SYMMETRISCHE POTENZEN

ZYKLISCHER MENGEN

UND

PRODUKTZERLEGUNGEN VON

ERZEUGENDEN FUNKTIONEN

Christian Siebeneicher

Sei a = a(t) = 1 + ∑_{n=1}^{∞} a_{n} · t^{n} ∈ ℤ[[t]] eine formale Potenzreiche mit ganzzahligen Koeffizienten und mit konstantem Glied 1. Dann gibt es bekanntlich eindeutig bestimmte unendliche Folgen b = (b_{1}, b_{2}, …), q = (q_{1}, q_{2}, …) und d = (d_{1}, d_{2}, …) ganzer Zahlen, so daß

a(t) = ∏_{n=1}^{∞} (\frac{1}{1 − t^{n}} )^{b_{n}}

= ∏_{n=1}^{∞} \frac{1}{1 − q_{n}t^{n}}

= exp (∫ ∑_{n=1}^{∞} d_{n}t^{n−1} dt)

ist.

Bekannte Beispiele solcher ,,Umparametrisierungen“ sind Eulers Produkt

1 + ∑_{n=1}^{∞} p(n) · t^{n} = ∏_{n=1}^{∞} \frac{1}{1 − t^{n}}

für die erzeugende Funktion der Anzahl der Partitionen und die zyklotomische Identität

\frac{1}{1 − qt} = ∏_{n=1}^{∞} (\frac{1}{1 − t^{n}} )^{M(q,n)} ,

die Gauß für die Berechnung der Anzahl M(q, n) der irreduziblen Polynome vom Grade n und höchstem Koeffizienten 1 über einem endlichen Körper mit q Elementen benutzte.

Es wird gezeigt, daß diese Umparametrisierungen rein kombinatorisch mit Hilfe zyklischer Mengen (d.h. Mengen, auf denen die unendliche zyklische Gruppe C operiert) interpretiert werden können. Hierzu betrachtet man zu einer Folge b = (b_{1}, b_{2}, …) ganzer Zahlen die — möglicherweise unendliche und für negative b_{n} auch nur virtuelle, aber bis auf C-Isomorphie eindeutig bestimmte — zyklische Menge X = X(b), die genau b_{n} Bahnen der Länge n hat. Dann gilt:

(1) d_{n} ist gleich der Anzahl derjenigen Elemente von X, die invariant sind unter der Operation der Untergruppe C^{n} der n-ten Potenzen der Elemente von C, die in C den Index n hat.

(2) a_{n} ist die Anzahl s^{n}(X) der C-invarianten Elemente der n-ten symmetrischen Potenz von X.

(3) X besitzt eine eindeutig bestimmte disjunkte Zerlegung X = r(q) := ∑_{n=1}^{∞} ind_{n}q_{n}^{(C)}, wobei q_{n}^{(C)} die zyklische Menge der Kongruenzabbildungen von C in eine endliche Menge mit q_{n} Elementen bezeichnet und ind_{n}q_{n}^{(C)} die Induktion dieser Menge relativ zur n-ten Potenzabbildung z ↦ z^{n} von C in sich ist.

Grundlage für den Beweis dieser Aussagen ist das folgende kommutative Diagramm:

W (ℤ)  ⟶^{r}  Ω̂(C)  ⟶^{s_{t}}  Λ(ℤ)
Φ↓  ϕ̂↓  L_{ℤ}↓
∏_{ℕ} ℤ

offensichtliche

⟶ gh(C)

Identifizierung

⟶ tℤ[[t]],

dessen horizontale Pfeile kanonisch definierte Isomorphismen sind, in dem W (ℤ) der universelle Ring der Wittvektoren ist, Ω̂(C) der Burnsidering der im wesentlichen endlichen zyklischen Mengen und Λ(ℤ) Grothendiecks Ring der formalen Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten und konstantem Glied 1.

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