% Format a4 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\catcode'32=9
\magnification=1200

% particularite du pilote canon

\voffset=1cm
\hoffset=0cm

\font\tenpc=cmcsc10
%\font\eightpc=cmcsc8

% Charge des fontes de 8 et 6 points :
\font\eightrm=cmr8
\font\eighti=cmmi8
\font\eightsy=cmsy8
\font\eightbf=cmbx8
\font\eighttt=cmtt8
\font\eightit=cmti8
\font\eightsl=cmsl8
\font\sixrm=cmr6
\font\sixi=cmmi6
\font\sixsy=cmsy6
\font\sixbf=cmbx6

\skewchar\eighti='177 \skewchar\sixi='177
\skewchar\eightsy='60 \skewchar\sixsy='60

% Chargement des fontes AMS

\font\tengoth=eufm10
%\font\tenbboard=msym10
\font\eightgoth=eufm8
%\font\eightbboard=msym8
\font\sevengoth=eufm7
%\font\sevenbboard=msym7
\font\sixgoth=eufm6
\font\fivegoth=eufm5

\newfam\gothfam
%\newfam\bboardfam

\catcode`\@=11

\def\raggedbottom{\topskip 10pt plus 36pt
\r@ggedbottomtrue}
\def\pc#1#2|{{\bigf@ntpc #1\penalty
\@MM\hskip\z@skip\smallf@ntpc #2}}

\def\tenpoint{%
  \textfont0=\tenrm \scriptfont0=\sevenrm \scriptscriptfont0=\fiverm
  \def\rm{\fam\z@\tenrm}%
  \textfont1=\teni \scriptfont1=\seveni \scriptscriptfont1=\fivei
  \def\oldstyle{\fam\@ne\teni}%
  \textfont2=\tensy \scriptfont2=\sevensy \scriptscriptfont2=\fivesy
  \textfont\gothfam=\tengoth \scriptfont\gothfam=\sevengoth
  \scriptscriptfont\gothfam=\fivegoth
  \def\goth{\fam\gothfam\tengoth}%
%  \textfont\bboardfam=\tenbboard \scriptfont\bboardfam=\sevenbboard
%  \scriptscriptfont\bboardfam=\sevenbboard
%  \def\bboard{\fam\bboardfam}%
  \textfont\itfam=\tenit
  \def\it{\fam\itfam\tenit}%
  \textfont\slfam=\tensl
  \def\sl{\fam\slfam\tensl}%
  \textfont\bffam=\tenbf \scriptfont\bffam=\sevenbf
  \scriptscriptfont\bffam=\fivebf
  \def\bf{\fam\bffam\tenbf}%
  \textfont\ttfam=\tentt
  \def\tt{\fam\ttfam\tentt}%
  \abovedisplayskip=12pt plus 3pt minus 9pt
  \abovedisplayshortskip=0pt plus 3pt
  \belowdisplayskip=12pt plus 3pt minus 9pt
  \belowdisplayshortskip=7pt plus 3pt minus 4pt
  \smallskipamount=3pt plus 1pt minus 1pt
  \medskipamount=6pt plus 2pt minus 2pt
  \bigskipamount=12pt plus 4pt minus 4pt
  \normalbaselineskip=12pt
  \setbox\strutbox=\hbox{\vrule height8.5pt depth3.5pt width0pt}%
  \let\bigf@ntpc=\tenrm \let\smallf@ntpc=\sevenrm
  \let\petcap=\tenpc
  \normalbaselines\rm}
\def\eightpoint{%
  \textfont0=\eightrm \scriptfont0=\sixrm \scriptscriptfont0=\fiverm
  \def\rm{\fam\z@\eightrm}%
  \textfont1=\eighti \scriptfont1=\sixi \scriptscriptfont1=\fivei
  \def\oldstyle{\fam\@ne\eighti}%
  \textfont2=\eightsy \scriptfont2=\sixsy \scriptscriptfont2=\fivesy
  \textfont\gothfam=\eightgoth \scriptfont\gothfam=\sixgoth
  \scriptscriptfont\gothfam=\fivegoth
  \def\goth{\fam\gothfam\eightgoth}%
%  \textfont\bboardfam=\eightbboard \scriptfont\bboardfam=\sevenbboard
%  \scriptscriptfont\bboardfam=\sevenbboard
%  \def\bboard{\fam\bboardfam}%
  \textfont\itfam=\eightit
  \def\it{\fam\itfam\eightit}%
  \textfont\slfam=\eightsl
  \def\sl{\fam\slfam\eightsl}%
  \textfont\bffam=\eightbf \scriptfont\bffam=\sixbf
  \scriptscriptfont\bffam=\fivebf
  \def\bf{\fam\bffam\eightbf}%
  \textfont\ttfam=\eighttt
  \def\tt{\fam\ttfam\eighttt}%
  \abovedisplayskip=9pt plus 2pt minus 6pt
  \abovedisplayshortskip=0pt plus 2pt
  \belowdisplayskip=9pt plus 2pt minus 6pt
  \belowdisplayshortskip=5pt plus 2pt minus 3pt
  \smallskipamount=2pt plus 1pt minus 1pt
  \medskipamount=4pt plus 2pt minus 1pt
  \bigskipamount=9pt plus 3pt minus 3pt
  \normalbaselineskip=9pt
  \setbox\strutbox=\hbox{\vrule height7pt depth2pt width0pt}%
  \let\bigf@ntpc=\eightrm \let\smallf@ntpc=\sixrm
  \normalbaselines\rm}

\let\bboard=\bf

\tenpoint

%���������������������� dactylographie fran�aise �����������������
% Conflit avec fplain (redefinition ?)
\catcode`\;=\active
\def;{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@\unskip\fi
\kern\fontdimen2 \font\kern -1.2 \fontdimen3 \font\fi\string;}

\catcode`\:=\active
\def:{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@\unskip\fi\penalty\@M\
\fi\string:}

\catcode`\!=\active
\def!{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
\unskip\fi\kern\fontdimen2 \font \kern -1.1 \fontdimen3 \font\fi\string!}

\catcode`\?=\active
\def?{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
\unskip\fi\kern\fontdimen2 \font \kern -1.1 \fontdimen3 \font\fi\string?}

\def\^#1{\if#1i{\accent"5E\i}\else{\accent"5E #1}\fi}
\def\"#1{\if#1i{\accent"7F\i}\else{\accent"7F #1}\fi}

\frenchspacing

%���������������������� format de sortie �����������������

\newif\ifpagetitre
\newtoks\auteurcourant \auteurcourant={\hfil}
\newtoks\titrecourant \titrecourant={\hfil}

\def\appeln@te{}
\def\vfootnote#1{\def\@parameter{#1}\insert\footins\bgroup\eightpoint
  \interlinepenalty\interfootnotelinepenalty
  \splittopskip\ht\strutbox % top baseline for broken footnotes
  \splitmaxdepth\dp\strutbox \floatingpenalty\@MM
  \leftskip\z@skip \rightskip\z@skip
  \ifx\appeln@te\@parameter\indent \else{\noindent #1\ }\fi
  \footstrut\futurelet\next\fo@t}

\pretolerance=500 \tolerance=1000 \brokenpenalty=5000
\newdimen\hmargehaute \hmargehaute=0cm
\newdimen\lpage \lpage=13.3cm
\newdimen\hpage \hpage=20cm
\newdimen\lmargeext \lmargeext=1cm
\hsize=11.25cm
\vsize=18cm
\parskip 0pt
\parindent=12pt

\def\margehaute{\vbox to \hmargehaute{\vss}}%
\def\margebasse{\vss}

\output{\shipout\vbox to \hpage{\margehaute\nointerlineskip
  \corpsdepage\margebasse}
  \advancepageno \global\pagetitrefalse
  \ifnum\outputpenalty>-20000 \else\dosupereject\fi}

\def\corpsdepage{\hbox to \lpage{\hss\pagetexte\hskip\lmargeext}}
\def\pagetexte{\vbox{\makeheadline\pagebody\makefootline}}
\headline={\ifpagetitre\titleheadline \else
  \ifodd\pageno\rightheadline \else\leftheadline\fi\fi}
\def\leftheadline{\eightpoint\hfil\the\auteurcourant\hfil}
\def\rightheadline{\eightpoint\hfil\the\titrecourant\hfil}
\def\titleheadline{\hfill}
\pagetitretrue

\def\footnoterule{\kern-6\p@
  \hrule width 2truein \kern 5.6\p@} % the \hrule is .4pt high



\let\rmpc=\sevenrm
\def\pd#1#2 {\pc#1#2| }

\def\pointir{\discretionary{.}{}{.\kern.35em---\kern.7em}\nobreak
\hskip 0em plus .3em minus .4em }

\def\resume#1{\vbox{\eightpoint \pc R\'ESUM\'E|\pointir #1}}
\def\abstract#1{\vbox{\eightpoint \pc ABSTRACT|\pointir #1}}

\def\titre#1|{\message{#1}
              \par\vskip 30pt plus 24pt minus 3pt\penalty -1000
              \vskip 0pt plus -24pt minus 3pt\penalty -1000
              \centerline{\bf #1}
              \vskip 5pt
              \penalty 10000 }

\def\section#1|{\par\vskip .3cm
                {\bf #1}\pointir}

\def\ssection#1|{\par\vskip .2cm
                {\it #1}\pointir}

\long\def\th#1|#2\finth{\par\vskip 5pt
              {\petcap #1\pointir}{\it #2}\par\vskip 3pt}

\long\def\tha#1|#2\fintha{\par\vskip 5pt
                    {\petcap #1.}\par\nobreak{\it #2}\par\vskip 3pt}
\def\cf{{\it cf}}

\def\rem#1|{\par\vskip 5pt
            {{\it #1}\pointir}}

\def\rema#1|{\par\vskip 5pt
             {{\it #1.}\par\nobreak }}

%
\def\ieme{\raise 1ex\hbox{\pc{}i\`eme|}}
\def\omini{\raise 1ex\hbox{\pc{}o|}}
\def\emini{\raise 1ex\hbox{\pc{}e|}}
\def\ermini{\raise 1ex\hbox{\pc{}er|}}
\def\remini{\raise 1ex\hbox{\pc{}re|}}

%reference pour un article :
\def\article#1|#2|#3|#4|#5|#6|#7|
    {{\leftskip=7mm\noindent
     \hangindent=2mm\hangafter=1
     \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
     #3, {\it #4}, t.\nobreak\ {\bf #5}, {\oldstyle #6},
     p.\nobreak\ #7.\par}}
%reference pour un livre :
\def\livre#1|#2|#3|#4|
    {{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
    \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
    {\it #3}\pointir #4.\par}}
%reference complementaire :
\def\divers#1|#2|#3|
    {{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
     \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
     #3.\par}}
%
\mathchardef\conj="0365
\def\dem{\par{\it D\'emonstration}\pointir}
\def\qed{\quad\raise -2pt\hbox{\vrule\vbox to 10pt{\hrule width 4pt
\vfill\hrule}\vrule}}

\def\virg{\raise 2pt\hbox{,}}   % virgule apr�s une fraction

\def\cqfd{\penalty 500 \hbox{\qed}\par\vskip 3pt}
\long\def\entourer#1{\hbox{\vrule\vbox{\hrule\hbox{\kern15pt\vbox{\kern5pt
{#1}\kern5pt}\kern15pt}\hrule}\vrule}}
\def\\S {\vskip 5pt\hskip .5cm plus .1cm minus .1cm\relax}

%les differents retraits, voir aussi \item
\def\enonce#1|#2\finenonce{{\par\leftskip=36pt
\noindent\hbox to 0pt{\kern-\leftskip#1\hfill}{#2}\par}}

\def\senonce#1|#2\finsenonce{{\par\leftskip=36pt
\noindent\hbox to 0pt{\kern-24pt #1\hfill}{#2}\par}}

\def\ssenonce#1|#2\finssenonce{{\par\leftskip=48pt
\noindent\hbox to 0pt{\kern-24pt #1\hfill}{#2}\par}}

\def\decale#1|{\par\noindent\hskip 28pt\llap{#1}\kern 5pt}
\def\decaledecale#1|{\par\noindent\hskip 34pt\llap{#1}\kern 5pt}
% pour les titres en deux lignes et les sections sans point-tiret :
\def\titrea#1|#2|{\message{#1 #2}
  \par\vskip.5cm plus .1cm minus .1cm\penalty -1000
  \centerline{\bf #1}
  \centerline{\bf #2}
  \vskip 5pt
  \penalty 10000 }
\def\sectiona#1|{\par\vskip .3cm
  {\bf #1.}
  \par\nobreak\vskip 3pt }
\def\ssectiona#1|{\par\vskip .2cm
  {\it #1.}
  \par\nobreak\vskip 2pt }

\def\rest#1{\ifinner\setbox1=\hbox{$\textstyle{#1}$}
            \else\setbox1=\hbox{$\displaystyle{#1}$}\fi
            \dimen1=\ht1
            \advance\dimen1 by\dp1
            \divide\dimen1 by 2
            \box1\lower 2pt\hbox{$\left|\vbox to\dimen1{}\right.$}}

\def\displaylinesno#1{\displ@y\halign{
\hbox to\displaywidth{$\@lign\hfil\displaystyle##\hfil$}&
\llap{$##$}\crcr#1\crcr}}

\def\ldisplaylinesno#1{\displ@y\halign{ 
\hbox to\displaywidth{$\@lign\hfil\displaystyle##\hfil$}&
\kern-\displaywidth\rlap{$##$}\tabskip\displaywidth\crcr#1\crcr}}

\def\Eqalign#1{\null\,\vcenter{\openup\jot\m@th\ialign{
\strut\hfil$\displaystyle{##}$&$\displaystyle{{}##}$\hfil
&&\quad\strut\hfil$\displaystyle{##}$&$\displaystyle{{}##}$\hfil
\crcr#1\crcr}}\,}


% matrice justifi\'ee \`a droite : \hfil coef dans chaque ligne

\def\matrixd#1{\null \,\vcenter {\normalbaselines \m@th
\ialign {\hfil $##$&&\quad \hfil $##$\crcr
\mathstrut \crcr \noalign {\kern -\baselineskip } #1\crcr
\mathstrut \crcr \noalign {\kern -\baselineskip }}}\,}

\def\pmatrixd#1{\left(\matrixd{#1}\right)}

% ���������������������  syst�me d'�quations  ���������������������
% copi\'e sur \eqalign, on s'en sert comme une matrice
% syntaxe : signe & coef & inconnue
% les coef sont justifi\'es \`a droite (\hfil coef)
% et les inconnues \`a gauche (inconnue\hfil)
% attention : double && avant le signe =
% pour justification correcte !
% Exemple : $$\system{
%             &2 &x &- &3 & y & = &&       -5 \cr
%            -&  &x &+ &  & y & = && \hfill 6 \cr
%           }$$

\def\system#1{\left\{\null\,\vcenter{\openup1\jot\m@th
\ialign{\strut$##$     &\hfil$##$&$##$\hfil&&
       \enskip$##$\enskip&\hfil$##$&$##$\hfil\crcr
        #1\crcr}}\right.}

\catcode`\@=12
% Fin du format %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input /home/institut/desar/TeX/a4.tex

%\nopagenumbers
\auteurcourant={J. D\'esarm\'enien}
\titrecourant={\smash{\'E}tude modulo $n$}
%\font\twelvebf=TimesB at 12pt

\overfullrule=0pt
\medmuskip=3.5mu plus 1mu minus 3.5mu
\thickmuskip=4mu plus 2mu

\let\Tenpoint=\tenpoint
\let \Eightpoint=\eightpoint

\def\imaj{\mathop{\rm imaj}\nolimits}
\def\rec{\mathop{\rm rec}\nolimits}
\def\des{\mathop{\rm des}\nolimits}

% \line{Combinatoire/{\it Combinatorics}\hfil\the\day/\the\month}
\vglue 0pt\bigskip\bigskip
\centerline{{\bf \'Etude modulo n des statistiques mahoniennes}}
\bigskip
\centerline{Jacques \petcap D\'esarm\'enien\footnote{}{Avec le soutien du
P.R.C. Math.-Info.}}

\bigskip

\titre Introduction|
Sous le nom g\'en\'erique de statistiques mahoniennes, on regroupe un certain
nombre de statistiques d'ordre d\'efinies sur des ensembles de mots de
longueur $n$. Citons, entre autres, le nombre d'inversions des permutations,
leur indice majeur ou majeur-inverse, les m\^emes statistiques sur les
mots \'ecrits avec les lettres $\{ 0,1\} $. On peut, par ailleurs, imposer
des contraintes sur la forme (``up-down sequence''x
) des permutations. Un
r\'esultat c\'el\`ebre de Foata et Sch\"utzenberger [F--S] \'etablit dans ce
cas l'\'equidistribution du nombre d'inversions et de l'indice majeur-inverse.
On peut alors se ramener \`a l'\'etude de l'indice majeur
d'un tableau de Young, ce qui permet d'utiliser tout l'arsenal de
l'alg\`ebre classique. Une telle approche a \'et\'e utilis\'ee notamment
dans [D2, D--F1, D--F2, D--F3, D--F4].

Le but de cet article est d'\'etablir une propri\'et\'e d'\'equir\'epartition
des tableaux de Young de forme donn\'ee relativement \`a la valeur modulo
$n$ de leur indice majeur. On en d\'eduit ensuite la m\^eme propri\'et\'e
pour toutes les statistiques des permutations,
ainsi que de nombreux r\'esultats analogues.

On obtient aussi la d\'ecomposition explicite de la repr\'esentation
du groupe sym\'etrique sur l'alg\`ebre de Lie libre associ\'ee \`a la
partition $n$. Ce r\'esultat, d\^u \`a Kraskiewicz et Weyman [K--W],
est cit\'e par Reutenauer [R].

Les outils mis en \oe uvre sont, d'une part le lien entre certains
caract\`eres du groupe sym\'etrique et l'indice majeur des tableaux
de Young, d'autre part un lemme de nature arithm\'etique.

\titre 1. Lemme arithm\'etique|
Soit $n$ un entier strictement positif. Notons $\Phi _n(q)$ le
$n$-i\`eme polyn\^ome cyclotomique ($\Phi _1(q)=1-q$, $\Phi _2(q)=1+q$,\dots).
Nous aurons besoin des {\it sommes de Ramanujan}
$c_n(m)=\sum _{(i,n)=1}\zeta ^{im}$, o\`u $\zeta $ d\'esigne une racine
primitive $n$-i\`eme de l'unit\'e ({\it cf.}~[H--W]).
On peut assez facilement trouver la valeur
explicite des sommes de Ramanujan en termes de fonction de
M\"obius $\mu (n)$ et de fonction indicatrice d'Euler $\varphi (n)$.
Plus pr\'ecis\'ement, on a le r\'esultat suivant, d\^u \`a H\"older.

\th Lemme 1.1 {{\rm [H--W, p.~238}]}|Posons $(m,n)=\delta $ et
$n=\delta N$ ; alors
$$c_n(m)={\mu (N)\varphi (n)\over \varphi (N)}.$$
En particulier, si $(n_1,m)=(n_2,m)$, alors
$c_n(m_1)=c_n(m_2)$.
\finth

Soit maintenant un polyn\^ome $P(q)=\sum _{0\leq k\leq n-1}a_kq^k$ \`a
coefficients entiers. Suivant en cela la terminologie de
Cohen [C], nous dirons que les coefficients de $P(q)$, et
par abus, $P(q)$ lui-m\^eme, sont {\it pairs} modulo $n$ lorsque,
pour tous $k$ et $l$ compris entre 0 et $n-1$, l'\'egalit\'e
$(k,n)=(l,n)$ implique l'\'egalit\'e des coefficients $a_k=a_l$.

Les fonctions paires modulo $n$ ont \'et\'e \'etudi\'ees par Cohen, qui
a montr\'e qu'elles co\"{\i}ncident avec les combinaisons lin\'eaires de
sommes de Ramanujan. Ces derni\`eres avaient \'et\'e utilis\'ees en particulier
par Nicol et Vandiver [N--V] pour d\'enombrer certaines configurations
combinatoires.

\th Proposition 1.2|Soit $P(q)$ un polyn\^ome \`a coefficients entiers de
degr\'e inf\'erieur \`a $n$. Il y a \'equivalence entre les deux
propri\'et\'es suivantes :

\indent\indent\llap{{\rm (i)\ }}
Pour tout entier $d$ diviseur de $n$, le r\'esidu $r_d$ de $P(q)$ modulo
$\Phi _d(q)$ est un entier ;

\indent\indent\llap{{\rm (ii)\ }}
Le polyn\^ome $P(q)$ est pair modulo $n$.

On a, de plus,
$$a_k={1\over n}\sum _{d|n}r_d c_d(k)\qquad {\rm et}\qquad
r_\delta =\sum _{d|n}a_{n/d}c_d(n/\delta ).$$
\finth

\ssection D\'emonstration de la proposition 1.2|
Les polyn\^omes satisfaisant (i) et ceux satisfaisant (ii)
forment clairement des ${\bboard Z}$-modules de m\^eme dimension,
\'egale au nombre de diviseurs de $n$. Pour d\'emontrer l'\'equivalence
de ces propri\'et\'es, il suffit donc de montrer que l'une
implique l'autre.

Supposons la propri\'et\'e (ii) satisfaite ;
en d'autres termes, si $(k,n)=n/d$, alors $a_k=a_{n/d}$. Pour montrer
la propri\'et\'e (i), il suffit de voir que lorsque $q$ est \'egal \`a une
racine primitive $\delta $-i\`eme de l'unit\'e quelconque, $\delta |n$, la
valeur prise par $P(q)$ est bien un nombre $r_\delta $
ne d\'ependant que de $\delta $. Les racines primitives $\delta $-i\`emes sont
les $\zeta ^i$, $(i,n)=n/\delta $, pour lesquelles on a :
$$\eqalign{P(\zeta ^i)
  &=\sum _{0\leq k\leq n-1}a_k\zeta ^{ik},\cr
  &=\sum _{d|n}a_{n/d}\sum _{(k,n)=n/d}\zeta ^{ik}.\cr}$$
On peut \'ecrire $k=k'{n\over d}$ o\`u $(k',d)=1$ ; de plus,
si $\zeta $ est une racine primitive $n$-i\`eme, alors $\zeta ^{n/d}$
est une racine primitive $d$-i\`eme. On a donc :
$$\eqalign{P(\zeta ^i)
  &=\sum _{d|n}a_{n/d}\sum _{(k',d)=1}\zeta ^{ik'n/d},\cr
  &=\sum _{d|n}a_{n/d}c_d(i),\cr
  &=\sum _{d|n}a_{n/d}c_d(n/\delta ).\cr}$$
On obtient bien la propri\'et\'e (i) et la valeur annonc\'ee de $r_\delta $.

R\'eciproquement, (i) implique (ii). Pour v\'erifier que les $a_k$
s'expriment en fonction des $r_d$ comme indiqu\'e, on peut utiliser
une formule d'inversion de Cohen [C, th\'eor\`eme~2]. Pour rester
autonome, nous allons en fait \'etablir directement cette formule
d'inversion dans notre cas particulier.

Supposons satisfaite la propri\'et\'e (i). Soient $\zeta ^0, \zeta ^1,\ldots,
\zeta ^{n-1}$ les $n$ racines $n$-i\`emes de l'unit\'e. Les racines
primitives $d$-i\`emes sont donc les $\zeta ^k$, $(k,n)=n/d$.
Puisque $P(q)\equiv r_d \pmod{\Phi _d(q)}$, on a, pour tout $k$ tel que
$(k,n)=n/d$, l'\'egalit\'e $P(\zeta ^k)=r_d$. Puisque nous connaissons
la valeur de $P(q)$ en $n$ points distincts, nous pouvons appliquer
la formule d'interpolation de Lagrange :
$$\eqalign{P(q)
  &=\sum _{0\leq i\leq n-1}P(\zeta ^i)\prod _{j\not=i}{(q-\zeta ^j)\over (\zeta ^i-\zeta ^j)},\cr
  &=\sum _{0\leq i\leq n-1}P(\zeta ^i)\prod _{j\not=i}{(\zeta ^{n-i}q-\zeta ^{n-i+j})\over (1-\zeta ^{n-i+j})},\cr
  &=\sum _{0\leq i\leq n-1}P(\zeta ^i)\prod _{j\not=0}{(\zeta ^{n-i}q-\zeta ^j)\over (1-\zeta ^j)}.\cr}$$

Le polyn\^ome dont les racines sont les $\zeta ^j$, $j\not=0$ \'etant
$\sum _{0\leq k\leq n-1}q^k$, on a donc :
$$P(q)={1\over n}\sum _{0\leq i\leq n-1}P(\zeta ^i)\sum _{0\leq k\leq n-1}\zeta ^{(n-i)k}q^k,$$
qui, en regroupant les indices $i$ selon la valeur $n/d$
de $(i,n)$ et en rempla\c cant $P(\zeta ^i)$ par $r_d$,
permet d'\'ecrire
$$\eqalign{P(q)
  &={1\over n}\sum _{d|n}r_d\sum _{(i,n)=n/d}\sum _{0\leq k\leq n-1}\zeta ^{(n-i)k}q^k,\cr
  &={1\over n}\sum _{0\leq k\leq n-1}q^k\sum _{d|n}r_d\sum _{(i,n)=n/d}\zeta ^{ik},\cr
  &={1\over n}\sum _{0\leq k\leq n-1}q^k\sum _{d|n}r_d c_d(k).\cr}$$
On obtient bien la valeur annonc\'ee pour le coefficient $a_k$.

Ceci ach\`eve la d\'emonstration de la proposition 1.2.

\titre 2. Caract\`eres et congruences|
Pour tout ce qui concerne les d\'efinitions et propri\'et\'es
g\'en\'erales des fonctions sym\'etriques, le lecteur est renvoy\'e
\`a [M]. On sait que les fonctions sommes de puissances $p_\lambda $,
o\`u $\lambda $ est une partition, forment une $\bboard Q$-base de
l'espace vectoriel des fonctions sym\'etriques. Par ailleurs, \`a toute
repr\'esentation du groupe sym\'etrique est associ\'ee une fonction
sym\'etrique. C'est ainsi que les fonctions de Schur $S_\lambda $ sont
associ\'ees aux repr\'esentations irr\'eductibles lorsque $\lambda $ est
une partition (ou une forme principale). Les fonctions de Schur
constituent une $\bboard Z$-base de l'espace vectoriel des fonctions
sym\'etriques. Plus pr\'ecis\'ement, si on note $\chi _\lambda (\mu )$ la valeur
en $\mu $ du caract\`ere irr\'eductible du groupe sym\'etrique
associ\'e \`a $\lambda $, on a les d\'ecompositions :
$$\displaylines{
  S_\lambda =\sum _\mu {1\over z_\mu }\chi _\lambda (\mu )p_\mu ,\cr
  p_\mu =\sum _\lambda \chi _\lambda (\mu )S_\lambda ,\cr}$$
o\`u $z_\mu $ est l'entier \'egal \`a $1^{\mu _1}2^{\mu _2}\ldots
\mu _1!\,\mu _2!\ldots$ lorsque $\mu $ est la partition constitu\'ee de
$\mu _1$ parts \'egales \`a 1, de $\mu _2$ parts \'egales \`a 2, \dots

\'Etant donn\'e un tableau de Young standard $T$ de forme $\lambda $ et
d'ordre $n$, notons
$\rec T$ l'ensemble des entiers $i$, $1\leq i\leq n-1$ tels que $i+1$
se trouve \`a gauche (au sens large) de $i$ dans $T$ ({\it reculs}
de $T$), et $\imaj T$ la somme des entiers $i\in  \rec T$
({\it indice majeur-inverse} de $T$).
En particulier, si la forme $\lambda $ est un {\it ruban} ({\it cf.}~[D2]),
le tableau $T$ peut \^etre consid\'er\'e comme une permutation
dont la forme est donn\'ee par $\lambda $,
et la statistique ainsi d\'efinie sur $T$ co\"{\i}ncide avec l'indice
majeur-inverse. Notons $(q,q)_n=(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)$
la $q$-factorielle.

Le rapport entre fonctions de Schur et statistiques mahoniennes
est, en substance, contenu dans le lemme ci-dessous ({\it cf.} [D--F1]).

\th Lemme 2.1|La fonction g\'en\'eratrice de la statistique
{\rm imaj} sur les tableaux standard de forme $\lambda$ est donn\'ee par :
$$\sum _{T}q^{\imaj T}=(q,q)_n S_\lambda  (1,q,q^2,\ldots),$$
o\`u la somme est \'etendue \`a tous les tableaux standard de
forme $\lambda $.
\finth

Soit $P_\lambda (q)=\sum _{0\leq k\leq n-1}a_k(\lambda )q^\lambda $ le polyn\^ome dont le
coefficient $a_k(\lambda )$ est le nombre de tableaux $T$ de forme
$\lambda $ tels que $\imaj T\equiv k \pmod{n}$.
Nous pouvons maintenant \'enoncer le r\'esultat principal de
cet article.

\th Th\'eor\`eme 2.2|Pour une forme $\lambda $ donn\'ee d'ordre $n$, la
valeur de $a_k(\lambda )$ ne d\'epend que du plus grand commun diviseur
$(k,n)$. Plus pr\'ecis\'ement,
$$a_k(\lambda )={1\over n}\sum _{d|n} \chi _\lambda (d^{n/d})c_d(k).$$
\finth

\ssection D\'emonstration du th\'eor\`eme 2.2|
Soit $d|n$ ; puisque $1-q^n$ est divisible par $\Phi _d(q)$,
le reste modulo $\Phi _d(q)$ de $P_\lambda (q)$ et celui de la s\'erie
g\'en\'eratrice de imaj sur les tableaux de forme $\lambda $ sont
\'egaux. En vertu du lemme 2.1, il est \'egal au reste de
$(q,q)_n S_\lambda (1,q,q^2,\ldots)$ modulo $\Phi _d(q)$.

On peut alors utiliser l'\'ecriture de $S_\lambda $ comme
combinaison lin\'eaire de sommes de puissances. On obtient :
$$(q,q)_n S_\lambda (1,q,q^2,\ldots)=\sum _\mu  {1\over z_\mu }\chi _\mu (\lambda )  T_\mu (q),$$
o\`u
$$T_\mu (q)=(q ,q)_n p_\mu (1,q,q^2,\ldots).$$
On voit facilement que
$$T_\mu (q)=
  {(1-q)(1-q^2)\cdots (1-q^n)\over
  (1-q)^{\mu _1}(1-q^2)^{\mu _2}\cdots (1-q^n)^{\mu _n}}.$$

Les seuls facteurs de l'expression pr\'ec\'edente sont des
polyn\^omes cyclotomiques. On trouve sans grande difficult\'e
le reste modulo un polyn\^ome cyclotomique quelconque
({\it cf.}~[D1, D2, D--F4]). Ici, seul nous int\'eresse le reste modulo
$\Phi _d(q)$, pour lequel nous allons redonner le r\'esultat. La
multiplicit\'e de $\Phi _d(q)$ dans $T_\mu (q)$ vaut
$${n\over d}-(\mu _d+\mu _{2d}+\cdots+\mu _n).$$
Puisque
$$n=\mu _1+2\mu _2+\cdots+n\mu _n\geq d(\mu _d+\mu _{2d}+\cdots+\mu _n),$$
il s'ensuit que $T_\mu (q)$ est divisible par $\Phi _d(q)$, sauf si
$\mu =d^{n/d}$. Dans ce dernier cas,
$$T_{d^{n/d}}(q)={(1-q)\cdots(1-q^d)(1-q^{d+1})\cdots(1-q^{2d})
  \cdots (1-q^n)\over (1-q^d)^{n/d}},$$
et la substitution \`a $q$ d'une quelconque racine primitive
$d$-i\`eme de l'unit\'e dans l'expression pr\'ec\'edente donne
$$T_{d^{n/d}}(q)\equiv d^{n/d}(n/d)!=z_{d^{n/d}} \pmod{\Phi _d(q)}.$$

Par cons\'equent, on a la congruence :
$$(q,q)_n S_\lambda (1,q,q^2,\ldots)\equiv \chi _\lambda (d^{n/d}) \pmod{\Phi _d(q)}.$$
La condition (i) de la proposition~1.2 est ainsi satisfaite
pour le polyn\^ome $P_\lambda (q)$ et le th\'eor\`eme~2.2 est d\'emontr\'e.

\titre 3. Cons\'equences combinatoires|%
Le th\'eor\`eme 2.2 s'applique \`a toutes les formes
$\lambda $, y compris les rubans, comme mentionn\'e plus haut.
Les tableaux de Young de forme ruban sont exactement les
permutations dont la forme est donn\'ee par le ruban. Par
combinaison lin\'eaire des fonctions de Schur de formes
ruban, on obtient les permutations dont la forme est
sujette \`a des conditions. C'est pr\'ecis\'ement sur ces ensembles de
permutations que Foata et Sch\"utzenberger [F--S] ont
montr\'e l'\'equidistribution du nombre d'inversions
et de l'indice majeur-inverse. On d\'eduit donc du
th\'eor\`eme 2.2 le r\'esultat suivant.

\th Proposition 3.1|Le nombre de permutations de $[1,n]$
sujettes \`a des conditions sur leur forme et dont le
nombre d'inversions est congru \`a $k$ modulo $n$ ne d\'epend
que du plus grand commun diviseur $(k,n)$.
\finth

On peut en d\'eduire des r\'esultats analogues pour toutes
les suites analogues aux suites classiques de nombres
\'etudi\'ees dans [D2] : permutations alternantes, permutations
eul\'eriennes, d\'erangements,~\dots

Nous avons \'etudi\'e, \`a la suite de Gessel [D--W], les
fonctions sym\'etriques associ\'ees aux mots de Lyndon
d'un type donn\'e. On en d\'eduit, de mani\`ere tout-\`a-fait
analogue au lemme 3.2, l'existence de fonctions
sym\'etriques $L_\lambda $ de degr\'e $n$ telles que la fonction g\'en\'eratrice
de la statistique $\imaj$ \'etendue aux permutations
dont la structure cyclique est de type $\lambda $ est \'egale
\`a $(q,q)_n L_\lambda (1,q,q^2,\ldots)$. En d\'ecomposant les
fonctions $L_\lambda $ en sommes de fonctions de Schur, et en appliquant
le th\'eor\`eme 2.2 \`a chacune des fonctions de Schur, on obtient
le r\'esultat suivant.

\th Proposition 3.2|Le nombre de permutations de $[1,n]$
dont la structure cyclique est de type $\lambda $ et dont l'indice
majeur-inverse est congru \`a $k$ modulo $n$ ne d\'epend que du
plus grand commun diviseur de $k$ et de $n$.
\finth

Un cas particulier digne d'int\'er\^et est celui o\`u
le type est r\'eduit \`a une seule part $n$. Les permutations
sous-jacentes sont donc les permutations cycliques.
Dans ce cas, la fonction $L_n$, somme des poids des
mots de Lyndon de longueur $n$, peut \^etre \'evalu\'ee
par le th\'eor\`eme de P\'olya :
$$L_n={1\over n}\sum _{d|n}\mu (d) p_d^{n/d}.$$
\'ecrivons maintenant la d\'ecomposition des sommes de puissances
comme sommes de fonctions de Schur :
$$\eqalign{L_n
  &={1\over n}\sum _{d|n}\sum _\lambda  \mu (d) \chi _\lambda (d^{n/d}) S_\lambda ,\cr
  &=\sum _\lambda \bigl({1\over n}\sum _{d|n}\mu (d) \chi _\lambda
(d^{n/d})\bigr)S_\lambda,\cr
  &=\sum _\lambda a_1(\lambda) S_\lambda.\cr}$$
La derni\`ere expression de $L_n$ r\'esulte du th\'eor\`eme~2.2 et de la
remarque du lemme~1.1 que $c_d(1)=\mu (d)$.
On en d\'eduit la
d\'ecomposition suivante, obtenue par d'autres moyens par Kraskiewicz et
Weyman [K--W].

\th Proposition 3.3|La multiplicit\'e de $S_\lambda $ dans $L_n$ est
\'egale au nombre de tableaux de Young de forme $\lambda $ dont l'indice
majeur-inverse est congru \`a $1$ modulo $n$.
\finth

Ce r\'esultat, comme l'indique Reutenauer [R],
a d'autres cons\'equences. En effet, partons de l'identit\'e
de la proposition pr\'ec\'edente :
$$L_n=\sum _\lambda  a_1(\lambda ) S_\lambda .$$
Utilisant les techniques
et les notations de [D--W], on peut
\'ecrire
$$L_n=\sum _\lambda  a_1(\lambda ) \sum _T \sum _{s\perp \rec T} w(s),$$
o\`u la seconde somme est \'etendue aux tableaux standard $T$
de forme $\lambda $. On peut r\'ecrire
$$L_n=\sum _{E\subset [1,n-1]}\sum _{s\perp E} w(s) A^E ,$$
o\`u $A^E$ est le nombre de couples de tableaux standard
$(U,V)$ d'ordre $n$, de m\^eme forme, o\`u $\imaj U\equiv 1\pmod n$ et
$\rec T=E$.

La construction de Robin\-son-Schensted-Sch\"utzen\-berger
\'etablit pr\'e\-cis\'e\-ment une bijection entre les couples
$(U,V)$ de tableaux de Young de m\^eme forme et les permutations
$\sigma $. De plus, l'ensemble des reculs de $U$ est \'egal \`a l'ensemble
des reculs de $\sigma $ et l'ensemble des reculs de $V$ \`a celui des
descentes de $\sigma $. Par cons\'equent, $A^E$ est aussi le nombre
de permutations de $\sigma $ de $[1,n]$ dont l'ensemble des
descentes est $E$ et telles que $\imaj \sigma $ est congru \`a 1
modulo $n$.

D'un autre c\^ot\'e,
$$L_n=\sum _{E\subset [1,n-1]}\sum _{s\perp E} w(s) C^E,$$
o\`u $C^E$ est le nombre de permutations circulaires
de $[1,n]$ dont l'ensemble des descentes est $E$
({\it cf.}~[D--W]). Il s'ensuit, par identification (en
fait en r\'esolvant un syst\`eme triangulaire) l'\'egalit\'e
$A^E=C^E$. Utilisant encore le r\'esultat de Foata et
Sch\"utzenberger, on a \'etabli la proposition suivante,
due \`a Reutenauer [R].

\th Proposition 3.4|Soit $E\subset [1,n-1]$. Les ensembles suivants
ont m\^eme cardinal :

\indent\indent\llap{{\rm (i)\ }}Les permutations circulaires
dont l'ensemble des descentes est $E$ ;

\indent\indent\llap{{\rm (ii)\ }}Les permutations dont l'ensemble
des descentes est $E$ et dont l'indice majeur-inverse est
congru \`a $1$ modulo $n$ ;

\indent\indent\llap{{\rm (iii)\ }}Les permutations dont l'ensemble
des descentes est $E$ et dont le nombre d'inversions est
congru \`a $1$ modulo $n$.
\finth

Dans un autre ordre d'id\'ees, mentionnons pour finir que la
proposition~1.2 s'applique aussi aux polyn\^omes gaussiens,
ou $q$-binomiaux. Nous avons \'etabli, dans [D1] la congruence
suivante : si $n=ka+r$ et $m=kb+s$ sont les divisions
respectives des entiers $n$ et $m$ par $k$, alors,
$${n\brack m}\equiv {a\choose b}{r\brack s}\pmod{\Phi _k}.$$
Lorsque $k$ divise $n$, le polyn\^ome $r\brack s$
vaut 0 ou 1 selon que $k$ ne divise pas ou divise $m$.
Dans tous les cas, le second membre de la congruence est
un entier. Compte tenu des interpr\'etations combinatoires
des polyn\^omes gaussiens, dues \`a MacMahon, on a pour les
statistiques mahoniennes sur les mots un r\'esultat analogue au
th\'eor\`eme~2.2.

\th Proposition 3.5|Le nombre de mots contenant $m$ fois la lettre $0$
et $n-m$ fois la lettre $1$ dont le nombre d'inversions
(ou, de fa\c con \'equivalente, l'indice majeur)
est congru \`a $k$ modulo $n$ ne d\'epend que du plus grand
commun diviseur $(k,n)$.
\finth

\bigskip
\eightpoint

\leftline{\pc R\'EF\'ERENCES BIBLIOGRAPHIQUES|}

\nobreak\bigskip

\article C|\pd COHEN (E.)|A class of arithmetical functions|%
  Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.|41|1955|939--944|

\article D1|\pd D\'ESARM\'ENIEN (J.)|Un analogue des congruences
  de Kummer pour les $q$-nombres d'Euler|Europ. J. Combin.|3|1982|19--28|

\article D2|\pd D\'ESARM\'ENIEN (J.)|Fonctions sym\'etriques
  associ\'ees \`a des suites classiques de nombres|Ann. Scient.
  \smash{\'e}cole Normale Sup\'erieure|16|1983|271--304|

\article D--F1|\pd D\'ESARM\'ENIEN (J.) et \pd FOATA (D.)|Fonctions
  sym\'etriques et s\'eries hyperg\'eom\'etriques basiques
  multivari\'ees|Bull. Soc. Math. France|113|1985|3--22|

\divers D--F2|\pd D\'ESARM\'ENIEN (J.) et \pd FOATA (D.)|Fonctions
  sym\'etriques et s\'eries hyperg\'eom\'etriques basiques
  multivari\'ees~II, {\it Combinatoire \'enum\'erative}, [Labelle (G.)
  et Leroux (P.), \'ed. ; Montr\'eal, 28~mai--1~juin~1985],
  p.~68--90\pointir Heidelberg, Springer-Verlag (Lecture Notes
  in Mathematics, vol.~1234), {\oldstyle 1987}|

\divers D--F3|\pd D\'ESARM\'ENIEN (J.) et \pd FOATA (D.)|Statistiques d'ordre
  sur les permutations color\'ees, {\it Discrete Math.} (\`a para\^{\i}tre)|

\divers D--F4|\pd D\'ESARM\'ENIEN (J.) et \pd FOATA (D.)|The signed Eulerian
  numbers, {\it Discrete Math.} (\`a para\^{\i}tre)|

\divers D--W|\pd D\'ESARM\'ENIEN (J.) et \pd WACHS (M.)|Descentes
sur les d\'erangements et mots circulaires, {\it S\'eminaire lotharingien
de combinatoire}, 19\emini~session, [Strehl (V.), \'ed. ;
Schlo\ss\ Schwannberg/Ufr. 22--25~mars 1988], p.13--21\pointir
Strasbourg, Publ. I.R.M.A. 361/S--19, {\oldstyle 1988}|

\article F--S|\pd FOATA (D.) et \pd SCH\"UTZENBERGER (M.)|Major
  index and inversion number of permutations|Math. Nachr.|%
  83|1978|143--159|

\livre H--W|\pd HARDY (G.M.) et \pd WRIGHT (E.M.)| An introduction
  to the theory of numbers (5\emini~\'ed.)|Oxford, Clarendon
  Press, {\oldstyle 1979}|

\divers K--W|\pd KRASKIEWICZ (W.) et \pd WEYMAN (J.)|Algebra of
  invariants and the action of a Coxeter element, pr\'epublication,
  Institut de math\'ematique de l'Universit\'e Copernic, Toru\'n,
  Pologne|

\livre M|\pd MACDONALD (I.G.)|Symmetric functions and Hall
  polynomials|Oxford, Clarendon Press, {\oldstyle 1979}|

\article N--V|\pd NICOL (C.A.) et \pd VANDIVER (H.S.)|A Von
  Sterneck arithmetical function and restricted partitions
  with respect to a modulus|Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.|%
  40|1954|825--835|

\divers R|\pd REUTENAUER (C.)|Number of permutations with
  given descent set and cycle stucture, \`a para\^{\i}tre dans les
  actes de la 21\emini\ session du S\'eminaire lotharingien de
  combinatoire|

\rightline{\strut \vrule width 3cm height .4pt depth 0pt}
\rightline{\it D\'epartement d'informatique,}
\rightline{\it Institut universitaire de
  technologie de l'Universit\'e Robert-Schuman,}
\rightline{\it 72, route du Rhin, 67400 Illkirch-Graffenstaden.}

\bye
