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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%LaTeX counters, dimensions, variables for lines%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newif\if@negarg

\def\@whilenoop#1{}
\def\@whiledim#1\do #2{\ifdim #1\relax#2\@iwhiledim{#1\relax#2}\fi}
\def\@iwhiledim#1{\ifdim #1\let\@nextwhile=\@iwhiledim
        \else\let\@nextwhile=\@whilenoop\fi\@nextwhile{#1}}

\def\@whileswnoop#1\fi{}
\def\@whilesw#1\fi#2{#1#2\@iwhilesw{#1#2}\fi\fi}
\def\@iwhilesw#1\fi{#1\let\@nextwhile=\@iwhilesw
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\def\thinlines{\let\@linefnt\tenln \let\@circlefnt\tencirc
  \@wholewidth\fontdimen8\tenln \@halfwidth .5\@wholewidth}
\def\thicklines{\let\@linefnt\tenlnw \let\@circlefnt\tencircw
  \@wholewidth\fontdimen8\tenlnw \@halfwidth .5\@wholewidth}
\thinlines
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%LaTeX line macros%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\Line(#1,#2)#3{\@xarg #1\relax \@yarg #2\relax
\@linelen=#3\Einheit
\ifnum\@xarg =0 \@vline
  \else \ifnum\@yarg =0 \@hline \else \@sline\fi
\fi}

\def\@sline{\ifnum\@xarg< 0 \@negargtrue \@xarg -\@xarg \@yyarg -\@yarg
  \else \@negargfalse \@yyarg \@yarg \fi
\ifnum \@yyarg >0 \@tempcnta\@yyarg \else \@tempcnta -\@yyarg \fi
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\ifnum\@xarg>6 \@badlinearg\@xarg 1 \fi
\setbox\@linechar\hbox{\@linefnt\@getlinechar(\@xarg,\@yyarg)}%
\ifnum \@yarg >0 \let\@upordown\raise \@clnht\z@
   \else\let\@upordown\lower \@clnht \ht\@linechar\fi
\@clnwd=\wd\@linechar
\if@negarg \hskip -\wd\@linechar \def\@tempa{\hskip -2\wd\@linechar}\else
     \let\@tempa\relax \fi
\@whiledim \@clnwd <\@linelen \do
  {\@upordown\@clnht\copy\@linechar
   \@tempa
   \advance\@clnht \ht\@linechar
   \advance\@clnwd \wd\@linechar}%
\advance\@clnht -\ht\@linechar
\advance\@clnwd -\wd\@linechar
\@tempdima\@linelen\advance\@tempdima -\@clnwd
\@tempdimb\@tempdima\advance\@tempdimb -\wd\@linechar
\if@negarg \hskip -\@tempdimb \else \hskip \@tempdimb \fi
\multiply\@tempdima \@m
\@tempcnta \@tempdima \@tempdima \wd\@linechar \divide\@tempcnta \@tempdima
\@tempdima \ht\@linechar \multiply\@tempdima \@tempcnta
\divide\@tempdima \@m
\advance\@clnht \@tempdima
\ifdim \@linelen <\wd\@linechar
   \hskip \wd\@linechar
  \else\@upordown\@clnht\copy\@linechar\fi}

\def\@hline{\ifnum \@xarg <0 \hskip -\@linelen \fi
\vrule height\Pfadd@cke width \@linelen depth\Pfadd@cke
\ifnum \@xarg <0 \hskip -\@linelen \fi}

\def\@getlinechar(#1,#2){\@tempcnta#1\relax\multiply\@tempcnta 8
\advance\@tempcnta -9 \ifnum #2>0 \advance\@tempcnta #2\relax\else
\advance\@tempcnta -#2\relax\advance\@tempcnta 64 \fi
\char\@tempcnta}

\def\Vektor(#1,#2)#3(#4,#5){\unskip\leavevmode
  \xcoord#4\relax \ycoord#5\relax
      \raise\ycoord \Einheit\hbox to0pt{\hskip\xcoord \Einheit
         \Vector@(#1,#2){#3}\hss}}

\def\Vector(#1,#2)#3{\@xarg #1\relax \@yarg #2\relax
\@tempcnta \ifnum\@xarg<0 -\@xarg\else\@xarg\fi
\ifnum\@tempcnta<5\relax
\@linelen=#3\Einheit
\ifnum\@xarg =0 \@vvector
  \else \ifnum\@yarg =0 \@hvector \else \@svector\fi
\fi
\else\@badlinearg\fi}

\def\@hvector{\@hline\hbox to 0pt{\@linefnt
\ifnum \@xarg <0 \@getlarrow(1,0)\hss\else
    \hss\@getrarrow(1,0)\fi}}

\def\@vvector{\ifnum \@yarg <0 \@downvector \else \@upvector \fi}

\def\@svector{\@sline
\@tempcnta\@yarg \ifnum\@tempcnta <0 \@tempcnta=-\@tempcnta\fi
\ifnum\@tempcnta <5
  \hskip -\wd\@linechar
  \@upordown\@clnht \hbox{\@linefnt  \if@negarg
  \@getlarrow(\@xarg,\@yyarg) \else \@getrarrow(\@xarg,\@yyarg) \fi}%
\else\@badlinearg\fi}

\def\@upline{\hbox to \z@{\hskip -.5\Pfadd@cke \vrule width \Pfadd@cke
   height \@linelen depth \z@\hss}}

\def\@downline{\hbox to \z@{\hskip -.5\Pfadd@cke \vrule width \Pfadd@cke
   height \z@ depth \@linelen \hss}}

\def\@upvector{\@upline\setbox\@tempboxa\hbox{\@linefnt\char'66}\raise
     \@linelen \hbox to\z@{\lower \ht\@tempboxa\box\@tempboxa\hss}}

\def\@downvector{\@downline\lower \@linelen
      \hbox to \z@{\@linefnt\char'77\hss}}

\def\@getlarrow(#1,#2){\ifnum #2 =\z@ \@tempcnta='33\else
\@tempcnta=#1\relax\multiply\@tempcnta \sixt@@n \advance\@tempcnta
-9 \@tempcntb=#2\relax\multiply\@tempcntb \tw@
\ifnum \@tempcntb >0 \advance\@tempcnta \@tempcntb\relax
\else\advance\@tempcnta -\@tempcntb\advance\@tempcnta 64
\fi\fi\char\@tempcnta}

\def\@getrarrow(#1,#2){\@tempcntb=#2\relax
\ifnum\@tempcntb < 0 \@tempcntb=-\@tempcntb\relax\fi
\ifcase \@tempcntb\relax \@tempcnta='55 \or
\ifnum #1<3 \@tempcnta=#1\relax\multiply\@tempcnta
24 \advance\@tempcnta -6 \else \ifnum #1=3 \@tempcnta=49
\else\@tempcnta=58 \fi\fi\or
\ifnum #1<3 \@tempcnta=#1\relax\multiply\@tempcnta
24 \advance\@tempcnta -3 \else \@tempcnta=51\fi\or
\@tempcnta=#1\relax\multiply\@tempcnta
\sixt@@n \advance\@tempcnta -\tw@ \else
\@tempcnta=#1\relax\multiply\@tempcnta
\sixt@@n \advance\@tempcnta 7 \fi\ifnum #2<0 \advance\@tempcnta 64 \fi
\char\@tempcnta}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\catcode`\@=13

\def\Z{{\Bbb Z}}
\def\A{{\Bbb A}}
\def\si{\sigma}
\def\ph{\varphi}
\def\ze{\zeta}
\def\Ga{\Gamma}


\head \bf{ AR\^ETES ET TABLEAUX}\endhead
\vskip0,5cm
\centerline{\smc\ par\footnote"  "{Respectivement
support\'es par~:}}
\vskip1cm
\centerline{\smc Alain LASCOUX\footnote{le C.N.R.S., le Programme de
Recherches (coordonn\'ees) en Informatique, le Programme d'\'echanges
europ\'een PROCOPE;} et Marcel-Paul
SCH\"UTZENBERGER\footnote{lui-m\^eme.}}

\vskip1,5cm

\def\rightheadtext{AR\^ETES ET TABLEAUX} 
\def\leftheadtext{A. LASCOUX ET M.-P. SCH\"UTZENBERGER}

\vskip 0,1cm
\noindent
Que sont les tableaux~: 
\vskip.5cm

 $^*$ des {\it idempotents} dans l'alg\`ebre du groupe sym\'etrique,
\graveaccent a la suite de Young\,? \cite{Young} 

 $^*$ des {\it bases} dans la repr\'esentation irr\'eductible, dite
semi-normale de Young, et la repr\'esentation orthogonale,
toujours de Young, du groupe sym\'etrique \cite{Rutherford}\,?

 $^*$ des {\it polyn\^omes} (produits de Vandermonde
$\prod(x_i-x_j)$), bases des modules de Specht \cite{Specht},
\cite{Garnir}\,?

 $^*$ plus g\'en\'eralement, des {\it mineurs} d'une matrice
quelconque (au lieu de la matrice de Vandermonde des puissances d'un
ensemble de variables)\,? Dans ce cas, on pr\'ef\graveaccent ere les
{\it paires de tableaux} \cite{Turnbull}, \cite{Rota}.

 $^*$ des {\it invariants} susceptibles de {\it redressement
(straightening)}, ou bien encore des \'el\'ements de {\it
l'alg\`ebre lettre/place (letter/place algebra)} \cite{Doubilet-Rota-Stein}\,?

 $^*$ g\'eom\'etriquement, des {\it coordonn\'ees de Pl\"ucker}
pour la Grassmannienne ou la vari\'et\'e de drapeaux \cite{Hodge et
Pedoe}\,?

 $^*$ des {\it
bases-de-sections-de-fibr\'es-inversibles-au-dessus-des-sous-vari\'et\'
es-de-Schubert-de-la-vari\'et\'e-de-drapeaux} (i.e\. des {\it
postulations}) \cite{Hodge}, \cite{Lakshmibai-Musili-Seshadri}\,?

 $^*$ des {\it composantes irr\'eductibles} de la vari\'et\'e
des drapeaux fix\'es par un unipotent \cite{Steinberg}
\cite{Spaltenstein}\,?

 $^*$ des {\it coefficients de d\'ecomposition} de repr\'esentations
du groupe lin\'eaire \cite{Littlewood-Richardson}\,?

 $^*$ des {\it mon\^omes} dans le d\'eveloppement d'une
fonction de Schur \cite{Littlewood}\,?

 $^*$ des {\it poids} dans la formule des caract\graveaccent eres de
\cite{Demazure}\,?

 $^*$ des chemins de {\it branchement} des repr\'esentations
des groupes sym\'etriques \cite{Young} ou lin\'eaires/unitaires
\cite{Gelfand-Cetlin}\,? Dans ce dernier cas, ils se transforment en
pyramides pointant vers le bas et portent le nom de {\it
Gelfand-Cetlin Patterns}.

 $^*$ des {\it partitions planes} \cite{MacMahon}
\cite{Gordon} \cite{Hillman-Grassl}\,?

 $^*$ des objets d\'ecrivant les {\it sous-suites monotones}
d'une suite d'entiers \cite{Schensted}, \cite{Greene}\,?

 $^*$ des {\it cha\^\i nes} dans le treillis des partitions
\cite{Kreweras}\,?

 $^*$ des ensembles de {\it chemins non coupants dans $\Z \times
\Z$} \cite{Gessel-Viennot}\,?

 $^*$ des {\it mots} \cite{Barthes} donnant naissance au
mono\"\i de plaxique \cite{Lascoux et Sch\"utzenberger}\,?

 $^*$ des {\it cellules gauches} \cite{Kazhdan-Lusztig}\,?

 $^*$ des {\it d\'ecompositions r\'eduites} des \'el\'ements du
groupe sym\'etrique~: mono\"\i de nilplaxique \cite{Lascoux et
Sch\"utzenberger}, balanced tableaux \cite{Edelman et\linebreak 
Greene}\,?\,?\,?

\vskip1cm



Ne serait ce donc que par le nombre de leurs avatars (et
encore avons nous totalement ignor\'e les travaux de l'ecole
californienne de combinatoire), les tableaux m\'eriteraient une
place exceptionelle dans la mythologie math\'e\-ma\-tique. \newline

Nous inspirant  d'Ehresmann qui avait d\'efini \graveaccent a  l'aide
de tableaux l'ordre que l'on appelle soit {\it fort\/} ({\it strong}), soit
{\it de
Bruhat\/} ({\it Bruhat's}) sur le groupe sym\'etrique, nous entendons mettre
en avant une autre de leurs vertus, celle de fournir une {\it
structure d'ordre Eul\'erienne} sur les permutations.
\vskip12pt 
Tout d'abord, les tableaux sont des produits de {\it colonnes}~:  

Soit $\Bbb A=\{a_1<a_2<\cdots \}$ un alphabet, $\Z\langle \Bbb
A\rangle$ son {\it alg\`ebre
libre}. Un mot $v=x_1 \dots x_r$ est une {\it colonnes de degr\'e}
$r$ ($=\vert
v\vert$) ssi $  x_1>\dots>x_r$, $x_i \in \Bbb A$. On munit l'ensemble des
colonnes de l'ordre $\gg$~: une colonne  $v=x_1 \dots x_r$ {\it
domine} une
autre $w=y_1 \dots y_p$ ($v \gg w$) ssi il existe une {\it fonction}
surjective croissante de l'ensemble des lettres de v dans celui de
$w$, c'est-\graveaccent a-dire s'il existe un sous-mot $v'$ de $v$ et
une {\it bijection} croissante des lettres de $v'$ sur celle de $w$. En
d'autres termes, 
$$\gather
\vert v \vert \geq \vert w \vert, \quad \text {i.e\.}\ r
\geq p\tag1\\
x_r \leq y_p, \ x_{r-1} \leq y_{p-1},\ \dots\tag2
\endgather$$
Un produit $t=v_1v_2 \dots$ de colonnes est un {\it tableau} ssi $ v_1 \gg
v_2 \gg v_3 \gg \cdots$, c'est-\graveaccent a-dire ssi c'est  une
cha\^\i ne de colonnes. On appelle {\it forme} d'un tableau la suite $I$ des
degr\'es des colonnes de $t~: I =(I_1, I_2, \dots)$ $=(\vert v_1 \vert,
\vert v_2 \vert, \vert v_3 \vert, \dots)$~; c'est donc une {\it
partition},
i.e\. $I_1 \geq I_2 \geq I_3 \geq \cdots$.

Par exemple, le mot $521\ 43\ 3\ 6$ (que nous avons d\'ecompos\'e en ses
colonnes) est un tableau de forme $3,2,1,1$~; on peut le repr\'esenter
planairement par l'objet $\smallmatrix 5\\2&4\\1&3&3&6 \endsmallmatrix.$ En
d'autres termes, un mot est un tableau si et seulement si il provient
de la {\it lecture idoine} (par colonnes) d'un tableau de Young. D'autres
lectures sont possibles, par exemple la lecture par lignes~; on peut
aussi prendre le tableau form\'e des compl\'ementaires (dans
l'alphabet) de chacune de ses colonnes ou pousser, jeu de taquin
aidant, un tableau dans le cadran nord-est d'un rectangle le
contenant~: dans ce dernier cas, on obtient un {\it contre-tableau}, que l'on
pourrait d\'efinir plus simplement comme une cha\^\i ne de colonnes
pour l'ordre $\ll ~: v \ll w$ ssi il existe une injection croissante de
l'ensemble des lettres de $v$ dans celui de $w$.

En fait, une partie des propri\'et\'es des tableaux provient de ces
diff\'erentes involutions, ainsi que de leurs combinaisons avec
d'autres moins imm\'ediates, chacune pouvant jouer un r\^ole
sp\'ecifique important dans un des diff\'erents avatars \'enum\'er\'es
ci-dessus. 

Une {\it clef\/} est un tableau tel que pour chaque entier $k$, la colonne
$w_{k+1}$ est un sous-mot de $w_k$. Les clefs jouent un r\^ole
particulier en th\'eorie $p$--groupes  Ab\'eliens et des polyn\^omes de
Hall-Littlewood~: ce sont les tableaux de {\it charge} nulle (cf.
\cite{Macdonald, III.6}). Enfin, un mot (en particulier, un tableau)
est {\it standard\/} si c'est une permutation de $1,2, \dots, r$.

Une application remarquable envoyant bijectivement les mots sur les
paires de tableaux de m\^eme forme a \'et\'e d\'ecouverte par
Schensted. Elle semble \^etre rest\'ee presqu'ignor\'ee
jusqu'\graveaccent a ce qu'un article de Knuth ne lui conf\`ere le
statut qu'elle m\'erite. Nous pr\'ef\'erons mettre l'accent sur la
structure de mono\"\i de sous-jacente \graveaccent a la contruction de
Schensted.

On munit l'alg\`ebre libre d'une congruence $\equiv$ (dite {\it
plaxique}),
engendr\'ee par les relations \'elementaires suivantes, relations
isol\'ees par Knuth et qui sont la formulation alg\`ebrique de la
construction de Schensted~:
$$\left.\matrix  \format\l\\
a_ka_ia_j \equiv a_ia_ka_j \quad  \text {et}\quad a_ja_ia_k \equiv
a_ja_ka_i\\
a_ja_ia_j \equiv a_ja_ja_i \quad \ \text {et}\quad  a_ja_ia_i \equiv
a_ia_ja_i \endmatrix \right\} \quad  i<j<k\ . \tag{3}
$$

Deux mots sont congrus ssi ils donnent par l'algorithme de Schensted
le m\^eme tableau~; le deuxi\'eme tableau (dit {\it tableau
d'insertion}~;
c'est le $Q$--symbole de Schensted) associ\'e \graveaccent a un mot
$v=x_1x_2 \dots $ est celui qui d\'ecrit la suite des formes des
tableaux congrus aux facteurs gauches successifs de $v$, i.e\. aux mots
$x_1$,  $ x_1x_2$, $x_1x_2x_3$, \dots

On parcourt la classe de congruence d'un mot $v$ en faisant varier le
tableau d'insertion $QQ(v)$~: l'application $v \rightarrow Q(v)$ est
une bijection de la classe de $v$ sur l'ensemble des tableaux
standards de m\^eme forme que le tableau congru \graveaccent a $v$.
Ainsi donc, toute condition d\'eterminant le tableau d'insertion
fournit par l\graveaccent a m\^eme un mot unique dans sa classe. Nous
n'aurons besoin ici que du cas particulier suivant~:


\proclaim{Lemme 4} Soit $t$ un tableau de forme $I=(I_1, I_2, \dots,
I_r)$~; alors pour toute permutation $J=(J_1, \dots, J_r)$ de $I$, il
existe dans la classe de congruence de $t$ un et un seul mot $v=v_1
\dots v_r$, produit de colonnes de degr\'es respectifs $J_1, \dots,
J_r$. Si $H$ est une autre permutation de $J$ et $w=w_1 \dots w_r$ let
mot associ\'e, alors $H_r \geq J_r$ implique que $v_r$ est un
sous-mot de $w_r$.
\endproclaim

\example{Exemple 5} Le tableau $t=531\ 62\ 4$ a trois colonnes de
longueurs diff\'erentes, et donc il y a 6 permutations de sa forme
auxquelles correspondent les mots (lire verticalement~!)~: 
$$\raise-.8cm\hbox{$\Bigg/$}\quad 
\matrix 5\\1\endmatrix \ \boldsymbol\cdot \ \matrix 6\\3\\2&4 \endmatrix
\quad  \text {------------}\quad 
\matrix 5\\1&3\endmatrix \ \boldsymbol\cdot \ \matrix 6\\4\\2\endmatrix
\quad \raise-.8cm\hbox{$\Bigg\backslash$}
$$
$$\matrix 5\\3&6\\1&2&4 \endmatrix
\hphantom{xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx}\matrix
1&5&6\\ \hphantom{1}&3&4\\ \hphantom{1}&\hphantom{3}&2 \endmatrix$$
$$\raise.8cm\hbox{$\Bigg\backslash$}\quad 
\matrix 5\\3\\1&2 \endmatrix \ \boldsymbol\cdot \ \matrix 6\\4\endmatrix
\quad  \text {------------}\quad 
\matrix 1\endmatrix \ \boldsymbol\cdot \ \matrix
5\\3&6\\2&4\endmatrix
\raise.8cm\hbox{$\Bigg/$}\quad 
$$
et donc la clef gauche 
$\smallmatrix 5\\3&5\\1&1&1\endsmallmatrix $ et la clef droite
$\smallmatrix 6\\4&6\\2&4&4\endsmallmatrix$.

En particulier, lorsque $t$ est une clef, ses colonnes commutent deux
\graveaccent a deux (dans le monoide plaxique) et r\'eciproquement,
cette propri\'et\'e de commutation caract\'erise les clefs. Pour un
tableau g\'en\'eral, avec les notations du lemme~4, on dit que $v_1$
(resp. $v_r$) est le {\it facteur gauche} (resp\. {\it droit})
du couple $(J,t)$. Pour chaque part $I_k$ de $I$, on a donc obtenu,
{\it par la gauche}, une colonne et une seule de degr\'e $I_k$. D'apr\'es le
lemme~4, ces
colonnes sont des sous-mots les unes des autres. En d'autres termes, le
produit des facteurs gauches de degr\'e respectifs $I_1, I_2, \dots$
est une clef dite {\it clef gauche} de $t$ et not\'ee $\bold K_-(t)$. On
d\'efinit similairement la {\it clef droite} $\bold K_+(t)$ de $t$.

Par exemple, le tableau 541 62 75 6 7 est congru aux mots 
$$51\ 642\ 75\ 6\ 7,\quad  
1\ 542\ 65\ 76\ 7,\quad  1\ 542\ 65\ 7\ 76,\quad  51\ 64\ 5\ 7\ 762,$$ 
ce que l'on peut
\'ecrire planairement si l'on pr\'ef\graveaccent ere~:
$$\smallmatrix 5\\4&6&7\\1&2&5&6&7\endsmallmatrix\equiv \smallmatrix 5\\1\endsmallmatrix \boldsymbol\cdot
\smallmatrix 6\\4&7\\2&5&6&7\endsmallmatrix \equiv \smallmatrix
1\endsmallmatrix \boldsymbol\cdot \smallmatrix
5\\4&6&7\\2&5&6&7\endsmallmatrix \equiv \smallmatrix1\endsmallmatrix 
\boldsymbol\cdot \smallmatrix
5\\4&6\\2&5&7\endsmallmatrix\boldsymbol\cdot \smallmatrix \hphantom{7}\\7\\6\endsmallmatrix
\equiv \smallmatrix\hphantom{5}\\5&6\\1&4&5&7 \endsmallmatrix \boldsymbol\cdot \smallmatrix
7\\6\\2\endsmallmatrix \ .$$

Avec les facteurs gauches que l'on r\'ep\graveaccent ete le nombre de
fois qu'il faut pour remplir le diagramme $3 \ 2\ 2\ 1\ 1$, on obtient
la clef gauche $\smallmatrix 5\\4&5&5\\1&1&1&1&1\endsmallmatrix$,
tandis que la clef droite est \'egale quant \graveaccent a elle \`a
$\smallmatrix 7\\6&7&7\\2&6&6&7&7\endsmallmatrix$.

Les clef d'un tableau jouent un r\^ole d\'ecisif en maint probl\'eme.
Ainsi, la {\it base standard\/} de Lakshmibai-Musili-Seshadri, pour un poids
$I$
et une variet\'e de Schubert $\Cal S_\mu$, est l'ensemble des tableaux de
forme $I$, de clef droite $\bold K(\mu, I)$, cf\. [L\&S2]. En outre, pour ce
qui est de la structure multiplicative de ces bases, le produit de
deux tableaux $t, t'$ de forme $I$, est congru \graveaccent a
un tableau de forme $I\cup I$ (i.e\. \graveaccent a la partition
$I_1I_1I_2I_2I_3I_3 \dots)$ ssi $\bold K_+(t) \leq \bold K_-(t')$ [L\&S2]. Par
ailleurs, les clefs donnent la d\'ecomposition d'un polyn\^ome de
Schubert $X_\mu$ en fonction des caract\'eres de Demazure et des
d\'ecompositions r\'eduites de la permutation $\mu, cf.$ [L\&S1].

Venons en au groupe sym\'etrique~: \graveaccent a toute permutation
$\mu$ de $\frak S(n)$ et toute partition $I$, on associe une clef,
not\'ee $\bold K(\mu, I)$, en prenant la suite des facteurs gauches
(r\'eordonn\'es) de longueurs respectives $I_1, I_2, \dots$ Ainsi, le
couple $\mu = 582491736$, $I=7,5,4,2$ donne la clef $9875421\ 98542\
8542\ 85$.

L'ordre lettre-\graveaccent a-lettre sur les mots (i.e\. $x_1 x_2 \ldots
\leq y_1 y_2 \dots $ ssi $ x_1 \leq y_1$, $x_2 \leq y_2$, \dots)
induit un ordre sur les clefs de m\^eme forme. D'apr\'es Ehresmann,
une permutation $\mu$ de $\frak S (n)$ est inf\'erieure \graveaccent a
une autre $\ze$ ssi la clef $\bold K(\mu, n \dots 21)$ est inf\'erieure
\graveaccent a $\bold K(\ze,n \dots 21)$.

Le groupe sym\'etrique est ainsi muni d'une structure d'ordre gradu\'e
({\it rank poset}), le grade \'etant le {\it nombre d'inversions} (il est dit
aussi, plus majoritairement et maladroitement, {\it longueur} d'une
permutation $\mu$, alors que c'est la longueur d'un mot r\'eduit (en
les transpositions simples) \'egal \graveaccent a la permutation). A
titre transitoire, nous adopterons le mot {\it hauteur} et noterons $\vert
\mu \vert$.

L'ordre d'Ehresmann a de multiples propri\'et\'es, en particulier des
propri\'et\'es de {\it dualit\'e} qui sont dites d'{\it
Eul\'erianit\'e} ({\it Eulerian
poset}).

L'exemple classique d'une telle structure est celui de l'ensemble des
faces d'un polytope convexe (cf. [Gr\"unbaum] et surtout [Macdonald] pour
les r\'e\-sul\-tats fondamentaux concernant les polyn\^omes associ\'es).

Soit $\Cal A$ une alg\`ebre munie d'un automorphisme involutif $\si$.
Un \'el\'ement $\Bbb E$ de $\Cal A$ est Eul\'erien ssi il
est inversible et $\Bbb E^{-1}=\Bbb E^\si$.
Donc si $\Bbb F$ est un autre \'el\'ement Eul\'erien, il en est encore de
m\^eme de $\Bbb E \Bbb F \Bbb E$ puisque ($\Bbb E \Bbb F \Bbb E)^{-1}=\Bbb
E^{-1} \Bbb F^{-1} \Bbb E^{-1}=(\Bbb E \Bbb F \Bbb E)^\si$, bien que $\Bbb E
\Bbb F $ ne soit Eul\'erien que si $\Bbb F$ commute avec $\Bbb E$.

Dans le cas particulier d'une alg\`ebre gradu\'ee $\Cal A = \bigoplus _{i
\geq 0} \Cal A_i$, $\Cal A_i \Cal A_j \subseteq \Cal A_{i+j}$, soit
$\si$ l'automorphisme envoyant $\sum _{} ^{}\Bbb E_i$ (avec $\Bbb E_i
\in \Cal A_i$) sur $\sum _{} ^{}(-1)^i \Bbb E_i$. Soit de fa\c con
encore plus particuli\`ere $\Bbb E = \sum _{} ^{}\Bbb E_k$ la matrice
d'incidence d'une relation d'ordre gradu\'ee, o\graveaccent u $E_k$,
$k \geq 0$, est la sous-matrice repr\'esentant les ar\^etes de
longueur $k$. La condition d'Eul\'erianit\'e se r\'eduit aux
conditions 
$$\text {pour tout entier $k$ pair},\quad  \Bbb E_k \Bbb E_0 - \Bbb E_{k-1}\Bbb
E_1 + \Bbb E_{k-2} \Bbb E_2 - \dots =0\ , \tag{6}$$

Elle \'equivaut en ce cas \graveaccent a l'hypoth\`ese que la fonction
de M\"obius de la relation d'ordre ne prend que les valeurs $\pm 1$
suivant la parit\'e de la hauteur, ou encore que chaque intervalle
(non r\'eduit \graveaccent a un \'el\graveaccent ement) contient
autant d'\'el\'ements en hauteur paire qu'en hauteur impaire (cf. les
exercices de Stanley [S2]). C'est le cas de l'ordre d'Ehresmann sur le
groupe sym\'etrique, ainsi que l'a montr\'e Verma [V]~:

\proclaim{Lemme 7} La relation d'ordre d'Ehresmann sur le groupe
sym\'etrique est Eu\-l\'er\-ien\-ne.
\endproclaim

Nous pr\'esentons une autre structure Eul\'erienne sur $\frak S(n)$,
\'etendant la structure d'Ehresmann, en interpr\'etant les tableaux de
forme une partition fixe $I$ comme des ar\^etes~:

\definition{D\'efinition 8} Le $I$-tableauto\"edre ($I$-tableautoedron)
est le graphe ordonn\'e dont les sommets sont les permutations de
$\frak S(n)$ et les ar\^etes, les tableaux sur l'alphabet $\{1, \dots,
n\}$ de forme $I$~: un tableau $t$ est une ar\^ete entre $\nu$ et $\mu$
ssi la clef gauche de $t$ est $\bold K(\nu, I)$ et sa clef droite est
$\bold K(\mu, I)$. 
\enddefinition

Soit $\Ga$ la matrice (gradu\'ee) des ar\^etes du $I$-tableauto\"edre,
$\Bbb E$ la matrice de l'ordre d'Ehresmann. On notera que $\Bbb E$ ne
fait intervenir que des tableaux bien particuliers, les clefs, alors
que $\Ga$ met en jeu tous les tableaux d'une forme donn\'ee, les clefs
\'etant alors des boucles. Comme il ne peut y avoir d'ar\^etes entre
$\nu$ et $\mu$ que si $\nu \leq \mu$ pour l'ordre d'Ehresmann, la
nullit\'e $\Bbb E_{\nu \mu}=0$ implique $\Ga_{\nu \mu}=0$. Par
r\'eference \graveaccent a la g\'eom\'etrie, disons que $I$ est
{\it tr\`es ample} si tous les entiers $1,2, \dots, n-1$ sont des parts de
$I$ (il est \'equivalent d'imposer que la partition conjugu\'ee de $I,
J=J_1 \dots J_n$, a toutes ses parts diff\'erentes~; en particulier, la
part 0 ne peut figurer qu'une fois au plus dans $J$).

\proclaim{Proposition 9} La matrice $\Ga$ des ar\^etes d'un
$I$-tableauto\"edre, $I$ partition tr\`es ample, est Eul\'erienne.
\endproclaim

\demo{Preuve} Appelons {\it cha\^\i ne} toute suite des tableaux $\ t_1, t_2,
t_3, \dots, t_r\ $ telle que $\bold K_+(t_1) \leq \bold K_-(t_2);
\bold K_+(t_2) \leq
\bold K_-(t_3), \dots$ et identifions la au mot $\ t_1 t_2 t_3 \cdots t_r$ 
dans l'alg\`ebre libre.

Soit, pour toute permutation $\mu, F_{\mu I}(z)$ la fonction
g\'en\'eratrice des cha\^\i nes inf\'erieures \graveaccent a $\mu$, i.e\.
la fonction $\sum _{} ^{}z^r\ t_1 \cdots t_r$, somme sur toutes les
cha\^\i nes telles que $\bold K_+(t_r)\leq \bold K(\mu, I)$. Dans le cas sp\'ecial
de la partition {\eightpoint E} $= n \dots 2\ 1$, on montre
alg\`ebriquement dans [L-S] que l'image commutative (i.e\. dans
$\Z[\Bbb A, z]$) de $F_{\mu \text {\eightpoint E}}(z)$ est invariante par l'involution $
\Bbb A  \rightarrow \Bbb A^{-1}= \{1/a_1, 1/a_2, \dots\}$ \& $ z
\rightarrow 1/z$. Identifiant les termes correspondants dans $F$
et son image, on obtient les relations
$$\multline \forall \nu, \mu ~:\ \nu <\mu, \quad \sum _{} ^{}(-1)^r  t_1
\cdots t_{r+1}\ /\ 
\bold K_1 \cdots \bold K_r\\ 
=\sum _{} ^{}\bold K(\nu ,\text {\eightpoint E})\
\bold K(\mu ,\text
{\eightpoint E})\ /\ t \ \quad \text {dans}\ \Bbb Z[\Bbb A],
 \endmultline\tag10$$
 la premi\graveaccent ere somme \'etant sur toutes les cha\^\i nes du
 {\eightpoint E}-tableauto\"edre joignant $\nu$ \graveaccent a $\mu$,
 en notant $\bold K_1=\bold K_+(t_1)=\bold K_-(t_2);$ \dots; $\bold K_r =
 \bold K_+(t_r)=\bold K_-(t_{r+1})$; la deuxi\'eme somme \'etant sur les ar\^etes
 de $\nu$ \graveaccent a $\mu$, i.e\. sur les $t$ tels que $\bold K(\nu$,
 {\eightpoint E}) $=\bold K_-(t)$ et $\bold K_+(t)=\bold K(\mu$, {\eightpoint E}).

En fait, la propri\'et\'e que $\Bbb E$ soit Eul\'erienne entraine
l'\'elimination des cha\^\i nes telles qu'un des $t_1$ soit 
une clef. La somme (10) se restreint donc aux cha\^\i nes sans boucles,
 i.e\. telles que $\bold K(\nu,
E)= \bold K_-(t_1)< \bold K_+(t_1)=\bold K_1=\bold K_-(t_2)< \bold
K_+(t_2)$ \dots
$\bold K_r=\bold K_-(t_{r+1})<
\bold K_+(t_{r+1})= \bold K(\mu, E)$.

Utilisant les relations (10) pour les sous-cha\^\i nes ayant au moins
deux maillons, on transforme (10) en les relations
$$\forall \nu, \mu ~: \ \nu< \mu, \quad \sum _{} ^{}(-1)^h t_1/t_2 =0 \quad 
\text {dans }\ \Bbb Z [\Bbb A],\tag11$$
somme sur toutes les paires de tableaux~: $\bold K_-(t_1)=\bold K(\nu, \text
{\eightpoint E})$;
$\bold K_+(t_1)=\bold K_-(t_2);$ $\bold K_+(t_2)=\bold K(\mu, \text
{\eightpoint E})$, $h$ \'etant la hauteur de la
permutation de clef $\bold K_+(t_1)$.

Il convient de noter que la relation (11) est plus sym\'etrique que
(10)~: ses termes extr\'emes sont en effet $(-1)^{\vert \nu \vert}
\bold K(\nu, \text {\eightpoint E}) \sum _{} ^{}1/t$ et 
$(-1)^{\vert \mu \vert}\sum _{}
^{}t/\bold K(\mu, \text {\eightpoint E})$, 
somme sur toutes les ar\^etes $t$ de $\nu$
\graveaccent a $\mu$.

La sp\'ecialisation $\Bbb A \rightarrow \{1, \dots, 1\}$ de la
relation (11) donne tr\`es exactement l'{\it entr\'ee} d'indice $\nu, \mu$
de la matrice $\Ga_h - \Ga_{h-1}\Ga_1+\Ga_{h-2}\Ga_2 - \cdots$ et donc
la matrice $\Ga$ est Eul\'erienne, dans le cas de la partition
$\text{\eightpoint E}= n \dots 2 1$.

On passe du cas de $\text{\eightpoint E}$ \graveaccent a
celui d'une partition tr\`es ample g\'en\'erale \graveaccent a
l'aide de techniques sans myst\`eres et sans relations avec
l'Eul\'erianit\'e, que l'on ne trouvera pas ici.\quad \quad \qed
\enddemo

\example{Exemple 12} L'intervalle $[\nu=1324, \mu=2413]$ comprend
quatre \'el\'ements dont
\vskip0,5cm

\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $\smallmatrix
4 \\
2 & 4\\
1 & 2 & 2 \endsmallmatrix$
\newline
les clefs sont \quad  $\smallmatrix 
4 \\
2 & 4 \\
1 & 1 & 1 \endsmallmatrix \quad \quad \quad  \smallmatrix
3 \\
2 & 3 \\
1 & 2 & 2 \endsmallmatrix$ \quad  et les ar\^etes autres que les boucles,
\newline
\hphantom{xxxxxxxxxxxxxxxxx}$\smallmatrix
3 \\
2 & 3 \\
1 & 1 & 1 \endsmallmatrix$

$$\raise-.1cm\hbox{\Line(1,1)1}\quad 
\matrix \circ\\\raise-20pt\hbox{$\Bigg\Vert$}\endmatrix
\quad \raise.4cm\hbox{\Line(1,-1)1}
$$
\vskip-.5cm
$$
\kern.3cm
\smallmatrix
4 \\
2 & 4 \\
1 & 1 & 2 \endsmallmatrix \hphantom{xxxxxxxxx}\kern.3cm \smallmatrix
3 \\
2 & 4  \\
1 & 2 & 2 \endsmallmatrix$$
\vskip-.5cm
$$\circ 
\raise-.1cm\hbox to0pt{\Line(1,-1)1\hss}
\raise.3cm\hbox to0pt{\Line(1,1)1\hss}
\quad \quad \quad \quad \quad \quad  
\smallmatrix
3 \\
2 & 4 \\
1 & 1 & 2 \endsmallmatrix \quad \quad \quad \quad \quad \quad 
\raise.8cm\hbox to0pt{\hss\Line(1,-1)1}
\raise-.6cm\hbox to0pt{\hss\Line(1,1)1}
\circ$$
\vskip-.5cm
$$
\kern.3cm
\smallmatrix
3 \\
2 & 4 \\
1 & 1 & 1 \endsmallmatrix \hphantom{xxxxxxxxx} \kern.3cm\smallmatrix
3 \\
2 & 3 \\
1 & 1 & 2 \endsmallmatrix$$
\vskip-.5cm
$$\raise.3cm\hbox{\Line(1,-1)1}\quad 
\matrix \raise20pt\hbox{$\Bigg\Vert$}\\\circ\endmatrix
\quad \raise-.2cm\hbox{\Line(1,1)1}
$$
\vskip0,5cm

\noindent La relation (11) est dans ce cas, en \'ecrivant $n$ pour $a_n$~:
$$323111/324112 - 324111/424112 -323112/324122 + 324112/424122=0.$$
\endexample

La nullit\'e de la somme (11) cache, ainsi qu'il est fr\'equent en
th\'eorie des tableaux, une propri\'et\'e plus forte d'annulation
(suite exacte d'annulation)~: tout terme $(-1) ^ h  t_1/t_2 $ 
\ s'\'elimine avec un terme $(-1) ^{ h +1}  t'_1/t'_2$ ou bien
un terme $(-1) ^{ h -1}  t'_1/t'_2 .$

Les fonctions int\'eressantes en g\'eom\'etrie sont les quatre
s\'eries formelles

\noindent $\sum z^r(\Bbb E \Ga) ^r\Bbb E= \bar \Cal H_{\le \le} \quad ; \quad \sum z ^r
(\Ga \Bbb E) ^r\Ga=\bar \Cal H_{= =} \quad ; \quad \sum z ^r
(\Ga \Bbb E) ^r=\bar \Cal H_{= \le} $ \quad et

\noindent $\sum z ^r(\Bbb E \Ga) ^r=\bar \Cal H_{\le =}$ \quad .

L'entr\'ee $\bar \Cal H_{\ast \ast}(\nu ,\mu)$ de chacune de ces
matrices est la sp\'ecialisation en $\Bbb A \rightarrow
\{1,\dots,1\}$ de la fonction g\'en\'eratrice $\Cal H_{\ast
\ast}(\nu, \mu)$ des cha\^\i nes $t_1\cdots t_r$ telles que
$$\bold K_+(t_1)\le \bold K_-(t_2); \ \bold K_+(t_2)\le
\bold K_-(t_3);\ \dots ;\
\bold K_+(t_{r-1})\le \bold K_-(t_r)$$
v\'erifiant de plus les conditions aux bords respectives suivantes
$$\gather
\bold K(\nu,I)\le \bold K_-(t_1) \ \ \& \ \ \bold K_+(t_r)\le \bold K(\mu,I) \quad \text{pour} \ \Cal
H_{\le \le} (\nu, \mu),\\
\bold K(\nu,I) = \bold K_-(t_1) \ \ \& \ \ \bold K_+(t_r) = \bold K(\mu,I) \quad \text{pour} \ \Cal
H_{= =} (\nu, \mu),\\
\bold K(\nu,I) = \bold K_-(t_1) \ \ \& \ \ \bold K_+(t_r) \le \bold K(\mu,I) \quad \text{pour} \ \Cal
H_{= \le} (\nu, \mu),\\
\bold K(\nu,I) \le \bold K_-(t_1) \ \ \& \ \ \bold K_+(t_r) = \bold K(\mu,I) \quad \text{pour} \ \Cal
H_{\le =} (\nu, \mu).
\endgather$$

On sait que, $\Bbb E$ et $\Ga$ \'etant Eul\'eriennes, chacune des
s\'eries $(\sum z ^r\Bbb E ^r)_{\nu \mu }$ et $(\sum z ^r\Ga ^r)_{\nu
\mu}$ est
invariante (au signe pr\`es) par l'\'echange $r \rightarrow -r$.

La sp\'ecialisation en $\Bbb A\rightarrow \{1,\dots,1\}$ de chacune
des fonctions $\Cal H_{\ast \ast}(\nu ,\mu)$ est une fraction
rationnelle
$$\Cal P _{\ast \ast}(\nu ,\mu ;z)/(1-z) ^{\vert \mu \vert - \vert \nu
\vert}.$$

La possibilit\'e de composer les structures Eul\'eriennes, ainsi qu'on
l'a mentionn\'e ci-dessus, permet d'obtenir les r\'eciprocit\'es
suivantes que l'on appelerait Formules de R\'eciprocit\'e si l'on ne
reculait, apr\'es d'autres auteurs, devant l'abus monstrueux de ce
terme (cf. [S1] ).
\endexample

\proclaim{Lemme 13} $\Cal P_{\le \le}(\nu ,\mu ;z)$ est r\'eciproque de
$\Cal P_{= =}(\nu ,\mu;z)$, i.e est \'egal \'a\linebreak
$z ^\ast \Cal P_{= =}(\nu ,\mu ;1/z).$ De m\^eme, $\Cal P_{=
\le}(\nu, \mu ;z)$ est r\'eciproque de $\Cal P_{\le =}(\nu \mu ;z)$.
\endproclaim

Traitons, par exemple, de mani\`ere d\'etaill\'ee le cas de hauteur
$2$ $(\vert \mu \vert - \vert \nu \vert =2)$, avec les ar\^etes~:
\vskip10pt
\vbox{
\Einheit.25cm
$$\tsize _{\sum \beta} \kern-6pt\raise-.6cm\hbox{\Line(1,1)4}\quad 
\raise.4cm\hbox{\Line(1,-1)4}
\kern-6pt_{\sum\beta'}
\hphantom{xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx} \bold K'$$
\vskip-1cm
\noindent
$\tsize\hphantom{xxxxxxxxxxxxxxxx}
\sideset{}\and\ssize\sum \gamma\to{\vrule width.5pt height.9cm
depth.9cm} \hphantom{xxxxx} 
\text {et l'ordre sur les clefs} 
\hphantom{xxx} \bold k 
\raise.2cm\hbox to0pt{\Vector(1,1)3\hss}
\raise.0cm\hbox to0pt{\Vector(1,-1)3\hss}
\hphantom{xxxxxxxxxx} 
\kern-.8cm
\raise-.8cm\hbox to0pt{\Vector(1,1)3\hss}
\raise1cm\hbox to0pt{\Vector(1,-1)3\hss}
\kern.8cm
\bold k'$
\vskip-.9cm
$$\tsize ^{\sum \alpha} \kern-6pt\raise.9cm\hbox{\Line(1,-1)4}\quad 
\raise-.1cm\hbox{\Line(1,1)4}
\kern-6pt ^{ \sum\alpha'}
\hphantom{xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx} \bold K$$
}
\vskip10pt

Les fonctions en cause sont, au facteur $1/(1-z\bold K)(1-z\bold K')$
pr\`es, en
d\'e\-compo\-sant les cha\^\i nes en familles suivant les tableaux non clefs
qu'elles comportent~:
$$\align
\Cal H_{\le \le}&
\tsize
=\frac {1-z ^2\bold k\bold k'} {(1-z\bold k)(1-z\bold k')}+z\sum
\gamma+\frac {z\sum\alpha+z\sum\beta+z ^2\sum\alpha \beta} {1-z\bold
k}\\
&\hskip5cm+\frac
{z\sum\alpha'+z\sum \beta'+z ^2\sum \alpha'\beta'} {1-z\bold k'},\\
\Cal H_{==}&
\tsize
=z ^2\bold K\bold K'\frac {1-z ^2\bold k\bold k'} {(1-z\bold k)(1-z\bold k')}+z\sum
\gamma+z ^2\frac {\sum\alpha \bold K+\bold K\sum \beta+\sum \alpha \beta} {1-z\bold
k}\\
&\hskip5cm+z ^2\frac
{\sum \alpha'\bold K+\bold K\sum \beta'+\sum \alpha'\beta'} {1-z\bold
k'},\\
\Cal H_{= \le}&
\tsize
=z\bold K\frac {1-z ^2\bold k\bold k'} {(1-z\bold k)(1-z\bold k')}+z\sum
\gamma+\frac {z\sum \alpha+z ^2\bold K\sum \beta+z ^2\sum\alpha \beta} {1-z\bold
k}\\
&\hskip5cm+\frac
{z\sum\alpha'+z ^2\bold K\sum \beta'+z ^2\sum \alpha'\beta'} {1-z\bold
k'},\\
\Cal H_{\le =}&
\tsize
=z\bold K'\frac {1-z ^2\bold k\bold k'} {(1-z\bold k)(1-z\bold k')}+z\sum
\gamma+\frac {z ^2\sum \alpha \bold K'+z\sum \beta+z ^2\sum\alpha \beta} {1-z\bold
k}\\
&\hskip5cm+\frac
{z ^2\sum \alpha'\bold K'+z\sum \beta'+z ^2\sum \alpha'\beta'} {1-z\bold
k'}.
\endalign$$

On a donc les expressions suivantes des polyn\^omes $\Cal P_{\ast
\ast}$, en notant $\vert \alpha \vert$ le cardinal de l'ensemble des
ar\^etes $\alpha$,
$$\align
\Cal P_{\le \le}&=1+z+(z-z ^2)\vert \gamma \vert + z(\vert
\alpha \vert + \vert \beta \vert + \vert \alpha' \vert + \vert \beta'
\vert)+ z ^2(\vert \alpha \beta \vert + \vert \alpha' \beta'\vert),\\
\Cal P_{= =}&=z ^2+z ^3+(z-z ^2)\vert \gamma \vert +z ^2(\vert
\alpha \vert + \vert \beta \vert + \vert \alpha' \vert+ \vert \beta'
\vert + \vert \alpha \beta \vert + \vert \alpha' \beta' \vert),\\
\Cal P_{= \le}&=z + z ^2+(z-z ^2)\vert \gamma \vert + z(\vert
\alpha \vert + \vert \alpha' \vert) + z ^2 (\vert \beta \vert+ \vert \beta'
\vert + \vert \alpha \beta \vert + \vert \alpha' \beta' \vert),\\
\Cal P_{\le =}&=z + z ^2+(z-z ^2)\vert \gamma \vert + z(\vert
\beta \vert + \vert \beta' \vert) + z ^2 (\vert \alpha \vert+ \vert
\alpha' \vert + \vert \alpha \beta \vert + \vert \alpha' \beta'
\vert).
\endalign$$

Sur ces expressions explicites, on voit sans conteste que les
propri\'et\'es de r\'eciprocit\'e annonc\'ees r\'esultent de la
sp\'ecialisation $\Bbb A \rightarrow \{1,\dots ,1\}$ de la
relation (11), i.e\. de la relation d'Eul\'erianit\'e
$$\vert \gamma \vert - \vert \alpha \vert \vert \beta \vert - \vert
\alpha' \vert \vert \beta' \vert + \vert \gamma \vert =0.$$

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\vskip.5cm
\eightpoint
\noindent L.I.T.P., Universit\'e Paris 7, 2 Place Jussieu, 75251
PARIS Ced 05

 \end
