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\input amsppt.sty

\nologo

\magnification1200
\hsize13cm
\vsize19cm

\def\al{\alpha}
\def\be{\beta}
\def\Om{\Omega}
\def\om{\omega}
\def\F{\Cal F}

\topmatter 
\title Symmetrische Potenzen zyklischer Mengen\\und\\
Produktzerlegungen von erzeugenden Funktionen
\endtitle 
\author Christian Siebeneicher
\endauthor 
\address 
Universit\"at Bielefeld, Fakult\"at f\"ur Mathematik, Postfach 8640,
D--4800 Bielefeld 1, Germany 
\endaddress

\endtopmatter
\document

Sei $a=a(t)=1+\sum _{n=1} ^{\infty}a_n\cdot t^n\in \Bbb Z[[t]]$ eine
formale Potenzreiche mit ganzzahligen Koeffizienten und mit konstantem
Glied 1. Dann gibt es bekanntlich eindeutig bestimmte unendliche
Folgen $\bold b=(b_1,b_2,\dots)$,  $\bold q=(q_1,q_2,\dots)$ und
$\bold d=(d_1,d_2,\dots)$ ganzer Zahlen, so da{\ss}
$$\align a(t)&=\prod _{n=1} ^{\infty}\left(\frac {1}
{1-t^n}\right)^{b_n}\\ 
&=\prod _{n=1} ^{\infty}\frac {1} {1-q_nt^n}\\
&=\exp\left(\int \sum _{n=1} ^{\infty}d_nt^{n-1}\,dt\right)
\endalign$$
ist.

Bekannte Beispiele solcher ,\kern-1pt,Umparametrisierungen`` sind
Eulers Produkt
$$1+\sum _{n=1} ^{\infty}p(n)\cdot t^n=\prod _{n=1} ^{\infty}\frac {1}
{1-t^n}$$
f\"ur die erzeugende Funktion der Anzahl der Partitionen und die
zyklotomische Identit\"at
$$\frac {1} {1-qt}=\prod _{n=1} ^{\infty}\left(\frac {1}
{1-t^n}\right)^{M(q,n)},$$ 
die Gau{\ss} f\"ur die Berechnung der Anzahl $M(q,n)$ der irreduziblen
Polynome vom Grade $n$ und h\"ochstem Koeffizienten 1 \"uber einem
endlichen K\"orper mit $q$ Elementen benutzte.

Es wird gezeigt, da{\ss} diese Umparametrisierungen rein
kombinatorisch mit Hilfe zyklischer Mengen (d.h. Mengen, auf denen die
unendliche zyklische Gruppe $C$ operiert) interpretiert werden
k\"onnen. Hierzu betrachtet man zu einer Folge $\bold
b=(b_1,b_2,\dots)$ ganzer Zahlen die --- m\"oglicherweise unendliche
und f\"ur negative $b_n$ auch nur virtuelle, aber bis auf
$C$-Isomorphie eindeutig bestimmte --- zyklische Menge $X=X(\bold b)$,
die genau $b_n$ Bahnen der L\"ange $n$ hat. Dann gilt:

\roster 
\item $d_n$ ist gleich der Anzahl derjenigen Elemente von $X$, die
invariant sind unter der Operation der Untergruppe $C^n$ der $n$-ten
Potenzen der Elemente von $C$, die in $C$ den Index $n$ hat.
\item $a_n$ ist die Anzahl $s^n(X)$ der $C$-invarianten Elemente der
$n$-ten symmetrischen Potenz von $X$.
\item $X$ besitzt eine eindeutig bestimmte disjunkte Zerlegung
$X=r(\bold q):=\break\sum _{n=1} ^{\infty}\text{ind}_nq_n^{(C)}$, wobei
$q_n^{(C)}$ die zyklische Menge der Kongruenzabbildungen von $C$ in
eine endliche Menge mit $q_n$ Elementen bezeichnet und
$\text{ind}_nq_n^{(C)}$ die Induktion dieser Menge relativ zur $n$-ten
Potenzabbildung $z\mapsto z^n$ von $C$ in sich ist.
\endroster

Grundlage f\"ur den Beweis dieser Aussagen ist das folgende
kommutative Diagramm:
$$\matrix W(\Bbb Z)&\overset r\to\longrightarrow &
\hat\Omega(C)& \overset s_t\to\longrightarrow&\Lambda(\Bbb Z)\\
\sideset \hbox{\eightpoint$\Phi$}\and {}\to \downarrow &&
\sideset \hbox{\eightpoint$\hat\phi$}\and {}\to \downarrow &&
\sideset \hbox{\eightpoint $L_{\Bbb Z}$}\and {}\to \downarrow \\
\prod _{\Bbb N} ^{}\Bbb Z&
\overset \text{offensichtliche}\to \longrightarrow&
gh(C)&
\overset \text{Identifizierung}\to \longrightarrow&
t\Bbb Z[[t]],
\endmatrix$$
dessen horizontale Pfeile kanonisch definierte Isomorphismen sind, in
dem $W(\Bbb Z)$ der universelle Ring der Wittvektoren ist,
$\hat\Omega(C)$ der Burnsidering der im wesentlichen endlichen
zyklischen Mengen und $\Lambda(\Bbb Z)$ Grothendiecks Ring der
formalen Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten und konstantem
Glied 1.




\enddocument
