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\input amsppt.sty


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\magnification 1200
\overfullrule=6pt
\font\zehnbfit=cmbxti10
\let\bfit=\zehnbfit


\input texdraw
\def\ringerl(#1 #2){\move(#1 #2)\lcir r:.1}
\def\ulab (#1 #2)#3{\move (#1 #2)
  \bsegment \textref h:C v:T \htext (0 -0.15){\eightpoint$#3$}\esegment}
\def\olab (#1 #2)#3{\move (#1 #2)
  \bsegment \textref h:C v:B \htext (0 0.15){\eightpoint$#3$}\esegment}

\def\aba {\vskip 4pt\noindent}
\def\rahmen#1#2{\vbox{\hrule\hbox{\vrule\hskip#1\vbox%
{\vskip#1{}#2\vskip#1}\hskip#1\vrule}\hrule}}
\def\abb {\vskip 9pt\noindent}
\def\abc {\vskip 15pt\noindent}
\def\abd {\vskip 25pt\noindent}
\def\ti{\mathop{\times}}
\def\ya{\mathop{y}}
\def\xa{\mathop{x}}
\def\d{\displaystyle}
\def\ex{\mathop{\exists}}
\def\fora{\mathop{\forall}}
\def\={\mathop{=}}
\def\Si{\mathop{\Sigma}}
\def\ria{\mathop{\rightarrow}}
\def\lria{\mathop{\longrightarrow}}
\def\rh{\mathop{\rightharpoondown}}
\font\mittel=cmbx10 scaled \magstep 1
\font\gross=cmbx10 scaled \magstep 2
\font\klein=cmbx10 scaled \magstep0
\def\mi{\mathop{-}}
\def\binde-{\mathop{-}}
\def\plus{\mathop{+}}
\def\schrak{\mathop{/}}
\def\max{\mathop{max}}
\def\N{\hbox{{\rm I\hskip -3pt N}}}
\def\A{\hbox{$A\hskip -5pt A$}}
\def\B{\hbox{$I\hskip -3pt B$}}
\def\C{\hbox{$C\hskip -5pt C$}}
\def\D{\hbox{$I\hskip -3pt D$}}
\def\R{\hbox{$I\hskip -3pt R$}}
\def\H{\hbox{$I\hskip -3pt H$}}
\def\Z{\hbox{$Z\hskip -4pt Z$}}
\def\p{\hbox{$I\hskip -3pt P$}}
\def\kasten#1{\mathop{\mkern0.5\thinmuskip\vbox{\hrule\hbox{\vrule\hskip#1\vrule height#1 width 0pt\vrule}\hrule}\mkern0.5\thinmuskip}}
\def\cP{{\Cal P}}
\def\cI{{\Cal I}}
\def\cB{{\Cal B}}
\def\cF{{\Cal F}}
\def\cR{{\Cal R}}
%
\centerline {\bf Konstruktion aufl\"osbarer Fast-Blockpl\"ane mit Hilfe eines Computers}
\smallskip
\centerline{Ute Vogel}
\abb
Im Jahre 1968 wurde im Bulletin de l'Association des Professeurs de 
Ma\-th\'e\-ma\-tiques Nr. 260, 1968, S. 32 das folgende Problem gestellt:
\aba
\roster
\item "" 24 Teilnehmer einer Tagung m\"ochten 8 Tage lang zusammen an
Tischen f\"ur je 4 Personen zu Mittag essen.
\aba
\item "" Kann man einen Sitzplan so aufstellen, da\ss\ jede Person mit jeder
anderen wenigstens einmal zusammen am Mittagstisch sitzt?
\endroster
\aba
Dieses Sitzplan-Problem f\"uhrt auf den Begriff des Fast-Blockplanes, einer Inzidenzstruktur,
die von G. Pickert und K. E. Wolff in den Arbeiten [Pic,70] bzw. [Wol,73]
definiert und untersucht worden ist.
\aba
Im folgenden wird eine Eigenschaft der Parallelismen von Fast-Blockpl\"anen
hergeleitet, die bei der Konstruktion aufl\"osbarer Fast-Blockpl\"ane mit Hilfe
eines Backtracking-Al\-go\-rith\-mus die Laufzeit erheblich herabsenkt.
\abc
Sei $\cI = (\cP,\cB, I)$ ein Inzidenzstruktur $(\cP \cap \cB = \emptyset)$.
Die betrachteten Inzidenzstrukturen $\cI$ seien stets endlich, d.h. es
gelte $v \leftrightharpoons  \vert \cP \vert \in \N$ und $b \leftrightharpoons  \vert \cB \vert \in \N$,
wobei $\N$ die Menge der positiven ganzen Zahlen bezeichnet.\hfill\break
F\"ur $P \subseteq \cP$ sei 
\aba
\itemitem { } $(P) \leftrightharpoons  \{ C \in \cB \mid \forall p  \in P : p  I C\}$
\aba
und $[P] \leftrightharpoons  \vert (P)\vert$ die {\it Verbindungszahl} von $P$. Analog sei f\"ur
$B \subseteq \cB$
\aba
\itemitem { } $(B) \leftrightharpoons  \{ p \in \cP \mid \forall C \in B : p  I C\}$
\aba
und $[B] \leftrightharpoons  \vert (B) \vert$ die {\it Schnittzahl} von $B$.
\aba
F\"ur die Menge $\{ p_1, .. ,p_n\} \subseteq \cP$ schreibt man statt 
$(\{ p_1, .. , p_n\} )$ auch einfach $(p_1, .. , p_n)$
und entsprechend f\"ur die Verbindungszahl $[p_1, .., p_n]$, analog
f\"ur $\{C_1, .., C_m\}\subseteq \cB$.
\abb
Sei $\cI = (\cP ,\cB ,I)$ eine Inzidenzstruktur. Ein {\it Parallelismus} von
$(\cP ,\cB ,I)$ ist eine \"Aqui\-va\-lenz\-re\-la\-tion $\parallel \subseteq \cB \times \cB$, 
die dem ,,Parallelenaxiom``
\aba
\itemitem { } $\forall p \in \cP\, \forall B \in \cB\, \exists_1  C \in \cB :\, p I C \wedge C \parallel B$
\aba
gen\"ugt. Die \"Aquivalenzklassen hei\ss en Parallelenscharen. Inzidenzstrukturen,
die einen Parallelismus besitzen, werden {\it aufl\"osbar} genannt.
\abb
Eine {\it taktische Konfiguration} ist eine Inzidenzstuktur $(\cP ,\cB ,I)$ f\"ur die
gilt:
\aba
\itemitem { } $\exists k, r \in \N\, \forall p \cP :\, [p]=r \wedge \forall B \in \cB : [B]=k.$
\aba
Im Falle $r=k$ nennt man die taktische Konfiguration {\it symmetrisch} (kurz: STK).

\medskip
Eine taktische Konfiguration $\cI = (\cP , \cB , I)$ hei\ss t 
{\it zerlegbar}, wenn eine \"Aqui\-va\-lenz\-re\-la\-tion  $\sim \subseteq \cP \times \cP$
existiert, die eine Zerlegung der Punktmenge in $m > 1$ Klassen von je
$n > 1$ Elementen derart induziert, da\ss\
\aba
\itemitem { } $\exists \lambda_1 , \lambda_2 \in \N_0\, \forall p, q \in \cP :
(\,p \sim q \wedge p \ne q \Rightarrow [p , q] = \lambda_1)$
\itemitem { } $\phantom{\exists \lambda_1 , \lambda_2 \in \N_0 \forall p , q \in \cP :}
~\wedge (\,\,p \not\sim q \phantom{\not\in qi i} \Rightarrow  [p , q] = \lambda_2)$
\aba
gilt.
\abb
Nach [Pic,70] und [Wol,73] wird eine taktische Konfiguration, die den Bedingungen
\aba
\item { } \phantom{und} ~~~(FB1)~~~ $\forall p,q \in \cP : [p,q] \ge 1$
\aba
\item { } und ~~~(FB2)~~~ $r \cdot (k-1) = v$
\aba
gen\"ugt, als {\it Fast-Blockplan} bezeichnet. F\"ur Fast-Blockpl\"ane gelten die
folgenden Parameterbedingungen (vgl. [Wol,73] 1.3):
\aba
\roster
\item  $\forall p \in \cP\, \exists_1 {\d \buildrel \sim \over p} \in \cP
\backslash \{ p\} :\, [p, {\d \buildrel \sim \over p}] = 2$,
\aba
\item $\forall p,{\d \buildrel \sim \over p}  , q \in \cP:
\,p \ne q \ne {\d \buildrel \sim \over p} \wedge [p, {\d \buildrel \sim \over p} ]
= 2 \Rightarrow [p,q] = 1$,
\aba
\item  $\forall B,C \in \cB :\, B \ne C \Rightarrow [B,C] \le 2$.
\endroster
\aba
(1) und (2) zufolge sind Fast-Blockpl\"ane mit $v>2$ zerlegbare taktische
Konfigurationen mit $\lambda_1 = 2,~\lambda_2 = 1,~m = {v \over 2}$ und
$n=2$. Da 
zwei Punkte eines Blockplanes stets dieselbe Verbindungszahl besitzen, stellen
Fast-Blockpl\"ane i.a. keine Blockpl\"ane dar.
\aba
Ist der Fast-Blockplan $(\cP , \cB , I)$ aufl\"osbar und bezeichnet $s$ die Anzahl
der Bl\"ocke einer Parallelenschar, so gilt offenbar $v = s \cdot k$.
\abb
Sei $\cF = (\cP , \cB , I)$ ein aufl\"osbarer Fast-Blockplan mit $v >2$. Dann
existieren mindestens zwei Parallelenscharen $S_1, S_2 \subseteq \cB$
derart, da\ss\ f\"ur je zwei Bl\"ocke $B,C$ dieser Parallelenscharen
$[B,C]\le 1$ gilt (vgl. [Vog,89] (2.19)).
\abb
F\"ur einen Fast-Blockplan $\cF = (\cP , \cB ,I)$, dessen Blockmenge $\cB$
zwei disjunkte Teilmengen $S_1 , S_2$ mit den Eigenschaften
\aba
\itemitem { } ${\d \bigcup_{B \in S_i}} (B) = \cP,~\vert S_i \vert = s$
f\"ur $i \in \{ 1,2\}$ und $\forall B_1 \in S_1, B_2 \in S_2 : [B_1, B_2] \le 1$
\aba
enth\"alt, wird die Inzidenzstruktur $(\cP , S_1 \cup S_2, I \vert_{\cP \times
S_1 \cup S_2})$ als {\bf Startkonfiguration} $\cI_{\cF}$ von $\cF$ bezeichnet.
\aba
Eine Startkonfiguration eines Fast-Blockplanes stellt eine taktische 
Konfiguration mit $r=2$ dar. Ist der Fast-Blockplan $\cF$ aufl\"osbar und gilt
$v>2$, so k\"onnen stets zwei Parallelscharen als $S_1$ und $S_2$
gew\"ahlt werden.
\abc
Der realisierte Algorithmus erweitert eine gegebene Startkonfiguration durch
sukzessive Konstruktion weiterer Parallelenscharen zu einem auf\-l\"os\-ba\-ren
Fast-Blockplan. Um zu den vorgegebenen Parametern alle auf\-l\"os\-ba\-ren 
Fast-Blockpl\"ane zu konstruieren, mu\ss\ das Verfahren auf alle m\"oglichen
Startkonfigurationen dieses Fast-Blockplanes angesetzt werden. Zur Bestimmung
der Startkonfigurationen betrachtet man symmetrische taktische Konfigurationen,
denn jede Startkonfiguration $\cI_{\cF} = (\cP , S_1 \cup S_2, I_{\cF} \vert_{S_1 \cup S_2})$
eines Fast-Blockplanes $\cF =(\cP , \cB , I_{\cF})$ definiert durch
$\cI \leftrightharpoons  (S_1, S_2, I)$ mit 
\aba
\itemitem { } $B_1 I B_2 \leftrightharpoons  (B_1) \cap (B_2) \ne \emptyset$
f\"ur $B_1 \in S_1$ und $B_1 \in S_2$
\aba
eine symmetrische taktische Konfiguration mit $v' = b' = \vert S_1 \vert$
und $r' = k' = k$.
\abb
Umgekehrt erh\"alt man aus jeder symmetrischen taktischen Konfiguration
$\cI = (\cP , \cB , I)$ mit den Parametern $\vert \cP \vert = s$
und $[p] = k$ f\"ur $p \in \cP$ durch
\aba
\itemitem { } $\cP' \leftrightharpoons  I,~ \cB' \leftrightharpoons \cP \cup \cB$ sowie $I' \leftrightharpoons  \{ (( x,y), z)
\vert x=z \vee y = z \} \subseteq \cP'\times \cB'$
\aba
eine aufl\"osbare taktische Konfiguration $(\cP', \cB',I')$ mit 
$v'= s \cdot k,~ k'=k,~ r'=2$ und den beiden Parallelenscharen
$S_1 \leftrightharpoons  \cP ,~ S_2 = \cB$.
\abb
Au\ss erdem liefert eine STK $\cI = (\cP , \cB , I)$ mittels $p I^c B \leftrightharpoons  \neg (p IB)$
wieder eine STK\hfill\break
$\cI_{c} = (\cP , \cB , I^c)$ mit den Parametern
$v_c = v$ und $k_c = v -k$.
\abb
{\bf Beispiel:} Transformation einer Startkonfiguration in die STK $\cI$ und
$\cI^c$

\vskip10pt
\centertexdraw{
\drawdim truecm \linewd.02
\move (0 -.3)
\clvec (.4 -.3)(.4 .3)(0 .3)
\move (-1 0)
\clvec (-1 1.333)(1 1.33333)(1 0)
\move (0 -2)
\clvec (-2.666 -2)(-2.666 2)(0 2)
\move (-3 0)
\clvec (-3 -4)(3 -4)(3 0)
\move (-3 0)
\lvec (-1 0)
\move (1 0)
\lvec (3 0)
\move (0 -3)
\lvec (0 -.3)
\move (0 .3)
\lvec (0 2)
\ringerl(0 -.3)
\ringerl(0 .3)
\ringerl(0 -2)
\ringerl(0 -3)
\ringerl(0 1)
\ringerl(0 2)
\ringerl(-1 0)
\ringerl(-2 0)
\ringerl(-3 0)
\ringerl(.3 0)
\ringerl(1 0)
\ringerl(3 0)
\olab(-2.7 0){A_4}
\ulab(-2.8 0){d_3}
\ulab(-1.8 0){d_2}
\ulab(-1 0){d_1}
\ulab(.5 0){b_1}
\ulab(1 0){b_2}
\ulab(3.2 0){b_3}
\olab(.2 .3){a_1}
\olab(.2 1){a_2}
\olab(.2 2){a_3}
\ulab(-.2 -.3){c_1}
\ulab(-.2 -2){c_2}
\ulab(-.2 -3){c_3}
\olab(.4 1.4){A_1}
\olab(2 0){A_2}
\olab(.2 -1.6){A_3}
\olab(-.2 -.25){B_1}
\olab(1 .6){B_2}
\olab(-1 -1.7){B_3}
\olab(2 -2){B_4}
\move(5 -.5)
\bsegment
\move(0 -2)
\clvec (2.666 -2)(2.666 2)(0 2)
\move(0 2)
\clvec (-1.3 .7)(.7 -1.3)(2 0)
\move(0 -2)
\clvec (-1.3 -.7)(.7 1.3)(2 0)
\move(0 -2)
\lvec(0 2)
\ringerl(0 -2)
\ringerl(0 2)
\ringerl(2 0)
\ringerl(0 0)
\olab(0 2){A_1}
\olab(2.4 -.2){A_2}
\ulab(0 -2){A_3}
\olab(-.4 -.2){A_4}
\olab(1.9 1){B_1}
\olab(-.7 1){B_2}
\olab(.3 -1.2){B_3}
\ulab(-.7 -1){B_4}
\esegment
\move(9 -.5)
\bsegment
\move(0 -2)
\lcir  r:.2
\move(0 0)
\lcir  r:.2
\move(0 2)
\lcir  r:.2
\move(2 0)
\lcir  r:.2
\ringerl(-.2 2)
\ringerl(-.2 0)
\ringerl(-.2 -2)
\ringerl(1.8 0)
\ulab(-.3 -2){A_3}
\ulab(-.3 0){A_4}
\ulab(-.3 2){A_1}
\ulab(1.7 0){A_2}
\olab(.3 -2){B_2}
\olab(.3 0){B_1}
\olab(.3 2){B_4}
\olab(2.3 0){B_3}
\esegment
}
\vskip10pt


{\eightpoint
\settabs\+S10a1ammmm1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1ia1mma1a1a1i&-ammmmjinaiiAlksimsjsuu&isisisisisis\cr
\+Startkonfiguration $\cI_{\cF} = (\cP_{\cF}, \cB_{\cF} , \in)$ & STK $\cI = (\cP , \cB , I)$& STK $\cI^c = (\cP_c , \cB_c ,I_c$)\cr
\+eines Fast-Blockplanes $\cF$                                  & $v=b=s=4$,                 & $v_c = b_c = 4$,\cr
\+mit $k_{\cF} = 3, r_{\cF}= 6$ und $s_{\cF}=4$.                & $k=r=k_{\cF}=3         $   & $k_c = r_c =1$,\cr
\aba
\+$\cP_{\cF}=\{ a_i,b_i,c_i,d_i \vert i \in \{1,2,3,4\}\}  $     & $\cP = S_1$                & $\cP_c=\cP$\cr
\+$S_1= \{\{ a_1,a_2,a_3\} ,\{ b_1,b_2,b_3\} ,\{ c_1,c_2,c_3\} ,\{d_1, d_2, d_3\}\}$ & $\cB = S_2$&$\cB_c=\cB$\cr
\+$~~~~=\{ A_1,A_2,A_3,A_4\}                     $                & $A_i IB_j \leftrightharpoons  (A_i)\cap (B_j)\ne\emptyset$ &$A_i I_c B_j \leftrightharpoons  \neg(A_i I B_j)$\cr 
\+$S_2=\{\{a_1,b_1,c_1\} ,\{ a_2,b_2,d_1\} \{ a_3,c_2,d_2\} ,\{ b_3,c_3,d_3\}\}$  &\cr
\+$~~~~=\{ B_1,B_2,B_3,B_4\}$\cr
\+$\cB_\cF = S_1 \cup S_2$. &\cr
}

\abb
Im folgenden werden taktische Konfigurationen $(\cP , \cB , I)$, in denen eine 
Punktmenge $\cP'\subset \cP$ existiert so, da\ss\ $(\cP' , \cB ' ,I`)$ mit
$\cB' \leftrightharpoons  {\d \bigcup_{p \in \cP'}}(p)$ sowie $I' \leftrightharpoons  I \vert_{\cP' \times \cB'}$
eine taktische Konfiguration darstellt, reduzibel genannt, anderenfalls irreduzibel.
\aba
Die in einer reduziblen taktischen Konfiguration enthaltenen irreduziblen
taktischen Konfigurationen nennt man Teilkonfigurationen.
\pagebreak

\noindent
{\bf Beispiel:}
\vskip10pt
\btexdraw
\drawdim truecm \linewd.02
\move(-.2 0)
\lvec(2.2 0)
\move(2.1 .13)
\lvec(.9 -1.43)
\move(1.1 -1.43)
\lvec(-.1 .13)
\ringerl(0 0)
\ringerl(2 0)
\ringerl(1 -1.3)
\move(0 -3)
\clvec(0 -2.5)(2 -2.5)(2 -3)
\move(0 -3)
\clvec(0 -3.5)(2 -3.5)(2 -3)
\move(0 -3)
\lvec(-.1 -3.3)
\move(2 -3)
\lvec(2.1 -3.3)
\move(0 -3)
\lvec(-.1 -2.7)
\move(2 -3)
\lvec(2.1 -2.7)
\ringerl(2 -3)
\ringerl(0 -3)
\olab(0 -2.9){1}
\olab(2 -2.9){2}
\ulab(1.3 -1.2){3}
\ulab(2 0){4}
\ulab(0 0){5}
\htext(2 -3){
\vbox{
\itemitem { } ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Die symmetrische taktische Konfiguration
\itemitem { } ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$\cI = (\{ 1,2,3,4,5\}$,
\itemitem { } ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$~~~~~~~\{ (\{ 1,2\} ,1),(\{ 1,2\} ,2),(\{ 3,4\} ,1),(\{ 3,5\} ,1),(\{ 4,5\} ,1\} )\},I)$
\itemitem { } ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~mit $p I(B,n) \leftrightharpoons  p \in B$
\itemitem { } ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ist reduzibel und zerf\"allt in die zwei Teilkonfigurationen
\itemitem { } ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~mit $\cP_1=\{ 1,2\}$ und $\cP_2= \{ 3,4,5\}$.
}}
\etexdraw

\abc
Kennt man die Anzahl $\zeta(v,k)$ der irreduziblen STK mit den Parametern $v$
und $k$, die nicht zueinander isomorph sind, so kann nach Satz 2.10 aus [Vog,89]
die Anzahl $\sigma (v,k)$ aller untereinander nichtisomorphen STK berechnet werden.
\abb
F\"ur $k=1$ ist lediglich die STK mit $v=b=1$ irreduzibel, und es gilt
$\zeta(v,1)=0$ f\"ur $v>1$, woraus man $\sigma(v,1)=1$ f\"ur $v \ge 1$, d.h. es existiert stets
-- bis auf Isomorphie -- nur eine STK mit $k=1$ und $v \ge 1$.
\aba
Im Fall $k=2$ ist jede irreduziblen STK mit $v \ge 2$ Punkten isomorph zu der STK
$\cR(v)= (\cP , \cB ,I)$ mit
\abb
\item { } $\cP \leftrightharpoons  \{ p_1, .., p_v \}$,
\item { } $\cB \leftrightharpoons  \{\{\{ p_i , p_{i+1}\} \vert i =1, ..,v-1\}\}\cup \{ \{ p_1 , p_v \} \}$
\item { } und $I \leftrightharpoons  \in$.

\centertexdraw{
\drawdim truecm \linewd.02
\lvec (1 -1.7)
\move (0 0)
\lvec (1 1.7)
\lvec (2.4 2.3)
\lvec (3.8 1.7)
\lvec (4.8 0)
\lvec (3.8 -1.7)
\lvec (2.4 -2.3)
\lpatt(0.1 0.1)\lvec (1 -1.7)
\ringerl (0 0)
\ringerl (1 1.7)
\ringerl (2.4 2.3)
\ringerl (3.8 1.7)
\ringerl (4.8 0)
\ringerl (3.8 -1.7)
\ringerl (2.4 -2.3)
\ringerl (1 -1.7)
\olab (-.5 -.3){v-1}
\olab (1 1.8){v}
\olab (2.4 2.4){1}
\olab (3.8 1.8){2}
\olab (4.8 0.1){3}
\olab (3.8 -1.6){4}
\olab (2.4 -2.2){5}
\olab (.4 -2){v-2}
\ulab (-2 -1){\cR(v)}
}
Insbesondere ist also $\zeta(v,2)=1$ f\"ur $v \ge 2$.
\aba

\smallskip
{\bf Beispiele:}

\smallskip
\item {{\bf 1)}} {\bf M\"ogliche Startkonfigurationen eines Fast-Blockplanes
$\cF$ mit $k=3$ und $r=6$}
\aba
\item { } $\cF$ besitzt (FB2) zufolge $v = 6 \cdot (3-1) = 12$ Punkte. Jede
Parallelenschar besteht daher aus $s = {v \over k} = 4$ Bl\"ocken.
\aba
\item { } Eine Startkonfiguration von $\cF$ definiert somit eine STK $\cI$ mit 4 Punkten
und $k=3$. Aus dieser gewinnt man wie oben angegeben die STK $\cI^c$ mit $v=4$
und $k=1$. Wegen $\sigma(v,1)=1$ f\"ur $v \ge 1$ ist $\cI^c$ eindeutige bestimmt, also auch die 
Startkonfiguration $\cI$. Diese Startkonfiguration kann durch Konstruktion weiterer Parallelenscharen nicht 
zu einem Fast-Blockplan erweitert werden. Somit kann 
kein aufl\"osbarer Fast-Blockplan mit $k=3$ und $r=4$ existieren.
\abb
\item {{\bf 2)}} {\bf Startkonfigurationen eines Fast-Blockplanes $\cF$ mit $k=4$ und $r=8$}
\aba
\item { } Ein Fast-Blockplan mit diesen Parametern beschreibt das eingangs erw\"ahnte Sitz\-plan-Pro\-blem.
Wegen $v=24$ besteht jede Parallelenschar aus $s=6$ Bl\"ocken. Aus einer Startkonfiguration
von $\cF$ erh\"alt man daher eine STK $\cI$ mit 6 Punkten und $k=4$. Der \"Ubergang
zur STK $\cI^c$ liefert die Parameter $v_c = 6$ und $k_c = 2$. Damit 
kann die Anzahl der nichtisomorphen dieser STK mit Hilfe von 
$\sigma (6,2)=4$ berechnet werden.

\vskip15pt
\centertexdraw{
\drawdim truecm \linewd.02
\clvec(0 .5)(2 .5)(2 0)
\move(0 0)
\clvec(0 -.5)(2 -.5)(2 0)
\ringerl(2 0)
\ringerl(0 0)
\olab(0 .1){5}
\olab(2 .1){6}
\move(0 1.5)
\bsegment
\clvec(0 .5)(2 .5)(2 0)
\move(0 0)
\clvec(0 -.5)(2 -.5)(2 0)
\ringerl(2 0)
\ringerl(0 0)
\olab(0 .1){3}
\olab(2 .1){4}
\esegment
\move (0 3)
\bsegment\clvec(0 .5)(2 .5)(2 0)
\move(0 0)
\clvec(0 -.5)(2 -.5)(2 0)
\ringerl(2 0)
\ringerl(0 0)
\olab(0 .1){1}
\olab(2 .1){2}
\esegment
\htext(.8 4){$\cI_1^c$}
%
\move(3.5 0)
\bsegment
\clvec(0 .5)(2 .5)(2 0)
\move(0 0)
\clvec(0 -.5)(2 -.5)(2 0)
\ringerl(2 0)
\ringerl(0 0)
\olab(0 .1){5}
\olab(2 .1){6}
\move(1 1)
\lvec(0 2)
\lvec(1 3)
\lvec(2 2)
\lvec(1 1)
\ringerl(1 1)
\ringerl(1 3)
\ringerl(2 2)
\ringerl(0 2)
\olab(-.3 1.8){1}
\olab(1.2 3){2}
\olab(2.2 1.8){3}
\olab(1.2 .8){4}
\htext(.8 4){$\cI_2^c$}
\esegment
\move(7 0)
\bsegment
\move(0 1.4)
\lvec(2 1.4)
\lvec(1 0)
\lvec(0 1.4)
\move(0 2)
\lvec(2 2)
\lvec(1 3.4)
\lvec(0 2)
\ringerl(2 1.4)
\ringerl(1 0)
\ringerl(0 1.4)
\ringerl(2 2)
\ringerl(1 3.4)
\ringerl(0 2)
\olab(2 1.4){4}
\olab(1 0){5}
\olab(0 1.4){6}
\olab(2 2){3}
\olab(1 3.4){2}
\olab(0 2){1}
\htext(.8 4){$\cI_3^c$}
\esegment
\move(10.5 0)
\bsegment
\move(1.7 0)
\lvec(0 1)
\lvec(0 3)
\lvec(1.7 4)
\lvec(3.4 3)
\lvec(3.4 1)
\lvec(1.7 0)
\ringerl(0 1)
\ringerl(0 3)
\ringerl(1.7 4)
\ringerl(3.4 3)
\ringerl(3.4 1)
\ringerl(1.7 0)
\olab(-.2 1){5}
\olab(0 3){6}
\olab(1.7 4){1}
\olab(3.4 3){2}
\olab(3.6 1){3}
\olab(1.7 0){4}
\htext(.8 4){$\cI_4^c$}
\esegment
}
\vskip15pt
\item { } Somit existieren f\"ur den Fast-Blockplan $\cF$ lediglich vier Startkonfigurationen.
Ob eine dieser Startkonfigurationen zum Fast-Blockplan $\cF$ erweitert werden
kann, konnte aufgrund der hohen Zeitbedarfs des verwendeten Backtracking-Algorithmus
noch nicht festgestellt werden.

\vskip1cm
\noindent

\Refs\nofrills{Literatur:}
\widestnumber\key{Wol,73}
\ref\key Pic,70\by G. Pickert\paper 
Remarques ur une classe de structures g\'eometriques 
finies\paperinfo S\'eminaire d'algebre non commutative, 
Conf\'erence n$^{\text{o}}$ 14 du 3 mars 1970\endref

\ref\key Wol,73\by K. E. Wolff\paper Fast Blockpl\"ane\jour
Mitt\. math\. Sem\. Giessen \vol 102\yr 1973\endref

\ref\key Vog,89\by U. Vogel\book Algorithmen zur Konstruktion aufl\"osbarer
Fast-Blockpl\"ane mit Hilfe eines Computers\publ
Diplomarbeit, TU Clausthal\yr 1989\endref

\endRefs

\vfill\end
