Séminaire Lotharingien de Combinatoire, B18d, 1987, 9 pp.

UNE EXTENSION D’UNE FORMULE DE

RAMANUJAN-BAILEY

PAR

Jiang ZENG

R^{}ÉSUM^{}É. — L’identité de Ramanujan-Bailey, qui établit une relation symétrique entre deux séries hypergéométriques _{3}F_{2}, est généralisée en une relation symétrique entre deux séries hypergéométriques_{4}F_{3}. On construit également un modèle symétrique qui rend compte de cette symétrie. Enfin, on donne un q-analogue de cette extension.

ABSTRACT. — The Ramanujan-Bailey identity that establishes a symmetric relation between two hypergeometric series _{3}F_{2} is extended to a symmetric relation between two hypergeometric series _{4}F_{3}. We also give a symmetric model that makes this symmetry evident. Finally, we obtain a q-analog of this extension.

1. Introduction. — Dans une lettre de 1913, RAMANUJAN [Ra, p. 351] a donné la formule suivante :

(1) \frac{1}{n + 1} + (\frac{1}{2})^{2} \frac{1}{n + 2} + (\frac{1 · 3}{2 · 4})^{2} \frac{1}{n + 3} + ⋯

= \{\frac{Γ(n + 1)}{Γ(n + 3/2)}\}^{2}\{1 + (\frac{1}{2})^{2} + (\frac{1 · 3}{2 · 4})^{2} + ⋯ au (n + 1)^{ième} terme\},

où n (et aussi m dans le reste de l’article) désigne un entier positif.

On notera que la série du premier membre est infinie et que la somme du second membre ne comprend que (n + 1) termes, comme l’indique la notation classique “au (n + 1)^{ième} terme.”

La première démonstration de cette formule fut publiée par WATSON [Wa1] en 1929. Depuis lors, DARLING [Da], BAILEY [Ba1], HODGKINSON [Ho], WHIPPLE [Wi] et BAILEY [Ba2] ont donné à leur tour de nouvelles démonstrations et généralisations. On pourra se reporter aux livres de BAILEY [Ba3, p. 92–93], HARDY [Ha, chap. VII] et SLATER [Sl, p. 81] pour une description plus détaillée de l’historique des travaux inspirés par cette formule. Notons enfin que WATSON [Wa2] a même donné une application intéressante à l’étude des constantes de Lebesgue et Landau.

J. ZENG

La dernière généralisation due à BAILEY (cf. [Ba2], [Ba3], [Ha], [Sl]) de la formule (1) s’écrit :

(2) \frac{Γ(x + m + 1)Γ(y + m + 1)}{Γ(m + 1)Γ(x + y + m + 1)} [_{3}F_{2}({x, y, v + m \atop v, x + y + m + 1}; 1)]_{n+1}

= \frac{Γ(x + n + 1)Γ(y + n + 1)}{Γ(n + 1)Γ(x + y + n + 1)} [_{3}F_{2}({x, y, v + n \atop v, x + y + n + 1}; 1)]_{m+1} ,

où suivant la notation de HARDY [Ha, p. 112], seuls les premiers (n + 1) (resp. (m + 1)) termes des deux séries sont retenus.

Lorsque x = y = 1/2, v = 1, cette formule se réduit à l’identité :

\{\frac{Γ(m + 3/2)}{Γ(m + 1)}\}^{2} \{\frac{1}{m + 1} + (\frac{1}{2})^{2} \frac{1}{m + 2} + (\frac{1 · 3}{2 · 4})^{2} \frac{1}{m + 3} + ⋯

au (n + 1)^{ième} terme}

= \{\frac{Γ(n + 3/2)}{Γ(n + 1)}\}^{2} \{\frac{1}{n + 1} + (\frac{1}{2})^{2} \frac{1}{n + 2} + (\frac{1 · 3}{2 · 4})^{2} \frac{1}{n + 3} + ⋯

au (m + 1)^{ième} terme},

qui donne le théorème de RAMANUJAN lorsque m tend vers +∞.

L’objet de la présente Note est de donner et de démontrer une extension naturelle de la formule (2), à savoir :

(3) \frac{Γ(x + z + m)Γ(y + z + m)}{Γ(z + m)Γ(x + y + z + m)}_{4}F_{3}({−n, x, y, v + m \atop v, x + y + z + m, 1 − n − z}; 1)

= \frac{Γ(x + z + n)Γ(y + z + n)}{Γ(z + n)Γ(x + y + z + n)}_{4}F_{3}({−m, x, y, v + n \atop v, x + y + z + n, 1 − m − z}; 1).

Elle est comme la formule (2) à la fois symétrique en n, m et en x, y; elle contient un paramètre z supplémentaire, d’où l’apparition de la série _{4}F_{3}, au lieu de _{3}F_{2}.

Cette formule se réduit évidemment à l’identité (2) de Bailey lorsque z = 1. De plus, elle contient comme autre cas particulier l’identité de

AL-SALAM-FIELDS [Al-Fi] :

(4) \frac{Γ(x + z + m)Γ(y + z + m)}{Γ(z + m)Γ(x + y + z + m)}_{3}F_{2}({−n, x, y \atop x + y + z + m, 1 − n − z}; 1)

= \frac{Γ(x + z + n)Γ(y + z + n)}{Γ(z + n)Γ(x + y + z + n)}_{3}F_{2}({−m, x, y \atop x + y + z + n, 1 − m − z}; 1).

FORMULE DE RAMANUJAN-BAILEY

Pour obtenir (4) il suffit dans (3) de faire tendre v vers +∞. A son tour,

(4) se réduit à l’identité de Pfaff-Saalschütz, lorsque m = 0.

Nous présentons ici deux démonstrations de (3). La première fait appel à une transformation de séries due à WHIPPLE ; la deuxième est une méthode originale de nature combinatoire, qui inspira, en fait, l’extension (3). Nous donnons enfin le q-analogue de (3) en appliquant par deux fois la q-formule de Whipple.

2. La démonstration analytique. — Notons (a)_{n} les factorielles montantes :

(a)_{0} = 1, (a)_{n} = a(a + 1) ⋯ (a + n − 1) (n ≥ 1).

La formule de Whipple (cf. [Ba3, p. 56]) s’écrit :

(5) _{4}F_{3}({−n, a, b, c \atop d, e, f}; 1)

= \frac{(e − a)_{n}(f − a)_{n}}{(e)_{n}(f)_{n}}_{4}F_{3}({−n, a, d − b, d − c \atop d, 1 − e + a − n, 1 − f + a − n}; 1),

où d + e + f = a + b + c − n + 1.

Dans (5), si l’on pose a = x, b = y, c = v + m, d = v, e = x + y + z + m et f = 1 − n − z, on obtient :

(6) _{4}F_{3}({−n, x, y, v + m \atop v, x + y + z + m, 1 − n − z}; 1)

= \frac{(y + z + m)_{n}(1 − n − z − x)_{n}}{(x + y + z + m)_{n}(1 − n − z)_{n}}_{4}F_{3}({−n, x, v − y, −m \atop v, 1 − y − z − m − n, x + z}; 1).

On suppose que m ≤ n. Appliquant de nouveau (5) au second membre de (6) et posant n = m, a = x, b = v −y, c = −n, d = v, e = 1−y −z −m−n et f = x + z, l’identité (6) devient alors :

(7) _{4}F_{3}({−n, x, y, v + m \atop v, x + y + z + m, 1 − n − z}; 1) = \frac{(y + z + m)_{n}(1 − n − z − x)_{n}}{(x + y + z + m)_{n}(1 − n − z)_{n}}

× \frac{(1 − x − y − z − m − n)_{m}(z)_{m}}{(1 − y − z − m − n)_{m}(x + z)_{m}}_{4}F_{3}({−m, x, y, v + n \atop v, x + y + z + m, 1 − n − z}; 1).

Si l’on multiplie (7) par

\frac{(1 − y − z − m − n)_{m}(x + z)_{m}}{(1 − x − y − z − m − n)_{m}(z)_{m}}

et exprime les factorielles montantes comme des fonctions gamma, on trouve bien l’identité (3).

Remarque. — Dans un article récent, WIMP [Wi, p. 990] a établi, de façon relativement élaborée, la formule suivante :

(8) _{4}F_{3}({−n, n + x, y, z \atop x − 1, y + 1, z + 1}; 1)

= \frac{n! yz}{(y − z)(x − 1)_{n+1}} [\frac{(x − z − 1)_{n+1}}{(z)_{n+1}} − \frac{(x − y − 1)_{n+1}}{(y)_{n+1}} ]

et a avancé le fait que cette formule ne pouvait être déduite de la formule de Whipple (5 ci-dessus). C’est, en fait, possible : il suffit d’utiliser la même technique que ci-dessus, c’est-à-dire appliquer la formule de Whipple deux fois. Cette méthode a même l’avantage de fournir un q-analogue de la formule de WIMP elle-même (cf. § 5).

En effet, si l’on pose a = z, b = y, c = n + x, d = x − 1, e = y + 1 et f = z + 1 dans (5), on a immédiatement :

(9) _{4}F_{3}({−n, n + x, y, z \atop x − 1, y + 1, z + 1}; 1)

= \frac{(y + 1 − z)_{n}(1)_{n}}{(y + 1)_{n}(z + 1)_{n}}_{4}F_{3}({−n, −n − 1, x − y − 1, z \atop x − 1, z − y − n, −n}; 1).

D’autre part, on remarque que

(10) _{4}F_{3}({−n, −n − 1, x − y − 1, z \atop x − 1, z − y − n, −n}; 1)

= _{4}F_{3}({−n − 1, −n − 1, x − y − 1, z \atop x − 1, z − y − n, −n − 1} ; 1) − \frac{(x − y − 1)_{n+1}(z)_{n+1}}{(x − 1)_{n+1}(z − y − n)_{n+1}} .

Si l’on pose de nouveau a = z, b = x − y − 1, c = −n − 1, d = −n − 1, e = x − 1 et f = z − y − n dans (5), on trouve :

(11) _{4}F_{3}({−n − 1, −n − 1, x − y − 1, z \atop x − 1, z − y − n, −n − 1} ; 1)

= \frac{(x − z − 1)_{n+1}(−y − n)_{n+1}}{(x − 1)_{n+1}(z − y − n)_{n+1}} .

En reportant (10), puis (11) dans (9), on obtient l’identité (8).

3. Le modèle symétrique. — Nous avons déja démontré dans [Ze] qu’il y a un modèle symétrique pour l’identité d’Al-Salam-Fields. C’est en fait dans la recherche d’un modèle symétrique pour l’identité de Bailey que l’extension (3) a été découverte. Chassons les dénominateurs dans (3), on est conduit à l’identité polynomiale :

(12) (x + z)_{m}(y + z)_{m}(v)_{m}

×∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}(x)_{k}(y)_{k}(v+m)_{k}(v+k)_{n−k}(x+y+z+m+k)_{n−k}(z)_{n−k}

= (x + z)_{n}(y + z)_{n}(v)_{n}

×∑_{k=0}^{m} \binom{m}{k}(x)_{k}(y)_{k}(v+n)_{k}(v+k)_{m−k}(x+y+z+n+k)_{m−k}(z)_{m−k}.

Quelques notions de base sont nécessaires pour décrire le modèle combinatoire qui permet d’interpréter l’identité (12). Soient A et B deux ensembles disjoints de cardinal m et n respectivement. Rappelons d’abord que le polynôme générateur de l’ensemble des injections σ de A dans A+B par le nombre de cycles, noté cyc σ, est donné par (cf. [Fo-St]) :

(13)  ∑_{σ} a^{cyc σ} = (a + n)_{m}.

Soit E un sous-ensemble de A + B. Étant donnée une application σ de E dans A + B, un élément a de E est dit homogène si a ∈ A (resp. B) entaîne σ(a) ∈ A (resp. B). Une application tricolore de E dans A + B est définie comme étant un couple (σ, f_{σ}), où σ est une application de E dans A + B et f_{σ} une application de l’ensemble des cycles de σ dans {1, 2, 3}. Par commodité, pour chaque cycle c de σ, on appelle f_{σ}(c) la couleur de c. Dans le cas particulier où σ est une endofonction (resp. injection, resp. permutation), le couple (σ, f_{σ}) se réduit à une endofonction (resp. injection, resp. permutation) tricolore. Notons enfin cyc_{i}(σ, f_{σ}) le nombre de cycles de (σ, f_{σ}) de couleur i (i = 1, 2, 3).

Si l’on associe à (σ, f_{σ}) le poids

w((σ, f_{σ})) = α^{cyc_{1}(σ,f_{σ})}d^{cyc_{2}(σ,f_{σ})}β^{cyc_{3}(σ,f_{σ})},

il est alors facile, d’après (13), d’établir l’identité :

(14)  ∑_{(σ,f_{σ})} w((σ, f_{σ})) = (α + β + d + n)_{m},

où la sommation est étendue à toutes les injections tricolores de A dans A + B.

Considérons maintenant l’ensemble T [A, B; 1, 2, 3] de tous les triplets (φ, (σ, f_{σ}), (τ, g_{τ})), où φ est une permutation de A + B, et où (σ, f_{σ}) et (τ, g_{τ}) sont deux permutations tricolores de A + B ayant les propriétés suivantes :

(i) tous les cycles de (σ, f_{σ}) (resp. (τ, g_{τ})) de couleur 1 sont entièrement contenus dans A (resp. B) ;

(ii) tous les cycles de (σ, f_{σ}) (resp. (τ, g_{τ})) de couleur 3 sont entièrement contenus dans B (resp. A) ;

(iii) tous les cycles de (σ, f_{σ}) (resp. (τ, g_{τ})) de couleur 2 sont entièrement contenus dans l’ensemble des éléments homogènes de φ (resp. A ou B).

D’après la définition ci-dessus, chaque élément de T [A, B; 1, 2, 3] est en même temps un élément de T [B, A; 3, 2, 1] et vice versa. D’où

T [A, B; 1, 2, 3] = T [B, A; 3, 2, 1].

De façon équivalente, si l’on munit chaque triplet (φ, (σ, f_{σ}), (τ, g_{τ})) de T [A, B; 1, 2, 3] de la fonction-poids :

(15) w((φ, (σ, f_{σ}), (τ, g_{τ}))) = v^{cyc φ}x^{cyc_{1}(σ,f_{σ})}z^{cyc_{2}(σ,f_{σ})}y^{cyc_{3}(σ,f_{σ})}
x^{cyc_{1}(τ,g_{τ})}z^{cyc_{2}(τ,g_{τ})}y^{cyc_{3}(τ,g_{τ})},

alors le polynôme générateur F (A, B; x, y, z, v) de T [A, B; 1, 2, 3] par la fonction-poids ci-dessus est symétrique en (A, x) et (B, y), à savoir

(16)  F (A, B; x, y, z, v) = F (B, A; y, x, z, v).

Pour établir combinatoirement l’identité de Ramanujan-Bailey, il suffit de montrer que F (A, B; x, y, z, v) est égale à l’un des deux membres de (12) ; autrement dit, il suffit d’établir l’identité :

(17) F (A, B; x, y, z, v) = (x + z)_{m}(y + z)_{m}(v)_{m}

× ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}(x)_{k}(y)_{k}(v + m)_{k}(v + k)_{n−k}(x + y + z + m + k)_{n−k}(z)_{n−k}.

En effet, il est facile d’interpréter le second membre de l’identité (17). Pour tout sous-ensemble K de B, on note Q_{K}[A, B; 1, 2, 3] l’ensemble des triplets (φ, σ, τ) tels que :

(i) φ est une endofonction de A + B; de plus, la restriction φ_{A} à l’ensemble A est une permutation de A et la restriction φ_{B\K} (resp. φ_{K}) est une injection de B \ K dans B (resp. de K dans A + K) ;

(ii) σ (resp. τ) est une endofonction tricolore de A + B; de plus, la restriction σ_{A} (resp. τ_{A}) est une permutation tricolore de A n’ayant que des cycles de couleur 1 ou 2 (resp. 3 ou 2) ; en outre, la restriction σ_{B\K} (resp. τ_{B\K}) est une injection tricolore de B \ K dans A + B (resp. permutation tricolore de B \ K, n’ayant que des cycles de couleur 2) ; enfin, σ_{K} (resp. τ_{K}) est une permutation tricolore de K n’ayant que des cycles de couleur 3 (resp. 1).

On pose

Q[A, B; 1, 2, 3] = ⋃_{K} Q_{K}[A, B; 1, 2, 3] (K ⊆ B).

Si K est de cardinal k, on a d’après (13) et (14) :

∑_{φ} w(φ) = ∑ w(φ_{A}) ∑ w(φ_{B\K}) ∑ w(φ_{K})
= (v)_{m}(v + k)_{n−k}(v + m)_{k},
∑_{σ} w(σ) = ∑ w(σ_{A}) ∑ w(σ_{B\K}) ∑ w(σ_{K})
= (x + z)_{m}(x + y + z + m + k)_{n−k}(y)_{k},
∑_{τ} w(τ) = ∑ w(τ_{A}) ∑ w(τ_{B\K}) ∑ w(τ_{K})
= (y + z)_{m}(z)_{n−k}(x)_{k}.

Comme il y a \binom{n}{k} tels sous-ensembles K ⊆ B, la fonction génératrice de Q[A, B; 1, 2, 3] est égale à

∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}(v)_{m}(v + k)_{n−k}(v + m)_{k}

(x + z)_{m}(x + y + z + m + k)_{n−k}(y)_{k}(y + z)_{m}(z)_{n−k}(x)_{k},

qui est exactement le second membre de (17).

La démonstration consiste à construire une bijection entre le modèle symétrique T [A, B; 1, 2, 3] et le modèle Q[A, B; 1, 2, 3], dont on vient de calculer la fonction génératrice. Nous ne détaillons pas la construction de cette bijection. Le lecteur pourra retrouver toutes les étapes du passage du modèle T au modèle Q dans [Ze1, chap. 7].

4. Le q-analogue. — En utilisant le q-analogue de la transformation (5) de Whipple, la formule (3) peut se q-généraliser. Introduisons d’abord la q-factorielle montante :

(a; q)_{∞} = ∏_{n=0}^{∞}(1 − aq^{n}), (a; q)_{n} = \frac{(a; q)_{∞}}{(aq^{n}; q)_{∞}}

et la fonction hypergéométrique basique (cf. [Ba3]) :

rΦ_{s}[{a_{1}, …, a_{r} \atop b_{1}, …, b_{s}}; q, x] = ∑_{n≥0} \frac{(a_{1}; q)_{n} ⋯ (a_{r}; q)_{n}}{(b_{1}; q)_{n} ⋯ (b_{s}; q)_{n}} \frac{x^{n}}{(q; q)_{n}} .

Le q-analogue de la transformation de Whipple (cf. [Jo-St]) s’écrit :

(18) _{4}Φ_{3}[{a, b, q^{1−n}/f, q^{−n} \atop c, q^{1−n}/d, q^{1−n}/e}; q, q]

= (\frac{c}{ab})^{n} \frac{(f/d; q)_{n}(f/e; q)_{n}}{(d; q)_{n}(e; q)_{n}}_{4}Φ_{3}[{c/a, c/b, q^{1−n}/f, q^{−n} \atop c, q^{1−n}d/f, q^{1−n}e/f}; q, q],

où cf = abde.

De façon analogue, en appliquant deux fois la formule (12), on obtient :

(19) \frac{(q^{n}xyz; q)_{m}(z; q)_{m}}{(q^{n}xz; q)_{m}(yz; q)_{m}}_{4}Φ_{3}[{q^{−m}, x, y, vq^{n} \atop v, q^{n}xyz, q^{1−m}/z}; q, q],

= \frac{(q^{m}xyz; q)_{n}(z; q)_{n}}{(q^{m}xz; q)_{n}(yz; q)_{n}}_{4}Φ_{3}[{q^{−n}, x, y, vq^{m} \atop v, q^{m}xyz, q^{1−n}/z}; q, q].

Introduisons maintenant, suivant JACKSON [Ja], le q-analogue de la fonction Γ :

Γ_{q}(a) = \frac{(q; q)_{∞}}{(q^{a}; q)_{∞}} (1 − q)^{1−a}, a ∈ ℂ \ ℤ_{−}.

Dans (13), si l’on remplace x, y, z, et v par q^{x}, q^{y}, q^{z} et q^{v} respectivement, et de plus, si l’on exprime les q-factorielles montantes en q-analogue de la fonction Γ, on obtient un véritable q-analogue de (3), à savoir :

(20) \frac{Γ_{q}(x + z + m)Γ_{q}(y + z + m)}{Γ_{q}(z + m)Γ_{q}(x + y + z + m)}_{4}Φ_{3}[{q^{−n}, q^{x}, q^{y}, q^{v+m} \atop q^{v}, q^{x+y+z+m}, q^{1−n−z}}; q, q],

= \frac{Γ_{q}(x + z + n)Γ_{q}(y + z + n)}{Γ_{q}(z + n)Γ_{q}(x + y + z + n)}_{4}Φ_{3}[{q^{−m}, q^{x}, q^{y}, q^{v+n} \atop q^{v}, q^{x+y+z+n}, q^{1−m−z}}; q, q].

Comme signalé dans la remarque de la section 2, la formule de WIMP (8) peut se q-généraliser comme suit :

(21) _{4}Φ_{3}[{q^{−n}, xq^{n}, y, z \atop xq^{−1}, yq, zq}; q, q] = \frac{(q; q)_{n}(1 − y)(1 − z)}{(z − y)(xq^{−1}; q)_{n+1}}

× [z^{n+1} \frac{(x/(zq); q)_{n+1}}{(z; q)_{n+1}} − y^{n+1} \frac{(x/(yq); q)_{n+1}}{(y; q)_{n+1}} ]

ou bien encore, si on fait les substitutions x ← q^{x}, y ← q^{y}, z ← q^{z} dans (21), comme :

(22) _{4}Φ_{3}[{q^{−n}, q^{n+x}, q^{y}, q^{z} \atop q^{x−1}, q^{y+1}, q^{z+1}} ; q, q] = \frac{(q; q)_{n}(1 − q^{y})(1 − q^{z})}{(q^{z} − q^{y})(q^{x−1}; q)_{n+1}}

× [q^{(n+1)z} \frac{(q^{x−z−1}; q)_{n+1}}{(q^{z}; q)_{n+1}} − q^{(n+1)y} \frac{(q^{x−y−1}; q)_{n+1}}{(q^{y}; q)_{n+1}} ] .

Cette dernière identité se réduit à la formule (8) lorsque l’on fait tendre q vers 1.

BIBLIOGRAPHIE

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