MULTIPLICATION DES MATRICES ET VECTEURS DE WITT.

Henri GAUDIER (*) (**)

Dans la théorie classique des invariants, on considère k un corps algébriquement clos de caractéristique 0, et GL_{n,k} le groupe des matrices inversibles n × n sur k. On s’intéresse aux représentations linéaires de GL_{n,k}, c’est à dire aux actions:

GL_{n,k} × V ⟶ V,

où V est un espace vectoriel sur k, ou bien aux homomorphismes de groupes:

ρ : GL_{n,k} ⟶ GL(V) = GL_{m,k},

qui sont rationnels, et même polynômiaux, c’est à dire que pour tout i′, j′, ρ((x_{i,j}))_{i′,j′} ∈ k[x_{i,j}]. Le morphisme ρ se prolonge alors en un homomorphisme multiplicatif:

ρ : M_{n,k} ⟶ M_{m,k},

qui est lui aussi polynômial.

Le but de ce travail est de construire un anneau, noté LM_{n,k}, tel que tout morphisme ρ ayant les propriétés précédentes ait une décomposition:

M_{n,k} → LM_{n,k} → M_{m,k},

où la première flèche est un homomorphisme multiplicatif fixé, et la seconde est un homomorphisme d’anneaux déterminé de façon unique par ρ. La donnée d’une représentation polynômiale de M_{n,k} sera donc équivalente à celle d’un module sur l’anneau LM_{n,k}. On peut donc, de ce point de vue considérer LM_{n,k} comme l’algèbre du monoïde M_{n,k} (cf [G1]).

Dans le paragraphe 1, on traitera le cas de la caractéristique 0, dans le paragraphe suivant, on s’intéressera à la caractéristique p, et au cas sans caractéristique, en prenant pour V non plus seulement un espace vectoriel, mais plus généralement un module sur l’anneau des vecteurs de Witt.

(*) Département de Mathématiques, Université de Valenciennes, le Mont Houy, F-59313 VALENCIENNES Cedex 9.

(**) Pour ce travail, l’auteur a bénéficié du soutien matériel du P.R.C. Mathématiques-Informatique du C.N.R.S et de l’IRMA de Strasbourg.

1. Le cas de la caractéristique nulle.

Soit I = M_{n}(N) = {(a_{i,j})_{i,j∈[n]}, a_{i,j} ∈ N} on considère alors le kespace vectoriel LM_{n,k} = k^{I}. Si l’on note (e_{a})_{a∈I} sa base (topologique) canonique, on écrira ses éléments sous la forme ∑_{a∈I} x_{a} e_{a}. Considérons alors le morphisme:

i : M_{n,k} →LM_{n,k}
(x_{i,j}) ↦ ∑_{a∈I}(∏_{i,j} x_{i,j}^{a_{i,j}})e_{a} = ∑_{a∈I} x^{a}e_{a}.  (1.1)

La proposition suivante est alors immédiate: Proposition 1 : Tout morphisme polynômial, ρ de M_{n,k} dans M_{m,k}, se factorise de façon unique par une application k-linéaire ρ′ : LM_{n,k} → M_{m,k}.

On peut alors énoncer le résultat principal de ce paragraphe: Théorème 1 : Il existe sur LM_{n,k} une unique multiplication telle que:

a) LM_{n,k} est une k-algèbre,

b) i(x.y) = i(x).i(y),

c) pour tout homomorphisme multiplicatif ρ, l’application ρ′, de la proposition précédente est un homomorphisme d’algèbres.

Cette multiplication est donnée par les formules suivantes:

x e_{a}.y e_{b} = ∑_{c∈I} n_{a,b,c}xy e_{c},  (1.2)

avec

n_{a,b,c} = ∑_{ν} ∏_{i,j∈[n]}((ν_{i,j,1}, …, ν_{i,j,n})),  (1.3)

où la somme est étendue aux

ν = (ν_{i,j,k})_{i,j,k∈[n]}, ν_{i,j,k} ∈ N, (1.4)

tels que:

∑_{j} ν_{i,j,k} =a_{i,k},  (1.5)
∑_{i} ν_{i,j,k} =b_{k,j},  (1.6)
∑_{k} ν_{i,j,k} =c_{i,j}.  (1.7)

On a noté ((t_{1}, …, t_{n})) le coefficient multinômial \binom{t_{1}+···+t_{n}}{t_{1},...,t_{n}}.

Les conditions (1.5) à (1.7) peuvent se représenter de la façon suivante: si l’on représente (ν_{i,j,k}) comme un tableau tridimensionnel d’entiers (fig 1), la condition (1.5) dit que si l’on projette le tableau ν sur le plan de coordonnées i, k en additionnant les coefficients de ν qui ont même projection, on obtient la matrice a; la condition (1.6) dit que la projection sur le plan j, k donne la transposée de b, et par (1.7), c est obtenu par projection sur le plan i, j.

Figure 1

Exemple. — Calculons le produit

e_{(\begin{matrix}0 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix})}.e_{(\begin{matrix}2 & 0 \\ 2 & 2 \end{matrix})}.

On vérifie que les seuls ν possibles sont les suivants:

\begin{aligned}& 0 & & & 1 \\ 2 & & & 1 \\ & | \\ & 0 & − & & 0 \\ 2 & & & 0 \end{aligned}  et  \begin{aligned}& 1 & & & 0 \\ 1 & & & 2 \\ & | \\ & 0 & − & & 0 \\ 2 & & & 0 \end{aligned}

D’où l’on obtient:

e_{(\begin{matrix}0 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix})}.e_{(\begin{matrix}2 & 0 \\ 2 & 2 \end{matrix})} = 6 e_{(\begin{matrix}0 & 1 \\ 4 & 1 \end{matrix})} + 3 e_{(\begin{matrix}1 & 0 \\ 3 & 2 \end{matrix})}.

Remarques. — Il est facile de voir que beaucoup de coefficients n_{a,b,c} sont nuls: pour avoir un coefficient non nul on doit évidemment avoir:

∑_{i,k} a_{i,k} = ∑_{k,j} b_{k,j} = ∑_{i,j} c_{i,j}.

Plus précisément on doit même avoir:

∑_{i} a_{i,k} = ∑_{j} b_{k,j}  pour tout k,
∑_{k} a_{i,k} = ∑_{j} c_{i,j}  pour tout i,
∑_{k} b_{k,j} = ∑_{i} c_{i,j}  pour tout j.

Rappelons d’autre part que la théorie classique des invariants dit que toute représentation linéaire de GL_{n,k} est semi-simple, il en résulte que l’anneau LM_{n,k} se décompose en un produit d’anneaux isomorphes à des anneaux de matrices. La remarque ci-dessus permet de commencer cette décomposition.

Remarquons enfin que l’élément unité de l’anneau LM_{n,k} est:

i ( \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & … & 0 & 1 \end{matrix} ) = ∑_{d} e_{d},

où la somme est étendue à toute les matrices diagonales d.

2. Le cas de la caractéristique p, et le cas sans caractéristique.

Commençons par nous placer en caractéristique p. Le corps k, est supposé algébriquement clos ou parfait de caractéristique p, et au lieu de regarder les représentations de GL_{n,k} dans un espace vectoriel sur k, nous allons généraliser en regardant les représentations de GL_{n,k} dans un module sur un anneau ”algébrique” sur k. On démontre [G1] que sous certaines hypothèses peu restrictives, cela revient à regarder les représentations polynômiales de GL_{n,k} dans un module sur l’anneau des p-vecteurs de Witt. Comme dans le cas de la caractéristique 0, on doit alors construire une W -algèbre W M_{n} et un morphisme multiplicatif i : M_{n,k} → W M_{n}, tel que tout morphisme multiplicatif ρ : M_{n,k} → A où A est une W -algèbre, admette une décomposition unique ρ = ρ′.i, où ρ′ : W M_{n} → A est un homomorphisme de W -algèbres.

Pour éviter des redites et parce que les constructions en caractéristique p, et sans caractéristique sont très semblables, nous allons tout de suite nous placer dans ce dernier cas et construire l’algèbre WM_{n} sur l’anneau W des vecteurs de Witt au dessus de l’anneau des entiers.

L’anneau des vecteurs de Witt. — Donnons tout d’abord une présentation très succinte des vecteurs de Witt. Pour une description plus précise, le lecteur pourra se reporter à [G2] ou à [DS].

Si R est un anneau commutatif avec unité, l’anneau W est défini par:

W(R) = R^{N} = {(a_{1}, …, a_{n}, …) a_{n} ∈ R}.

L’addition et la multiplication dans W(R) sont telles que pour tout entier n, le morphisme

\begin{matrix}w_{n} : W(R) & → R \\ (a_{1}, …, a_{n}, …) & ↦ ∑_{d|n} d a_{d}^{n/d}, \end{matrix}

est un homomorphisme d’anneaux. On démontre que les composantes de la somme et du produit de deux vecteurs de Witt s’expriment comme des polynômes à coefficients entiers en les composantes de ces deux vecteurs.

Si a ∈ R, on pose τ(a) = (a, 0, 0, …) ∈ W(R).On a alors:

τ(a).(a_{1}, …, a_{n}, …) = (aa_{1}, a^{2}a_{2}, …, a^{n}a_{n}, …).

On note V_{m} l’homomorphisme de groupe W → W tel que:

V_{m}(a_{1}, …, a_{n}, …) = (\underbrace{0, …, 0}_{n−1 fois}, a_{1}, \underbrace{0, …, 0}_{n−1 fois}, a_{2}, 0 …).

On note F_{m} l’unique homomorphisme d’anneaux W → W tel que F_{m}(τ(a)) = τ(a^{m}).

Enfin si i_{1}, …, i_{n} ∈ Q_{≥} i.e. i_{k} ≥ 0, on note ^{∗}((i_{1}, …, i_{n})) le vecteur de Witt tel que:

w_{m}(^{∗}((i_{1}, …, i_{n}))) = ((mi_{1}, …, mi_{n})) si mi_{1}, …, mi_{n} ∈ N,
= 0  sinon.

On montre alors [G2] que si i_{1} + ⋯ + i_{n} ∈ N, si l |(i_{1} + ⋯ + i_{n}) et pgcd(l, i_{1}, …, i_{n}) = 1, alors ^{∗}((i_{1}, …, i_{n}))/l ∈ W(Z).

Si p est un nombre premier, l’anneau des p-vecteurs de Witt est l’anneau quotient de W défini par la projection :

\begin{matrix}π : W & → W \\ (a_{1}, …, a_{n}, …) & ↦ (a_{1}, a_{p}, …, a_{p^{n}}, …). \end{matrix}

On notera V et F les images par π des homomorphismes V_{p} et F_{p} de W, et par ^{p}((i_{1}, …, i_{n})) celle de ^{∗}((i_{1}, …, i_{n})).

Construction de WM_{n}. — Soit J = M_{n}(Q_{≥}), si a = (a_{i,j}) ∈ J, on pose d(a) = ppcm(dénominateur a_{i,j}). On considère alors le W-module:

\overline{WM}_{n} = W^{J} = \{∑_{a∈J} x_{a}\overline{e}_{a}\},

que l’on munit de la multiplication:

x \overline{e}_{a}.y \overline{e}_{b} = ∑_{c∈J} n_{a,b,c}xy \overline{e}_{c},  (2.1)

avec

n_{a,b,c} = ∑_{ν} ∏_{i,j∈[n]}^{∗}((ν_{i,j,1}, …, ν_{i,j,n})),  (2.2)

où la somme est étendue aux

ν = (ν_{i,j,k})_{i,j,k∈[n]},  ν_{i,j,k} ∈ Q_{≥},  (2.3)

vérifiant les relations (1.5) à (1.7).

Proposition 2 : \overline{WM}_{n} est une algèbre associative sans élément unité, et

ε = ∑_{a diagonale}^{∗}((0, 1/d(a)))\overline{e}_{a}

est un idempotent central.

Considérons maintenant WM_{n} une autre copie de W^{J} de base (e_{a})_{a∈J}, et le morphisme:

\begin{matrix}φ : WM_{n} & → \overline{WM}_{n} \\ w e_{a} & ↦ \frac{1}{d(a)}V_{d(a)}(w) \overline{e}_{a}. \end{matrix}

Théorème 2 : 1) L’homomorphisme φ est injectif et a pour image ε\overline{WM}_{n}, il donne donc à WM_{n} une structure de W-algèbre avec unité.

2) Le morphisme :

\begin{matrix}j : M_{n} & → WM_{n} \\ (x_{i,j}) & ↦ ∑_{a∈J} τ(x^{d(a)a})e_{a}, \end{matrix}

est compatible avec la multiplication.

Remarques. — 1) Dans l’algèbre \overline{WM}_{n}, la multiplication est définie par des polynômes à coefficients dans Q, donc \overline{WM}_{n}(R) n’a de sens que si R est une Q-algèbre. Par contre dans WM_{n} la multiplication est définie par des polynômes à coefficients entiers et WM_{n} a donc un sens pour tout anneau R. On peut d’ailleurs donner la formule de la multiplication:

xe_{a}.ye_{b} = ∑_{c} ∑_{ν}

V_{d(ν)/d(c)}[\frac{d(c)}{d(ν)} ∏_{i,j}^{∗}((d(ν)ν_{i,j,1}, …, d(ν)ν_{i,j,n}))F_{d(ν)/d(a)}(x) F_{d(ν)/d(b)}(y)]e_{c}.

2) Le morphisme multiplicatif φ.j : M_{n} → \overline{WM}_{n} est donné par:

φ.j(x) = ∑_{a}^{∗}((0, 1/d(a)))τ(x^{a})\overline{e}_{a}.

Il est clair alors que tout WM_{n}-module donne par l’intermédiaire du morphisme j une représentation polynômiale à coefficients entiers de M_{n} dans un W-module. Je ne sais pas encore si l’on obtient ainsi toutes les représentations.

Exemple. — Calculons le produit

\overline{e}_{(\begin{matrix}0 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix})}.\overline{e}_{(\begin{matrix}2 & 0 \\ 2 & 2 \end{matrix})}.

On obtiendra cette fois ci une infinité de tableaux ν qui seront de la forme:

\begin{aligned}& α & & & 1 − α \\ 2 − α & & & 1 + α \\ & | \\ & 0 & − & − − & − 0 \\ 2 & & & 0 \end{aligned} .

Ce qui donne:

\overline{e}_{(\begin{matrix}0 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix})}.\overline{e}_{(\begin{matrix}2 & 0 \\ 2 & 2 \end{matrix})} = ∑_{α∈[0,1]}^{∗}((2, 2 − α)) \overline{e}_{(\begin{matrix}α & 1−α \\ 4−α & 1+α \end{matrix})} ,

= ^{∗}((2, 2)) \overline{e}_{(\begin{matrix}0 & 1 \\ 4 & 1 \end{matrix})} +^{∗}((2, 1)) \overline{e}_{(\begin{matrix}1 & 0 \\ 3 & 2 \end{matrix})} +^{∗}((2, 3/2))\overline{e}_{(\begin{matrix}1/2 & 1/2 \\ 7/2 & 3/2 \end{matrix})}

+^{∗}((2, 5/3))\overline{e}_{(\begin{matrix}1/3 & 2/3 \\ 11/3 & 4/3 \end{matrix})} +^{∗}((2, 4/3))\overline{e}_{(\begin{matrix}2/3 & 1/3 \\ 10/3 & 5/3 \end{matrix})} + ⋯

Dans l’algèbre WM_{n} on a:

x e_{(\begin{matrix}0 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix})}.y e_{(\begin{matrix}2 & 0 \\ 2 & 2 \end{matrix})} = ∑_{α∈[0,1]}^{∗}((d(α)2, d(α)(2 − α))) F_{d(α)}(xy) e_{(\begin{matrix}α & 1−α \\ 4−α & 1+α \end{matrix})} ,

= ^{∗}((2, 2)) xy e_{(\begin{matrix}0 & 1 \\ 4 & 1 \end{matrix})} +^{∗}((2, 1)) xy e_{(\begin{matrix}1 & 0 \\ 3 & 2 \end{matrix})}

+^{∗}((4, 3)) F_{2}(xy) e_{(\begin{matrix}1/2 & 1/2 \\ 7/2 & 3/2 \end{matrix})} +^{∗}((6, 5)) F_{3}(xy) e_{(\begin{matrix}1/3 & 2/3 \\ 11/3 & 4/3 \end{matrix})}

+^{∗}((6, 4)) F_{3}(xy) e_{(\begin{matrix}2/3 & 1/3 \\ 10/3 & 5/3 \end{matrix})} + ⋯

Le cas de la caractéristique p. — On construit des anneaux \overline{W M}_{n}, W M_{n} et le morphisme j_{p} de la même façon que \overline{WM}_{n}, WM_{n} et j en remplaçant simplement Q_{≥} par N[p^{−1}], les coefficients ^{∗}((…)) sont alors remplacés par leurs projections ^{p}((…)). On obtient alors:

Théorème 3 : La multiplication dans W M_{n} est à coefficients dans F_{p}, et il y a équivalence entre les représentations W -linéaires de M_{n} et les modules sur la W -algèbre W M_{n}, l’équivalence se faisant à l’aide du morphisme j_{p}.

Références:

[DS] A.W.M. DRESS, Ch. SIEBENEICHER. — The Burnside ring of profinite groups and the Witt vector construction. Advances in Math., 70, (1988), 87-132.

[G1] H. GAUDIER. — Groupes libres et algèbres de groupes en Géométrie algébrique. Manuscr. Math., 25, (1978), 79-96.

[G2] H. GAUDIER. — Relèvement des coefficients binômiaux dans les vecteurs de Witt. Séminaire Lotharingien de Combinatoire 18^{e} session. Publ. Math. IRMA Strasbourg n^{o} 358/S18, (1988), 93-108.