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\auteurcourant={J. ZENG}
\titrecourant={FORMULE DE RAMANUJAN-BAILEY}
{\eightpoint
\noindent
S\'eminaire Lotharingien de Combinatoire, B18d, 1987, 9 pp.

}

\vglue 1.5cm
\centerline{{\bf UNE EXTENSION D'UNE FORMULE DE}}
\vskip 5pt
\centerline{{\bf RAMANUJAN-BAILEY}}
\vskip 2.8mm 
\centerline{\sevenrm PAR}
\vskip 2.8mm
\centerline{{\petcap Jiang} ZENG}
\vskip 1cm
\resume{L'identit\'e de Ramanujan-Bailey, qui \'etablit une
relation sym\'etrique entre deux s\'eries hyperg\'eom\'etriques
${}_3F_2$, est g\'en\'eralis\'ee en une relation sym\'etrique
entre deux s\'eries hyperg\'eom\'etriques ${}_4F_3$. On
construit \'egalement un mod\`ele sym\'etrique qui rend compte
de cette sym\'etrie. Enfin, on donne un $q$-analogue de cette
extension.} 
\vskip 5pt
\abstract{The Ramanujan-Bailey identity that establishes
a symmetric relation between two hypergeometric series
${}_3F_2$ is extended to a symmetric relation
between two hypergeometric series ${}_4F_3$. We also
give a symmetric model that makes this symmetry evident.
Finally, we obtain a $q$-analog of this extension.}

\vskip 12pt
\section 1. Introduction|Dans une lettre de 1913, \pc RAMANUJAN|
[Ra, p.~351] a donn\'e la formule suivante :
  $$\displaylines{(1)\quad
{1\over n+1}+\left({1\over 2}\right)^{\kern-2pt 2}
{1\over n+2}+\left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^{\kern-2pt 2}
{1\over n+3}+\cdots\hfill\cr
\hfill{}=\biggl\{ {\Gamma (n+1)\over \Gamma (n+3/2)}\biggr\} ^{\kern-2pt 2}
\biggl\{ 1+\left({1\over 2}\right)^{\kern-2pt 2}+
\left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^{\kern-2pt 2}+
\cdots \hbox{au $(n+1)$\ieme\ terme}\biggr\} ,\quad\cr}$$
o\`u $n$ (et aussi $m$ dans le reste de l'article) d\'esigne
un entier positif.

On notera que la s\'erie du premier membre est infinie et que la
somme du second membre ne comprend que $(n+1)$ termes, comme
l'indique la notation classique ``au $(n+1)$\ieme~terme."

La premi\`ere d\'emonstration de cette formule fut publi\'ee par \pc WATSON|
[Wa1] en 1929. Depuis lors, \pc DARLING| [Da], \pc BAILEY| [Ba1],
\pd HODGKINSON [Ho], \pd WHIPPLE [Wi] et \pd BAILEY [Ba2]
ont donn\'e \`a leur tour de nouvelles d\'emonstrations et g\'en\'eralisations.
On pourra se reporter aux livres de \pd BAILEY [Ba3, p.~92--93],
\pd HARDY [Ha, chap.~VII] et \pd SLATER [Sl, p.~81] 
pour une description plus
d\'etaill\'ee de l'historique des travaux inspir\'es par cette formule.
Notons enfin que \pd WATSON [Wa2] a m\^eme donn\'e une application
int\'eressante \`a l'\'etude des constantes de Lebesgue
et Landau.

\vfill\eject

La derni\`ere g\'en\'eralisation due \`a \pc BAILEY| (\cf.
[Ba2], [Ba3], [Ha], [Sl]) de la formule (1) s'\'ecrit :
  $$\displaylines{(2)\quad
{\Gamma (x+m+1)\Gamma (y+m+1)\over \Gamma (m+1)\Gamma (x+y+m+1)}
\left[{}_3F_2\Bigl({x,y,v+m\atop v,x+y+m+1};1\Bigr)\right]_{n+1}\hfill\cr
\hfill{}={\Gamma (x+n+1)\Gamma (y+n+1)\over \Gamma (n+1)\Gamma (x+y+n+1)}
\left[{}_3F_2\Bigl({x,y,v+n\atop v,x+y+n+1};1\Bigr)\right]_{m+1},\quad\cr}$$
o\`u suivant la notation de \pd HARDY [Ha, p.~112],
seuls les premiers $(n+1)$ (resp. $(m+1)$)
termes des deux s\'eries sont retenus.

Lorsque $x=y=1/2$, $v=1$, cette formule se r\'eduit \`a l'identit\'e :
  $$\displaylines{
\left\{ {\Gamma (m+3/2)\over \Gamma (m+1)}\right\} ^{\kern-2pt 2}
\biggl\{ {1\over m+1}+
\left({1\over 2}\right)^{\kern-2pt 2}{1\over m+2}
+\left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^{\kern-2pt 2}
{1\over m+3}+\cdots\hfill\cr 
\hfill\hbox{au $(n+1)$\ieme\ terme}\biggr\} \cr
\hfill{}=\left\{ {\Gamma (n+3/2)\over \Gamma (n+1)}\right\} ^{\kern-2pt 2}
\biggl\{ {1\over n+1}+
\left({1\over 2}\right)^{\kern-2pt 2}{1\over n+2}
+\left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^{\kern-2pt 2}
{1\over n+3}+\cdots\quad\cr
\hfill\hbox{au $(m+1)$\ieme\ terme}\biggr\} ,\cr}$$
qui donne le th\'eor\`eme de \pd RAMANUJAN lorsque
$m$ tend vers $+\infty $.

L'objet de la pr\'esente Note est de donner et de d\'emontrer
une extension naturelle de la formule (2), \`a savoir :
  $$\displaylines{(3)\quad{\Gamma (x+z+m)\Gamma (y+z+m)\over \Gamma (z+m)\Gamma (x+y+z+m)}
{}_4F_3\Bigl({-n,x,y,v+m\atop v,x+y+z+m,1-n-z};1\Bigr)\hfill\cr
\hfill{}={\Gamma (x+z+n)\Gamma (y+z+n)\over \Gamma (z+n)\Gamma (x+y+z+n)}
{}_4F_3\Bigl({-m,x,y,v+n\atop v,x+y+z+n,1-m-z};1\Bigr).\cr}$$
Elle est comme la formule (2) \`a la fois 
sym\'etrique en $n$, $m$ et en $x$, $y$ ; elle contient
un param\`etre $z$ suppl\'ementaire, d'o\`u l'apparition de
la s\'erie ${}_4F_3$, au lieu de ${}_3F_2$.

Cette formule se r\'eduit \'evidemment \`a l'identit\'e (2) de
Bailey lorsque $z=1$. De plus, elle contient comme autre
cas particulier l'identit\'e de \pc AL-SALAM-FIELDS| [Al-Fi] :
  $$\displaylines{(4)\quad{\Gamma (x+z+m)\Gamma (y+z+m)\over \Gamma (z+m)\Gamma (x+y+z+m)}
{}_3F_2\Bigl({-n,x,y\atop x+y+z+m,1-n-z};1\Bigr)\hfill\cr
\hfill{}={\Gamma (x+z+n)\Gamma (y+z+n)\over \Gamma (z+n)\Gamma (x+y+z+n)}
{}_3F_2\Bigl({-m,x,y\atop x+y+z+n,1-m-z};1\Bigr).\cr}$$
Pour obtenir (4) il suffit dans (3) de faire tendre
$v$ vers $+\infty $. A son tour, (4) se r\'eduit \`a l'identit\'e
de Pfaff-Saalsch\"utz, lorsque $m=0$.

Nous pr\'esentons ici deux d\'emonstrations de (3). La premi\`ere
fait appel \`a une transformation de s\'eries due \`a 
\pc WHIPPLE| ; la deuxi\`eme est une m\'ethode originale
de nature combinatoire, qui inspira, en fait, l'extension~(3).
Nous donnons enfin le $q$-analogue de (3) en appliquant
par deux fois la $q$-formule de Whipple.

\section 2. La d\'emonstration analytique|
Notons $(a)_n$ les factorielles montantes :
  $$(a)_0=1,\qquad (a)_n=a(a+1)\cdots(a+n-1)\quad(n\geq 1).$$
La formule de Whipple (\cf. [Ba3, p. 56]) s'\'ecrit :
  $$\displaylines{(5)\quad
{}_4F_3\Bigl({-n,a,b,c \atop d,e,f};1\Bigr)\hfill\cr
\hfill{}
={(e-a)_n(f-a)_n\over (e)_n(f)_n}
{}_4F_3\Bigl({-n,a,d-b,d-c \atop d,1-e+a-n,1-f+a-n};1\Bigr),\cr}$$
o\`u $d+e+f=a+b+c-n+1$.

Dans (5), si l'on pose $a=x$, $b=y$, $c=v+m$,
$d=v$, $e=x+y+z+m$ et $f=1-n-z$, on obtient :
  $$\displaylines{(6)\quad
{}_4F_3\Bigl({-n,x,y,v+m \atop v,x+y+z+m,1-n-z};1\Bigr)\hfill\cr
\hfill{}
={(y+z+m)_n(1-n-z-x)_n\over (x+y+z+m)_n(1-n-z)_n}
{}_4F_3\Bigl({-n,x,v-y,-m \atop 
v,1-y-z-m-n,x+z};1\Bigr).\cr}$$
On suppose que $m\leq n$.
Appliquant de nouveau (5) au second membre de (6) et
posant $n=m$, $a=x$, $b=v-y$, $c=-n$,
$d=v$, $e=1-y-z-m-n$ et $f=x+z$, l'identit\'e~(6)
devient alors :
  $$\displaylines{(7)\hfill
{}_4F_3\Bigl({-n,x,y,v+m \atop v,x+y+z+m,1-n-z};1\Bigr)
={(y+z+m)_n(1-n-z-x)_n\over (x+y+z+m)_n(1-n-z)_n}\cr
\hfill{}\times 
{(1-x-y-z-m-n)_m(z)_m\over (1-y-z-m-n)_m(x+z)_m}
{}_4F_3\Bigl({-m,x,y,v+n \atop 
v,x+y+z+m,1-n-z};1\Bigr).\cr}$$
Si l'on multiplie (7) par
  $${(1-y-z-m-n)_m(x+z)_m\over (1-x-y-z-m-n)_m(z)_m}$$
et exprime les factorielles montantes comme des fonctions
gamma, on trouve bien l'identit\'e~(3).

\def\cyc{\mathop{\rm cyc}\nolimits}

\rem Remarque|
Dans un article r\'ecent, \pc WIMP| [Wi, p.~990]
a \'etabli, de fa\c con relativement \'elabor\'ee, la formule suivante :
  $$\displaylines{(8)\quad
{}_4F_3\Bigl({-n,n+x,y,z \atop x-1,y+1,z+1};1\Bigr)\hfill\cr
\hfill{}
={n!\,yz \over  (y-z)(x-1)_{n+1}}
\left[{(x-z-1)_{n+1} \over  (z)_{n+1} }
- {(x-y-1)_{n+1} \over  (y)_{n+1}}\right]\quad\cr}$$
et a avanc\'e le fait que cette formule ne pouvait 
\^etre d\'eduite de la formule de Whipple (5 ci-dessus).
C'est, en fait, possible : il suffit d'utiliser
la m\^eme technique que ci-dessus, c'est-\`a-dire appliquer
la formule de Whipple {\it deux fois}.
Cette m\'ethode a m\^eme l'avantage de fournir
un $q$-analogue de la formule de \pc WIMP| elle-m\^eme
(\cf.~\S \kern 2pt 5).

En effet, si l'on pose $a=z$, $b=y$, $c=n+x$, $d=x-1$,
$e=y+1$ et $f=z+1$ dans (5), on a imm\'ediatement :
  $$\displaylines{(9)\quad
{}_4F_3\Bigl({-n,n+x,y,z \atop x-1,y+1,z+1};1\Bigr)\hfill\cr
\hfill{}
={(y+1-z)_n(1)_n \over  (y+1)_n(z+1)_n}
{}_4F_3\Bigl({-n,-n-1,x-y-1,z \atop x-1,z-y-n,-n};1\Bigr).\quad\cr}$$
D'autre part, on remarque que
  $$\displaylines{(10)\quad
{}_4F_3\Bigl({-n,-n-1,x-y-1,z \atop x-1,z-y-n,-n};1\Bigr)\hfill\cr
\hfill{}
={}_4F_3\Bigl({-n-1,-n-1,x-y-1,z \atop x-1,z-y-n,-n-1};1\Bigr)
-{(x-y-1)_{n+1}(z)_{n+1} \over  (x-1)_{n+1} (z-y-n)_{n+1} }.\cr}$$
Si l'on pose de nouveau $a=z$, $b=x-y-1$, $c=-n-1$,
$d=-n-1$, $e=x-1$ et $f=z-y-n$ dans (5), on trouve :
  $$\displaylines{(11)\quad
{}_4F_3\Bigl({-n-1,-n-1,x-y-1,z \atop x-1,z-y-n,-n-1};1\Bigr)\hfill\cr
\hfill{}
={(x-z-1)_{n+1}(-y-n)_{n+1} \over  (x-1)_{n+1} (z-y-n)_{n+1} }.\qquad\cr}$$
En reportant (10), puis (11) dans (9), on obtient l'identit\'e~(8).

\section 3. Le mod\`ele sym\'etrique|Nous avons d\'eja
d\'emontr\'e dans [Ze] qu'il y a un mod\`ele sym\'etrique pour
l'identit\'e d'Al-Salam-Fields. C'est en fait dans la recherche
d'un mod\`ele sym\'etrique pour l'identit\'e de Bailey que
l'extension (3) a \'et\'e d\'ecouverte. Chassons les
d\'enominateurs dans (3), on est conduit \`a l'identit\'e
polynomiale :
  $$\displaylines{(12)\quad
(x+z)_m(y+z)_m(v)_m\hfill\cr
\qquad\qquad
{}\times \sum _{k=0}^n{n\choose k}     
(x)_k(y)_k(v+m)_k(v+k)_{n-k}(x+y+z+m+k)_{n-k}(z)_{n-k}\hfill\cr  
\qquad
{}=(x+z)_n(y+z)_n(v)_n\hfill\cr
\qquad\qquad
{}\times \sum _{k=0}^m{m\choose k}
(x)_k(y)_k(v+n)_k(v+k)_{m-k}(x+y+z+n+k)_{m-k}(z)_{m-k}.\hfill\cr}$$
\indent Quelques notions de base sont n\'ecessaires
pour d\'ecrire le mod\`ele combinatoire 
qui permet d'interpr\'eter l'identit\'e~(12).
Soient  $A$ et $B$ deux ensembles 
disjoints de cardinal $m$ et $n$ respectivement. 
Rappelons d'abord que le polyn\^ome g\'en\'erateur
de l'ensemble des injections $\sigma $ de $A$ dans $A+B$
par le nombre de cycles, not\'e $\cyc \sigma $, est
donn\'e~par (\cf. [Fo-St]) :
  $$\sum _\sigma  a^{\cyc \sigma }=(a+n)_m.\leqno(13)$$
Soit $E$ un sous-ensemble
de $A+B$. \'Etant donn\'ee une {\it application} 
$\sigma $ de $E$ dans $A+B$, un \'el\'ement $a$
de $E$ est dit {\it homog\`ene} si $a\in  A$ (resp. $B$) 
enta\^{\i}ne $\sigma (a)\in  A$ (resp. $B$).
Une {\it application tricolore} de $E$ dans $A+B$ est d\'efinie comme \'etant
un couple $(\sigma ,f_\sigma )$, o\`u $\sigma $ est une application de $E$ dans $A+B$ et
$f_\sigma $ une application de l'ensemble des cycles de $\sigma $ dans $\{ 1,2,3\} $.
Par commodit\'e, pour chaque cycle $c$ de $\sigma $, 
on appelle $f_\sigma (c)$ la {\it couleur}
de $c$. Dans le cas particulier o\`u $\sigma $ est une
{\it endofonction} (resp. {\it injection}, resp. {\it permutation}),
le couple $(\sigma ,f_\sigma )$ se r\'eduit \`a une {\it endofonction}
(resp. {\it injection}, resp. {\it permutation})
{\it tricolore}. Notons enfin $\cyc_i(\sigma ,f_\sigma )$
le nombre de cycles de $(\sigma ,f_\sigma )$ de couleur $i$ $(i=1,2,3)$.

Si l'on associe \`a $(\sigma ,f_\sigma )$ le poids
  $$w\bigl((\sigma ,f_\sigma )\bigr)=\alpha ^{\cyc_1(\sigma ,f_\sigma )}
d^{\cyc_2(\sigma ,f_\sigma )}
\beta ^{\cyc_3(\sigma ,f_\sigma )},$$
il est alors facile, d'apr\`es (13), d'\'etablir l'identit\'e :
  $$\sum _{(\sigma ,f_\sigma )} w\bigl((\sigma ,f_\sigma )\bigr)=(\alpha +\beta +d+n)_m,\leqno(14)$$
o\`u la sommation est \'etendue \`a toutes les injections
tricolores de $A$ dans $A+B$.

Consid\'erons maintenant l'ensemble $T[A,B;1,2,3]$ de tous les triplets
$(\varphi ,(\sigma ,f_\sigma ),(\tau ,g_\tau ))$, o\`u $\varphi $ est une permutation de $A+B$, et o\`u
$(\sigma ,f_\sigma )$ et $(\tau ,g_\tau )$ sont deux permutations tricolores de $A+B$
ayant les propri\'et\'es suivantes :
\decale(i)| tous les cycles de $(\sigma ,f_\sigma )$ (resp. $(\tau ,g_\tau )$) de couleur~1
sont enti\`e\-re\-ment contenus dans $A$ (resp. $B$) ;
\decale(ii)|tous les cycles de $(\sigma ,f_\sigma )$ (resp. $(\tau ,g_\tau )$) de couleur~3
sont enti\`e\-re\-ment contenus dans $B$ (resp. $A$) ; 
\decale(iii)|tous les cycles de $(\sigma ,f_\sigma )$ (resp. $(\tau ,g_\tau )$) de couleur~2
sont enti\`e\-re\-ment contenus dans l'ensemble des \'el\'ements homog\`enes 
de $\varphi $ (resp. $A$ ou~$B$).  

D'apr\`es la d\'efinition ci-dessus, chaque \'el\'ement de
$T[A,B;1,2,3]$ est en m\^eme temps un \'el\'ement de
$T[B,A;3,2,1]$ et vice versa. D'o\`u
  $$T[A,B;1,2,3]=T[B,A;3,2,1].$$
De fa\c con \'equivalente, si l'on munit chaque triplet 
$(\varphi ,(\sigma ,f_\sigma ),(\tau ,g_\tau ))$
de $T[A,B;1,2,3]$ de la fonction-poids:
  $$\leqalignno{w(\bigl(\varphi ,(\sigma ,f_\sigma ),(\tau ,g_\tau ))\bigr)=v^{\cyc\varphi }
&x^{\cyc_1(\sigma ,f_\sigma )}z^{\cyc_2(\sigma ,f_\sigma )}
y^{\cyc_3(\sigma ,f_\sigma )}&(15)\cr
&x^{\cyc_1(\tau ,g_\tau )}z^{\cyc_2(\tau ,g_\tau )}
y^{\cyc_3(\tau ,g_\tau )},\cr}$$
alors le polyn\^ome g\'en\'erateur $F(A,B;x,y,z,v)$ de 
$T[A,B;1,2,3]$ par la fonction-poids ci-dessus est {\it
sym\'etrique} en $(A,x)$ et $(B,y)$, \`a savoir
  $$F(A,B;x,y,z,v)=F(B,A;y,x,z,v).\leqno(16)$$

Pour \'etablir combinatoirement 
l'identit\'e de Ramanujan-Bailey, il suffit de montrer
que $F(A,B;x,y,z,v)$ est \'egale \`a l'un des deux
membres de~(12) ; autrement dit, il suffit d'\'etablir l'identit\'e :
  $$\displaylines{(17)\quad F(A,B;x,y,z,v)
=(x+z)_m(y+z)_m(v)_m\hfill\cr
\hfill{}\times  \sum _{k=0}^n{n\choose k}
(x)_k(y)_k(v+m)_k(v+k)_{n-k}(x+y+z+m+k)_{n-k}(z)_{n-k}.\cr}$$

En effet, il est facile d'interpr\'eter le second membre
de l'identit\'e~(17). Pour tout sous-ensemble $K$ de $B$,
on note $Q_K[A,B;1,2,3]$ l'ensemble des triplets
$(\varphi ,\sigma ,\tau )$ tels que :

\decale (i)|$\varphi $ est une endofonction de $A+B$ ;
de plus, la restriction $\varphi _A$ \`a l'ensemble $A$ 
est une {\it permutation} de~$A$ et
la restriction $\varphi _{B\setminus K}$ (resp. $\varphi _K$) est une
{\it injection} de $B\setminus K$ dans $B$ (resp.
de $K$ dans $A+K$) ;

\decale (ii)|$\sigma $ (resp. $\tau $) est une {\it endofonction
tricolore} de $A+B$ ; de plus, la restriction $\sigma _A$ (resp.
$\tau _A$) est une {\it permutation tricolore} de $A$
n'ayant que des cycles de couleur 1 ou 2
(resp. 3 ou 2) ; en outre, la restriction
$\sigma _{B\setminus K}$ (resp. $\tau _{B\setminus K}$) est une
{\it injection tricolore} de
$B\setminus K$ dans $A+B$
(resp. {\it permutation tricolore} de
$B\setminus K$, n'ayant que des cycles de couleur~2) ;
enfin, $\sigma _K$ (resp. $\tau _K$)
est une {\it permutation tricolore} de $K$
n'ayant que des cycles de couleur~3
(resp.~1).

On pose 
  $$Q[A,B;1,2,3]=
\bigcup _K Q_K[A,B;1,2,3]\qquad (K\subseteq B).$$
Si $K$ est de cardinal $k$, on a d'apr\`es (13) et (14) :
  $$\eqalignno{
\smash{\sum _\varphi w(\varphi )}&=\sum  w(\varphi _A) 
\sum w(\varphi _{B\setminus K}) \sum w(\varphi _K)\cr
&=(v)_m(v+k)_{n-k} (v+m)_k,\cr
\noalign{\vskip 5pt }
\smash{\sum _\sigma w(\sigma )}&=\sum  w(\sigma _A) 
\sum w(\sigma _{B\setminus K}) \sum w(\sigma _K)\cr
&=(x+z)_m(x+y+z+m+k)_{n-k} (y)_k,\cr
\noalign{\vskip 5pt }
\smash{\sum _\tau w(\tau )}&=\sum  w(\tau _A) 
\sum w(\tau _{B\setminus K}) \sum w(\tau _K)\cr
&=(y+z)_m(z)_{n-k} (x)_k.\cr}$$
Comme il y a ${n\choose k}$ tels sous-ensembles
$K\subseteq B$, la fonction g\'en\'eratrice
de $Q[A,B;1,2,3]$ est \'egale \`a
  $$\displaylines{\qquad 
\sum _{k=0}^n {n\choose k}
(v)_m(v+k)_{n-k} (v+m)_k\hfill\cr
\hfill(x+z)_m(x+y+z+m+k)_{n-k} (y)_k
(y+z)_m(z)_{n-k} (x)_k,\quad\cr}$$
qui est exactement le second membre de (17).

La d\'emonstration consiste \`a construire une bijection entre
le mod\`ele sym\'etrique $T[A,B;1,2,3]$ et le
mod\`ele $Q[A,B;1,2,3]$, 
dont on vient de calculer la fonction g\'en\'eratrice.
Nous ne d\'etaillons pas la construction de cette bijection.
Le lecteur pourra retrouver toutes les \'etapes du
passage du mod\`ele $T$ au mod\`ele $Q$ dans [Ze1, chap.~7].

\section 4. Le $q$-analogue|En utilisant le $q$-analogue de la
transformation (5) de Whipple, la formule (3) peut se
$q$-g\'en\'eraliser. Introduisons d'abord la $q$-factorielle
montante :
    $$(a;q)_\infty =\prod _{n=0}^\infty (1-aq^n),\qquad
(a;q)_n={(a;q)_\infty \over (aq^n;q)_\infty }$$
et la fonction hyperg\'eom\'etrique basique (\cf. [Ba3]) :
  $${}_r\Phi _s\Bigl[{a_1,\ldots,a_r\atop b_1,\ldots,b_s};q,x\Bigr]
=\sum _{n\geq 0} {(a_1;q)_n\cdots(a_r;q)_n\over (b_1;q)_n\cdots(b_s;q)_n}
{x^n\over (q;q)_n}.$$
Le $q$-analogue de la transformation de Whipple
(\cf. [Jo-St]) s'\'ecrit :
  $$\displaylines{(18)\quad
{}_4\Phi _3\Bigl[{a,b,q^{1-n}/f,q^{-n}\atop c,q^{1-n}/d,q^{1-n}/e};q,q\Bigr]
\hfill\cr
\hfill
{}=\left({c\over ab}\right)^{\kern -2pt n}
{(f/d;q)_n(f/e;q)_n\over (d;q)_n(e;q)_n}
{}_4\Phi _3\Bigl[{c/a,c/b,q^{1-n}/f,q^{-n}\atop 
c,q^{1-n}d/f,q^{1-n}e/f};q,q\Bigr],\hfill\cr}$$
o\`u $cf=abde$.

De fa\c con analogue, en appliquant deux fois la formule (12), 
on obtient :
  $$\displaylines{(19)\quad
{(q^nxyz;q)_m(z;q)_m\over (q^nxz;q)_m(yz;q)_m}
{}_4\Phi _3\Bigl[{q^{-m},x,y,vq^n\atop 
v,q^nxyz,q^{1-m}/z};q,q\Bigr],\hfill\cr
\hfill
{}={(q^mxyz;q)_n(z;q)_n\over (q^mxz;q)_n(yz;q)_n}
{}_4\Phi _3\Bigl[{q^{-n},x,y,vq^m\atop 
v,q^mxyz,q^{1-n}/z};q,q\Bigr].\cr}$$

Introduisons maintenant, suivant \pc JACKSON| [Ja], le 
$q$-analogue de la fonction $\Gamma $ :
  $$\Gamma _q(a)={(q;q)_\infty \over (q^a;q)_\infty }
(1-q)^{1-a},
\quad a\in  {\bboard C}\setminus {\bboard Z}_-.$$
Dans (13), si l'on remplace $x$, $y$, $z$, et $v$ par
$q^x$, $q^y$, $q^z$ et $q^v$ respectivement, et de plus, si l'on
exprime les  $q$-factorielles montantes en $q$-analogue de la
fonction $\Gamma $, on obtient un v\'eritable $q$-analogue de
(3), \`a savoir : 
  $$\displaylines{(20)\quad
{\Gamma _q(x+z+m)\Gamma _q(y+z+m)\over 
\Gamma _q(z+m)\Gamma _q(x+y+z+m)}
{}_4\Phi _3\Bigl[{q^{-n},q^x,q^y,q^{v+m}\atop 
q^v,q^{x+y+z+m},q^{1-n-z}};q,q\Bigr],\hfill\cr
\hfill
{}={\Gamma _q(x+z+n)\Gamma _q(y+z+n)\over 
\Gamma _q(z+n)\Gamma _q(x+y+z+n)}
{}_4\Phi _3\Bigl[{q^{-m},q^x,q^y,q^{v+n}\atop 
q^v,q^{x+y+z+n},q^{1-m-z}};q,q\Bigr].\cr}$$

Comme signal\'e dans la remarque de la section 2, la
formule de \pc WIMP|~(8) peut se $q$-g\'en\'eraliser
comme suit :
  $$\displaylines{(21)\quad
{}_4\Phi _3\Bigl[{q^{-n},xq^n,y,z\atop 
xq^{-1},yq,zq};q,q\Bigr]
={(q;q)_n (1-y)(1-z) \over  (z-y) (xq^{-1};q)_{n+1}}
\hfill\cr
\hfill
{}\times \left[z^{n+1} {(x/(zq);q)_{n+1} \over  (z;q)_{n+1} }
- y^{n+1} 
{(x/(yq);q)_{n+1} \over  (y;q)_{n+1}}\right]\quad\cr}$$
ou bien encore, si on fait les substitutions 
$x\leftarrow q^x$, $y\leftarrow q^y$, $z\leftarrow q^z$ 
dans~(21), comme :
  $$\displaylines{(22)\quad
{}_4\Phi _3\Bigl[{q^{-n},q^{n+x},q^y,q^z\atop 
q^{x-1},q^{y+1},q^{z+1}};q,q\Bigr]
={(q;q)_n (1-q^y)(1-q^z) \over  (q^z-q^y) (q^{x-1};q)_{n+1}}
\hfill\cr
\hfill
{}\times \left[q^{(n+1)z} {(q^{x-z-1};q)_{n+1} 
\over  (q^z;q)_{n+1} }
- q^{(n+1)y}
{(q^{x-y-1};q)_{n+1} \over  (q^y;q)_{n+1}}\right].\quad\cr}$$
Cette derni\`ere identit\'e se r\'eduit \`a la formule (8)
lorsque l'on fait tendre $q$ vers~1.

\eightpoint
\vglue 44pt
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\tenpoint
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