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\eightpoint
\leftline{S\'eminaire Lotharingien de Combinatoire, B23a, 1990, 28                                  pp.}
\leftline{[Formerly: Publ. I.R.M.A. Strasbourg, $\oldstyle 1993$, 
460/S--23, p. 5--37.]}

\tenpoint

\auteurcourant={P. CARTIER}
\titrecourant={NOUVELLES AVENTURES AU PAYS DES
 q-ANALOGUES}

\vskip 1.5cm
\centerline{{\bf NOUVELLES AVENTURES AU PAYS DES $q$-ANALOGUES}}
\vskip 5pt
\centerline{{\bf (\'EQUATION DE YANG-BAXTER)}}
\vskip 2.8mm
\centerline{\sevenrm PAR}
\vskip 2.8mm
\centerline{{\petcap Pierre} CARTIER \footnote{$(^*)$}{Notes r\'edig\'ees 
par E. Roblet, \'el\`eve \`a l'\'Ecole Normale Sup\'erieure de Paris, d'apr\`es
trois expos\'es de Pierre Cartier au S\'eminaire Lotharingien de
Combinatoire des 8, 9 et 10 mai 1989 \`a Bayreuth.}} 
\vskip 24pt 

\section Introduction|La M\'ecanique Statistique des syst\`emes
atomiques (cristaux, \dots\thinspace) offre un abondant
r\'eservoir de probl\`emes combinatoires. La difficult\'e
essentielle est le calcul exact, ou asymptotique, des sommes
compliqu\'ees qu'on appelle la {\it fonction de partition de
Boltzmann et Gibbs}. Il y a peu de cas o\`u l'on sache faire les
calculs complets ; voici deux cas notables : 

le mod\`ele d'Ising \`a deux dimensions (Onsager, 1940) ; 

le mod\`ele de la glace (Lieb, 1967).

\noindent
Ces deux mod\`eles se r\'ef\`erent \`a des situations \`a
deux dimensions.

Nous nous proposons, dans ces expos\'es, de donner une
introduction  aux probl\`emes combinatoires li\'es au mod\`ele
de la glace. On y voit tout d'abord une extension \`a deux
dimensions du calcul matriciel. Ce dernier est adapt\'e par
exemple \`a l'\'etude des circuits \'electriques en s\'erie

\midinsert
\centerline{\picture 112mm by 20.8mm (figI) scaled {500}}
\endinsert

\noindent
qui  am\`ene  \`a l'\'etude des puissances d'une matrice.  Dans
notre cas, on a deux types de composition, horizontale et
verticale, comme le sugg\`erent les figures ci-dessous.
Une telle interpr\'etation graphique du calcul tensoriel a \'et\'e 
introduite par l'imaginatif Roger Penrose. 

\midinsert
\centerline{\picture 137mm by 72.6mm (figII) scaled {500}}
\endinsert

La m\'ethode de Lieb a \'et\'e simplifi\'ee par Baxter [2] qui a 
r\'ealis\'e l'importance de la relation, dite de Yang-Baxter, et
qui s'\'ecrit 
$$
T^{1,2} T^{2,3} T^{1,2}=T^{2,3} T^{1,2} T^{2,3}. 
$$
C'est \`a cet endroit que s'insinue le $q$-{\it calcul}. Une
solution  \'el\'ementaire de l'\'equation de Yang-Baxter est
fournie par un op\'erateur de sym\'etrie 
$T(1):x\otimes  y\rightarrow y\otimes x$ 
dans un produit tensoriel $V\otimes  V$. Le mod\`ele de la
glace sugg\`ere une d\'eformation $T(q)$ de $T(1)$ qui satisfait
\`a l'\'equation de Yang-Baxter. Il s'agit de trouver les valeurs
propres d'un op\'erateur $R$ d\'eduit de $T(q)$ et op\'erant dans
l'espace tensoriel $V_N=V\otimes \cdots \otimes V$ ($N$
facteurs). Comme $V$ est ici de  dimension~2, on peut chercher
\`a utiliser une $q$-d\'eformation du calcul classique de
Clebsch-Gordan.

Dans ces expos\'es, nous avons donn\'e une id\'ee des
m\'ethodes de la  M\'ecanique  Statistique, explicit\'e les liens
entre l'\'equation de Yang-Baxter, l'alg\`ebre de Hecke et le
groupe des tresses, et donn\'e une introduction \`a la
$q$-d\'eformation du calcul tensoriel. On verra en particulier
appara\^\i tre de mani\`ere naturelle les {\it coefficients}
$q$-{\it binomiaux de Gauss}, et une alg\`ebre de polyn\^omes
non commutatifs en deux variables $x$, $y$ telles que $yx=qxy$.
Pour aller jusqu'\`a la solution du probl\`eme de la glace, il
aurait fallu introduire les groupes quantiques, qui sont des
$q$-d\'eformations des groupes de sym\'etrie naturels.

\rem Remerciements|Je remercie les organisateurs du
S\'eminaire Lotha\-rin\-gien de Combinatoire, qui m'ont donn\'e
l'occasion de faire cette s\'erie d'expos\'es dans le cadre
tr\`es inspirant de la Franconie. Je remercie aussi mes
auditeurs \`a l'\'Ecole Normale Sup\'erieure, qui ont servi de
cobayes pour la mise au point de ce cours. Plus
particuli\`erement, je remercie Emmanuel Roblet pour
l'intelligence et le soin apport\'es \`a la r\'edaction, la mise au
point et la typographie de ces notes.

\section 1.  Introduction \`a la m\'ecanique statistique
discr\`ete|Les mod\`eles discrets de la m\'ecanique statistique
\'etudient, en fonction de la temp\'erature, les configurations
d'un syst\`eme fini de ``particules" (atomes,
mol\'ecules,\thinspace\dots\thinspace) existant dans diff\'erents
\'etats. On s'int\'eresse \'egalement au comportement
asymptotique de ces mod\`eles, lorsque le nombre de
``particules" tend vers l'infini, ou lorsque la temp\'erature tend
vers z\'ero ou vers l'infini.  On utilisera les notations et les
d\'efinitions  suivantes :

$\Lambda$ est l'ensemble des {\it sites} occup\'es par les
atomes et, pour $x\in \Lambda$, $S_x$ est l'ensemble des \'etats
possibles de la particule plac\'ee en~$x$ ; 

\goodbreak
$\Omega= \prod\limits_{x\in \Lambda } S_x$
d\'esigne l'ensemble des {\it configurations}. Une configuration
est donc une fonction $\omega$ qui donne, pour chaque site~$x$,
l'\'etat $\omega_x\in S_x$ de la particule en~$x$ ;

$H : \Omega \rightarrow {\bboard R}$  est le {\it hamiltonien} du
syst\`eme ; cette fonction est d\'eduite de consid\'erations
physiques et $H(\omega)$ repr\'esente l'\'energie de la
configuration~$\omega$ ;

$\mu_0 : \Omega \rightarrow  {\bboard R}_+$ est la {\it loi a
priori} ; on n'impose pas la condition de normalisation
$$
\sum_{\omega \in \Omega} \mu_0(\omega)=1. 
$$
Plut\^ot que la {\it temp\'erature} T, on utilise la variable 
$\beta =1/kT$, o\`u $k$ est la constante de Boltzmann. 

On note $Z$ la {\it fonction de partition} du mod\`ele ; son calcul
exact ou son \'evaluation asymptotique est essentielle, car elle
permet de calculer toutes les grandeurs thermodynamiques
usuelles :
$$
Z(\beta)=\sum_{\omega \in \Omega} e^{-\beta H(\omega)}
\mu_0(\omega). 
$$
On d\'efinit enfin la valeur moyenne thermique d'une fonction 
$A:\Omega \rightarrow {\bboard R}$ par
$$
\langle A\rangle= {1\over Z (\beta)}
\sum_{\omega \in \Omega} A(\omega)
e^{-\beta H(\omega)} \mu_0(\omega).
$$
C'est en fait l'int\'egrale de la fonction $A$ sur $\Omega$  par
rapport \`a la loi de probabilit\'e~$\mu$ d\'efinie par
$$
\mu(\omega)={e^{-\beta H(\omega)} \mu_0(\omega)\over
Z(\beta)},
$$
et appel\'ee {\it loi canonique de Gibbs}.

\medskip
\'Etudions les limites de la valeur moyenne de A.

\decale 1)|Dans le cas o\`u la temp\'erature tend vers l'infini,
c'est-\`a-dire lorsque $\beta$ tend vers z\'ero, on a : 
$$
\langle A\rangle\rightarrow
{\sum\limits_{\omega \in \Omega} A(\omega)
\mu_0(\omega)\over \sum\limits_{\omega \in \Omega}
\mu_0(\omega)}.
$$
La loi de probabilit\'e des configurations \`a tr\`es haute
temp\'erature est donc de la forme $\mu_\infty (\omega) =
c_\infty \mu(\omega )$ o\`u la constante $c_\infty$  est choisie
pour qu'on ait la normalisation $\sum\limits_{\omega \in \Omega}
\mu_\infty (\omega ) = 1$.

\decale 2)|Notons $\Omega _0$ le sous-ensemble de $\Omega$ 
constitu\'e des configurations o\`u $H$ est minimal et remarquons
que la valeur moyenne de $A$ est in\-va\-riante lorsqu'on
ajoute \`a $H$ une constante ; on peut donc supposer que
$\min\{H(\omega ), \omega \in  \Omega \} = 0$. L'ensemble
$\Omega_ 0$ s'interpr\`ete physiquement comme l'ensemble des
\'etats stables \`a basse temp\'erature.  On montre alors
facilement que, dans le cas o\`u la temp\'erature tend vers
z\'ero par valeurs positives, c'est-\`a-dire, pour $\beta$
tendant vers l'infini, on a : $$
\langle A\rangle\rightarrow
{\sum\limits_{\omega \in \Omega_0} A(\omega)
\mu_0(\omega)\over \sum\limits_{\omega \in \Omega_0}
\mu_0(\omega)}.
$$
Par cons\'equent, la loi \`a $T = 0$ est la loi de probabilit\'e
induite sur l'ensemble $\Omega_ 0$ des \'etats d'\'energie
minimale par un multiple convenable $c_0\mu_0$ de~$\mu_0$.

Le cas le plus fr\'equent est celui o\`u la loi {\it a priori} est
{\it uniforme} ; on peut alors se ramener au cas o\`u $\mu_0
(\omega ) = 1$ pour tout $\omega$. Si l'on note $|X|$ le cardinal
d'un ensemble fini~$X$, on a alors 
$$\eqalign{
\mu_\infty (\omega ) &= |\Omega|^{-1},\quad
\hbox{pour la loi \`a haute temp\'erature ;}\cr
\mu_0 (\omega_0) &= 
|\Omega _0|^{-1},\quad
\hbox{ pour la loi \`a basse temp\'erature ;}\cr}
$$
avec $\omega \in  \Omega$  et  $\omega _0\in  \Omega_ 0$.
L'expression de la fonction de partition se simplifie :
$$
Z(\beta)=\sum_{\omega\in \Omega}
e^{-\beta H(\omega)}. 
$$

\section 2.  Grandeurs thermodynamiques|L'{\it \'energie libre}
$F$ de Gibbs est donn\'ee par $Z(\beta ) = e^{-\beta F(\beta
)}$ ce qui nous donne $F(\beta )\! =\! (-1/\beta) \Log Z(\beta
)$. L'{\it \'energie} $E$ est la valeur moyenne de~$H$ ; on
d\'emontre ais\'ement les formules suivantes : 
$$
E=\langle H\rangle=-{\partial(\Log Z(\beta))\over \partial
\beta}= F-T{\partial F\over \partial T}.
$$
Notons $f$ la densit\'e de $\mu$ par rapport \`a $\mu_0$. Suivant
la d\'efinition de K\"uhlback, l'{\it entropie} $S$ est  donn\'ee
par :
$$
S(\beta)=-k\sum_{\omega\in \Omega} \mu(\omega)\Log
{\mu(\omega)\over \mu_0(\omega)}
=-k\sum_{\omega\in \Omega} \mu_0(\omega)
(f\Log f)(\omega).
$$
Si la loi a priori $\mu_0$ est
uniforme sur $\Omega$, les valeurs limites de $S$ sont $k\Log
|\Omega |$ (resp. $k \Log |\Omega_ 0|$) lorsque $T$ tend vers
l'infini (resp. z\'ero). On a les \'egalit\'es suivantes :
$$
S={E-F\over T}=-{\partial F\over \partial T}=k\beta^2
{\partial F\over \partial \beta}.
$$

\sectiona 3.  Le mod\`ele d'Ising \`a une dimension|

\ssection {\rm a)} Pr\'esentation|Il s'agit d'une cha\^\i ne 
$\Lambda$ de $N$ atomes identiques poss\'edant chacun un
moment magn\'etique pouvant prendre deux orientations. On
mod\'elise l'ensemble des \'etats possibles d'un atome $x$ par 
$S_x= \{-1,1\}$, de sorte que $\Omega  = \{-1,1\}^N$. Un
\'el\'ement de $\Omega$  est donc un vecteur $\omega  =
(\omega_ 1,\ldots ,\omega_ N)$ \`a $N$ composantes \'egales \`a
$+1$ ou \`a $-1$. La {\it loi a priori} est uniforme et vaut~1.

\midinsert
\centerline{\picture 96.3mm by 28.5mm (fig1) scaled {700}}
\endinsert
                
On suppose que les atomes interagissent avec leur(s) plus proche(s)
voisin(s), ainsi qu'avec un champ magn\'etique ext\'erieur. Le
hamiltonien est donn\'e par 
$$
H(\omega)=J\sum_{i=1}^{N-1} \omega_i\omega_{i+1}+B\sum
_{i=1}^N \omega_i  ,
$$
o\`u $J$ et $B$ sont des nombres r\'eels, qui  d\'ecrivent
respectivement l'intensit\'e de l'interaction entre deux plus
proches voisins et l'intensit\'e du champ magn\'etique
ext\'erieur.

Examinons, en l'absence de champ magn\'etique (i.e., $B = 0$), les
confi\-gu\-ra\-tions o\`u $H$ est minimal ; elles d\'ependent du signe
de~$J$.

\decale 1)|Si $J < 0$, $H$ est minimal lorsque les moments des
atomes sont tous de m\^eme sens ; il y a deux confi\-gu\-ra\-tions
possibles :

\midinsert
\centerline{\picture 137mm by 28.9mm (fig2) scaled {700}}
\endinsert

\noindent
C'est le mod\`ele {\it ferromagn\'etique}.

\decale 2)|Si $J > 0$, $H$ est minimal lorsque les moments des
atomes sont altern\'es ; l\`a encore, on obtient deux
confi\-gu\-ra\-tions :

\midinsert
\centerline{\picture 138mm by 30.6mm (fig3) scaled {700}}
\endinsert

\noindent  
C'est le mod\`ele {\it antiferromagn\'etique}.

\rema Remarques| 
\decale 1)|Dans le cas o\`u $B = 0$, le hamiltonien $H$
est invariant par la sym\'etrie $\omega \rightarrow 
-\omega $ ; on peut donc pr\'evoir que $|\Omega_ 0|$ est pair. 

\decale 2)|On a  $|\Omega_0| = 2$ alors que $|\Omega | = 2^N$,
o\`u $N$ est de l'ordre du nombre d'Avogadro, c'est-\`a-dire 
$6\times 10^{26}$.  En particulier,  lorsque la temp\'erature 
cro\^\i t  de  0 \`a $+\infty$, l'entropie s'accro\^\i t de $k
\Log |\Omega |/|\Omega_0|$, approximativement \'egal \`a $kN
\Log 2$. On rappelle que, si $N$ est le nombre d'Avogadro, $kN$
est la constante $R$ des gaz parfaits \'egale \`a
$8,32\times10^3$ J/${}^o$K. 

\decale 3)|Si $B$ n'est pas nul, $\Omega _0$ est
modifi\'e et en particulier, n'est plus n\'ecessairement invariant
par la sym\'etrie $\omega  \rightarrow  -\omega $ : on dit qu'il y
a {\it brisure de sym\'etrie}.

\ssection {\rm b)} Calcul de la fonction de partition ; conditions
aux limites cycliques|La fa\c con de mener les calculs ---  ici
comme au paragraphe~4 ---  est la suivante : on examine
l'interaction limit\'ee d'un atome avec un atome voisin ainsi
qu'avec le champ magn\'etique. Le hamiltonien de cette
interaction limit\'ee peut prendre quatre valeurs possibles
suivant l'\'etat de l'atome consid\'er\'e et celui de son voisin ;
ces quatre valeurs sont les $T_{\sigma\tau}$  d\'efinis
ci-dessous :  on pose $u = e^{-\beta J}$, $v=e^{-\beta B}$ et
$T_{\sigma\tau} =u^{\sigma\tau}v^{\tau}$ ($\sigma$ et $\tau$
varient dans $\{-1,1\}$). On appelle {\it matrice de transfert}
et on note $T$ la matrice carr\'ee $2\times 2$ dont les
\'el\'ements sont les $T_{\sigma\tau}$ :
$$
T=\pmatrix{T_{1,1}&T_{1,-1}\cr
T_{-1,1}&T_{-1,-1}\cr}
=\pmatrix{uv&u^{-1}v^{-1}\cr
u^{-1}v&uv^{-1}\cr}. 
$$

On va s'attacher ensuite \`a d\'eterminer la fonction de
partition (quantit\'e globale) gr\^ace \`a la matrice de transfert
(quantit\'e locale). Pour pouvoir mener le calcul jusqu'au bout,
on suppose que le $N$-i\`eme atome interagit avec le premier,
c'est-\`a-dire que la cha\^\i ne d'atomes est cyclique ; cette
hypoth\`ese est physiquement justifi\'ee par la taille de~$N$. Les
expressions de $H$ et de $Z$ sont alors :
$$\displaylines{
H(\omega)=J\sum_{i=1}^N \omega_i
\omega_{i+1}+B\sum_{i=1}^N \omega_i\qquad
{\rm avec}\ \omega_{N+1}=\omega_1\,;\cr
Z(\beta)=\sum_{\omega_1\in \{-1,+1\}}
U_{\omega_1\omega_1},\cr
\noalign{\hbox{o\`u l'on a pos\'e}}
U_{\omega_1\omega_{N+1}}=\sum_{(\omega_2,\ldots, \omega_N)
\in \{-1,1\}^{N-1}}
T_{\omega_1\omega_2}T_{\omega_2\omega_3}\ldots
T_{\omega_N\omega_{N+1}}.\cr}
$$
La matrice $U$ est une matrice $2\times 2$ et l'on constate que
$U_{\sigma\tau}$ est l'\'el\'ement d'indice $\sigma  \tau $ de la matrice
$T^N$. Nous avons donc prouv\'e le r\'esultat suivant.

\th Th\'eor\`eme 1|La fonction de partition $Z(\beta )$ est la
trace de la matrice $T^N $, c'est-\`a-dire  $Z(\beta ) = \tr
(T^N)$. 
\finth

Ce proc\'ed\'e de calcul de la fonction de partition
s'appelle la {\it m\'ethode de la matrice de transfert} ; elle
s'applique en toute dimension, mais on ne sait terminer le calcul
exact qu'en dimension 1 et 2. Nous avons besoin ici du r\'esultat
suivant.

\th Th\'eor\`eme {\rm [Perron-Frobenius]}|Soit $T = (t_{ij})$ une
matrice r\'eelle $n\times n$ avec $t_{ij} > 0$ quels que soient
$i$ et~$ j$. La valeur propre complexe de $T$ de plus grand
module est simple et strictement positive : $\lambda_1 >
|\lambda_2| \ge \cdots \ge  |\lambda_n|$. De plus, il existe un
vecteur propre pour $\lambda_1$ dont toutes les coordonn\'ees
sont  strictement positives.
\finth

Soient alors $\lambda_1$ et $\lambda_2$ les valeurs propres de 
$T$ avec $\lambda_1> |\lambda_2|$ ; il existe une matrice
$2\times 2$ inversible $P$ telle que $T = P^{-1}DP$ donc $T^N
= P^{-1}D^NP$ avec 
$$
D=\pmatrix{\lambda_1&0\cr
0&\lambda_2\cr}. 
$$

De l'\'egalit\'e des traces $\tr(AB) = \tr(BA)$, on tire alors
$Z(\beta ) = \lambda_1^N +\lambda_2^N$, donc : 
$$
{1\over N}\Log Z(\beta) \rightarrow \Log \lambda_1\qquad
(N\rightarrow +\infty).
$$
On peut aussi calculer 
$\lambda_1 = e^{-\beta J} {\rm cosh}(\beta B) + 
[e^{-2\beta J} {\rm sinh}^2
(\beta B) + e^{2\beta J}]^{1/2}$ et exprimer ainsi, en fonction
des param\`etres $J$ et $B$ et de la temp\'erature~$T$, les
quantit\'es thermodynamiques {\it par atome} [2].

L'\'energie par atome : $\displaystyle \lim_{N\rightarrow
+\infty}
{F\over N}=-kT\Log \lambda_1$.

L'entropie par atome : $\displaystyle \lim_{N\rightarrow
+\infty} {S\over N}=k\Log \lambda_1+k{T\over \lambda_1}
{\partial \lambda_1\over \lambda T}$.

L'\'energie par atome : 
$\displaystyle \lim_{N\rightarrow
+\infty} {E\over N}={kT^2\over \lambda_1} {\partial
\lambda_1\over \partial T}$.

\medskip
\sectiona 4. Le mod\`ele d'Ising \`a deux dimensions|

\ssection {\rm a)} Pr\'esentation du probl\`eme physique et du
mod\`ele dual avec conditions aux limites cycliques|L'ensemble
des sites $\Lambda= \{1,\ldots,N+1\}\times \{1,\ldots,M+1\}$ est
un rectangle inclus dans le r\'eseau ${\bboard Z}^2$ et, pour
tout $x\in\Lambda$, l'ensemble des \'etats est $S_x =\{-1,1\}$.
L'ensemble des confi\-gu\-ra\-tions est donc $\Omega  =
\{-1,+1\}^\Lambda$. On suppose comme pr\'ec\'edemment que les
atomes interagissent uniquement avec leurs plus proches voisins
(le champ magn\'etique ext\'erieur est nul) ; le probl\`eme
physique se d\'eroule donc sur un graphe~$G$ dont les sommets
sont les atomes, dont les ar\^etes mat\'erialisent l'existence
d'une interaction entre deux atomes (c'est la valence des
chimistes), et dont les faces ( on parle aussi de plaquettes)
sont les carr\'es du r\'eseau  ${\bboard Z}^2$ (voir figure 4.1).
On note $E$ l'ensemble des ar\^etes de $G$. La loi a priori est
uniforme et vaut~1. Le hamiltonien est donn\'e par :
$$
H(\omega)=J\sum_{\{x,y\}\in E} \omega_x \omega_y. 
$$

\rem Remarque $2$|Une confi\-gu\-ra\-tion $\omega$  
sur $G$ est une application de l'ensemble $\Lambda$ des sommets
de $G$ dans $\{1, -1\}$ ; une telle confi\-gu\-ra\-tion $\omega$ 
\'etant donn\'ee, valuons chaque ar\^ete $a = \{x,y\}$ de $G$ par
$\sigma_a = \omega_ x\omega_ y$. Le  hamiltonien ne d\'epend
que de l'ensemble des valuations et on constate que le produit
$\sigma_a\sigma_b\sigma_c\sigma_d$ vaut 1 si $a$, $b$, $c$, $d$
sont les quatre ar\^etes d'une plaquette de~$G$. Les valuations
des ar\^etes de $G$ ne sont donc pas ind\'ependantes.

\medskip
Pour pouvoir calculer $Z$, nous allons consid\'erer le  graphe
$G^*$ dual de $G$ (figure 4.2 ). Le graphe $G^*$ poss\`ede $MN$
sommets situ\'es aux centres des plaquettes de $G$. Il
poss\`ede aussi $(N+1)M$ ar\^etes horizontales et $N(M+1)$
ar\^etes verticales ; une ar\^ete~$e$ de $G^*$ intersecte une
et une seule ar\^ete~$a$ de $G$ et on pose alors $\sigma _e = \sigma _a$ :
une confi\-gu\-ra\-tion sur $G^*$ sera donc une application de
l'ensemble des {\it ar\^etes} de $G^*$ dans $\{-1,1\}$. On
d\'esigne par $\Lambda ^*$ (resp. $E^*, \Omega ^* = \{-1,1\}^{E^*})$
l'ensemble des sommets (resp. des ar\^etes, des confi\-gu\-ra\-tions)
de $G^*$.

\midinsert
\centerline{\picture 84.6mm by 68mm (fig41) scaled {800}}
\bigskip\bigskip
\centerline{\picture 84.3mm by 77.9mm (fig42) scaled {800}}
\endinsert

On vient de d\'efinir une application $\Phi $ de $\Omega$  dans 
$\Omega^*$ qui \`a une confi\-gu\-ra\-tion 
$\omega = (\omega_x)_{x\in  \Lambda }$
fait correspondre une confi\-gu\-ration 
$\sigma  = (\sigma _e)_{e\in  E^*}$.
Posons $\Omega ' = \Phi (\Omega )$ ; on a alors le r\'esultat
suivant :

\tha Lemme 3|
\decale {\rm a)}|Un \'el\'ement $\sigma \in  \Omega^*$ est dans
$\Omega '$  si et seulement si, pour tout sommet $z\in  \Lambda ^*$,
on a $\sigma _e \sigma _f \sigma _g \sigma _h=1$ o\`u $e,f,g,h$ sont les quatre
ar\^etes de $G^*$ adjacentes \`a $z$.

\decale{\rm  b)}|Dans ce cas, $\sigma $ a deux ant\'ec\'edents par
$\Phi $ ; si l'un est  $\omega = (\omega_x)_{x\in \Lambda }$, l'autre est
$- \omega  = (- \omega_x)_{x\in  \Lambda }$.
\fintha

{\it Preuve}.
\decale a)|Soit $\sigma $ un \'el\'ement de $\Omega^*$
satisfaisant la  condition a). Fixons la valeur d'un des sommets
de $G$ en posant par exemple $\omega_{(1,1)} = 1$ ; on constate
alors qu'on peut d\'efinir de proche en proche un et un seul
$\omega$ dans $\Omega$  tel que $\Phi (\omega ) = \sigma $ (on peut
commencer par calculer les valeurs n\'ecessaires de
$\omega_{(1,2)},\ldots, \omega_{(1,N+1)}$, puis on calcule ensuite
ligne \`a ligne les valeurs des $\omega_{(i,j)}$ en utilisant les
conditions de compatibilit\'e du type $\sigma _e \sigma _f \sigma _g \sigma _h = 1)$.

\decale b)|On construit de la m\^eme fa\c con le second
ant\'ec\'edent $\omega '$ de $\sigma $ en commen\c cant par poser
$\omega'_{(1,1)}  =  - 1$, et on constate que $\omega '$ est
l'oppos\'e du vecteur $\omega$ construit au~a). 

\medskip
On a donc remplac\'e la condition sur les plaquettes de $G$ 
donn\'ee dans la Remarque~2 par une condition sur les sommets
de $G^*$, qui se traduit  facilement dans la matrice de transfert
(\cf. plus bas). Pour rem\'edier au fait que les seules
confi\-gu\-ra\-tions autoris\'ees sur $G^*$ sont celles de $\Omega'$, on
utilise l'artifice suivant : on pose, lorsque $\sigma \in  \Omega^*$,
$$
H^* (\sigma ) =
\cases{+\infty,&si $\sigma  \in  \Omega ^* \backslash \Omega '$, de sorte que
$e^{-\beta H^* (\sigma )} =0$ ;\cr 
\displaystyle {J \over 2} \sum_{z \in  \Lambda ^*} \sum_e
\sigma _e,&si $\sigma  \in  \Omega '$.\cr}
$$
(La seconde somme
porte sur les ar\^etes $e \in  E^*$ adjacentes \`a~$z$.)
Poser $H^*(\sigma ) = +\infty$ lorsque $\sigma $ est une
confi\-gu\-ra\-tion  interdite signifie physiquement qu'il faut
une \'energie infinie pour l'atteindre.

\medskip
Le {\it mod\`ele avec conditions aux limites cycliques} consiste 
\`a identifier, dans $G$, d'une part les sommets de coordonn\'ees
$(1, i)$ \`a ceux de coordonn\'ees $(M+1, i)$, et d'autre part les
sommets de coordonn\'ees $(j, 1)$ \`a ceux de coordonn\'ees $(j,
N+1)$ pour toutes les valeurs possibles de $i$ et de $j$ (\cf.
Fig.~5 pour l'orientation des coordonn\'ees). Il revient au
m\^eme d'identifier, dans $G^*$, les ar\^etes libres
horizontales de m\^eme ordonn\'ee d'une part et les ar\^etes
libres verticales de m\^eme abscisse d'autre part. On modi\-fie
en cons\'equence les d\'efinitions de $\Omega$ et de $\Omega^*$
et on conserve dans les deux cas les m\^emes expressions du
hamiltonien.

\midinsert
\centerline{\picture 37.0mm by 34.2mm (fig5) scaled {700}}
\centerline{fig.  5}
\endinsert

Dans ce cas (et dans ce cas seulement), chaque ar\^ete  $e\in 
E^*$ est adjacente \`a {\it deux} sommets de $G^*$ de sorte
qu'elle intervient exactement deux fois dans l'expression de
$H^*$ ; alors, pour tout \'el\'ement $\omega$ de $\Omega$, on a
$H^*(\Phi (\omega )) = H(\omega)$. Le lemme 3 permet alors de
d\'emontrer le r\'esultat suivant :

\th Proposition 4|Dans le mod\`ele d'Ising \`a deux 
dimensions avec conditions aux limites cycliques, on a :
$$ 
Z(\beta ) =\sum_{\omega  \in \Omega } e^{-\beta  H(\omega )} = 2 \sum_{\sigma  \in  \Omega ^*} e^{-\beta H^{*} (\sigma )}.
$$
\finth

\ssection {\rm {b)}} Calcul de la fonction de partition avec conditions aux 
limites cycliques et champ magn\'etique nul|Nous utiliserons
pour ce calcul le mod\`ele dual et l'expression  de $Z(\beta)$
donn\'ee par la proposition 4. Comme au paragraphe
pr\'ec\'edent, on commence par calculer le hamiltonien $H^*$
lorsque $M = N = 1$, c'est-\`a-dire lorsque $G^*$ est un
graphe avec un seul sommet entour\'e de quatre ar\^etes (figure
6) : on obtient 16 valeurs possibles dont certaines sont nulles. 

\midinsert
\centerline{\picture 52.9mm by 57.1mm (fig6) scaled {700}}
\centerline{fig. 6}
\endinsert

On d\'efinit comme au paragraphe pr\'ec\'edent une matrice 
de transfert $T$ de la fa\c con suivante : on pose 
$u = e^{-\beta J/2}$ et,
lorsque $\alpha , \beta , \gamma , \delta $ appartiennent \`a $\{-1, 1\}$
$$
T_{\alpha ,\beta } ^{\gamma  \delta }
=\cases{0,&si $\alpha  \beta  \gamma  \delta  \neq  1$ ; \cr
u^{\alpha  + \beta  + \gamma  + \delta },&si
$\alpha  \beta  \gamma  \delta  =1$.\cr
}
$$
Autrement dit, quand on donne $T$ sous forme de tableau, on a :
$$
T=
\pmatrix{
u ^4 & 0 & 0 & 1 \cr
0 & 1 & 1 & 0 \cr
0 & 1 & 1 & 0 \cr
1 & 0 & 0 & u^{-4}\cr
}
$$
{\it Conventions} : dans tout ce paragraphe, les indices du bas 
(resp. du haut) sont ceux de l'espace vectoriel de d\'epart
(resp. d'arriv\'ee). On \'ecrit aussi $+$ pour $+1$ et $-$ pour $-1$, 
et l'on indexe les lignes et les colonnes de $T$ dans l'ordre $++$,
$+-$, $-+$ et $- -$.

On attache \`a chaque ar\^ete de $G^*$ un espace vectoriel 
$V = {\bboard C}^2$, muni d'une base $(e_1,e_{-1})$ ; si $K$ est un nombre entier
positif, on note $V_K$ le produit tensoriel de $K$ copies de $V$ et on
munit $V_K$ de la base des tenseurs
$$
e_{\bf \alpha } = e_{{\alpha _1}, \ldots, \alpha _K} 
= e_{\alpha _1} \otimes \cdots \otimes e_{\alpha _K} \ 
\hbox{\rm pour}\  {\bf \alpha } = (\alpha _1, \ldots, \alpha _K)
\in  \{-1, 1\}^K. 
$$
Ceci permet de donner de la matrice de transfert l'interpr\'etation suivante : c'est
la matrice (dans les bases  d\'ecrites ci-dessus) d'un op\'erateur de $V_2$ dans
lui-m\^eme, que l'on notera encore $T$ par abus de langage. Exprimons
maintenant la fonction de partition au moyen de $T$. 

\ssection Premi\`ere \'etape|Fixons la valeur des ar\^etes
libres  de $G^*$ comme indiqu\'e sur la figure 7, sans
proc\'eder tout de suite \`a leur identification par les
conditions aux limites cycliques. Si $\alpha = (\alpha _1,\ldots,
\alpha _M)$, $\beta = (\beta_1,\ldots,\beta _N)$, $\gamma  = (\gamma _1,\ldots, \gamma _N)$,
$\delta =(\delta _1,\ldots, \delta _M)$, on d\'efinit une fonction de partition
partielle par : 
$$
Z^{\gamma}{}_\alpha {}^ \delta{}_\beta =\sum_{\sigma }
e^{-\beta H^*(\sigma )}, 
$$
o\`u la sommation porte sur toutes les confi\-gu\-ra\-tions $\sigma $
ayant ${\bf \alpha }, {\bf \beta }, {\bf \gamma }, {\bf \delta }$ 
comme valeurs des ar\^etes libres (on a omis la variable
$\beta =1/kT$ pour ne pas surcharger les notations). La
propri\'et\'e essentielle de ces fonctions est la suivante :

\th Lemme 5|Si $ M = M'+M''$ et si l'on a $\alpha=(\alpha',
\alpha'')$ et $\delta = (\delta',\delta'')$ o\`u la longueur de
$\alpha'$ (resp. de ${\bf \delta '}$) est $M'$ et celle de $\alpha''$
(resp. de $\delta''$) est $M''$, on a (voir {\rm Fig.~7\/}) : 
$$
Z^\gamma{}_\alpha {}^ \delta{}_\beta 
=\sum_{\lambda \in  \{-1, 1\}^N} 
Z^\gamma{}_{\alpha'} {}^ {\delta'}{}_\lambda \,
Z^\lambda{}_{\alpha''} {}^ {\delta''}{}_\beta . 
$$ 
\finth

\midinsert
\centerline{\picture 105.mm by 81.1mm (fig7) scaled {700}}
\endinsert

La d\'emonstration du lemme 5 d\'ecoule imm\'ediatement des 
d\'efinitions de $H^*$ et des fonctions de partition partielles. En
r\'ep\'etant ce proc\'ed\'e, qui revient \`a ``couper'' le graphe $G^*$
au niveau de chaque ligne horizontale, on obtient finalement :
$$
Z^\gamma{}_\alpha {}^ \delta{}_\beta 
=\sum Z^\gamma{}_{\alpha_1} {}^ {\delta_1}{}_{\lambda_1 }
\,Z^{\lambda_1}{}_{\alpha_2} {}^ {\delta_2}{}_{\lambda_2}
\,\ldots\,
Z^{\lambda_{M-1}}{}_{\alpha_M} {}^ {\delta_M}{}_\beta,
$$
la somme ci-dessus portant sur tous les $(M -1)$-uplets 
$({\bf \lambda }_1, \ldots , {\bf \lambda }_{M-1})$ o\`u chaque ${\bf \lambda }_i$ 
parcourt $\{-1, 1\}^N$. Nous allons maintenant utiliser un
interm\'ediaire de calcul :  l'op\'erateur $R$ qui va de
$V\otimes  V_N$ dans $V_N\otimes V$ (ces deux espaces sont
isomorphes \`a $V_{N+1})$ et dont la matrice dans les bases
($e_\alpha  \otimes e_{\bf \beta })$ et $(e_\gamma  \otimes e_\delta )$ est la
matrice des 
$$\displaylines{\quad
Z^\gamma{}_\alpha {}^ \delta{}_\beta
= Z^{(\gamma _1, \ldots, \gamma _N)}{}_\alpha{}^ \delta 
{}_{(\beta _1, \ldots, \beta _N)}\hfill\cr
\hfill{}
=\sum_{(\alpha _2, \ldots, \alpha _N) \in  \{-1, 1\} ^{N-1}} 
T_{\alpha  \beta _1} ^{\gamma _1 \alpha _2} 
T_{\alpha _2 \beta _2} ^{\gamma _2 \alpha _3} \ldots 
T_{\alpha _N \beta _N} ^{\gamma _N \delta }.\quad\cr}
$$
La seconde \'egalit\'e figurant ci-dessus r\'esulte des 
d\'efinitions. Les coefficients de la matrice de $R$ dans les bases
canoniques sont les valeurs des fonctions de partition
partielles du graphe ci-dessous :

\midinsert
\centerline{\picture 81.1mm by 43.0mm (fig8) scaled {700}}
\endinsert

\ssectiona Seconde \'etape (le calcul de $R$ et la traduction
calculatoire  des conditions aux limites cycliques)|

\th Proposition 6|On a :
$$
R = T^{N, N+1} T^{N-1, N} \ldots T^{1,2} 
$$
o\`u les op\'erateurs $T^{i, i+1}$ sont d\'efinis
sur $V_K$ par
$$
1\le i\le K-1 \ \hbox{\rm et}\ T^{i, i+1} =(\id_V)^{\otimes
i-1} \otimes T \otimes (\id_V)^{\otimes K-i-1}.
$$
Le contexte pr\'ecise $K$ ; ici, $K=N+1$.
\finth


\preuve On a 
$$\displaylines{
T^{N, N+1} T^{N-1, N} \ldots \,T^{1,2} 
(e_{\alpha , \beta _1, \beta _2, \ldots,
\beta _N})\hfill\cr
\qquad{}= T^{N, N+1} \ldots\, T^{2, 3} 
\Bigl(\sum_{(\gamma _1, \alpha _2) \in \{-1, 1\}^2} 
T_{\alpha  \beta _1} ^{\gamma _1 \alpha _2} 
e_{\gamma _1, \alpha _2, \beta _2, \ldots, \beta _N}\Bigr)\hfill\cr 
\qquad{} =  T^{N, N+1} \ldots \, T^{3,4} 
\Bigl(\sum_{(\gamma _2, \alpha _3) \in \{-1, 1\}^2}\hfill\cr
\qquad\qquad\qquad{}
\sum_{(\gamma _1, \alpha _2) \in  \{-1, 1\}^2} 
T_{\alpha {\beta _1}} ^{\gamma _1 \alpha _2} 
T_{{\alpha _2} {\beta _2}} ^{\gamma _2 \alpha _3}  
e_{{\gamma _1},{\gamma _2}, {\alpha _3}, {\beta _3}, \ldots,{\beta _N}}\Bigr)
\hfill\cr 
\qquad{} = \sum_{(\gamma _N,\delta ) \in  \{-1, 1\}^2} 
\sum_{(\gamma _{N-1}, \alpha _N) \in  \{-1, 1\}^2} \hfill\cr
\qquad\qquad\qquad \ldots
\sum_{(\gamma _1, \alpha _2) \in  \{-1, 1\}^2}  T_{\alpha  {\beta _1}} ^{\gamma _1 \alpha _2}
\ldots T_{\alpha _{N-1} \beta _{N-1}} ^{\gamma _{N-1} \alpha _N} T_{{\alpha _N}
{\beta _N}} ^{\gamma _N \delta } e_{{\gamma _1}, \ldots, {\gamma _N}, \delta }\hfill \cr 
} 
$$
Il suffit ensuite de r\'eindexer la sommation. 

\medskip
Dans le mod\`ele avec conditions aux limites cycliques, les
deux ar\^etes horizontales libres de la figure 8 sont
identifi\'ees. Soit alors $U$ l'op\'erateur de $V_N$ dans
lui-m\^eme dont la matrice dans la base $(e_{\bf \beta })$ a les
\'el\'ements suivants : 
$$ 
U_{\bf \beta } ^{\bf \gamma } =\sum_{\alpha  \in  \{-1, 1\}} 
Z^\gamma{}_\alpha {}^ \alpha{}_\beta. 
$$

Nous allons calculer $U$ en fonction de $R$ ; introduisons
pour  cela la notion de {\it trace partielle}. Si $E, M, N$
sont des $\bboard C$-espaces vectoriels de dimension finie,
on sait qu'il existe un isomorphisme $\theta _E$ de $\End(E)$ sur
$E^*\otimes E$ et un isomorphisme $\psi $ de $(M\otimes N)^*$
sur $N^*\otimes M^*$ (on note $F^*$ le dual de $F$). Notons
$c$ la contraction de $N^*\otimes M^*\otimes  M\otimes N$
dans $N^*\otimes N$ par rapport \`a $M^*\otimes M$. Toutes
ces applications sont ind\'ependantes du choix d'une base,
ce qui nous permet de donner la d\'efinition suivante.

\rem D\'efinition $7$|La {\it trace partielle par rapport \`a
$M$ d'un  endomorphisme} $A$ de $M\otimes N$ est
l'endomorphisme de $N$ image de $A$ par l'homomorphisme
$(\theta _N)^{-1} \circ  c \circ  (\psi  \otimes \id_{M \otimes N}) \circ 
\theta _{M\otimes N}$ de $\End (M\otimes N)$ dans $\End(N)$ ; on le
note $\Tr_M A$. 

\medskip 
On peut v\'erifier que si $e_1,\ldots,e_p$ est une base de $M$
et si  $f_1,\ldots,f_q$ est une base de $N$, alors (les
notations sont \'evidentes) : 
$$
(\Tr_M A) (f_i) =\sum_{j=1} ^q \Bigl(
\sum_{k=1} ^p  A_{k, i} ^{k,j} \Bigr) f_j .
$$
On peut aussi v\'erifier que si $U$ (resp. $V$) est un
endomorphisme  de $M$ (resp. $N$), alors $\Tr_M(U\otimes V) =
\tr(U).V$ o\`u $\tr$ d\'esigne la trace usuelle (on note comme
d'habitude $U\otimes V$ l'endomorphisme de $M\otimes N$ qui
transforme $x\otimes y$ en $U(x)\otimes V(y))$. 

D\'esignons par $\gamma _N$ l'op\'erateur de $V_N\otimes V$ dans
$V\otimes V_N$ tel que $\gamma _N (x\otimes v) = v\otimes x$ pour
tout $x \in V_N$ et tout $v \in  V$. On a alors le r\'esultat
suivant.:

\th Lemme 8|L'op\'erateur $U$ vaut $\Tr_V(\gamma _N R)$.
\finth
 
\preuve Il s'agit d'un calcul court et sans difficult\'e.

\medskip
Il est maintenant possible d'exprimer la fonction de partition 
avec conditions aux limites cycliques ; elle vaut 
$$
Z(\beta ) =2\sum U_{{\bf \lambda }_1} ^{{\bf \lambda }_2} 
U_{{\bf \lambda }_2} ^{{\bf \lambda }_3} \ldots U_{{\bf
\lambda }_M} ^{{\bf \lambda }_1},
$$
la somme ci-dessus portant sur tous les $M$-uplets 
$({\bf \lambda }_1, \ldots , {\bf \lambda }_M)$ 
o\`u chaque ${\bf \lambda }_i$ parcourt $\{ -1, 1\} ^N$.
Comme au paragraphe 3, on en d\'eduit le r\'esultat final.

\th Th\'eor\`eme 9|La fonction de partition du mod\`ele 
d'Ising \`a deux dimensions avec conditions aux limites
cycliques est $Z(\beta) = 2 \tr (U^M)$.
\finth

Ici $U$ est un endomorphisme de $V_N$, qui est un 
$\bboard C$-espace  vectoriel de dimension $2^N$. Gr\^ace
aux r\'esultats interm\'ediaires 6 et 8, on constate que les
\'el\'ements de la matrice de $U$ dans la base des 
$(e_{\bf \alpha })$ sont tous positifs ; d'apr\`es le th\'eor\`eme de
Perron-Frobenius, la fonction de partition est alors de la
forme suivante  
$$
Z(\beta ) = c_1 \lambda _1 ^M + c_2 \lambda _2 ^M + \ldots 
+ c_{2^N} \lambda _{2^N} ^M,
$$
o\`u les $\lambda _i$ sont des fonctions de $\beta $ et les $c_i$ des
constantes.  On ne peut malheureusement pas faire le calcul
de la valeur limite de $Z$ aussi facilement que dans le cas
du mod\`ele \`a une dimension, car il faut faire tendre $M$ et
$N$ simultan\'ement vers $+\infty$~[2].



\section 5. Le mod\`ele de la glace|L'ensemble des sites est 
$\Lambda^* =\{1,\ldots,N\}\times \{1,\ldots,M\}$ 
et on reprend  les notations $(G^*, E^*, \Omega^ *)$
du paragraphe pr\'ec\'edent pour d\'esigner le graphe induit
par $\Lambda ^*$. Chaque sommet est occup\'e par un atome 
d'oxyg\`ene $O$, chaque ar\^ete porte un et un seul atome
d'hydrog\`ene $H$ qui est voisin d'un des deux atomes
d'oxyg\`ene situ\'es aux extr\'emit\'es de l'ar\^ete. On impose
de plus que {\it chaque atome d'oxyg\`ene soit entour\'e
d'exactement deux atomes d'hydrog\`ene}, de sorte qu'on a bien
affaire \`a des mol\'ecules d'eau : $H_2 O$. Ces mol\'ecules
peuvent alors se pr\'esenter sous six confi\-gu\-ra\-tions
possibles, qui sont dessin\'ees ci-dessous.

\midinsert
\centerline{\picture 112mm by 63.8mm (fig9) scaled {700}}
\endinsert

Le formalisme utilis\'e pour ce mod\`ele physique est le graphe 
$G^*$ dont les ar\^etes sont valu\'ees par $1$ ou $-1$ selon les
r\`egles suivantes :

\midinsert
\centerline{\picture 133mm by 19.0mm (fig10) scaled {700}}
\endinsert

La strat\'egie utilis\'ee est alors la m\^eme que celle du 
mod\`ele d'Ising \`a deux dimensions : on est amen\'e \`a
consid\'erer un espace vectoriel $V$ de dimension $2$ sur ${\bboard C}$, de base
$(e_+, e_-)$, et une matrice de transfert $T$ de $V_2$ dans lui-m\^eme.
Les r\`egles de r\'epartition des atomes d'hydrog\`ene
interdisent certaines confi\-gu\-ra\-tions et, comme au paragraphe
pr\'ec\'edent, imposent la nullit\'e de certains \'el\'ements de
la matrice de transfert. La valeur des six autres \'el\'ements de
$T$ d\'epend du hamiltonien consid\'er\'e, mais on conna\^it
leurs positions ; elles sont figur\'ees ci-dessous par une
\'etoile :
$$
T=
\pmatrix{
* & 0  & 0 & 0 \cr
 0 & * & * &  0 \cr
0 & * & * & 0 \cr
0 & 0 & 0 & * \cr
}.
$$

Examinons les propri\'et\'es alg\'ebriques d'un tel
op\'erateur.\decale {\rm {a)}}|Notons $H$ le sous-groupe de
$GL_2({\bboard C})$ constitu\'e des matrices  diagonales ; $H$ agit
sur $V$ de fa\c con canonique, puis sur $V_N$ par $h (x_1 \otimes
\dots \otimes x_N) = h(x_1) \otimes \dots \otimes  h(x_N)$.

\th Lemme 10|L'op\'erateur $T$ commute \`a l'action de $H$ sur $V_2$ 
et, pour tout \'el\'ement $i$ de $\{1,\dots,N-1\}$, l'op\'erateur $T^{i, i+1}$
commute \`a l'action de $H$ sur $V_N$.
\finth

Les caract\`eres du groupe $H$ sont les $\chi_\delta $, o\`u 
$\delta  = (\delta _1,\delta _2)$ 
parcourt ${\bboard Z}^2$, et sont d\'efinis par :
$$
\chi_\delta  
\pmatrix{
t_1 & 0 \cr
0 & t_2 \cr
}
= t_1 ^{\delta _1} t_2 ^{\delta _2}.
$$
On a alors la d\'ecomposition en somme directe suivante :
$$
V_N =\bigoplus_{\delta  \in  {\bboard Z} ^2} 
V_{N,\delta } \ \hbox{\rm o\`u}\ 
V_{N,\delta } =\{ v \in  V_N \,|\, \forall t \in  H, t(v) =\chi_\delta  (t) v \}.
$$
Le lemme 10 nous assure que les op\'erateurs $T^{i,i+1}$, donc leur produit,
laissent les $V_{N,\delta }$ stables ; si un op\'erateur $U$ poss\`ede cette propri\'et\'e
(par exemple, un op\'erateur intervenant dans le calcul de la fonction de
partition), on a :
$$
\tr (U^M) =\sum_{\delta  \in  {\bboard Z}^2} \tr (U^M\,|\, V_{N,\delta }).
$$

\decale {\rm {b)}}|\'Etudions le cas o\`u
$$
T = T (q) =
\pmatrix{
1 & 0 & 0 & 0 \cr
0 & 0 & q & 0 \cr
0 & q & 1-q^2 & 0 \cr
0 & 0 & 0 & 1 \cr
}.
$$
Si $q = 1$, $T(1)$ est l'op\'erateur d'\'echange dans 
$V_2 : T(1)(x\otimes y) = y\otimes x$. Faisons agir le groupe
sym\'etrique ${\goth S}_3$ sur $V_3$ par 
$$
\sigma . (a_1 \otimes a_2 \otimes a_3) 
= U_\sigma  (a_1 \otimes a_2 \otimes a_3) =
a_{\sigma ^{-1} (1)} \otimes a_{\sigma ^{-1} (2)} 
\otimes a_{\sigma ^{-1} (3)}.
$$ 

Alors l'op\'erateur $T(1)^{i,j}$ s'identifie \`a $U_{(i,j)}$ et, 
puisque 
l'on a $(i,j)^2 = \id$ et $(1,2)(2,3)(1,2) = (2,3)(1,2)(2,3)$, on a les
identit\'es suivantes :
$$
T(1)^2 =\id_{V_3} \ \hbox{\rm et}\ T(1) ^{1,2} T(1)^{2,3} T(1)
^{1,2}= T(1)^{2,3} T(1) ^{1,2} T(1) ^{2,3}.
$$
La premi\`ere \'egalit\'e est \'equivalente \`a 
$(T(1) - I)( T(1) + I) = 0$, o\`u $I$ d\'esigne l'identit\'e de $V_3$. On
peut g\'en\'eraliser ces \'egalit\'es au cas o\`u $q$ est un nombre
complexe quelconque ; on obtient alors, par un simple calcul : 
$$\displaylines{
(T(q) -I) (T(q) + q^2 I) =0 \,;\cr
\noalign{\hbox{et}}
 T(q)^{1,2}
T(q)^{2,3} T(q)^{1,2}=T(q) ^{2,3} T(q)^{1,2} T(q)^{2,3}.\cr}
$$
De plus, $T^{i, i+1}$ et $T^{j, j+1}$ 
commutent lorsque $|i-j| \ge  2$.



\section 6. L'\'equation de Yang-Baxter et l'alg\`ebre de 
Hecke|Nous allons g\'en\'eraliser les r\'esultats obtenus
au  paragraphe pr\'ec\'edent : $V$ sera un espace
vectoriel sur $\bboard C$ de dimension $n$ muni d'une
base $(e_1,\ldots ,e_n)$ ; $V_N$ d\'esigne encore le produit
tensoriel de $N$ copies de $V$, muni de la base des
$e_{{i_1}\ldots i_N}= e_{{i_1}}\otimes \cdots \otimes
e_{i_N}$ o\`u  $(i_1,\ldots,i_N)$ parcourt
$\{1,\ldots,n\}^N$, et $T$ est un op\'erateur de $V_2$ 
dans lui-m\^eme. Enfin, $T^{i, i+1}$ est l'op\'erateur de
$V_N$ dans  lui-m\^eme donn\'e par $I^{\otimes  i-1}
\otimes  T\otimes  I^{\otimes  N-i-1}$.

\rem D\'efinition $11$|L'{\it \'equation de Yang-Baxter} est
l'\'equation  
$$
T^{1, 2} T^{2, 3} T^{1, 2} = T^{2, 3} T^{1, 2} T^{2, 3}.
$$
Un op\'erateur $T$ qui v\'erifie cette \'equation sera  appel\'e 
{\it op\'erateur de Yang-Baxter}.

\medskip
On ne conna\^\i t pas toutes les solutions de cette
\'equation ; en revanche, guid\'es par les r\'esultats du
paragraphe pr\'ec\'edent, nous pouvons \'enoncer le
r\'esultat suivant.

\th Th\'eor\`eme 12|Soient $q$ un nombre complexe et
$T(q)$  l'op\'erateur d\'efini par $T(q)(e_{ii}) = e_{ii}$
pour tout $i$ et, pour tous les couples $(i,j)$ v\'erifiant
$i < j$, $T(q)(e_{ij}) = qe_{ji}$ et $T(q)(e_{ji}) = qe_{ij}
+ (1-q^2)e_{ji}$. Alors $T(q)$ est un op\'erateur de
Yang-Baxter et v\'erifie $(T(q) - I)(T(q) + q^2I) = 0$.
\finth

L\`a encore, la seule fa\c con de d\'emontrer ce r\'esultat 
ainsi que le lemme suivant est le calcul direct. On remarque
cependant que lorsque $q = 1, T(1)$ est l'op\'erateur d'\'echange.

\th Lemme 13|On fait l'hypoth\`ese $q^2 \neq -1$.
L'op\'erateur  $T(q)$ est diagonalisable et poss\`ede deux
valeurs propres : $1$ et  $- q^2$. 

La valeur propre $1$ est associ\'ee au sous-espace propre
de dimension $n(n+1)/2$ dont une base est constitu\'ee
des tenseurs $e_{ii}$ pour tout $i$ et $qe_{ij} + e_{ji}$
pour tous les couples $(i,j)$ tels que $i<j$. 

La valeur propre $-q^2$ est associ\'ee au sous-espace
propre de dimension $n(n-1)/2$ dont une base est
constitu\'ee des vecteurs $e_{ij}-qe_{ji}$ pour tous les
couples $(i,j)$ tels que $i < j$. 
\finth

Lorsque $q = 1$, ce lemme \'enonce un r\'esultat bien
connu :  $V_2$ est somme directe des tenseurs
sym\'etriques et des tenseurs antisym\'etriques. Dans le
cas o\`u $q$ est quelconque, et par analogie avec la
situation o\`u $q = 1$, on notera $S_{q^2}(V)$ (resp.
$\bigwedge_{q^2}(V))$ le premier (resp. le second)
sous-espace propre mentionn\'e au lemme~13, et ses
\'el\'ements seront appel\'es les tenseurs
$q$-sym\'etriques (resp. $q$-antisym\'etriques) ; le
paragraphe 8 leur est consacr\'e.

\rem D\'efinition $14$|On d\'esigne par $q$ un nombre complexe.
L'{\it alg\`ebre de Hecke} $H_N(q)$ est la ${\bboard
C}$-alg\`ebre engendr\'ee par $N-1$ ind\'etermin\'ees
$T_1, \ldots, T_{N-1}$ soumises aux relations suivantes : 

\decale {${\rm (I)}_q$}|pour tout $i$, on a 
$(T_i - 1)(T_i + q^2) = 0$ ; 

\decale {\rm {(II)}}|si $|i-j| \ge  2$, on a 
$T_iT_j = T_jT_i$ ; 

\decale {\rm {(III)}}|si $|i-j| = 1$, on a $T_i T_jT_i =
T_jT_iT_j$. 

\medskip
On dispose de mani\`ere \'evidente d'une repr\'esentation 
de $H_N(q)$ dans $\End(V_N)$ : \`a $T_i$, on fait correspondre $T^{i, i+1}$ o\`u
$T$ est l'op\'erateur de Yang-Baxter $T(q)$ consid\'er\'e
plus haut.

Rappelons le th\'eor\`eme de Moore sur la pr\'esentation
du  groupe sym\'etrique ${\goth S} _N$.

\th Th\'eor\`eme de Moore (1897)|Pour $i$ variant de $1$
\`a $N-1$,  notons $s_i$ la transposition $(i,i+1)$. Alors
les \'el\'ements $s_1,\ldots,s_{N-1}$ et les relations
suivantes constituent une pr\'esentation de ${\goth S}_N$ :  

\decale {\rm {(I)}}| si $1 \le  i  \le   N-1$, on a 
$s_i ^2 = 1$ ;

\decale {\rm {(II)}}| si $|i-j| \ge   2$, on a 
$s_i s_j = s_js_i$ ; 

\decale {\rm {(III)}}| si $|i-j| = 1$, on a 
$s_i s_j s_i = s_j s_i s_j$.
\finth

\preuve 
Les relations (I), (II) et (III) se v\'erifient par un 
simple calcul. On sait qu'une permutation admet
une d\'ecomposition en produit de cycles disjoints de la
forme $(a_1 \ldots a_p)$ ; on constate qu'un tel cycle est
\'egal au produit des transpositions 
$(a_1 a_2)(a_2 a_3)\ldots(a_{p-1} a_p)$ 
et qu'une transposition $(i,j)$
avec $i < j$  est \'egale au produit $s_i s_{i+1} \ldots
s_{j-2} s_{j-1} s_{j-2}\ldots s_{i+1} s_i$, ce qui
d\'emontre que les si engendrent ${\goth S}_N$. Le lecteur est
renvoy\'e \`a [4, note C] pour la fin de la preuve de ce
th\'eor\`eme.

\medskip
On peut am\'eliorer ce r\'esultat en pr\'ecisant le nombre 
minimum de transpositions du type $s_i$ dont le produit est une
permutation donn\'ee et en \'etudiant ces d\'ecompositions
minimales. On dit qu'un couple $(i,j)$ v\'erifiant 
$1 \le   i < j \le   N$ est une {\it inversion} de $\sigma  \in 
{\goth S}_N$ si $\sigma (i) > \sigma (j)$ ; on note ${\rm Inv}(\sigma
)$ l'ensemble des inversions de $\sigma $ et $I(\sigma )$ le
nombre d'inversions de $\sigma $. 

\medskip
Soient $r$ un nombre entier sup\'erieur ou \'egal \`a $2$ 
et  soient $(i_1,\ldots,i_r)$ et $(j_1,\ldots, j_r)$ deux
$r$-uplets de nombres entiers compris entre $1$ et
$N-1$. On dit qu'on passe du premier $r$-uplet au second
par une {\it transformation de type (II)} s'il existe un
entier $k$ avec $1 \le   k \le   r-1$ v\'erifiant les deux
conditions suivantes : 

\decale {\rm {1)}}|si $m \in  \{1,\ldots,k-1\} \cup 
\{k+2,\ldots,r\}$, on a $i_m = j_m$ ; 

\decale {\rm {2)}}|on a $|i_k-i_{k+1}|\ge  2$, $i_k =
j_{k+1}$ et $j_k = i_{k+1}$.
 
On dit qu'on passe du premier $r$-uplet au second par une
{\it transformation de type (III)} s'il existe un entier $k$ avec $1 \le   k
\le  r-2$ v\'erifiant les deux conditions suivantes : 

\decale {\rm {1)}}|si $m \in  \{1,\ldots,k-1\} \cup \{
k+3,\ldots,r\}$, on a $i_m = j_m$ ; 

\decale {\rm {2)}}|on a $i_k = i_{k+2}$ et $|i_k-i_{k+1}|
= 1$ ainsi que $i_k = j_{k+1}$ et $j_k = i_{k+1} =
j_{k+2}$.  

Enfin, on dit que les deux $r$-uplets $(i_1,\ldots,i_r)$ et 
$(j_1, \ldots, j_r)$ sont {\it \'equivalents} si l'on passe du
premier au second par une succession de transformations
de type (II) ou de type (III). On d\'efinit ainsi une
relation d'\'equivalence sur l'ensemble des $r$-uplets de
nombres entiers compris entre 1 et $N-1$. On a alors le
r\'esultat suivant.

\th Th\'eor\`eme 15|Soit $\sigma $ un \'el\'ement de 
${\goth S}_N$ ; alors :

\decale {\rm {1)}}|Si $(i,i+1)$ est une inversion de $\sigma $, 
on a $I(\sigma s_i) = I(\sigma ) - 1$ ;  
sinon, on a $I(\sigma s_i)= I(\sigma )+1$.

\decale {\rm {2)}}|La longueur de $\sigma $, c'est-\`a-dire 
l'entier $r$ minimum tel  qu'il existe $(i_1,\ldots,i_r)$
appartenant \`a $\{1,\ldots,N-1\}^r$ et v\'erifiant $\sigma  =
s_{i_1} \ldots s_{i_r}$, est \'egale \`a $I(\sigma )$. Une
d\'ecomposition $\sigma  = s_{i_1}\ldots s_{i_r}$ avec $r$
minimal s'appelle une d\'ecomposition r\'eduite. 

\decale {\rm {3)}}|Soit $s_{i_1} \ldots s_{i_r}$ une 
d\'ecomposition r\'eduite de $\sigma $ ; alors $s_{j_1} \ldots
s_{j_r}$ est une autre d\'ecomposition r\'eduite de $\sigma $
si, et seulement si $(i_1, \ldots,i_r)$ et $(j_1,\ldots, j_r)$
sont \'equivalents. 
\finth

\medskip
{\it Preuve.}
\nobreak
\decale {\rm {1)}}|Soient $j$ et $k$ deux
entiers v\'erifiant  $1 \le   j < i < i+1 < k \le   N$ ; alors
$(j,k)$ (resp. $(j,i), (j,i+1)$, $(i,k), (i+1,k))$ est une
inversion de $\sigma $ si et seulement si $(j,k)$ (resp. $(j,i+1),
(j,i), (i+1,k), (i,k))$ est une inversion de $\sigma s_i$ : on
\'etablit ainsi une bijection de ${\rm Inv}(\sigma)\backslash
\{(i,i+1)\}$ sur ${\rm Inv}(\sigma s_i)\backslash \{(i,i+1)\}$ ; il
suffit ensuite de constater que $(i,i+1)$ est une
inversion de $\sigma $ si et seulement si $(i,i+1)$ n'est pas
une inversion de $\sigma s_i$. On d\'eduit de cette premi\`ere
partie que $I(s_{i_1}\ldots s_{i_r}) \le  r$.

\vfill\eject
\medskip
\decale {\rm {2)}}|L'in\'egalit\'e $r \ge  I(\sigma )$ r\'esulte de 
la premi\`ere partie du th\'eor\`eme. On raisonne par
r\'ecurrence sur $I(\sigma )$ pour prouver l'autre in\'egalit\'e.
Le r\'esultat est trivial si $I(\sigma )=0$ $(\sigma  = \id)$. Soit $\sigma $
une permutation diff\'erente de l'identit\'e et soit $i$
l'entier tel que $\sigma (1) <\ldots < \sigma (i)$ et $\sigma (i) > \sigma (i+1)$.
Alors $p := I(\sigma s_i) = I(\sigma )- 1$ et l'hypoth\`ese de
r\'ecurrence assure l'existence de $(i_1,\ldots,i_p) \in
\{1,\ldots ,N-1\}^p$ v\'erifiant $\sigma s_i=  s_{i_1}\ldots
s_{i_p}$, c'est-\`a-dire que  
$ \sigma  = s_{i_1} \ldots s_{i_p} s_{i_{p+1}}$ 
avec $i_{p+1} =i$. 

\medskip
\decale {\rm {3)}}|On se donne une d\'ecomposition 
r\'eduite $s_{i_1} \ldots s_{i_r}$ de $\sigma $. Vu les relations
(II) et (III) dans le th\'eor\`eme de Moore, il est \'evident
que l'\'equivalence des deux $r$-uplets $(i_1,\ldots,i_r)$
et $(j_1,\ldots,j_r)$ implique l'\'egalit\'e des produits
$s_{i_1} \ldots s_{i_r}$ et $s_{j_1} \ldots s_{j_r}$. 

\medskip
La r\'eciproque est vraie dans le cadre plus g\'en\'eral
des groupes de Coxeter ; nous utiliserons sans
d\'emonstration une version  de la {\it condition
d'\'echange} : si $I(s_i \sigma ) = I(\sigma ) - 1$, il existe $k \in 
\{1, \ldots, r\}$ tel que $s_i s_{i_1} \ldots s_{i_{k-1}}
s_{i_{k+1}} \ldots s_{i_r}$ soit une d\'ecomposition
r\'eduite de $\sigma $ [3, chap.~4, \S\kern2pt 1]. 

On raisonne par r\'ecurrence sur $r$ ; l'assertion est
triviale pour $r = 0, 1$ ou 2. Supposons que le r\'esultat
soit d\'emontr\'e pour toute permutation de longueur
$\le r-1$ avec $r\ge  3$. Soient alors $\sigma $ et deux de ses
d\'ecompositions r\'eduites comme indiqu\'e ci-dessus ; si
$i_1=j_1$ ou si $i_r=j_r$, c'est termin\'e. Nous allons
raisonner par l'absurde en supposant que
$(i_1,\ldots,i_r)$ et $(j_1,\ldots,j_r)$ ne sont pas
\'equivalents.

\decale {\rm {a)}}|Prouvons que 
$s_{j_1} s_{i_1} \ldots s_{i_{r-1}}$ est
une d\'ecomposition r\'eduite de $\sigma $ et que
$(j_1,i_1,\ldots,i_{r-1})$ et $(i_1,\ldots,i_r)$ ne sont pas
\'equivalents. En effet, puisque $I(s_{j_1}\sigma ) = I(\sigma )-1$,
la condition d'\'echange dit qu'il existe $k \in 
\{1,\ldots,r\}$ tel que $s_{j_1} s_{i_1} \ldots
s_{i_{k-1}} s_{i_{k+1}}\ldots s_{i_r}$ soit une
d\'ecomposition r\'eduite de $\sigma $ ; puisque $s_{j_1}\ldots
s_{j_r}$ est une autre d\'ecomposition r\'eduite de~$\sigma $,
l'hypoth\`ese de r\'ecurrence implique que $(j_2, \ldots,
j_r)$ et $(i_1,\ldots, i_{k-1}$, $i_{k+1},\ldots, i_r)$ sont
\'equivalents, donc que $(j_1,\ldots,j_r)$ et $(j_1, i_1,\ldots,
i_{k-1}, i_{k+1}$, $\ldots , i_r)$ sont \'equivalents. Si $k$
\'etait diff\'erent de $r$, le m\^eme type de raisonnement
prouverait que $(i_1,\ldots,i_r)$ et  $(j_1, i_1,\ldots, i_{k-1},
i_{k+1},\ldots , i_r)$ sont \'equivalents. Par
transitivit\'e, $(i_1,\ldots,i_r)$ et $(j_1,\ldots,j_r)$ seraient
\'equivalents, ce qui contredit notre hypoth\`ese. On a
donc $k = r$ et  $(j_1,i_1,\ldots,i_{r-1})$, \'equivalent \`a
$(j_1,\ldots,j_r)$, n'est pas \'equivalent \`a $(i_1,\ldots,i_r)$.

\decale {\rm {b)}}|On d\'efinit $\sigma _0 = s_{j_1}\ldots
s_{j_r}$, $\sigma _1 = s_{i_1}\ldots s_{i_r}$ et, pour $1 \le  k
\le  r$,
$\sigma _{r+1-k}=s_{i_1}s_{j_1}\ldots
s_{i_1}s_{j_1}s_{i_1}s_{i_2}\ldots s_{i_k}$ (produit de
$r$ termes) si $r-k$ est pair, et
$\sigma _{r+1-k}=s_{j_1}s_{i_1}\ldots
s_{i_1}s_{j_1}s_{i_1}s_{i_2}\ldots s_{i_k}$ (produit de
$r$ termes) si $r-k$ est impair. En r\'ep\'etant $r-1$
fois la d\'emonstration du a), on montre que
$s_{i_1}s_{j_1}s_{i_1}\ldots s_{i_1\ {\rm ou}\ j_1}$ et
$s_{j_1}s_{i_1}s_{j_1}\ldots s_{j_1\ {\rm ou}\ i_1}$ sont
des d\'ecompositions {\it r\'eduites} de $\sigma $, ce qui est 
faux si $r\ge  4$, et que les deux $r$-uplets
$(i_1,j_1,i_1,\ldots )$ et $(j_1,i_1,j_1,\ldots\,)$ {\it ne
sont pas \'equivalents}, ce qui est faux pour $r=3$ en
particulier ; cela ach\`eve la d\'emonstration.

\medskip
L'\'equation de Yang-Baxter, jointe aux r\'esultats que
l'on  vient de prouver, permet d'\'enoncer le r\'esultat
suivant :

\th Th\'eor\`eme 16|Soient $T$ un op\'erateur de Yang-Baxter 
et $\sigma $ un \'el\'ement de ${\goth S}_N$. Le produit
$T^{{i_1}, i_1+1}\ldots \,T^{{i_r}, i_r+1}$ repr\'esente
le m\^eme op\'erateur pour toutes les d\'ecompositions
r\'eduites $s_{i_1}\ldots s_{i_r}$ de $\sigma $ ; on le
note~$T^\sigma $. 

De plus, on a les r\`egles suivantes : $T^\sigma 
T^\tau  = T^{\sigma\tau}$ si $I(\sigma \tau ) = I(\sigma ) + I(\tau )$ et
$T^{\sigma s_i}= T^\sigma  T^{i, i+1}$ si $\sigma (i) < \sigma (i+1)$. 
\finth

\preuve 
Compte tenu du th\'eor\`eme 15, l'existence de  
$T^\sigma $ revient \`a prouver l'\'egalit\'e 
$$
T^{{i_1}, i_1+1}\ldots\, T^{{i_r}, i_r+1}  = T^{{j_1},
j_1+1}\ldots \,T^{{j_r}, j_r+1} 
$$
lorsque les $r$-uplets $(i_1,\ldots ,i_r)$ et $(j_1,\ldots
,j_r)$ sont \'equivalents.  Il suffit de le faire lorsque l'on
passe du premier au second par une transformation de type
(II) ou (III). Les d\'etails sont les m\^emes que dans la
d\'emonstration de la proposition 18, b).

Les r\`egles de calcul s'\'etablissent au moyen des remarques 
suivantes :

notons $s_{i_1}\ldots s_{i_r}$ et
$s_{j_1}\ldots s_{j_q}$ des d\'ecompositions r\'eduites 
de $\sigma $ et $\tau $ respectivement ; alors $\sigma \tau $ admet la
d\'ecomposition r\'eduite $s_{i_1}\ldots s_{i_r}
s_{j_1}\ldots s_{j_q}$ lorsque l'on a 
$I(\sigma \tau )=I(\sigma )+ I(\tau )$ ;  

de m\^eme, si $s_{i_1}\ldots
s_{i_r}$ est une d\'ecomposition r\'eduite de $\sigma $ et
$\sigma (i) < \sigma (i+1)$, on a $I(\sigma s_i) = I(\sigma ) + 1$ et l'on
applique le premier cas \`a $\tau  = s_i$.

On voit facilement que l'application de ${\goth S}_N$ dans
$GL(V_N)$ qui \`a $\sigma $  fait correspondre $T^\sigma $, d\'efinie
dans le th\'eor\`eme 16, n'est pas un homomorphisme en
g\'en\'eral : par exemple, un op\'erateur $T$ de
Yang-Baxter ne v\'erifie pas n\'ecessairement $T^2 = 1$
alors que $s_i ^2 = 1$. Nous allons voir dans le
paragraphe suivant que ceci constitue en fait le principal
obstacle et nous allons introduire un groupe qui admet
une repr\'esentation naturelle \`a l'aide des op\'erateurs
de Yang-Baxter.



\section 7. Le groupe des tresses|Une repr\'esentation
graphique possible de la permutation $\sigma  = (12)(345)$
dans le groupe ${\goth S}_5$ (donn\'ee ici sous forme de
produit de cycles \`a supports disjoints), est la
suivante :

\midinsert
\centerline{\picture 46.9mm by 37.7mm (fig11) scaled {700}}
\endinsert

On constate qu'on peut donner une interpr\'etation
graphique  du produit des permutations ; par exemple, si
$\rho  = (2)(1543)$, $\rho \sigma $ est obtenue en ``attachant" $\rho $
au-dessous de $\sigma $.

\midinsert
\centerline{\picture 130mm by 52.9mm (fig12) scaled {700}}
\endinsert

Les dessins ci-dessus sont plans : la fa\c con dont les 
ar\^etes se croisent n'a aucune importance. Une 
{\it tresse} (figure~13.1) sera au contraire
repr\'esent\'ee par un entrelac de $N$ cordes joignant
$N$ points \`a $N$ autres points, deux cordes pouvant
se croiser de deux fa\c cons diff\'erentes. On compose
les tresses de la m\^eme fa\c con que les permutations.
On notera $b_i$ la tresse de la figure~13.2.
 
\midinsert
\centerline{\picture 92.0mm by 45.5mm (fig13) scaled {700}}
\endinsert

Donnons maintenant une d\'efinition rigoureuse par
 g\'en\'erateurs et relations du {\it groupe des
tresses} d'ordre $N$, not\'e $B_N$.

\rem D\'efinition $17$|Le groupe $B_N$ admet la
pr\'esentation donn\'ee par les g\'en\'erateurs
$b_1,\ldots ,b_{N-1}$, et les relations : 

\decale  {\rm {(II)}}|$b_i b_j = b_j b_i$ si 
$|i-j| \ge  2$ ;

\decale {\rm {(III)}}|$b_i b_j b_i = b_j b_i b_j$ 
si $|i-j| = 1$.

\medskip
Comme le sugg\`erent la repr\'esentation graphique des
tresses et le th\'eor\`eme de Moore, il y a un
\'epimorphisme de $B_N$ dans ${\goth S}_N$  d\'efini en
``oubliant" la fa\c con dont les cordes se croisent. Plus
pr\'ecis\'ement, on a le r\'esultat suivant.

\tha Proposition 18|

\decale {\rm {a)}}|Il existe un unique homomorphisme
$p$  de $B_N$ dans ${\goth S}_N$ d\'efini par $p(b_i) = s_i$ ;
de plus $p$ est  surjectif.

\decale {\rm {b)}}|Si $\sigma $ est un \'el\'ement de 
${\goth S}_N$ et si $s_{i_1}\ldots s_{i_r}$ est une
d\'ecomposition r\'eduite de $\sigma $, la tresse
$b_{i_1}\ldots b_{i_r}$  ne d\'epend pas de la
d\'ecomposition choisie et on la note $r(\sigma )$. 

\decale {\rm {c)}}|L'application $r$ ainsi d\'efinie est 
une section de $p$ : on a $p \circ  r =\id_{{\goth S}_N}$ 
\fintha

\preuve 
Le groupe $B_N$ est d\'efini par une
pr\'esentation.  Il en r\'esulte que, pour tout groupe
$G$ et toute famille d'\'el\'ements $t_1, \ldots ,
t_{N-1}$ de $G$, il existe un homomorphisme $\phi : B_N
\rightarrow  G$ transformant $b_1$ en $t_1,  \ldots , 
b_{N-1}$ en $t_{N-1}$ si, et seulement si, les
relations suivantes sont satisfaites : 

\decale{\rm {(II)$_G$}}|on a $t_i t_j = t_j t_i$ 
pour $|i -j| \ge  2$ ; 

\decale {\rm {(III)$_G$}}|on a 
$t_i t_j t_i = t_j t_i t_j$ pour $|i-j|=1$.

L'homomorphisme $\phi$ est surjectif si et seulement
si $t_1, \ldots , t_{N-1}$ engendrent le groupe $G$. Ces
conditions sont satisfaites dans le cas 
$G = {\goth S}_N$,  $t_i = s_i$ 
(voir le th\'eor\`eme de Moore). L'assertion~a)
r\'esulte de l\`a.

Pour prouver b), il suffit (d'apr\`es le th\'eor\`eme 15)
de  v\'erifier qu'on~a $b_{i_1}\ldots
b_{i_r}=b_{j_1}\ldots b_{j_r}$ lorsque l'on passe du
$r$-uplet $(i_1,\ldots ,i_r)$ au $r$-uplet $(j_1,\ldots
,j_r)$ par une transformation de type (II) ou (III). Or
cela r\'esulte des relations (II) et (III) respectivement
satisfaites par les g\'en\'erateurs $b_1, \ldots ,
b_{N-1}$ de $B_N$.

Soient $\sigma $ un \'el\'ement de ${\goth S}_N$ et
$s_{i_1}\ldots s_{i_r}$ une  d\'ecomposition r\'eduite
de~$\sigma $. Par d\'efinition, $r$ transforme $\sigma  =
s_{i_1}\ldots s_{i_r}$ en $b_{i_1}\ldots b_{i_r}$ et $p$
transforme $b_{i_1}\ldots b_{i_r}$  en $s_{i_1}\ldots
s_{i_r}= \sigma $, d'o\`u c). 

\medskip
On peut maintenant pr\'eciser le
th\'eor\`eme 16.

\th Th\'eor\`eme 19|Soient $V$ un espace vectoriel et 
$T$ un  op\'erateur de Yang-Baxter dans $V_2 =
V\otimes  V$.

\decale {\rm {a)}}|Il existe un homomorphisme 
$\rho $ de $B_N$ dans $GL(V_N)$ (o\`u
$V_N$ est le produit tensoriel de $N$ copies de $V)$ 
caract\'eris\'e par la relation 
$$
\rho (b_i)=T^{i, i+1}\ {\rm pour}\ 1 \le i \le  N-1. 
$$

\decale {\rm {b)}}|L'op\'erateur $T^\sigma $ d\'efini dans 
le th\'eor\`eme~$16$ est aussi 
donn\'e par
$$
T^\sigma  = \rho (r(\sigma ))\ \hbox{\rm pour}\   s\in {\goth
S}_N. $$
o\`u $r$ est l'application de ${\goth S}_N$ dans $B_N$ d\'efinie dans la 
proposition~$18$.
\finth

\preuve
L'assertion a) se d\'emontre comme la proposition 18, a).
Il suffit d'\'etablir les relations 

\decale {\rm {(II)$_T$}}| $T^{i, i+1} T^{j, j+1}=T^{j, j+1} T^{i, i+1}$ si $|i -
j| \ge  2$ ; 

\decale {\rm {(III)$_T$}}| $T^{i, i+1} T^{j, j+1} T^{i, i+1} = T^{j, j+1} T^{i,
i+1} T^{j, j+1}$ si $|i - j| = 1$.

\noindent
La relation (II)$_T$ est imm\'ediate, car les
op\'erateurs $T^{i, i+1}$  et $T^{j, j+1}$ sont
appliqu\'es \`a des couples $(i, i+1)$ et $(j, j+1)$ sans
terme commun de facteurs du produit tensoriel $V_N$. La
relation (III)$_T$ se ram\`ene imm\'ediatement \`a
l'\'equation de Yang-Baxter.

Prouvons b). Pour toute permutation 
$\sigma \in{\goth S}_N$, posons 
$T^\sigma  = \rho (r(\sigma ))$. Si $s_{i_1}\ldots s_{i_r}$ 
est une d\'ecomposition r\'eduite de $\sigma $,
on a $r(\sigma ) = b_{i_1}\ldots b_{i_r}$, d'o\`u
$$
T^\sigma  = T^{i_1, i_1+1}\ldots\, T^{i_r, i_r +1}.
$$
Il en r\'esulte bien que le produit au second membre 
est le m\^eme pour toutes les d\'ecompositions
r\'eduites  $s_{i_1} \dots s_{i_r}$  de
$\sigma $.

\medbreak
\sectiona 8. Les tenseurs $q$-sym\'etriques|

\ssection {\rm a)} D\'efinition des tenseurs
$q$-sym\'etriques|On reprend les notations du
paragraphe 5, c'est-\`a-dire  que l'on a $V ={\bboard
C} e_+ \oplus {\bboard C} e_-$ et $T=T(q)$.  On a
d\'efini le sous-espace $S_q ^2$ des $2$-tenseurs
$q$-sym\'etriques ; plus g\'en\'eralement, on pose
${\goth D}_N = S_q ^N =\{ t \in  V_N\, |\,T^{i, i+1} (t) =t$
pour tout $i = 1, \ldots , N-1\}$. Les \'el\'ements de
${\goth D}_N$ sont appel\'es les $N$-tenseurs
$q$-sym\'etriques : ils sont les $q$-analogues des
tenseurs sym\'etriques habituels (voir la remarque 21).
On d\'efinit aussi le sous-espace des $N$-tenseurs
$q$-antisym\'etriques $\Lambda _q ^N =\{ t \in  V_N \,| \,T^{i,
i+1} (t) = -q^2 t$ pour tout $i=1, \dots, N-1\}$.

\th Proposition 20|L'espace ${\goth D}_N$ est de
dimension $N+1$ et admet la base $(u_0,\ldots ,u_N)$,
o\`u $$
u_p =\sum_{ \alpha } q^{I({ \alpha })} e_{ \alpha }
$$
et o\`u la sommation porte sur les \'el\'ements de 
$\{+,  -\}^N$ 
contenant $p$ fois $+$ et $N-p$ fois $-$ ; enfin, 
$I({ \alpha })$ est le nombre de
fois o\`u $+$ pr\'ec\`ede $-$ dans~${\alpha }$.
\finth

\rem Exemples|Pour $N=2$ on a :
$u_0 = e_{- -}$,            
$u_1 = e_{- +} + qe_{+ -}$, 
$u_2 = e_{+ +}$.
Pour $N = 3$, $u_0 = e_{- - -}$,
$u_1= e_{- - +} + qe_{- + -} + q^2e_{+ - -}$,
$u_2 = e_{- + +} + qe_{+ - +} + q^2e_{+ + -}$,
$ u_3 = e_{+ + +}$.
Pour
$N = 4$ on a :
$$
\eqalign{u_0 &= e_{- - - -} ; \cr
u_1 &= e_{- - - +} + qe_{- - + -} 
+ q^2e_{- + - -} + q^3e_{+ - - -} ; \cr
u_2 &= e_{- - + +} + qe_{- + - +} 
+ q^2e_{+ - - +} + q^3e_{+ - + -} 
+ q^2e_{- + + -} + q^4e_{+ + - -} ; \cr
u_3 &= e_{- + + +} + qe_{+ - + + }
+ q^2e_{+ + - +} + q^3e_{+ + + -} ; \cr
u_4 &= e_{+ + + +}.\cr
}
$$

\rem Remarque $21$|La somme des coefficients dans
$u_p$ est  \'egale au coefficient $q$-binomial de Gauss
${N \brack p}_q$, ce qui justifie l'appellation de
``$q$-{\it analogues des tenseurs sym\'etriques}" pour
les \'el\'ements de ${\goth D}$.

\medskip
D\'emontrons la proposition 20 : 

\decale 1)|Notons $V_{N,p}$ le sous-espace 
vectoriel de $V_N$ engendr\'e par les 
$e_{ \alpha }$ o\`u a contient $p$ fois $+$ et
$N-p$ fois $-$. On constate que 
$$
V_N =\bigoplus_{p=0} ^{N} V_{N,p}
$$
et que chaque $T^{i, i+1}$ laisse stable tous les 
$V_{N,p}$ ; par suite, 
on a :
$$
{\goth D}_N =\bigoplus_{p=0} ^N({\goth D}_N \cap
V_{N,p}). 
$$

\decale 2)|Examinons tout d'abord le cas $N = 2$. Vu la
forme de la  matrice $T = T(q)$, l'\'equation
$$
T=\Bigl(\sum_{(\alpha ,\beta ) \in  \{+,-\}^2} 
t_{\alpha , \beta } e_{\alpha ,\beta } \Bigr) =\sum_{(\alpha ,\beta ) \in  \{+,
-\}^2} t_{\alpha ,\beta } e_{\alpha ,\beta }
$$
est \'equivalente au syst\`eme suivant :
$$
\cases{qt_{-+} = t_{+-}\cr
qt_{+-} + (1-q^2) t_{-+} = t_{-+}\cr
}
$$
qui est lui-m\^eme \'equivalent \`a 
$qt_{- +} = t_{+ -}$. On en 
d\'eduit imm\'ediatement la base de ${\goth D}_2$
mentionn\'ee dans la proposition~20. 

\decale 3)|Cas g\'en\'eral : cherchons une base de
${\goth D}_N \cap V_{N,p}$. Le 2)  nous dit qu'un
\'el\'ement de $V_N$ qui s'\'ecrit 
$$
\sum_{{ \alpha } \in  \{ +, -\}} t_{ \alpha } e_{ \alpha }
$$
appartient \`a ${\goth D}_N$ si et seulement s'il
v\'erifie 
$$
t_{(\alpha _1, \ldots , \alpha _{i-1}, +, -, \alpha _{i+2}, \ldots ,
\alpha _N)}  
= qt_{(\alpha _1, \ldots , \alpha _{i-1}, -, +,\alpha _{i+2}, \ldots
, \alpha _N)} 
$$ 
pour tout $i = 1, \ldots , N-1$ et pour tout ${ \alpha }$. 
On en d\'eduit qu'un  \'el\'e\-ment de $V_{N,p}$
appartient \`a ${\goth D}_N$ si et seulement s'il
v\'erifie  $t_{\alpha } = q^{I({ \alpha })}
t_{(--, \ldots  , --, +, \ldots , +)}$ 
pour tout ${ \alpha }$ contenant $p$ fois $+$ et
$N-p$ fois $-$. Par cons\'equent, ${\goth D}_N \cap
V_{N,p}$ est de dimension 1 et est engendr\'e par $u_p$.


\ssectiona {\rm b)} Polyn\^omes tordus|

\'Etude du cas $q =1$ : rappelons la structure de
l'alg\`ebre  sym\'etrique de~$V$ : 
$$
\Sym V =\bigoplus_{N=0} ^\infty S^N V.
$$
Le produit sur $\Sym V$ est la multiplication 
sym\'etris\'ee, 
d\'efinie de la fa\c con suivante : si $u$ appartient 
\`a $S^NV$ et si
$v$ appartient \`a $S^MV$, on pose
$$
u.v=\sum_\sigma  U_\sigma  (u \otimes v),
$$
o\`u la somme est \'etendue \`a toutes les permutations
de  ${\goth S}_{N+M}$ qui sont croissantes sur
$\{1,\ldots ,N\}$ et sur $\{N+1,\ldots ,N+M\}$.
L'op\'erateur $U_\sigma $ a \'et\'e d\'efini au paragraphe 5
pour le cas $N = 3$. En g\'en\'eral, on a $U_\sigma (a_1
\otimes \ldots \otimes a_L) = a_\sigma ^{-1}(1) \otimes
\ldots \otimes a_\sigma ^{-1}(L)$ pour toute permutation
$\sigma $ dans ${\goth S}_L$. Le produit $u.v$ est un \'el\'ement
de $S^{N+M}V$ et avec ces notations, les \'el\'ements
$u_p$ de la proposition 20, dans le cas $q = 1$, sont
\'egaux \`a $(e_+)^p.(e_-)^{N-p}$. Cette multiplication
est associative, commutative et $\Sym V$ est isomorphe
\`a l'alg\`ebre ${\bboard C}[e_+,e_-]$ des polyn\^omes
en $e_+$ et $e_-$.

\medskip
Cas g\'en\'eral : lorsque $q$ est quelconque, on va munir 
$$
\Sym_q V =\bigoplus_{N=0} ^\infty S_q ^N V =
\bigoplus_{N=0} ^\infty {\goth D}_N 
$$
d'une structure d'alg\`ebre associative qu'on appelle 
{\it l'alg\`ebre
$q$-sym\'etrique} de $V$. Si $u$ appartient \`a 
$S_q ^NV$ et si $v$ appartient \`a
$S_q ^MV$, on pose
$$
u.v =\sum_\sigma  q^{2[NM-I(\sigma )]} 
T^\sigma  (u \otimes v),
$$
o\`u la somme est \'etendue \`a toutes les permutations
de  ${\goth S}_{N+M}$  qui sont croissantes sur
$\{1,\ldots ,N\}$ et sur $\{N+1,\ldots ,N+M\}$ ;
rappelons que $I(\sigma )$ d\'esigne le nombre d'inversions
de $\sigma $ et que $T^\sigma $ a \'et\'e d\'efini au
th\'eor\`eme~16.

\rem Exemples|Si
$N = M = 1$ et $e_-.e_+ = q^2e_{- +} +
T(e_{- +})= qe_{+ -} + e_{- +}= u_1$, on a
avec les notations de la proposition~20 :
$e_+.e_- = q^2e_{+ -} + T(e_{+ -})
= q^2e_{+ -} + qe_{- +} = qu_1$.

\th Proposition 22|L'alg\`ebre $\Sym_q V$ est isomorphe
\`a la  ${\bboard C}$-alg\`ebre engendr\'ee par deux
g\'en\'erateurs $e_+$ et $e_-$ v\'erifiant la relation
$e_{+}e_{-} = qe_{-}e_{+}$. 
\finth

C'est en ce sens que l'on peut parler de polyn\^omes ``tordus". 
Dans cette alg\`ebre, on a une $q$-formule du bin\^ome, \`a savoir :
$$
(e_+ + e_-) ^N =\sum_{p=0} ^N
{N\brack p}_q
e_- ^p e_+ ^{N-p}.
$$
Noter que l'alg\`ebre $q$-sym\'etrique n'est pas 
commutative si $q \neq  1$.

\ssection {\rm c)} La d\'ecomposition de
Clebsch-Gordan|Nous allons \'enoncer les r\'esultats
essentiels dans le cas  $q = 1$. On sait que $S^NV$ est
engendr\'e par les \'el\'ements $a^{\otimes  N}$ o\`u
$a$ parcourt $V$ ; ceci va nous permettre de d\'efinir
de fa\c con invariante (i.e., sans fixer de base de $V$) un
isomorphisme.

\th Th\'eor\`eme 23 [{\rm
Clebsch-Gordan}]|L'application suivante  est un
isomorphisme : 
$$
\eqalign{
S^M V \otimes S^N V & \rightarrow  
\bigoplus_{p=0}^{\min (M, N)}  
\bigl(S^{M + N -2p} V \otimes (\bigwedge\nolimits ^2 V)
^{\otimes_p}\bigr)\cr 
a^{\otimes M} \otimes b
^{\otimes N} & \rightarrow 
\sum_{p=0} ^{\min (M, N)}
\bigl( a^{M-p} . b^{N-p} 
\otimes (a \wedge
b)^{\otimes _p}\bigr).\cr 
}$$ 
\finth

Ici $V$ est de dimension 2, donc $\bigwedge^2 V$ est de
dimension~1 et  finalement, on a un isomorphisme :
$$
S^M V \otimes S^N V \cong 
\bigoplus_{p=0} ^{\min (M, N)} S^{M+N-2p} V.
$$

Dans le cas o\`u $q$ est quelconque, on a un r\'esultat
analogue.  Posons 
$$
\phi (a ; q^2) =\prod_{i=1} ^a {q^{2i}-1\over q^2 -1}.
$$
On a alors, de mani\`ere g\'en\'erale :
$$
u_p = {(e_-)^{N-p} (e_+) ^p \over 
\phi(p ; q^2) \phi (N-p ; q^2)}.
$$

\th Th\'eor\`eme 24|Il existe un isomorphisme :
$$
{\goth D}_M \otimes {\goth D}_N \cong \bigoplus_{p=0}
^{\min (M, N)} {\goth D}_{M+N-2p}. 
$$
\finth

En particulier, on dispose de la {\it r\`egle de
branchement} : 
$$
{\goth D}_1 \otimes {\goth D}_M \cong {\goth D}_{M+1}
\oplus {\goth D}_{M-1}. 
$$
On en d\'eduit la d\'ecomposition de 
$$
\eqalign{
V_N & = {\goth D}_1\otimes  
\cdots \otimes  {\goth D}_1
:\cr 
V_1 & = {\goth D}_1 ;\cr
V_2 & = {\goth D}_2 \oplus  {\goth D}_0 ;\cr
V_3 & = {\goth D}_3 \oplus  2{\goth D}_1 \ \ldots \cr
}
$$
Pour une \'etude d\'etaill\'ee des r\'esultats d\'ecrits dans ce 
paragraphe, nous renvoyons le lecteur \`a Jimbo [6].

\vfill\eject

\vglue 44pt
{\eightpoint

\centerline{BIBLIOGRAPHIE}

\bigskip\bigskip
\article 1|E. Artin|Theorie der Z\"opfe|Abh. der Math.
Seminar Hamburg|4|1925|47-72|

\livre 2|R.J. Baxter|Exactly solved models in statistical
mechanics,|Acad. Press, {\oldstyle 1982}| 

\livre 3|N. Bourbaki|Groupes et alg\`ebres de Lie
{\rm chapitres 4 \`a 6}|Masson, {\oldstyle 1981}|

\livre 4|W. Burnside|Theory of groups of finite
order|Dover, {\oldstyle 1955}|

\article 5|V. Drinfeld|Quantum groups|Proc. Int. Cong.
Math. Berkeley|1|1986|798-820|
 
\article 6|J. Jimbo|A $q$-analog of $U(GL(N+1))$, Hecke algebras
and the Yang-Baxter equation|Lett. Math.
Phys.|11|1986|247-252|

\article 7|V. Jones|Hecke algebra representations of
braid groups|Ann. Math.|126|1987|335-388|

\article 8|G. Lusztig|Quantum deformation of certain
simple modules over enveloping algebras|Adv.
Math.|70|1988|237-249|

\livre 9|W. Pauli|Lectures on Physics, {\rm vol. 4} :
Statistical mechanics|M.I.T. Press, {\oldstyle 1973}|

\article 10|M. Rosso|Finite dimensional representations
of the quantum analog of the enveloping algebra of a
complex simple Lie algebra|Comm. Math.
Phys.|117|1988|581-593|

\livre 11|C.N. Yang and M.L. Ge (editors)|Braid groups,
knot theory and statistical mechanics|Adv. Series Math.
Phys., vol~9, World Scientific, {\oldstyle 1989}|

\bigskip\bigskip\bigskip
\rightline{\vbox{\halign{#\hfil\cr
Pierre \pc CARTIER|,\cr
D\'epartement de Math\'ematiques et  d'Informatique,\cr
\'Ecole Normale Sup\'erieure,\cr
45, rue d'Ulm,\cr
F-75230 PARIS Cedex 05.\cr}}\qquad}

}

\bye








