\input amstex
\input amsppt.sty

\nologo

\magnification1200
\hsize13cm
\vsize19cm

\def\al{\alpha}
\def\be{\beta}
\def\la{\lambda}
\def\Om{\Omega}
\def\om{\omega}
\def\F{\Cal F}

\topmatter 
\title Une bijection explicative de plusieurs propri\'et\'es des ponts
\endtitle 
\author Germain Kreweras
\endauthor 
\address 
Universit\'e Pierre et Marie Curie (Paris VI)
\endaddress

\endtopmatter
\document

Nous avons \'etabli en 1970, par des d\'enombrements appropri\'es, que
les {\it ponts} de {\it port\'ee} $n$ poss\'edent notamment les
propri\'et\'es suivantes \cite{1}.

\roster 
\item "($\al$)" ceux qui ont $k$ {\it arches} sont aussi nombreux que
ceux qui commencent par $k$ {\it \'etapes ascendantes}.
\item "($\be$)" ceux qui ont $k$ {\it paliers} sont aussi nombreux que
ceux qui ont $n-k+1$ paliers.
\item "($\gamma$)" ceux de {\it degr\'e} $k$ sont aussi nombreux que
ceux de {\it hauteur} $k$.
\endroster

J. Vaill\'e vient de d\'efinir sur l'ensemble $\Cal P_n$ des ponts de
port\'ee $n$ une bijection assez simple $\om$ qui fait correspondre
\`a tout pont $P$ ayant $\al$ arches, $\be$ paliers, et pour degr\'e
$\gamma$ un pont $\om(P)$ commen\c cant par $\al$ \'etapes
ascendantes, ayant $n-\be+1$ paliers et pour hauteur $\gamma$.

L'outil central consiste \`a coder $P$ par une suite de $n$ entiers
dont le $h$-i\`eme est la distance (verticale) \`a la diagonale, soit
$c_h$, du point de d\'epart de la $h$-i\`eme \'etape horizontale. La
bijection inverse $\om^{-1}$ peut alors se d\'ecrire comme suit:

\roster 
\item "(1*)" partir du code $c_1c_2\dots c_n$ de $\om(P)$, o\`u
l'entier $\la$ appara\^\i t $i_\la$ fois.
\item "(2*)" construire un pont $S$ (dit ``pur"), de port\'ee $n$,
dont la $\la$-i\`eme arche est form\'ee de $i_\la$ \'etapes
descendantes, et appeler $A_\la$ l'extr\'emit\'e de la {\it
premi\`ere} \'etape horizontale de cette arche de $S$.
\item "(3*)" joindre $A_\la$ \`a $A_{\la+1}$, en faisant correspondre
une \'etape horizontale \`a chaque $\la$ et une \'etape verticale \`a
chaque $\la+1$.
\endroster

La mise bout \`a bout de ces chemins, compl\'et\'ee par les $i_1+1$
premi\`eres \'etapes de $S$ et un prolongement jusqu'au point final
$(n,n)$, fournit le pont $P$.

La bijection $\om$ fait en outre correspondre \`a l'op\'eration
appel\'ee {\it d\'erivation} l'op\'e\-ra\-ti\-on (introduite par Y.~Poupard
\cite{2}) appel\'ee {\it compression}.




\Refs
\ref\key 1\by KREWERAS G.\paper Sur les \'eventails de segments\jour
Cahiers du BURO\vol 15\yr 1970\pages 3--41\endref

\ref\key 2\by POUPARD Y.\paper Sur les quasi-ponts\jour Cahiers du
BURO\vol 32\yr 1979\pages 3--20\endref

\ref\key 3\by VAILL\'E J.\paper communication personelle\endref


\endRefs





\enddocument
