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\def\iii{i_1,\ldots,i_h}
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\def\wex{\mathop{{\rm ^*exp}}\nolimits}
%tableau
  \def\trait{\noalign{\hrule}}
  \def\tv{\vrule height 12pt depth 5pt}

\auteurcourant={H. GAUDIER}
\titrecourant={VECTEURS DE WITT}

\vglue 1.5cm
\centerline{{\bf   REL\`EVEMENT DES COEFFICIENTS BIN\^OMIAUX}}
\vskip 5pt
\centerline{{\bf DANS LES VECTEURS DE WITT}}
\vskip 1cm
\centerline{{\petcap Henri} GAUDIER}
\centerline{{\it (Strasbourg)}}
\vskip 1.5cm
Le but de ce travail est de pr\'esenter certains \'el\'ements de
l'anneau  ${\bf W({\bboard  Z})}$ des (gros) vecteurs de Witt \`a
coefficients dans $\bboard  Z$  qui jouissent de propri\'et\'es tr\`es
comparables \`a celles des coefficients bin\^omiaux : on
d\'emontre ainsi une formule du bin\^ome et une formule de
Pascal. Avec ces \'el\'ements  on peut construire une ${\bf
W}({\bboard  Z})$-alg\`ebre de puissances fractionnaires  divis\'ees.

\section 0. Rappels et notations|Rappelons tout d'abord la
construction classique des vecteurs de Witt \`a coefficients
dans un anneau $A$ commutatif unif\`ere  quelconque (\cf.~[C],
[DG], [Gr], [H], [L], [B] auxquels nous renvoyons le lecteur pour
davantage de d\'etails ; les travaux plus  r\'ecents [DS], [MR]
font intervenir d'autres constructions qui ne  seront pas
utilis\'ees ici).

On consid\`ere l'ensemble ${\bf W}(A)=A^{{\bboard  N}^*}$, le
groupe  $\Lambda (A)=1+T\,A[[T]]$, groupe multiplicatif des
s\'eries formelles \`a coefficients dans $A$ de terme constant
\'egal \`a 1, et l'anneau ${\rm gh}(A)=A^{{\bboard  N}^*}$ avec
sa structure d'anneau produit. On  a alors le diagramme
commutatif : $$\matrix{
{\bf W}(A)&\hfl{e}&\Lambda  (A)\cr
\noalign{\vskip 2mm}
\vfl{w}&&\vfl{\partial  }\cr
{\rm gh}(A)&\hfl{\iota  }&A[[T]]\cr
}$$
\noindent o\`u les applications sont d\'efinies par :
$$\eqalignno{
e(a_1,\ldots,a_n,\ldots)&=\prod  _{n\geq  1}{1\over  1-a_nT^n}\cvirg\cr
\partial  (s(T))={s'(T)\over  s(T)}&={d\over  dT}\ln s(T),\cr
\iota  (c_1,\ldots,c_n,\ldots)&=\sum  _{n\geq  1}c_nT^{n-1},\cr
w_r(a_1,\ldots,a_n,\ldots)&=\sum  _{d|r}d\,a_d^{r/d}.\cr
}$$

On sait que $e$ et $\iota $ sont toujours des bijections, que $w$
et $\partial $ le sont si $A$ est une alg\`ebre sur $\bboard  Q$,
et dans ce cas on~a :
$$\partial ^{-1}(u(T))=\exp\bigl(\int_0^T u(T)dT\bigr).$$

On sait \'egalement qu'il existe sur ${\bf W}(A)$ et $\Lambda
(A)$ une unique  structure d'anneau telle que les quatre
applications ci-dessus soient des morphismes d'anneaux. On
prend  pour cela dans $A[[T]]$ l'addition usuelle et le produit
d'Hadamard ($\sum  u_nT^n\times \sum  v_nT^n= \sum 
u_nv_nT^n$). Dans $\Lambda (A)$ la somme est le produit des
s\'eries  formelles et le produit est l'unique op\'eration not\'ee
$*$, distributive par rapport \`a la somme dans $\Lambda (A)$ et
telle que : 
$${1\over  1-xT}*{1\over  1-yT}={1\over 
1-xy\,T}\cdotp$$

On notera $\sigma :A\rightarrow {\bf W}(A)$ le morphisme de Teichmuller d\'efini par :
$\sigma (a)=(a,0,\ldots)$. Ce morphisme est compatible avec la 
multiplication et on~a :
$$\displaylines{w\bigl(\sigma  (a)\bigr)
=(a,a^2,\ldots,a^n,\ldots),\cr
e\bigl(\sigma  (a)\bigr)={1\over  1-aT}\cvirg\cr
\sigma  (a).(x_1,\ldots,x_n,\ldots)
=(ax_1,\ldots,a^nx_n,\ldots).\cr
}$$

Pour $n\geq 1$ on appelle morphismes de d\'ecalage, et on note
$V_n$ les morphismes de $\Lambda (A)$ d\'efinis par : 
$V_n\bigl(s(T)\bigr)=s(T^n)$. On note \'egalement $V_n$ les
morphismes obtenus en transportant $V_n$ par les morphismes
$e$, $\partial $ et $w$. On a donc dans ${\bf W}(A)$ :
$$V_n(a_1,\ldots,a_n,\ldots)= (\underbrace{0,\ldots,0}_{n-1\
{\rm fois}}, a_1,\underbrace{0,\ldots,0}_{n-1\ {\rm fois}},
a_2,0\ldots),$$
\noindent dans ${\rm gh}(A)$ on~a :
$$V_n(c_1,\ldots,c_n,\ldots)=
(\underbrace{0,\ldots,0}_{n-1\ {\rm fois}},
nc_1,\underbrace{0,\ldots,0}_{n-1\ {\rm fois}},
nc_2,0\ldots),$$
\noindent et dans $A[[T]]$ :
$$V_n\bigl(u(T)\bigr)=nT^{n-1}u(T^n).$$
Les morphismes de d\'ecalage sont des endomorphismes des groupes 
additifs des quatre anneaux consid\'er\'es.

On appelle morphismes de Frobenius, et on note $F_n$ les uniques
endomorphismes des quatre anneaux tels que :

\qquad dans ${\bf W}(A)$ \qquad 
$F_n\bigl(\sigma (a)\bigr)=\sigma (a^n)$,

\qquad dans $\Lambda (A)$ \qquad $F_n\bigl((1-aT)^{-1}\bigr)
=(1-a^nT)^{-1}$,

\qquad dans ${\rm gh}(A)$ \qquad $F_n(c_1,c_2,\ldots)=
(c_n,c_{2n},\ldots).$

Les morphismes $F_n$ et $V_n$ v\'erifient les relations :
$$\displaylines{
V_nV_m=V_{nm}, \qquad F_nF_m=F_{nm},\cr
V_nF_m=F_mV_n \quad {\rm si}\ (m,n)=1,\cr
V_n\bigl(x\,F_n(y)\bigr)=V_n(x)\,y,\cr
F_nV_n=n\,Id, \qquad V_nF_n(x)=V_n(1)\,x,\cr
\bigl({\rm dans}\ \Lambda (A)\ :\ F_nV_n\bigl(s(T)\bigr)
=s(T)^n,\quad 
V_nF_n\bigl(s(T)\bigr)=(1-T^n)*s(T)\;\bigr).\cr
}$$

On d\'esignera par $(i,j)$ et par $[i,j]$ le pgcd et le ppcm des
deux entiers $i$ et $j$, par $\bin{i,j}$ le coefficient bin\^omial
${\displaystyle i+j}\choose {\displaystyle i}$ et par
 $\bin{i_1,\ldots,i_r}$ le coefficient multin\^omial
 ${\displaystyle i_1+\cdots+i_r} \choose 
{\displaystyle i_1,\ldots,i_r}$. Enfin ${\bboard  Q}_+$
d\'esignera l'ensemble des nombres rationnels positifs ou nuls,
et si $i$ et $j$ sont deux rationnels, $d(i)$ d\'esignera le
d\'enominateur de $i$ et on posera $d(i,j)=[d(i),d(j)]$.

\sectiona 1. Coefficients $*$-bin\^omiaux 
et formule du $*$-bin\^ome|

\th D\'EFINITION|1.1|Soient $i$ et $j$ dans $\bboard  N$ on
appelle  coefficient $*$-bin\^omial et on note $\wb {i,j}$ le
vecteur de Witt \`a coefficients dans $\bboard  Q$ tel que
$w_n\bigl(\wb{i,j}\bigr)= \bin{ni,nj}$.\finth 

Dans ce paragraphe on montrera que ces coefficients
$*$-bin\^omiaux ont toutes leurs composantes enti\`eres, et
cela nous conduira \`a d\'emontrer une formule du bin\^ome pour
ces coefficients.

Remarquons tout d'abord qu'il r\'esulte imm\'ediatement de la
d\'efinition que
$$F_k\bigl(\wb{i,j}\bigr)=\wb{ki,kj}.\eqno (1.1.1)$$
On va alors \'etendre la d\'efinition des coefficients 
$*$-bin\^omiaux \`a des indices fractionnaires.

\th D\'EFINITION|1.2|Soient $i$ et $j$ dans\ ${\bboard  Q}_+$ on
appelle  \'egalement coefficient $*$-\nobreak bin\^omial le
vecteur de Witt  \`a coefficients dans $\bboard  Q$
$$\wb{i,j}={1\over d(i,j)}V_{d(i,j)}\bigl(\wb{i\,d(i,j),j\,d(i,j)}\bigr).
\eqno (1.2.1)$$
\finth

Il est facile de v\'erifier que la formule (1.1.1) reste vraie si 
$i$ et $j$ sont des rationnels. En particulier on~a :
$$F_{d(i,j)}\bigl(\wb{i,j}\bigr)=\wb{i\,d(i,j),j\,d(i,j)}.
\eqno(1.2.2)$$
Il est \'egalement facile de voir que l'on~a :
$$\eqalignno{w_n\bigl(\wb{i,j}\bigr)&=\bin{ni,nj}\qquad{\rm si}
\quad d(i,j)|\,n,&(1.2.3)\cr
&=0\qquad\qquad{\rm sinon}.\cr}$$
On remarquera \'egalement que 
$\wb{0,i}={\dst 1\over \dst d(i)}V_{d(i)}(1)$.

\th PROPOSITION|1.3|Soit $k\in {\bboard  N}^*$ alors dans ${\bf
W}({\bboard  Q}[X,Y])$  on a l'\'egalit\'e :
$$\sigma \bigl((X+Y)^k\bigr)=\sum _{d\in {\bboard  N}^*}\,\sum
_{i,j} V_d\Bigl({1\over d}\wb{i,j}\,\sigma (X^iY^j)\Bigr),\eqno
(1.3.1)$$ 
o\`u la somme est \'etendue aux indices $i$ et $j$
entiers tels que  $i+j=k\,d$\ et $(i,j,d)=1$.\finth

Puisque l'on est en caract\'eristique 0, il suffit de transformer
les  deux membres par $w$. Or si on d\'esigne par $D$ le membre
de droite,  on~a :
$$\eqalignno{w_n(D)&=
\sum _{d\in {\bboard  N}^*}\sum _{i,j}w_nV_d\Bigl({1\over
d}\wb{i,j}\,\sigma (X^iY^j)\Bigr),\cr &=\sum _{d|n}\sum
_{i,j}w_nV_d\Bigl({1\over d}\wb{i,j}\,\sigma (X^iY^j)\Bigr), \cr
&=\sum _{d|n}\sum _{i,j}w_{n/d}\bigl(\wb{i,j}\,\sigma
(X^iY^j)\bigr),\cr &=\sum _{d|n}\sum
_{i,j}w_{n/d}\bigl(\wb{i,j}\bigr)
                         w_{n/d}\bigl(\sigma (X^iY^j)\bigr),\cr
&=\sum _{d|n}\sum _{i,j}\bin{ni/d,nj/d}\,X^{in/d}Y^{jn/d},\cr
&=\sum _{ld=n}\sum _{\scriptstyle i+j=dk \atop\scriptstyle (i,j,d)=1}
            \bin{li,lj}\,X^{li}Y^{lj},\cr
&=\sum _{\scriptstyle li+lj=nk \atop\scriptstyle (li,lj,n)=l}
            \bin{li,lj}\,X^{li}Y^{lj},\cr
&=(X+Y)^{nk}=w_n\bigl(\sigma (X+Y)^k\bigr).\cr
}$$

\ssection {\rm 1.4}|Notons alors $\wb{i,j;d}_r$ les composantes
de  ${\displaystyle 1\over \displaystyle d}\wb{i,j}$,
on a alors :

\th COROLLAIRE||Dans $\Lambda ({\bboard  Q}[X,Y])$ on a
l'identit\'e : $${1\over 1-(X+Y)^kT}=
\prod _{\scriptstyle d\geq 1 \atop\scriptstyle r\geq 1}
\prod _{\scriptstyle i+j=dk \atop\scriptstyle (i,j,d)=1}
{1\over 1-\wb{i,j;d}_r\,X^{ri}Y^{rj}T^{rd}}\cdotp\eqno(1.4.1)$$\finth
Cette identit\'e s'obtient en appliquant \`a (1.2.1)
l'isomorphisme $e$.

\th COROLLAIRE|1.5|{\bf a}) Si $i$, $j$ et $d$ sont des entiers 
tels que $d$ divise $i+j$ et que $(i,j,d)=1$ alors 
${\displaystyle 1\over \displaystyle d}\wb{i,j}$ est dans 
${\bf W}({\bboard  Z})$ ;

{\bf b}) Si $i$ et $j$ sont dans ${\bboard  Q}_+$ et si $i+j$ est
entier, alors  $\wb{i,j}$ est dans ${\bf W}({\bboard  Z})$.\finth

En effet pour tout entier $k$ il existe une unique
d\'ecomposition 
$$1-(X+Y)^kT=\prod _{s\geq 1}\prod _{\alpha
+\beta =ks}(1-u_{\alpha ,\beta }X^\alpha Y^\beta T^s),
$$ 
et il est clair que les $u_{\alpha ,\beta }$ sont des entiers. Or
la formule  (1.4.1) nous donne une telle d\'ecomposition, par
cons\'equent si $i$ et $j$ sont des entiers si $d|\,i+j$ et si
$(i,j,d)=1$ alors les $\wb{i,j;d}_r$ sont entiers, donc 
${\displaystyle 1\over \displaystyle d}\wb{i,j}$ est dans ${\bf
W}({\bboard  Z})$, ce qui d\'emontre {\bf a}). Et
$\wb{i/d,j/d}=V_d \bigl({\dst 1\over \dst d}\wb{i,j}\bigr)$ est
aussi dans ${\bf W}({\bboard  Z})$,  ce qui d\'emontre {\bf b}).

\th COROLLAIRE|1.6 (Formule du bin\^ome)|Soit $k$ dans
${\bboard  Q}_+$ on a la relation : $$\wb{0,k}\,\sigma (X+Y)^k=
\sum _{\scriptstyle i+j=k \atop\scriptstyle i,j\in {\bboard 
Q}_+} \wb{i,j}\,\sigma (X^iY^j).\eqno (1.6.1)$$
\finth

Remarquons qu'une telle formule fait appara\^\i tre des
puissances  fractionnaires de $X$ et $Y$. Ceci n'est qu'apparent
car lorsqu'on fait le produit $\wb{i,j}\,\sigma (X^iY^j)$, puisque
$\wb{i,j}$ est dans l'image de $V_{d(i,j)}$ ses composantes sont
nulles sauf celles d'indice un multiple de $d(i,j)$. N'appara\^\i
tront alors que  des puissances de $(X^iY^j)^{d(i,j)}$ qui sont
des puissances enti\`eres en $X$ et $Y$. Une remarque analogue
peut \^etre faite pour le premier membre, ce qui fait que l'on
peut consid\'erer que la relation (1.6.1) est \'ecrite dans ${\bf
W}({\bboard  Z})$.

Si $k$ est entier il suffit de remplacer les coefficients
$*$-bin\^omiaux fractionnaires par leur d\'efinition pour 
constater que (1.6.1) n'est qu'une r\'e\'ecriture de (1.3.1).
Lorsque $k$ n'est pas entier, on constate qu'il suffit de
v\'erifier l'identit\'e  apr\`es transformation par $F_{d(k)}$, et
on est ramen\'e au cas  pr\'ec\'edent.

\ssection {\rm 1.7}|On peut d\'eduire de (1.6.1) des relations
entre les coefficients  $*$-bin\^omiaux comme on le fait \`a
partir de la formule classique du bin\^ome. Par exemple, si dans
(1.6.1) on remplace $X$ et $Y$ par 1, on obtient :
$$\wb{0,k}\sigma (2^k)=\sum _{i+j=k}\wb{i,j}.$$ 

%fin

\section 2. Coefficients 
$*$-multin\^omiaux et $*$-factorielles|La d\'efinition des
coefficients $*$-bin\^omiaux peut s'\'etendre aux coefficients
multin\^omiaux. On pourra alors d\'efinir une notion de
$*$-factorielle, cela permettra d'exprimer les coefficients
$*$-bin\^omiaux et $*$-multin\^omiaux en fonctions des
$*$-factorielles par des formules classiques.

\th D\'EFINITION|2.1|Soient $i_1,\ldots,i_h$ des entiers, on
appelle coefficient $*$-multin\^omial et on note
$\wb{i_1,\ldots,i_h}$ le  vecteur de Witt \`a coefficients dans
$\bboard  Q$ tel que :
$$w_n\bigl(\wb{i_1,\ldots,i_h}\bigr)=\bin{ni_1,\ldots,ni_h}.$$

Si $i_1,\ldots,i_h$ sont dans ${\bboard Q}_+$, et si
$d=d(i_1,\ldots,i_h)= [d(i_1),\ldots,d(i_h)]$, on posera :
$$\wb{\iii}={1\over d}V_d\bigl(\wb{di_1,\ldots,di_h}\bigr).$$
\finth

Les r\'esultats du paragraphe 1 se g\'en\'eralisent alors 
imm\'ediatement :

\tha PROPOSITION|2.2|
{\bf a)} {\rm (formule du multin\^ome)} Pour tout $k$ dans 
${\bboard  Q}_+$ :
$$\wb{0,k}\sigma (X_1+\cdots+X_h)^k=
\sum _{\scriptstyle i_1+\cdots+i_h
=k\atop \scriptstyle \iii\in {\bboard  Q}_+}
\wb{\iii}\sigma (X_1^{i_1}\ldots X_h^{i_h}) \,;$$

{\bf b)} Si $i_1+\cdots+i_h\,\in \,{\bboard  N}$, alors
$\wb{\iii}\,\in \,{\bf W}({\bboard  Z})$. \fintha

\th D\'EFINITION|2.3|Soit $h$ dans $\bboard  N$, on appelle
$*$-factorielle de $h$ le vecteur de Witt
$$^*h!=\wb{\underbrace{1,\ldots,1}_{h\ {\rm fois}}}.$$
\finth
On a donc $w_n(^*h!)=\bin{\underbrace{n,\ldots,n}_{h\ {\rm fois}}}=
{\displaystyle nh!\over \displaystyle n!^h}$ , et en particulier 
$w_1(^*h!)=h!$.

\th PROPOSITION|2.4|Pour $\iii , k$ et $n$ dans $\bboard  N$ on~a :
$$\eqalignno{
\wb{\iii}&={^*(i_1+\cdots+i_h)!
\over ^*i_1!\ldots^*i_h!}\cvirg&(2.4.1)\cr
F_k(^*n!)&={^*kn!\over ^*k!^n}\cdotp&(2.4.2)\cr
}$$\finth
Pour d\'emontrer 2.4.1, appliquons $w_n$ au second membre, il vient :
$$w_n\left({^*(i_1+\cdots+i_h)!
\over ^*i_1!\ldots^*i_h!}\right)=
{\bigl(n(i_1+\cdots+i_h)\bigr)!
\over n!^{i_1+\cdots+i_h}}\cdot
{n!^{i_1}\over (ni_1)!}\cdots{n!^{i_h}\over (ni_h)!} \cdotp
$$
Apr\`es simplification on obtient bien $w_n\bigl(\wb{\iii}\bigr)$. 
Pour la formule 2.4.2 on a $F_k(^*n!)=
F_k\bigl(\wb{1,\ldots,1}\bigr)=\wb{k,\ldots}$ 
et on applique 2.4.1.

\ssection {\rm 2.5}|Pour obtenir une g\'en\'eralisation de 2.4
lorsque $\iii$ sont dans  ${\bboard  Q}_+$, il faut d\'efinir les
$*$-factorielles de rationnels.  Soit alors $i\in {\bboard 
Q}_+$ posons : 
$$^*i!={1\over d(i)}V_{d(i)}\left({^*id(i)!\over
^*d(i)!^i}\right)\cdotp \eqno (2.5.1)$$
Alors $^*i!$ est un vecteur de Witt \`a coefficients dans une 
extension convenable de $\bboard  Q$ ({\bboard  R} par exemple), puisqu'il 
a fallu prendre des puissances fractionnaires. 
Remarquons que l'on~a :
$$F_{d(i)}(^*i!)={^*id(i)!\over ^*d(i)!^i}\cvirg$$
et donc
$$F_{kd(i)}(^*i!)=F_k\left({^*id(i)!\over ^*d(i)!^i}\right)
={^*ikd(i)!\over ^*k!^{id(i)}}\cdot 
\left({^*k!^{d(i)}\over ^*kd(i)!}\right)^i
={^*ikd(i)!\over ^*kd(i)!^i} \cvirg
$$
ce qui g\'en\'eralise bien 2.4.2. La formule 2.4.1 devient alors :

\th PROPOSITION|2.6|Soient $\iii$ dans ${\bboard  Q}_+$ et
$d=d(\iii)$,  alors :
$$\wb{\iii}={\wb{0,d^{-1}}
^*(i_1+\cdots+i_h)!\over ^*i_1!\ldots^*i_h!}\,\cdot \eqno (2.6.1)$$
\finth
On a en effet :
$$\eqalign{
\wb{\iii}&={1\over d}V_d\bigl(\wb{di_1,\ldots,di_h}\bigr)\cr
&={1\over d}V_d\left({^*\bigl(d\,(i_1+\cdots+i_h)\bigr)!\over 
^*di_1!\ldots^*di_h!}\right).\cr
}$$
En utilisant la g\'en\'eralisation de 2.4.2, on a alors :
$$\eqalign{
\wb{\iii}&={1\over d}V_d
\left({F_d\bigl(^*(i_1+\cdots+i_h)!\bigr)\,^*d!^{i_1
+\cdots+i_h}
\over F_d(^*i_1!)\,^*d!^{i_1}\ldots 
F_d(^*i_h!)\,^*d!^{i_h}}\right)\cvirg\cr
&={1\over d}V_dF_d
\left({^*(i_1+\cdots+i_h)!\over ^*i_1!\ldots^*i_h!}\right)
\cvirg\cr
&={1\over d}V_d(1)\cdot{^*(i_1+\cdots+i_h)!\over 
^*i_1!\ldots^*i_h!}\cdot\cr
}$$

\ssection {\rm 2.7.} Remarque|La formule 2.6.1 est impr\'ecise. En
effet les $*$-factorielles qui  appara\^\i ssent au
d\'enominateur ne sont pas inversibles : leurs 
composantes-fant\^omes comportent beaucoup de z\'eros,
puisque  $^*i!$ est construit \`a l'aide de $V_{d(i)}$. Mais la
multiplication  du num\'erateur par $\wb{0,d^{-1}}$ fait
appara\^\i tre dans celui-ci  les m\^emes
composantes-fant\^omes nulles que dans le d\'enominateur  et
dans le coefficient $*$-multin\^omial.

\ssection {\rm 2.8}|Terminons ce paragraphe par une
propri\'et\'e de divisibilit\'e des  $*$-factorielles :

\th PROPOSITION||Soit $k$ un entier alors $^*k!/k!$ est dans
${\bf W}({\bboard  Z})$.\finth

D'apr\`es 2.4.1 on a en effet :
$$\wb{k-1,1}\,\wb{k-2,1}\,\ldots\,\wb{1,1}=^*k!.$$
Or pour tout entier $i$, on~a :
$$\wb{\,{i-1\over i},{1\over i}\,}=
{1\over i}V_i\bigl(\wb{i-1,1}\bigr),$$ ce qui montre que
$\wb{i-1,i}$ est divisible par $i$ dans ${\bf W}({\bboard  Z})$.

Remarquons que l'on a $w_n(^*k!/k!)=\bin{n,\ldots,n}/k!=
{\displaystyle nk!\over \displaystyle k!\,n!^k}$. 
Ce coefficient (entier) intervient dans la th\'eorie 
des puissances divis\'ees (\cf.~[Be], [R]). 

\section 3. La formule de Pascal|Il est bien connu que les
coefficients bin\^omiaux ordinaires v\'erifient  la relation
$\bin{i,j}=\bin{i-1,j}+\bin{i,j-1}$, qui permet, lorsque les
coefficients sont rang\'es dans le triangle de Pascal, de 
calculer chaque coefficient comme somme de deux coefficients
situ\'es  sur la ligne sup\'erieure. En r\'ep\'etant le
proc\'ed\'e, on peut exprimer  un coefficient bin\^omial en
fonction de ceux qui se trouvent $m$ lignes plus haut (\cf.~[K]) :
$$
\bin{i,j}=\sum _{k+l=m}\bin{k,l}\,\bin{i-k,j-l}\qquad {\rm
si}\ m\leq i+j. \eqno (3.0.2)
$$  
C'est cette formule que nous
allons \'etendre aux coefficients  $*$-bin\^omiaux.

\th PROPOSITION|3.1|Soient $i$ et $j$ des entiers tels que $m\leq
i+j$  alors :
$$\wb{i,j}=\!\sum _{\scriptstyle k+l
=m \atop \scriptstyle k,l,i-k,j-l
\in {\bboard  Q}_+}
\!\!\!\!\wb{k,l}\,\wb{i-k,j-l}. \eqno (3.1.1)$$
\finth
Il suffit pour le d\'emontrer d'appliquer $w_n$ aux deux membres. Si 
$d$ est le d\'enominateur de $k,l,i-k$ et $j-l$ on obtient :
$$\eqalignno{
X&=w_n\left(\sum \wb{k,l}\,\wb{i-k,j-l}\right),\cr
 &=\sum w_n\bigl(\wb{k,l}\bigr)w_n\bigl(\wb{i-k,j-l}\bigr),\cr
 &=\sum _{\scriptstyle k+l=m \atop \scriptstyle d\,|\,n}
    \bin{nk,nl}\bin{ni-nk,nj-nl}\,;\cr
\noalign{\noindent ce qui s'\'ecrit, si l'on pose $k'=nk$, $l'=nl$ 
et $m'=nm$ :}
 &=\sum _{k'+l'=m'}\bin{k',l'}\bin{ni-k',nj-l'},\cr
 &=\bin{ni,nj}.\cr }$$

\section 4. Alg\`ebre des puissances fractionnaires
divis\'ees|Soit $A$ un anneau (commutatif avec 1) ; si on
d\'esigne par $P(A)$  le groupe $A^{\bboard  N}$, de base
canonique $\varepsilon _i$, muni de la  multiplication
$(x\,\varepsilon _i)(y\,\varepsilon _j)=\bin{i,j}xy\,\varepsilon
_{i+j}$, on sait que  $P(A)$ est une alg\`ebre sur $A$ appel\'ee
alg\`ebre des puissances  divis\'ees, car si $A$ est une
alg\`ebre sur $\bboard  Q$ on a $\varepsilon _i=\varepsilon
_1^i/i!$,  et donc $P(A)$ est isomorphe \`a $A[[\varepsilon
_1]]$. Dans ce paragraphe nous allons \'etendre cette
construction \`a des  puissances fractionnaires en utilisant les
coefficients  $*$-multin\^omiaux.

\th D\'EFINITION|4.1|Soit $A$ une alg\`ebre sur $\bboard  Q$, le
groupe ${\bf W}P(A)={\bf W}(A)^{{\bboard  Q}_+}$, de base
canonique $(f_i)$, muni de la  multiplication
$$(x\,f_i)(y\,f_j)=\wb{i,j}xy\,f_{i+j},$$
est appel\'e la pseudo-alg\`ebre des puissances fractionnaires divis\'ees.
\finth

Il est facile de voir que cette alg\`ebre est associative et
 commutative, mais il n'y a pas d'\'el\'ement unit\'e : le seul
candidat  possible est $f_0$ et : 
$$f_0\cdot y\,f_j=\wb{0,j}y\,f_j\neq y\,f_j.$$

\ssection {\rm 4.2}|La pseudo-alg\`ebre ${\bf W}P(A)$ a pourtant
des propri\'et\'es analogues  \`a celles de l'alg\`ebre des
puissances divis\'ees ordinaires : 

\th PROPOSITION||Si $i$ et $j$
sont dans ${\bboard  Q}_+$ , $$(x\,^*i!\,f_i)\,(y\,^*j!\,f_j)=
\wb{0,d(i,j)^{-1}}\,xy\,^*(i+j)!\,f_{i+j}.$$
\finth
Cela d\'ecoule imm\'ediatement de 2.6.1.

On voit donc qu'on ne retrouve la formule classique que pour les 
indices entiers : dans ce cas $x^i\,^*i!\,f_i=(x\,f_1)^i$. 
Pour un indice fractionnaire on aura :
$$\bigl(x^i\,^*i!\,f_i\bigr)^{d(i)}=\wb{0,i}(x\,f_1)^{id(i)}.$$

\ssection {\rm 4.3}|Consid\'erons alors $\wa(A)$ une autre copie de 
${\bf W}(A)^{{\bboard  Q}_+}$, notons $(e_i)$ sa base canonique,
et  consid\'erons le morphisme
$$\eqalign{
\varphi \ :\ \wa(A)&\rightarrow {\bf W}P(A)\cr
    x\,e_i&\mapsto {1\over d(i)}V_{d(i)}(x)\,f_i.\cr
}$$
On a alors :

\th LEMME||Le morphisme $\varphi $ est injectif et son image est
\'egale \`a  $f_0\,{\bf W}P(A)$ ; c'est une alg\`ebre sur ${\bf
W}(A)$ d'\'el\'ement unit\'e  $f_0=\varphi (e_0)$.
\finth

On a en effet :
$$\varphi (x\,e_i)={1\over d(i)}V_{d(i)}(x)f_i
=f_0\,{1\over d(i)}V_{d(i)}(x)f_i,$$
et donc $\varphi (\wa(A))\subset f_0\,{\bf W}P(A)$ ; 
et inversement
$$f_0\,yf_i={1\over d(i)}V_{d(i)}(1)y\,f_i=
{1\over d(i)}V_{d(i)}\bigl(F_{d(i)}(y)\bigr)f_i
=\varphi \bigl(F_{d(i)}(y)e_i\bigr).$$ 
Et le reste du lemme est imm\'ediat.

\ssection {\rm 4.4}|Puisque le morphisme $\varphi $ est injectif,
on peut transporter la  multiplication sur $\wa(A)$ qui devient
ainsi une ${\bf W}(A)$-alg\`ebre pour toute 
$\bboard  Q$-alg\`ebre~$A$. 

\th TH\'EOR\`EME||L'alg\`ebre $\wa(A)$ est d\'efinie pour
tout anneau  commutatif $A$. On l'appellera l'alg\`ebre des
puissances  fractionnaires divis\'ees.\finth

Reprenant le calcul pr\'ec\'edent, on voit que l'on a dans 
$\wa(A)$ :
$$\displaylines{\quad
(xe_i)(ye_j)=V_{\delta (i,j)}\Bigl(
{1\over \delta (i,j)}\,\wb{id(i,j),jd(i,j)}F_{d(i,j)/d(i)}(x)\hfill\cr
\hfill{}\times
F_{d(i,j)/d(j)}(y)
\Bigr)e_{i+j}. \quad(4.4.1)\cr}
$$
o\`u $\delta (i,j)=d(i,j)/d(i+j)$.

Or $id(i,j)$ et $jd(i,j)$ sont premiers entre eux, et $\delta (i,j)$
divise  leur somme, d'apr\`es (1.5.a) ; $\wb{id(i,j),jd(i,j)}/\delta
(i,j)$ est  donc dans ${\bf W}({\bboard  Z})$. La formule 4.4.1
d\'efinit donc une multiplication sur $\wa(A)$ pour tout anneau
$A$. Par le principe  du prolongement alg\'ebrique des
identit\'es, $\wa(A)$ est donc une  alg\`ebre sur ${\bf W}(A)$
pour tout anneau $A$.

\th PROPOSITION 4.5||Pour tout anneau $A$, l'application
$$\eqalign{\wex : A&\rightarrow \wa(A)\cr
  x&\mapsto \sum _{i\in {\bboard  Q}_+}\sigma
(x^{id(i)})e_i\cr}$$ 
v\'erifie la relation :
$$ \wex(a+b)=\wex a\;\wex b.$$
\finth

On a en effet :
$$\eqalign{
\varphi \bigl(\sigma (x^{id(i)})e_i\bigr)
&={1\over d(i)}V_{d(i)}\bigl(\sigma (x^{id(i)})\bigr) f_i,\cr
&={1\over d(i)}V_{d(i)}(1)\sigma (x^i)f_i,\cr}
$$
avec un abus d'\'ecriture (\cf.~1.6). Par cons\'equent :
$$\eqalignno{\varphi \bigl(\wex(a)\,\wex(b)\bigr)
&=\varphi (\wex a)\varphi (\wex b),\cr
&=\sum _{i,j\in {\bboard  Q}_+}\left(\wb{0,i}\sigma
(a^i)f_i\right)
                          \left(\wb{0,j}\sigma (a^j)f_j\right),\cr
&=\sum _{k\in {\bboard  Q}_+}\Bigl(\sum _{i+j=k}
\wb{0,i}\wb{0,j}\wb{i,j}\sigma (a^ib^j)\Bigr)f_k,\cr
\noalign{\noindent or $\wb{0,i}\wb{0,j}=\wb{0,d(i,j)^{-1}}$ qui 
est neutre pour $\wb{i,j}$, donc :}
&=\sum _{k\in {\bboard  Q}_+}\Bigl(\sum _{i+j=k}\wb{i,j}\sigma
(a^ib^j)\Bigr)f_k,\cr \noalign{\noindent et en utilisant la
formule du bin\^ome (1.6.1) :} &=\sum _{k\in {\bboard 
Q}_+}\wb{0,k}\sigma (a+b)^k\,f_k,\cr &=\sum _{k\in {\bboard 
Q}_+}{1\over d(k)}V_{d(k)}\bigl(\sigma
(a+b)^{kd(k)}\bigr)f_k,\cr &=\varphi \bigl(\wex(a+b)\bigr).\cr
}$$ 
C'est cette propri\'et\'e qui est \`a l'origine de
l'introduction de  l'alg\`ebre $\wa$ : sous certaines conditions
elle permet de construire la ${\bf W}$-alg\`ebre de groupe du
groupe additif. (Pour  davantage de d\'etails sur ce point, le
lecteur pourra se reporter \`a [Ga].)


\sectiona 5. Remarques|
\vskip -3pt
\ssection {\rm 5.1}|Soit $n$ un entier, on a vu que $^*n!/n!$
est un vecteur de Witt  \`a coefficients entiers, par
cons\'equent son image par le morphisme  $e$ est dans $\Lambda
({{\bboard  Z}})$ ; autrement dit, la s\'erie formelle 
$$e\bigl(\,^*n!/n!\bigr)= \exp\Bigl(\sum _{i\geq 1}{ni!\over
n!\,i!^n}{T^i\over i}\Bigr)$$ 
est \`a coefficients dans
${\bboard  Z}$. On peut alors se demander s'il est possible
d'exprimer la somme de cette s\'erie \`a l'aide des fonctions 
usuelles. Pour $n=2$ on~a : $$e\bigl(\,^*2!/2!\bigr)=
\exp\Bigl(\sum _{i\geq 1}{2i!\over i!\,i!}{T^i\over 2i}\Bigr).$$
On reconna\^\i t une s\'erie qui diff\`ere de peu de la s\'erie g\'en\'eratrice 
des nombres de Catalan (\cf.~[Co]). Un calcul simple donne :
$$e\bigl(^*2!/2!\bigr)=\left({1+\sqrt{1-4T}\over 2}\right)^{-1}.$$
Pour $n\geq 3$ le probl\`eme est ouvert. Bien entendu, trouver une 
expression simple pour $e(\,^*n!/n!)$ \'equivaut \`a en trouver une 
pour $e(\,\wb{\iii})$.

\ssection {\rm 5.2}|Tous les coefficients $*$-multin\^omiaux
dont les indices sont entiers  ont leurs
composantes-fant\^omes dans ${\bboard  N}$. Leurs images par 
$e$ sont donc dans $\Lambda ({\bboard  N})$. La table qui suit
laisse penser  que dans ${\bf W}({\bboard  Z})$ aussi toutes les
composantes sont positives.  Les m\'ethodes de [DS] ou [MR]
pouraient permettre de le d\'emontrer. 

\ssection {\rm 5.3}|On a
vu en 2.8 que $n!$ divise $^*n!$. On peut, de la m\^eme fa\c con
se demander si $\bin{i,j}$ divise $\wb{i,j}$. Il suffit de prendre
$i=j=2$ pour voir que cette propri\'et\'e est fausse. Le mieux
que l'on  pourrait esp\'erer serait que $\wb{i,j}$ soit divisible
par le pgcd des  $\bin{ni,nj}$. 

\ssection Remerciements|Les remarques et questions de Ch. \pd
SIEBENEICHER m'ont permis  d'am\'eliorer certains r\'esultats
pr\'esent\'es ici. Je l'en remercie vivement.

%fin


{%\eightpoint
\vskip 1cm \pd R\'EF\'ERENCES \par\nobreak
\livre B|\pd BOURBAKI N|Alg\`ebre Commutative chap.9|Paris, Masson|
 1983|
\divers Be|\pd BERTHELOT P|{\sl Cohomologie cristalline des sch\'emas
de cara\-ct\'e\-ris\-tique $p>0$}\pointir Berlin, Springer Verlag, 
{\oldstyle 1974} ({\sl Lecture Notes in Math.}, {\bf 407})|
\article C|\pd CARTIER P|Groupes formels associ\'es aux anneaux
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1973} ({\sl Lecture Notes in Math.}, {\bf 308})|
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Math. Fr|89|1965|75-91|

}
%fin


 \filbreak
\vfil

$$\vbox{\offinterlineskip\halign{
\tv\hfill \quad#\quad\hfill &
\tv\quad#\quad\hfill &
\tv#                     \cr
\trait
$n$    & \qquad \qquad \qquad $^*n!$  &\cr
\trait
$2$  &$(2,\ 1,\ 4,\ 13,\ 44,\ 135,\ 472,\ 1\,492,\ 5\,324,\ 17\,405,\ 
63\,944,\ 215\,096,$&\cr
  &$799\,416,\ 2\,752\,909,\ 10\,310\,384,\ 36\,443\,256
,\ 137\,263\,244,$&\cr
  &$489\,166\,324,\ 1\,860\,249\,448,\ 
6\,739\,795\,717,\ \ldots)$&\cr
\trait
$3$ &$(6,\ 27,\ 488,\ 7\,974,\ 149\,796,\ 2\,725\,447,\ 56\,970\,432,
\ 1\,151\,053\,821,$&\cr 
  &$25\,279\,412\,332,\ 543\,871\,341\,927,\ 
12\,411\,512\,060\,544,$&\cr
  &$278\,163\,517\,356\,594,\ 
6\,498\,314\,231\,705\,568,\ \ldots)$&\cr
\trait
$4$ &$(24,\ 972,\ 118\,592,\ 15\,210\,414,\ 2\,344\,956\,480,\ 
377\,420\,590\,432,\ $&\cr
  &$67\,501\,965\,869\,568,\ \ldots)$&\cr
\trait
$5$ &$(120,\ 49\,500,\ 55\,480\,000,\ 75\,108\,093\,750,\ 
124\,667\,171\,985\,024,\,\ldots)$&\cr
\trait
$6$ &$(720,\ 3\,483\,000,\ 45\,617\,280\,000,\ 
805\,534\,805\,137\,500,\ \ldots)$&\cr
\trait
$7$ &$(5\,040,\ 32\,783\,940,\ 60\,793\,780\,992\,000,\ \ldots)$&\cr
\trait
$8$ &$(40\,320,\ 40\,051\,972\,800,\ \ldots)$&\cr
\trait
$9$ &$(362\,880,\ 6\,186\,477\,124\,800,\ \ldots)$&\cr
\trait
$10$ &$(3\,628\,800,\ 1\,181\,356\,338\,960\,000,\ \ldots)$&\cr
\trait
}}$$
$$\sst Table\ I\ :\ *{\rm -factorielles}.$$

%fin


 \filbreak
\vfil

$$\vbox{\offinterlineskip\halign{
\tv\hfill \quad#\quad\hfill &
\tv\quad#\quad\hfill &
\tv#                     \cr
\trait
$n$    & \qquad \qquad \qquad $^*n!/n!$  &\cr
\trait
$2$ &$(1,\ 1,\ 3,\ 8,\ 25,\ 72,\ 245,\ 772,\ 2\,692,\ 8\,925,\ 32\,065,\ 
109\,890,\ $ &\cr
   &$400\,023,\ 1\,402\,723,\ 5\,165\,327,\ 18\,484\,746,\ 
68\,635\,477,\ $ &\cr
   &$248\,339\,122,\ 930\,138\,521,\ 3\,406\,231\,198,\ \ldots)$ &\cr
\trait
$3$ &$(1,\ 7,\ 93,\ 1\,419,\ 25\,225,\ 472\,037,\ 9\,501\,537,\ 
196\,190\,781,\ $ &\cr
   &$4\,219\,610\,242,\ 92\,198\,459\,515,\ 2\,068\,590\,840\,349,\ 
$ &\cr
   &$46\,897\,782\,768\,404,\ 1\,083\,052\,539\,395\,723,\ \ldots)
$ &\cr 
\trait
$4$ &$(1,\ 52,\ 5\,133,\ 655\,554,\ 97\,772\,875,\ 16\,019\,720\,210,
\ $ &\cr
  &$2\,812\,609\,211\,657,\ 518\,332\,479\,161\,091,\ \ldots)$ &\cr
\trait
$5$ &$(1,\ 472,\ 467\,133,\ 636\,430\,764,\ 1\,038\,934\,571\,875,\ $
&\cr 
   &$1\,903\,882\,757\,758\,426,\ \ldots)$ &\cr
\trait
$6$ &$(1,\ 5\,197,\ 63\,530\,133,\ 1\,127\,302\,654\,314,\ \ldots)$
&\cr
\trait
$7$ &$(1,\ 67\,657,\ 12\,070\,725\,333,\ 3\,297\,397\,481\,602\,599,
\ \ldots)$ &\cr
\trait
$8$ &$(1,\ 1\,013\,512,\ 3\,053\,893\,509\,333,\ \ldots)$ &\cr
\trait
$9$ &$(1,\ 17\,229\,712,\ 992\,515\,390\,533\,333,\ \ldots)$ &\cr
\trait
$10$ &$(1,\ 327\,364\,537,\ \ldots)$ &\cr
\trait
}}$$
$$\sst Table\ II\ :\ *-{\rm factorielles\ divis\acute ees.}$$ 

%fin


 \filbreak
\vfil

$$\vbox{\offinterlineskip\halign{
\tv\hfill \quad#\quad\hfill &
\tv\hfill \quad#\quad\hfill &
\tv\quad#\quad\hfill &
\tv#                     \cr
\trait
$i,j$ &$d$ & \qquad\qquad\qquad ${1\over d}\wb{i,j}$ &\cr
\trait
$2,1$ &$1$&$(3,\ 3,\ 19,\ 99,\ 552,\ 2\,783,\ 16\,299,\ 86\,193,\ 
516\,285,\ $ &\cr
     &&$2\,846\,196,\ \ldots)$ &\cr
\trait
$2,1$ &$3$ &$(1,\ 2,\ 9,\ 39,\ 200,\ 988,\ 5\,537,\ 29\,880,\ 
          173\,343,\ $ &\cr
     &&$981\,494,\ \ldots)$ &\cr
\trait
$3,1$ &$1$ &$(4,\ 6,\ 52,\ 373,\ 2\,896,\ 20\,326,\ 166\,808,\ 
           1\,236\,707,\ $ &\cr
     &&$10\,384\,368,\ 80\,466\,232,\ \ldots)$ &\cr
\trait
$3,1$ &$2$ &$(2,\ 5,\ 34,\ 211,\ 1\,544,\ 10\,586,\ 84\,556,\ 
          634\,945,\ $ &\cr
    &&$5\,217\,024,\ 41\,190\,331,\ \ldots)$ &\cr
\trait
$3,1$ &$4$ &$(1,\ 3,\ 18,\ 109,\ 775,\ 5\,437,\ 42\,287,\ 
           322\,736,\ $ &\cr
    &&$2\,613\,147,\ 20\,891\,152,\ \ldots)$ &\cr
\trait
$2,2$ &$1$ &$(6,\ 17,\ 236,\ 2\,749,\ 35\,396,\ 413\,431,\ 
         5\,690\,952,\ $ &\cr
    &&$71\,125\,716,\ 1\,002\,847\,204,\ 13\,151\,883\,885,\ 
      \ldots)$&\cr
\trait
$2,2$ &$2$ &$(3,\ 13,\ 145,\ 1\,504,\ 18\,427,\ 213\,980,\ 
         2\,865\,159,\ $ &\cr
    &&$36\,428\,556,\ 503\,155\,788,\ 
         6\,722\,469\,113,\ \ldots)$&\cr
\trait
$4,1$ &$1$ &$(5,\ 10,\ 110,\ 1\,005,\ 10\,001,\ 89\,975,\ 949\,485,\ 
         9\,056\,745,\ $&\cr
    &&$97\,801\,890,\ 976\,221\,254,\ \ldots)$&\cr
\trait
$4,1$ &$5$ &$(1,\ 4,\ 30,\ 234,\ 2\,125,\ 19\,321,\ 192\,129,\ 
         1\,895\,175,\ $&\cr
    &&$19\,683\,514,\ 203\,187\,546,\ \ldots)$&\cr
\trait
$3,2$ &$1$ &$(10,\ 55,\ 1\,335,\ 27\,480,\ 633\,752,\ 
        13\,302\,300,\ 329\,994\,200,\ $&\cr
     &&$7\,464\,149\,850,\ 189\,749\,631\,535,\ 
         4\,510\,999\,768\,769,\ \ldots)$&\cr
\trait
$3,2$ &$5$ &$(2,\ 19,\ 331,\ 6\,114,\ 130\,744,\ 2\,826\,030,\ 
        62\,284\,536,\ $&\cr
      &&$1\,552\,579\,431,\ 38\,118\,678\,267,\ 
         934\,036\,752\,789,\ \ldots)$&\cr
\trait
}}$$
$$\sst Table\ III\ :\ {\rm coefficients\ }*-{\rm bin\hat omiaux}.$$

%fin


\bye
