RELÈVEMENT DES COEFFICIENTS BINÔMIAUX

DANS LES VECTEURS DE WITT

Henri GAUDIER (Strasbourg)

Le but de ce travail est de présenter certains éléments de l’anneau W(ℤ) des (gros) vecteurs de Witt à coefficients dans ℤ qui jouissent de propriétés très comparables à celles des coefficients binômiaux : on démontre ainsi une formule du binôme et une formule de Pascal. Avec ces éléments on peut construire une W(ℤ)-algèbre de puissances fractionnaires divisées.

0. Rappels et notations. — Rappelons tout d’abord la construction classique des vecteurs de Witt à coefficients dans un anneau A commutatif unifère quelconque (cf. [C], [DG], [Gr], [H], [L], [B] auxquels nous renvoyons le lecteur pour davantage de détails ; les travaux plus récents [DS], [MR] font intervenir d’autres constructions qui ne seront pas utilisées ici).

On considère l’ensemble W(A) = A^{ℕ^{∗}}, le groupe Λ(A) = 1+T A[[T]], groupe multiplicatif des séries formelles à coefficients dans A de terme constant égal à 1, et l’anneau gh(A) = A^{ℕ^{∗}} avec sa structure d’anneau produit. On a alors le diagramme commutatif :

W(A) ⟶^{e} Λ(A)
w ↓  ∂ ↓
gh(A) ⟶^{ι} A[[T]]

où les applications sont définies par :

e(a_{1}, …, a_{n}, …) = ∏_{n≥1} \frac{1}{1 − a_{n}T^{n}},

∂(s(T)) = \frac{s′(T)}{s(T)} = \frac{d}{dT} ln s(T),

H. GAUDIER

ι(c_{1}, …, c_{n}, …) = ∑_{n≥1} c_{n}T^{n−1},
w_{r}(a_{1}, …, a_{n}, …) = ∑_{d|r} d a_{d}^{r/d}.

On sait que e et ι sont toujours des bijections, que w et ∂ le sont si A est une algèbre sur ℚ, et dans ce cas on a :

∂^{−1}(u(T)) = exp(∫_{0}^{T} u(T)dT ).

On sait également qu’il existe sur W(A) et Λ(A) une unique structure d’anneau telle que les quatre applications ci-dessus soient des morphismes d’anneaux. On prend pour cela dans A[[T]] l’addition usuelle et le produit d’Hadamard (∑ u_{n}T^{n} × ∑ v_{n}T^{n} = ∑ u_{n}v_{n}T^{n}). Dans Λ(A) la somme est le produit des séries formelles et le produit est l’unique opération notée ∗, distributive par rapport à la somme dans Λ(A) et telle que :

\frac{1}{1 − xT} ∗ \frac{1}{1 − yT} = \frac{1}{1 − xy T} ·

On notera σ : A → W(A) le morphisme de Teichmuller défini par : σ(a) = (a, 0, …). Ce morphisme est compatible avec la multiplication et on a :

w(σ(a)) = (a, a^{2}, …, a^{n}, …),

e(σ(a)) = \frac{1}{1 − aT} ,

σ(a).(x_{1}, …, x_{n}, …) = (ax_{1}, …, a^{n}x_{n}, …).

Pour n ≥ 1 on appelle morphismes de décalage, et on note V_{n} les morphismes de Λ(A) définis par : V_{n}(s(T)) = s(T^{n}). On note également V_{n} les morphismes obtenus en transportant V_{n} par les morphismes e, ∂ et w. On a donc dans W(A) :

V_{n}(a_{1}, …, a_{n}, …) = (\underbrace{0, …, 0}_{n−1 fois}, a_{1}, \underbrace{0, …, 0}_{n−1 fois}, a_{2}, 0 …),

dans gh(A) on a :

V_{n}(c_{1}, …, c_{n}, …) = (\underbrace{0, …, 0}_{n−1 fois}, nc_{1}, \underbrace{0, …, 0}_{n−1 fois}, nc_{2}, 0 …),

et dans A[[T]] :

V_{n}(u(T)) = nT^{n−1}u(T^{n}).

VECTEURS DE WITT

Les morphismes de décalage sont des endomorphismes des groupes additifs des quatre anneaux considérés.

On appelle morphismes de Frobenius, et on note F_{n} les uniques endomorphismes des quatre anneaux tels que :

dans W(A) F_{n}(σ(a)) = σ(a^{n}),

dans Λ(A) F_{n}((1 − aT)^{−1}) = (1 − a^{n}T)^{−1},
dans gh(A) F_{n}(c_{1}, c_{2}, …) = (c_{n}, c_{2n}, …).

Les morphismes F_{n} et V_{n} vérifient les relations :

V_{n}V_{m} = V_{nm}, F_{n}F_{m} = F_{nm},
V_{n}F_{m} = F_{m}V_{n} si (m, n) = 1,
V_{n}(x F_{n}(y)) = V_{n}(x) y,
F_{n}V_{n} = n Id, V_{n}F_{n}(x) = V_{n}(1) x,

(dans Λ(A) : F_{n}V_{n}(s(T)) = s(T)^{n}, V_{n}F_{n}(s(T)) = (1 − T^{n}) ∗ s(T) ).

On désignera par (i, j) et par [i, j] le pgcd et le ppcm des deux entiers i et j, par ((i, j)) le coefficient binômial \binom{i + j}{i} et par ((i_{1}, …, i_{r})) le coeffi-

cient multinômial \binom{i_{1} + ⋯ + i_{r}}{i_{1}, …, i_{r}}. Enfin ℚ_{+} désignera l’ensemble des nombres rationnels positifs ou nuls, et si i et j sont deux rationnels, d(i) désignera le dénominateur de i et on posera d(i, j) = [d(i), d(j)].

1. Coefficients ∗-binômiaux et formule du ∗-binôme

D^{}ÉFINITION 1.1. — Soient i et j dans ℕ on appelle coefficient ∗-binômial et on note ^{∗}((i, j)) le vecteur de Witt à coefficients dans ℚ tel que w_{n}(^{∗}((i, j))) = ((ni, nj)).

Dans ce paragraphe on montrera que ces coefficients ∗-binômiaux ont toutes leurs composantes entières, et cela nous conduira à démontrer une formule du binôme pour ces coefficients.

Remarquons tout d’abord qu’il résulte immédiatement de la définition que

F_{k}(^{∗}((i, j))) = ^{∗}((ki, kj)).  (1.1.1)

On va alors étendre la définition des coefficients ∗-binômiaux à des indices fractionnaires.

D^{}ÉFINITION 1.2. — Soient i et j dans ℚ_{+} on appelle également coefficient ∗-binômial le vecteur de Witt à coefficients dans ℚ

∗((i, j)) = \frac{1}{d(i, j)}V_{d(i,j)}(^{∗}((i d(i, j), j d(i, j)))).  (1.2.1)

Il est facile de vérifier que la formule (1.1.1) reste vraie si i et j sont des rationnels. En particulier on a :

F_{d(i,j)}(^{∗}((i, j))) = ^{∗}((i d(i, j), j d(i, j))).  (1.2.2)

Il est également facile de voir que l’on a :

w_{n}(^{∗}((i, j))) = ((ni, nj))  si d(i, j)| n,  (1.2.3)
= 0 sinon.

On remarquera également que ^{∗}((0, i)) = \frac{1}{d(i)}V_{d(i)}(1).

PROPOSITION 1.3. — Soit k ∈ ℕ^{∗} alors dans W(ℚ[X, Y]) on a l’égalité :

σ((X + Y)^{k}) = ∑_{d∈ℕ^{∗}} ∑_{i,j} V_{d}(\frac{1}{d}^{∗}((i, j)) σ(X^{i}Y^{j})),  (1.3.1)

où la somme est étendue aux indices i et j entiers tels que i + j = k d et (i, j, d) = 1.

Puisque l’on est en caractéristique 0, il suffit de transformer les deux membres par w. Or si on désigne par D le membre de droite, on a :

w_{n}(D) = ∑_{d∈ℕ^{∗}} ∑_{i,j} w_{n}V_{d}(\frac{1}{d}^{∗}((i, j)) σ(X^{i}Y^{j})),

= ∑_{d|n} ∑_{i,j} w_{n}V_{d}(\frac{1}{d}^{∗}((i, j)) σ(X^{i}Y^{j})),

= ∑_{d|n} ∑_{i,j} w_{n/d}(^{∗}((i, j)) σ(X^{i}Y^{j})),

= ∑_{d|n} ∑_{i,j} w_{n/d}(^{∗}((i, j)))w_{n/d}(σ(X^{i}Y^{j})),

= ∑_{d|n} ∑_{i,j}((ni/d, nj/d)) X^{in/d}Y^{jn/d},

= ∑_{ld=n} ∑_{{i+j=dk \atop (i,j,d)=1}}((li, lj)) X^{li}Y^{lj},

= ∑_{{li+lj=nk \atop (li,lj,n)=l}}((li, lj)) X^{li}Y^{lj},

= (X + Y)^{nk} = w_{n}(σ(X + Y)^{k}).

1.4. — Notons alors ^{∗}((i, j; d))_{r} les composantes de \frac{1}{d}^{∗}((i, j)), on a alors :

COROLLAIRE . — Dans Λ(ℚ[X, Y]) on a l’identité :

\frac{1}{1 − (X + Y)^{k}T} = ∏_{{d≥1 \atop r≥1}} ∏_{{i+j=dk \atop (i,j,d)=1}} \frac{1}{1 −^{∗}((i, j; d))_{r} X^{ri}Y^{rj}T^{rd}} ·  (1.4.1)

Cette identité s’obtient en appliquant à (1.2.1) l’isomorphisme e.

COROLLAIRE 1.5. — a) Si i, j et d sont des entiers tels que d divise i + j et que (i, j, d) = 1 alors \frac{1}{d}^{∗}((i, j)) est dans W(ℤ) ;

b) Si i et j sont dans ℚ_{+} et si i + j est entier, alors ^{∗}((i, j)) est dans W(ℤ).

En effet pour tout entier k il existe une unique décomposition

1 − (X + Y)^{k}T = ∏_{s≥1} ∏_{α+β=ks}(1 − u_{α,β}X^{α}Y^{β}T^{s}),

et il est clair que les u_{α,β} sont des entiers. Or la formule (1.4.1) nous donne une telle décomposition, par conséquent si i et j sont des entiers si d| i + j et si (i, j, d) = 1 alors les ^{∗}((i, j; d))_{r} sont entiers, donc \frac{1}{d}^{∗}((i, j)) est dans W(ℤ), ce

qui démontre a). Et ^{∗}((i/d, j/d)) = V_{d}(\frac{1}{d}^{∗}((i, j))) est aussi dans W(ℤ), ce qui démontre b).

COROLLAIRE 1.6 (Formule du binôme). — Soit k dans ℚ_{+} on a la relation :

∗((0, k)) σ(X + Y)^{k} = ∑_{{i+j=k \atop i,j∈ℚ_{+}}} ^{∗}((i, j)) σ(X^{i}Y^{j}).  (1.6.1)

Remarquons qu’une telle formule fait apparaître des puissances fractionnaires de X et Y. Ceci n’est qu’apparent car lorsqu’on fait le produit ∗((i, j)) σ(X^{i}Y^{j}), puisque ^{∗}((i, j)) est dans l’image de V_{d(i,j)} ses composantes sont nulles sauf celles d’indice un multiple de d(i, j). N’apparaîtront alors que des puissances de (X^{i}Y^{j})^{d(i,j)} qui sont des puissances entières en X et Y. Une remarque analogue peut être faite pour le premier membre, ce qui fait que l’on peut considérer que la relation (1.6.1) est écrite dans W(ℤ).

Si k est entier il suffit de remplacer les coefficients ∗-binômiaux fractionnaires par leur définition pour constater que (1.6.1) n’est qu’une réécriture de (1.3.1). Lorsque k n’est pas entier, on constate qu’il suffit de vérifier l’identité après transformation par F_{d(k)}, et on est ramené au cas précédent.

1.7. — On peut déduire de (1.6.1) des relations entre les coefficients ∗- binômiaux comme on le fait à partir de la formule classique du binôme. Par exemple, si dans (1.6.1) on remplace X et Y par 1, on obtient :

∗((0, k))σ(2^{k}) = ∑_{i+j=k} ^{∗}((i, j)).

2. Coefficients ∗-multinômiaux et ∗-factorielles. — La définition des coefficients ∗-binômiaux peut s’étendre aux coefficients multinômiaux. On pourra alors définir une notion de ∗-factorielle, cela permettra d’exprimer les coefficients ∗-binômiaux et ∗-multinômiaux en fonctions des ∗-factorielles par des formules classiques.

D^{}ÉFINITION 2.1. — Soient i_{1}, …, i_{h} des entiers, on appelle coefficient ∗- multinômial et on note ^{∗}((i_{1}, …, i_{h})) le vecteur de Witt à coefficients dans ℚ tel que :

w_{n}(^{∗}((i_{1}, …, i_{h}))) = ((ni_{1}, …, ni_{h})).

Si i_{1}, …, i_{h} sont dans ℚ_{+}, et si d = d(i_{1}, …, i_{h}) = [d(i_{1}), …, d(i_{h})], on posera :

∗((i_{1}, …, i_{h})) = \frac{1}{d}V_{d}(^{∗}((di_{1}, …, di_{h}))).

Les résultats du paragraphe 1 se généralisent alors immédiatement :

PROPOSITION 2.2

a) (formule du multinôme) Pour tout k dans ℚ_{+} :

∗((0, k))σ(X_{1} + ⋯ + X_{h})^{k} = ∑_{{i_{1}+···+i_{h}=k \atop i_{1},...,i_{h}∈ℚ_{+}}} ^{∗}((i_{1}, …, i_{h}))σ(X_{1}^{i_{1}} … X_{h}^{i_{h}}) ;

b) Si i_{1} + ⋯ + i_{h} ∈ ℕ, alors ^{∗}((i_{1}, …, i_{h})) ∈ W(ℤ).

D^{}ÉFINITION 2.3. — Soit h dans ℕ, on appelle ∗-factorielle de h le vecteur de Witt

∗h! = ^{∗}((\underbrace{1, …, 1}_{h fois})).

On a donc w_{n}(^{∗}h!) = ((\underbrace{n, …, n}_{h fois})) = \frac{nh!}{n!^{h}} , et en particulier w_{1}(^{∗}h!) = h!.

PROPOSITION 2.4. — Pour i_{1}, …, i_{h}, k et n dans ℕ on a :

∗((i_{1}, …, i_{h})) = \frac{^{∗}(i_{1} + ⋯ + i_{h})!}{^{∗}i_{1}! …^{∗} i_{h}!},  (2.4.1)
F_{k}(^{∗}n!) = \frac{^{∗}kn!}{^{∗}k!^{n}}·  (2.4.2)

Pour démontrer 2.4.1, appliquons w_{n} au second membre, il vient :

w_{n} (\frac{^{∗}(i_{1} + ⋯ + i_{h})!}{^{∗}i_{1}! …^{∗} i_{h}!}) = \frac{(n(i_{1} + ⋯ + i_{h}))!}{n!^{i_{1}+···+i_{h}}} · \frac{n!^{i_{1}}}{(ni_{1})!} ⋯ \frac{n!^{i_{h}}}{(ni_{h})!}·

Après simplification on obtient bien w_{n}(^{∗}((i_{1}, …, i_{h}))). Pour la formule 2.4.2 on a F_{k}(^{∗}n!) = F_{k}(^{∗}((1, …, 1))) = ^{∗}((k, …)) et on applique 2.4.1.

2.5. — Pour obtenir une généralisation de 2.4 lorsque i_{1}, …, i_{h} sont dans ℚ_{+}, il faut définir les ∗-factorielles de rationnels. Soit alors i ∈ ℚ_{+} posons :

∗i! = \frac{1}{d(i)}V_{d(i)} (\frac{^{∗}id(i)!}{^{∗}d(i)!^{i}}) ·  (2.5.1)

Alors ^{∗}i! est un vecteur de Witt à coefficients dans une extension convenable de ℚ (R par exemple), puisqu’il a fallu prendre des puissances fractionnaires. Remarquons que l’on a :

F_{d(i)}(^{∗}i!) = \frac{^{∗}id(i)!}{^{∗}d(i)!^{i}},

et donc

F_{kd(i)}(^{∗}i!) = F_{k} (\frac{^{∗}id(i)!}{^{∗}d(i)!^{i}}) = \frac{^{∗}ikd(i)!}{^{∗}k!^{id(i)}} · (\frac{^{∗}k!^{d(i)}}{^{∗}kd(i)!})^{i} = \frac{^{∗}ikd(i)!}{^{∗}kd(i)!^{i}},

ce qui généralise bien 2.4.2. La formule 2.4.1 devient alors :

PROPOSITION 2.6. — Soient i_{1}, …, i_{h} dans ℚ_{+} et d = d(i_{1}, …, i_{h}), alors :

∗((i_{1}, …, i_{h})) = \frac{^{∗}((0, d^{−1}))^{∗}(i_{1} + ⋯ + i_{h})!}{^{∗}i_{1}! …^{∗} i_{h}!} ·  (2.6.1)

On a en effet :

\begin{aligned}^{∗}((i_{1}, …, i_{h})) & = \frac{1}{d}V_{d}(^{∗}((di_{1}, …, di_{h}))) \\ & = \frac{1}{d}V_{d} (\frac{^{∗}(d (i_{1} + ⋯ + i_{h}))!}{^{∗}di_{1}! …^{∗} di_{h}!}) . \end{aligned}

En utilisant la généralisation de 2.4.2, on a alors :

∗((i_{1}, …, i_{h})) = \frac{1}{d}V_{d} (\frac{F_{d}(^{∗}(i_{1} + ⋯ + i_{h})!)^{∗}d!^{i_{1}+···+i_{h}}}{F_{d}(^{∗}i_{1}!)^{∗}d!^{i_{1}} … F_{d}(^{∗}i_{h}!)^{∗}d!^{i_{h}}} ),

= \frac{1}{d}V_{d}F_{d} (\frac{^{∗}(i_{1} + ⋯ + i_{h})!}{^{∗}i_{1}! …^{∗} i_{h}!}),

= \frac{1}{d}V_{d}(1) · \frac{^{∗}(i_{1} + ⋯ + i_{h})!}{^{∗}i_{1}! …^{∗} i_{h}!}·

2.7. Remarque. — La formule 2.6.1 est imprécise. En effet les ∗-factorielles qui apparaîssent au dénominateur ne sont pas inversibles : leurs composantesfantômes comportent beaucoup de zéros, puisque ^{∗}i! est construit à l’aide de V_{d(i)}. Mais la multiplication du numérateur par ^{∗}((0, d^{−1})) fait apparaître dans celui-ci les mêmes composantes-fantômes nulles que dans le dénominateur et dans le coefficient ∗-multinômial.

2.8. — Terminons ce paragraphe par une propriété de divisibilité des ∗- factorielles :

PROPOSITION . — Soit k un entier alors ^{∗}k!/k! est dans W(ℤ).

D’après 2.4.1 on a en effet :

∗((k − 1, 1))^{∗}((k − 2, 1)) … ^{∗}((1, 1)) =^{∗} k!.

Or pour tout entier i, on a :

∗(( \frac{i − 1}{i}, \frac{1}{i} )) = \frac{1}{i}V_{i}(^{∗}((i − 1, 1))),

ce qui montre que ^{∗}((i − 1, i)) est divisible par i dans W(ℤ).

Remarquons que l’on a w_{n}(^{∗}k!/k!) = ((n, …, n))/k! = \frac{nk!}{k! n!^{k}}. Ce coefficient (entier) intervient dans la théorie des puissances divisées (cf. [Be], [R]).

3. La formule de Pascal. — Il est bien connu que les coefficients binômiaux ordinaires vérifient la relation ((i, j)) = ((i − 1, j)) + ((i, j − 1)), qui permet, lorsque les coefficients sont rangés dans le triangle de Pascal, de calculer chaque coefficient comme somme de deux coefficients situés sur la ligne supérieure. En répétant le procédé, on peut exprimer un coefficient binômial en fonction de ceux qui se trouvent m lignes plus haut (cf. [K]) :

((i, j)) = ∑_{k+l=m}((k, l)) ((i − k, j − l))  si m ≤ i + j.  (3.0.2)

C’est cette formule que nous allons étendre aux coefficients ∗-binômiaux.

PROPOSITION 3.1. — Soient i et j des entiers tels que m ≤ i + j alors :

∗((i, j)) = ∑_{{k+l=m \atop k,l,i−k,j−l∈ℚ_{+}}}^{∗}((k, l))^{∗}((i − k, j − l)).  (3.1.1)

Il suffit pour le démontrer d’appliquer w_{n} aux deux membres. Si d est le dénominateur de k, l, i − k et j − l on obtient :

X = w_{n} (∑^{∗}((k, l))^{∗}((i − k, j − l))) ,

= ∑ w_{n}(^{∗}((k, l)))w_{n}(^{∗}((i − k, j − l))),

= ∑_{{k+l=m \atop d | n}}((nk, nl))((ni − nk, nj − nl)) ;

ce qui s’écrit, si l’on pose k′ = nk, l′ = nl et m′ = nm :

= ∑_{k′+l′=m′}((k′, l′))((ni − k′, nj − l′)),

= ((ni, nj)).

4. Algèbre des puissances fractionnaires divisées. — Soit A un anneau (commutatif avec 1) ; si on désigne par P (A) le groupe A^{ℕ}, de base canonique ε_{i}, muni de la multiplication (x ε_{i})(y ε_{j}) = ((i, j))xy ε_{i+j}, on sait que P (A) est une algèbre sur A appelée algèbre des puissances divisées, car si A est une algèbre sur ℚ on a ε_{i} = ε_{1}^{i}/i!, et donc P (A) est isomorphe à A[[ε_{1}]]. Dans ce paragraphe nous allons étendre cette construction à des puissances fractionnaires en utilisant les coefficients ∗-multinômiaux.

D^{}ÉFINITION 4.1. — Soit A une algèbre sur ℚ, le groupe WP (A) = W(A)^{ℚ_{+}}, de base canonique (f_{i}), muni de la multiplication

(x f_{i})(y f_{j}) = ^{∗}((i, j))xy f_{i+j},

est appelé la pseudo-algèbre des puissances fractionnaires divisées.

Il est facile de voir que cette algèbre est associative et commutative, mais il n’y a pas d’élément unité : le seul candidat possible est f_{0} et :

f_{0} · y f_{j} = ^{∗}((0, j))y f_{j} ≠ y f_{j}.

4.2. — La pseudo-algèbre WP (A) a pourtant des propriétés analogues à celles de l’algèbre des puissances divisées ordinaires :

PROPOSITION . — Si i et j sont dans ℚ_{+} ,

(x^{∗}i! f_{i}) (y^{∗}j! f_{j}) = ^{∗}((0, d(i, j)^{−1})) xy^{∗}(i + j)! f_{i+j}.

Cela découle immédiatement de 2.6.1. On voit donc qu’on ne retrouve la formule classique que pour les indices

entiers : dans ce cas x^{i} ^{∗}i! f_{i} = (x f_{1})^{i}. Pour un indice fractionnaire on aura :

(x^{i} ^{∗}i! f_{i})^{d(i)} = ^{∗}((0, i))(x f_{1})^{id(i)}.

4.3. — Considérons alors Wα(A) une autre copie de W(A)^{ℚ_{+}}, notons (e_{i}) sa base canonique, et considérons le morphisme

\begin{matrix}φ : Wα(A) & → WP (A) \\ x e_{i} & ↦ \frac{1}{d(i)}V_{d(i)}(x) f_{i}. \end{matrix}

On a alors :

LEMME . — Le morphisme φ est injectif et son image est égale à f_{0} WP (A) ; c’est une algèbre sur W(A) d’élément unité f_{0} = φ(e_{0}).

On a en effet :

φ(x e_{i}) = \frac{1}{d(i)}V_{d(i)}(x)f_{i} = f_{0} \frac{1}{d(i)}V_{d(i)}(x)f_{i},

et donc φ(Wα(A)) ⊂ f_{0} WP (A) ; et inversement

f_{0} yf_{i} = \frac{1}{d(i)}V_{d(i)}(1)y f_{i} = \frac{1}{d(i)}V_{d(i)}(F_{d(i)}(y))f_{i} = φ(F_{d(i)}(y)e_{i}).

Et le reste du lemme est immédiat.

4.4. — Puisque le morphisme φ est injectif, on peut transporter la multiplication sur Wα(A) qui devient ainsi une W(A)-algèbre pour toute ℚ-algèbre A.

TH^{}ÉOR^{}ÈME . — L’algèbre Wα(A) est définie pour tout anneau commutatif A. On l’appellera l’algèbre des puissances fractionnaires divisées.

Reprenant le calcul précédent, on voit que l’on a dans Wα(A) :

(xe_{i})(ye_{j}) = V_{δ(i,j)}(\frac{1}{δ(i, j)} ^{∗}((id(i, j), jd(i, j)))F_{d(i,j)/d(i)}(x)

× F_{d(i,j)/d(j)}(y))e_{i+j}. (4.4.1)

où δ(i, j) = d(i, j)/d(i + j).

Or id(i, j) et jd(i, j) sont premiers entre eux, et δ(i, j) divise leur somme, d’après (1.5.a) ;^{∗}((id(i, j), jd(i, j)))/δ(i, j) est donc dans W(ℤ). La formule 4.4.1 définit donc une multiplication sur Wα(A) pour tout anneau A. Par le principe du prolongement algébrique des identités, Wα(A) est donc une algèbre sur W(A) pour tout anneau A.

PROPOSITION 4.5 . — Pour tout anneau A, l’application

\begin{matrix}^{∗}exp : A & → Wα(A) \\ x & ↦ ∑_{i∈ℚ_{+}} σ(x^{id(i)})e_{i} \end{matrix}

vérifie la relation :

∗exp(a + b) = ^{∗}exp a ^{∗}exp b.

On a en effet :

\begin{aligned}φ(σ(x^{id(i)})e_{i}) & = \frac{1}{d(i)}V_{d(i)}(σ(x^{id(i)}))f_{i}, \\ & = \frac{1}{d(i)}V_{d(i)}(1)σ(x^{i})f_{i}, \end{aligned}

avec un abus d’écriture (cf. 1.6). Par conséquent :

φ(^{∗}exp(a) ^{∗}exp(b)) = φ(^{∗}exp a)φ(^{∗}exp b),

= ∑_{i,j∈ℚ_{+}} (^{∗}((0, i))σ(a^{i})f_{i}) (^{∗}((0, j))σ(a^{j})f_{j}) ,

= ∑_{k∈ℚ_{+}}( ∑_{i+j=k} ^{∗}((0, i))^{∗}((0, j))^{∗}((i, j))σ(a^{i}b^{j}))f_{k},

or ^{∗}((0, i))^{∗}((0, j)) = ^{∗}((0, d(i, j)^{−1})) qui est neutre pour ^{∗}((i, j)), donc :

= ∑_{k∈ℚ_{+}}( ∑_{i+j=k} ^{∗}((i, j))σ(a^{i}b^{j}))f_{k},

et en utilisant la formule du binôme (1.6.1) :

= ∑_{k∈ℚ_{+}} ^{∗}((0, k))σ(a + b)^{k} f_{k},

= ∑_{k∈ℚ_{+}} \frac{1}{d(k)}V_{d(k)}(σ(a + b)^{kd(k)})f_{k},

= φ(^{∗}exp(a + b)).

C’est cette propriété qui est à l’origine de l’introduction de l’algèbre Wα : sous certaines conditions elle permet de construire la W-algèbre de groupe du groupe additif. (Pour davantage de détails sur ce point, le lecteur pourra se reporter à [Ga].)

5. Remarques

5.1. — Soit n un entier, on a vu que ^{∗}n!/n! est un vecteur de Witt à coefficients entiers, par conséquent son image par le morphisme e est dans Λ(ℤ) ; autrement dit, la série formelle

e(^{∗}n!/n!) = exp(∑_{i≥1} \frac{ni!}{n! i!^{n}} \frac{T^{i}}{i} )

est à coefficients dans ℤ. On peut alors se demander s’il est possible d’exprimer la somme de cette série à l’aide des fonctions usuelles. Pour n = 2 on a :

e(^{∗}2!/2!) = exp(∑_{i≥1} \frac{2i!}{i! i!} \frac{T^{i}}{2i} ).

On reconnaît une série qui diffère de peu de la série génératrice des nombres de Catalan (cf. [Co]). Un calcul simple donne :

e(^{∗}2!/2!) = (\frac{1 + \sqrt{1 − 4T}}{2} )^{−1} .

Pour n ≥ 3 le problème est ouvert. Bien entendu, trouver une expression simple pour e(^{∗}n!/n!) équivaut à en trouver une pour e(^{∗}((i_{1}, …, i_{h}))).

5.2. — Tous les coefficients ∗-multinômiaux dont les indices sont entiers ont leurs composantes-fantômes dans ℕ. Leurs images par e sont donc dans Λ(ℕ). La table qui suit laisse penser que dans W(ℤ) aussi toutes les composantes sont positives. Les méthodes de [DS] ou [MR] pouraient permettre de le démontrer.

5.3. — On a vu en 2.8 que n! divise ^{∗}n!. On peut, de la même façon se demander si ((i, j)) divise ^{∗}((i, j)). Il suffit de prendre i = j = 2 pour voir que cette propriété est fausse. Le mieux que l’on pourrait espérer serait que ^{∗}((i, j)) soit divisible par le pgcd des ((ni, nj)).

Remerciements. — Les remarques et questions de Ch. SIEBENEICHER m’ont permis d’améliorer certains résultats présentés ici. Je l’en remercie vivement.

RÉFÉRENCES

[B] BOURBAKI N. — Algèbre Commutative chap.9. — Paris, Masson, 1983.

[Be] BERTHELOT P. — Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p > 0. — Berlin, Springer Verlag, 1974 (Lecture Notes in Math., 407).

[C] CARTIER P. — Groupes formels associés aux anneaux de Witt généralisés, C.R.A.S., t. 265, 1967, p. 49-52.

[Co] COMTET L. — Analyse Combinatoire, t.1. — Paris, P.U.F. , 1970.

[DG] DEMAZURE M., GABRIEL P. — Groupes algébriques. — Paris, Masson et Amsterdam, North Holland, 1970.

[DS] DRESS A., SIEBENEICHER Ch. — The Burnside Ring of the infinite cyclic Group and its relation to the Necklace Algebra, λ-Rings and the universal Ring of Witt Vectors, (à paraître).

[G] GROTHENDIECK A. — La théorie des classes de Chern, Bull. Soc. Math. Fr, t. 86, 1958, p. 137-154.

[Ga] GAUDIER H. — Algèbres de groupe du groupe additif, Bull. Soc. Math. Fr. (à paraître).

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[K] KNUTH D.E. — The art of computer programming, Vol.1. — Reading, Addison-Wesley, 1968.

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[R] ROBY N. — Les algèbres à puissances divisées, Bull.Soc. Math. Fr, t. 89, 1965, p. 75-91.

n  ^{∗}n!
2  (2, 1, 4, 13, 44, 135, 472, 1 492, 5 324, 17 405, 63 944, 215 096,

799 416, 2 752 909, 10 310 384, 36 443 256, 137 263 244,

489 166 324, 1 860 249 448, 6 739 795 717, …)

3  (6, 27, 488, 7 974, 149 796, 2 725 447, 56 970 432, 1 151 053 821,

25 279 412 332, 543 871 341 927, 12 411 512 060 544,

278 163 517 356 594, 6 498 314 231 705 568, …)

4  (24, 972, 118 592, 15 210 414, 2 344 956 480, 377 420 590 432,
67 501 965 869 568, …)
5  (120, 49 500, 55 480 000, 75 108 093 750, 124 667 171 985 024, …)
6  (720, 3 483 000, 45 617 280 000, 805 534 805 137 500, …)
7  (5 040, 32 783 940, 60 793 780 992 000, …)
8  (40 320, 40 051 972 800, …)
9  (362 880, 6 186 477 124 800, …)
10  (3 628 800, 1 181 356 338 960 000, …)

T able I : ∗−factorielles.

VECTEURS DE WITT

n  ^{∗}n!/n!
2  (1, 1, 3, 8, 25, 72, 245, 772, 2 692, 8 925, 32 065, 109 890,

400 023, 1 402 723, 5 165 327, 18 484 746, 68 635 477, 248 339 122, 930 138 521, 3 406 231 198, …)

3  (1, 7, 93, 1 419, 25 225, 472 037, 9 501 537, 196 190 781,

4 219 610 242, 92 198 459 515, 2 068 590 840 349, 46 897 782 768 404, 1 083 052 539 395 723, …)

4  (1, 52, 5 133, 655 554, 97 772 875, 16 019 720 210,

2 812 609 211 657, 518 332 479 161 091, …)

5  (1, 472, 467 133, 636 430 764, 1 038 934 571 875,
1 903 882 757 758 426, …)
6  (1, 5 197, 63 530 133, 1 127 302 654 314, …)
7  (1, 67 657, 12 070 725 333, 3 297 397 481 602 599, …)
8  (1, 1 013 512, 3 053 893 509 333, …)
9  (1, 17 229 712, 992 515 390 533 333, …)
10  (1, 327 364 537, …)

T able II : ∗−factorielles divisées.

i, j  d  \frac{1}{d}^{∗}((i, j))
2, 1  1  (3, 3, 19, 99, 552, 2 783, 16 299, 86 193, 516 285,
2 846 196, …)
2, 1  3  (1, 2, 9, 39, 200, 988, 5 537, 29 880, 173 343,
981 494, …)
3, 1  1  (4, 6, 52, 373, 2 896, 20 326, 166 808, 1 236 707,

10 384 368, 80 466 232, …)

3, 1  2  (2, 5, 34, 211, 1 544, 10 586, 84 556, 634 945,

5 217 024, 41 190 331, …)

3, 1  4  (1, 3, 18, 109, 775, 5 437, 42 287, 322 736,

2 613 147, 20 891 152, …)

2, 2  1  (6, 17, 236, 2 749, 35 396, 413 431, 5 690 952,

71 125 716, 1 002 847 204, 13 151 883 885, …)

2, 2  2  (3, 13, 145, 1 504, 18 427, 213 980, 2 865 159,

36 428 556, 503 155 788, 6 722 469 113, …)

4, 1  1  (5, 10, 110, 1 005, 10 001, 89 975, 949 485, 9 056 745,

97 801 890, 976 221 254, …)

4, 1  5  (1, 4, 30, 234, 2 125, 19 321, 192 129, 1 895 175,

19 683 514, 203 187 546, …)

3, 2  1  (10, 55, 1 335, 27 480, 633 752, 13 302 300, 329 994 200,

7 464 149 850, 189 749 631 535, 4 510 999 768 769, …)

3, 2  5  (2, 19, 331, 6 114, 130 744, 2 826 030, 62 284 536,

1 552 579 431, 38 118 678 267, 934 036 752 789, …)

T able III : coefficients ∗−binômiaux.