Séminaire Lotharingien de Combinatoire, B23a, 1990, 28 pp. [Formerly : Publ. I.R.M.A. Strasbourg, 1993, 460/S–23, p. 5–37.]

NOUVELLES AVENTURES AU PAYS DES q-ANALOGUES

(ÉQUATION DE YANG-BAXTER)

PAR

Pierre CARTIER (^{∗})

Introduction. — La Mécanique Statistique des systèmes atomiques (cristaux, …) offre un abondant réservoir de problèmes combinatoires. La difficulté essentielle est le calcul exact, ou asymptotique, des sommes compliquées qu’on appelle la fonction de partition de Boltzmann et Gibbs. Il y a peu de cas où l’on sache faire les calculs complets ; voici deux cas notables :

le modèle d’Ising à deux dimensions (Onsager, 1940) ;

le modèle de la glace (Lieb, 1967). Ces deux modèles se réfèrent à des situations à deux dimensions.

Nous nous proposons, dans ces exposés, de donner une introduction aux problèmes combinatoires liés au modèle de la glace. On y voit tout d’abord une extension à deux dimensions du calcul matriciel. Ce dernier est adapté par exemple à l’étude des circuits électriques en série

qui amène à l’étude des puissances d’une matrice. Dans notre cas, on a deux types de composition, horizontale et verticale, comme le suggèrent les figures ci-dessous. Une telle interprétation graphique du calcul tensoriel a été introduite par l’imaginatif Roger Penrose.

La méthode de Lieb a été simplifiée par Baxter [2] qui a réalisé l’importance de la relation, dite de Yang-Baxter, et qui s’écrit

T^{1,2}T^{2,3}T^{1,2} = T^{2,3}T^{1,2}T^{2,3}.

(^{∗}) Notes rédigées par E. Roblet, élève à l’École Normale Supérieure de Paris, d’après trois exposés de Pierre Cartier au Séminaire Lotharingien de Combinatoire des 8, 9 et 10 mai 1989 à Bayreuth.

P. CARTIER

C’est à cet endroit que s’insinue le q-calcul. Une solution élémentaire de l’équation de Yang-Baxter est fournie par un opérateur de symétrie T (1) : x ⊗ y → y ⊗ x dans un produit tensoriel V ⊗ V. Le modèle de la glace suggère une déformation T (q) de T (1) qui satisfait à l’équation de Yang-Baxter. Il s’agit de trouver les valeurs propres d’un opérateur R déduit de T (q) et opérant dans l’espace tensoriel V_{N} = V ⊗ ⋯ ⊗ V (N facteurs). Comme V est ici de dimension 2, on peut chercher à utiliser une q-déformation du calcul classique de Clebsch-Gordan.

Dans ces exposés, nous avons donné une idée des méthodes de la Mécanique Statistique, explicité les liens entre l’équation de Yang-Baxter, l’algèbre de Hecke et le groupe des tresses, et donné une introduction à la q-déformation du calcul tensoriel. On verra en particulier apparaître de manière naturelle les coefficients q-binomiaux de Gauss, et une algèbre de polynômes non commutatifs en deux variables x, y telles que yx = qxy. Pour aller jusqu’à la solution du problème de la glace, il aurait fallu introduire les groupes quantiques, qui sont des q-déformations des groupes de symétrie naturels.

Remerciements. — Je remercie les organisateurs du Séminaire Lotharingien de Combinatoire, qui m’ont donné l’occasion de faire cette série d’exposés dans le cadre très inspirant de la Franconie. Je remercie aussi mes auditeurs à l’École Normale Supérieure, qui ont servi de cobayes pour la mise au point de ce cours. Plus particulièrement, je remercie Emmanuel Roblet pour l’intelligence et le soin apportés à la rédaction, la mise au point et la typographie de ces notes.

1. Introduction à la mécanique statistique discrète. — Les modèles discrets de la mécanique statistique étudient, en fonction de la température, les configurations d’un système fini de “particules” (atomes, molécules, …) existant dans différents états. On s’intéresse également au comportement asymptotique de ces modèles, lorsque le nombre de “particules” tend vers l’infini, ou lorsque la température tend vers zéro ou vers l’infini. On utilisera les notations et les définitions suivantes :

NOUVELLES AVENTURES AU PAYS DES q-ANALOGUES

Λ est l’ensemble des sites occupés par les atomes et, pour x ∈ Λ, S_{x} est l’ensemble des états possibles de la particule placée en x;

Ω = ∏_{x∈Λ} S_{x} désigne l’ensemble des configurations. Une configuration est

donc une fonction ω qui donne, pour chaque site x, l’état ω_{x} ∈ S_{x} de la particule en x;

H : Ω → est le hamiltonien du système ; cette fonction est déduite de considérations physiques et H(ω) représente l’énergie de la configuration ω;

μ_{0} : Ω → _{+} est la loi a priori ; on n’impose pas la condition de normalisation

∑_{ω∈Ω} μ_{0}(ω) = 1.

Plutôt que la température T, on utilise la variable β = 1/kT, où k est la constante de Boltzmann.

On note Z la fonction de partition du modèle ; son calcul exact ou son évaluation asymptotique est essentielle, car elle permet de calculer toutes les grandeurs thermodynamiques usuelles :

Z(β) = ∑_{ω∈Ω} e^{−βH(ω)}μ_{0}(ω).

On définit enfin la valeur moyenne thermique d’une fonction A : Ω → par

⟨A⟩ = \frac{1}{Z(β)} ∑_{ω∈Ω} A(ω)e^{−βH(ω)}μ_{0}(ω).

C’est en fait l’intégrale de la fonction A sur Ω par rapport à la loi de probabilité μ définie par

μ(ω) = \frac{e^{−βH(ω)}μ_{0}(ω)}{Z(β)},

et appelée loi canonique de Gibbs.

Étudions les limites de la valeur moyenne de A.

1) Dans le cas où la température tend vers l’infini, c’est-à-dire lorsque β tend vers zéro, on a :

⟨A⟩ → \frac{∑_{ω∈Ω} A(ω)μ_{0}(ω)}{∑_{ω∈Ω} μ_{0}(ω)}.

La loi de probabilité des configurations à très haute température est donc de la forme μ_{∞}(ω) = c_{∞}μ(ω) où la constante c_{∞} est choisie pour qu’on ait la normalisation ∑_{ω∈Ω} μ_{∞}(ω) = 1.

2) Notons Ω_{0} le sous-ensemble de Ω constitué des configurations où H est minimal et remarquons que la valeur moyenne de A est invariante lorsqu’on ajoute à H une constante ; on peut donc supposer que min{H(ω), ω ∈ Ω} = 0. L’ensemble Ω_{0} s’interprète physiquement comme l’ensemble des états stables à basse température. On montre alors facilement que, dans le cas où la température tend vers zéro par valeurs positives, c’est-à-dire, pour β tendant vers l’infini, on a :

⟨A⟩ → \frac{∑_{ω∈Ω_{0}} A(ω)μ_{0}(ω)}{∑_{ω∈Ω_{0}} μ_{0}(ω)}.

Par conséquent, la loi à T = 0 est la loi de probabilité induite sur l’ensemble Ω_{0} des états d’énergie minimale par un multiple convenable c_{0}μ_{0} de μ_{0}.

Le cas le plus fréquent est celui où la loi a priori est uniforme ; on peut alors se ramener au cas où μ_{0}(ω) = 1 pour tout ω. Si l’on note |X| le cardinal d’un ensemble fini X, on a alors

μ_{∞}(ω) = |Ω|^{−1}, pour la loi à haute température ;
μ_{0}(ω_{0}) = |Ω_{0}|^{−1}, pour la loi à basse température ;

avec ω ∈ Ω et ω_{0} ∈ Ω_{0}. L’expression de la fonction de partition se simplifie :

Z(β) = ∑_{ω∈Ω} e^{−βH(ω)}.

2. Grandeurs thermodynamiques. — L’énergie libre F de Gibbs est donnée par Z(β) = e^{−βF (β)} ce qui nous donne F (β)=(−1/β) Log Z(β). L’énergie E est la valeur moyenne de H; on démontre aisément les formules suivantes :

E = ⟨H⟩ = −\frac{∂(Log Z(β))}{∂β} = F − T \frac{∂F}{∂T} .

Notons f la densité de μ par rapport à μ_{0}. Suivant la définition de Kühlback, l’entropie S est donnée par :

S(β) = −k ∑_{ω∈Ω} μ(ω) Log \frac{μ(ω)}{μ_{0}(ω)} = −k ∑_{ω∈Ω} μ_{0}(ω)(f Log f)(ω).

Si la loi a priori μ_{0} est uniforme sur Ω, les valeurs limites de S sont k Log |Ω| (resp. k Log |Ω_{0}|) lorsque T tend vers l’infini (resp. zéro). On a les égalités suivantes :

S = \frac{E − F}{T} = −\frac{∂F}{∂T} = kβ^{2} \frac{∂F}{∂β} .

3. Le modèle d’Ising à une dimension.

a) Présentation. — Il s’agit d’une chaîne Λ de N atomes identiques possédant chacun un moment magnétique pouvant prendre deux orientations. On modélise l’ensemble des états possibles d’un atome x par S_{x} = {−1, 1}, de sorte que Ω = {−1, 1}^{N}. Un élément de Ω est donc un vecteur ω = (ω_{1}, …, ω_{N}) à N composantes égales à +1 ou à −1. La loi a priori est uniforme et vaut 1.

On suppose que les atomes interagissent avec leur(s) plus proche(s) voisin(s), ainsi qu’avec un champ magnétique extérieur. Le hamiltonien est donné par

H(ω) = J ∑_{i=1}^{N−1} ω_{i}ω_{i+1} + B ∑_{i=1}^{N} ω_{i},

où J et B sont des nombres réels, qui décrivent respectivement l’intensité de l’interaction entre deux plus proches voisins et l’intensité du champ magnétique extérieur.

Examinons, en l’absence de champ magnétique (i.e., B = 0), les configurations où H est minimal ; elles dépendent du signe de J.

1) Si J < 0, H est minimal lorsque les moments des atomes sont tous de même sens ; il y a deux configurations possibles :

C’est le modèle ferromagnétique.

2) Si J > 0, H est minimal lorsque les moments des atomes sont alternés ; là encore, on obtient deux configurations : C’est le modèle antiferromagnétique.

Remarques.

1) Dans le cas où B = 0, le hamiltonien H est invariant par la symétrie ω → −ω; on peut donc prévoir que |Ω_{0}| est pair.

2) On a |Ω_{0}| = 2 alors que |Ω| = 2^{N}, où N est de l’ordre du nombre d’Avogadro, c’est-à-dire 6 × 10^{26}. En particulier, lorsque la température croît de 0 à +∞, l’entropie s’accroît de k Log |Ω|/|Ω_{0}|, approximativement égal à kN Log 2. On rappelle que, si N est le nombre d’Avogadro, kN est la constante R des gaz parfaits égale à 8, 32 × 10^{3} J/^{o}K.

3) Si B n’est pas nul, Ω_{0} est modifié et en particulier, n’est plus nécessairement invariant par la symétrie ω → −ω : on dit qu’il y a brisure de symétrie.

b) Calcul de la fonction de partition ; conditions aux limites cycliques. La façon de mener les calculs — ici comme au paragraphe 4 — est la suivante : on examine l’interaction limitée d’un atome avec un atome voisin ainsi qu’avec le champ magnétique. Le hamiltonien de cette interaction limitée peut prendre quatre valeurs possibles suivant l’état de l’atome considéré et celui de son voisin ; ces quatre valeurs sont les T_{στ} définis ci-dessous : on pose u = e^{−βJ}, v = e^{−βB} et T_{στ} = u^{στ} v^{τ} (σ et τ varient dans {−1, 1}). On appelle matrice de transfert et on note T la matrice carrée 2 × 2 dont les éléments sont les T_{στ} :

T = ( \begin{matrix}T_{1,1} & T_{1,−1} \\ T_{−1,1} & T_{−1,−1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}uv & u^{−1}v^{−1} \\ u^{−1}v & uv^{−1} \end{matrix} ) .

On va s’attacher ensuite à déterminer la fonction de partition (quantité globale) grâce à la matrice de transfert (quantité locale). Pour pouvoir mener le calcul jusqu’au bout, on suppose que le N-ième atome interagit avec le premier, c’est-à-dire que la chaîne d’atomes est cyclique ; cette hypothèse est physiquement justifiée par la taille de N. Les expressions de H et de Z sont alors :

H(ω) = J ∑_{i=1}^{N} ω_{i}ω_{i+1} + B ∑_{i=1}^{N} ω_{i} avec ω_{N+1} = ω_{1} ;

Z(β) = ∑_{ω_{1}∈{−1,+1}} U_{ω_{1}ω_{1}},

où l’on a posé

U_{ω_{1}ω_{N+1}} = ∑_{(ω_{2},...,ω_{N})∈{−1,1}^{N−1}} T_{ω_{1}ω_{2}}T_{ω_{2}ω_{3}} … T_{ω_{N} ω_{N+1}}.

La matrice U est une matrice 2 × 2 et l’on constate que U_{στ} est l’élément d’indice στ de la matrice T^{N}. Nous avons donc prouvé le résultat suivant.

Théorème 1. — La fonction de partition Z(β) est la trace de la matrice T^{N}, c’est-à-dire Z(β) = tr(T^{N}).

Ce procédé de calcul de la fonction de partition s’appelle la méthode de la matrice de transfert ; elle s’applique en toute dimension, mais on ne sait terminer le calcul exact qu’en dimension 1 et 2. Nous avons besoin ici du résultat suivant.

Théorème [Perron-Frobenius]. — Soit T = (t_{ij}) une matrice réelle n × n avec t_{ij} > 0 quels que soient i et j. La valeur propre complexe de T de plus grand module est simple et strictement positive : λ_{1} > |λ_{2}| ≥ ⋯ ≥ |λ_{n}|. De plus, il existe un vecteur propre pour λ_{1} dont toutes les coordonnées sont strictement positives.

Soient alors λ_{1} et λ_{2} les valeurs propres de T avec λ_{1} > |λ_{2}|; il existe une matrice 2×2 inversible P telle que T = P^{−1}DP donc T^{N} = P^{−1}D^{N}P avec

D = ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix} ) .

De l’égalité des traces tr(AB) = tr(BA), on tire alors Z(β) = λ_{1}^{N} + λ_{2}^{N}, donc :

\frac{1}{N} Log Z(β) → Log λ_{1} (N → +∞).

On peut aussi calculer λ_{1} = e^{−βJ}cosh(βB)+[e^{−2βJ}sinh^{2}(βB)+e^{2βJ}]^{1/2} et exprimer ainsi, en fonction des paramètres J et B et de la température T, les quantités thermodynamiques par atome [2].

L’énergie par atome : lim_{N→+∞} \frac{F}{N} = −kT Log λ_{1}.

L’entropie par atome : lim_{N→+∞} \frac{S}{N} = k Log λ_{1} + k \frac{T}{λ_{1}} \frac{∂λ_{1}}{λT}.

L’énergie par atome : lim_{N→+∞} \frac{E}{N} = \frac{kT^{2}}{λ_{1}} \frac{∂λ_{1}}{∂T}.

4. Le modèle d’Ising à deux dimensions.

a) Présentation du problème physique et du modèle dual avec conditions aux limites cycliques. — L’ensemble des sites Λ = {1, …, N + 1} × {1, …, M + 1} est un rectangle inclus dans le réseau ^{2} et, pour tout x ∈ Λ, l’ensemble des états est S_{x} = {−1, 1}. L’ensemble des configurations est donc Ω = {−1, +1}^{Λ}. On suppose comme précédemment que les atomes interagissent uniquement avec leurs plus proches voisins (le champ magnétique extérieur est nul) ; le problème physique se déroule donc sur un graphe G dont les sommets sont les atomes, dont les arêtes matérialisent l’existence d’une interaction entre deux atomes (c’est la valence des chimistes), et dont les faces ( on parle aussi de plaquettes) sont les carrés du réseau ^{2} (voir figure 4.1). On note E l’ensemble des arêtes de G. La loi a priori est uniforme et vaut 1. Le hamiltonien est donné par :

H(ω) = J ∑_{{x,y}∈E} ω_{x}ω_{y}.

Remarque 2. — Une configuration ω sur G est une application de l’ensemble Λ des sommets de G dans {1, −1}; une telle configuration ω étant donnée, valuons chaque arête a = {x, y} de G par σ_{a} = ω_{x}ω_{y}. Le hamiltonien ne dépend que de l’ensemble des valuations et on constate que le produit σ_{a}σ_{b}σ_{c}σ_{d} vaut 1 si a, b, c, d sont les quatre arêtes d’une plaquette de G. Les valuations des arêtes de G ne sont donc pas indépendantes.

Pour pouvoir calculer Z, nous allons considérer le graphe G^{∗} dual de G (figure 4.2 ). Le graphe G^{∗} possède MN sommets situés aux centres des plaquettes de G. Il possède aussi (N +1)M arêtes horizontales et N(M +1) arêtes verticales ; une arête e de G^{∗} intersecte une et une seule arête a de G et on pose alors σ_{e} = σ_{a} : une configuration sur G^{∗} sera donc une application de l’ensemble des arêtes de G^{∗} dans {−1, 1}. On désigne par Λ^{∗} (resp. E^{∗}, Ω^{∗} = {−1, 1}^{E^{∗}}) l’ensemble des sommets (resp. des arêtes, des configurations) de G^{∗}.

On vient de définir une application Φ de Ω dans Ω^{∗} qui à une configuration ω = (ω_{x})_{x∈Λ} fait correspondre une configuration σ = (σ_{e})_{e∈E^{∗}}. Posons Ω′ = Φ(Ω) ; on a alors le résultat suivant :

Lemme 3.

a) Un élément σ ∈ Ω^{∗} est dans Ω′ si et seulement si, pour tout sommet z ∈ Λ^{∗}, on a σ_{e}σ_{f}σ_{g}σ_{h} = 1 où e, f, g, h sont les quatre arêtes de G^{∗} adjacentes à z.

b) Dans ce cas, σ a deux antécédents par Φ ; si l’un est ω = (ω_{x})_{x∈Λ}, l’autre est −ω = (−ω_{x})_{x∈Λ}.

Preuve.

a) Soit σ un élément de Ω^{∗} satisfaisant la condition a). Fixons la valeur d’un des sommets de G en posant par exemple ω_{(1,1)} = 1 ; on constate alors qu’on peut définir de proche en proche un et un seul ω dans Ω tel que Φ(ω) = σ (on peut commencer par calculer les valeurs nécessaires de ω_{(1,2)}, …, ω_{(1,N+1)}, puis on calcule ensuite ligne à ligne les valeurs des ω_{(i,j)} en utilisant les conditions de compatibilité du type σ_{e}σ_{f}σ_{g}σ_{h} = 1).

b) On construit de la même façon le second antécédent ω′ de σ en commençant par poser ω′_{(1,1)} = −1, et on constate que ω′ est l’opposé du vecteur ω construit au a).

On a donc remplacé la condition sur les plaquettes de G donnée dans la Remarque 2 par une condition sur les sommets de G^{∗}, qui se traduit facilement dans la matrice de transfert (cf. plus bas). Pour remédier au fait que les seules configurations autorisées sur G^{∗} sont celles de Ω′, on utilise l’artifice suivant : on pose, lorsque σ ∈ Ω^{∗},

H^{∗}(σ) = \{ \begin{matrix}+∞, & si σ ∈ Ω^{∗}\Ω′, de sorte que e^{−βH^{∗}(σ)} = 0 ; \\ \frac{J}{2} ∑_{z∈Λ^{∗}} ∑_{e} σ_{e}, & si σ ∈ Ω′. \end{matrix}

(La seconde somme porte sur les arêtes e ∈ E^{∗} adjacentes à z.) Poser H^{∗}(σ) = +∞ lorsque σ est une configuration interdite signifie physiquement qu’il faut une énergie infinie pour l’atteindre.

Le modèle avec conditions aux limites cycliques consiste à identifier, dans G, d’une part les sommets de coordonnées (1, i) à ceux de coordonnées (M + 1, i), et d’autre part les sommets de coordonnées (j, 1) à ceux de coordonnées (j, N + 1) pour toutes les valeurs possibles de i et de j (cf. Fig. 5 pour l’orientation des coordonnées). Il revient au même d’identifier, dans G^{∗}, les arêtes libres horizontales de même ordonnée d’une part et les arêtes libres verticales de même abscisse d’autre part. On modifie en conséquence les définitions de Ω et de Ω^{∗} et on conserve dans les deux cas les mêmes expressions du hamiltonien.

fig. 5

Dans ce cas (et dans ce cas seulement), chaque arête e ∈ E^{∗} est adjacente à deux sommets de G^{∗} de sorte qu’elle intervient exactement deux fois dans l’expression de H^{∗}; alors, pour tout élément ω de Ω, on a H^{∗}(Φ(ω)) = H(ω). Le lemme 3 permet alors de démontrer le résultat suivant :

Proposition 4. — Dans le modèle d’Ising à deux dimensions avec conditions aux limites cycliques, on a :

Z(β) = ∑_{ω∈Ω} e^{−βH(ω)} = 2 ∑_{σ∈Ω^{∗}} e^{−βH^{∗}(σ)}.

b) Calcul de la fonction de partition avec conditions aux limites cycliques et champ magnétique nul. — Nous utiliserons pour ce calcul le modèle dual et l’expression de Z(β) donnée par la proposition 4. Comme au paragraphe précédent, on commence par calculer le hamiltonien H^{∗} lorsque M = N = 1, c’est-à-dire lorsque G^{∗} est un graphe avec un seul sommet entouré de quatre arêtes (figure 6) : on obtient 16 valeurs possibles dont certaines sont nulles.

On définit comme au paragraphe précédent une matrice de transfert T de la façon suivante : on pose u = e^{−βJ/2} et, lorsque α, β, γ, δ appartiennent à {−1, 1}

T_{α,β}^{γδ} = \{ \begin{matrix}0, & si αβγδ ≠ 1 ; \\ u^{α+β+γ+δ}, & si αβγδ = 1. \end{matrix}

fig. 6

Autrement dit, quand on donne T sous forme de tableau, on a :

T = ( \begin{matrix}u^{4} & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & u^{−4} \end{matrix} )

Conventions : dans tout ce paragraphe, les indices du bas (resp. du haut) sont ceux de l’espace vectoriel de départ (resp. d’arrivée). On écrit aussi + pour +1 et − pour −1, et l’on indexe les lignes et les colonnes de T dans l’ordre ++, +−, −+ et −−.

On attache à chaque arête de G^{∗} un espace vectoriel V = ^{2}, muni d’une base (e_{1}, e_{−1}) ; si K est un nombre entier positif, on note V_{K} le produit tensoriel de K copies de V et on munit V_{K} de la base des tenseurs

e_{α} = e_{α_{1},...,α_{K}} = e_{α_{1}} ⊗ ⋯ ⊗ e_{α_{K}} pour α = (α_{1}, …, α_{K}) ∈ {−1, 1}^{K}.

Ceci permet de donner de la matrice de transfert l’interprétation suivante : c’est la matrice (dans les bases décrites ci-dessus) d’un opérateur de V_{2} dans lui-même, que l’on notera encore T par abus de langage. Exprimons maintenant la fonction de partition au moyen de T.

Première étape. — Fixons la valeur des arêtes libres de G^{∗} comme indiqué sur la figure 7, sans procéder tout de suite à leur identification par les conditions aux limites cycliques. Si α = (α_{1}, …, α_{M}), β = (β_{1}, …, β_{N}), γ = (γ_{1}, …, γ_{N}), δ = (δ_{1}, …, δ_{M}), on définit une fonction de partition partielle par :

Z^{γ}_{α}^{δ}_{β} = ∑_{σ} e^{−βH^{∗}(σ)},

où la sommation porte sur toutes les configurations σ ayant α, β, γ, δ comme valeurs des arêtes libres (on a omis la variable β = 1/kT pour ne pas surcharger les notations). La propriété essentielle de ces fonctions est la suivante :

Lemme 5. — Si M = M′ +M′′ et si l’on a α = (α′, α′′) et δ = (δ′, δ′′) où la longueur de α′ (resp. de δ′) est M′ et celle de α′′ (resp. de δ′′) est M′′, on a (voir Fig. 7) :

Z^{γ}_{α}^{δ}_{β} = ∑_{λ∈{−1,1}^{N}} Z^{γ}_{α′}^{δ′}_{λ} Z^{λ}_{α′′}^{δ′′}_{β}.

La démonstration du lemme 5 découle immédiatement des définitions de H^{∗} et des fonctions de partition partielles. En répétant ce procédé, qui revient à “couper” le graphe G^{∗} au niveau de chaque ligne horizontale, on obtient finalement :

Z^{γ}_{α}^{δ}_{β} = ∑ Z^{γ}_{α_{1}}^{δ_{1}}_{λ_{1}} Z^{λ_{1}}_{α_{2}}^{δ_{2}}_{λ_{2}} … Z^{λ_{M−1}}_{α_{M}} ^{δ_{M}} _{β},

la somme ci-dessus portant sur tous les (M − 1)-uplets (λ_{1}, …, λ_{M−1}) où chaque λ_{i} parcourt {−1, 1}^{N}. Nous allons maintenant utiliser un intermédiaire de calcul : l’opérateur R qui va de V ⊗ V_{N} dans V_{N} ⊗ V (ces deux espaces sont isomorphes à V_{N+1}) et dont la matrice dans les bases (e_{α} ⊗ e_{β}) et (e_{γ} ⊗ e_{δ}) est la matrice des

Z^{γ}_{α}^{δ}_{β} = Z^{(γ_{1},...,γ_{N})}_{α}^{δ}_{(β_{1},...,β_{N})}

= ∑_{(α_{2},...,α_{N})∈{−1,1}^{N−1}} T_{αβ_{1}}^{γ_{1}α_{2}}T_{α_{2}β_{2}}^{γ_{2}α_{3}} … T_{α_{N} β_{N}}^{γ_{N} δ} .

La seconde égalité figurant ci-dessus résulte des définitions. Les coefficients de la matrice de R dans les bases canoniques sont les valeurs des fonctions de partition partielles du graphe ci-dessous :

Seconde étape (le calcul de R et la traduction calculatoire des conditions aux limites cycliques).

Proposition 6. — On a :

R = T^{N,N+1}T^{N−1,N} … T^{1,2}

où les opérateurs T^{i,i+1} sont définis sur V_{K} par

1 ≤ i ≤ K − 1 et T^{i,i+1} = (id_{V})^{⊗i−1} ⊗ T ⊗ (id_{V})^{⊗K−i−1}.

Le contexte précise K; ici, K = N + 1.

Preuve. — On a

T^{N,N+1}T^{N−1,N} … T^{1,2}(e_{α,β_{1},β_{2},...,β_{N}})

= T^{N,N+1} … T^{2,3}( ∑_{(γ_{1},α_{2})∈{−1,1}^{2}} T_{αβ_{1}}^{γ_{1}α_{2}}e_{γ_{1},α_{2},β_{2},...,β_{N}} )

= T^{N,N+1} … T^{3,4}( ∑_{(γ_{2},α_{3})∈{−1,1}^{2}}

∑_{(γ_{1},α_{2})∈{−1,1}^{2}} T_{αβ_{1}}^{γ_{1}α_{2}}T_{α_{2}β_{2}}^{γ_{2}α_{3}}e_{γ_{1},γ_{2},α_{3},β_{3},...,β_{N}} )

= ∑_{(γ_{N} ,δ)∈{−1,1}^{2}} ∑_{(γ_{N−1},α_{N})∈{−1,1}^{2}}

… ∑_{(γ_{1},α_{2})∈{−1,1}^{2}} T_{αβ_{1}}^{γ_{1}α_{2}} … T_{α_{N−1}β_{N−1}}^{γ_{N−1}α_{N}}T_{α_{N} β_{N}}^{γ_{N} δ} e_{γ_{1},...,γ_{N} ,δ}

Il suffit ensuite de réindexer la sommation.

Dans le modèle avec conditions aux limites cycliques, les deux arêtes horizontales libres de la figure 8 sont identifiées. Soit alors U l’opérateur de V_{N} dans lui-même dont la matrice dans la base (e_{β}) a les éléments suivants :

U_{β}^{γ} = ∑_{α∈{−1,1}} Z^{γ}_{α}^{α}_{β}.

Nous allons calculer U en fonction de R; introduisons pour cela la notion de trace partielle. Si E, M, N sont des -espaces vectoriels de dimension finie, on sait qu’il existe un isomorphisme θ_{E} de End(E) sur E^{∗} ⊗ E et un isomorphisme ψ de (M ⊗ N)^{∗} sur N^{∗} ⊗ M^{∗} (on note F^{∗} le dual de F). Notons c la contraction de N^{∗} ⊗ M^{∗} ⊗ M ⊗ N dans N^{∗} ⊗ N par rapport à M^{∗} ⊗ M. Toutes ces applications sont indépendantes du choix d’une base, ce qui nous permet de donner la définition suivante.

Définition 7. — La trace partielle par rapport à M d’un endomorphisme A de M ⊗ N est l’endomorphisme de N image de A par l’homomorphisme (θ_{N})^{−1} ∘ c ∘ (ψ ⊗ id_{M⊗N}) ∘ θ_{M⊗N} de End(M ⊗ N) dans End(N) ; on le note Tr_{M} A.

On peut vérifier que si e_{1}, …, e_{p} est une base de M et si f_{1}, …, f_{q} est une base de N, alors (les notations sont évidentes) :

(Tr_{M} A)(f_{i}) = ∑_{j=1}^{q}(∑_{k=1}^{p} A_{k,i}^{k,j})f_{j}.

On peut aussi vérifier que si U (resp. V) est un endomorphisme de M (resp. N), alors Tr_{M}(U ⊗ V) = tr(U).V où tr désigne la trace usuelle (on note comme d’habitude U ⊗V l’endomorphisme de M ⊗N qui transforme x ⊗ y en U(x) ⊗ V (y)).

Désignons par γ_{N} l’opérateur de V_{N} ⊗V dans V ⊗V_{N} tel que γ_{N}(x⊗v) = v ⊗ x pour tout x ∈ V_{N} et tout v ∈ V. On a alors le résultat suivant. :

Lemme 8. — L’opérateur U vaut Tr_{V} (γ_{N}R).

Preuve. — Il s’agit d’un calcul court et sans difficulté.

Il est maintenant possible d’exprimer la fonction de partition avec conditions aux limites cycliques ; elle vaut

Z(β) = 2 ∑ U_{λ_{1}}^{λ_{2}}U_{λ_{2}}^{λ_{3}} … U_{λ_{M}}^{λ_{1}} ,

la somme ci-dessus portant sur tous les M-uplets (λ_{1}, …, λ_{M}) où chaque λ_{i} parcourt {−1, 1}^{N}. Comme au paragraphe 3, on en déduit le résultat final.

Théorème 9. — La fonction de partition du modèle d’Ising à deux dimensions avec conditions aux limites cycliques est Z(β) = 2 tr(U^{M}).

Ici U est un endomorphisme de V_{N}, qui est un -espace vectoriel de dimension 2^{N}. Grâce aux résultats intermédiaires 6 et 8, on constate que les éléments de la matrice de U dans la base des (e_{α}) sont tous positifs ; d’après le théorème de Perron-Frobenius, la fonction de partition est alors de la forme suivante

Z(β) = c_{1}λ_{1}^{M} + c_{2}λ_{2}^{M} + … + c_{2^{N}} λ_{2^{N}}^{M} ,

où les λ_{i} sont des fonctions de β et les c_{i} des constantes. On ne peut malheureusement pas faire le calcul de la valeur limite de Z aussi facilement que dans le cas du modèle à une dimension, car il faut faire tendre M et N simultanément vers +∞ [2].

5. Le modèle de la glace. — L’ensemble des sites est Λ^{∗} = {1, …, N} × {1, …, M} et on reprend les notations (G^{∗}, E^{∗}, Ω^{∗}) du paragraphe précédent pour désigner le graphe induit par Λ^{∗}. Chaque sommet est occupé par un atome d’oxygène O, chaque arête porte un et un seul atome d’hydrogène H qui est voisin d’un des deux atomes d’oxygène situés aux extrémités de l’arête. On impose de plus que chaque atome d’oxygène soit entouré d’exactement deux atomes d’hydrogène, de sorte qu’on a bien affaire à des molécules d’eau : H_{2}O. Ces molécules peuvent alors se présenter sous six configurations possibles, qui sont dessinées cidessous.

Le formalisme utilisé pour ce modèle physique est le graphe G^{∗} dont les arêtes sont valuées par 1 ou −1 selon les règles suivantes :

La stratégie utilisée est alors la même que celle du modèle d’Ising à deux dimensions : on est amené à considérer un espace vectoriel V de dimension 2 sur , de base (e_{+}, e_{−}), et une matrice de transfert T de V_{2} dans lui-même. Les règles de répartition des atomes d’hydrogène interdisent certaines configurations et, comme au paragraphe précédent, imposent la nullité de certains éléments de la matrice de transfert. La valeur des six autres éléments de T dépend du hamiltonien considéré, mais on connaît leurs positions ; elles sont figurées ci-dessous par une étoile :

T = ( \begin{matrix}∗ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & ∗ & ∗ & 0 \\ 0 & ∗ & ∗ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ∗ \end{matrix} ) .

Examinons les propriétés algébriques d’un tel opérateur.

a) Notons H le sous-groupe de GL_{2}( ) constitué des matrices diagonales ; H agit sur V de façon canonique, puis sur V_{N} par h(x_{1}⊗…⊗x_{N}) = h(x_{1}) ⊗ … ⊗ h(x_{N}).

Lemme 10. — L’opérateur T commute à l’action de H sur V_{2} et, pour tout élément i de {1, …, N − 1}, l’opérateur T^{i,i+1} commute à l’action de H sur V_{N}.

Les caractères du groupe H sont les χ_{δ}, où δ = (δ_{1}, δ_{2}) parcourt ^{2}, et sont définis par :

χ_{δ} ( \begin{matrix}t_{1} & 0 \\ 0 & t_{2} \end{matrix} ) = t_{1}^{δ_{1}}t_{2}^{δ_{2}}.

On a alors la décomposition en somme directe suivante :

V_{N} = ⨁_{δ∈ ^{2}} V_{N,δ} où V_{N,δ} = {v ∈ V_{N} | ∀t ∈ H, t(v) = χ_{δ}(t)v}.

Le lemme 10 nous assure que les opérateurs T^{i,i+1}, donc leur produit, laissent les V_{N,δ} stables ; si un opérateur U possède cette propriété (par exemple, un opérateur intervenant dans le calcul de la fonction de partition), on a :

tr(U^{M}) = ∑_{δ∈ ^{2}} tr(U^{M} | V_{N,δ}).

b) Étudions le cas où

T = T (q) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & q & 0 \\ 0 & q & 1 − q^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

Si q = 1, T (1) est l’opérateur d’échange dans V_{2} : T (1)(x ⊗ y) = y ⊗ x. Faisons agir le groupe symétrique 𝔖_{3} sur V_{3} par

σ.(a_{1} ⊗ a_{2} ⊗ a_{3}) = U_{σ}(a_{1} ⊗ a_{2} ⊗ a_{3}) = a_{σ^{−1}(1)} ⊗ a_{σ^{−1}(2)} ⊗ a_{σ^{−1}(3)}.

Alors l’opérateur T (1)^{i,j} s’identifie à U_{(i,j)} et, puisque l’on a (i, j)^{2} = id et (1, 2)(2, 3)(1, 2) = (2, 3)(1, 2)(2, 3), on a les identités suivantes :

T (1)^{2} = id_{V_{3}} et T (1)^{1,2}T (1)^{2,3}T (1)^{1,2} = T (1)^{2,3}T (1)^{1,2}T (1)^{2,3}.

La première égalité est équivalente à (T (1)−I)(T (1)+I) = 0, où I désigne l’identité de V_{3}. On peut généraliser ces égalités au cas où q est un nombre complexe quelconque ; on obtient alors, par un simple calcul :

(T (q) − I)(T (q) + q^{2}I) = 0 ;

et

T (q)^{1,2}T (q)^{2,3}T (q)^{1,2} = T (q)^{2,3}T (q)^{1,2}T (q)^{2,3}.

De plus, T^{i,i+1} et T^{j,j+1} commutent lorsque |i − j| ≥ 2.

6. L’équation de Yang-Baxter et l’algèbre de Hecke. — Nous allons généraliser les résultats obtenus au paragraphe précédent : V sera un espace vectoriel sur de dimension n muni d’une base (e_{1}, …, e_{n}) ; V_{N} désigne encore le produit tensoriel de N copies de V, muni de la base des e_{i_{1}...i_{N}} = e_{i_{1}} ⊗ ⋯ ⊗ e_{i_{N}} où (i_{1}, …, i_{N}) parcourt {1, …, n}^{N}, et T est un opérateur de V_{2} dans lui-même. Enfin, T^{i,i+1} est l’opérateur de V_{N} dans lui-même donné par I^{⊗i−1} ⊗ T ⊗ I^{⊗N−i−1}.

Définition 11. — L’équation de Yang-Baxter est l’équation

T^{1,2}T^{2,3}T^{1,2} = T^{2,3}T^{1,2}T^{2,3}.

Un opérateur T qui vérifie cette équation sera appelé opérateur de Yang-Baxter.

On ne connaît pas toutes les solutions de cette équation ; en revanche, guidés par les résultats du paragraphe précédent, nous pouvons énoncer le résultat suivant.

Théorème 12. — Soient q un nombre complexe et T (q) l’opérateur défini par T (q)(e_{ii}) = e_{ii} pour tout i et, pour tous les couples (i, j) vérifiant i < j, T (q)(e_{ij}) = qe_{ji} et T (q)(e_{ji}) = qe_{ij} + (1 − q^{2})e_{ji}. Alors T (q) est un opérateur de Yang-Baxter et vérifie (T (q) − I)(T (q) + q^{2}I) = 0.

Là encore, la seule façon de démontrer ce résultat ainsi que le lemme suivant est le calcul direct. On remarque cependant que lorsque q = 1, T (1) est l’opérateur d’échange.

Lemme 13. — On fait l’hypothèse q^{2} ≠ −1. L’opérateur T (q) est diagonalisable et possède deux valeurs propres : 1 et −q^{2}.

La valeur propre 1 est associée au sous-espace propre de dimension n(n + 1)/2 dont une base est constituée des tenseurs e_{ii} pour tout i et qe_{ij} + e_{ji} pour tous les couples (i, j) tels que i < j.

La valeur propre −q^{2} est associée au sous-espace propre de dimension n(n − 1)/2 dont une base est constituée des vecteurs e_{ij} − qe_{ji} pour tous les couples (i, j) tels que i < j.

Lorsque q = 1, ce lemme énonce un résultat bien connu : V_{2} est somme directe des tenseurs symétriques et des tenseurs antisymétriques. Dans le cas où q est quelconque, et par analogie avec la situation où q = 1, on notera S_{q^{2}}(V) (resp. ⋀_{q^{2}}(V)) le premier (resp. le second) sous-espace propre mentionné au lemme 13, et ses éléments seront appelés les tenseurs q-symétriques (resp. q-antisymétriques) ; le paragraphe 8 leur est consacré.

Définition 14. — On désigne par q un nombre complexe. L’algèbre de Hecke H_{N}(q) est la -algèbre engendrée par N − 1 indéterminées T_{1}, …, T_{N−1} soumises aux relations suivantes :

(I)_{q} pour tout i, on a (T_{i} − 1)(T_{i} + q^{2}) = 0 ;

(II) si |i − j| ≥ 2, on a T_{i}T_{j} = T_{j}T_{i}; (III) si |i − j| = 1, on a T_{i}T_{j}T_{i} = T_{j}T_{i}T_{j}.

On dispose de manière évidente d’une représentation de H_{N}(q) dans End(V_{N}) : à T_{i}, on fait correspondre T^{i,i+1} où T est l’opérateur de Yang-Baxter T (q) considéré plus haut.

Rappelons le théorème de Moore sur la présentation du groupe symétrique 𝔖_{N}.

Théorème de Moore (1897). — Pour i variant de 1 à N −1, notons s_{i} la transposition (i, i+1). Alors les éléments s_{1}, …, s_{N−1} et les relations suivantes constituent une présentation de 𝔖_{N} :

(I) si 1 ≤ i ≤ N − 1, on a s_{i}^{2} = 1 ; (II) si |i − j| ≥ 2, on a s_{i}s_{j} = s_{j}s_{i}; (III) si |i − j| = 1, on a s_{i}s_{j}s_{i} = s_{j}s_{i}s_{j}.

Preuve. — Les relations (I), (II) et (III) se vérifient par un simple calcul. On sait qu’une permutation admet une décomposition en produit de cycles disjoints de la forme (a_{1} … a_{p}) ; on constate qu’un tel cycle est égal au produit des transpositions (a_{1}a_{2})(a_{2}a_{3}) … (a_{p−1}a_{p}) et qu’une transposition (i, j) avec i < j est égale au produit s_{i}s_{i+1} … s_{j−2}s_{j−1}s_{j−2} … s_{i+1}s_{i}, ce qui démontre que les si engendrent 𝔖_{N}. Le lecteur est renvoyé à [4, note C] pour la fin de la preuve de ce théorème.

On peut améliorer ce résultat en précisant le nombre minimum de transpositions du type s_{i} dont le produit est une permutation donnée et en étudiant ces décompositions minimales. On dit qu’un couple (i, j) vérifiant 1 ≤ i < j ≤ N est une inversion de σ ∈ 𝔖_{N} si σ(i) > σ(j) ; on note Inv(σ) l’ensemble des inversions de σ et I(σ) le nombre d’inversions de σ.

Soient r un nombre entier supérieur ou égal à 2 et soient (i_{1}, …, i_{r}) et (j_{1}, …, j_{r}) deux r-uplets de nombres entiers compris entre 1 et N − 1. On dit qu’on passe du premier r-uplet au second par une transformation de type (II) s’il existe un entier k avec 1 ≤ k ≤ r − 1 vérifiant les deux conditions suivantes :

1) si m ∈ {1, …, k − 1} ∪ {k + 2, …, r}, on a i_{m} = j_{m};

2) on a |i_{k} − i_{k+1}| ≥ 2, i_{k} = j_{k+1} et j_{k} = i_{k+1}.

On dit qu’on passe du premier r-uplet au second par une transformation de type (III) s’il existe un entier k avec 1 ≤ k ≤ r − 2 vérifiant les deux conditions suivantes :

1) si m ∈ {1, …, k − 1} ∪ {k + 3, …, r}, on a i_{m} = j_{m};

2) on a i_{k} = i_{k+2} et |i_{k} − i_{k+1}| = 1 ainsi que i_{k} = j_{k+1} et j_{k} = i_{k+1} = j_{k+2}.

Enfin, on dit que les deux r-uplets (i_{1}, …, i_{r}) et (j_{1}, …, j_{r}) sont équivalents si l’on passe du premier au second par une succession de transformations de type (II) ou de type (III). On définit ainsi une relation d’équivalence sur l’ensemble des r-uplets de nombres entiers compris entre 1 et N − 1. On a alors le résultat suivant.

Théorème 15. — Soit σ un élément de 𝔖_{N} ; alors :

1) Si (i, i + 1) est une inversion de σ, on a I(σs_{i}) = I(σ) − 1 ; sinon, on a I(σs_{i}) = I(σ) + 1.

2) La longueur de σ, c’est-à-dire l’entier r minimum tel qu’il existe (i_{1}, …, i_{r}) appartenant à {1, …, N − 1}^{r} et vérifiant σ = s_{i_{1}} … s_{i_{r}}, est égale à I(σ). Une décomposition σ = s_{i_{1}} … s_{i_{r}} avec r minimal s’appelle une décomposition réduite.

3) Soit s_{i_{1}} … s_{i_{r}} une décomposition réduite de σ; alors s_{j_{1}} … s_{j_{r}} est une autre décomposition réduite de σ si, et seulement si (i_{1}, …, i_{r}) et (j_{1}, …, j_{r}) sont équivalents.

Preuve.

1) Soient j et k deux entiers vérifiant 1 ≤ j < i < i + 1 < k ≤ N; alors (j, k) (resp. (j, i), (j, i + 1), (i, k), (i + 1, k)) est une inversion de σ si et seulement si (j, k) (resp. (j, i + 1), (j, i), (i + 1, k), (i, k)) est une inversion de σs_{i} : on établit ainsi une bijection de Inv(σ)\{(i, i + 1)} sur Inv(σs_{i})\{(i, i + 1)}; il suffit ensuite de constater que (i, i + 1) est une inversion de σ si et seulement si (i, i + 1) n’est pas une inversion de σs_{i}. On déduit de cette première partie que I(s_{i_{1}} … s_{i_{r}}) ≤ r.

2) L’inégalité r ≥ I(σ) résulte de la première partie du théorème. On raisonne par récurrence sur I(σ) pour prouver l’autre inégalité. Le résultat est trivial si I(σ) = 0 (σ = id). Soit σ une permutation différente de l’identité et soit i l’entier tel que σ(1) < … < σ(i) et σ(i) > σ(i + 1). Alors p := I(σs_{i}) = I(σ)−1 et l’hypothèse de récurrence assure l’existence de (i_{1}, …, i_{p}) ∈ {1, …, N − 1}^{p} vérifiant σs_{i} = s_{i_{1}} … s_{i_{p}}, c’est-à-dire que σ = s_{i_{1}} … s_{i_{p}}s_{i_{p+1}} avec i_{p+1} = i.

3) On se donne une décomposition réduite s_{i_{1}} … s_{i_{r}} de σ. Vu les relations (II) et (III) dans le théorème de Moore, il est évident que l’équivalence des deux r-uplets (i_{1}, …, i_{r}) et (j_{1}, …, j_{r}) implique l’égalité des produits s_{i_{1}} … s_{i_{r}} et s_{j_{1}} … s_{j_{r}}.

La réciproque est vraie dans le cadre plus général des groupes de Coxeter ; nous utiliserons sans démonstration une version de la condition d’échange : si I(s_{i}σ) = I(σ) − 1, il existe k ∈ {1, …, r} tel que s_{i}s_{i_{1}} … s_{i_{k−1}}s_{i_{k+1}} … s_{i_{r}} soit une décomposition réduite de σ [3, chap. 4, § 1].

On raisonne par récurrence sur r; l’assertion est triviale pour r = 0, 1 ou 2. Supposons que le résultat soit démontré pour toute permutation de longueur ≤ r − 1 avec r ≥ 3. Soient alors σ et deux de ses décompositions réduites comme indiqué ci-dessus ; si i_{1} = j_{1} ou si i_{r} = j_{r}, c’est terminé. Nous allons raisonner par l’absurde en supposant que (i_{1}, …, i_{r}) et (j_{1}, …, j_{r}) ne sont pas équivalents.

a) Prouvons que s_{j_{1}}s_{i_{1}} … s_{i_{r−1}} est une décomposition réduite de σ et que (j_{1}, i_{1}, …, i_{r−1}) et (i_{1}, …, i_{r}) ne sont pas équivalents. En effet, puisque I(s_{j_{1}}σ) = I(σ) − 1, la condition d’échange dit qu’il existe k ∈ {1, …, r} tel que s_{j_{1}}s_{i_{1}} … s_{i_{k−1}}s_{i_{k+1}} … s_{i_{r}} soit une décomposition réduite de σ; puisque s_{j_{1}} … s_{j_{r}} est une autre décomposition réduite de σ, l’hypothèse de récurrence implique que (j_{2}, …, j_{r}) et (i_{1}, …, i_{k−1}, i_{k+1}, …, i_{r}) sont équivalents, donc que (j_{1}, …, j_{r}) et (j_{1}, i_{1}, …, i_{k−1}, i_{k+1}, …, i_{r}) sont équivalents. Si k était différent de r, le même type de raisonnement prouverait que (i_{1}, …, i_{r}) et (j_{1}, i_{1}, …, i_{k−1}, i_{k+1}, …, i_{r}) sont équivalents. Par transitivité, (i_{1}, …, i_{r}) et (j_{1}, …, j_{r}) seraient équivalents, ce qui contredit notre hypothèse. On a donc k = r et (j_{1}, i_{1}, …, i_{r−1}), équivalent à (j_{1}, …, j_{r}), n’est pas équivalent à (i_{1}, …, i_{r}).

b) On définit σ_{0} = s_{j_{1}} … s_{j_{r}}, σ_{1} = s_{i_{1}} … s_{i_{r}} et, pour 1 ≤ k ≤ r, σ_{r+1−k} = s_{i_{1}}s_{j_{1}} … s_{i_{1}}s_{j_{1}}s_{i_{1}}s_{i_{2}} … s_{i_{k}} (produit de r termes) si r − k est pair, et σ_{r+1−k} = s_{j_{1}}s_{i_{1}} … s_{i_{1}}s_{j_{1}}s_{i_{1}}s_{i_{2}} … s_{i_{k}} (produit de r termes) si r − k est impair. En répétant r − 1 fois la démonstration du a), on montre que s_{i_{1}}s_{j_{1}}s_{i_{1}} … s_{i_{1} ou j_{1}} et s_{j_{1}}s_{i_{1}}s_{j_{1}} … s_{j_{1} ou i_{1}} sont des décompositions réduites de σ, ce qui est faux si r ≥ 4, et que les deux r-uplets (i_{1}, j_{1}, i_{1}, …) et (j_{1}, i_{1}, j_{1}, …) ne sont pas équivalents, ce qui est faux pour r = 3 en particulier ; cela achève la démonstration.

L’équation de Yang-Baxter, jointe aux résultats que l’on vient de prouver, permet d’énoncer le résultat suivant :

Théorème 16. — Soient T un opérateur de Yang-Baxter et σ un élément de 𝔖_{N}. Le produit T^{i_{1},i_{1}+1} … T^{i_{r},i_{r}+1} représente le même opérateur pour toutes les décompositions réduites s_{i_{1}} … s_{i_{r}} de σ; on le note T^{σ}.

De plus, on a les règles suivantes : T^{σ}T^{τ} = T^{στ} si I(στ) = I(σ) + I(τ) et T^{σs_{i}} = T^{σ}T^{i,i+1} si σ(i) < σ(i + 1).

Preuve. — Compte tenu du théorème 15, l’existence de T^{σ} revient à prouver l’égalité

T^{i_{1},i_{1}+1} … T^{i_{r},i_{r}+1} = T^{j_{1},j_{1}+1} … T^{j_{r},j_{r}+1}

lorsque les r-uplets (i_{1}, …, i_{r}) et (j_{1}, …, j_{r}) sont équivalents. Il suffit de le faire lorsque l’on passe du premier au second par une transformation de type (II) ou (III). Les détails sont les mêmes que dans la démonstration de la proposition 18, b).

Les règles de calcul s’établissent au moyen des remarques suivantes : notons s_{i_{1}} … s_{i_{r}} et s_{j_{1}} … s_{j_{q}} des décompositions réduites de σ et τ re-

spectivement ; alors στ admet la décomposition réduite s_{i_{1}} … s_{i_{r}}s_{j_{1}} … s_{j_{q}} lorsque l’on a I(στ) = I(σ) + I(τ) ;

de même, si s_{i_{1}} … s_{i_{r}} est une décomposition réduite de σ et σ(i) < σ(i + 1), on a I(σs_{i}) = I(σ) + 1 et l’on applique le premier cas à τ = s_{i}.

On voit facilement que l’application de 𝔖_{N} dans GL(V_{N}) qui à σ fait correspondre T^{σ}, définie dans le théorème 16, n’est pas un homomorphisme en général : par exemple, un opérateur T de Yang-Baxter ne vérifie pas nécessairement T^{2} = 1 alors que s_{i}^{2} = 1. Nous allons voir dans le paragraphe suivant que ceci constitue en fait le principal obstacle et nous allons introduire un groupe qui admet une représentation naturelle à l’aide des opérateurs de Yang-Baxter.

7. Le groupe des tresses. — Une représentation graphique possible de la permutation σ = (12)(345) dans le groupe 𝔖_{5} (donnée ici sous forme de produit de cycles à supports disjoints), est la suivante :

On constate qu’on peut donner une interprétation graphique du produit des permutations ; par exemple, si ρ = (2)(1543), ρσ est obtenue en “attachant” ρ au-dessous de σ.

Les dessins ci-dessus sont plans : la façon dont les arêtes se croisent n’a aucune importance. Une tresse (figure 13.1) sera au contraire représentée par un entrelac de N cordes joignant N points à N autres points, deux cordes pouvant se croiser de deux façons différentes. On compose les tresses de la même façon que les permutations. On notera b_{i} la tresse de la figure 13.2.

Donnons maintenant une définition rigoureuse par générateurs et relations du groupe des tresses d’ordre N, noté B_{N}.

Définition 17. — Le groupe B_{N} admet la présentation donnée par les générateurs b_{1}, …, b_{N−1}, et les relations :

(II) b_{i}b_{j} = b_{j}b_{i} si |i − j| ≥ 2 ; (III) b_{i}b_{j}b_{i} = b_{j}b_{i}b_{j} si |i − j| = 1.

Comme le suggèrent la représentation graphique des tresses et le théorème de Moore, il y a un épimorphisme de B_{N} dans 𝔖_{N} défini en “oubliant” la façon dont les cordes se croisent. Plus précisément, on a le résultat suivant.

Proposition 18.

a) Il existe un unique homomorphisme p de B_{N} dans 𝔖_{N} défini par p(b_{i}) = s_{i}; de plus p est surjectif.

b) Si σ est un élément de 𝔖_{N} et si s_{i_{1}} … s_{i_{r}} est une décomposition réduite de σ, la tresse b_{i_{1}} … b_{i_{r}} ne dépend pas de la décomposition choisie et on la note r(σ).

c) L’application r ainsi définie est une section de p : on a p∘r = id_{𝔖_{N}}

Preuve. — Le groupe B_{N} est défini par une présentation. Il en résulte que, pour tout groupe G et toute famille d’éléments t_{1}, …, t_{N−1} de G, il existe un homomorphisme ϕ : B_{N} → G transformant b_{1} en t_{1}, …, b_{N−1} en t_{N−1} si, et seulement si, les relations suivantes sont satisfaites : (II)_{G} on a t_{i}t_{j} = t_{j}t_{i} pour |i − j| ≥ 2 ; (III)_{G} on a t_{i}t_{j}t_{i} = t_{j}t_{i}t_{j} pour |i − j| = 1.

L’homomorphisme ϕ est surjectif si et seulement si t_{1}, …, t_{N−1} engendrent le groupe G. Ces conditions sont satisfaites dans le cas G = 𝔖_{N}, t_{i} = s_{i} (voir le théorème de Moore). L’assertion a) résulte de là.

Pour prouver b), il suffit (d’après le théorème 15) de vérifier qu’on a b_{i_{1}} … b_{i_{r}} = b_{j_{1}} … b_{j_{r}} lorsque l’on passe du r-uplet (i_{1}, …, i_{r}) au r-uplet (j_{1}, …, j_{r}) par une transformation de type (II) ou (III). Or cela résulte des relations (II) et (III) respectivement satisfaites par les générateurs b_{1}, …, b_{N−1} de B_{N}.

Soient σ un élément de 𝔖_{N} et s_{i_{1}} … s_{i_{r}} une décomposition réduite de σ. Par définition, r transforme σ = s_{i_{1}} … s_{i_{r}} en b_{i_{1}} … b_{i_{r}} et p transforme b_{i_{1}} … b_{i_{r}} en s_{i_{1}} … s_{i_{r}} = σ, d’où c).

On peut maintenant préciser le théorème 16.

Théorème 19. — Soient V un espace vectoriel et T un opérateur de Yang-Baxter dans V_{2} = V ⊗ V.

a) Il existe un homomorphisme ρ de B_{N} dans GL(V_{N}) (où V_{N} est le produit tensoriel de N copies de V) caractérisé par la relation

ρ(b_{i}) = T^{i,i+1} pour 1 ≤ i ≤ N − 1.

b) L’opérateur T^{σ} défini dans le théorème 16 est aussi donné par

T^{σ} = ρ(r(σ)) pour s ∈ 𝔖_{N}.

où r est l’application de 𝔖_{N} dans B_{N} définie dans la proposition 18.

Preuve. — L’assertion a) se démontre comme la proposition 18, a). Il suffit d’établir les relations (II)_{T} T^{i,i+1}T^{j,j+1} = T^{j,j+1}T^{i,i+1} si |i − j| ≥ 2 ; (III)_{T} T^{i,i+1}T^{j,j+1}T^{i,i+1} = T^{j,j+1}T^{i,i+1}T^{j,j+1} si |i − j| = 1.

La relation (II)_{T} est immédiate, car les opérateurs T^{i,i+1} et T^{j,j+1} sont appliqués à des couples (i, i+1) et (j, j+1) sans terme commun de facteurs du produit tensoriel V_{N}. La relation (III)_{T} se ramène immédiatement à l’équation de Yang-Baxter.

Prouvons b). Pour toute permutation σ ∈ 𝔖_{N}, posons T^{σ} = ρ(r(σ)). Si s_{i_{1}} … s_{i_{r}} est une décomposition réduite de σ, on a r(σ) = b_{i_{1}} … b_{i_{r}}, d’où

T^{σ} = T^{i_{1},i_{1}+1} … T^{i_{r},i_{r}+1}.

Il en résulte bien que le produit au second membre est le même pour toutes les décompositions réduites s_{i_{1}} … s_{i_{r}} de σ.

8. Les tenseurs q-symétriques.

a) Définition des tenseurs q-symétriques. — On reprend les notations du paragraphe 5, c’est-à-dire que l’on a V = e_{+} ⊕ e_{−} et T = T (q). On a défini le sous-espace S_{q}^{2} des 2-tenseurs q-symétriques ; plus généralement, on pose 𝔇_{N} = S_{q}^{N} = {t ∈ V_{N} | T^{i,i+1}(t) = t pour tout i = 1, …, N − 1}. Les éléments de 𝔇_{N} sont appelés les N-tenseurs q-symétriques : ils sont les q-analogues des tenseurs symétriques habituels (voir la remarque 21). On définit aussi le sous-espace des N-tenseurs q-antisymétriques Λ_{q}^{N} = {t ∈ V_{N} | T^{i,i+1}(t) = −q^{2}t pour tout i = 1, …, N − 1}.

Proposition 20. — L’espace 𝔇_{N} est de dimension N + 1 et admet la base (u_{0}, …, u_{N}), où

u_{p} = ∑_{α} q^{I(α)}e_{α}

et où la sommation porte sur les éléments de {+, −}^{N} contenant p fois + et N − p fois −; enfin, I(α) est le nombre de fois où + précède − dans α.

Exemples. — Pour N = 2 on a : u_{0} = e_{−−}, u_{1} = e_{−+} + qe_{+−}, u_{2} = e_{++}. Pour N = 3, u_{0} = e_{−−−}, u_{1} = e_{−−+} + qe_{−+−} + q^{2}e_{+−−}, u_{2} = e_{−++} + qe_{+−+} + q^{2}e_{++−}, u_{3} = e_{+++}. Pour N = 4 on a :

\begin{aligned}u_{0} & = e_{−−−−}; \\ u_{1} & = e_{−−−+} + qe_{−−+−} + q^{2}e_{−+−−} + q^{3}e_{+−−−}; \\ u_{2} & = e_{−−++} + qe_{−+−+} + q^{2}e_{+−−+} + q^{3}e_{+−+−} + q^{2}e_{−++−} + q^{4}e_{++−−}; \\ u_{3} & = e_{−+++} + qe_{+−++} + q^{2}e_{++−+} + q^{3}e_{+++−}; \\ u_{4} & = e_{++++}. \end{aligned}

Remarque 21. — La somme des coefficients dans u_{p} est égale au coefficient q-binomial de Gauss \left[{N \atop p}\right]_{q}, ce qui justifie l’appellation de “qanalogues des tenseurs symétriques” pour les éléments de 𝔇.

Démontrons la proposition 20 :

1) Notons V_{N,p} le sous-espace vectoriel de V_{N} engendré par les e_{α} où a contient p fois + et N − p fois −. On constate que

V_{N} = ⨁_{p=0}^{N} V_{N,p}

et que chaque T^{i,i+1} laisse stable tous les V_{N,p}; par suite, on a :

𝔇_{N} = ⨁_{p=0}^{N}(𝔇_{N} ∩ V_{N,p}).

2) Examinons tout d’abord le cas N = 2. Vu la forme de la matrice T = T (q), l’équation

T = ( ∑_{(α,β)∈{+,−}^{2}} t_{α,β}e_{α,β}) = ∑_{(α,β)∈{+,−}^{2}} t_{α,β}e_{α,β}

est équivalente au système suivant :

\{ \begin{matrix}qt_{−+} = t_{+−} \\ qt_{+−} + (1 − q^{2})t_{−+} = t_{−+} \end{matrix}

qui est lui-même équivalent à qt_{−+} = t_{+−}. On en déduit immédiatement la base de 𝔇_{2} mentionnée dans la proposition 20.

3) Cas général : cherchons une base de 𝔇_{N} ∩ V_{N,p}. Le 2) nous dit qu’un élément de V_{N} qui s’écrit

∑_{α∈{+,−}} t_{α}e_{α}

appartient à 𝔇_{N} si et seulement s’il vérifie

t_{(α_{1},...,α_{i−1},+,−,α_{i+2},...,α_{N})} = qt_{(α_{1},...,α_{i−1},−,+,α_{i+2},...,α_{N})}

pour tout i = 1, …, N − 1 et pour tout α. On en déduit qu’un élément de V_{N,p} appartient à 𝔇_{N} si et seulement s’il vérifie t_{α} = q^{I(α)}t_{(−−,...,−−,+,...,+)} pour tout α contenant p fois + et N − p fois −. Par conséquent, 𝔇_{N} ∩ V_{N,p} est de dimension 1 et est engendré par u_{p}.

b) Polynômes tordus.

Étude du cas q = 1 : rappelons la structure de l’algèbre symétrique de V :

Sym V = ⨁_{N=0}^{∞} S^{N}V.

Le produit sur Sym V est la multiplication symétrisée, définie de la façon suivante : si u appartient à S^{N}V et si v appartient à S^{M}V, on pose

u.v = ∑_{σ} U_{σ}(u ⊗ v),

où la somme est étendue à toutes les permutations de 𝔖_{N+M} qui sont croissantes sur {1, …, N} et sur {N + 1, …, N + M}. L’opérateur U_{σ} a été défini au paragraphe 5 pour le cas N = 3. En général, on a U_{σ}(a_{1} ⊗ … ⊗ a_{L}) = a_{σ}^{−1}(1) ⊗ … ⊗ a_{σ}^{−1}(L) pour toute permutation σ dans 𝔖_{L}. Le produit u.v est un élément de S^{N+M}V et avec ces notations, les éléments u_{p} de la proposition 20, dans le cas q = 1, sont égaux à (e_{+})^{p}.(e_{−})^{N−p}. Cette multiplication est associative, commutative et Sym V est isomorphe à l’algèbre [e_{+}, e_{−}] des polynômes en e_{+} et e_{−}.

Cas général : lorsque q est quelconque, on va munir

Sym_{q} V = ⨁_{N=0}^{∞} S_{q}^{N}V = ⨁_{N=0}^{∞} 𝔇_{N}

d’une structure d’algèbre associative qu’on appelle l’algèbre q-symétrique de V. Si u appartient à S_{q}^{N}V et si v appartient à S_{q}^{M}V, on pose

u.v = ∑_{σ} q^{2[NM−I(σ)]}T^{σ}(u ⊗ v),

où la somme est étendue à toutes les permutations de 𝔖_{N+M} qui sont croissantes sur {1, …, N} et sur {N + 1, …, N + M}; rappelons que I(σ) désigne le nombre d’inversions de σ et que T^{σ} a été défini au théorème 16.

Exemples. — Si N = M = 1 et e_{−}.e_{+} = q^{2}e_{−+} + T (e_{−+}) = qe_{+−} + e_{−+} = u_{1}, on a avec les notations de la proposition 20 : e_{+}.e_{−} = q^{2}e_{+−} + T (e_{+−}) = q^{2}e_{+−} + qe_{−+} = qu_{1}.

Proposition 22. — L’algèbre Sym_{q} V est isomorphe à la -algèbre engendrée par deux générateurs e_{+} et e_{−} vérifiant la relation e_{+}e_{−} = qe_{−}e_{+}.

C’est en ce sens que l’on peut parler de polynômes “tordus”. Dans cette algèbre, on a une q-formule du binôme, à savoir :

(e_{+} + e_{−})^{N} = ∑_{p=0}^{N} \left[{N \atop p}\right]_{q}e_{−}^{p}e_{+}^{N−p}.

Noter que l’algèbre q-symétrique n’est pas commutative si q ≠ 1.

c) La décomposition de Clebsch-Gordan. — Nous allons énoncer les résultats essentiels dans le cas q = 1. On sait que S^{N}V est engendré par les éléments a^{⊗N} où a parcourt V ; ceci va nous permettre de définir de façon invariante (i.e., sans fixer de base de V) un isomorphisme.

Théorème 23 [Clebsch-Gordan]. — L’application suivante est un isomorphisme :

\begin{aligned}S^{M}V ⊗ S^{N}V & → ⨁_{p=0}^{min(M,N)}(S^{M+N−2p}V ⊗ (⋀^{2} V)^{⊗_{p}}) \\ a^{⊗M} ⊗ b^{⊗N} & → ∑_{p=0}^{min(M,N)}(a^{M−p}.b^{N−p} ⊗ (a ∧ b)^{⊗_{p}}). \end{aligned}

Ici V est de dimension 2, donc ⋀^{2} V est de dimension 1 et finalement, on a un isomorphisme :

S^{M}V ⊗ S^{N}V ≅ ⨁_{p=0}^{min(M,N)} S^{M+N−2p}V.

Dans le cas où q est quelconque, on a un résultat analogue. Posons

ϕ(a; q^{2}) = ∏_{i=1}^{a} \frac{q^{2i} − 1}{q^{2} − 1}.

On a alors, de manière générale :

u_{p} = \frac{(e_{−})^{N−p}(e_{+})^{p}}{ϕ(p; q^{2})ϕ(N − p; q^{2})}.

Théorème 24. — Il existe un isomorphisme :

𝔇_{M} ⊗ 𝔇_{N} ≅ ⨁_{p=0}^{min(M,N)} 𝔇_{M+N−2p}.

En particulier, on dispose de la règle de branchement :

𝔇_{1} ⊗ 𝔇_{M} ≅ 𝔇_{M+1} ⊕ 𝔇_{M−1}.

On en déduit la décomposition de

\begin{aligned}V_{N} & = 𝔇_{1} ⊗ ⋯ ⊗ 𝔇_{1} : \\ V_{1} & = 𝔇_{1}; \\ V_{2} & = 𝔇_{2} ⊕ 𝔇_{0}; \\ V_{3} & = 𝔇_{3} ⊕ 2𝔇_{1} … \end{aligned}

Pour une étude détaillée des résultats décrits dans ce paragraphe, nous renvoyons le lecteur à Jimbo [6].

BIBLIOGRAPHIE

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[2] R.J. Baxter. — Exactly solved models in statistical mechanics,. — Acad. Press, 1982.

[3] N. Bourbaki. — Groupes et algèbres de Lie chapitres 4 à 6. — Masson, 1981.

[4] W. Burnside. — Theory of groups of finite order. — Dover, 1955.

[5] V. Drinfeld. — Quantum groups, Proc. Int. Cong. Math. Berkeley, t. 1, 1986, p. 798-820.

[6] J. Jimbo. — A q-analog of U(GL(N + 1)), Hecke algebras and the Yang-Baxter equation, Lett. Math. Phys., t. 11, 1986, p. 247-252.

[7] V. Jones. — Hecke algebra representations of braid groups, Ann. Math., t. 126, 1987, p. 335-388.

[8] G. Lusztig. — Quantum deformation of certain simple modules over enveloping algebras, Adv. Math., t. 70, 1988, p. 237-249.

[9] W. Pauli. — Lectures on Physics, vol. 4 : Statistical mechanics. — M.I.T. Press, 1973.

[10] M. Rosso. — Finite dimensional representations of the quantum analog of the enveloping algebra of a complex simple Lie algebra, Comm. Math. Phys., t. 117, 1988, p. 581-593.

[11] C.N. Yang and M.L. Ge (editors). — Braid groups, knot theory and statistical mechanics. — Adv. Series Math. Phys., vol 9, World Scientific, 1989.

Pierre CARTIER,

Département de Mathématiques et d’Informatique, École Normale Supérieure, 45, rue d’Ulm, F-75230 PARIS Cedex 05.