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\catcode`\@=12

\def\dum{\left({\partial \over \partial x}
+{\partial \over \partial y}\right)}
\def\Dum{\left({\partial \over \partial x}
+{\partial \over \partial y}+{\partial \over \partial z}\right)}
\font\sp=eufm10
\def\Sch{\mathop{\rm Sch}}
\auteurcourant={D. DUMONT}
\titrecourant={PICS DE CYCLE ET D\'ERIV\'EES PARTIELLES}

\pageno=27

\eightpoint
\leftline{S\'eminaire Lotharingien de Combinatoire, B13a (1986),
19 pp.}
\leftline{[Formerly: Publ. I.R.M.A. Strasbourg, 1986, 316/S-13, p.
27--44.]}


\tenpoint




\vskip 1.5cm
\centerline{{\bf PICS DE CYCLE ET D\'ERIV\'EES PARTIELLES}}
\vskip 2.8mm
\centerline{\sevenrm PAR}
\vskip 2.8mm
\centerline{Dominique {\petcap Dumont}}
\vskip 1cm

\resume{Nous introduisons quatre suites de polyn\^omes
en trois variables pr\'esentant de fortes analogies. Chacune de
ces suites est d\'efinie par une r\'ecurrence faisant intervenir
des d\'eriv\'ees partielles, chacune peut \'egalement se d\'efinir
\`a partir du d\'enombrement des pics de cycle pairs et impairs
dans une certaine classe de permutations. En outre, lorsqu'on
annule une variable ad\'equate, les quatre suites de polyn\^omes
en deux variables qu'on obtient ont des fonctions
g\'en\'eratrices ordinaires pouvant s'\'ecrire comme fractions
continues, lesquelles sont des extensions de celles relatives aux
nombres d'Euler et de Genocchi. Enfin, lorsqu'on identifie deux
variables, les polyn\^omes d\'eg\'en\'er\'es qu'on obtient ont
pour fonctions g\'en\'eratrices ordinaires des s\'eries de
fractions rationnelles qui, elles aussi, ont toutes la m\^eme
forme. Ici nos preuves sont purement combinatoires, et le
probl\`eme est pos\'e d'une version analytique de ces r\'esultats,
d'autant que nous ne  connaissons pas les fonctions
g\'en\'eratrices exponentielles des quatre suites \'etudi\'ees,
sauf pour la premi\`ere qui est une fonction elliptique.} 

\medskip
\abstract{We introduce four sequences of polynomials in three
variables that present strong analogies. Each of those sequences
is defined by a recurrence involving partial derivatives, each of
them can also be defined in a counting permutation context
involving even and odd cycle peaks. Furthermore, when one
variable vanishes, the ordinary generating functions for the four
sequences of polynomials in two variables thereby derived have
continued fraction expansions, that appear to be extensions of
the continued fraction expansions for the Euler and Genocchi
numbers. Finally, when two variables are identified, the
polynomials thereby obtained have ordinary generating functions
that can be expressed as series of rational fractions having the
same form. The proofs derived here are purely combinatorial. This
rises the problem of getting an analytical proof. No exponential
generating function is known for those four sequences, except
for the first one that is an elliptic function.}



\bigskip
\section 1.
Deux exemples simples|Consid\'erons les involutions sans point
fixe de l'ensemble  $[2n]=\{ 1,2,\ldots,2n\} $, c'est-\`a-dire la
classe des permutations ne  comportant que des cycles de
longueur 2, par exemple l'involution :
  $$\sigma =(1\,6)(2\,4)(3\,7)(5\,8).$$
Les points maximaux des cycles de cette involution, qu'on peut
aussi appeler {\it pics de cycle}, sont les quatre entiers 4, 6, 7,
8. Comme il y en a un impair et trois pairs,
nous lui faisons correspondre le mon\^ome $xy^3$.
Nous posons :
  $$M_n(x,y)=\sum _\sigma  x^{i(\sigma )} y^{p(\sigma )} 
\qquad \bigl(\sigma \in  {\rm Inv}(2n)\bigr),$$
o\`u la somme est \'etendue \`a toutes les involutions sans
pointfixe de $[2n]$, et o\`u $p(\sigma )$ et $i(\sigma )$ sont
respectivement le nombre de  pics de cycle pairs et impairs de
$\sigma $. Le polyn\^ome $M_n$ est donc homog\`ene de degr\'e
$n$, et comme nous nous posons le probl\`eme de le calculer par
r\'ecurrence, nous aboutissons \`a la proposition suivante :
\th Proposition 1|On a :
  $$\eqalign{M_1(x,y)&=x,\cr
             M_n(x,y)&=2xy\dum 
                       M_{n-1}(x,y)+yM_{n-1}(x,y).\cr}$$
\finth

\dem 
Etant donn\'ee $\sigma $ une involution sans point fixe de
$[2n]$, d\'efinissons sa restriction $\rho $, involution de
$[2n-2]$, comme suit :

si $(2n-1, 2n)$ est un cycle de $\sigma $, alors $\rho $ est 
la restriction triviale ;

sinon, on a deux cycles $(a, 2n-1)$ et $(b,2n)$ qu'on remplace par $(a,b)$, 
sans changer le reste.

R\'eciproquement, toute $\rho $ se prolonge en une $\sigma $ de $2n-1$ mani\`eres diff\'erentes :
soit on choisit l'un des $n-1$ cycles $(a,b)$ de $\rho $ et on le remplace
soit par $(a,2n-1)$ et $(b,2n)$, soit par $(a,2n)$ et $(b,2n-1)$,
soit on ajoute simplement $(2n-1,2n)$. Dans le premier cas, on aura
remplac\'e l'une des lettres $x$ ou $y$ du mon\^ome 
$x^{i(\rho )}y^{p(\rho )}$ par $2xy$, dans le second cas on aura
simplement multipli\'e le  mon\^ome par $y$. Ceci ach\`eve la
d\'emonstration.\cqfd

Voici les premi\`eres valeurs de ces polynomes :
  $$\eqalign{M_1(x,y)&=y,\cr
             M_2(x,y)&=y^2+2xy,\cr
             M_3(x,y)&=y^3+10xy^2+4x^2y\quad {\rm etc}.\cr}$$
dont nous mentionnerons pour m\'emoire la fonction g\'en\'eratrice exponentielle :
  $${1\over \sqrt {1-{y\over x-y}{e^{2(x-y)t}-1}}}=
1+yt+(y^2+2xy){t^2\over 2!}+\cdots+M_n(x,y){t^n\over n!}
+\cdots$$

Int\'eressons-nous \`a pr\'esent \`a un deuxi\`eme exemple bien
proche, puisqu'il s'agit de consid\'erer les involutions {\it
bipartites} de $[2n]$, c'est-\`a-dire de se restreindre \`a
celles qui satisfont la condition suppl\'ementaire que dans
chaque cycle les deux termes sont deux entiers de parit\'es
diff\'erentes. Exemple :  
  $$\sigma =(8\,1)(7\,2)(6\,5)(4\,3)\ {\rm est\ bipartite}.$$
Par convention, nous ajouterons le cycle suppl\'ementaire
$(0,2n+1)$ ou, ce qui revient au m\^eme, nous compterons un pic
de cycle impair en plus. Ainsi \`a cette involution bipartite
$\sigma $ nous associons le mon\^ome $x^2y^3$.      Et nous
introduisons le polyn\^ome \'enum\'erateur analogue :
  $$A_n(x,y)=\sum _\sigma  x^{i(\sigma )} y^{p(\sigma )} 
\qquad \bigl(\sigma \in  {\rm Invbip}(2n)\bigr).$$
             
\th Proposition 2|Les polyn\^omes $A_n$ sont les 
polyn\^omes eul\'eriens :
  $$\eqalign{A_1(x,y)&=xy,\cr
             A_n(x,y)&=xy\dum 
                       A_{n-1}(x,y).\cr}$$
\finth
\dem 
La preuve est calqu\'ee sur celle de la proposition~1, il convient
simplement de respecter le caract\`ere bipartite dans le prolongement
de $\rho $ \`a $\sigma $. Si dans le cycle $(a,b)$ choisi pour le prolongement
$a$ est pair et $b$ impair, on remplace $(a,b)$ par $(a,2n-1)$ et
$(b,2n)$, ce qui se traduit par le remplacement de $x$ ou de $y$ par $xy$.
Le cas du prolongement trivial correspond au choix de $(0,2n-1)$ comme
cycle $(a,b)$. On obtient ainsi les polyn\^omes eul\'eriens.\cqfd


\section 2. Les permutations. Les polyn\^omes de Schett|Nous
consid\'erons \`a pr\'esent l'ensemble $S_n$ de toutes  les
permutations de $\{1,2,\ldots,n\}$. Nous d\'ecomposons chaque
permutation $\sigma $  en cycles et appelons {\it  pic de cycle}
un entier $p$ strictement  sup\'erieur
\`a son ant\'ec\'edent et \`a son image par la permutation :
  $$\sigma ^{-1}(p)<p>\sigma (p).$$
Exemple : 
  $\sigma =(1\,2\,4)(3\,7\,6)(5)$  a un pic de cycle pair $(4)$ et 
un pic de cycle impair $(7)$.

Mais au lieu de lui faire correspondre le mon\^ome $xy$ comme
dans l'\'etude pr\'ec\'edente, nous pr\'ef\'erons introduire un
mon\^ome  en trois variables en consid\'erant les {\it  ar\^etes
de cycle}. Une ar\^ete de cycle  est un couple $(k,\sigma (k))$ que
nous noterons $k\rightarrow \sigma (k)$  pour distinguer du cycle
de longueur 2. Nous distinguerons :

- les ar\^etes de cycle incidentes \`a un pic de cycle impair, 
c'est-\`a-dire
dont l'origine $k$ ou l'extr\'emit\'e $\sigma (k)$ est un pic de 
cycle impair,
que nous appellerons ar\^etes {\it  de type~x} ;

- les ar\^etes de cycle incidentes \`a un pic de cycle pair, ou 
ar\^etes
{\it  de type~y} ;

- les autres ar\^etes de cycle, appel\'ees {\it  basses} ou 
{\it  de type~z}. En particulier
toute boucle $k\rightarrow k$ est une ar\^ete de type~z.

En outre, nous convenons d'ajouter une ar\^ete 
$0\rightarrow n+1$, 
de type~x ou de
type~y selon que $n+1$ est impair ou pair. Nous posons :
  $$X_n(x,y,z)=\sum _\sigma x^{i(\sigma )}
y^{p(\sigma )}z^{b(\sigma )} \qquad \bigl(\sigma \in S_n\bigr),$$
o\`u $i(\sigma )$, $p(\sigma )$ et $b(\sigma )$ sont respectivement 
le nombre d'ar\^etes de type~x, y ou z de la permutation 
$\sigma $.

Exemple : \`a la permutation ci-dessus correspond le mon\^ome 
$x^2y^3z^3$.
Nous proposons \`a pr\'esent une nouvelle d\'emonstration 
(\cf.~[4]) pour la
proposition suivante :

\goodbreak
\th Proposition 3| Les polynomes $X_n$ sont les polynomes de 
Schett,
donn\'es par la relation de r\'ecurrence :
  $$\eqalign{X_0&=x,\cr 
             X_1&=yz,\cr
             X_n&=(yz{\partial \over \partial x}
+zx{\partial \over \partial y}
+xy{\partial \over \partial z})X_{n-1}.\cr}$$
\finth

\dem 
Pour restreindre une permutation $\sigma $ de $S_n$ \`a une 
permutation $\rho $
de $S_{n-1}$, on supprime simplement $n$ de son cycle. 
R\'eciproquement,
pour prolonger $\rho $ sur $S_{n-1}$ en une permutation 
$\sigma $ sur $S_n$, on
choisit une ar\^ete de cycle $a\rightarrow b$ de $\rho $. Si 
$a\rightarrow b$ et $0\rightarrow n$ sont
deux ar\^etes distinctes, on les remplace par $a\rightarrow n$, 
$n\rightarrow b$ et $0\rightarrow n+1$.
Si au contraire l'ar\^ete choisie est $0\rightarrow n$, alors on 
la remplace par
$n\rightarrow n$ et $0\rightarrow n+1$. Supposons 
$n$ pair et envisageons les trois cas :

- Cas o\`u $a\rightarrow b$ est une ar\^ete de type~x. 
On la remplace par $a\rightarrow n$ et
$n\rightarrow b$ qui sont deux ar\^etes de type~y, on convertit 
l'autre ar\^ete
incidente \`a l'ancien pic de cycle impair, elle aussi de type~x, 
en une
ar\^ete de type~z, enfin on change $0\rightarrow n$ en 
$0\rightarrow n+1$. D'o\`u, sur le
mon\^ome, l'op\'eration   $y^2(z/x)(x/y)
{\partial \over \partial x}=yz{\partial \over \partial x}$

- Cas o\`u $a\rightarrow b$ est une ar\^ete de type~y. 
Si elle est distincte de
$0\rightarrow n$, on la remplace par $a\rightarrow n$ et 
$n\rightarrow b$ qui sont deux ar\^etes de
type~y, on convertit l'autre ar\^ete incidente \`a l'ancien 
pic de cycle pair, elle aussi de type~y, en une ar\^ete de type~z,
enfin on change $0\rightarrow n$ en $0\rightarrow n+1$. D'o\`u  
$y^2(z/y)(x/y){\partial \over \partial y}=
zx{\partial \over \partial y}$. Si l'ar\^ete
de type~y choisie est $0\rightarrow n$, on la remplace 
par $n\rightarrow n$ de type~z
et par $0\rightarrow n+1$ de type~x, ce qui redonne la 
m\^eme chose.

- Cas o\`u $a\rightarrow b$ est de type~z. On la remplace par 
$a\rightarrow n$ et $n\rightarrow b$
qui sont de type~y et on change $0\rightarrow n$ en 
$0\rightarrow n+1$, d'o\`u l'op\'eration
$y^2(x/y){\partial \over \partial z}
=xy{\partial \over \partial z}$.

La d\'emonstration est tout-\`a-fait analogue dans le cas 
o\`u $n$ est impair.

\medskip
Voici les premi\`eres valeurs des polyn\^omes de Schett, 
\'etudi\'es en [4] pour leur
lien avec les fonctions elliptiques de Jacobi :
  $$\eqalign{X_0&=x,\cr
             X_1&=yz,\cr
             X_2&=xy^2+xz^2,\cr
             X_3&=y^3z+yz^3+4x^2yz,\cr
             X_4&=xy^4+14xy^2z^2+xz^4+4x^3y^2+4x^3z^2.\cr}$$

\section 3. Les permutations circulaires et les polyn\^omes
$T_n$|Repre\-nant une id\'ee de D\'esir\'e Andr\'e [2], nous
restreignons  \`a pr\'esent le
m\^eme d\'enombrement \`a l'ensemble $C_n$ des 
permutations {\it circulaires}  de $\{1,2,\ldots,n\}$, et posons
  $$T_n(x,y,z)=\sum _\sigma x^{i(\sigma )}
y^{p(\sigma )}z^{b(\sigma )} \qquad \bigl(\sigma \in C_n\bigr),$$
avec cette diff\'erence que nous n'ajoutons plus une ar\^ete 
$0\rightarrow n+1$ \`a
celles du cycle unique de la permutation.

\th Proposition 4| Les polyn\^omes $T_n$ satisfont la 
relation de r\'ecurrence :
  $$\eqalign{T_1&=z,\cr
            T_{2n}&=y^2({z\over x}{\partial \over \partial x}
+{z\over y}{\partial \over \partial y}
+{\partial \over \partial z})T_{2n-1},\cr
            T_{2n+1}&=x^2({z\over x}{\partial \over \partial x}
+{z\over y}{\partial \over \partial y}+{\partial \over \partial
z})T_{2n}.\cr}
$$
\finth

\dem 
En effet la d\'erivation est la m\^eme que dans le cas de la
proposition pr\'ec\'edente, \`a ceci pr\`es que nous n'avons plus
\`a remplacer $0\rightarrow n$ par $0\rightarrow n+1$, ce qui
supprime le facteur ${x\over y}$ dans le cas $n$ pair, le facteur
${y\over x}$ dans le cas $n$ impair. Autrement dit, si nous
notons en  abr\'eg\'e ``$\Sch$" l'op\'erateur de d\'erivation
d\'efinissant les polyn\^omes de Schett : $X_n=\Sch(X_{n-1})$,
la r\'ecurrence sur les polyn\^omes $T_n$ est :
  $$\eqalign{T_{2n}&={y\over x}\Sch (T_{2n-1}),\cr
             T_{2n+1}&={x\over y}\Sch (T_{2n}).\cr}$$

Voici les premi\`eres valeurs des polyn\^omes $T_n$ :
  $$\eqalign{T_1&=z,\cr
             T_2&=y^2,\cr
             T_3&=2x^2z,\cr
             T_4&=2x^2y^2+4y^2z^2,\cr
             T_5&=4x^4z+12x^2y^2z+8x^2z^3,\cr
             T_6&=4x^4y^2+12x^2y^4+64x^2y^2z^2+24y^4z^2+16y^2z^4.\cr}$$
 
\section 4. Les permutations bipartites et les polyn\^omes
$G_n$|Une permutation $\sigma $ de $[2n]$ est dite {\it
bipartite}   si, pour tout  $k\in [2n]$, $k$ et $\sigma (k)$ sont
deux entiers de parit\'es  oppos\'ees. 
Par commodit\'e pour les d\'enombrements on convient 
d'ajouter un cycle $(0,2n+1)$. Par exemple,
$2n=8$ ;  $\sigma =(1\,4\,5\,6\,3\,8)(2\,7)(0\,9)$.

Une permutation $\sigma $ de $[2n+1]$ est dite bipartite si la 
m\^eme condition
est v\'erifi\'ee pour tout $k\in [2n]$, et si $\sigma (2n+1)$ est 
impair et constitue
donc, de ce fait, la seule entorse au caract\`ere bipartite.
Par exemple, $2n+1=9$ ;  $\tau =(1\,4\,5\,6\,9\,3\,8)(2\,7)$.

Nous d\'efinissons \`a pr\'esent la suite $G_n(x,y,z)$ comme suit :
  $$\eqalign{G_{2n}(x,y,z)
&=\sum _\sigma x^{i(\sigma )}y^{p(\sigma )}z^{n+1-i(\sigma
)-p(\sigma )} \qquad 
\bigl(\sigma \in
Bip(2n)\bigr),\cr
G_{2n+1}(x,y,z)
&=\sum _\sigma x^{i(\sigma )}y^{p(\sigma )}z^{n+1-i(\sigma
)-p(\sigma )},\qquad
\bigl(\sigma \in
Bip(2n+1)\bigr),\cr}$$ 
o\`u $i(\sigma )$ et $p(\sigma )$
d\'esignent, comme dans le cas des involutions sans point fixe, le
nombre de {\it pics de cycle}  impairs et pairs de $\sigma $. Pour
les permutations de $Bip(2n)$, l'entier $2n+1$ figure donc
toujours parmi les pics de cycle, tandis que pour les
permutations de $Bip(2n+1)$, il n'y figure qu'\`a condition de ne
pas \^etre point fixe.

\th Proposition 5|Les polyn\^omes $G_n(x,y,z)$ satisfont 
la r\'ecurrence : 
  $$\eqalignno{
G_1&=z,\cr
 G_{2n}&=xy\Dum G_{2n-1},\quad
            G_{2n+1}=z\Dum G_{2n}\cr}$$
\finth

\dem 
On {\it restreint}  une permutation $\tau $ de $[2n+1]$ en
supprimant $2n+1$ de son cycle et en cr\'eant $(0,2n+1)$. Dans
les exemples ci-dessus $\sigma $ est la restreinte de $\tau $.
Inversement, pour {\it prolonger}  une permutation $\sigma $ bipartite sur $[2n]$ en
une $\tau $ sur $[2n+1]$, on choisit une ar\^ete {\it
``pair $\rightarrow $impair"}  $p\rightarrow i$ de $\sigma $ qu'on
remplace par $p\rightarrow 2n+1$ et $2n+1\rightarrow i$, et on
supprime $(0,2n+1)$. Si l'ar\^ete $p\rightarrow i$ choisie \'etait
$0\rightarrow 2n+1$ on la remplace simplement par le point fixe
$(2n+1)$.

Remarquons que le polyn\^ome $G_{2n}(x,y,z)$ d\'efini plus haut 
comme polyn\^ome \'enu\-m\'e\-ra\-teur des pics de cycles est
\'egalement polyn\^ome \'enu\-m\'e\-ra\-teur sur les
permutations $\sigma $ des ar\^etes {\it pair$\rightarrow
$impair}  selon leur type x, y ou z, et en ce sens nous dirons
que les ar\^etes $p\rightarrow i$ {\it rep\`erent}  les pics de
cycle. Examinons ce qui se passe dans le d\'enombrement de ces
ar\^etes quand on prolonge $\sigma $ en $\tau $. A part la
d\'erivation de l'ar\^ete $p\rightarrow i$ choisie et quel que
soit son type, rien n'est chang\'e puisque $p\rightarrow 2n+1$
remplace $0\rightarrow 2n+1$ en tant qu'ar\^ete de type x. En
fait, $\tau $ a une ar\^ete {\it pair$\rightarrow $ impair}  de
moins que $\sigma $ et la d\'erivation n'a pas cr\'e\'e de
nouveau pic de cycle, mais par convention $G_{2n+1}$ doit avoir
le m\^eme degr\'e que $G_{2n}$, par cons\'equent il faut
multiplier par $z$. D'o\`u  $z\Dum$.

\medskip
Exemples ci-dessus : le mon\^ome de $\sigma $ est
$x^2y^2z$,  l'ar\^ete choisie pour le prolongement est
$6\rightarrow 3$,de type y. On supprime cet $y$ et on multiplie
par $z$, d'o\`u le mon\^ome de $\tau $ : $x^2yz^2$.

A pr\'esent pour restreindre une permutation 
$\sigma $ sur $[2n]$ en une $\rho $ sur
$[2n-1]$ on proc\`ede comme suit : on pose $i=\sigma ^{-1}(2n)$, $i'=\sigma (2n)$,
$p'=\sigma (2n-1)$, et on remplace les ar\^etes $i\rightarrow
2n$, $2n\rightarrow i'$ et $2n-1\rightarrow p'$ par
$2n-1\rightarrow i'$ et $i\rightarrow p'$, cela sauf si  $\sigma
(2n-1)=2n$ auquel cas on supprime simplement $2n$. On supprime
\'egalement le cycle $(0,2n+1)$.
Par exemple, la restreinte de $\sigma
=(1\,4\,5\,6\,3\,8)(2\,7)(0\,9)$ est $\rho =(1\,4\,5\,6\,3\,2\,7)$.

\medskip
Inversement on prolonge une permutation bipartite $\rho $ sur 
$[2n-1]$ en une
$\sigma $ de la mani\`ere suivante :

- soit on choisit une ar\^ete {\it impair$\rightarrow $pair}  
not\'ee $i\rightarrow p'$ qu'on supprime ainsi que
$2n-1\rightarrow i'$ pour cr\'eer les ar\^etes $i\rightarrow 2n$, 
$2n-1\rightarrow p'$ et $2n\rightarrow i'$ sans oublier
les deux ar\^etes du cycle $(0,2n+1)$ ;

- soit on choisit l'ar\^ete {\it impair$\rightarrow $impair}  
$2n-1\rightarrow i'$ qu'on remplace par
$2n-1\rightarrow 2n$ et $2n\rightarrow i'$, et on ajoute encore 
le cycle $(0,2n+1)$.

Remarquons que les ar\^etes {\it impair$\rightarrow $pair}  
ne {\it rep\`erent}  pas, au sens pr\'ecis\'e plus haut, tous les
pics de cycle de $\rho $ puisque $2n-1$ est rep\'er\'e par
$2n-1\rightarrow i'$, que nous d\'ecompterons donc comme
ar\^ete de type x. En revanche dans $\sigma $ les ar\^etes {\it
impair$\rightarrow $pair}  suffisent \`a rep\'erer tous les pics
de cycle. Dans le prolongement de $\rho $ \`a $\sigma $, on d\'erive
donc une ar\^ete {\it rep\'erante}  quelconque $i\rightarrow p'$
ou $2n-1\rightarrow i'$, et on cr\'ee deux nouvelles ar\^etes
{\it impair$\rightarrow $pair} , l'une, $i\rightarrow 2n$ ou
$2n-1\rightarrow 2n$, de type y, et l'autre, $2n+1\rightarrow 0$,
de type x, l'autre ar\^ete de type x $2n-1\rightarrow p'$
rempla\c cant $2n-1\rightarrow i'$ dans le d\'ecompte si on a
d\'eriv\'e une ar\^ete $i\rightarrow p'$. D'o\`u $xy\Dum$.

\vfill\eject
\rem Exemples ci-dessus|$\rho $ a pour mon\^ome $xyz^2$, on 
d\'erive l'ar\^ete $3\rightarrow 2$ de type z et on obtient
$\sigma $, dont le mon\^ome s'obtient en rempla\c cant une
occurence de $z$ par $xy$, d'o\`u $x^2y^2z$.\cqfd

\medskip
Voici les premi\`eres valeurs des polyn\^omes $G_n$ :
$$\eqalign{G_1&=z,\cr
             G_2&=xy,\cr
             G_3&=xz+yz,\cr
             G_4&=x^2y+xy^2+2xyz,\cr
             G_5&=x^2z+6xyz+y^2z+2xz^2+2yz^2,\cr
             G_6&=x^3y+6x^2y^2+xy^3+12x^2yz+12xy^2z
+4xyz^2.\cr}$$

\section 5. Les permutations bipartites circulaires et les 
polyn\^omes $H_n$|Une permutation {\it bipartite circulaire}  est
\`a peu pr\`es une permutation bipartite ne comportant qu'un seul
cycle. En fait, dans le cas $[2n]$ on convient de lui adjoindre le
cycle $(0,2n+1)$, et dans le cas $[2n+1]$ on accepte non
seulement l'ar\^ete $2n+1\rightarrow i'$ dans le cycle mais
aussi la possibilit\'e d'un point fixe $(2n+1)$.

Exemples : sur $[10]$, $\sigma =(1\,10\,3\,8\,5\,2\,9\,4\,7\,6)(0\,11)$ ;
           sur $[7]$, 
$\sigma '=(1\,4\,5\,2\,3\,6)(7)$ ou $\sigma ''=(1\,4\,7\,5\,2\,3\,6)$.

Nous d\'efinissons les polyn\^omes $H_n(x,y,z)$ pour $n\ge 2$ comme suit :
  $$\eqalign{H_{2n}(x,y,z)&=\sum _\sigma x^{i(\sigma )}y^{p(\sigma )}z^{n+1-i(\sigma )-p(\sigma )}
                                  \qquad \bigl(\sigma \in Bipcirc(2n)\bigr),\cr
           H_{2n+1}(x,y,z)&=\sum _\sigma x^{i(\sigma )}y^{p(\sigma )}z^{n-i(\sigma )-p(\sigma )}
                                  \qquad 
\bigl(\sigma \in Bipcirc(2n+1)\bigr).\cr}$$
o\`u $i(\sigma )$ et $p(\sigma )$ d\'esignent le nombre de pics de
cycle impairs et pairs de $\sigma $ avec les conventions
ci-dessus. Remarquons que les ar\^etes {\it pair$\rightarrow
$impair}  de $\sigma $ {\it rep\`erent}  ses pics de cycle, par
cons\'equent les polyn\^omes $H_n$ sont \'egalement
\'enum\'erateurs de ces ar\^etes selon leurs types. Dans les
exemples ci-dessus, $\sigma $ a pour mon\^ome $x^3y^2z$,
$\sigma '$ et $\sigma ''$ ont le m\^eme mon\^ome $xyz$.

\th Proposition 6|Les polyn\^omes $H_n$ satisfont la r\'ecurrence :
  $$\eqalign{H_2(x,y,z)&=xy,\cr
             H_{2n+1}(x,y,z)&=\Dum H_{2n}(x,y,z) \qquad (2n+1\ge 3),\cr
             H_{2n}(x,y,z)&=xyz\Dum H_{2n-1}(x,y,z) \qquad (2n\ge 4).\cr}$$
De ce fait les polyn\^omes $H_n$ sont sym\'etriques dans les trois variables
\`a partir de $n=4$.
\finth

\dem 
On restreint une permutation bipartite circulaire $\sigma $ sur
$[2n+1]$ en une $\rho $ sur $[2n]$ par suppression de $2n+1$ et
cr\'eation du cycle $(0,2n+1)$. Inversement on prolonge $\rho $ en
choisissant une ar\^ete {\it pair$\rightarrow $impair} 
quelconque. Si cette ar\^ete est $0\rightarrow 2n+1$ on la
remplace simplement par la boucle $(2n+1)$. Sinon, on remplace
cette ar\^ete $p\rightarrow i$ et $0\rightarrow 2n+1$ par
$p\rightarrow 2n+1$ et $2n+1\rightarrow i$. Dans les deux cas il
n'y a eu aucune cr\'eation de pic de cycle et le  r\'esultat sur le
mon\^ome est $\Dum$.

Nous d\'efinissons \`a pr\'esent la restriction $\rho $ d'une permutation
bipartite circulaire $\sigma $ sur $[2n]$ de la mani\`ere suivante
: nous posons $i=\sigma ^{-1}(2n)$, $i'=\sigma (2n)$, $ p=\sigma
^{-1}(2n-1)$, $ p'=\sigma (2n-1)$.

- Si $i\not=2n-1$ et $i'\not=2n-1$, nous supprimons les ar\^etes 
$i\rightarrow 2n$, $2n\rightarrow i'$, $p\rightarrow 2n-1$,
$2n-1\rightarrow p'$, ainsi que le cycle $(0,2n+1)$, puis cr\'eons
les ar\^etes $p\rightarrow i$, $p'\rightarrow 2n-1$ et
$2n-1\rightarrow i'$, enfin renversons le sens de la s\'equence
d'ar\^etes $(p'\rightarrow \cdots\rightarrow i)$ en s\'equence
$(i\rightarrow \cdots\rightarrow p')$, en ne laissant finalement
inchang\'ee que la s\'equence $(i'\rightarrow \cdots\rightarrow
p)$. Exemple : la restriction de
 $\sigma =(1\,10\,3\,8\,5\,2\,9\,4\,7\,6)(0\,11)$ est 
$\rho =(9\,3\,8\,5\,2\,1\,6\,7\,4)$.

- Si $i'=2n-1$, nous supprimons les ar\^etes 
$2n\rightarrow 2n-1$, $i\rightarrow 2n$ et $2n-1\rightarrow p'$,
cr\'eons $p'\rightarrow i$ et la boucle $(2n-1)$, 
enfin renversons le sens de la  s\'equence $(p'\rightarrow
\cdots\rightarrow i)$ en s\'equence $(i\rightarrow
\cdots\rightarrow p')$ ;

- Si $i=2n-1$, nous supprimons simplement $2n$ du cycle.

R\'eciproquement, pour prolonger $\rho $, il suffit de choisir une
ar\^ete $p\rightarrow i$ de $\rho $, de la supprimer ainsi que
$2n-1\rightarrow i'$, de renverser le sens de la s\'equence
$(i\rightarrow \cdots\rightarrow 2n-1)$, de cr\'eer $i\rightarrow
2n$, $2n\rightarrow i'$, ainsi que le cycle $(0,2n+1)$, autrement
dit de cr\'eer exactement deux nouveaux pics de cycle, $2n$ et
$2n+1$, l'un de type x et l'autre de type y. Exactement, car d'une
part le pic de cycle $2n-1$, quand il existe ailleurs que sur
l'ar\^ete $p\rightarrow i$, est conserv\'e, d'autre part le fait
d'avoir invers\'e le sens de la s\'equence $(i\rightarrow
\cdots\rightarrow p')$ n'a en rien modifi\'e sa contribution en
pics de cycle. Il reste que le polynome $H_{2n}$ \'etant de
degr\'e $n+1$ et $H_{2n-1}$ de degr\'e $n-1$, il convient
encore de multiplier par $z$. Du point de vue des ar\^etes {\it
pair$\rightarrow $impair} , la prolong\'ee $\sigma $ en a deux de
plus que $\rho $, et m\^eme trois apr\`es suppression de
l'ar\^ete $p\rightarrow i$ qui d\'efinit le prolongement,
cr\'eation de l'ar\^ete de type x $0\rightarrow 2n+1$, de
l'ar\^ete de type y $2n\rightarrow i'$, et d'une ar\^ete de type
z. D'o\`u, sur le mon\^ome, la d\'erivation $xyz\Dum$.\cqfd

Voici les premi\`eres valeurs des polyn\^omes $H_n$ :
  $$\eqalignno{H_2&=xy,\cr
             H_3&=x+y,\cr
             H_4&=2xyz,\cr
             H_5&=2xy+2xz+2yz,\cr
             H_6&=4x^2yz+4xy^2z+4xyz^2,\cr
             H_7&=4x^2y+4x^2z+4xy^2+24xyz+4xz^2+4y^2z
+4yz^2,\cr
             H_8&=8x^3yz+40x^2y^2z+40x^2yz^2+8xy^3z
+40xy^2z^2+8xyz^3,\cr}$$
    

\section 6. Quelques fractions continues|On montre assez
facilement, suivant Touchard (\cf.~[6] et [8]),  la formule
suivante. Si  $(c_n)_{n\ge 1}$ est une suite quelconque, que nous
appellerons  {\it valuation} ,
alors on a :
  $${1\over \displaystyle 1-
       {\strut c_1u\over \displaystyle 1-
           {\strut c_2u\over \displaystyle 1-
              {\strut c_3u\over \ldots}}}}
    = \vtop{\hbox{$1+c_1u+(c_1c_1+c_1c_2)u^2+(c_1c_1c_1+c_1c_1c_2+c_1c_2c_1$}
            \vskip 3pt
            \hbox{$+c_1c_2c_2+c_1c_2c_3)u^3+
\cdots+\Bigl(\displaystyle \sum _dc_{d_1}c_{d_2}\ldots 
c_{d_n}\Bigr)u^n$}
\hbox{$+\cdots$}}
$$
la sommation pour chaque $n$ s'effectuant sur les suites ou mots
{\it de Dyck}  $d=(d_1,d_2,\ldots,d_n)$ que 
l'on d\'efinit par la condition
$(\delta )$ suivante 
  $$\eqalign{d_1&=1, \cr
             1\le &d_i\le d_{i-1}+1 \qquad (1\le i\le n).\cr}$$
Le produit $c_{d_1}c_{d_2}\ldots c_{d_n}$ est appel\'e 
{\it poids de la suite de
Dyck}  $d$ relativement \`a la valuation $(c_n)$.

En fait, nous aurons surtout affaire \`a la pr\'esentation suivante de la formule
de Touchard :  
  $${1\over \displaystyle 1-
      {\strut c_1yu\over \displaystyle 1-
       {\strut c_2xu\over \displaystyle 1-
        {\strut c_3yu\over 
\vbox{\halign{$#$&$#$\cr
{\displaystyle \ddots}&\cr
  \noalign{\vskip -3pt }   
   &1-{\strut \displaystyle c_{2n}xu\over
\displaystyle 1-{\strut c_{2n+1}yu\over \ldots}}\cr}}}}}}
    = \vtop{\hbox{$1+c_1yu+(c_1c_1y^2+c_1c_2xy)u^2$}
\vskip 3pt
\hbox{${}+\Bigl(c_1c_1c_1y^3$}
\vskip 3pt
\hbox{\qquad${}+(c_1c_1c_2+c_1c_2c_1+c_1c_2c_3)xy^2$}
\vskip 3pt
\hbox{\qquad${}+c_1c_2c_2x^2y\Bigr)u^3+\cdots$}
\vskip 3pt
\hbox{${}+\displaystyle \Bigl(\sum _dc_{d_1}c_{d_2}\ldots c_{d_n}
x^{p(d)}y^{i(d)}\Bigr)u^n,$}
\vskip 3pt
\hbox{${}+\cdots\,,$}
}$$
o\`u $p(d)$ et $i(d)$ d\'esignent respectivement le nombre 
d'entiers $d_i$ pairs et
impairs de la suite de Dyck $d$.

Nous allons \`a pr\'esent nous restreindre, dans chacune des
classes de permutations consid\'er\'ees pr\'ec\'edemment, \`a la
sous-classe de celles qui ont le maximum de pics de cycle. Dans
le cas des involutions il ne s'agira pas \`a proprement parler
d'une restriction, mais dans le cas des permutations, dans celui
des permutations circulaires et dans celui des permutations
bipartites, nous nous restreindrons \`a celles qui, op\'erant sur
$[2n]$, ont $n$ pics de cycle (dans le cas des permutations
bipartites circulaires sur $[2n]$, ce nombre maximum tombe \`a
$n-1$).

Convenons donc de ranger ces $n$ pics de cycle par ordre 
d\'ecroissant :  
  $$2n=p_1>p_2>p_3>\ldots>p_n.$$
La suite $p=(p_i)$ v\'erifie en outre la condition $(\pi)$ :
  $$p_i\ge 2(n-i+1) \qquad (1\le i\le n)$$
qui exprime le fait que $p_i$, $p_{i+1}$, \dots\ $p_n$ et leurs
$(n-i+1)$ images par la permutation sont des entiers distincts
et tous inf\'erieurs ou \'egaux \`a $p_i$. Posons alors :
  $$d_i=p_i-2(n-i)-1$$
La suite $d=(d_i)$ ainsi d\'efinie est une suite de Dyck. Les 
conditions $(\delta )$ et $(\pi )$ sont \'equivalentes et
r\'eciproquement la donn\'ee d'une suite de  Dyck d\'efinit un
ensemble de $n$ pics de cycle.

Exemple : $\sigma =(8\,5\,6\,1)(7\,3)(4\,2)$, permutation sur $[8]$, 
a 4 pics de cycle 8, 7, 6, 4 auxquels correspond la suite de Dyck
$d=(1,2,3,3)$.

Nous allons montrer que pour chacune des classes de
permutations consid\'er\'ees, le nombre de celles qui ont une
suite de pics de cycle $p$ donn\'ee est \'egal au poids
$c_{d_1}c_{d_2}\ldots c_{d_n}$ de la suite de Dyck $d$
correspondant \`a $p$ relativement \`a une certaine valuation
d\'ependant de la classe consid\'er\'ee. En outre, $p_i$ et $d_i$
sont toujours de parit\'es oppos\'ees d'o\`u
  $$p(\sigma )=i(d)\ {et}\ i(\sigma )=p(d).$$
Dans chaque cas, on obtiendra donc une fraction continue comme
fonction g\'en\'eratrice ordinaire des polyn\^omes $P_n(x,y,0)$,
$P_n$ \'etant une notation g\'en\'erique des diff\'erentes suites
de polyn\^omes introduites ici, et l'annulation de la variable $z$
traduisant le fait qu'on s'est restreint \`a la sous-classe des
permutations ayant un nombre maximum de pics de cycle donc sans
ar\^etes  de type z (on pourrait, par analogie avec les
permutations {\it alternantes}  d'Andr\'e [1], les appeler {\it
cyclalternantes} ).

\th Proposition 7|Les six suites de polyn\^omes introduites v\'erifient les
identit\'es suivantes :
$${1\over \displaystyle 1-
      {\strut yu\over \displaystyle 1-
       {\strut 2xu\over \displaystyle 1-
        {\strut 3yu\over \vbox{\halign{$#$&$#$\cr
                             {\displaystyle \ddots}&\cr
                             \noalign{\vskip -3pt }   
                             &1-{\strut \displaystyle (2n)xu\over \displaystyle 1-
                             {\strut (2n+1)yu\over \ldots}}\cr}}}}}}
     =1+\sum _{n\ge 1}M_n(x,y)u^n$$
$${x\over \displaystyle 1-
      {\strut yu\over \displaystyle 1-
       {\strut xu\over \displaystyle 1-
        {\strut 2yu\over \displaystyle 1-
         {\strut 2xu\over \vbox{\halign{$#$&$#$\cr
                             {\displaystyle \ddots}&\cr
                             \noalign{\vskip -3pt }   
                             &1-{\strut \displaystyle nyu\over \displaystyle 1-
                             {\strut nxu\over \ldots}}\cr}}}}}}}
    = x+\sum _{n\ge 1}A_n(x,y)u^n$$

$${x\over \displaystyle 1-
      {\strut y^2u\over \displaystyle 1-
       {\strut 4x^2u\over \displaystyle 1-
        {\strut 9y^2u\over \vbox{\halign{$#$&$#$\cr
                             {\displaystyle \ddots}&\cr
                             \noalign{\vskip -3pt }   
                             &1-{\strut \displaystyle (2n)^2x^2u\over \displaystyle 1-
                             {\strut (2n+1)^2y^2u\over \ldots}}\cr}}}}}}
     = \sum _{n\ge 0}X_{2n}(x,y,0)u^n$$
$${x\over \displaystyle 1-
      {\strut yu\over \displaystyle 1-
       {\strut xu\over \displaystyle 1-
        {\strut 4yu\over \displaystyle 1-
         {\strut 4xu\over \vbox{\halign{$#$&$#$\cr
                             {\displaystyle \ddots}&\cr
                             \noalign{\vskip -3pt }   
                             &1-{\strut \displaystyle n^2yu\over \displaystyle 1-
                             {\strut n^2xu\over \ldots}}\cr}}}}}}}
     = \sum _{n\ge 0}G_{2n}(x,y,0)u^n$$
$${y^2\over \displaystyle 1-
      {\strut 2x^2u\over \displaystyle 1-
       {\strut 6y^2u\over \displaystyle 1-
        {\strut 12x^2u\over \vbox{\halign{$#$&$#$\cr
                             {\displaystyle \ddots}&\cr
                             \noalign{\vskip -3pt }   
                             &1-{\strut \displaystyle (2n-1)(2n)x^2u\over \displaystyle 1-
                             {\strut (2n)(2n+1)y^2u\over \ldots}}\cr}}}}}}
    = \sum _{n\ge 0}T_{2n+2}(x,y,0)u^n$$
$${x\over \displaystyle 1-
      {\strut 2yu\over \displaystyle 1-
       {\strut 2xu\over \displaystyle 1-
        {\strut 6yu\over \displaystyle 1-
         {\strut 6xu\over \vbox{\halign{$#$&$#$\cr
                             {\displaystyle \ddots}&\cr
                             \noalign{\vskip -3pt }   
                             &1-{\strut \displaystyle n(n+1)yu\over \displaystyle 1-
                             {\strut n(n+1)xu\over \ldots}}\cr}}}}}}}
     = x + \sum _{n\ge 1}\overline H_{2n+2}(x,y,0)u^n,$$
o\`u  $\overline H_{2n+2}(x,y,z)=(1/z)H_{2n+2}(x,y,z)$.
\finth

\goodbreak
\rem Remarque|Il manque \`a cette liste la formule suivante, 
pour la d\'emonstration de laquelle nous aurions besoin d'un autre
mod\`ele combinatoire, celui des {\it pistolets} ([5], [9]) :

  $${z\over \displaystyle 1-
      {\strut yu\over \displaystyle 1-
       {\strut 2zu\over \displaystyle 1-
        {\strut 4yu\over \vbox{\halign{$#$&$#$\cr
                             {\displaystyle \ddots}&\cr
                             \noalign{\vskip -3pt }   
                             &1-{\strut \displaystyle n(n-1)zu\over \displaystyle 1-
                             {\strut n^2yu\over \ldots}}\cr}}}}}}
      = \sum _{n\ge 0}G_{2n+1}(0,y,z)u^n.$$


\dem 
Pour \'etablir la premi\`ere formule, nous devons d\'enombrer les
involutions sans point fixe de la forme
  $$(p_1,q_1)(p_2,q_2)\ldots(p_n,q_n),$$
o\`u la suite des pics $(p_i)$ a \'et\'e donn\'ee, d\'ecroissante 
et satisfaisant $(\pi )$.
Dans ces conditions il y a
  $$\eqalign{p_n-1&=d_n\ {choix\  possibles\  pour}\ q_n,\cr
            p_{n-1}-3&=d_{n-1}\ {choix\  possibles\  pour}\ q_{n-1},\cr
           p_i-2(n-i)-1&=d_i\ {choix\  possibles\  pour}\ q_i\ {etc.}\cr}$$
Le nombre d'involutions r\'epondant \`a la question est donc
\'egal \`a $d_1d_2\cdots d_n$, la valuation correspondante est
$c_n=n$, et on raffine en pics pairs et impairs en rempla\c cant
alternativement $c_{2n-1}$ par $(2n-1)y$ et $c_{2n}$ par
$(2n)x$. Notons qu'on trouve une preuve analytique de cette
formule \`a partir de la fonction g\'en\'eratrice mentionn\'ee plus
haut dans [10].


Pour \'etablir la deuxi\`eme formule, nous consid\'erons les
involutions bipartites. Fixons donc \`a nouveau une suite de pics
$(p_i)$ \`a laquelle correspond la suite de Dyck $d_i)$. Le nombre
de choix pour $q_n$ n'est plus $p_n-1$, mais le nombre d'entiers
inf\'erieurs \`a $p_n$  {\it et de parit\'e oppos\'ee} , or ce
nombre est la partie enti\`ere
  $$E\left({p_n\over 2}\right)=E\left({d_n+1\over 2}\right).$$
Plus g\'en\'eralement, pour choisir $q_i$, il faut exclure parmi
les entiers  inf\'erieurs \`a $p_i$ tous ceux d\'ej\`a occup\'es
par  $p_{i+1},q_{i+1},p_{i+2},q_{i+2},\ldots,p_n,q_n$ qui sont
au nombre de $2n-2i$ et comportent autant de pairs que
d'impairs, et parmi les entiers restants en choisir un de parit\'e
oppos\'ee \`a $p_i$, soit 
$$E\left({p_i-2(n-i)\over 2}\right)=E\left({d_i+1\over
2}\right)\ {choix}.$$ 
On doit donc prendre pour valuation
$c_n=E((n+1)/2)$, ce qui donne la fraction continue d'Euler,
raffin\'ee en celle des polynomes eul\'eriens.

On passe aux deux formules suivantes en observant qu'\`a une
permutation $\sigma $ de $[2n]$ ayant $n$ pics de cycle $p_i$ on
fait correspondre bijectivement un couple ordonn\'e de deux
involutions sans point fixe ayant les m\^emes pics que $\sigma $,
la premi\`ere {\it appliquant}  ces pics sur leurs images par
$\sigma $, la seconde appliquant de m\^eme les ant\'ec\'edents
des pics sur les pics. Cette correspondance bijective \'etablit
que la valuation pour les permutations n'est autre que le carr\'e
de la valuation pour les involutions. En outre la permutation sera
bipartite si et seulement si les deux involutions le sont
\'egalement. Cela suffit \`a \'etablir les deux formules. La
premi\`ere concerne en fait le cosinus elliptique $cn(u)$ (\`a ce
sujet, voir [6] et [10]),   fonction g\'en\'eratrice exponentielle
des polynomes $X_{2n}(x,y,0)$ qui d\'eg\'en\`ere en $sec(u)$ pour
$x=y=1$, la seconde constitue un {\it analogue Genocchi} 
puisque les coefficients $G_{2n}(1,1,0)$ sont, de mani\`ere
similaire, les nombres de Genocchi de deuxi\`eme esp\`ece ou
``m\'edians"(\`a ce sujet, cf. [3], [5] et [9]). Quant \`a la
premi\`ere des deux derni\`eres formules, il s'agit d'un {\it
analogue tangent} , car les $T_{2n}(1,1,0)$ sont les nombres
tangents [9], mais nous ignorons si, comme dans le cas s\'ecant,
l'extension propos\'ee ici est en relation avec une fonction
elliptique.

Pour \'etablir les deux derni\`eres formules il faut simplement,
dans le choix de l'ant\'ec\'edent $q_i$ et de l'image $q'_i$ du
pic de cycle $p_i$, tenir compte du fait que la permutation finale
$\sigma $ doit \^etre circulaire, et qu'on doit donc \'eviter de
boucler un cycle avant l'\'etape finale. Pla\c cons-nous donc dans
le cas des permutations circulaires sur $[2n]$  ayant $n$ pics de
cycle donn\'es $(p_i)_{1\le i\le n}$. Pour l'ant\'ec\'edent $q_n$ de
$p_n$ il y a $p_n-1$ choix, pour son image $q'_n$ il reste
$p_n-2$ choix, d'o\`u, \`a ce stade, $d_n(d_n-1)$ choix.
A pr\'esent supposons choisis les ant\'ec\'edents et images
de $p_{i+1},p_{i+2},\ldots, p_n$. Comme certaines images de pic
peuvent avoir \'et\'e choisies comme ant\'ec\'edents d'un autre
pic, il s'est form\'e des {\it cha\^\i nes de pics} , chacune
commen\c cant par un ant\'ec\'edent et aboutissant  \`a une
image, et aucune cha\^\i ne ne s'\'etant ferm\'ee puisque nous
supposons que le choix a \'et\'e correct. Pour choisir
l'ant\'ec\'edent $q_i$ de $p_i$ il suffit de choisir un entier
inf\'erieur \`a $p_i$, diff\'erent des $n-i$ pics
$p_{i+1},p_{i+2},\ldots ,p_n$ et de leurs $n-i$ ant\'ec\'edents
(mais pouvant \^etre une de leurs images), ce qui repr\'esente
  $$p_i-2(n-i)-1=d_i\ {choix\  pour}\ q_i.$$
Pour choisir ensuite l'image $q'_i$ de $p_i$, il faut un entier
inf\'erieur  \`a $p_i$, diff\'erent des $n-i$ pics et de leurs
$n-i$ images, mais aussi diff\'erent d'un \'el\'ement
suppl\'ementaire qui est, soit l'ant\'ec\'edent $q_i$ si celui-ci
n'a pas \'et\'e choisi parmi les images des pics ant\'erieurs,
soit, dans le cas inverse, l'ant\'ec\'edent de pic qui inaugure la
cha\^\i ne aboutissant \`a $q_i$, cela pour, dans un cas comme
dans l'autre,  \'eviter de boucler un cycle. Ainsi il y a 
  $$d_i-1\ {choix\  pour}\ q'_i.$$
A l'\'etape finale, il n'y a que $d_1=1$ choix possible pour
l'ant\'ec\'edent comme pour l'image de $p_1$ pour boucler le
cycle unique de la permutation. D'o\`u une valuation
$c_n=n(n-1)$ pour $n\ge 2$ et $c_1=1$.

Le cas des permutations bipartites circulaires est tout-\`a-fait
analogue, \`a ceci pr\`es qu'une telle permutation sur $[2n+2]$
comporte au maximum $n$, et non pas $n+1$, pics de cycle, donc
comporte toujours des ar\^etes de type z. D'o\`u la n\'ecessit\'e
de diviser pr\'ealablement par $z$ le polynome
 avant de porter $z=0$. Il faut \'egalement choisir images et ant\'ec\'edents
de mani\`ere bipartite, ce qui conduit \`a la valuation
  $$c_n=E({n+1\over 2})
\left(E({n+1\over 2})-1\right)\ (n\ge 2)\ {et}\ c_1=1.$$


\sectiona 7. Quelques s\'eries de fractions rationnelles|

\th Proposition 8|Les polyn\^omes \'etudi\'es dans les sections 
pr\'ec\'e\-dentes
satisfont les identit\'es suivantes :
$$\displaylines{\sum _{n\ge 1}{1.3.5\ldots(2n-1)\,t^n
\over (1-2(x-1)t)(1-4(x-1)t)\cdots(1-2n(x-1)t)} 
= \sum _{n\ge 1}M_n(x,1)t^n\cr
    \sum _{n\ge 1}{n!\,t^n
\over (1-(x-1)t)(1-2(x-1)t)\cdots(1-n(x-1)t)} 
= \sum _{n\ge 1}{1\over x}A_n(x,1)t^n\cr
   \sum _{n\ge 1}{(2n-1)!\,t^n
\over (1-4(x^2-1)t)\cdots(1-4n^2(x^2-1)t)} 
= \sum _{n\ge 1}X_{2n-1}
(x,1,1)t^n\cr
   \sum _{n\ge 1}{(2n)!\,t^n
\over (1-4(x^2-1)t)\cdots(1-4n^2(x^2-1)t)} 
= \sum _{n\ge 1}{1\over x}
X_{2n}(x,1,1)t^n\cr
   \sum _{n\ge 1}{(2n-1)!\,t^n
\over (1-(z^2-1)t)\cdots(1-(2n-1)^2(z^2-1)t)}
= \sum _{n\ge 1}{1\over z}
X_{2n-1}(1,1,z)t^n\cr
   \sum _{n\ge 1}{(2n)!\,t^n
\over (1-(z^2-1)t)\cdots(1-(2n-1)^2(z^2-1)t)} 
= \sum _{n\ge 0}X_{2n}
(1,1,z)t^{n+1}\cr
\quad
  \sum _{n\ge 1}{(n-1)!\,n!\,t^n
\over (1-(x-1)t)(1-4(x-1)t)\cdots(1-n^2(x-1)t)} \hfill\cr
\hfill{}= \sum _{n\ge 1}G_{2n-1}(x,1,1)t^n\qquad\cr
  \sum _{n\ge 1}{(n!)^2t^n
\over (1-(x-1)t)(1-4(x-1)t)\cdots(1-n^2(x-1)t)}  \hfill\cr
\hfill{}= \sum _{n\ge 1}{1\over x}G_{2n}
(x,1,1)t^n\qquad\cr
  \sum _{n\ge 1}{(n!)^2t^n
\over (1-2(z-1)t)(1-6(z-1)t)\cdots(1-n(n+1)(z-1)t)} \hfill\cr 
\hfill{}= \sum _{n\ge 1}G_{2n}
(1,1,z)t^n\qquad\cr
  \sum _{n\ge 1}{(n-1)!\,n!\,t^n
\over (1-2(z-1)t)(1-6(z-1)t)\cdots(1-n(n+1)(z-1)t)} \hfill\cr 
\hfill{}= \sum _{n\ge 1}H_{2n}
(1,1,z)t^n\qquad\cr
  \sum _{n\ge 1}{(n-1)!\,(n+1)!\,t^n
\over (1-2(z-1)t)(1-6(z-1)t)\cdots(1-n(n+1)(z-1)t)} \hfill\cr 
\hfill{}= \sum _{n\ge 1}H_{2n+1}
(1,1,z)t^n\qquad\cr}$$
En outre, si on substitue $z$ \`a $x$ dans $X_n(x,1,1)$ on obtient 
$T_{n+1}(1,1,z)$, d'o\`u une r\'e\'ecriture des troisi\`eme et 
quatri\`eme identit\'es.
De m\^eme, on a
  $$G_{2n-1}(1,1,z)=H_{2n}(1,1,z)$$
\finth

\dem 
Nous nous bornerons \`a r\'esumer les d\'emonstrations
combinatoires de ces identit\'es, toutes calqu\'ees sur le m\^eme
mod\`ele. Dans chaque cas, le membre de gauche est de la forme :
  $$\sum _n{u_nt^n\over (1-a_1(x-1)t)\cdots(1-a_n(x-1)t)}.$$
Dans ce d\'eveloppement, le coefficient de $t^n$ est
  $$\sum _{k=0}^{k=n-1}u_{n-k}S_k(a_1,\ldots,
a_{n-k+1})(x-1)^k,$$
o\`u $S_k$ d\'esigne la fonction sym\'etrique homog\`ene de
degr\'e $k$ dans les
$(a_i)_{1\le i\le n-k+1}$. Quand $a_i=i$, ces fonctions
sym\'etriques sont les nombres de Stirling de deuxi\`eme
esp\`ece, quand $a_i=i^2$ ce sont les  nombres dits factoriels
centraux etc.

On se propose de calculer par inclusion-exclusion le nombre de
permutations d'une classe donn\'ee ayant un nombre d\'etermin\'e
de pics de cycle d'une parit\'e d\'etermin\'ee. A cet effet nous
d\'enombrons d'abord les couples $(C_k,\sigma )$, o\`u $C_k$
d\'esigne un {\it choix de k pics de cycle}  et $\sigma $ une 
permutation poss\'edant ces pics de cycle, plus d'autres
\'eventuellement. On montre (cas par cas\dots) que $S_k(a_i)$ est
le nombre de ces choix $C_k$ et que $u_{n-k}$ est le nombre de
mani\`eres de compl\'eter chaque choix en une permutation
$\sigma $. La variable $(x-1)^k$ indique qu'on en d\'eduit le
nombre de permutations ayant {\it exactement}  un certain nombre
de pics de cycle par inclusion-exclusion.\cqfd

Remarquons pour conclure qu'on peut sans grande difficult\'e
d\'emontrer les six premi\`eres formules par des calculs sur les
fonctions g\'en\'eratrices, ou par d'autres consid\'erations
combinatoires. La seconde notamment est une identit\'e bien
connue liant les nombres eul\'eriens aux nombres de Stirling [7].
Quant aux cinq derni\`eres formules, elles ont \'et\'e \'etablies
par des calculs analytiques dans le cas $x=z=0$ (pour une
d\'emonstration globale, \cf.~[3]).

\medskip
\centerline{\hbox to 3cm{\hrulefill}}
\medskip
{\bf Appendice (D. Dumont, Novembre 1994)}
\medskip
Lors de mon expos\'e \`a Bologne en 1985, j'ai \'enonc\'e une
conjecture prolongeant les r\'esultats de cet article, conjecture
qui a \'et\'e d\'emontr\'ee r\'ecemment par Benjamin
Randrianirina.

Il s'agit de faire le m\^eme d\'enombrement sur l'ensemble des
permutations $\sigma $ de $[n]$ dont tous les cycles sont de longueurs
impaires, ensemble que nous notons {\sp I}$_n$.

La notation $\Sch $ d\'esignant toujours l'op\'erateur
diff\'erentiel de Schett d\'efini au \S\kern2pt$3$ ci-dessus, on
consid\`ere les polyn\^omes  $I_n(x,y,z)$ d\'efinis comme suit : 
$$ 
I_1=y,\quad I_{2n}=z\,\Sch (I_{2n-1}),
\quad I_{2n+1}={1\over z}\Sch (I_{2n}).
$$
Les param\`etres $i(\sigma )$, $p(\sigma )$ et $b(\sigma )$ 
ont \'et\'e d\'efinis au \S\kern2pt$2$ ci-dessus. On a alors le
r\'esultat suivant :

\tha  Th\'eor\`eme {\rm (Randrianirina [A5])}|
 $$\eqalign{
I_{2n}(x,y,z)&= x\sum_{\sigma \in \hbox{\sp I}_{2n}}
x^{i(\sigma )}y^{p(\sigma )} z^{b(\sigma )},\cr
zI_{2n+1}(x,y,z)&=
y\sum_{\sigma \in \hbox{\sp I}_{2n+1}}x^{i(\sigma )}
y^{p(\sigma )} z^{b(\sigma )}.\cr
}$$
\fintha

On trouvera une d\'emonstration dans [A5]. Cette d\'emonstration
n'est pas apparent\'ee \`a celles qui sont mises en oeuvre dans le
pr\'esent article , elle est plus complexe et utilise d'autres
m\'ethodes d\'evelopp\'ees dans [4] \`a propos du d\'enombrement
analogue sur les permutations dont les cycles sont de longueurs
paires.

Le probl\`eme du calcul des fonctions g\'en\'eratrices
exponentielles des polyn\^omes $T_n(x,y,z)$, $G_n(x,y,z)$,
$H_n(x,y,z)$, $I_n(x,y,z)$, qui sont peut-\^etre des fonctions
elliptiques, ou des fonctions apparent\'ees, reste ouvert.

Par ailleurs, on trouvera dans d'autres contributions parues
entre-temps, ou \`a para\^\i tre prochainement, des
d\'eveloppements en fractions continues et en s\'eries de
fractions rationnelles qui sont li\'es \`a ceux du pr\'esent
article ([A1], [A2], [A3], [A4]). 

\vfill\eject

\null
\vfill
{\eightpoint

\titre BIBLIOGRAPHIE|
\article 1|D. {\pc ANDR\'E|}|Sur les permutations altern\'ees|J.
Math. Pures Appl.|7|1881|167--184|
\article 2|D. {\pc ANDR\'E|}|M\'emoire sur les s\'equences des
permutations circulaires|Bull. Soc. Math. France|23|1895|122--184|
\article 3|D. {\pc BARSKY|}|Congruences pour les nombres de
Genocchi de deuxi\`eme esp\`ece|S\'eminaire d'Analyse
Ultram\'etrique|34|1980|1--13| 
\article 4|D. {\pc DUMONT|}|Une approche
combinatoire des fonctions elliptiques de Jacobi|Adv. in
Math.|41|1981|1--39| 
\article 5|D. {\pc DUMONT|}, G. {\pc VIENNOT|}|The Seidel
generation of Genocchi numbers|Ann. Disc. Math.|6|1980|77--87|
\article 6|P. {\pc FLAJOLET|}|Combinatorial aspects of continued
fractions|Disc. Math.|32|1980|125--161|
\livre 7|I. {\pc GESSEL|}|Generating functions and enumeration of
sequences|M.I.T. 1973|
\article 8|J. {\pc TOUCHARD|}|Sur un probl\`eme de configurations et
sur les fractions continues|Canad. J. of Math.|4|1952|2--25|
\livre 9|G. {\pc VIENNOT|}|Interpr\'etations combinatoires des
nombres d'Euler et de Genocchi|S\'eminaire Th. des Nombres,
Bordeaux 1981| 
\livre 10|H.S. {\pc WALL|}|Analytic Theory of continued
fractions|Chelsea, London 1973|


\bigskip\bigskip

\centerline{\bf BIBLIOGRAPHIE APPENDICE}

\bigskip
\article A1|D. {\pc DUMONT|}, 
A. {\pc RANDRIANARIVONY|}|D\'erangements et 
nombres de Genocchi|Disc. Math.|132|1994|37--49|

\article A2|D. {\pc DUMONT|}, J. {\pc ZENG|}|Further results on
the Euler and Genocchi numbers |Aequat. Math.|47|1994|31--42|

\divers A3|A. {\pc RANDRIANARIVONY|}|Fractions continues,
$q$-nombres de Catalan et $q$-polyn\^omes de Genocchi, {\it in}
Th\`ese math., Univ. Louis-Pasteur, Strasbourg, {\oldstyle
1994}|

\divers A4|A. {\pc RANDRIANARIVONY|}, J. {\pc ZENG|}|Une famille
de polyn\^omes qui interpole plusieurs suites classiques de
nombres, Actes 31\emini~S\'eminaire Lotharingien,
p.~103-126\pointir {\sl Publ. I.R.M.A. Strasbourg}, $\oldstyle
1994$/021|

\divers A5| B. {\pc RANDRIANIRINA|}|D\'erangements, successions
et pics de cycle dans les permutations, M\'emoire de D.E.A.,
Universit\'e de Fianarantsoa {\oldstyle 1993}|

}

\vskip 2cm
\rightline{\vbox{\halign{#\hfil\cr
Dominique \pc DUMONT|,\cr
D\'epartement de math\'ematique,\cr
Universit\'e Louis Pasteur,\cr
7, rue Ren\'e-Descartes,\cr
F-67084 Strasbourg.\cr}}\qquad}


\vfill\eject

\bye

