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\nologo

\def\la{\lambda}
\def\ze{\zeta}
\def\th{\theta}
\def\al{\alpha}
\def\ep{\epsilon}
\let\oldstyle\eighti

\topmatter 
\title La d\'emonstration des identit\'es de Gordon et MacMahon et de
deux identit\'es nouvelles(*)
\endtitle 
\author Jacques D\'esarm\'enien (**)\footnote""
{(*) Soutien par le P.R.C. Math\'ematiques et
Informatique\newline
(**) D\'epartment d'informatique, I.U.T. Strasbourg III, 72,
route du Rhin, 
F-67400 Illkirch-\linebreak Graffenstaden}
\endauthor 
%\thanks \endthanks
\endtopmatter

\rightheadtext{}
\leftheadtext{}

\document


\head \bf Introduction \endhead

Les identit\'es de Gordon et de MacMahon peuvent \^etre
interpr\'et\'ees comme les fonctions g\'en\'eratrices des tableaux
semi-standard en des puissances de $q$, les exposants \'etant les
entiers de 1 \`a $n$ pour Gordon et les entiers impairs de 1 \`a
$2n-1$ pour MacMahon. La forme de ces tableaux est quelquonque, mais
leur longueur est limit\'ee. MacMahon conjectura son identit\'e
\cite{7} dans la terminologie des partitions planes; le passage aux
tableaux semi-standard est facile et classique. Gordon, de son
c\^ot\'e, d\'emontra son identit\'e, mais il fut le publi\'e 
beaucoup plus tard\footnote{B.    Gordon, {\it ``A proof of the Bender--Knuth 
conjecture,"} Pacific J. Math\. {\bf 108} (1983), 99--113.} 
(pour d'autres d\'etails, {\sl cf\.} Stanley \cite{8}).

Les deux identit\'es furent d\'emontr\'ees simultan\'ement par
Andrews \cite{1} et Macdonald \cite{6}. La d\'emonstration d'Andrews
(et aussi celle-ci de Gordon)
est essentiellement un calcul de d\'eterminant, n\'ecessitant de
nombreuses manipulations de lignes et de colonnes; le r\'esultat
appara\^\i t finalement assez miraculeux. La d\'emonstration de
Macdonald a l'avantage de se rattacher \`a un mod\`ele classique,
celui des syst\`emes de racines, et les manipulations, assez
nombreuses aussi, y sont un peu plus naturelles.

Dans la pr\'esente note, nous donnons les grandes \'etapes de la
d\'emonstration de Macdonald et nous indiquons bri\`evement comment,
par la m\^eme m\'ethode, on obtient deux identit\'es qui
g\'en\'eralisent une identit\'e de Desainte-Catherine et Viennot
\cite{3}. Ce dernier sujet sera repris dans \cite{4}.
\newpage

\head \bf 1. Les identit\'es \endhead

Nous r\'eduirons les pr\'eliminaires au minimum, en renvoyant au
livre de Macdonald \cite{6}. Un {\sl tableau semi-standard\/} est le
remplissage d'un diagramme de Ferrers par des ind\'etermin\'ees
$x_1,\dots,x_n$ de sorte que les indices vont en {\sl croissant
strictement\/} dans les {\sl colonnes} et en {\sl croissant au
sens large} dans les {\sl lignes}. La partition $\la=\la_1\ge
\la_2\ge \dots\ge \la_k$ associ\'ee au diagramme de Ferrers est la
{\sl forme} du tableau, et son ordre est la somme
$\la_1+\la_2+\dots+\la_k$.

La {\sl fonction de Schur} $S_\la(x_1,\dots,x_n)$ est la somme sur
l'ensemble des tableaux semi-standard de forme $\la$ du produit des
ind\'etermin\'ees qui y apparaissent. Les identit\'es de Gordon et de
MacMahon font intervenir des sp\'ecialisations de ces
ind\'etermin\'ees en puissances de l'ind\'etermin\'ee $q$.
\proclaim{\smc Th\'eor\`eme 1.1} \sl --- On a les identit\'es suivantes :
$$\sum _{\la\subset m^n} ^{}S_\la(q^n,q^{n-1},\dots,q)=\prod _{1\le
i\le j\le n} ^{}\frac {q^{m+i+j-1}-1} {q^{i+j-1}-1}\quad \quad
(\text {Gordon});$$
$$\multline \sum _{\la\subset m^n}
^{}S_\la(q^{2n-1},q^{2n-3},\dots,q)\\
=\prod _{1\le i\le n} ^{}\frac {q^{m+2i-1}-1} {q^{2i-1}-1}\prod
_{1\le i<j\le n} ^{}\frac {q^{2(m+i+j-1)}-1} {q^{2(i+j-1)}-1}\quad \quad
(\text {MacMahon}).
\endmultline$$
\endproclaim

Lorsqu'on fait $q=1$ dans les identit\'es pr\'ec\'edentes, on obtient
une formule unique, donnant le nombre de tableaux semi-standard
contenus dans le rectangle $m^n$; si $T_\la$ d\'esigne le nombre de
tableaux semi-standard de forme $\la$, on a~:
$$\sum _{\la\subset m^n} ^{}T_\la=\prod _{1\le i\le j\le n} ^{}\frac
{m+i+j-1} {i+j-1}.$$

Nous dirons que la forme (ou partition) $\la$ est {\sl paire} lorsque
chaque part $\la_i$ est un nombre pair. La formule conjectur\'ee par
Desainte-Catherine et d\'emontr\'ee par Desainte-Catherine et Viennot
est l'analogue de la formule pr\'ec\'edente lorsqu'on se restreint
aux partitions paires~:
$$\sum _{\la\subset (2m)^n} ^{}T_\la=\prod _{1\le i\le j\le n} ^{}\frac
{2m+i+j} {i+j}\quad \quad (\la \text { paire}).$$

Les deux identit\'es nouvelles annonc\'ees sont des \'equivalens des
identit\'es de Gordon et de MacMahon pour les partitions paires, et
elles donnent la formule de Desainte-Catherine et Viennot lorsque
$q=1$. La seconde peut d'ailleurs s'interpr\'eter comme fonction
g\'en\'eratrice de certaines partitions planes.
\proclaim{\smc Th\'eor\`eme 1.2} \sl --- On a les identit\'es suivantes~:
$$\sum _{\la\subset (2m)^n} ^{}S_\la(q^n,q^{n-1},\dots,q)=\prod _{1\le
i\le j\le n} ^{}\frac {q^{2m+i+j}-1} {q^{i+j}-1};
$$
$$\multline \sum _{\la\subset (2m)^n}
^{}S_\la(q^{2n-1},q^{2n-3},\dots,q)\\
=\prod _{1\le i\le n} ^{}\frac {q^{2m+2i}-1} {q^{2i}-1}\prod
_{1\le i<j\le n} ^{}\frac {q^{2(2m+i+j)}-1} {q^{2(i+j)}-1};
\endmultline$$
o\`u la somme est limit\'ee aux partitions $\la$ paires.
\endproclaim



\head \bf 2. S\'eries g\'en\'eratrices de fonctions de Schur \endhead

Deux identit\'es dues \`a Littlewood \cite{5} sont \`a la base de la
d\'emonstration.
\proclaim{\smc Th\'eor\`eme 2.1} \sl --- On a les identit\'es suivantes~:
$$\align \Phi_1(x_1,\dots,x_n)&=\sum _{\la} ^{}S_\la(x_1,\dots,x_n),\\
&=\prod _{1\le i\le n} ^{}(1-x_i)^{-1}\prod _{1\le i< j\le n} ^{}
(1-x_ix_j)^{-1};\\
\Phi_2(x_1,\dots,x_n)&=\sum _{\la} ^{}S_\la(x_1,\dots,x_n)\quad \quad
(\la \text { paire}),\\
&=\prod _{1\le i\le n} ^{}(1-x_i^2)^{-1}\prod _{1\le i< j\le n} ^{}
(1-x_ix_j)^{-1}.
\endalign$$
\endproclaim
La hauteur de la partition $\la$ \'etant limit\'ee par le nombre $n$
de variables qui figurent dans la fonction $S_\la$, il faut trouver
des fonctions g\'en\'eratrices semblables, dans lesquelles la longueur
de $\la$ est major\'ee~:
$$\align S_1(u)&=\sum _{\la_0,\la} ^{}S_\la(x_1,\dots,x_n)u^{\la_0}\quad \quad
(\la=\la_1\ge \la_2\ge\cdots,\ \la_0\ge\la_1);\\
S_2(u)&=\sum _{\la_0,\la} ^{}S_\la(x_1,\dots,x_n)u^{\la_0}\quad \quad
(\text {\sl idem}, \ \la_0,\ \la \text { pairs}).
\endalign$$

R\'ecrivons $\la=\mu_1^{r_1}\mu_2^{r_2}\dots\mu_k^{r_k}$, o\`u l'on
suppose que les $\mu_i$ sont strictement d\'ecroissants, que
$\mu_k\ge0$ et que les $r_i$ sont strictement positifs de somme $n$.
Si l'on note $\Cal S_n^\la=\Cal S_{r_1}\times\Cal
S_{r_2}\times\dots\times \Cal S_{r_k}$ le groupe des permutations
laissant $\la$ invariante, la fonction de Schur $S_\la$ vaut \cite{6,
p.~104}~:
$$S_\la(x_1,\dots,x_n)=\sum _{w\in\Cal S_n/\Cal S_n^\la}
^{}w\bigg(x_1^{\la_1}x_2^{\la_2}\cdots x_n^{\la_n}\prod _{\la_i>\la_j} ^{}
\frac {x_i} {x_i-x_j}\bigg),$$
o\`u la permutation $w$ agit sur les indices des ind\'etermin\'ees.

Pour $Y\subset X=\{x_1,\dots,x_n\}$, posons $p(Y)=\prod _{}
^{}\{x_i\in Y\}$. La donn\'ee de $w\in\Cal S_n/\Cal S_n^\la$ est
\'equivalente \`a la donn\'ee d'une surjection $f:X\to \{1,2,\dots,k\}$
telle que $\vert f^{-1}(i)\vert=r_i$.

Avec ces nouvelles notations, on peut \'ecrire~:
$$S_\la(x_1,\dots,x_n)=\sum _{f} ^{}p(f^{-1}(1))^{\mu_1}\cdots 
p(f^{-1}(k))^{\mu_k}\prod _{f(x_i)<f(x_j)} ^{}
\frac {x_i} {x_i-x_j}.$$

La fonction $f$ est \`a son tour en bijection avec la {\sl filtration}
$\Cal F$ d\'efinie par~:
$$\emptyset=F_0\subset F_1\subset\dots\subset F_k=X,\quad \quad
x_i\in F_l\Leftrightarrow f(x_i)\le l.$$
On dit que cette filtration est de longueur $k$, et on remarque que
$\vert F_l\vert =r_1+r_2+\dots+r_l$ et que toutes les inclusions sont
strictes, ce qui \'equivaut \`a la surjectivit\'e de $f$. Une telle
filtration est dite {\sl compatible} avec $\la$. Posons de plus
$\nu_i=\mu_i-\mu_{i+1}$ si $1\le i\le k-1$ et $\nu_k=\mu_k$ de sorte
que $\nu_i>0$ si $i<k$ et $\nu_k\ge0$. Si $\Cal F$ est une
filtration, notons~:
$$\pi_{\Cal F}=\prod _{f(x_i)<f(x_j)} ^{}
\frac {x_i} {x_i-x_j}.$$
On peut donc \'ecrire~:
$$ 
S_\la(x_1,\dots,x_n)=\sum _{\Cal F} ^{}\pi_{\Cal F}\prod _{1\le i\le
k} ^{}p(F_i)^{\nu_i},\tag$*$ $$
o\`u la sommation est \'etendue \`a toutes les filtrations
compatibles avec $\la$. 

On est alors en mesure de d\'emontrer le lemme suivant.
\proclaim{\smc Lemme 2.2} \sl --- Les s\'eries $S_1(u)$ et $S_2(u)$ sont des
fractions rationnelles en $u$ de la forme~:
$$\align S_1(u)&=\sum _{Y\subset X} ^{}\frac {a(Y)} {1-p(Y)u};\\
S_2(u)&=\sum _{Y\subset X} ^{}\frac {b(Y)} {1-p(Y)^2u^2}.
\endalign$$
En particulier, tous les p\^oles sont simples.
\endproclaim

D\'emontrons-le pour $S_1(u)$. En posant $\mu_0=\la_0$ et
$\nu_0=\mu_0-\mu_1$ dans la d\'efinition de $S_1(u)$, de sorte que
$\la_0\ge \la_1$ se traduit par $\nu_0\ge0$, et en utilisant
l'expression ($*$), on a~:
$$\align S_1(u)&=\sum _{\la_0,\la}
^{}S_\la(x_1,\dots,x_n)u^{\la_0},\\
&=\sum _{k} ^{}\sum _{\Cal F} ^{}\pi_{\Cal F}\sum _{\mu_0,\mu}
^{}u^{\mu_0}\prod _{1\le i\le k} ^{}p(F_i)^{\nu_i},\quad \quad
(\mu_0\ge\mu_1),\\
&=\sum _{k} ^{}\sum _{\Cal F} ^{}\pi_{\Cal F}\sum _{\nu}
^{}u^{\nu_0+\dots+\nu_k}\prod _{1\le i\le k} ^{}p(F_i)^{\nu_i}.
\endalign$$
La derni\`ere somme est \'etendue aux $(k+1)$-uplets
$\nu=(\nu_0,\dots,\nu_k)$ satisfaisant $\nu_0,\nu_k\ge0$ et $\nu_i>0$
pour $1\le i\le k-1$.

En sommant les s\'eries g\'eom\'etriques en $p(F_i)u$, on trouve~:
$$
S_1(u)=(1-u)^{-1}\sum _{\Cal F} ^{}\pi_{\Cal F}A_{\Cal F}(u),
\tag $**$ $$
o\`u
$$A_{\Cal F}(u)=\frac {1} {1-p(X)u}\prod _{1\le i\le k-1} ^{}\frac
{p(F_i)u} {1-p(F_i)u}.$$
Chacun des $A_{\Cal F}(u)$ \'etant une fraction rationnelle de la
forme requise, le lemme s'ensuit.

Pour la fonction $S_2$ le calcul est semblable. Les exposants
$\nu_i$, diff\'erences de nombres pairs, sont tous pairs, ce qui
explique que $S_2(u)$ est en fait une fraction rationnelle en $u^2$.

Il s'agit maintenant d'expliciter les r\'esidus $a(Y)$ et $b(Y)$, ce
qui est l'objet de la proposition suivante.
\proclaim{\smc Proposition 2.3} \sl --- Les s\'eries g\'en\'eratrices $S_1(u)$ et
$S_2(u)$ valent~:
$$\align S_1(u)&=\sum _{\ze} ^{}\frac
{\Phi_1(x_1^{\ze_1},\dots,x_n^{\ze_n})} {1-u\prod _{i}
^{}x_i^{(1-\ze_i)/2}};\\
S_2(u)&=\sum _{\ze} ^{}\frac
{\Phi_2(x_1^{\ze_1},\dots,x_n^{\ze_n})} {1-u^2\prod _{i}
^{}x_i^{(1-\ze_i)}};
\endalign$$
dans les deux cas, la somme est sur
$\ze=(\ze_1,\dots,\ze_n)\in\{\pm1\}^n$.
\endproclaim

Le calcul des r\'esidus se fait de la mani\`ere habituelle.
D\'etaillons-le pour $S_1$. Tout d'abord, calculons $a(\emptyset)$.
Pour cela, observons que~:
$$S_1(u)(1-u)=\sum _{\la} ^{}S_\la(x_1,\dots,x_n)u^{\la_1},$$
la multiplication par $(1-u)$ rempla\c cant la condition
$\la_0\ge\la_1$ par $\la_0=\la_1$. Il s'ensuit que~:
$$a(\emptyset)=S_1(u)(1-u)\Big\vert_{u=0}=\Phi_1(x_1,\dots,x_n).$$
Pour les autres sous-ensembles $Y$, introduisons quelques notations.
Posons $Y'=X\setminus Y$ et $-Y=\{x_i^{-1}: x_i\in Y\}$. Les
notations $\Phi_1(Y')$ et $\Phi_1(-Y)$ d\'esignent la fonction
$\Phi_1$ lorsque les ind\'etermin\'ees sont respectivement les
\'el\'ements de $Y'$ et les inverses de ceux de $Y$. Enfin, si $\Cal
F$ est une filtration de $Z$ de longueur $k$, on note~:
$$A_{\Cal F}(Z;u)=\frac {1} {1-p(Z)u}\prod _{1\le i\le k-1} ^{}\frac
{p(F_i)u} {1-p(F_i)u}.$$
De la m\^eme mani\`ere, $f$ \'etant l'application de $Z$ dans
$\{1,\dots,k\}$ associ\'ee \`a $\Cal F$, on note~:
$$\pi_{\Cal F}(Z)=\prod _{} ^{}\frac {x_i} {x_i-x_j},$$
o\`u le produit est \'etendue aux couples $(x_i,x_j)$ d'\'el\'ements
de $Z$ satisfaisant $f(x_i)<f(x_j)$.

Soit donc \`a calculer $a(Y)$ pour $Y\subset X$. En vertu de
l'expression ($**$), on a~:
$$a(Y)=(1-p(-Y))^{-1}\sum _{\Cal F} ^{}\pi_{\Cal F}A_{\Cal
F}(X;u)(1-p(Y)u)\Big\vert_{u=p(-Y)}.$$
Si la filtration $\Cal F$ ne contient pas $Y$, le terme correspondant
dans la sommation pr\'ec\'edente est nul. On se limite donc aux
filtrations
$$\Cal F:\ \emptyset=F_0\subset\dots\subset F_t=Y\subset \dots\subset
F_k=X.$$
Pour une telle filtration,
$$\align (1-{}&u)^{-1}A_{\Cal F}(X;u)(1-p(Y)u)\\
&=\frac {1} {1-u}\prod _{1\le i\le t-1} ^{}\frac {p(F_i)}
{1-p(F_i)u}p(Y)u \prod _{t+1\le i\le k-1} ^{}\frac {p(F_i)u}
{1-p(F_i)u}\times \frac {1} {1-p(X)u},\\
&=\frac {1} {p(-Y)v}\prod _{1\le i\le t-1} ^{}\frac {p(-(Y\setminus
F_i))v} {1-p(-(Y\setminus F_i))v}\\
&\hskip3cm\times 
v\prod _{t+1\le i\le k-1} ^{}\frac {p(F_i\setminus Y)v} {1-p(F_i\setminus
Y)v}\times \frac {1} {1-p(X\setminus Y)v},
\endalign$$
la derni\`ere \'egalit\'e \'etant obtenue en posant $v=p(Y)u$.

Appelons $\Cal F_1$ et $\Cal F_2$ les filtrations de $-Y$ et de
$Y'=X\setminus Y$ d\'efinies par~:
$$\align 
\Cal F_1&:\ \emptyset\subset -(Y\setminus F_{t-1})\subset\dots\subset
-(Y\setminus F_1)\subset -Y,\\
\Cal F_2&:\ \emptyset\subset F_{t+1}\setminus Y\subset\dots\subset
F_{k-1}\setminus Y\subset X\setminus Y.
\endalign$$
On peut alors \'ecrire~:
$$(1-u)^{-1}a_{\Cal F}(X;u)(1-p(Y)u)=vA_{\Cal F_1}(-Y;v)A_{\Cal
F_2}(Y';v).$$
De plus, on v\'erifie que~:
$$\pi_{\Cal F}(X)=\pi_{\Cal F_1}(-Y)\pi_{\Cal F_2}(Y')r(Y),$$
o\`u $r(Y)=\prod _{} ^{}(1-x_i^{-1}x_j)^{-1}$, le produit \'etant sur
les couples $x_i\in Y,x_j\in Y'$.

On a donc~:
$$\align a(Y)&=(1-u)^{-1}\sum _{\Cal F} ^{}\pi_{\Cal F}(X)A_{\Cal
F}(X;u)(1-p(Y)u)\Big\vert_{u=p(-Y)},\\
&=vr(Y)\sum _{\Cal F_1} ^{}\pi_{\Cal F_1}(-Y)A_{\Cal F_1}(-Y;v)\times \sum
_{\Cal F_2} ^{}\pi_{\Cal F_2}(Y')A_{\Cal F_2}(Y';v)\Big\vert_{v=1}.
\endalign$$
En utilisant le r\'esultat obtenu pour $a(\emptyset)$, qu'on peut
aussi \'ecrire~:
$$\Phi_1(X)=\sum _{\Cal F} ^{}\pi_{\Cal F}(X)A_{\Cal
F}(X;u)\Big\vert_{u=1},$$
on trouve~:
$$a(Y)=r(Y)\Phi_1(-Y)\Phi_1(Y').$$
En reportant l'expression de $\Phi_1$ donn\'ee par le
th\'eor\`eme~2.1, on obtient bien~:
$$a(Y)=\Phi_1(x_1^{\ze_1},\dots,x_n^{\ze_n}),$$
o\`u $\ze_i=1$ si $x_i\notin Y$ et $\ze_i=-1$ si $x_i\in Y$. Avec
cette \'ecriture, on a aussi~:
$$p(Y)=\prod _{i} ^{}x_i^{(1-\ze_i)/2}.$$
Ceci d\'emontre la proposition pour $S_1(u)$.

Le calcul est exactement le m\^eme pour $S_2(u)$.


\head \bf 3. Les syst\`emes de racines \endhead

La proposition~2.3 pr\'ec\'edente va maintenant \^etre r\'ecrite en
utilisant le formalisme des syst\`emes de racines ({\sl cf\.}
\cite{2}). Nous aurons besoin des syst\`emes de type $A_{n-1}$, $B_n$
et $C_n$. L'ensemble des racines est not\'e $R_i$, celui des racines
positives $R_i^+$, la demi-somme de ces derni\`eres $\rho_i$;
l'indice $i$ est $0$ pour $A_{n-1}$, $1$ pour $B_n$ et $2$ pour
$C_n$.

\pagebreak
\noindent {\bf Syst\`eme de type $A_{n-1}$ :}


$$\align R_0&:\quad v_i-v_j,\quad 1\le i\ne j\le n;\\
R_0^+&:\quad v_i-v_j,\quad 1\le i< j\le n;\\
2\rho_0&=(n-1)v_1+\dots+(n-2i+1)v_i+\dots+(-n+1)v_n.
\endalign$$

\medskip
\noindent {\bf Syst\`eme de type $B_{n}$ :}


$$\align R_1&:\quad \pm v_i,\quad 1\le i\le n;\quad \pm v_i\pm v_j,\quad 1\le i< j\le n;\\
R_1^+&:\quad v_i,\quad 1\le i\le n;\quad v_i\pm v_j,\quad 1\le i< j\le n;\\
2\rho_1&=(2n-1)v_1+\dots+(2n-2i+1)v_i+\dots+v_n.
\endalign$$

\medskip
\noindent {\bf Syst\`eme de type $C_{n}$ :}


$$\align R_2&:\quad \pm 2v_i,\quad 1\le i\le n;\quad \pm v_i\pm v_j,\quad 1\le i< j\le n;\\
R_2^+&:\quad 2v_i,\quad 1\le i\le n;\quad v_i\pm v_j,\quad 1\le i< j\le n;\\
2\rho_2&=2nv_1+\dots+(2n-2i+2)v_i+\dots+2v_n.
\endalign$$

\bigskip
\noindent
On note aussi $2\th=v_1+v_2+\dots+v_n$.

Les groupes de Weyl sont respectivement $W_0=\Cal S_n$ agissant par
permutation des vecteurs $v_i$ pour $A_{n-1}$ et
$W_*=\{\pm1\}^n\times \Cal S_n$ (produit semi-direct) agissant par
permutation et changement de signe des vecteurs $v_i$ pour $B_n$ et
$C_n$.

On utilisera essentiellement la {\sl formule de Weyl}.
\proclaim{\smc Th\'eor\`eme 3.1} {\rm(Formule de Weyl).} \sl --- Les racines
positives d'un syst\`eme de racines r\'eduit irr\'eductible
v\'erifient~:
$$\sum _{w\in W} ^{}\ep(w)e^{w\rho}=e^{\rho}\prod _{\al\in R^+}
^{}(1-e^{-\al}),$$
o\`u $\ep(w)$ est la signature de $w$.
\endproclaim

En rempla\c cant $x_i$ par l'exponentielle formelle $e^{-v_i}$, on
peut \'ecrire, partant du th\'eor\`eme~2.1~:
$$\align \Phi_1(e^{-v_1},\dots,e^{-v_n})&=
\frac {\prod _{i<j} ^{}(1-e^{-(v_i-v_j)})} {\prod _{i} ^{}(1-e^{-v_i})
\prod _{i<j} ^{}(1-e^{-(v_i-v_j)})\prod _{i<j}
^{}(1-e^{-(v_i+v_j)})},\\
&=\prod _{\al\in R_0^+} ^{}(1-e^{-\al})\Big/ \prod _{\al\in R_1^+}
^{}(1-e^{-\al}),\\
&=e^{\rho_1-\rho_0}\sum _{w\in W_0} ^{}\ep(w)e^{w\rho_0}\Big/\sum
_{w\in W_*} ^{}\ep(w)e^{w\rho_1},
\endalign$$
ce qui, compte tenu de $\rho_1-\rho_0=n\th=w(n\th)$ pour tout $w\in
W_0$, fournit la proposition suivante, qui contient le r\'esultat
analogue pour $\Phi_2$ faisant intervenir le syst\`eme $C_n$.
\proclaim{\smc Proposition 3.2} \sl --- On a les identit\'es~:
$$\align \Phi_1(e^{-v_1},\dots,e^{-v_n})&=\sum _{w\in W_0}
^{}\ep(w)e^{w\rho_1}\Big/ \sum _{w\in W_*}
^{}\ep(w)e^{w\rho_1};\\
\Phi_2(e^{-v_1},\dots,e^{-v_n})&=\sum _{w\in W_0}
^{}\ep(w)e^{w\rho_2}\Big/ \sum _{w\in W_*}
^{}\ep(w)e^{w\rho_2}.
\endalign$$
\endproclaim

Le coefficient de $u^m$ dans $S_1(u)$ est, avec le formalisme
pr\'ec\'edent et compte-tenu de la proposition~2.3~:
$$\align \sum _{\la\in m^n} ^{}S_\la(e^{-v_1},\dots,e^{-v_n})&=
\sum _{\ze\in\{\pm1\}^n} ^{}\Phi_1(e^{-\ze v_1},\dots,e^{-\ze v_n})
\prod _{i} ^{}e^{(-mv_i+m\ze v_i)/2},\\
&=e^{-m\th}\sum _{\ze\in\{\pm1\}^n} ^{}e^{m\ze\th}\Phi_1(e^{-\ze
v_1},\dots,e^{-\ze v_n}).
\endalign$$
Puisque le groupe $W_*$ est produit semi-direct de $W_0$ et de
$\{\pm1\}^n$, en utilisant la proposition~3.2, on a~:
$$\align \Phi_1(e^{-\ze v_1},\dots,e^{-\ze v_n})&=
\sum _{w\in W_0} ^{}\ep(w)e^{\ze w\rho_1}\Big/ \sum _{w\in W_*}
^{}\ep(w)e^{\ze w\rho_1},\\
&=\sum _{\ze^{-1}w\in W_0} ^{}\ep(\ze^{-1}w)e^{w\rho_1}\Big/ \sum _{w\in W_*}
^{}\ep(w)e^{w\rho_1}.
\endalign$$

En \'ecrivant que $\th$ est invariant sous l'action de $W_0$, et donc
que $\ze\th=\ze\ze^{-1}w\th=w\th$, le coefficient de $u^m$ dans
$S_1(u)$ se transforme en quotient de deux sommes. Le calcul est
analogue pour le coefficient de $u^{2m}$ dans $S_2(u)$.
\proclaim{\smc Lemme 3.3} \sl --- Les sommes de fonctions de Schur de forme
contenue dans un rectangle donn\'e valent~:
$$\align \sum _{\la\in m^n} ^{}S_\la(e^{-v_1},\dots,e^{-v_n})&=
e^{-m\th}\sum _{w\in W_*}
^{}\ep(w)e^{w(m\th+\rho_1)}\Big/ \sum _{w\in W_*}
^{}\ep(w)e^{w\rho_1};\\
\sum _{\la\in (2m)^n} ^{}S_\la(e^{-v_1},\dots,e^{-v_n})&=
e^{-2m\th}\sum _{w\in W_*}
^{}\ep(w)e^{w(2m\th+\rho_2)}\Big/ \sum _{w\in W_*}
^{}\ep(w)e^{w\rho_2},
\endalign$$
la seconde somme ne portant que sur les partitions paires.
\endproclaim

On va maintenant sp\'ecialiser les variables. Soit $f=\sum _{i}
^{}f_iv_i$, on va remplacer dans le lemme pr\'ec\'edent $e^{-v_i}$
par $q^{f_i}=q^{\langle v_i,f\rangle}$. Le terme $e^{w(m\th+\rho_1)}$
est donc remplac\'e par $q^{-\langle w(m\th+\rho_1),f\rangle}$ qui,
puisque $w$ est une isom\'etrie, vaut $q^{-\langle
m\th+\rho_1,w^{-1}f\rangle}$, d'o\`u d\'ecoule le lemme suivant.
\proclaim{\smc Lemme 3.4}
$$\multline \sum _{\la\in m^n} ^{}S_\la(q^{f_1},\dots,q^{f_n})\\
=q^{m\langle\th,f\rangle} \sum _{w\in W_*}
^{}\ep(w)q^{-\langle m\th+\rho_1,wf\rangle}\Big/ \sum _{w\in W_*}
^{}\ep(w)q^{-\langle\rho_1,wf\rangle};
\endmultline$$
\vskip-10pt
$$\multline
\sum _{\la\in (2m)^n} ^{}S_\la(q^{f_1},\dots,q^{f_n})\\
=q^{2m\langle\th,f\rangle} \sum _{w\in W_*}
^{}\ep(w)q^{-\langle 2m\th+\rho_2,wf\rangle}\Big/ \sum _{w\in W_*}
^{}\ep(w)q^{-\langle\rho_2,wf\rangle},
\endmultline$$
la seconde somme ne portant que sur les partitions paires.
\endproclaim

Dans le lemme pr\'ec\'edent, on va remplacer $f$ par $\rho_2$, puis
par $2\rho_1$, ce qui nous donnera les deux th\'eor\`emes~1.1 et 1.2.
Nous n'allons en fait d\'etailler que la d\'emonstration de la
formule de Gordon, les trois autres s'obtenant sans difficult\'e de
la m\^eme mani\`ere.

Faisons donc $f=\rho_2$ dans lqa premi\`ere identit\'e du lemme~3.4.
Pour \'evaluer les sommes qui apparaissent alors, on peut de nouveau
utiliser la formule de Weyl~:
$$\sum _{w\in W_*}
^{}\ep(w)q^{-\langle m\th+\rho_1,w\rho_2\rangle}=
q^{-\langle m\th+\rho_1,\rho_2\rangle}\prod _{\al\in R_2^+} ^{}(1-
q^{\langle m\th+\rho_1,\al\rangle}).$$
Pour terminer, il reste \`a \'evaluer les produits scalaires $\langle
m\th+\rho_1,\al\rangle$. Compte tenu des valeurs de $\th$, $\rho_1$
et des possibilit\'es pour $\al$, trois cas se pr\'esentent~:
$$\align \langle m\th+\rho_1,2v_i\rangle&=m+2n-2i+1,\quad 1\le i\le
n;\\
\langle m\th+\rho_1,v_i+v_j\rangle&=m+n-i+n-j+1,\quad 1\le i<j\le
n;\\
\langle m\th+\rho_1,v_i-v_j\rangle&=j-i,\quad 1\le i<j\le
n.
\endalign$$
Apr\`es simplifications, il vient donc~:
$$\align \sum _{\la\in m^n} ^{}S_\la(q^n,\dots,q)&=\prod _{\al\in
R_2^+} ^{}\frac {1-q^{\langle m\th+\rho_1,\al\rangle}} {1-q^{\langle
\rho_1,\al\rangle}},\\
&=\prod _{i} ^{}\frac {1-q^{m+2n-2i+1}} {1-q^{2n-2i+1}}
\prod _{i<j} ^{}\frac {1-q^{m+n-i+n-j+1}} {1-q^{n-i+n-j+1}}.
\endalign$$
Le changement d'indices $j\leftarrow n-i+1$ et $i\leftarrow n-j+1$
donne exactement la formule de Gordon.


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\enddocument
