ,b_N\}$, esiste un $1\leq i \leq l$  tale 
che 
$\tau_i |\tau$.  Posto  $C^{i}:=\{b_1,\ldots  ,b_N,\tau_i\}$,  sia 
$D_i$  la 
matrice d'ordine $N+1$ la cui prima riga \`e   $C^{i}_{\prec}$   e  
le  cui 
righe successive sono quelle  della  matrice  $C^{i}_{\prec}({\cal 
P})$  di 
tipo $N\times  (N+1)$;  posto  $g_i=det(D_i)$,  l'insieme  $\{g_1, 
\ldots , 
g_l\}$ \`e allora la base di Groebner  ridotta  di  $I$   rispetto  
all'ordine $\preceq$. Un procedimento  sostanzialmente  equivalente  
al  precedente  \`e descritto in [5].

Va notato che, posto 
$E_{\prec}:=\{b_1,\ldots ,b_s\}$, 
${E'}_{\prec}:=\{b_1,\ldots ,b_s,\tau\}$, e 
${E''}_{\prec}:=\{b_1,\ldots ,b_s,\sigma\}$, 
con  $b_i,\tau  ,\sigma \in M$, 
se $\tau |\sigma$ allora 
$$
rango(E_{\prec}({\cal P}))=rango({E'}_{\prec}({\cal P}))=s \;
\Longrightarrow \; rango({E''}_{\prec}({\cal P}))=s \, .
$$ 
Questa osservazione ha due conseguenze immediate: a) da un lato 
essa consente di semplificare la precedente procedura per 
determinare $A$: una volta scartata la colonna corrispondente ad 
un termine $\tau$, vengono automaticamente scartate anche quelle 
corrispondenti a tutti i multipli di $\tau$; \, b) d'altro lato 
essa assicura che, in tale procedura, il riferimento alla matrice 
$H_{\prec}({\cal P})$ --- anzich\'e, pi\`u in generale, alla 
matrice $M_{\prec}({\cal P})$ --- non \`e affatto restrittivo.

\vskip .2in \noindent {\bf 3.5} \indent 
Un  altro  algoritmo  per  costruire  ---   induttivamente   sulla 
cardinalit\`a di ${\cal  P}$  ---  la  base  di  Groebner  ridotta 
$RGB_{\preceq}(\Im({\cal  P}))$  di  $\Im({\cal  P})$  rispetto  al 
term-ordering $\preceq$, si fonda sulle osservazioni seguenti. 

Sia $\{[{\bf x^i}]_{\Im({\cal P})}\mid {\bf i}\in {\cal F}\}$ la base 
monomiale, minimale rispetto al term-ordering 
$\preceq$, di $K[X]/\Im({\cal P})$ e siano 
${\bf f}_1,\ldots,{\bf f}_s$ (${\bf f}_1\prec\ldots\prec{\bf 
f}_s$) gli elementi diedrali esterni del diagramma di Ferrers 
${\cal F}$. Allora 
$G:=RGB_{\preceq}(\Im({\cal P}))$ sar\`a della forma 
$$
G=\{{\bf x}^{{\bf f}_1}-p_1,\ldots,{\bf x}^{{\bf 
f}_s}-p_s\}
$$
dove ciascuno dei polinomi $p_i\in K[X]$ contiene esclusivamente 
termini minori di ${\bf x}^{{\bf f}_i}$ nell'ordine $\preceq$. 

Consideriamo ora il punto $P=(a_1,\ldots,a_n)\not\in {\cal P}$ e 
l'insieme ${\cal P'}:={\cal P}\cup\{P\}$, e siano 
${\cal F'}$ e $G'$ gli analoghi, relativamente 
a ${\cal P'}$, di ${\cal F}$ e $G$. Indichiamo 
con $j$, $1\leq j\leq s$, il pi\`u piccolo indice tale che $P$ non 
sia uno zero del polinomio ${\bf x}^{{\bf f}_j}-p_j$. \`E facile 
riconoscere che 
$\{[{\bf x^i}]_{\Im({\cal P'})}\mid {\bf i}\in 
{\cal F}\cup\{{\bf f}_j\}\ \}$ costituisce una base 
monomiale 
per $K[X]/\Im({\cal P'})$ (si tenga presente che $codim\Im({\cal 
P'})=N+1=\#({\cal F}\cup\{{\bf f}_j\})$ ), che inoltre 
(giacch\'e ${\cal F}\cup\{{\bf f}_j\}$ \`e un diagramma 
di Ferrers) \`e minimale rispetto ad un opportuno term-ordering. 
Proviamo che tale term-ordering \`e proprio quello considerato, cio\`e 
che si ha 
${\cal F'}={\cal F}\cup\{{\bf f}_j\}$, e nel 
contempo costruiamo la base di Groebner ridotta 
$G'$. 

Iniziamo con l'osservare che gli elementi diedrali esterni di 
${\cal F}$, diversi da ${\bf f}_j$, sono tali anche per 
il diagramma di Ferrers ${\cal F}\cup\{{\bf f}_j\}$. 
Gli eventuali altri elementi diedrali esterni di 
${\cal F}\cup\{{\bf f}_j\}$ sono della forma 
${\bf f}_j+{\bf \varepsilon}_h$ (dove si \`e posto 
${\bf \varepsilon}_1=(1,0,\ldots,0),\ldots,
{\bf \varepsilon}_n=(0,\ldots,0,1)$ ). Supponiamo che siano tutti e 
soli quelli per i quali l'indice $h$ appartiene all'insieme 
(eventualmente vuoto) $\{h_1,\ldots,h_t\}\subseteq\{1,\ldots,n\}$.
(Va da s\'e che non \`e possibile precisare ulteriormente la 
natura di questo insieme, dipendendo essa da ${\bf f}_j$ e 
${\cal F}$). Assumiamo pertanto che gli elementi 
diedrali esterni di ${\cal F}\cup\{{\bf f}_j\}$ 
siano quelli dell'insieme 
$$
\Phi=\{{\bf f}_1,\ldots,{\bf f}_{j-1},{\bf f}_{j+1},\ldots,
{\bf f}_s,{\bf f}_j+{\bf \varepsilon}_{h_1},\ldots,
{\bf f}_j+{\bf \varepsilon}_{h_t}\}
$$
(con $0\leq t\leq n$). Per provare che 
${\cal F'}={\cal F}\cup\{{\bf f}_j\}$ occorre 
dimostrare che per ogni ${\bf f}\in \Phi$ esiste in $\Im({\cal 
P'})$ un polinomio della forma ${\bf x^f}-p$, con $p$ avente 
termini inferiori a ${\bf f}$ nel term-ordering $\preceq$ 
considerato. \`E facile controllare che tale polinomio \`e dato da 
$$
g_i:={\bf x}^{{\bf f}_i}-p_i-A_i/A_j \, ({\bf x}^{{\bf f}_j}-p_j) 
\indent (i=1,\ldots,s;\, i\neq j)
$$
(dove $A_l$ indica il valore che il polinomio ${\bf x}^{{\bf 
f}_l}-p_l$ assume in $P$) per ogni 
$$
{\bf f}_i\in \Phi_1:=
\{{\bf f}_1,\ldots,{\bf f}_{j-1},{\bf f}_{j+1},\ldots,
{\bf f}_s\},
$$
mentre, per ogni elemento diedrale  
$$
{\bf f}_j+{\bf \varepsilon}_{h_r}\in 
\Phi_2:=\{{\bf f}_j+{\bf \varepsilon}_{h_1},\ldots,
{\bf f}_j+{\bf \varepsilon}_{h_t}\},
$$
\`e quello --- diciamolo $\tilde{g}_r$ --- che si ottiene operando 
una riduzione completa, a mezzo dei polinomi $g_i$, del polinomio 
$$
(x_r-a_r)({\bf x}^{{\bf f}_j}-p_j).
$$
Resta cos\`\i\ provato che 
${\cal F'}={\cal F}\cup\{{\bf f}_j\}$ e che 
$G':=RGB_{\preceq}(\Im({\cal P'}))$ \`e l'insieme 
$$
\{g_1,\ldots,g_{j-1},g_{j+1},\ldots,g_s,\tilde{g}_1,\ldots,\tilde{
g}_r\}.
$$ 

\vskip .3in
\noindent
\section{Un algoritmo combinatorio per  determinare  una 
base monomiale per $K[X]/\Im({\cal P})$.}

{\bf 4.1} \indent  
Nel seguito adotteremo le seguenti convenzioni. 
Con una notazione del tipo 
$\underline{{\cal P}}:= \underline{\{P_1,\ldots,P_N,\ldots\}}$, 
denoteremo un insieme ordinato  secondo  l'ordine in cui gli 
elementi $P_1,\ldots,P_N,\ldots$ sono elencati,
mentre ${\cal P}:=\{P_1,\ldots,P_N,\ldots\}$ in\-di\-che\-r\`a l'insieme 
sostegno dell'insieme ordinato 
$\underline{{\cal P}}:= \underline{\{P_1,\ldots,P_N,\ldots\}}$.
Con\-se\-guen\-te\-men\-te, se 
$\underline{{\cal P}}:= \underline{\{P_1,\ldots,P_N,\ldots\}}$ e 
$\underline{{\cal Q}}:= \underline{\{Q_1,\ldots,Q_N,\ldots\}}$, 
la notazione $\underline{\cal P}=\underline{\cal Q}$ denoter\`a, oltre che 
${\cal P}={\cal Q}$, anche che $P_i=Q_i$ per ogni $i$. Infine, se 
$\underline{\phi}$  \`e  un  operatore  tra  insiemi  di   insiemi 
ordinati, 
denoteremo con $\phi (\underline{{\cal P}})$, 
o semplicemente con $\phi ({\cal P})$, l'insieme sostegno di 
$\underline{\phi} (\underline{{\cal P}})$. 

{\sl In breve: la sottolineatura star\`a ad indicare che \`e 
necessario tener conto dell'ordine, mentre la mancanza di 
sottolineatura che, trascurando l'ordine, si prendono in 
considerazione solo gli aspetti insiemistici della questione.}


\vskip .2in \noindent {\bf 4.2} \indent  
Nel  paragrafo  precedente  si  sono  descritti 
diversi algoritmi di soluzione del {\bf Problema 1}.  In  ciascuno 
di essi la parte che decisamente comporta  calcoli  pi\`u  pesanti 
\`e quella relativa alla determinazione di una base monomiale per 
$K[X]/I$ \, ($I=\Im ({\cal P})$). Nel presente paragrafo  descriveremo 
un semplice  algoritmo  puramente  combinatorio  che  consente  di 
risolvere rapidamente tale problema.

Definiamo dapprima un operatore --- 
l'operatore $\underline{{\cal D}}$ ---
che consente di associare  ad  un  arbitrario 
insieme ordinato finito  
$\underline{{\cal P}}:= 
\underline{\{P_1,\ldots  ,P_N\}}$  di  punti 
dello  spazio   $K^n$  un insieme ordinato, 
$\underline{{\cal D}}(\underline{{\cal P}}):=
\underline{\{{\bf d}_1,\ldots ,{\bf d}_N\}}\subset {\bf  N}^n$ 
di cardinalit\`a 
$\# \underline{{\cal D}}(\underline{{\cal P}})= 
\# \underline{{\cal P}} =  N$  tale  che  il 
sottoinsieme 
$\underline{\{{\bf d}_1,\ldots ,{\bf d}_s\}}$ sia, per ogni $s\leq  
N$, l'insieme 
$\underline{{\cal D}}(\underline{\{P_1,\ldots ,P_s\}})$ associato a 
$\underline{\{P_1,\ldots  ,P_s\}}$. 
 Rester\`a  pertanto  determinato   anche   un 
isomorfismo di insiemi ordinati
\begin{eqnarray*}
\underline{\delta}_{\underline{\cal P}} : \indent \underline{{\cal P}} &
 \longrightarrow &  
\underline{{\cal 
D}}(\underline{{\cal P}})\\
\indent \indent P_i&  \longmapsto  & {\bf d}_i.
\end{eqnarray*}
(Nel seguito useremo talvolta  la  notazione  $\underline{\delta}_{\cal 
P}$ in luogo di $\underline{\delta}_{\underline{\cal P}}$ 
quando ci\`o non dar\`a adito a confusione.)

Proveremo quindi che i) in qualit\`a di  insieme  non 
ordinato, ${\cal D(P)}$ 
non dipende dall'ordine fissato in $\underline{{\cal  P}}$ 
(Prop.         3),          ii) 
$\underline{{\cal 
D}}(\underline{{\cal P}})$  \`e 
un {\it diagramma di Ferrers} 
(ordinato, n-dimensionale) (Prop.~5),
 e iii) l'insieme 
$$
\{{\bf x^d} \; \big| \; {\bf d}\in {\cal D(P)}\}
$$
costituisce una base monomiale per l'algebra quoziente 
$K[X]/\Im ({\cal P})$ (Prop.~6)  che  \`e  minimale  per  l'ordine 
lessicografico inverso (Prop.~7). 

\vskip .2in \noindent {\bf 4.3} \indent 
Indichiamo  con $\pi_s$ e $\pi^s$  le proiezioni 
\begin{eqnarray*}
\pi_s :\indent \indent K^n 
\indent & \longrightarrow & \indent K^s\\
\indent \indent \indent (a_1,\ldots ,a_n)&  \longmapsto  & 
(a_1,\ldots ,a_s) 
\end{eqnarray*}
e 
\begin{eqnarray*}
\pi^s :\indent \indent K^n 
\indent & \longrightarrow & \indent K^{n-s+1}\\
\indent \indent \indent (a_1,\ldots ,a_n)&  \longmapsto  & 
(a_s,\ldots ,a_n) ;
\end{eqnarray*}
poniamo inoltre 
$$
\Pi_s(P,{\cal P}):=\{P_i\in {\cal P}|\pi_s(P_i)=\pi_s(P)\} 
$$
$$
\Pi^s(P,{\cal P}):=\{P_i\in {\cal P}|\pi^s(P_i)=\pi^s(P)\} 
$$
con $P\in K^n$ e ${\cal P}\subseteq K^n$. Riguardando ${\bf  N}^n$ 
come un sottoinsieme di $K^n$, risulta  ovvio  il  significato  da 
attribuire  ai  simboli   $\pi_s({\bf  d})$,   $\pi^s({\bf   d})$, 
$\Pi_s({\bf d}, D)$ e 
 $\Pi^s({\bf d},  D)$  qualora  
${\bf d}\in  {\bf  N}^n$  e  $D\subseteq  {\bf N}^n$. Queste, ed 
altre notazioni che introdurremo  nel  corso  di 
questo  paragrafo,  vanno  peraltro  considerate  con  una   certa 
duttilit\`a che ci consentir\`a di evitare pignolerie tese  ad  un 
inutile rigore; ad esempio non staremo a precisare che cosa  debba 
intendersi per ``$\pi_s : K^m  \longrightarrow  K^s$'' qualora 
$m\neq n$. Converremo inoltre tacitamente che l'ordine considerato 
su sottoinsiemi (o proiezioni di sottoinsiemi) di 
$\underline{{\cal  P}}$  \`e 
quello indotto dall'ordine su $\underline{{\cal P}}$.

Se $P\not \in {\cal P}$, 
diremo che $s,\;1\leq s\leq n$, \`e il $\sigma$-{\it valore di} 
$P\in K^n$ {\it rispetto a} ${\cal P}\subseteq K^n$ --- in simboli: 
$s=\sigma (P, {\cal P})$ --- se $s$ \`e  il  pi\`u  grande  intero 
tale  che  $\Pi_{s-1}(P,{\cal  P})\neq   \emptyset$   (si   assume 
con\-ven\-zio\-nal\-men\-te che sia $\Pi_0(P,{\cal P})\neq \emptyset$ 
per ogni ${\cal P}$ ed ogni $P$); poniamo inoltre 
$$
\Sigma(P,{\cal P}):=\{P_i\in {\cal P}\; |\; \pi_{s-1}(P_i)=
\pi_{s-1}(P) \; \mbox{con}  \; s=\sigma (P, {\cal P})\} 
\indent (P\not \in {\cal P})
$$
( in altri termini:  $P_i\in  \Sigma(P,{\cal  P})$  sse  $P$  e 
$P_i$ hanno esattamente le prime $s-1$ coordinate uguali). Queste
notazioni vanno estese al caso  
$P \in \underline{{\cal P}}$ --- sia $P=P_j$ ---
nel modo seguente:
$$
\sigma (P, \underline{{\cal P}}):=
\sigma (P, \{P_1,\ldots ,P_{j-1}\})  
\indent (P \in \underline{{\cal P}})
$$
$$
\Sigma (P, \underline{{\cal P}}):=
\Sigma (P, \{P_1,\ldots ,P_{j-1}\}) 
\indent (P \in \underline{{\cal P}}).
$$

\vskip .2in
\noindent {\bf 4.4} \indent  {\bf  L'operatore}  $\underline{{\cal 
D}}$.
\vskip .05in 
Ci\`o premesso, descriviamo --- 
per  induzione  sulla cardinalit\`a $N=\#{\cal P}$ ---
 l'Algoritmo  D che definisce l'operatore $\underline{{\cal D}}$.

\vskip .1in
\noindent \underline{{\bf Algoritmo D.}} 

1) Se $N=1$, allora  
$\underline{{\cal 
D}}(\underline{{\cal P}}):=\{(0,\ldots ,0)\}$.

2) Se $\aleph_0>N>1$, facendo uso dell'ipotesi 
induttiva assumiamo di conoscere l'insieme 
$ \underline{{\cal D}}( \underline{\{P_1,\ldots ,P_{N-1}\}})=
\underline{\{{\bf d}_1,\ldots ,{\bf d}_{N-1}\}}$ 
e  indichiamo  come  determinare   l'elemento   ${\bf d}_N\in   {\bf   N}^n$ 
corrispondente all'ultimo punto $P_N$ di $ \underline{{\cal P}}$.

Posto $ s=\sigma (P_N, \underline{{\cal P}})$,
dividiamo  le  componenti  $d_{N,i}$  ($i=1,\ldots,n$) 
dell'ele\-men\-to ${\bf d}_N\in {\bf N}^n$ cercato  in   tre   diversi 
sottoinsiemi, a seconda che $i$ sia maggiore, uguale o  minore  di 
$s$:

a) Per $i>s$, poniamo  $d_{N,i}=0$;

b) al fine di determinare  $d_{N,s}$ consideriamo il pi\`u grande  indice 
$m$, $1\leq m<N$, tale che per il corrispondente punto $P_m$ si abbia 
$$
\pi_{s-1}(P_m)=\pi_{s-1}(P_N)  \indent 
\pi^{s+1}({\bf d}_m)=(0,\ldots ,0)=\pi^{s+1}({\bf d}_N)
$$
(cio\`e, posto $P_i=(a_{i,1},\ldots,a_{i,n})$ e 
$\underline{\delta}_{\underline{\cal P}}(P_i)=
{\bf d}_i=(d_{i,1},\ldots,d_{i,n})$, tale che
$$
a_{m,1}=a_{N,1},\ldots        ,a_{m,s-1}=a_{N,s-1}         \indent 
d_{m,s+1}=\ldots =d_{m,n}=0 \; )
$$
[questo  punto $P_m$ verr\`a detto $\sigma$-{\it antecedente} di 
 $P_N$ {\it rispetto alla coppia di insiemi ordinati} 
$ \underline{\{P_1,\ldots ,P_{N-1}\}}, \, 
 \underline{{\cal D}}( \underline{\{P_1,\ldots ,P_{N-1}\}})$] e 
si ponga
$$
d_{N,s}:=d_{m,s}+1;
$$

c)  infine,  per  determinare  i  valori  $d_{N,i}$   per   $i<s$, 
consideriamo il sottoinsieme 
$$
{\cal L}(P_N, \underline{{\cal P}}):=
 \underline{\{P_{j_1}, \ldots ,P_{j_r}\}}
$$ 
di $ \underline{{\cal P}}$, 
formato da tutti i punti di $ \underline{{\cal P}}$ 
cui $ \underline{\delta}_{\underline{\cal P}}$ fa 
corrispondere   un   elemento   
${\bf d}\in  \underline{{\cal D}}(\underline{{\cal P}})$ 
tale che $\pi^s({\bf d})=(d_{N,s},0,\ldots ,0)=\pi^s({\bf d}_N)$
[avente cio\`e
$d_{N,s},0,\ldots ,0$ come ultime $n-s+1$ componenti]; 
in particolare: $P_{j_r}=P_N$. Poniamo 
$$
\underline{{\cal Q}} := 
\pi_{s-1}({\cal L}(P_N, \underline{{\cal P}}))\subseteq K^{s-1}
$$
(in altri termini: i punti di $ \underline{{\cal Q}}$ sono i punti di 
${\cal L}(P_N,\underline{{\cal P}})$ 
privati delle ultime $n-s+1$ coordinate).
Va notato che se $h<r=\#{\cal L}(P_N,\underline{{\cal P}})$ 
allora $\pi_{s-1}(P_{j_h})\neq \pi_{s-1}(P_N)$; pi\`u in generale, 
il carattere induttivo della presente descrizione di 
$\underline{\cal D}$ assicura che
se $h<k\leq r$ allora $\pi_{s-1}(P_{j_h})\neq \pi_{s-1}(P_{j_k})$; 
ne consegue  che si ha: 
$\# \underline{{\cal Q}}= \#{\cal L}(P_N, \underline{{\cal P}})=r$.

Poich\'e ovviamente $r=\# \underline{{\cal Q}}<N$,  
per  l'ipotesi  induttiva  si 
conosce l'insieme 
$$
 \underline{{\cal D}}( \underline{{\cal Q}})= 
\underline{\{\tilde{\bf d}_1, \ldots ,\tilde{{\bf d}}_{r}\}}
$$
e si ha 
$$
\tilde{{\bf d}}_i= \pi_{s-1}({\bf d}_{j_i}) \indent \mbox{per  
ogni}  \;  1\leq i<r.
$$
Le prime $s-1$ componenti di ${\bf d}_N$ vengono allora definite da 
$$
\pi_{s-1}({\bf d}_N):=\tilde{{\bf d}}_{r}.
$$

3) Se $N=\aleph_0$, sia $\underline{{\cal P}}=
\underline{\{P_1,\ldots ,P_N,\ldots \}}$ e 
$\underline{D}_N:=
\underline{{\cal D}}(\underline{\{P_1,\ldots ,P_N\}})$ 
e ponia\-mo 
$$
\underline{{\cal D}}(\underline{{\cal P}}):= 
\bigcup \underline{D}_N. 
$$

\vskip .2in
\noindent {\bf 4.5} \indent {\bf Alcune propriet\`a di} 
$\underline{{\cal D}}(\underline{{\cal P}})$.

Il seguente lemma giustifica alcuni passi nella descrizione 
pre\-ce\-den\-te dell'Al\-go\-rit\-mo D; in particolare d\`a senso 
all'applicazione $\underline{\delta}_{\underline{\cal P}}$. 

%Lemma 1
\begin{lemma}
Siano  
$\underline{{\cal  P}}=\underline{\{P_1,\ldots  ,P_N\}}$ 
e $\underline{{\cal D}}(\underline{{\cal P}})
=\underline{\{{\bf d}_1,\ldots  ,{\bf d}_N\}}$. 
Allora  per ogni  $s\leq N$ si ha 
$\underline{{\cal D}}
(\underline{\{P_1,\ldots ,P_s\}})=
\underline{\{{\bf d}_1,\ldots ,{\bf d}_s\}}$.
\end{lemma}
{\bf  Dimostrazione.}  \indent  Ovvia  (per  la  natura  induttiva 
dell'Algoritmo D). \hfill $\Box$

\vskip .1in 
%Proposizione 3
\begin{theorem}
L'insieme sostegno ${\cal  D(P)}$ di 
$\underline{{\cal D}}(\underline{{\cal P}})$ non dipende 
dall'ordine fissato in $\underline{{\cal P}}$.
\end{theorem}
{\bf  Dimostrazione.}  \indent 
Ci si convince facilmente 
che, posto 
$$
\underline{{\cal P}}_1:=
\underline{\{P_1,\ldots ,P_N,P,P'\}}, \indent 
\underline{{\cal P}}_2:=
\underline{\{P_1,\ldots ,P_N,P',P\}},
$$
\`e sufficiente provare che 
$$
{\cal D}({\cal P}_1)={\cal D}({\cal P}_2).
$$
Posto: 
$$
{\bf d}=(d_1,\ldots,d_n):=\underline{\delta}_{{\cal P}_1}(P) \indent 
{\bf d'}:=(d'_1,\ldots,d'_n):=\underline{\delta}_{{\cal P}_1}(P') 
$$
$$
{\bf f}=(f_1,\ldots,f_n):=\underline{\delta}_{{\cal P}_2}(P) \indent 
{\bf f'}:=(f'_1,\ldots,f'_n):=\underline{\delta}_{{\cal P}_2}(P') 
$$
cio\`e
$$
\underline{D}_1:=\underline{{\cal D}}(\underline{{\cal P}}_1)=
\underline{\{{\bf d}_1,\ldots ,{\bf d}_N,{\bf d},{\bf d'}\}}, 
$$
$$ 
\underline{D}_2:=\underline{{\cal D}}(\underline{{\cal P}}_2)=
\underline{\{{\bf d}_1,\ldots ,{\bf d}_N,{\bf f'},{\bf f}\}},
$$
occorre allora provare che o 
$$
(A) \indent \indent {\bf d}={\bf f'}, \indent 
{\bf d'}={\bf f}
$$
(nel qual caso $\underline{D}_1$ e 
$\underline{D}_2$ coincidono anche in quanto  
insiemi ordinati) oppure
$$
(B) \indent \indent {\bf d}={\bf f}, \indent 
{\bf d'}={\bf f'}.
$$
Indicate con $a_i$ e $a'_i \; (i=1,\ldots ,n)$  le  coordinate  di 
$P$ e $P'$ rispettivamente, sia $r$, $1<r\leq n$, tale che 
$$
d_r\neq d'_r,\; d_{r+1}=d'_{r+1},\; \ldots,\; d_n=d'_n.
$$
Non \`e difficile provare che ci\`o comporta che il valore assunto --- 
nel calcolo di 
$\underline{D}_1:=\underline{{\cal D}}(\underline{{\cal P}}_1)$ 
--- dalla $(n-r)$-upla $(d'_{r+1}, \ldots, d'_n)$ non dipende in 
alcun modo dal punto $P$ che precede $P'$ in $\underline{{\cal 
P}}_1$ e quindi deve coincidere con quello della analoga 
$(n-r)$-upla $(f'_{r+1}, \ldots, f'_n)$ ottenuta nel calcolo di 
$\underline{D}_2:=\underline{{\cal D}}(\underline{{\cal P}}_2)$: 
$$
d'_{r+1}=f'_{r+1},\; \ldots,\; d'_n=f'_n.
$$
Allo stesso modo si prova che 
$$
d_{r+1}=f_{r+1},\; \ldots,\; d_n=f_n
$$
e quindi si ha 
$$
d_{r+1}=d'_{r+1}=f_{r+1}=f'_{r+1},\; \ldots,\; d_n=d'_n=f_n=f'_n.
$$
Ne consegue che, ai fini di quanto si vuole dimostrare, non \`e 
restrittivo assumere $r=n$ e quindi $d_n\neq d'_n$. In tale 
ipotesi, \`e facile verificare che si presenter\`a il caso $(A)$ o 
il caso $(B)$ a seconda che si abbia 
$(a_1,\ldots,a_{n-1})=(a'_1,\ldots,a'_{n-1})$ op\-pure 
$(a_1,\ldots,a_{n-1})\neq(a'_1,\ldots,a'_{n-1})$. \hfill $\Box$

\vskip .2in
%Lemma 2
\begin{lemma}
Siano ${\cal P,P'}\subseteq K^n$ e  sia  ${\cal  P}\subseteq  {\cal 
P'}$; allora 
${\cal D(P)} \subseteq {\cal D(P')}$.
\end{lemma}
{\bf  Dimostrazione.}  \indent  A  causa  della  Prop.3  non   \`e 
restrittivo supporre --- ai fini 
del calcolo di ${\cal D(P')}$ --- 
che i punti appartenenti anche a ${\cal P}$ precedano, in 
$\underline{{\cal P'}}$, tutti gli altri: 
$\underline{{\cal P'}}=
\underline{\{P_1,\ldots ,P_N,P_{N+1},\ldots ,P_{N'}\}}$, con 
$\underline{{\cal P}}=
\underline{\{P_1,\ldots ,P_N\}}$. Da ci\`o e dal  Lemma  1  consegue 
l'assunto. \hfill $\Box$

\nobreak


\vskip .2in
Dato un insieme (finito, ordinato) 
$\underline{{\cal P}}=
\underline{\{P_1,\ldots ,P_N\}}\subseteq K^n$, sia:
$$
\underline{D}:=\underline{{\cal D}}(\underline{{\cal P}}) 
$$
$$
h:=max\{d_n \; | \; {\bf d}=(d_1,\ldots ,d_n)\in \underline{D}\} 
$$
$$
\underline{D}_r:=
\underline{\{{\bf d}=(d_1,\ldots ,d_n)\in \underline{D} \; | \; d_n=r\}} 
$$
$$
\underline{{\cal P}}_r:=
\underline{\{P\in \underline{{\cal P}} \; | \; 
\underline{\delta}_{{\cal P}}(P)\in \underline{D}_r\}}.
$$
Si ha il 
%Lemma 3
\begin{lemma}
Valgono le relazioni:
\begin{equation}
r>r' \Longrightarrow 
\pi_{n-1}(\underline{{\cal P}}_r)
\subseteq \pi_{n-1}(\underline{{\cal P}}_{r'}) 
\end{equation}
\begin{equation} 
\underline{{\cal D}}(\pi_{n-1}(\underline{{\cal P}}_r))=
\pi_{n-1}(\underline{D}_r).
\end{equation}
\end{lemma}
{\bf Dimostrazione.}\indent Per analisi diretta dell'Algoritmo D. 
\hfill $\Box$

\vskip .1in
Diremo che ${\bf i}=(i_1,\ldots,i_n)\in{\bf N}^n$ precede 
${\bf j}=(j_1,\ldots,j_n)\in{\bf N}^n$ nell'ordine {\it 
lessicografico inverso}, in simboli 
${\bf i}\prec_{i.l.}{\bf j}$, se la prima non nulla delle 
differenze $j_n-i_n,\ldots,j_1-i_1$ \`e positiva.
%Lemma 4
\begin{lemma}
Sia $\underline{\cal P}=\underline{\{P_1,\ldots,P_N\}}$, 
$\underline{\cal D}(\underline{\cal P})=
\underline{\{{\bf d}_1,\ldots,{\bf d}_N\}}$, 
${\bf d}_i=\underline{\delta}_{\underline{\cal P}}(P_i)$; 
supponiamo che 
${\bf d}_{s+1}=\underline{\delta}_{\underline{\cal P}}(P_{s+1}) 
\prec_{i.l.}{\bf d}_s=\underline{\delta}_{\underline{\cal 
P}}(P_s)$. 

Posto allora 
$$
\underline{{\cal P}'}=
\underline{\{P_1,\ldots,P_{s+1},P_s,\ldots,P_N\}},
$$ 
si ha 
$$
\underline{\cal D}(\underline{{\cal P}'})=
\underline{\{{\bf d}_1,\ldots,{\bf d}_{s+1},{\bf d}_s,\ldots,{\bf 
d}_N\}}. 
$$
\end{lemma}
{\bf Dimostrazione.}\indent (Traccia). Si ponga 
$P_s=(a_1,\ldots,a_n)$, 
$P_{s+1}=(b_1,\ldots,b_n)$; 
${\bf d}_s=(j_1,\ldots,j_m,0,\ldots,0)$,  
${\bf d}_{s+1}=(i_1,\ldots,i_r,0,\ldots,0)$ con $r\leq m\leq n$ e 
si distinguano i due casi $r<m$ e $r=m$ osservando che in entrambi 
deve accadere che $(a_1,\ldots,a_{m-1})\neq (b_1,\ldots,b_{m-1})$ 
(pur senza poter escludere che nel primo si abbia 
$(a_1,\ldots,a_{r-1})\neq (b_1,\ldots,b_{r-1})$) e ragionando  per 
induzione sul numero $n\geq 2$  delle  coordinate  (per  $n=1$  le 
ipotesi del Lemma sono assurde) qualora $r=m$ e $i_r=j_r$. 
\hfill $\Box$

%Proposizione 4
\begin{theorem}
Dato un insieme finito ${\cal P}\subseteq K^n$, \`e sempre 
possibile ordinarlo, 
$\underline{\cal P}=\underline{\{P_1,\ldots,P_N\}}$, 
in modo tale che 
$\underline{\cal D}(\underline{\cal P})=
\underline{\{{\bf d}_1,\ldots,{\bf d}_N\}}$ 
$({\bf d}_i=\underline{\delta}_{\underline{\cal P}}(P_i))$ sia 
ordinato secondo l'ordine lessicografico inverso:
$$
s<t\Longrightarrow 
{\bf d}_s=\underline{\delta}_{\underline{\cal P}}(P_s)
\prec_{i.l.} 
{\bf d}_t=\underline{\delta}_{\underline{\cal P}}(P_t).
$$
\end{theorem}
{\bf Dimostrazione.} \indent \`E una conseguenza diretta della 
Prop.~3 e del Lemma~4. 

\hfill $\Box$

\vskip .2in
\noindent {\bf 4.6} \indent 
{\bf Ulteriori propriet\`a di  ${\cal D(P)}$}.
\vskip .1in 
Si  consideri  l'insieme  ${\bf  N}^n$  con  l'ordine   (parziale) 
prodotto indotto dall'ordine naturale su ${\bf  N}$:
$$
(i_1,\ldots ,i_n)<(j_1,\ldots ,j_n)
$$
se e solo se 
$$
(i_1,\ldots ,i_n)\neq (j_1,\ldots ,j_n) \indent e \indent (\forall 
s)(i_s\leq j_s).
$$
Un sottoinsieme ${\cal F}\subseteq {\bf N}^n$ verr\`a  detto  {\it 
diagramma di Ferrers n-dimensionale (standard)} se:

\indent 1) ${\bf 0}:=(0,\ldots ,0) \in {\cal F}$;

\indent  2)  se  ${\bf i}\in  {\cal  F}$  allora   
$[{\bf 0},{\bf i}]:=\{{\bf j}\in   {\bf 
N}^n \; | \; {\bf 0}\leq {\bf j}\leq {\bf i}\}\subseteq {\cal F}$.

\noindent Diremo invece che  
${\cal  F}\subseteq  {\bf  N}^n$  \`e  un  {\it 
diagramma di Ferrers n-dimensionale ge\-ne\-ra\-liz\-zato} se
$$
{\bf i},{\bf h}\in {\cal F}\Rightarrow [{\bf i},{\bf h}]:=
\{{\bf j}\in {\bf N}^n \; | \; 
{\bf i}\leq {\bf j}\leq {\bf h}\}\subseteq {\cal F}.
$$

\vskip .1in
\noindent \`E immediato provare che:
%Lemma 5
\begin{lemma}
i) Se ${\cal F}\subseteq {\bf N}^n$ \`e  tale  che,  per  ogni  
$1\leq 
j\leq n$, si ha 
$$(i_1,\ldots ,i_n)\in {\cal F}\Longrightarrow 
(i_1,\ldots ,i_j-1,\ldots ,i_n)\in {\cal F} 
$$
allora ${\cal F}$ \`e un diagramma di Ferrers.

\noindent 
ii) Sia ${\cal F}$ un diagramma  di  Ferrers  n-dimensionale  (standard). 
Considerato   il   sottoinsieme   $\{r_1,\ldots    ,r_m\}\subseteq 
\{1,\ldots ,n\}$ e la proiezione
\begin{eqnarray*}
\psi :\indent \indent {\bf N}^n 
\indent & \longrightarrow & \indent {\bf N}^m\\
\indent \indent \indent (i_1,\ldots ,i_n)&  \longmapsto  & 
(i_{r_1},\ldots 
,i_{r_m}),
\end{eqnarray*}
allora $\psi ({\cal F})$ \`e un diagramma di Ferrers 
m-dimensionale (standard). \hfill $\Box$
\end{lemma}

Sia ${\cal F} \subseteq {\bf N}^n$  un  diagramma  di  Ferrers.  Un 
elemento ${\bf j}\in {\bf N}^n$ verr\`a detto {\it  diedrale  esterno} 
per ${\cal F}$ se
$$
a) \indent \indent 
\{{\bf i}\in{\bf N}^n \; | \;{\bf i}<{\bf j}\}\subseteq {\cal F}
$$
$$
b) \indent \indent 
\{{\bf i}\in{\bf  N}^n  \;  |  \;{\bf  j}\leq{\bf  i}\}\cap  {\cal 
F}=\emptyset
$$
(equivalentemente se a) e c) ${\bf j}\not\in {\cal F}$); 
\noindent verr\`a invece detto {\it diedrale interno} se 
$$
a') \indent \indent 
\{{\bf i}\in{\bf N}^n \; | \;{\bf i}\leq{\bf j}\}\subseteq {\cal F}
$$
$$
b') \indent \indent 
\{{\bf  i}\in{\bf  N}^n  \;  |  \;{\bf  j}>{\bf   i}\}\cap   {\cal 
F}=\emptyset
$$
(equivalentemente se b') e c') ${\bf j}\in  {\cal  F}$).  Possiamo 
definire un diedrale esterno anche nel modo seguente: 
${\bf j}\in {\bf N}^n$ \`e diedrale esterno se 
${\bf j}\not \in {\cal F}$ e se 
$(j_{1},\ldots,j_{i}-1,j_{i+1},\ldots,j_{n})  \in  {\cal  F}$  per 
ogni $i$ per cui $j_i-1$ \`e non negativo. 

Un elemento diedrale ${\bf f}=(f_1,\ldots,f_n)$ di ${\cal F}$ 
sar\`a detto essere {\it di livello} $l$ ($1\leq l \leq n$) se 
$f_l\neq 0,\; f_{l+1}=\ldots=f_n=0$. 

\`E immediato riconoscere che un diagramma di Ferrers 
n-dimensionale non vuoto ha almeno un elemento diedrale interno ed 
almeno $n$ elementi diedrali esterni e che l'insieme degli uni o 
degli altri caratterizza ${\cal F}$. Indicando con 
${\bf f}_1,\ldots,{\bf f}_s$ (rispettivamente 
$\ _1{\bf f},\ldots,\ _t{\bf f}$) gli elementi diedrali esterni 
(risp. interni) di ${\cal F}$, esprimeremo questo fatto con la 
notazione 
$$
{\cal F}\,=\indent >{\bf f}_1,\ldots,{\bf f}_s< \indent  =\indent 
<\ _1{\bf f},\ldots,\ _t{\bf f}>.
$$
Dati due diagrammi di Ferrers ${\cal F}\subset{\cal F}'$ tali che 
${\cal F}'-{\cal F}=\{{\bf f}\}$ (differenza insiemistica), 
allora ${\bf f}$ \`e un elemento diedrale esterno per ${\cal F}$ 
(rispett. diedrale interno per ${\cal F}'$). Ne consegue che un 
diagramma di Ferrers pu\`o accrescersi (di un elemento alla volta) 
solo tramite aggiunta di elementi diedrali esterni.

Consideriamo: 
$\underline{{\cal P}}:= \underline{\{P_1,\ldots  ,P_N\}}$, 
$\underline{{\cal P}'}:= \underline{\{P_1,\ldots,P_N,P_{N+1}\}}$, 
$\underline{{\cal D}}(\underline{{\cal P}}):=
\underline{\{{\bf d}_1,\ldots ,{\bf d}_N\}}$ e
$\underline{{\cal D}}(\underline{{\cal P}'}):=
\underline{\{{\bf d}_1,\ldots ,{\bf d}_N,{\bf d}_{N+1}\}}$; \`e 
facile provare che se $\underline{{\cal D}}(\underline{{\cal P}})$ 
\`e un diagramma di Ferrers allora ${\bf d}_{N+1}$ \`e un suo 
elemento diedrale esterno. Se ne deduce, ragionando per induzione 
sulla cardinalit\`a di ${\cal P}$, che vale la 

%Proposizione 5
\begin{theorem}
L'insieme ${\cal D(P)}$ \`e un diagramma di Ferrers.\hfill $\Box$
\end{theorem}

%Proposizione 6
\begin{theorem}
Sia $D:={\cal D(P)}$; allora 
$\{[{\bf x^d}]_{\Im({\cal P})} \, \mid  \,  {\bf  d}\in D\}$ 
costituisce una base 
monomiale 
per $K[X]/\Im ({\cal P})$.
\end{theorem}
{\bf  Dimostrazione.}\indent  Ragioniamo  per  induzione 
sulla dimensione $n$ di $K^n$.

\noindent Per $n=1$ si ha ${\cal P}=\{\rho_1,\ldots ,\rho_N\}$ e 
$\Im ({\cal P})=(g)$ con 
$$g=\prod_{i=1}^N (x-\rho_i).$$ 
Applicando l'Algoritmo D a ${\cal P}$ si ottiene 
${\cal D(P)}=\{0,1,\ldots ,N-1\}$; pertanto 
$\{ [{\bf x^d}]_{\Im({\cal P})}
 \; \mid \; {\bf d}\in D\}= \{[1],[x],\ldots ,[x^{N-1}]\}$,  
che  \`e,  banalmente,  una 
base monomiale per $K[X]/\Im ({\cal P})$.

Supponiamo ora che la Proposizione sia vera per ogni  sottoinsieme 
finito di $K^{n'}$, con $n'<n$, e dimostriamola per l'insieme 
${\cal P}=\{P_1,\ldots ,P_N\}\subseteq K^n$. Poich\'e 
$dim(K[X]/\Im ({\cal P}))=N=\#{\cal D(P)}$, \`e  sufficiente  provare 
che le classi di equi\-valen\-za, modulo  $\Im({\cal P})$,  dei  monomi 
associati  agli  elementi  di  ${\cal  D(P)}$   sono   li\-near\-mente 
indipendenti in $K[X]/\Im ({\cal P})$, cio\`e che, dato un polinomio 
$p(x_1,\ldots ,x_n)$ della forma 
$$
p(x_1,\ldots ,x_n)=\sum_{{\bf d}\in {\cal D(P)}}  \, 
\alpha_{{\bf d}}\cdot {\bf x}^{\bf d} \; , 
$$
se $p(x_1,\ldots ,x_n)\in \Im ({\cal P})$ allora $p(x_1,\ldots ,x_n)$ 
\`e identicamente nullo.

Supposto pertanto $p(x_1,\ldots ,x_n)\in \Im ({\cal P})$, poniamo 
$$
p(x_1,\ldots  ,x_n)=\sum_{r=0}^h   p_r(x_1,\ldots   ,x_{n-1})\cdot 
x_n^r
$$
con 
%10
\begin{equation}
p_r(x_1,\ldots ,x_{n-1}):=
\sum_{(d_1,\ldots ,d_{n-1})\in \pi_{n-1}(D_r)} 
\alpha_{(d_1,\ldots ,d_{n-1},r)}
\cdot x_1^{d_1}\cdots x_{n-1}^{d_{n-1}}.
\end{equation}
Il polinomio $p(x_1,\ldots  ,x_n)$ deve annullarsi per ogni punto 
$P=(a_1,\ldots ,a_n)\in {\cal P}$; se, in particolare, $P\in {\cal 
P}_h$, ci\`o comporta che 
$$
p_h(a_1,\ldots ,a_{n-1})=0 \indent \mbox{con} \indent
(a_1,\ldots ,a_{n-1})\in \pi_{n-1}({\cal P}_h)
$$
(giacch\'e il polinomio $p(a_1,\ldots ,a_{n-1},x_n)$  ---  dovendo 
ammettere $h+1$  radici [si tenga presente che per  ogni 
$P\in{\cal P}_h$ esistono in ${\cal P}$ altri $h$ punti aventi le 
stesse prime $n-1$ coordinate di $P$] ---  deve  essere  
identicamente  nullo). 
Avendo presente la (9) e la (10),  da 
quest'ultima si trae  ---  per  l'ipotesi  induttiva  ---  che  il 
polinomio    $p_h(x_1,\ldots      ,x_{n-1})$    deve    annullarsi 
identicamente.

Iterando, per $r=h-1,h-2,\ldots ,0$,  il ragionamento  appena 
fatto per $r=h$ --- e sfruttando la (8)  ---  si 
perviene a concludere che, per ogni $0\leq r\leq h$, il polinomio 
$p_r(x_1,\ldots   ,x_{n-1})$ \`e identicamente nullo e quindi tale 
\`e anche $p(x_1,\ldots   ,x_n)$.  \hfill $\Box$

%Proposizione 7
\begin{theorem}
La base monomiale 
$\{ [{\bf x^d}]_{\Im({\cal P})} \, \mid  \,  {\bf  d}\in {\cal D(P)}\}$ 
di $K[X]/\Im ({\cal P})$ \`e minimale rispetto all'ordine 
lessicografico inverso $\prec_{i.l.}$.
\end{theorem}
{\bf  Dimostrazione.}\indent   A  causa  della  Prop.~4,  possiamo 
supporre di aver ordinato l'insieme 
$\underline{{\cal P}}:= \underline{\{P_1,\ldots  ,P_N\}}$ in modo 
tale che per
$\underline{D}:=\underline{{\cal D}}(\underline{{\cal P}}):=
\underline{\{{\bf d}_1,\ldots ,{\bf d}_N\}}$, con 
${\bf d}_i:={\underline{\delta}}_{\underline{\cal P}}(P_i)$, 
si abbia ${\bf d}_i \prec_{i.l.} {\bf d}_{i+1}$ 
($i=1,\ldots,N-1$). Nel corso della presente  dimostrazione,  tale 
ipotesi verr\`a sfruttata ripetutamente, e talvolta tacitamente.

Sia $C:={\cal C(P)}\subseteq {\bf N}^n$  tale che 
$\{ [{\bf x^i}]_{\Im({\cal P})} \, \mid  \,  
{\bf  i}\in {\cal C(P)}\}$ 
costituisca una base monomiale di $K[X]/\Im({\cal P})$ 
minimale rispetto all'ordine lessicografico inverso 
$\prec_{i.l.}$. Dobbiamo provare che $C:={\cal C(P)}=D:={\cal 
D(P)}$.

Ragioniamo per induzione sulla cardinalit\`a $\#{\cal 
P}=\#C=\#D=codim\Im({\cal P})$. L'enunciato \`e ovvio per 
$\#{\cal P}=1$; proviamolo per $\#{\cal P}=N$ supposto che valga 
per $\#{\cal P}<N$. 

Supponiamo per assurdo che l'assunto sia falso  e  indichiamo  con 
${\bf  f}=(f_1,\ldots$ $\ldots,f_s,0,\ldots,0)$  
(con  $1\leq  s\leq  n$  e 
$f_s\neq 0$) il pi\`u piccolo ( rispetto a $\prec_{i.l.}$) tra gli 
elementi di $D\cup C-D\cap C$. Allora o ${\bf  f}\in C$, 
${\bf  f}\not \in D$, 
oppure ${\bf  f}\in D$, ${\bf  f}\not \in C$. Escludiamo, in primo 
luogo, la seconda di tali eventualit\`a. La relazione 
${\bf f}\not\in C$ comporta che si abbia 
$$
{\bf x^f}\equiv \sum_{{\bf d}\in C,{\bf d}\prec_{i.l.}{\bf f}}
\alpha_{\bf d}\cdot {\bf x^d}  \indent mod.\Im({\cal P})
$$
per opportuni coefficienti $\alpha_{\bf d}\in K$ non tutti nulli 
(la restrizione ``${\bf d}\prec_{i.l.}{\bf f}$'' \`e da imputare 
alla minimalit\`a di $C$ rispetto a $\preceq_{i.l.}$); ma, per 
definizione di ${\bf f}$, ogni indice ${\bf d}\in C$ per cui 
${\bf d}\prec_{i.l.}{\bf f}$ appartiene anche a $D$ e quindi si ha 
$$
{\bf x^f}\equiv \sum_{{\bf d}\in D,{\bf d}\prec_{i.l.}{\bf f}}
\alpha_{\bf d}\cdot {\bf x^d}  \indent mod.\Im({\cal P})
$$
in contraddizione con ${\bf f}\in D$.

Resta da analizzare il caso in cui ${\bf  f}\in C$ e 
${\bf  f}\not \in D$. Iniziamo col provare che non \`e restrittivo 
supporre che ogni elemento  ${\bf  d}=(d_1,\ldots,d_n)\in  D$  sia 
tale che (a) $d_{s+1}=\ldots=d_n=0$. Indichiamo infatti con 
$\underline{\hat{D}}$ il sottoinsieme di $\underline{D}$ formato 
con gli elementi soddisfacenti alla (a); per l'ipotesi fatta 
all'inizio di questa dimostrazione, $\underline{\hat{D}}$ risulta 
essere un segmento iniziale dell'insieme ordinato 
$\underline{D}=\underline{\{{\bf d}_1,\ldots,{\bf d}_N\}}$: 
$\underline{\hat{D}}=\underline{\{{\bf d}_1,\ldots,{\bf d}_t\}}$. 
Posto $\underline{\hat{\cal P}}=\underline{\{P_1,\ldots,P_t\}}$, si ha 
$\underline{\hat{D}}=\underline{\cal  D}(\underline{\hat{\cal   P}})$; 
ovviamente ${\bf f}\not\in \hat{D}$. 
Osserviamo che, per ogni punto 
$P\in \underline{\cal P}-\underline{\hat{\cal P}}$ esiste qualche punto 
in $\underline{\hat{\cal P}}$ che ha le stesse prime $s$ coordinate di 
$P$. Ci\`o premesso, notiamo che la relazione 
${\bf f}\in C$ comporta che ogni polinomio della forma 
$$
{\bf x^f}- \sum_{{\bf d}\prec_{i.l.}{\bf f}}
\alpha_{\bf d}\cdot {\bf x^d}  
$$
(e quindi nelle sole variabili $x_1,\ldots,x_s$) \underline{non} 
viene annullato da almeno uno dei punti in $\underline{\cal P}$ e 
quindi --- per l'osservazione fatta pi\`u sopra --- 
da almeno uno dei punti in $\underline{\hat{\cal P}}$. Ne consegue che 
${\bf f}\in \hat{C}:= {\cal C}(\underline{\hat{\cal P}})$ e siamo 
cos\`\i\ ricondotti --- considerando $\underline{\hat{\cal P}}$ in 
luogo di $\underline{\cal P}$ ---  al  caso  in  cui  la  (a)  \`e 
soddisfatta. Supponiamo pertanto  che  siano  nulle  le  ultime  $n-s$ 
componenti di ogni elemento di $D$.

Ci\`o premesso, osserviamo che 
${\bf  f}$  \`e  necessariamente  un  elemento  diedrale 
esterno per $D$ e, per la Prop.~6, esiste  in  $\Im({\cal  P})$  uno 
ed  un  solo polinomio della forma 
\begin{equation}
%11
{\bf x^f}-\sum_{{\bf d}\in D} \alpha_{\bf d}\cdot {\bf x^d} 
\indent (\alpha_{\bf d}\in K)
\end{equation}
che, per quanto appena visto, non \`e restrittivo  supporre  nelle 
sole variabili $x_1,\ldots,x_s$.
Va provato che in (11) si annullano i coefficienti  $\alpha_{\bf 
d}$ tali che ${\bf d}\succ_{i.l.} {\bf f}$, ottenendo cos\`\i
\begin{equation}
%12
{\bf x^f}\equiv \sum_{{\bf d}\in D,\,  {\bf d}\prec_{i.l.} {\bf f}} 
\alpha_{\bf d}\cdot {\bf x^d} 
\indent (mod.\Im({\cal P}))
\end{equation}
che \`e in contraddizione  con  ${\bf  f}\in  C$  giacch\'e  nelle 
attuali ipotesi ogni elemento ${\bf  d}\in  D$, 
${\bf d}\prec_{i.l.} {\bf f}$ appartiene anche a $C$. 

Proviamo dapprima che il polinomio (11) \`e di 
grado $f_s$ in $x_s$. Supposto per assurdo che sia di 
grado $d_s>f_s$ in $x_s$, scriviamolo nella forma 
$$
{\bf x^f}-p(x_1,\ldots,x_{s-1})\cdot x_s^{d_s}-q(x_1,\ldots,x_s)
$$
con $q(x_1,\ldots,x_s)$ di grado minore di $d_s$ in $x_s$. Per 
provare che $p(x_1,\ldots,x_{s-1})$ \`e identicamente nullo, 
consideriamo l'insieme $\underline{\breve{D}}\subseteq \underline{D}$ 
formato da tutti gli elementi ${\bf d}\in \underline{D}$ la cui 
$s$-esima componente \`e $d_s$ e sia 
$\underline{\breve{\cal P}}:=\underline{\delta}_{\underline{\cal P}}^
{-1}(\underline{\breve{D}})$. Per ogni punto 
$P\in \underline{\breve{\cal P}}$ esistono in $\underline{\cal P}$ 
altri $d_s$ punti aventi le stesse prime $s-1$ coordinate di $P$, 
per cui (in particolare) $p(x_1,\ldots,x_{s-1})$ deve annullarsi 
nei punti di $\underline{\breve{\cal P}}$ e quindi di 
$\underline{\breve{\cal Q}}:=\pi_{s-1}(\underline{\breve{\cal P}})$; 
cio\`e, $p(x_1,\ldots,x_{s-1})\in \Im({\breve{\cal Q}})$. D'altra 
parte, i termini ${\bf x^i}=x_1^{i_1}\cdots x_{s-1}^{i_{s-1}}$ 
in $p(x_1,\ldots,x_{s-1})$ sono solo 
quelli per cui $ {\bf i}\in \pi_{s-1}(\underline{\breve{D}})=
\underline{\cal D}(\underline{\breve{\cal Q}})$, cio\`e costituiscono 
un sistema di rappresentanti per una base monomiale per 
$K[x_1,\ldots,x_{s-1}]/\Im(\breve{\cal Q})$. Ne consegue che 
$p(x_1,\ldots,x_{s-1})$ \`e identicamente nullo.

Resta cos\`\i\ provato che il polinomio (nelle  sole 
variabili $x_1,\ldots,x_s$) (11) \`e di grado $f_s$ in $x_s$. 
Scriviamolo ora   nelle due forme seguenti 
\begin{equation}
%13
{\bf x^f}-\sum_{{\bf d}\in D_1} \alpha_{\bf d}\cdot {\bf x^d} 
-\sum_{{\bf d}\in D_2} \alpha_{\bf d}\cdot {\bf x^d} 
-\sum_{{\bf d}\in D_3} \alpha_{\bf d}\cdot {\bf x^d} 
\end{equation}
dove 
$$
D_1:=\{{\bf d}\in D\, \mid \, {\bf d}\succ_{i.l.} {\bf f},\,
d_s=f_s\}, \indent
D_2:=\{{\bf d}\in D\, \mid \, {\bf d}\prec_{i.l.} {\bf f},\, 
d_s=f_s\}, 
$$
$$
D_3:=\{{\bf d}\in D\, \mid \, d_s<f_s\}, 
$$
e
\begin{equation}
%14
p_{f_s}(x_1,\ldots,x_{s-1})\cdot x_s^{f_s}+
p_{f_s-1}(x_1,\ldots,x_{s-1})\cdot x_s^{f_s-1}+\cdots 
+p_0(x_1,\ldots,x_{s-1}).
\end{equation}
Osservato che, in (13), tutti e soli i termini 
di grado $f_s$ in $x_s$ 
sono concentrati nei primi tre addendi, deve aversi 
\begin{equation}
%15
p_{f_s}(x_1,\ldots,x_{s-1}):= 
x_1^{f_1}\cdots x_{s-1}^{f_{s-1}} -p_{(1)}-p_{(2)}
\end{equation}
con 
\begin{equation}
%16
p_{(1)}\cdot x_s^{f_s}=
\sum_{{\bf d}\in D_1} \alpha_{\bf d}\cdot {\bf x^d} 
\indent e \indent 
p_{(2)}\cdot x_s^{f_s}=
\sum_{{\bf d}\in D_2} \alpha_{\bf d}\cdot {\bf x^d}. 
\end{equation}
Per provare il nostro assunto occorre dimostrare che il secondo 
addendo in (13) \`e identicamente nullo o, equivalentemente, che 
tale \`e $p_{(1)}$. A tal fine, poniamo 
$\tilde{\cal P}:=\underline{\delta}_{\underline{\cal P}}^{-1}
(D_1\cup D_2)$. Il polinomio (14) deve annullarsi su tutti i punti 
di 
$\tilde{\cal P}\subseteq {\cal P}$; osservato che per ogni punto 
in $\tilde{\cal P}$ se ne trovano in ${\cal P}$ altri $f_s$ 
aventi le stesse prime $s-1$ coordinate di quello, il fatto che il 
polinomio (14) \`e di grado $f_s$ in $x_s$ comporta che i polinomi 
$p_{f_s}(x_1,\ldots,x_{s-1}),\ldots ,p_0(x_1,\ldots,x_{s-1})$ 
devono annullarsi nei punti di $\tilde{\cal P}$, e quindi anche 
nei punti dell'insieme 
$\tilde{\cal Q}:=\pi_{s-1}(\tilde{\cal P})\subseteq K^{s-1}$. In 
particolare, il polinomio (15) deve appartenere all'ideale 
$\Im(\tilde{\cal Q})$ di $K[x_1,\ldots,x_{s-1}]$:
\begin{equation}
%17
p_{f_s}(x_1,\ldots,x_{s-1}):=
x_1^{f_1}\cdots x_{s-1}^{f_{s-1}} -p_{(1)}-p_{(2)} 
\equiv 0 \indent (mod.\Im(\tilde{\cal Q})).
\end{equation}
Poich\'e $\#\tilde{\cal Q}<\#{\cal P}$, per l'ipotesi induttiva la 
proposizione vale per l'insieme 
$\tilde{\cal Q}\subseteq K^{s-1}$; pertanto, osservato che 
$\tilde{\bf f}:=(f_1,\ldots,f_{s-1})=\pi_{s-1}({\bf f})$ \`e un 
elemento diedrale esterno per 
${\cal D}(\tilde{\cal Q})=\pi_{s-1}(D_1\cup D_2)$, deve aversi 
$$
x_1^{f_1}\cdots x_{s-1}^{f_{s-1}}\equiv 
\sum_{\tilde{\bf d}:=(d_1,\ldots,d_{s-1})\in {\cal D}(\tilde{\cal 
Q}), \tilde{\bf d}\prec_{i.l.} \tilde{\bf f}}
\beta_{\tilde{\bf d}}\cdot x_1^{d_1}\cdots x_{s-1}^{d_{s-1}}
\indent (mod.\Im(\tilde{\cal Q})).
$$
dove i coefficienti $\beta_{\tilde{\bf d}}$ sono {\it univocamente} 
determinati. Dal confronto di quest'ul\-ti\-ma con (16) e (17) si deduce 
facilmente che $p_{(1)}$ \`e identicamente nullo, che \`e quan\-to 
restava da provare. \hfill $\Box$

\vskip .3in
\noindent
\section{Algoritmi derivati.}

{\bf 5.1} \indent In questo paragrafo illustriamo una propriet\`a 
(Prop. 8) che --- in molti casi --- costituisce una sensibile 
semplificazione dell'Algoritmo D.

Posto infatti ${\cal P}\subseteq K^n$ e 
${\cal Q}:=\pi_{n-1}({\cal  P})\subseteq   K^{n-1}$,   tale   propriet\`a 
riconduce il calcolo del diagramma di Ferrers (non ordinato) 
${\cal D(P)}$ a quello del diagramma di Ferrers (ordinato!) 
$\underline{{\cal     D}}(\underline{{\cal      Q}})$,      avendo 
preventivamente ordinato 
$\underline{{\cal Q}}:=\underline{\{Q_1,\ldots  ,Q_m\}}$  in  modo 
tale che, posto $h_i:=\# \stackrel{-1}{\pi}_{n-1}(Q_i)$ 
(cio\`e, $h_i$ \`e il numero dei punti in ${\cal P}$ aventi  le  prime 
$n-1$ coordinate uguali a quelle di $Q_i$), si abbia 
$i<j\rightarrow h_i\geq h_j$.

Va subito notato che --- proprio a causa del ruolo  che  gioca  in 
questo contesto l'ordine considerato in 
$\underline{{\cal D}}(\underline{{\cal  Q}})$  ---  non  ha  senso 
iterare l'uso di questa propriet\`a. Tuttavia nel 
caso bidimensionale essa fornisce anche una versione alternativa 
dell' Algoritmo D (Prop. 9).

%Proposizione 8
\begin{theorem}
Con riferimento alle notazioni introdotte pi\`u sopra e posto 
inoltre 
$$
\underline{{\cal D}}(\underline{{\cal Q}}):= 
\underline{\{\tilde{\bf d}_1,\ldots ,\tilde{{\bf d}}_m\}}\subseteq 
{\bf N}^{n-1}
$$
e 
$$
\tilde{{\bf d}}_i=(\tilde{d}_{i,1},\ldots ,\tilde{d}_{i,n-1})=
\underline{\delta}_{{\cal Q}}(Q_i)\indent \indent (1\leq i\leq m)
$$
si ha 
$$
{\cal D(P)}=\{(\tilde{d}_{i,1},\ldots ,\tilde{d}_{i,n-1},e_i)|
1\leq i\leq m \; \mbox{e}\; 0\leq e_i<h_i \}.
$$
\end{theorem}
{\bf  Dimostrazione}  \indent La dimostrazione si riduce ad 
applicare l'Alg.D dopo aver dotato ${\cal P}$ di un ordine 
opportuno. 

Operiamo una partizione di ${\cal P}$ distribuendone gli elementi 
in una famiglia ordinata di $h_1$ blocchi 
$B_0,B_1,\ldots ,B_{h_1-1}$ nel modo seguente: scelti 
successivamente a caso gli elementi di ${\cal P}$, l'elemento $P$ 
via via considerato verr\`a messo nel primo dei blocchi che non 
contiene alcun elemento $P'$ tale che 
$\pi_{n-1}(P)=\pi_{n-1}(P')$. \`E chiaro che un elemento $Q_i$ 
apparterr\`a a $\pi_{n-1}(B_s)$ se e solo se $s<h_i$, per cui si 
ha 
$$
\pi_{n-1}(B_0)=\pi_{n-1}({\cal P})=\{Q_1,\ldots ,Q_m\}
$$
e
$$
\pi_{n-1}(B_0)\supseteq \pi_{n-1}(B_1)\supseteq \ldots 
\supseteq \pi_{n-1}(B_h) \indent \mbox{con} \indent 
h:=h_1-1.
$$
Ordiniamo ciascuno degli insiemi $\pi_{n-1}(B_s)\subseteq {\cal 
Q}$ secondo l'ordine indotto da $\underline{{\cal Q}}$; ci\`o 
determina un ordine anche in ciascuno dei blocchi $B_s$:
$$
\underline{B}_s=\underline{\{P_1^s,\ldots ,P_{m_s}^s\}} \indent
\mbox{con}\indent \pi_{n-1}(P_t^s)=Q_t.
$$
Infine introduciamo un ordine $\underline{{\cal P}}$ in ${\cal P}$ 
semplicemente incollando ordinatamente i diversi blocchi ordinati 
$\underline{B}_0$, $\underline{B}_1$, $\ldots$ ,$\underline{B}_h$:
dati due punti $P,P'\in \underline{{\cal P}}$, $P$ preceder\`a 
$P'$ se, posto $P=P_{r_i}^i$ e $P'=P_{r_j}^j$ si ha o $i<j$ oppure 
$i=j$ e $r_i<r_j$.

\`E sufficiente ora applicare a $\underline{{\cal P}}$ ordinato in 
questo modo l'operatore $\underline{{\cal D}}$ per ottenere il 
risultato enunciato. \hfill $\Box$


\vskip .2in \noindent Come diretta conseguenza 
della proposizione precedente si ottiene la:

\begin{theorem}
Sia ${\cal P}\subseteq K^2$.
 Se i punti  in  ${\cal  P}$  hanno, 
complessivamente, m ascisse diverse $\rho_1,\ldots ,\rho_m$  e  ve 
ne sono $h_i$  di  ascissa  $\rho_i$:
$$
{\cal P} := \{(\rho_1,\sigma_{1,1}), \ldots (\rho_1,\sigma_{1,h_1}), 
\ldots ,(\rho_m,\sigma_{m,1}), \ldots , (\rho_m,\sigma_{m,h_m})\},
$$ 
allora  ---  assumendo  che 
$h_1\geq \ldots \geq h_m$ ---  il diagramma di Ferrers $M_{\cal P}$
dei monomi associati a ${\cal D(P)}$
\`e quello rappresentato nella tavola 
$$
\begin{array}{ccccc}
1&x&\ldots &x^{m-2}&x^{m-1}\\
y&xy&\ldots &x^{m-2}y&x^{m-1}y\\
\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\vdots \\
y^{h_m-1}&xy^{h_m-1}&\ldots &x^{m-2}y^{h_m-1}&x^{m-1}y^{h_m-1}\\
y^{h_m}&xy^{h_m}&\ldots &x^{m-2}y^{h_m}& \ \\
\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\ \\
\ &\ &\  &\  &\ \\
\vdots &\vdots &\  &\  &\ \\
y^{h_2-1}&xy^{h_2-1}&\  &\ &\ \\
y^{h_2}&\ &\  &\ &\ \\
\vdots &\ &\  &\ &\ \\
y^{h_1-1}&\ &\  &\ &\ 
\end{array}
$$
\hfill $\Box$
\end{theorem}

\vskip .3in \noindent
\section{Generalizzazione al caso dei punti multipli.}

{\bf 6.1} \indent {\bf Corretta impostazione del 
Problema 2.}

\noindent Nel corso del presente paragrafo generalizzeremo 
--- seguendone la  falsariga  ---  quanto  esposto  nei  paragrafi 
precedenti, al fine  di  precisare   prima  e  poi  di 
risolvere il Problema 2.

Iniziamo con  l'introdurre  alcune  nozioni  ---  in  particolare 
quelle  di  {\it  dia\-gram\-ma algebrico}  e di {\it 
multiinsieme algebrico} --- che svolgeranno un ruolo  centrale  in 
quanto segue.

Consideriamo l'applicazione lineare 
\begin{eqnarray*}
{\bf D_i}:\, K[X] & \longrightarrow &  K[X] \\
{\bf x^h}  & \longmapsto & {{\bf h}\choose {\bf i}}{\bf x^{h-i}}
\end{eqnarray*}
e la sua  composizione  $v^{\bf  i}_P=  v_P\circ  {\bf  D_i}$  con 
l'operatore di valutazione $v_P$:
\begin{eqnarray*}
v^{\bf i}_P:\, K[X] & \longrightarrow &  K \\
q  & \longmapsto & ({\bf D_i}q)(P).
\end{eqnarray*}
Osserviamo che se K \`e un campo di caratteristica zero allora 
$$
{\bf D_i}=\frac{1}{\bf i!}{\bf D^i}=
\frac{1}{\bf i!} 
\frac{\partial^{i_1+\cdots +i_n}}{\partial x_1^{i_1}\cdots \partial 
x_n^{i_n}}
$$
dove ${\bf i}=(i_1,\ldots,i_n)$ e ${\bf i!}=i_1!\cdots i_n!$.

Sia $J$ un ideale di $K[x_1,\ldots ,x_n]$ e sia $P\in {\cal 
V}(J)$. Consideriamo l'insieme 
$$
{\cal F}(P):= \left\{
{\bf i}\in  {\bf  N}^n\big|\; (\forall 
p\in J)\left(v^{\bf i}_P(p)=0\right)\right\} 
$$
Utilizziamo la nota formula:
%18
\begin{equation}
{\bf D_i}(f\cdot g)=
\sum _{{\bf h}+{\bf k}={\bf i}}
{\bf D_h}(f)\cdot {\bf D_k}(g)
\end{equation}
per dimostrare la seguente 
\begin{theorem}
a) ${\cal F}(P)$ \`e un diagramma di Ferrers;  b)  se  $(g_1,\ldots 
,g_s)$ \`e un sistema di generatori per $J$ allora 
${\cal F}(P)$ \`e il pi\`u  grande diagramma  di  Ferrers  contenuto 
nell'insieme
$$
 \left\{{\bf i}\in  {\bf  N}^n\big|\;
v^{\bf i}_P(g_j)=0
\;  \mbox{per 
ogni}\; 1\leq j\leq s \right\}. 
$$
\end{theorem}
{\bf Dimostrazione.}

\noindent a) \indent Sia ${\bf i}\in {\cal F}(P)$; per la prima  parte 
del Lemma 5 \`e sufficiente dimostrare che 
${\bf i'}:=(i_1,\ldots ,i_j-1,\ldots ,i_n)$  
appartiene  a  ${\cal  F}(P)$. 
Supponiamo per assurdo che ${\bf i'}\not \in 
{\cal F}(P)$; allora per qualche polinomio $q \in  J$  deve 
aversi 
%19
\begin{equation}
v^{\bf i'}_P(q)\neq 0.
\end{equation}
Consideriamo il polinomio $x_j\cdot q\in J$; poich\'e 
${\bf i}\in {\cal F}(P)$ si ha:
\begin{eqnarray*}
0  &  =  & 
v^{\bf i}_P(x_j\cdot q)=({\bf D_i}(x_j\cdot q))(P)=
\left(\sum _{{\bf h}+{\bf k}={\bf i}}
{\bf D_h} x_j\cdot {\bf D_k}q\right)(P) =\\
 & & = (x_j{\bf D_i}q+{\bf D_{i'}}q)(P)=({\bf D_{i'}}q)(P)
\end{eqnarray*}
in contrasto con la (19).

\noindent b) \indent La seconda parte dell'enunciato \`e  una  diretta 
conseguenza della prima parte e della (18). \hfill $\Box$

\vskip.1in 
Il  diagramma  di  Ferrers  ${\cal  F}(P)$  verr\`a   detto   il   {\it 
diagramma algebrico} di $P$ in  ${\cal  V}(J)$  (o  relativamente 
all'ideale $J$).

Un insieme finito 
$\wp :=\{(P_1,{\cal  F}_1),\ldots ,(P_N,{\cal  F}_N)\}$ di coppie 
$(P_j,{\cal  F}_j)$, 
costituite da un punto $P_j$ di  $K^n$  (con  $i\neq  j\Rightarrow 
P_i\neq P_j$) e da un diagramma di 
Ferrers ${\cal  F}_j$ di ${\bf N}^n$, 
verr\`a detto essere un {\it multiinsieme 
algebrico $n$-dimensionale} sul campo  $K$. Gli elementi $P_j$ 
verranno  detti {\it  punti} 
del multiinsieme algebrico $\wp$ --- e scriveremo $P_j\in \wp$  ---  e 
il  diagramma  di  Ferrers  
${\cal  F}_j$  si  dir\`a  il  {\it diagramma 
algebrico} di $P_j$ nel multiinsieme algebrico $\wp$. Diremo inoltre che 
$P_j$ \`e {\it semplice} se 
${\cal  F}_j=\{(0,\ldots ,0)\}$. Talvolta, nel seguito, identificheremo 
tacitamente il multiinsieme algebrico $\wp$ con il sottoinsieme di 
$K^n\times {\bf N}^n$ costituito da tutte le coppie della forma 
$(P,{\bf i})$ con $P\in  \wp$  e  ${\bf  i}$  elemento  del  diagramma 
algebrico ${\cal  F}$ di $P$. In accordo con ci\`o, useremo  anche  la 
notazione $(P,{\bf i})\in \wp$ per denotare tale situazione e
 chiameremo {\it cardinalit\`a} $\# \wp$
del multinsieme algebrico $\wp$ l'intero 
$\#  \wp:=\sum_{j=1}^N   \#{\cal    F}_j$.   Inoltre,   dati   due 
multiinsiemi algebrici $\wp$ e $\wp'$, la relazione 
$(P,{\bf i})\in \wp\Rightarrow (P,{\bf i})\in \wp'$ verr\`a 
espressa con la notazione $\wp\subseteq\wp'$. Diremo che 
$\wp :=\{(P_1,{\cal  F}_1),\ldots ,(P_N,{\cal  F}_N)\}$ \`e il 
{\it  multiinsieme  algebrico  dell'ideale  cofinito}  $J$   ---   e 
scriveremo $\wp=\wp(J)$  ---  se  $V(J)=\{P_1,\ldots,P_N\}$  e  se 
${\cal F}_j$ \`e il diagramma  algebrico  di  $P_j$  relativamente 
all'ideale $J$.

Consideriamo ora l'insieme 
$$
\Im(\wp):=\left\{ p\in K[X]\,\big|
\;(\forall j)(\forall {\bf i}\in {\cal F}_j)\left(  
v^{\bf i}_{P_j}(p)=0\right)\right\}.
$$
Sfruttando ancora una volta la  (18)  e  il  fatto  che  
${\cal  F}_j$  \`e  un 
diagramma di Ferrers si prova che  $\Im(\wp)$ \`e un ideale di 
$K[x_1,\ldots ,x_n]$, che diremo essere l'{\it ideale del multiinsieme 
algebrico} $\wp$. Ovviamente il diagramma algebrico  ${\cal  F}_j$  di 
$P_j$ in $\wp$ coincide  con il diagramma algebrico  di  $P_j$ 
relativamente all'ideale  $\Im(\wp)$. Si pu\`o dimostrare 
(cfr. [2]) che si ha 
$$
codim \ \Im(\wp)=\#\wp.
$$ 

Siamo ora in grado di precisare il:

\vskip .1in
\noindent  {\bf Problema  2.}  \indent  Dato   un   multiinsieme 
algebrico $\wp :=\{(P_1,{\cal  F}_1),\ldots ,(P_N,{\cal  F}_N)\}$ 
si vuole determinare 
un polinomio $p\in K[x_1,\ldots  ,x_n]$  tale  che,  per  ogni  $1\leq 
j\leq n$ ed ogni ${\bf i}\in {\cal F}_j$, si abbia 
$$
v^{\bf i}_{P_j}(p)=\alpha_{{\bf i};j}
$$
dove le $\alpha_{{\bf i};j}$ sono dei valori assegnati in $K$.

\vskip .1in \noindent Facendo considerazioni  analoghe  a  quelle  del 
paragrafo ${\bf 1}$, si vede che --- cos\`\i \ riformulato --- 
il  Problema  2 ammette una soluzione --- determinata univocamente  
modulo  $\Im(\wp)$ --- e quindi che, per ogni base monomiale 
$\{{\bf x}^{{\bf i}_j}|\; 1\leq j\leq \#\wp\}$ di $K[X]/\Im(\wp)$, 
esiste  uno 
ed un solo polinomio $p=\sum p_j {\bf x}^{{\bf i}_j}$ 
soddisfacente alle  condizioni richieste.

\vskip .2in \noindent {\bf 6.2\indent Soluzione del Problema 2.} 
\indent Vediamo ora --- generalizzando al caso attuale 
quanto, nei paragrafi {\bf 2} e {\bf 3}, si \`e gi\`a fatto per gli insiemi 
algebrici --- 
come possa essere determinata una base monomiale minimale 
$\{{\bf x}^{{\bf i}_j}|\; 1\leq j\leq \#\wp\}$ 
di $K[X]/\Im(\wp)$ 
e quindi un polinomio $p=\sum p_j {\bf x}^{{\bf i}_j}$.

Associamo dapprima al multiinsieme algebrico  $\wp$    un  ideale 
elementare  
$\Gamma=(\gamma_1(x_1), \ldots ,\gamma_n(x_n))$ di generatori 
$$
\gamma_i(x_i):=\prod_{j=1}^{t_i} (x_i-\rho_{i,j})^{h_{i,j}}
$$
dove si \`e indicato con $\{\rho_{i,1}, \ldots ,\rho_{i,t_i}\}$
l'insieme  delle  i--esime  coordinate  dei  punti  di  $\wp$   e   le 
molteplicit\`a $h_{i,j}$ sono state  determinate  nel  modo  seguente. 
Indichiamo  con  $P_{s_1},\ldots  ,P_{s_m}$  i  punti  di  $\wp$  aventi 
$\rho_{i,j}$  come  i-esima   coordinata   e,   per   ogni 
$r\in \{1,\ldots,m\}$,  sia     
${\bf f}_{s_r}=(f_{s_r,1},   \ldots   ,f_{s_r,n})$    l'estremo    
superiore del diagramma algebrico 
${\cal  F}_{s_r}\subseteq  {\bf  N}^n$ di $P_{s_r}$; 
 allora  $h_{i,j}$   \`e 
definito come il $\mbox{sup}\{f_{s_r,i}|  1\leq  r\leq  m\}$.  Poniamo 
inoltre $h_i:=\sum_{j=1}^{t_i}h_{i,j}=deg(\gamma_i)$, 
$h:=h_1\cdots h_n$ $\;$ e $\;$ ${\bf h}:=(h_1-1,\ldots ,h_n-1)$. 
\`E immediato verificare che l'insieme 
$$
H:=\{{\bf x^s}|\;{\bf s}\leq {\bf h}\}
$$
costituisce un sistema di rappresentanti per 
una base monomiale  (minimale  rispetto  ad  un  qua\-lun\-que 
ordine li\-ne\-are compatibile $\preceq$) per $K[X]/\Gamma$.

All'ideale elementare $\Gamma$ cos\`\i\  definito associamo un 
multiinsieme algebrico $\wp_{\Gamma}$ nel nodo seguente: la coppia 
$(P,{\cal F})$ \`e un elemento di $\wp_{\Gamma}$ sse, posto 
$P=(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)$, si ha $\gamma_i(\sigma_i)=0$ ed 
inoltre, indicata con $s_i$ la molteplicit\`a di $\sigma_i$ in 
$\gamma_i$, si ha 
$$
{\cal F}=\{{\bf i}\in {\bf N}^n\mid {\bf i}\leq 
(s_1-1,\ldots s_n-1)\}.
$$
\`E facile verificare (cfr. [2]) che si ha: 
$\wp\subseteq \wp_{\Gamma}$, $\wp_{\Gamma}=\wp(\Gamma)$ e 
$\#\wp_{\Gamma}=codim(\Gamma)$.

Generalizzando quanto contenuto in {\bf 2.2}, dato un insieme 
ordinato di monomi
$$
T_{\prec}:=(t_0,t_1,\ldots   ,t_s,\ldots   ),
$$
ed una coppia $(P,{\bf i})$, $P\in K^n$ e ${\bf i}\in {\bf N}^n$, 
poniamo 
$$
T_{\prec}(P,{\bf i}):=(v_P^{\bf i}(t_0), \ldots ,
v_P^{\bf i}(t_s), \ldots ).
$$
Fissato un arbitrario multiinsieme algebrico $\Re$ ed avendone 
ordinato linearmente gli elementi $(P,{\bf i})$, sia 
$T_{\prec}(\Re)$ la matrice di tipo $\#\Re\times\#T_{\prec}$ la 
cui $(P,{\bf i})$-esima riga \`e $T_{\prec}(P,{\bf i})$.

Considerato di nuovo il multiinsieme algebrico $\wp$ e quello 
$\wp_{\Gamma}$ associato a $\Gamma$, assumiamo di aver ordinato 
gli elementi $(P,{\bf i})$ di $\wp_{\Gamma}$ in modo tale che 
quelli appartenenti anche a $\wp$ precedano gli altri e 
consideriamo le matrici $\tilde H:=H_{\prec}(\wp_{\Gamma})$ e 
$H_{\prec}(\wp)$ (la seconda essendo formata con le prime $\#\wp$ 
righe della prima). Ancora si pu\`o dimostrare che $\tilde H$ \`e 
non degenere (esattamente come per la Prop.~1, non appena si 
riconosca che $\tilde H$ \`e il prodotto tensoriale di $n$ 
matrici di Vandermonde {\it generalizzate}, ciascuna associata alle 
radici di uno dei generatori $\gamma_i(x_i)$ di $\Gamma$) e si 
pu\`o, in ultima analisi, ripetere quanto ottenuto, nei paragrafi 
{\bf 2} e {\bf 3}, per gli insiemi algebrici $\{P_1,\ldots,P_n\}$.

Nel paragrafo seguente, infine, mostreremo come generalizzare al 
caso dei multiinsiemi algebrici l'operatore ${\cal D}$, ottenendo 
tramite esso una base monomiale minimale per l'algebra quoziente 
$K[X]/\Im(\wp)$.

\vskip .2in \noindent
{\bf 6.3} \indent  {\bf  Diagramma  di  Ferrers  associato  ad  un 
multiinsieme algebrico.}

Consideriamo la bigezione (``{\it rappresentazione umbrale}'')
\begin{eqnarray*}
u:\, K^n\times {\bf N}^n \indent \indent & \longrightarrow &  
\indent \indent (K\times {\bf N})^n \\
((a_1,\ldots,a_n),(i_1,\ldots,i_n))      &      \longmapsto      & 
((a_1,i_1),\ldots,(a_n,i_n));
\end{eqnarray*}
chiameremo ``{\it valutazione  umbrale}''  l'applicazione  inversa 
$U:=u^{-1}$.

Dato il multiinsieme algebrico 
 $\wp :=\{(P_1,{\cal F}_1),\ldots ,(P_N,{\cal F}_N)\}$ ad ogni coppia 
 $(P,{\bf i})\in \wp$ associamo la sua rappresentazione umbrale 
$u(P,{\bf  i})$  e  chiamiamo  {\it rappresentazione   umbrale} 
${\cal R}(\wp)$ {\it di} $\wp$ l'insieme 
$$
{\cal R}={\cal R}(\wp):=\{u(P,{\bf  i})\mid (P,{\bf  i})\in \wp\}.
$$
Estendiamo  l'operatore  ${\cal  D}$  ai  multiinsiemi   algebrici 
definendo il diagramma di Ferrers  ${\cal D}(\wp)$  come  il 
diagramma   di   Ferrers   associato   all'insieme   ${\cal    R}$ 
dall'Algoritmo D:
$$
{\cal D}(\wp):={\cal D}({\cal R}).
$$
Vale la seguente
\begin{theorem} 
L'insieme $B:=\{[{\bf x^i}]_{\Im(\wp)}\mid {\bf i}\in {\cal 
D}(\wp)\}$ costituisce una 
base lineare monomiale (minimale) per l'algebra quoziente 
$K[X]/\Im(\wp)$.
\end{theorem}

\noindent 
Prima di dimostrare la  Prop.~11   conviene  provare  il  seguente 
Lemma~6. Po\-nia\-mo: 
$$
D:={\cal D}({\cal R})={\cal D}(\wp)
$$
$$
h:=max\{d_n\mid (d_1,\ldots,d_n)\in D\},
$$
e, per ogni $r\in \{0,\ldots,h\}$,
$$
D_r:=\{{\bf d}=(d_1,\ldots,d_n)\in D\mid d_n=r\}
$$
$$
{\cal R}_r:=\{R\in {\cal R}\mid \underline{\delta}_
{\underline{\cal R}}(R)\in D_r\}
$$
$$
\wp_r:=U(\pi_{n-1}({\cal R}_r)).
$$
Osserviamo che, pur dipendendo ${\cal  R}_r$  e,  quindi,  $\wp_r$ 
dall'ordine considerato nell'in\-sie\-me ${\cal R}$,  tale  dipendenza 
non  gioca  alcun  ruolo  in  quanto  segue  e  verr\`a   pertanto 
sottaciuta.

\begin{lemma}
%Lemma 6 
Per ogni $r\in \{0,\ldots,h\}$, $\wp_r$ \`e  un  multiinsieme  algebrico 
$(n-1)$-di\-men\-sio\-na\-le e si ha
\begin{equation}
r>r'\Rightarrow \wp_r\subseteq \wp_{r'};
\end{equation}
\begin{equation}
{\cal D}(\wp_r)=\pi_{n-1}(D_r).
\end{equation}
\end{lemma}
{\bf Dimostrazione.}\indent La (20) e la  (21)  sono  conseguenza  diretta 
delle (8) e (9), rispettivamente, del Lemma 3 non appena si osservi 
(per quanto riguarda la (20)) che 
${\cal R}\subseteq {\cal S}\Rightarrow  U({\cal  R})\subseteq 
U({\cal S})$ e, (per quanto riguarda la (21)), che l'operatore 
${\cal D}$ che agisce sui multiinsiemi \`e in effetti la  composizione 
dell'ope\-ra\-to\-re di rappresentazione umbrale $u$ con l'operatore 
${\cal D}$ che agisce sugli insiemi: 
$$
\pi_{n-1}(D_r)={\cal D}(\pi_{n-1}({\cal R}_r))={\cal D}(u(\wp_r))=
{\cal D}(\wp_r). \indent \indent \indent \indent \indent 
$$

 \hfill $\Box$

\vskip .1in \noindent 
{\bf Dimostrazione della Prop. 11.}\indent 
Ovviamente si ha $\# B=\#\wp$; poich\'e $codim \ \Im(\wp)=\#\wp$, \`e 
quindi  sufficiente 
provare che nessuna combinazione lineare (non banale)  dei  monomi 
in $B$ sia un elemento dell'ideale   $\Im(\wp)$.    Seguendo    la  
falsariga  della 
dimostrazione  della  Prop.~6,  dimostriamo  ---  ragionando  per 
induzione sulla dimensione $n$ --- che se un polinomio 
$p(x_1,\ldots ,x_n)$ della forma 
$$
p(x_1,\ldots ,x_n)=\sum_{{\bf d}\in {\cal D}(\wp)}  \, 
\alpha_{{\bf d}}\cdot {\bf x}^{\bf d} \; , 
$$
appartiene a $\Im (\wp)$ allora \`e identicamente nullo. Si ha 
$$
p(x_1,\ldots  ,x_n)=\sum_{r=0}^h   p_r(x_1,\ldots   ,x_{n-1})\cdot 
x_n^r
$$
con 
$$
p_r(x_1,\ldots ,x_{n-1}):=
\sum_{(d_1,\ldots ,d_{n-1})\in \pi_{n-1}(D_r)} 
\alpha_{(d_1,\ldots ,d_{n-1},r)}
\cdot x_1^{d_1}\cdots x_{n-1}^{d_{n-1}}.
$$
Posto
$$
D_h=\{{\bf d}^{(1)},\ldots,{\bf d}^{(s)}\}
$$
(con ${\bf d}^{(j)}=(d^{(j)}_1,\ldots,d^{(j)}_{n-1},h)$, 
$\; j=1,\ldots,s$), si ha 
$$
{\cal R}_h=\{R^{(j)}\mid \underline{\delta}_{\underline{\cal 
R}}(R^{(j)})={\bf d}^{(j)}; 
\; j=1,\ldots,s\}.
$$
Per ogni $R^{(j)}\in {\cal R}_h$ vi sono esattamente $h+1$ punti 
$R\in {\cal R}$ tale che $\pi_{n-1}(R^{(j)})=\pi_{n-1}(R)$. 
Indicato con ${\cal T}^{(j)}_h$ il complesso di tali $h+1$ punti, 
poniamo ${\cal T}_h:=\cup_{j=1}^s{\cal T}^{(j)}_h$. Non \`e 
difficile riconoscere che 
$\pi_{n-1}({\cal T}_h)=\pi_{n-1}({\cal R}_h)$ e quindi che 
$U(\pi_{n-1}({\cal T}_h))=\wp_h$. Vi \`e inoltre una ovvia 
corrispondenza biunivoca 
$$
\tau:\wp_h\rightarrow \{{\cal T}^{(j)}_h\mid j=1,\ldots.s\}.
$$
Sia $(Q,{\bf j})\in \wp_h$, $Q\in K^{n-1}$ e ${\bf j}\in {\bf 
N}^{n-1}$, e sia $\tau(Q,{\bf j})={\cal T}^{(l)}_h$ per un 
opportuno intero $l\in \{1,\ldots,s\}$. Posto 
$Q=(c_1,\ldots,c_{n-1})$ e ${\bf j}=(j_1,\ldots,j_{n-1})$, 
valutiamo umbralmente i punti in 
$\tau(Q,{\bf j})={\cal T}^{(l)}_h\subseteq {\cal R}$. 
[Questi punti sono della forma 
$((c_1,j_1),\ldots,(c_{n-1},j_{n-1}),(c,j))$;    due    di    essi 
differiscono quindi solo nell'ultima componente $(c,j)$].
Risulta che un certo numero --- diciamolo $q_1\geq 1$ --- di questi si 
trasformano in un punto $Q_1=(c_1,\ldots,c_{n-1},c_{(1)})$, un 
altro gruppo --- diciamo $q_2\geq 1$ di essi --- nel 
punto $Q_2=(c_1,\ldots,c_{n-1},c_{(2)})$, etc., con 
$q_1+q_2+\cdots =h+1$ e tali inoltre che al diagramma algebrico 
${\cal F}_r$ associato --- in $\wp$ --- a $Q_r$ appartengano le 
$q_r$ $n$-uple 
$(j_1,\ldots,j_{n-1},0),\ldots,(j_1,\ldots,j_{n-1},q_r-1)$.
Ne consegue che ogni polinomio $f(x_1,\ldots,x_n)$ appartenente a 
$\Im(\wp)$ dovr\`a essere tale che per ogni $(Q,{\bf j})\in \wp_h$, 
$Q=(c_1,\ldots,c_{n-1})$, ${\bf j}=(j_1,\ldots,j_{n-1})$, il polinomio 
$\widetilde f(x_n):=v_Q^{\bf j}(f(x_1,\ldots,x_n))$ dovr\`a  ammettere 
le  radici  $c_{(1)},c_{(2)},\ldots$  con  le  molteplicit\`a  $q_1,\, 
q_2,\, \ldots $ rispettivamente e quindi dovr\`a avere almeno grado 
$q_1+q_2+\cdots =h+1$. Ne consegue che il polinomio 
$p(x_1,\ldots,x_n)=
\sum_{r=0}^h p_r(x_1,\ldots ,x_{n-1})\cdot x_n^r\in \Im(\wp)$ 
considerato --- essendo di grado al pi\`u $h$  in  $x_n$  ---  dovr\`a 
essere tale che i polinomi 
$$
p_0(x_1,\ldots  ,x_{n-1}),\ldots,p_h(x_1,\ldots  ,x_{n-1})
$$ 
appartengono all'ideale  $\Im(\wp_h)\subseteq  K[x_1,\ldots,x_{n-1}]$. 
Poich\'e $p_h$ \`e della forma 
$$
p_h(x_1,\ldots ,x_{n-1})=
\sum_{(d_1,\ldots ,d_{n-1})\in \pi_{n-1}(D_h)} 
\alpha_{(d_1,\ldots ,d_{n-1},h)}
\cdot x_1^{d_1}\cdots x_{n-1}^{d_{n-1}}.
$$
e poich\'e, per la (21), ${\cal D}(\wp_h)=\pi_{n-1}(D_h)$, 
dall'ipotesi induttiva si trae che  $p_h(x_1,\ldots   ,x_{n-1})$  deve 
essere identicamente nullo. 

Iterando per $r=h-1,h-2,\ldots,1,0$ il ragionamento fatto per $r=h$, 
si perviene a concludere che $p(x_1,\ldots  ,x_n)$  \`e  identicamente 
nullo e quindi  che  
$\{[{\bf x^i}]_{\Im(\wp)}\mid {\bf i}\in {\cal D}(\wp)\}$ 
costituisce  una  base  lineare 
monomiale per $K[X]/\Im(\wp)$. 

 \hfill $\Box$
\vskip .3in \noindent

\begin{thebibliography}{99} 

\bibitem{[1]}  B.~Buchberger,  {\em  An  Algorithmic   Method   in 
Polynomial Ideal Theory}, in ``N.~K.~Bose (ed): Recent  Trends  in 
Multidimensional System Theory'', D.~Reidel Publishing Co.~, 1985, 
pp. 184-232 
\bibitem{[2]}  L.~Cerlienco, F.~Piras {\em  On the Continuous Dual of a 
Polynomial Bialgebra.} (preprint)
\bibitem{[3]} J.P.S.~Kung {\em Jacobi's identity and the 
K\"onig-Egerv\'ary theorem}, Discrete Math. 49(1984) 75-77
\bibitem{[4]}L.~Robbiano     {\em     Introduzione     all'algebra 
computazionale.} Appunti per il corso INDAM. (Roma 1986/87)
\bibitem{[5]} H.M.~M\"oller, B.~Buchberger  {\em The  construction 
of multivariate polynomials with preassigned zeros}, in 
``Computer Algebra (Marseille, 1982)'',  Lecture  Notes  in  Comp. 
Sci., 144, Springer, Berlin-New York, 1982, pp.24-31

\end{thebibliography}

\vskip .3in    \noindent 
Indirizzo degli autori:

Luigi Cerlienco, Marina Mureddu

Dipartimento di Matematica.

Via Ospedale 72 --- I-09124 Cagliari


cerlienc@unica.it, mureddu@unica.it

Tel. 39-70-6758529/6758536

Fax 39-70-6758511

\newpage 

\noindent 
{\bf Appendice 1 --  } 
All'analisi condotta del problema dell'interpolazione in 
pi\`u variabili occorre aggiungere qualche ulteriore 
considerazione rivolta a mettere in evidenza alcune limitazioni 
intrinseche --- cui gi\`a si \`e fatto cenno nell'introduzio\-ne --- 
che non si presentano nel caso unidimensionale. Va chia\-ri\-to che 
mentre in quest'ultimo caso la soluzione al problema ha un 
significato {\sl geome\-tri\-co} intrinseco, di contro nel caso $n\geq 
2$ questa caratteristica viene a mancare. Infatti, se $n=1$, la 
soluzione $y=p(x)$ privilegiata (soddisfacente cio\`e alla 
condizione $deg(p)<N$) dei Problemi 1 e/o 2 rappresenta nel piano 
$(xy)$ una curva C 
che \`e inva\-rian\-te per cambiamenti di riferimento affine sull'asse 
$x$; nel caso n--dimensionale, invece, non solo vengono 
privilegiate pi\`u soluzioni $y=p_1(x_1,\ldots ,x_n)$, $\ldots$, 
$y=p_r(x_1,\ldots ,x_n)$ --- dipendenti  dalle  diverse  possibili 
scelte della 
base monomiale minimale --- cui corrispondono diverse superfici 
$\Sigma_1, \ldots ,\Sigma_r$ dello spazio affine $(x_1, \ldots ,
x_n,y)$, ma risulta anche che il complesso di tali superfici {\sl 
non \`e in\-va\-rian\-te rispetto al gruppo delle trasformazioni affini 
dello spazio} $(x_1,\ldots ,x_n)$. Detto in altri termini: mentre 
a) nel caso unidimensionale il problema: ``trovare una funzione 
polinomiale che in certi punti $P_i$ della retta affine assuma 
valori assegnati $\alpha_i$'' equivale (insieme con la sua 
soluzione) al problema: ``trovare un polinomio (di dato grado) che 
per certi $\rho_i$ [coordinate di $P_i$ rispetto ad un arbitrario 
si\-ste\-ma di riferimento affine sulla retta] assuma valori assegnati 
$\alpha_i$''; di contro b) non si pu\`o affermare qualcosa di 
simile nel caso multidimensionale. 

Chiariamo meglio, e giustifichiamo, le affermazioni precedenti. 
Nel caso unidimensionale la situazione \`e la seguente: dati sulla 
retta $N$ punti $P_i$, sia ${\cal S}$ la famiglia di funzioni 
polinomiali che assumono in $P_i$ il valore $\alpha_i$. Fissato 
sulla retta un si\-ste\-ma di riferimento affine R, rispetto al quale 
chiameremo x la coordinata del generico punto $P$, resta 
determinato l'ideale $\Im ({\cal P})\subseteq K[x]$ dell'insieme 
${\cal P}=\{P_1,\ldots ,P_N\}$ e ${\cal S}$ \`e rappresentata da 
un laterale $S$ di  $\Im ({\cal P})$; questo laterale a sua volta 
viene rappresentato dall'unico polinomio $p$ di grado minore di $N$ 
contenuto in esso. Adottando poi un nuovo si\-ste\-ma di riferimento 
R' e chiamando $x'$,  $\Im' ({\cal P})\subseteq K[x']$ , $S'$, $p'$ 
gli analoghi dei precedenti, la trasformazione di coordinate 
affini $x'=\alpha\cdot x + \beta$ non solo trasforma 
 $\Im' ({\cal P})\subseteq K[x']$ in  $\Im ({\cal P})\subseteq K[x]$ 
e $S'$ in $S$ ma anche $p'$ in $p$. Se ripetiamo ora, per il caso 
n--dimensionale, queste consi\-de\-razioni --- con l'unica differenza 
che ora i laterali $S$ ed $S'$ vengono rappresentati,  al  variare 
della base monomiale minimale scelta, da uno degli 
elementi di tutta una 
famiglia, $p_1,\ldots ,p_r$ e $p'_1,\ldots ,p'_{r'}$ 
rispettivamente, contenuta in essi --- succede che una generica 
trasformazione affine $x'=\sum \alpha_{ij}x_j+\beta_i$, 
$(i,j=1,\ldots ,n)$ fa corrispondere 
 $\Im' ({\cal P})$ a $\Im ({\cal P})$ e $S'$ a $S$ ma non 
trasforma il generico $p_i$ in uno dei $p'_j$ bens\`\i, in 
generale, in un diverso rappresentante di $S'$. La ragione di 
ci\`o sta in quanto segue: il fatto che basi monomiali minimali 
calcolate rispetto a R non corrispondono a basi monomiali minimali 
calcolate rispetto a R' ha --- nel caso $n>1$ --- effetti perversi 
che non si presentano invece nel caso unidimensionale. Tali 
effetti sono da imputare al fatto che un monomio 
$x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}$ viene trasformato dall'affinit\`a 
considerata in una combinazione lineare di (tutti) 
i monomi 
${x'}_1^{j_1}\cdots {x'}_n^{j_n}$ di grado 
$j_1+\ldots +j_n\leq i_1+\ldots +i_n$.

%\newpage 
\vskip .3in


\noindent
{\bf Appendice 2 -- Dimostrazione della formula }
\begin{eqnarray*}
\mid A_1\otimes A_2 \otimes \cdots \otimes A_n \mid & = & \mid A_1 
\mid ^{h_2 \cdots h_n}\, \cdot \, \mid A_2 \mid ^{h_1  h_3  \cdots 
h_n} 
\,
\cdots \, \mid A_n \mid ^{h_1 \cdots h_{n-1}}  \\
 & = & \frac{(\mid A_1 \mid 
\cdots \mid A_n \mid )^{h_1 h_2 \cdots h_n}}{\mid A_1 \mid 
^{h_1} \cdots \mid A_n \mid ^{h_n}} \nonumber
\end{eqnarray*}
\vskip .2in\noindent
\`E immediato convincersi che la formula in oggetto  pu\`o  essere 
provata facilmente ragionando  per  induzione  sul  numero  s  dei 
fattori tensoriali una volta provata per s=2.
Poich\'e se $B_1 \sim A_1 $ e $B_2 \sim A_2 $ allora $ A_1 \otimes 
A_2 \sim B_1 \otimes B_2$, \`e sufficiente provarla  nel  caso  in 
cui $A_1$ e $A_2$  siano  in  forma  canonica di  Jordan 
(passando eventualmente alla chiusura algebrica  del  campo  $K$). 

Considerate la  matrici  $A=(a_j^i)$ e $B=(b_k^h)$, con 
$i,j=  0,\ldots  ,n-1$, \, e \, $h,k=0,\ldots ,m-1$, $\;$ 
la matrice 
$$
A \otimes B = C = (c^{\alpha}_{\beta})  \indent  \alpha  ,\beta  = 
0,\ldots ,mn-1
$$
\`e data da
$$
(*)\indent 
c^{\alpha  }_{\beta  }  =  a^r_{\tilde{r}}  \cdot  b^q_{\tilde{q}} 
\indent \indent \mbox{con } \alpha = qn + r, \; 
\beta = \tilde{q}n + \tilde{r} \; \mbox{e} \; r,\tilde{r}<n
$$
Se A e B sono triangolari inferiori $(a^i_j =  0  $  per  $i<j$  e 
$b^h_k = 0 $ per $h<k)$ allora da $(*)$ consegue che anche $A\otimes 
B = C$ \`e triangolare inferiore ( infatti 
$c^{\alpha     }_{\beta     }     =     a^r_{\tilde{r}}      \cdot 
b^q_{\tilde{q}}$ \`e diverso da  zero  solo  a  patto  che  $r\geq 
\tilde{r}$ e $q\geq \tilde{q}$ e quindi che $\alpha  =  nq+r  \geq 
n\tilde{q} + \tilde{r} = \beta$).  Si  verifica  inoltre  che  gli 
elementi della diagonale di $A \otimes B$ sono dati  dai  prodotti 
degli elementi della diagonale di $A$ per quelli  della  diagonale 
di $B$. Con ci\`o la formula considerata resta provata. \hfill $\Box$

\vskip .2in
\noindent {\bf Seconda dimostrazione della Prop.~1} \indent  
La matrice di Vandermonde $V_j$ associata alle radici  di  $\gamma 
_j$ \`e la matrice che esprime il  cambiamento  di  base, nello 
spazio $ S_j $ delle s.r.l. di scala  $\gamma  _j$, dalla  base 
delle  s.r.l.  fondamentali (chia\-mia\-mola   $   b_{j,1},\ldots 
,b_{j,h_j}$) alla base delle radici (chiamiamola $c_{j,1},  \ldots 
,c_{j,h_j}$). Orbene il sottospazio $S\subseteq K[X]^{\circ}$ delle forme 
ricorrenti n-lineari 
associate  all'ideale  $\Gamma=(\gamma  _1,  \ldots  ,   \gamma 
_n)\subseteq K[X]$ \`e il prodotto tensoriale degli spazi $S_j$:
$$
S = S_1 \otimes \cdots \otimes S_n
$$
e  la matrice
$$
H_{\prec}(\tilde{{\cal P}}) = V_1 \otimes \cdots \otimes 
V_n
$$
esprime il cambiamento dalla base delle forme ricorrenti n-lineari 
fondamentali
$$
b_{1,t_1} \otimes \cdots \otimes b_{n,t_n} 
\indent (1 \leq t_j \leq h_j)
$$
alla base delle valutazioni $v_P$, \, $P  \in  \tilde{{\cal  P}}.$  Ne 
consegue l'enunciato in  quanto  la  matrice  in  oggetto  \`e  la 
matrice di un cambiamento di base.\hfill $\Box $

\newpage \noindent
{\bf Appendice 3 -- Sulla dimostrazione della Prop.~7.} 
\vskip .2in \noindent
Chiariamo la  dimostrazione  della  Prop.~7  ripetendone  ---  con 
riferimento  ad  un  esempio  concreto  ---   alcuni   dei   passi 
principali. 

Per comodit\`a, chiamiamo le variabili $x,y,z,t$ in luogo di 
$x_1,x_2,x_3,x_4$ e identifichiamo ${\cal D(P)}$ con 
$\{{\bf x^d}\mid {\bf d}\in  {\cal  D(P)}\}$.  Supponiamo  che  si 
abbia $\underline{\cal P} =\underline{\{P_1,\ldots,P_{33}\}}$, cui 
corrisponda  il  diagramma  
${\cal D}(\underline{\cal P})=\underline{\{{\bf  d}_1,\ldots,{\bf 
d}_{33}\}}$ seguente:
$$
\left[ \begin{array}{cccccc}
{\bf d}_1=1 & {\bf d}_2=x & {\bf d}_3=x^2 & {\bf d}_4=x^3 & 
{\bf d}_5=x^4 & {\bf d}_6=x^5  \\

{\bf d}_7=y & {\bf d}_8=xy & {\bf d}_9=x^2y & {\bf d}_{10}=x^3y & 
{\bf d}_{11}=x^4y & \  \\

{\bf d}_{12}=y^2 & {\bf d}_{13}=xy^2 & {\bf d}_{14}=x^2y^2 & 
{\bf d}_{15}=x^3y^2 & \  & \  \\

{\bf d}_{16}=y^3 & {\bf d}_{17}=xy^3 & \  & 
\  & \  & \  
\end{array}\right]
$$

$$
\left[ \begin{array}{cccc}
{\bf  d}_{18}=z  &  {\bf  d}_{19}=xz  &  {\bf  d}_{20}=x^2z  &  {\bf 
d}_{21}=x^3z \\

{\bf d}_{22}=yz & {\bf d}_{23}=xyz & {\bf d}_{24}=x^2yz & \ \\

{\bf d}_{25}=y^2z & {\bf d}_{26}=xy^2z & \ & \ 
\end{array}\right]
$$

$$
\left[ \begin{array}{cc}
{\bf  d}_{27}=z^2 & {\bf  d}_{28}=xz^2\\

{\bf  d}_{29}=yz^2 &\ \\
\end{array}\right]
$$


\vskip .2in

$$
\left[ \begin{array}{cc}
{\bf  d}_{30}=t  &  {\bf  d}_{31}=xt  \\

{\bf  d}_{32}=yt  &  \ 
\end{array}\right]
$$

$$
\left[ \begin{array}{c}
{\bf  d}_{33}=zt \\
\end{array}\right]
$$
\vskip .2in
\noindent
Per la Prop.~4, inoltre, possiamo supporre di aver ordinato 
$\underline{\cal P}$ in modo tale che gli elementi di 
$\underline{D}:={\cal D}(\underline{\cal P})$ vengano determinati 
nell'ordine 
lessicografico inverso, che \`e quello con cui sono stati 
numerati.

Supponiamo per assurdo che $D\cup C-D\cap C\neq \emptyset$ e che 
il pi\`u piccolo fra gli elementi appartenenti a 
$D\cup C-D\cap C$ sia, ad esempio, ${\bf f}=x^3yz\not\in D$ ( e 
quindi ${\bf f}\in C$). Si ha ora $s=3$ e $f_s=f_3=1$.

In primo luogo mostriamo che non \`e restrittivo far riferimento a 
$\underline{\hat{\cal P}} :=\underline{\{P_1,\ldots,P_{29}\}}$, 
$\underline{\hat{D}}
:={\cal  D}(\underline{\hat{\cal P}})=
\underline{\{{\bf  d}_1,\ldots,{\bf d}_{29}\}}$ e
$\hat{C}:={\cal  C}(\underline{\hat{\cal P}})$ (anzich\'e a 
$\underline{\cal P}$, ${\cal D}(\underline{\cal P})$ e $C$). Se infatti 
${\bf f}=x^3yz\not\in \hat{C}$ allora si avrebbe 
$$
(*)\indent  x^3yz\equiv   p[{\bf   d}_1=1,{\bf   d}_2=x,\ldots,{\bf 
d}_{29}=yz^2]\indent mod.\Im(\hat{\cal P})
$$
(con la notazione a  secondo  membro  si  denota  una  combinazione 
lineare dei monomi entro parentesi quadre) e il polinomio 
$$
(**)\indent x^3yz-p[{\bf d}_1=1,{\bf d}_2=x,\ldots,{\bf d}_{29}=yz^2]
$$
si annullerebbe per ciascuno dei punti $P_1,\ldots,P_{29}$ e quindi 
--- poich\'e, a causa della struttura di ${\cal D}(\underline{\cal 
P})$, risulta che le prime tre 
coordinate di uno qualunque dei punti $P_{30},\ldots,P_{33}$ sono 
anche quelle di qualcuno dei punti $P_1,\ldots,P_{29}$ --- si 
annullerebbe su tutto ${\cal P}$ e pertanto la congruenza $(*)$ 
sarebbe soddisfatta anche $mod.\Im({\cal P})$, contro l'ipotesi che 
${\bf f}=x^3yz\in C$. 

Siamo quindi legittimati ad assumere che fin dall'inizio si sia 
posto 
$\underline{\cal P} =\underline{\{P_1,\ldots,P_{29}\}}$ e 
${\cal D}(\underline{\cal P})
=\underline{\{{\bf  d}_1,\ldots,{\bf d}_{29}\}}$. Proviamo ora che 
ogni polinomio della forma $(**)$ (e quindi nelle sole variabili 
$x,y,z$) appartenente a $\Im({\cal P})$ \`e di grado $f_s=f_3=1$ in 
$z$ cio\`e che i coefficienti dei termini in 
$\breve{D}:=\{{\bf d}_{27}=z^2,{\bf d}_{28}=xz^2,{\bf d}_{29}=yz^2\}$ 
sono nulli. Indichiamo con 
$(a+bx+cy)z^2$ il complesso di tali termini. Per ogni punto $P$ in 
$\underline{\breve{\cal P}}:=
\underline{\{P_{27},P_{28},P_{29}\}}= 
\underline{\delta}_{\underline{\cal P}}^{-1}(\breve{D})$ 
devono trovarsi in ${\cal P}$ altri $d_s=d_3=2$ punti aventi le 
stesse prime $s-1=2$ coordinate di $P$; pertano sostituendo tali 
prime due coordinate a $x$ e $y$ in $(**)$ si ottiene un polinomio 
nella sola $z$ che --- ammettendo $d_s+1=3$ radici distinte ed 
essendo di grado $d_s=2$ --- deve annullarsi identicamente. In 
particolare tali prime due coordinate ( quelle dei punti 
dell'insieme $\underline{\breve{\cal Q}}:=
\{\pi_2(P_{27}),\pi_2(P_{28}),\pi_2(P_{29})\}$ ) 
devono annullare il polinomio 
$a+bx+cy\in K[x,y]$, cio\`e $a+bx+cy\in \Im(\underline{\breve{\cal Q}})$. 
Ma ci\`o \`e possibile solo a patto che $a=b=c=0$ perch\'e, come \`e 
facile dedurre dalla struttura di ${\cal D}(\underline{\cal P})$, si ha 
$\{1,x,y\}={\cal D}(\{P_{27},P_{28},P_{29}\})=
{\cal D}(\{\pi_2(P_{27}),\pi_2(P_{28}),\pi_2(P_{29})\})$ e  quindi 
$1,x,y$ 
costituiscono un sistema di rappresentanti per una base monomiale 
di $K[x,y]/\Im(\underline{\breve{\cal Q}})$.

Pertanto un eventuale polinomio $(**)$ appartenente a $\Im({\cal P})$ 
deve essere della forma 
$$
(***)\indent x^3yz-p[{\bf d}_1=1,{\bf d}_2=x,\ldots,{\bf 
d}_{26}=xy^2z].
$$
Ripartiamo i termini (diversi da $x^3yz$) in $(***)$ nei tre 
sottoinsiemi $D_1:=\{{\bf d}_{25},{\bf d}_{26}\}$, 
$D_2:=\{{\bf d}_{18},\ldots,{\bf d}_{24}\}$ e 
$D_3:=\{{\bf d}_1,\ldots,{\bf d}_{17}\}$ ( a seconda che ${\bf 
d}_j$ sia maggiore di ${\bf f}=x^3yz$ oppure, pur avendo lo stesso 
esponente in $z$, sia minore o infine abbia un esponente in $z$ 
inferiore) e proviamo che anche i coefficienti di 
${\bf d}_{25}$ e ${\bf d}_{26}$ devono annullarsi. Posto 
$\tilde{\cal P}:=\underline{\delta}_
{\underline{\cal P}}^{-1}(D_1\cup D_2)=\{P_{18},\ldots,P_{26}\}$ 
e osservato che per ogni punto in $\tilde{\cal P}$ ne esistono in 
$\underline{\cal P}$ altri $f_s=1$ aventi le stesse prime $s-1=2$ 
coordinate di quello, il fatto che il polinomio $(***)$ \`e di grado 
$f_s=1$ in $z$ comporta che, sostituendo in $(***)$ a $x$ e $y$ le 
prime due coordinate di uno qualunque dei punti in $\tilde{\cal P}$ 
(e quindi di uno qualunque dei punti in $\tilde{\cal Q}:=
\pi_2(\tilde{\cal P})$ ) si ottiene un polinomio in $z$ che deve 
annullarsi identicamente. In particolare i punti di $\tilde{\cal 
Q}$ devono annullare il polinomio in $x,y$ che costituisce il 
coefficiente di $z$ in $(***)$, diciamolo 
$$
(\#)\indent x^3y-p_{(1)}-p_{(2)}
$$
con 
$$
p_{(1)}:=a_{25}y^2+a_{26}xy^2
$$
$$
p_{(2)}:=a_{18}+a_{19}x+a_{20}x^2+a_{21}x^3+a_{22}y+a_{23}xy+a_{24}
x^2y.
$$
In altri termini, il polinommio ($\#$) appartiene $\Im(\tilde{\cal 
Q})$. D'altra parte i termini in ($\#$) diversi da $x^3y$ sono, 
come \`e facile controllare, gli elementi di 
${\cal D}(\tilde{\cal Q})=\pi_2(D_1\cup D_2)$ e $x^3y=\pi_2(x^3yz)$ 
\`e un elemento diedrale di ${\cal D}(\tilde{\cal Q})$. Quindi 
$x^3y\not\in{\cal D}(\tilde{\cal Q})={\cal C}(\tilde{\cal Q})$ 
(quest'ultima uguaglianza \`e garantita dall'ipotesi induttiva). 
La relazione $x^3y\not\in{\cal C}(\tilde{\cal Q})$ e il fatto che 
${\cal C}(\tilde{\cal Q})$ sia minimale rispetto all'ordine 
lessicografico inverso comportano che, modulo $\Im(\tilde{\cal 
Q})$, $x^3y$ sia esprimibile, {\it in uno ed un sol modo}, come 
combinazione lineare dei termini in 
${\cal C}(\tilde{\cal Q})={\cal D}(\tilde{\cal Q})$ {\it pi\`u 
piccoli} di $x^3y$, cio\`e che in ($\#$) si abbia 
$a_{25}=a_{26}=0$, che \`e quanto restava da provare per concludere 
che ${\bf f}=x^3yz\not\in {\cal C}({\cal P})$ in contraddizione con 
${\cal D(P)}\neq {\cal C(P)}$.\hfill $\Box$


\vskip .3in \noindent
{\bf Appendice 4 -- Sulla Prop.~9.}
\vskip .2in
\noindent 
Diamo una dimostrazione diretta  del  fatto  che  i  monomi  nella 
tabella della Prop.~9 costituiscono un  sistema  di  rappresentati 
per  una  base  monomiale  rispetto  all'ideale  del   multiisieme 
algebrico l\`a considerato.

\noindent {\bf Dimostrazione.} \indent
Per  ogni    $1\leq i\leq m$    associamo    al     monomio 
$x^{m-i}y^{h_{m-i+1}-1}$ l'insieme 
$$
M_i\, := \, \cup _{j=1}^i S_{m-j,h_{m-j+1}-1}
$$
come pure (se $i\neq m$) l'insieme 
$$
A_{i+1} \, := \, S_{m-1,h_{m-i}-1} - M_{i+1}
$$
dove    si    \`e     indicato     con     $S_{i,j}$     l'insieme 
$S_{i,j}:=\{x^{i'}y^{j'}|i'\leq i  \,  e  \,  j'\leq  j\}$;  poniamo 
inoltre $M_0=A_1:=\emptyset$. Osserviamo che si ha 
$$
M_0\subseteq M_1\subseteq M_2\subseteq \ldots \subseteq 
M_m=M_{\cal P} 
$$
$$
A_1\subseteq A_2\subseteq A_3\subseteq \ldots \subseteq A_m 
$$
$$
\#M_m=\#M_{\cal P}=\#{\cal P}.
$$
Nei calcoli che seguono denoteremo le  {\em  funzioni  simmetriche 
elementari} delle variabili $\rho_1,\ldots  ,\rho_n$  mediante 
le notazioni
$$
[\rho_1,\ldots  ,\rho_n]_0 := -1
$$
$$
[\rho_1,\ldots  ,\rho_n]_1 := \rho_1+\ldots  +\rho_n
$$
$$
[\rho_1,\ldots   ,\rho_n]_2    :=    -(\rho_1\rho_2+\ldots 
+\rho_{n-1}\rho_n)
$$
$$
\ldots \ldots \ldots \ldots 
$$
$$
[\rho_1,\ldots  ,\rho_n]_n := (-1)^{n-1}\rho_1\rho_2\cdots \rho_n
$$
cio\`e
$$
[\rho_1,\ldots ,\rho_n]_i  := 
(-1)^{i-1}\sum_{1\leq j_1<\ldots <j_i\leq n} 
\rho_{j_1}\rho_{j_2}\cdots \rho_{j_i}.
$$
Poich\'e $\#M_m=\#M_{\cal P}=\#{\cal  P}=codim \ \Im ({\cal P})$  \`e 
sufficiente  
dimostrare che le classi di equivalenza (modulo $\Im ({\cal P})$) 
dei monomi in $M_m$ costituiscono un  insieme  di  generatori  per 
l'algebra  quoziente  $K[X]/\Im ({\cal P})$.  Ci\`o   discende   
subito   dalle congruenze
$$
(C_s) \indent \indent  x^s y^{h_{s+1}}\equiv \sum_{i=1}^s \, 
[\rho_1,\rho_2,\ldots    ,\rho_s]_i \,  x^{s-i}y^{h_{s+1}} + 
\sum_{\tau\in M_{m-s}}\mu_{\tau} \tau 
$$
$$
({C'}_s) \indent \indent  x^i y^j\equiv 
\sum_{\tau\in M_{m-s+1}}\alpha_{\tau} \tau \indent se \indent 
x^iy^j\in A_{m-s+1}
$$
(con $\mu_{\tau},\alpha_{\tau}\in K$) 
per $s=m,m-1,\ldots ,1,0$ ed avendo assunto $h_{m+1}:=0$.

\`E facile verificare che la $({C'}_s)$ \`e una diretta  conseguenza 
di $(C_t)$ per $m\geq t\geq  s$.  Proviamo  quest'ultima  ragionando 
induttivamente sui valori decrescenti di $s$.  Per  $s=m$  essa  \`e 
banalmente  vera, giacch\'e esprime semplice\-mente il fatto che  il 
polinomio 
$$\prod_{i=1}^m(x-\rho_i)=-\sum_{i=0}^m\,           [\rho_1,\ldots  
,\rho_m]_i \, 
x^{m-i}
$$
appartiene a $I=\Im ({\cal P})$.

Supponiamo pertanto che la $(C_s)$ sia vera per ogni $m\geq  s\geq t$  e 
proviamola per $s=t-1$.

Consideriamo il polinomio contenuto in $\Im ({\cal P})$ 
\begin{eqnarray*}
p_t &:= & \prod_{i\neq t}(x-\rho_i)\cdot \prod_{j=1}^{h_t} 
(y-\sigma_{t,j})= \\ 
 & = & -\sum_{i=0}^{m-1}\, [\rho_1,\ldots ,\rho_{t-1},\rho_{t+1},\ldots 
,\rho_m]_i \, x^{m-1-i}y^{h_t}\; + \\
 & & +\; \sum _{\tau \in A_{m-t+1}} \beta_{\tau} 
\tau \; +\; \sum _{\tau \in M_{m-t+1}}\gamma_{\tau} \tau \equiv \\
 & &\mbox {(usando la $(C'_t)$ per inglobare la seconda sommatoria 
nella terza)} \\
 & \equiv & x^{m-1}y^{h_t} 
-\sum_{i=1}^{m-1}\, [\rho_1,\ldots ,\rho_{t-1},\rho_{t+1},\ldots 
,\rho_m]_i \, x^{m-1-i}y^{h_t}\; + \\
 & & + \; \sum _{\tau \in 
M_{m-t+1}}\delta_{\tau} \tau \equiv \\
 & & \mbox {(usando prima la $(C_{m-1})$ e successivamente la 
$(C'_t)$ 
per ridurre} \\ 
 & & \mbox{ il primo termine)} \\
& \equiv & 
\sum_{i=1}^{m-1}\, \{[\rho_1,\ldots ,\rho_{m-1}]_i - 
[\rho_1,\ldots ,\rho_{t-1},\rho_{t+1},\ldots ,\rho_m]_i \}
\, x^{m-1-i}y^{h_t}\; + \\ 
 & & + \; \sum _{\tau \in 
M_{m-t+1}}\varepsilon_{\tau} \tau = \\
 & = & (\rho_t-\rho_m)
\sum_{i=1}^{m-1}\, -[\rho_1,\ldots ,\rho_{t-1},\rho_{t+1},\ldots 
,\rho_{m-1}]_{i-1} \, x^{m-1-i}y^{h_t}\; + \\ 
 & & +\; \sum _{\tau \in 
M_{m-t+1}}\varepsilon_{\tau} \tau = \\
 & & \mbox {(posto $i$ in luogo di $i-1$)}\\
 & = & (\rho_t-\rho_m)\{x^{m-2}y^{h_t}-
\sum_{i=1}^{m-2}\, [\rho_1,\ldots ,\rho_{t-1},\rho_{t+1},\ldots 
,\rho_{m-1}]_i \, x^{m-2-i}y^{h_t}\}\; + \\
 & & + \; \sum _{\tau \in 
M_{m-t+1}}\varepsilon_{\tau} \tau \equiv \\
 & & \mbox {(utilizzando ora  la $(C_{m-2})$ e successivamente la 
$(C'_t)$ 
per ridurre } \\ 
 & & \mbox{ il primo termine e operando le semplificazioni come 
nei passaggi } \\
 & & \mbox{ precedenti)} \\
 & \equiv & 
(\rho_t-\rho_m)(\rho_t-\rho_{m-1})\{x^{m-3}y^{h_t}+ \\
 & & -\sum_{i=1}^{m-3}\, [\rho_1,\ldots 
,\rho_{t-1},\rho_{t+1},\ldots 
,\rho_{m-2}]_i \, x^{m-3-i}y^{h_t}\}\; +\; \sum _{\tau \in 
M_{m-t+1}}\eta_{\tau} \tau \equiv \\
 & & \\
 & & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
 & & \\
 & \equiv & 
(\rho_t-\rho_m)(\rho_t-\rho_{m-1})\cdots (\rho_t-\rho_{t+1})
\{x^{t-1}y^{h_t}+ \\
 & & -\sum_{i=1}^{t-1}\, [\rho_1,\ldots ,\rho_{t-1}]_i \, 
x^{t-1-i}y^{h_t}\}\; +\; \sum _{\tau \in 
M_{m-t+1}}\zeta_{\tau} \tau \\ 
 & \equiv & 0 \indent \mbox{(modulo $\Im ({\cal P})$)}
\end{eqnarray*}
da cui la $(C_{t-1})$. \hfill $\Box$


\newpage \noindent
{\bf Appendice 5 -- Sulla dimostrazione della Prop.~11.}
\vskip .2in
A titolo chiarificatore, ripercorriamo --- facendo riferimendo ad 
un caso concreto --- il ragionamento fatto nella dimostrazione 
della Prop.~11. 

Sia dato il multiinsieme algebrico $\wp$:
$$
\begin{array}[t]{llll}
P_1=(0,0,0)\; 
&
\left[
\begin{array}{ccc}
(0,0,0)& (1,0,0)&\ \\
(0,1,0)& \ &\ 
\end{array} 
\right.  
&
\left.
\begin{array}{c}
(0,0,1) \\
\ 
\end{array} 
\right] 
&
\ 
\\
\ & \ & \ & \ \\
P_2=(0,0,1)\;
&
\left[
\begin{array}{ccc}
(0,0,0)& (1,0,0)& (2,0,0) 
\end{array} 
\right. 
&
\left.
\begin{array}{cc}
(0,0,1)& (1,0,1)
\end{array} 
\right] 
&
\ 
\\
\ & \ & \ & \ \\
P_3=(1,1,0)\;
&
\left[
\begin{array}{ccc}
(0,0,0)& (1,0,0)& \ \\
(0,1,0)& (1,1,0)& \ 
\end{array} 
\right.
&
\begin{array}{cc}
(0,0,1)& (1,0,1) \\
(0,1,1) & \ 
\end{array} 
&
\left. 
\begin{array}{c}
(0,0,2) \\
(0,1,2) 
\end{array}
\right]
\\
\ & \ & \ & \ \\
P_4=(1,1,1)\;
&
\left[
\begin{array}{c}
(0,0,0)\\
(0,1,0)
\end{array} 
\right]
&
\ 
&
\ 
\end{array}
$$
La sua rappresentazione umbrale ${\cal R}={\cal R}(\wp)$ (qui, 
volutamente, gli elementi di ${\cal R}$ vengono elencati secondo 
un ordine casuale) ed il corrispondente diagramma ${\cal D}({\cal 
R})$ sono dati dalla tabella 
$$
\begin{array}{ccc}
{\cal  R}&\indent   \longleftrightarrow   &\indent 
{\cal  D}({\cal  R})\\ 
\ &\ &\ \\
R_1=(10,\; 10,\; 02)&\indent \longleftrightarrow &\indent 
{\bf d}_1=(0,\;  0,\; 0)\\
R_2=(10,\; 11,\; 02)&\indent \longleftrightarrow &\indent 
{\bf d}_2=(0,\; 1,\; 0)\\
R_3=(01,\; 00,\; 11)&\indent \longleftrightarrow &\indent 
{\bf d}_3=(1,\; 0,\; 0)\\
R_4=(11,\; 10,\; 01)&\indent \longleftrightarrow &\indent 
{\bf d}_4=(2,\; 0,\; 0)\\
R_5=(00,\; 00,\; 11)&\indent \longleftrightarrow &\indent 
{\bf d}_5=(3,\; 0,\; 0)\\
R_6=(10,\; 10,\; 01)&\indent \longleftrightarrow &\indent 
{\bf d}_6=(0,\; 0,\; 1)\\
R_7=(02,\; 00,\; 10)&\indent \longleftrightarrow &\indent 
{\bf d}_7=(4,\; 0,\; 0)\\
R_8=(01,\; 00,\; 00)&\indent \longleftrightarrow &\indent 
{\bf d}_8=(1,\; 0,\; 1)\\
R_9=(10,\; 10,\; 00)&\indent \longleftrightarrow &\indent 
{\bf d}_9=(0,\; 0,\; 2)\\
R_{10}=(00,\; 01,\; 00)&\indent \longleftrightarrow &\indent 
{\bf d}_{10}=(1,\; 1,\; 0)\\
R_{11}=(00,\; 00,\; 00)&\indent \longleftrightarrow &\indent 
{\bf d}_{11}=(2,\; 0,\; 1)\\
R_{12}=(00,\; 00,\; 01)&\indent \longleftrightarrow &\indent 
{\bf d}_{12}=(1,\; 0,\; 2)\\
R_{13}=(10,\; 11,\; 00)&\indent \longleftrightarrow &\indent 
{\bf d}_{13}=(0,\; 1,\; 1)\\
R_{14}=(11,\; 10,\; 00)&\indent \longleftrightarrow &\indent 
{\bf d}_{14}=(3,\; 0,\; 1)\\
R_{15}=(00,\; 00,\; 10)&\indent \longleftrightarrow &\indent 
{\bf d}_{15}=(0,\; 0,\; 3)\\
R_{16}=(10,\; 11,\; 01)&\indent \longleftrightarrow &\indent 
{\bf d}_{16}=(0,\; 1,\; 2)\\
R_{17}=(11,\; 11,\; 00)&\indent \longleftrightarrow &\indent 
{\bf d}_{17}=(2,\; 1,\; 0)\\
R_{18}=(01,\; 00,\; 10)&\indent \longleftrightarrow &\indent 
{\bf d}_{18}=(2,\; 0,\; 2)\\
R_{19}=(10,\; 11,\; 10)&\indent \longleftrightarrow &\indent 
{\bf d}_{19}=(1,\; 0,\; 3)\\
R_{20}=(10,\; 10,\; 10)&\indent \longleftrightarrow &\indent 
{\bf d}_{20}=(0,\; 1,\; 3)
\end{array}
$$
\newpage
Dobbiamo dimostrare che l'insieme delle classi di equivalenza (modulo 
$\Im(\wp)$) dei monomi 
\begin{eqnarray*}
\ &
\begin{array}{lllll}
1\; & x_1\; & x_1^2\; & x_1^3\; & x_1^4\\ 
x_2\; & x_1x_2\; & x_1^2x_2 & \ & \ 
\end{array}  \indent 
&
\begin{array}{llll}
x_3\; & x_1x_3\; & x_1^2x_3\; & x_1^3x_3\\ 
x_2x_3\; & \ & \ & \ 
\end{array}
\\
\ &\ &\ \\
\ & 
\begin{array}{lllll}
x_3^2\; & x_1x_3^2\; & x_1^2x_3^2 &\ &\ \\ 
x_2x_3^2\; & \ & \ &\ &\ 
\end{array} \indent 
&
\begin{array}{ll}
x_3^3\; & x_1x_3^3\\ 
x_2x_3^3\; & \ 
\end{array}
\end{eqnarray*}
costituisce una base monomiale  per  $K[X]/\Im(\wp)$,  cio\`e  che 
ogni polinomio 
\begin{eqnarray*}
p(x_1,\ldots,x_n) & = & p_0[1,x_1,x_1^2,x_1^3,x_1^4,x_2,x_1x_2,x_1^2x_2] + 
p_1[1,x_1,x_1^2,x_1^3,x_2]\cdot x_3 +\\
\ &\ & + p_2[1,x_1,x_1^2,x_2]\cdot x_3^2 + 
p_3[1,x_1,x_2]\cdot x_3^3\in \Im(\wp)
\end{eqnarray*}
(qui le parentesi quadre stanno ad indicare che il 
polinomio $p[\eta,\zeta,\ldots]$ \`e una combinazione lineare dei 
monomi $\eta,\zeta,\ldots$) \`e identicamente nullo.

In ${\cal D(R)}$ il massimo valore assunto dalla terza  componente 
\`e $h=3$; consideriamo pertanto l'insieme 
$$
D_3=\{ {\bf d}^{(1)}={\bf d}_{15}=(0,0,3),\indent 
{\bf d}^{(2)}={\bf d}_{19}=(1,0,3),\indent 
{\bf d}^{(3)}={\bf d}_{20}=(0,1,3)\}
$$
e l'insieme delle sue controimmagini tramite 
$\underline{\delta}_{\underline{\cal R}}$:
\begin{eqnarray*}
{\cal R}_3 &= 
& \{ R^{(1)}=R_{15}=(00,00,10),\indent  
R^{(2)}=R_{19}=(10,11,10),\\
\ & \ & R^{(3)}=R_{20}=(10,10,10)\}.
\end{eqnarray*}
[{\bf NB.} Se, inizialmente, avessimo considerato i punti in ${\cal 
R}$ in un diverso ordine, l'insieme  ${\cal  R}_3$  sarebbe  stato 
diverso da quello qui effettivamente ottenuto ma  tutta  l'analisi 
che segue si sarebbe potuta ripetere esattamente allo stesso modo. 
In effetti un diverso ordine in ${\cal R}$  provocherebbe  ---  al 
pi\`u --- una permutazione degli  indici  in  alto  degli  insiemi 
${\cal T}_3^{(j)}$ e lascerebbe quindi inalterato l'insieme 
${\cal T}_3$.]

\noindent 
Consideriamo $ R^{(1)}=R_{15}=(00,00,10)\in {\cal R}_3$; poich\'e 
l'ultima coordinata di $\underline{\delta}_{\underline{\cal R}}(R^{(1)})=
{\bf d}^{(1)}={\bf d}_{15}=(0,0,3)$ \`e ``3'', devono esservi in 
${\cal R}$ altri tre punti --- che precedono $R_{15}=R^{(1)}$ --- 
le cui coordinate sono della forma $(00,00,-\ -)$; l'insieme di questi 
punti viene indicato con ${\cal T}_3^{(1)}$; in effetti si tratta 
dell'insieme 
\begin{eqnarray*}
{\cal T}_3^{(1)} & =& 
\{R_{5}=(00,\; 00,\; 11),\indent  R_{11}=(00,\; 00,\; 00), \\ 
\ & \ & R_{12}=(00,\; 00,\; 01), \indent R_{15}=(00,\; 00,\; 10)\}.
\end{eqnarray*}
Analogamente, in corrispondenza agli altri due punti di ${\cal R}_3$, 
si trovano gli insiemi
\begin{eqnarray*}
{\cal T}_3^{(2)} & = &
\{R_{2}=(10,\; 11,\; 02), \indent R_{13}=(10,\; 11,\; 00), \\ 
\ & \ & R_{16}=(10,\; 11,\; 01),\indent R_{15}=(10,\; 11,\; 10)\},
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
{\cal T}_3^{(3)} & =& 
\{R_{1}=(10,\; 10,\;  02),\indent  R_{6}=(10,\;  10,\;  01), \\ 
\ & \ & R_{9}=(10,\; 10,\; 00),\indent R_{20}=(10,\; 10,\; 10)\}.
\end{eqnarray*}
Posto 
$$
{\cal T}_3:={\cal T}_3^{(1)}\cup {\cal T}_3^{(2)}\cup {\cal 
T}_3^{(3)},
$$
si ha 
$$
\pi_2({\cal T}_3)=\pi_2({\cal R}_3)=\{(00,00),\; 
(10,11),\; (10,10)\}
$$
\begin{eqnarray*}
\wp_3=U(\pi_2({\cal T}_3))&
= & \{((0,0),(0,0))\indent ((1,1),(0,0))\indent ((1,1),(0,1))\}=\\
\ & \ & \  \\
\ & = & \{(0,0), [(0,0)];\indent (1,1), [(0,0), (0,1)]\}
\end{eqnarray*}
e
$$
\tau :\indent 
((0,0),(0,0))\mapsto {\cal T}_3^{(1)};\indent 
((1,1),(0,0))\mapsto {\cal T}_3^{(3)};\indent  
((1,1),(0,1))\mapsto {\cal T}_3^{(2)}.
$$
{\bf NB.} All'elemento $((a_1,a_2),(i_1,i_2))\in \wp_3$ la bigezione 
$\tau$ fa corrispondere il ${\cal T}_3^{(j)}$ i cui elementi sono 
della forma $((a_1,i_1),(a_2,i_2),(-,-))$.

Consideriamo ora un polinomio $f(x_1,x_2,x_3)\in \Im(\wp)$ e fissiamo 
la nostra attenzione --- ad esempio --- sul punto 
$(Q,{\bf j})=((1,1),(0,1))$ di $\wp_3$, sulla sua immagine 
${\cal T}_3^{(2)}$ in $\tau$ e sulla valutazione umbrale 
$$
U({\cal T}_3^{(2)})= \{(1,1,0),\;[(0,1,0),(0,1,1),(0,1,2)];\indent 
(1,1,1),\;[(0,1,0)]\}.
$$
La relazione $U({\cal T}_3^{(2)})\subseteq \wp$ 
garantisce che, valutando in $x_1=x_2=1$ la derivata rispetto ad $x_2$ 
di $f$ si ottiene un  polinomio in $x_3$ che deve ammettere la radice 
tripla $x_3=0$ e la radice $x_3=1$ e quindi deve essere almeno di 
quarto grado. 

\noindent
Similmente, se fissiamo l'attenzione sugli altri due punti 
$(Q,{\bf j})=((1,1),(0,0))$ e, rispettivamente, 
$(Q,{\bf j})=((0,0),(0,0))$ di $\wp_3$, otteniamo che anche le 
valutazioni di $f$  in $x_1=x_2=1$ e in  $x_1=x_2=0$ devono essere 
polinomi in $x_3$ almeno di quarto grado.

Nel caso in cui $f(x_1,x_2,x_3)=p(x_1,x_2,x_3)$ ci\`o comporta che 
il coefficiente $p_3[1,x_1,x_2]$ di $x_3^3$ in $p$ 
deve annullarsi in $(1,1)$ insieme con la sua derivata 
prima dispetto a $x_2$ ed in $(0,0)$, cio\`e deve appartenere 
all'ideale del multiinsieme algebrico $\wp_3$. Poich\'e la base 
monomiale che l'operatore ${\cal D}$ associa a $\wp_3$ \`e proprio 
costituita dai monomi $1,x_1,x_2$, si pu\`o --- applicando l'ipotesi 
induttiva --- concludere che $p_3[1,x_1,x_2]$ \`e identicamente nullo. 

A questo punto abbiamo quindi 
\begin{eqnarray*}
p(x_1,\ldots,x_n) & = & p_0[1,x_1,x_1^2,x_1^3,x_1^4,x_2,x_1x_2,x_1^2x_2] + 
p_1[1,x_1,x_1^2,x_1^3,x_2]\cdot x_3 + \\
\ & \ &  + p_2[1,x_1,x_1^2,x_2]\cdot x_3^2;
\end{eqnarray*}
considerando ora $D_2$ (in luogo di $D_3$) possiamo ripercorrere tutto 
il ragionamento precedente fino ad ottenere $p_2[1,x_1,x_1^2,x_2]\equiv 0$, 
etc. etc. \hfill $\Box$

\end{document}

