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      \noindent S\'eminaire Lotharingien de
Combinatoire,\hfil\break
      \eightrm\noindent B11a, 1984. [Formerly 1985 266/S-11, p.
28--33.] }}}

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B11a --- 1984 ---
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\def\slc{S\'EMINAIRE LOTHARINGIEN DE COMBINATOIRE}
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\vglue 1cm plus .7cm
\centerline{\bf FONCTIONS SYM\'ETRIQUES ET S\'ERIES} 
\vskip 4pt
\centerline{\bf HYPERG\'EOM\'ETRIQUES BASIQUES MULTIVARI\'EES}
\vskip 2.6mm
\centerline{\eightpoint PAR} 
\vskip 2.6mm
\centerline{{\petcap Jacques} D\'ESARM\'ENIEN et 
{\petcap Dominique} FOATA
\footnote{($^\ast$)}{Texte paru dans {\sl Bull. Soc. Math.
France}, vol. 13, 1985, p. 3-22.}} 
\vskip 2mm
\def\auteurcourant{J. D\'ESARM\'ENIEN ET D. FOATA} 
\def\titrecourant{FONCTIONS SYM\'ETRIQUES} 
\centerline{\vrule width 3.3cm height .8pt}
\vskip 6mm plus 2mm
\resume{L'\'etude de certaines statistiques sur 
le groupe sym\'etrique fait appara\^\i tre des fonctions 
hyper\-g\'eom\'etriques basiques multivari\'ees.\ De nouvelles
identit\'es sur ces fonctions, ainsi que leurs
interpr\'etations combinatoires, sont obtenues ici
\`a partir d'un calcul classique sur les
fonctions de Schur gauches.}
\vskip 2mm
\abstract{Multivariate basic hypergeometric 
series occur in the study of certain statistics 
on the symmetric group.\ New identities on those
functions as well as their combinatorial
interpretations are here obtained by means of 
a classical calculation on the skew Schur functions.
\footnote{}{Cet article a 
           \'et\'e compos\'e au moyen du logiciel \TeX
           \ par le laboratoire de typographie
           informatique du d\'epartement de 
           math\'ematique de Strasbourg, puis 
           envoy\'e sur bande magn\'etique pour 
           r\'evision au d\'epartement d'informatique 
           de l'Universit\'e Stanford, o\`u le premier auteur
           \'etait en d\'etachement en 1983-84.}
\footnote{}{Les l\'eg\`eres 
           modifications propos\'ees par l'arbitre
           anonyme ont \'et\'e int\'egr\'ees dans le fichier de saisie
           rapatri\'e \`a Strasbourg. Ce fichier a \'et\'e ensuite
           envoy\'e \`a la Soci\'et\'e Am\'ericaine de Math\'ematique
           \`a Providence, R.I. (Etats-Unis), qui, apr\`es traitement
           sur une photo-composeuse \pc ALPHATYPE|, d'une r\'esolution
           de 6.000 points par pouce, a renvoy\'e un film \`a partir duquel le
           pr\'esent texte a \'et\'e imprim\'e et reproduit.}\footnote{}{J. 
           \pc D\'ESARM\'ENIEN| et 
           D. \pc FOATA|, d\'epartement de math\'ematique,
           Universit\'e Louis-Pasteur de Strasbourg, 7, rue 
           Ren\'e-Descartes, 67084 Strasbourg Cedex.}}
\vskip 2mm
\titre 1.\ Introduction|
La th\'eorie des {\it  fonctions
hyper\-g\'eom\'etriques basiques} [2, 3, 23] fait appara\^\i tre 
des s\'eries normalis\'ees par des quantit\'es de la
forme 
$(a;q)_n$ et $(a;q)_{\infty }$
d\'efinies par~:
$$\eqalign{(a;q)_0&=1\cr
(a;q)_n&=(1-a)(1-aq)\,\ldots\,(1-aq^{n-1})\cr
(a;q)_{\infty }&=\lim\nolimits_n(a;q)_n=\prod_{n\geq 0}(1-aq^n).\cr}$$ 
Les formules suivantes~:
$$\leqalignno{\sum_n {u^n\over (q;q)_n} 
&= {1\over (u;q)_\infty }, 
&(1.1a)\cr
\sum_n q^{n(n-1)/2}{u^n\over(q;q)_n}
&= (-u;q)_\infty ,
&(1.1b)\cr
\sum_n (a;q)_n{u^n\over (q;q)_n}
&= {(au;q)_\infty \over (u;q)_\infty },
&(1.1c)\cr}$$ 
o\`u $n$ varie de 0 \`a $+\infty $, 
sont les outils de base de cette th\'eorie.
Les deux premi\`eres apparaissent comme 
des $q$-analogues de la formule exponentielle. 
Elles sont aussi deux cas particuliers
de la troisi\`eme, qu'on d\'esigne habituellement 
par {\it formule $q$-binomiale} 
(\cf.\ [1, 2]).\par 
On conna\^\i t assez 
peu de choses sur les fonctions 
hyper\-g\'eom\'etriques basiques \`a plusieurs
variables (\cf.\ [2, 3, 23]).\ En revanche, 
le d\'eve\-lop\-pe\-ment de certains produits 
infinis et aussi l'\'etude de certaines sta\-tis\-tiques
sur le groupe sym\'etrique font appara\^\i tre des 
identit\'es qui sont pro\-ba\-ble\-ment des cas particuliers
de formules de transformation sur ces fonctions. 
Pour chaque paire d'entiers positifs $r,s$, 
posons~:
$$\eqalign{(u;q_1,q_2)_{r,s}
&= 1,\qquad\hbox{si 
$r$ ou $s$ est nul ;}\cr
&=\prod _{1\leq i\leq r}
\prod_{1\leq j\leq s} 
(1-uq_1^{i-1}q_2^{j-1}),\qquad\hbox{si $r,s\geq 1$,}\cr}$$ 
et
$$\eqalign{(u;q_1,q_2)_{\infty ,\infty }
&=\lim\nolimits_{r,s}(u;q_1,q_2)_{r,s}\cr
&\null =\prod_{i\geq 1}\prod_{j\geq 1}
(1-uq_1^{i-1}q_2^{j-1}).\cr}$$
Les trois d\'eveloppements
de produits infinis~:
$$\leqalignno{\sum_n A_n(q_1,q_2) 
{u^n\over (q_1;q_1)_n\,(q_2;q_2)_n} 
&={1\over (u;q_1,q_2)_{\infty ,\infty }},
&(1.2a)\cr 
\sum_n B_n(q_1,q_2) 
{u^n\over (q_1;q_1)_n\,(q_2;q_2)_n} 
&=(-u;q_1,q_2)_{\infty ,\infty },
&(1.2b)\cr
\sum_n C_n(z,q_1,q_2) 
{u^n\over (q_1;q_1)_n\,(q_2;q_2)_n} 
&={(-zu;q_1,q_2)_{\infty ,\infty } 
\over (u;q_1,q_2)_{\infty ,\infty }}, 
&(1.2c)\cr}$$
peuvent \^etre ainsi consid\'er\'es comme
des identit\'es sur les fonctions 
hyper\-g\'eom\'etriques basiques \`a deux 
variables.\par
Consid\'erons enfin les trois identit\'es~:
$$\leqalignno{\sum_n A_n
{u^n\over (t_1;q_1)_{n+1}\,(t_2;q_2)_{n+1}} 
&=\sum_{r,s} t_1^rt_2^s
{1\over (u;q_1,q_2)_{r+1,s+1}}, 
&(1.3a)\cr
\sum_n B_n
{u^n\over (t_1;q_1)_{n+1}\,(t_2;q_2)_{n+1}} 
&=\sum_{r,s} t_1^rt_2^s
(-u;q_1,q_2)_{r+1,s+1}, 
&(1.3b)\cr
\sum_n C_n
{u^n\over (t_1;q_1)_{n+1}\,(t_2;q_2)_{n+1}} 
&=\sum_{r,s} t_1^rt_2^s
{(-zu;q_1,q_2)_{r+1,s+1}
\over (u;q_1,q_2)_{r+1,s+1}}, 
&(1.3c)\cr}$$
o\`u $n$, $r$ et $s$ varient de 
0 \`a $+\infty $.\ Ces trois formules expriment 
le fait que la s\'erie en {\it deux} variables
$t_1$, $t_2$ du second membre peut se 
d\'evelopper en une s\'erie en {\it une}
variable $u$, convenablement normalis\'ee,
les coefficients, 
comme nous allons le voir, \'etant des polyn\^omes : 
$A_n=A_n(t_1,t_2,q_1,q_2)$, $B_n=B_n(t_1,t_2,q_1,q_2)$
et $C_n=C_n(z,t_1,t_2,q_1,q_2)$, respectivement 
\`a quatre et cinq variables.\par 
Comme le sugg\`ere la num\'erotation utilis\'ee 
et comme nous l'indiquerons dans cet article, 
chaque formule $(1.ic)$ entra\^\i ne $(1.ib)$ et $(1.ia)$
pour $i=1,2,3$.\ De m\^eme, pour $x$ fix\'e \'egal \`a l'une 
des lettres $a,b,c$, on a les impli\-ca\-tions
$(1.3x)\Rightarrow(1.2x)\Rightarrow(1.1x)$.
La formule $(1.3c)$ 
entra\^\i ne donc toutes les pr\'ec\'edentes.\par
C'est \pc CARLITZ| [4] qui a montr\'e que 
$(1.2a),\; (1.2b)$ et $(1.2c)$, cette derni\`ere
pour $z$ fix\'e \'egal \`a 1, d\'efinissaient 
trois suites de {\it polyn\^omes}
$A_n=A_n(q_1,q_2)$, $B_n=B_n(q_1,q_2)$ et 
$C_n=C_n(z,q_1,q_2)$ $(n\geq 0)$
\`a coefficients {\it entiers positifs} 
et satisfaisant \`a 
$A_n(1,1)=B_n(1,1)=n!$, $C_n(1,1,1)=n!\,2^n$.
Plus tard, \pc GARSIA| et \pc GESSEL| [10] ont obtenu 
l'extension $(1.3a)$ de $(1.2a)$ et montr\'e que
l'on d\'efinissait ainsi, pour chaque $n\geq 0$,
un polyn\^ome $A_n$ \`a coefficients entiers 
positifs de somme $n!$.\ En fait, ils ont trouv\'e, tout
comme \pc RAWLINGS| [16], une interpr\'etation combinatoire 
pour les polyn\^omes $A_n$, dont nous reparlerons
plus loin.\par
Il semble que personne jusqu'ici n'ait song\'e \`a
donner une extension analogue aux formules
$(1.2b)$ et $(1.2c)$.\ Le premier but de cet article est
de les fournir.\ Ces extensions sont pr\'ecis\'ement
$(1.3b)$ et $(1.3c)$, o\`u $B_n$ et $C_n$ sont encore 
des polyn\^omes \`a coefficients entiers positifs, 
la somme de leurs coefficients \'etant \'egale
\`a $n!$ et $n!\,2^n$, respectivement.\par
La variable $z$ que nous rajoutons aussi
\`a $(1.2c)$ a l'avantage de permettre de 
faire le lien avec le formulaire
des fonctions hyper\-g\'eom\'etriques basiques
\`a une variable.\par 
Par ailleurs, la structure formelle des deux
identit\'es $(1.2a)$ et $(1.2b)$ ressemble trop \`a celle 
d'identit\'es dues \`a \pc CAUCHY|
sur les s\'eries bilin\'eaires de fonctions 
de Schur $S_\lambda$ pour qu'il n'existe pas
de lien direct entre ces deux familles
de formules.\ Rappelons que ces identit\'es 
s'\'ecrivent (\cf.\ par \hbox{exemple} 
\pc MAC|\-{\rmpc DONALD} [15, p.\ 33 et 35])~:
$$\leqalignno{\sum_\lambda S_\lambda(x) S_\lambda(y)
&=\prod_{i,j}(1-x_iy_j)^{-1},
&(1.4)\cr
\sum_\lambda S_\lambda(x) S_{\lambda^\prime}(y) 
&=\prod_{i,j}(1+x_iy_j),
&(1.5)\cr}$$
o\`u $\lambda$ varie dans l'ensemble
de toutes les partitions d'entiers, 
o\`u $i$ et $j$ varient de 0 \`a
$+\infty $ et enfin o\`u $\lambda^\prime$ 
d\'esigne la partition conjugu\'ee de $\lambda$.\par
Comme second but de cet article, nous nous
proposons de montrer que les expressions
analytiques des formules $(1.2a)$ -- $(1.3c)$,
ainsi que leurs contenus combinatoires, 
peuvent se d\'eduire des formules (1.4) 
et (1.5) et des propri\'et\'es g\'eom\'etriques 
des fonctions de Schur, tout parti\-cu\-li\`e\-re\-ment 
de leur interpr\'etation en termes de fonctions 
g\'en\'eratrices de tableaux (\cf.\ [15, p.\ 42]).\par
Le troisi\`eme but de cet article est de
calculer les fonctions g\'en\'eratrices des 
{\it involutions} en utilisant toujours les 
propri\'et\'es combinatoires et alg\'ebriques 
des fonctions de Schur.\ Rappelons que les
formules (lin\'eaires) de Schur sur
les fonctions du m\^eme nom s'\'ecrivent~: 
$$\leqalignno{\sum _\lambda  z^{c(\lambda )} S_\lambda (x)
&=\prod _i (1-zx_i)^{-1}
\prod _{i<j} (1-x_ix_j)^{-1},
&(1.6)\cr
\sum _\lambda  z^{r(\lambda )} S_\lambda (x)
&=\prod _i (1+zx_i) 
\prod _{i\leq j} (1-x_ix_j)^{-1},
&(1.7)\cr}$$
o\`u $c(\lambda )$ (resp.\ $r(\lambda )$) d\'esigne 
le nombre de colonnes (resp.\ de lignes)
de longueur impaire de la partition $\lambda $
(\cf.\ [15, p.\ 46]).\ Notons 
$H_n(z_1,z_2,t,q)$
le polyn\^ome g\'en\'erateur des involutions de
$[n]=\{1,2,\ldots,n\}$ 
par nombre de points fixes, nombre de 
transpositions, nombre de descentes,
indice majeur (ces deux derni\`eres notions 
seront rappel\'ees au d\'ebut de la section~2). 
Notre troisi\`eme but est ainsi de montrer que
(1.6) et (1.7) permettent d'\'etablir les 
formules~:
$$\leqalignno{\sum _n H_n {u^n\over (q;q)_n}
&= \sum _r t^r {1\over (z_1u;q)_{r+1}} 
\prod _{0\leq i<j\leq r} {1\over (1-u^2z_2q^{i+j})},
&(1.8)\cr
\sum _n K_n {u^n\over (q;q)_n}
&= \sum _r t^r (-z_1u;q)_{r+1} 
\prod _{0\leq i\leq j\leq r}
{1\over(1-u^2z_2q^{i+j})},
&(1.9)\cr}$$
o\`u $n,r\geq 0$ et o\`u $K_n=K_n(z_1,z_2,t,q)$ d\'esigne 
un autre polyn\^ome g\'en\'e\-ra\-teur des involutions 
par des statistiques que nous pr\'eciserons dans
la section~6.\ L'identit\'e (1.8) a \'et\'e obtenue par 
\pc GESSEL| [11] au moyen d'autres
techniques combinatoires.\par 
Cette m\'ethode qui consiste \`a d\'eduire des
identit\'es entre $q$-s\'eries et $q_1q_2$-s\'eries,
ainsi que leur contenu combinatoire, de 
propri\'et\'es g\'eom\'etriques sur le groupe sym\'etrique
a \'et\'e utilis\'ee par \pc D\'ESARM\'ENIEN| 
[6, 7].\ Elle a l'avantage de n\'ecessiter peu de 
calculs et de n'impliquer aucune v\'e\-ri\-fi\-ca\-tion 
de formules de r\'ecurrence.

L'organisation de l'article est la suivante. 
La section~2 contient une des\-crip\-tion de tous 
les outils combinatoires mis en \oe uvre.
On y montre en particulier que l'identit\'e $(1.3c)$
entra\^\i ne toutes les pr\'ec\'edentes formules, 
son contenu g\'eom\'etrique fournissant \'egalement 
l'interpr\'etation combinatoire de chacune d'elles.

Pour \'etablir ensuite $(1.3c)$, on part d'une
d\'efinition combinatoire du polyn\^ome
$C_n=C_n(z,t_1,t_2,q_1,q_2)$
donn\'ee en (2.10).\ On exprime ensuite 
(formule (3.3)) ce polyn\^ome en termes
de fonction g\'en\'eratrice de paires de tableaux 
standard d'une forme appropri\'ee, en faisant 
appel \`a la correspondance de Robinson-Schensted 
(\cf.\ [12, p.~48--73] et [18, 20, 22]).

Par ailleurs, on introduit une classe de
fonctions de Schur gauches, not\'ees
$S_{\lambda \otimes  \mu }(x)$, 
qui permet d'int\'egrer les propri\'et\'es g\'eom\'etriques 
des tableaux dans le contenu alg\'ebrique des fonctions 
$S_{\lambda \otimes  \mu }(1,q,q^2,\ldots,q^r)$.
Le th\'eor\`eme~4.1 est en fait l'outil de transfert 
fondamental. 

Partant enfin des formules
bilin\'eaires (1.4) et (1.5), un simple jeu 
de substitution des ind\'etermin\'es par des 
puissances de deux va\-riables $q_1,q_2$
permet d'\'etablir $(1.3c)$.\ Ceci fait l'objet 
de la section~5. 

La derni\`ere section,
comme nous l'avons dit, est consacr\'ee 
au calcul des fonctions g\'en\'eratrices des
involutions, en faisant usage encore des techniques 
d\'evelopp\'ees dans les sections pr\'ec\'edentes.\par

\titre 2.\ Statistiques et r\'esultats combinatoires| 
Soient $n\geq 0$ et $I=\{i_1<i_2<\cdots<i_n\}$, 
$K=\{k_1<k_2<\cdots<k_n\}$
deux sous-ensembles finis de ${\bf N}$ de
cardinal $n$.\ Si $\sigma $ est une bijection de
$I$ sur $K$, on note \'egalement $\sigma $ le 
{\it mot} $\sigma =\sigma (i_1)\sigma (i_2)\,\ldots\,\sigma (i_n)$. 
La {\it ligne inverse de route} de $\sigma $
est d\'efinie comme l'ensemble not\'e $\Ilig \sigma $ 
de tous les entiers $j$ tels que $j$ et 
$(j+1)$ sont des lettres du mot $\sigma $,
la lettre $(j+1)$ \'etant situ\'ee \`a la gauche
de $j$ dans ce mot.
On adopte les notations~: 
$$\Ides \sigma =\left|\Ilig \sigma \right|\qquad 
\hbox{et}\qquad 
\Imaj \sigma =\sum \{j:j\in \Ilig \sigma \}.$$
Le {\it renvers\'e} de $\sigma $ est d\'efini 
comme le mot~:
$$\rg\,\sigma =\sigma (i_n)\,\ldots\, \sigma (i_2)\sigma (i_1),$$
et si $\sigma ^{-1}$ d\'esigne la bijection 
inverse de $\sigma $, on pose~: 
$$\ig\,\sigma =\sigma ^{-1}=\sigma ^{-1}(k_1)\sigma ^{-1}(k_2)\,\ldots\, 
\sigma ^{-1}(k_n).$$
En particulier, 
$$\rg\,\ig\,\sigma =\sigma ^{-1}(k_n)\,\ldots\,
\sigma ^{-1}(k_2)\sigma ^{-1}(k_1).\leqno(2.1)$$ 
Lorsque $I=K=[n]\;(=\{1,2,\ldots,n\})$,
c'est-\`a-dire lorsque $\sigma $ est une permutation
de $[n]$, on introduit les notations suppl\'ementaires :
$$\displaylines{\Lig \sigma =\{i:1\leq i\leq n-1, \sigma (i)>\sigma(i+1)\}\cr
\Colig \sigma =[n-1]\setminus\Lig \sigma ,\cr
\Des \sigma =\left|\Lig \sigma \right|,\qquad 
\Maj \sigma =\sum \{i:i\in \Lig \sigma \},\cr
\Codes \sigma =\left|\Colig \sigma \right|,\qquad
\Comaj \sigma =\sum \{i:i\in \Colig \sigma \}.\cr}$$
Traditionnellement (\cf.\ [8]), $\Lig \sigma $
(resp.\ $\Colig \sigma $) est appel\'e
{\it ligne de route} (resp.
{\it coligne de route}) de
$\sigma $, tandis que $\Des \sigma $
(resp.\ $\Codes \sigma $, resp.\ $\Maj \sigma $) est le 
{\it nombre de descentes} (resp.\ {\it nombre de codescentes},
resp.\ l'{\it indice majeur}) de $\sigma $.
Enfin, le {\it compl\'ement \`a} $(n+1)$ de $\sigma $ 
est d\'efini comme le mot~: 
$$\cg\,\sigma =(n+1-\sigma (1))(n+1-\sigma (2))\,\ldots\,
(n+1-\sigma (n)).$$ 
\par
On peut faire agir le groupe di\'edral $D_4$
d'ordre 8 sur l'ensemble ${\cal S}_n$
de toutes les permutations $\sigma $ de $[n]$ 
comme d\'ecrit dans le lemme suivant, dont
la d\'emonstration peut \^etre trouv\'ee dans [8]. 
\th Lemme 2.1|Le sous-groupe des transformations
de ${\cal S}_n$ engendr\'e par $\{\cg,\ig,\rg\}$ 
est le groupe di\'edral $D_4$.\ On a, de plus,
les relations : 
$$\displaylines{\rg\,\cg=\cg\,\rg,\qquad
\rg\,\ig=\ig\,\cg,\qquad
\ig\,\rg\,\cg=\rg\,\cg\,\ig,\dleqno(2.2)|\cr
\Lig\cg\,\sigma =\Colig\sigma ,\qquad 
\Lig\ig\,\sigma =\Ilig\sigma ,\dleqno(2.3)|\cr
\Des\ig\,\sigma =\Ides\sigma ,\qquad
\Maj\ig\,\sigma =\Imaj\sigma .\dleqno(2.4)|\cr}$$| 
\pc CHEEMA| et \pc MOTZKIN| [5], d'une part,
\pc ROSELLE| [19], d'autre part, ont d\'emontr\'e 
que le polyn\^ome $A_n(q_1,q_2)$ d\'efini par $(1.2a)$ 
(resp.\ $B_n(q_1,q_2)$ d\'efini par $(1.2b)$) \'etait 
la fonction g\'en\'eratrice du groupe sym\'etrique
${\cal S}_n$ par le couple $(\Maj,\Imaj)$
(resp.\ $(\Imaj,\Comaj)$).\par
L'interpr\'etation combinatoire obtenue par 
\pc GARSIA| et \pc GESSEL| [10] (voir aussi 
\pc RAWLINGS| [16]) pour les polyn\^omes $A_n$ 
de la formule $(1.3a)$ est consign\'ee dans le
th\'eor\`eme suivant. 
\th Th\'eor\`eme 2.2|Dans l'identit\'e $(1.3a)$ 
l'expression $A_n$ est le polyn\^ome 
g\'en\'erateur de ${\cal S}_n$ par le $4$-vecteur
$(\Des,\Ides,\Maj,\Imaj)$.\par
En d'autres termes, on a~:
$$A_n=A_n(t_1,t_2,q_1,q_2)= 
\sum_\sigma t_1^{\Des\sigma }t_2^{\Ides\sigma } 
q_1^{\Maj\sigma }q_2^{\Imaj\sigma },\leqno(2.5)$$
avec $\sigma $ variant dans ${\cal S}_n$.| 
Ce th\'eor\`eme va appara\^\i tre comme cas 
particulier du r\'esultat principal de
cet article dont l'\'enonc\'e n\'ecessite 
les notations suivantes.\par
Appelons {\it permutation color\'ee d'ordre}
$n$ tout couple $a$ constitu\'e par une 
permutation $\sigma $ de $[n]$ et par un
choix de couples $(i,\sigma (i))$ 
suppos\'es color\'es en {\it rouge}, les
autres couples l'\'etant en {\it bleu}.
La restriction de $\sigma $ aux couples rouges
(resp.\ bleus) est une bijection
$\sigma _1:I\rightarrow K$ (resp.\ $\sigma _2:J\rightarrow L$). 
On a naturellement : $I\cap  J=K\cap  L=\emptyset $ et
$I\cup  J=K\cup  L=[n]$, de sorte qu'on peut
aussi d\'ecrire une permutation color\'ee 
d'ordre $n$ comme un quintuplet 
$a=(\sigma ,I,J,K,L)$, o\`u $\sigma $ est une 
permutation de $[n]$ et o\`u $(I,J)$, 
$(K,L)$ sont deux partitions de $[n]$ 
en deux blocs, telles que $\left|I\right|=\left|K\right|$ 
et $\left|J\right|=\left|L\right|$.

Le {\it premier associ\'e} de $a$ est d\'efini
comme le produit de juxtaposition~: 
$$a_1=\sigma _1\sigma _2,\leqno(2.6)$$ 
et le {\it second associ\'e} comme~:
$$a_2=(\rg\,\ig\,\sigma _1)(\ig\,\sigma _2)\leqno(2.7)$$ 
(\cf.\ la convention d'\'ecriture donn\'ee au 
d\'ebut du paragraphe et tout particuli\`erement
(2.1)).\ On note \'egalement $\R a$ le nombre 
de couples rouges de $a$.\ Si $I=K=\emptyset $, 
tous les couples sont bleus.\ On a alors~:
$$a_1=\sigma \qquad\hbox{et}\qquad 
a_2=\ig\,\sigma .\leqno(2.8)$$
Si $J=L=\emptyset $, tous les couples sont rouges,
les deux associ\'es devenant~:
$$a_1=\sigma \qquad\hbox{et}\qquad
a_2=\rg\,\ig\,\sigma .\leqno(2.9)$$\par
Par exemple, soit~: 
$$\sigma =\left(\vcenter{\halign{\hfil#\hfil$\;$& 
          \hfil#\hfil$\;$&
          \hfil{\bf #}\hfil$\;$&
          \hfil{\bf #}\hfil$\;$&
          \hfil{\bf #}\hfil$\;$&
          \hfil#\hfil$\;$&
          \hfil#\hfil$\;$&
          \hfil#\hfil$\;$&
          \hfil{\bf #}\hfil\cr 
1&2&3&4&5&6&7&8&9\cr
6&4&3&1&2&8&9&5&7\cr}}\right)$$ 
une permutation color\'ee d'ordre $n=9$,
les couples verticaux color\'es en rouge
(resp.\ bleu) apparaissant en maigre
(resp.\ gras).\ Les deux associ\'es s'\'ecrivent :
$$a_1=6,4,8,9,5,\hbox{\bf 3},\hbox{\bf 1},\hbox{\bf 2},\hbox{\bf 7} 
\qquad\hbox{et}\qquad 
a_2=7,6,1,8,2,\hbox{\bf 4},\hbox{\bf 5},\hbox{\bf 3},\hbox{\bf 9}.$$ 
De plus, $\R a=5$.\par
Chaque associ\'e $a_i\;(i=1,2)$ poss\`ede 
une ligne de route bien d\'efinie.\ On
peut donc consid\'erer le 5-vecteur~: 
$$V(a)=(\R a,\Ides a_1,\Ides a_2, 
\Imaj a_1,\Imaj a_2).$$\par 
Dans l'exemple pr\'ec\'edent, 
$\Ilig a_1=\{2,3,5,7\}$,
$\Ilig a_2=\{3,5,6\}$,
de sorte que
$V(a)=(5,4,3,17,14)$.\par 
Notre r\'esultat fondamental est le suivant.
\th Th\'eor\`eme 2.3|Dans l'identit\'e $(1.3c)$ 
l'expression $C_n$ est le poly\-n\^ome g\'en\'erateur
des permutations color\'ees d'ordre $n$ par le vecteur~$V$.\par
Par cons\'equent, on a~:
$$C_n=C_n(z,t_1,t_2,q_1,q_2)= 
\sum _az^{\R a}t_1^{\Ides a_1}t_2^{\Ides a_2} 
q_1^{\Imaj a_1}q_2^{\Imaj a_2},\leqno(2.10)$$
avec $a$ variant dans l'ensemble des permutations 
color\'ees d'ordre $n$.|
Faisons $z=0$ dans (2.10).\ Les seules contributions
non nulles \`a la somme sont les permutations 
color\'ees $a$ dont les couples $(i,\sigma (i))$
sont bleus.\ D'apr\`es (2.8) et (2.4), on en d\'eduit 
$\Ides a_1=\Ides \sigma $, $\Ides a_2=\Des \sigma $,
$\Imaj a_1=\Imaj \sigma $ et $\Imaj a_2=\Maj \sigma $. 
D'o\`u $C_n(0,t_1,t_2,q_1,q_2)$ 
(donn\'e par (2.10)) est \'egal \`a 
$A_n(t_1,t_2,q_1,q_2)$ (donn\'e par (2.5)), 
puisque $A_n$ est \'evidemment sym\'etrique en
$t_1,t_2$ et $q_1,q_2$.\ On retrouve donc bien
l'interpr\'etation combinatoire des polyn\^omes
$A_n$ obtenue par \pc GARSIA| et \pc GESSEL|
[10] et \pc RAWLINGS| [16], \`a savoir le th\'eor\`eme
2.2.\ En particulier, 
$(1.3c)\Rightarrow (1.3a)$.\par
Faisons tendre maintenant $z$ vers l'infini dans
$z^{-n}C_n(z,t_1,t_2,q_1,q_2)$
donn\'ee par (2.10).\ Il reste, pour le second
membre, une somme sur les seules permutations 
color\'ees $a$ dont tous les couples sont rouges.
D'apr\`es (2.9) et le lemme 2.1, il en r\'esulte :
$\Ilig a_2=\Ilig \rg\,\ig\, \sigma =\Lig \ig\,\rg\,\ig\,\sigma
=\Lig \cg\,\sigma =\Colig \sigma $.\ D'o\`u 
$\Ides a_1=\Ides \sigma $, $\Ides a_2=\Codes \sigma $,
$\Imaj a_1=\Imaj \sigma $ et $\Imaj a_2=\Comaj \sigma $. 
On en tire le corollaire suivant. 
\th Corollaire 2.4|Dans l'identit\'e $(1.3b)$,
l'expression $B_n$ est le polyn\^ome g\'en\'erateur
de ${\cal S}_n$ par le $4$-vecteur 
$(\Ides,\Codes,\Imaj,\Comaj)$.| 
De m\^eme
$(1.3c)$ (resp.\ $(1.3b)$, resp.\ $(1.3a)$) 
entra\^\i ne
$(1.2c)$ (resp.\ $(1.2b)$, resp.\ $(1.2a)$). 
Il suffit de multiplier l'identit\'e initiale par 
$(1-t_1)$ et de faire $t_1=1$, puis par 
$(1-t_2)$ et de faire $t_2=1$.\ On retrouve,
en plus, les interpr\'etations combinatoires
des polyn\^omes $A_n(q_1,q_2)$ et $B_n(q_1,q_2)$,
que nous avons mentionn\'ees juste apr\`es
l'\'enonc\'e du \pc LEMME| 2.1, ainsi que 
l'interpr\'etation nouvelle~: 
$$C_n(z,q_1,q_2)=\sum _az^{\R a}q_1^{\Imaj a_1} 
q_2^{\Imaj a_2}.\leqno(2.11)$$ 
On se convainc ensuite que la substitution de 
$q_2$ par 0 dans $(1.2a)$ et
$(1.2b)$ donne $(1.1a)$ 
et $(1.1b)$, respectivement.\ De m\^eme $(1.2c)\Rightarrow (1.1c)$, 
pourvu que l'on puisse \'etablir l'identit\'e~: 
$$C_n(z,q_1,0)=(-z;q_1)_n.\leqno(2.12)$$ 
Or, d'apr\`es (2.11), on a~:
$$C_n(z,q_1,0)=\sum _az^{\R a}q_1^{\Imaj a_1}$$ 
o\`u la somme est faite sur les seules permutations 
dont le second associ\'e est $a_2=12\,\ldots\, n$.
Les couples rouges et bleus de ces permutations 
colo\-r\'ees sont donc de la forme
$(1,k_{n_1}),\ldots,(n_1,k_1)$ et
$(n_1+1,l_1),\ldots,(n,l_{n_2})$,
respectivement, avec
$k_{n_1}>\cdots>k_1$ et 
$l_1<\cdots<l_{n_2}$.
Leur premier associ\'e est alors~:
$$a_1=k_{n_1}\,\ldots\, k_1l_1\,\ldots\, l_{n_2}.\leqno(2.13)$$
Or il est imm\'ediat de v\'erifier, par exemple par 
r\'ecurrence sur $n$, que la fonction g\'en\'eratrice 
des permutations $a_1$ de la forme (2.13) 
par nombre de couples rouges et par $\Imaj$ 
est \'egale \`a $(-z;q_1)_n$.\ Ceci prouve (2.12).\par
Notons enfin que \pc RAWLINGS| [17] a r\'ecemment 
obtenu une autre interpr\'etation combinatoire pour 
$C_n(z=1,q_1,q_2)$ que l'on peut aussi d\'eduire
de la th\'eorie des fonctions 
sym\'etriques d\'evelopp\'ee ci-dessous, mais qui ne
permet pas d'extension facile \`a plus de deux variables. 
\par

\titre 3.\ La correspondance de Robinson-Schensted| 
Comme il est d'usage, on d\'esigne par {\it partition} toute
suite finie d\'ecroissante
$\nu =(\nu _1,\nu _2,\ldots,\nu _p)$ d'entiers 
sup\'erieurs ou 
\'egaux \`a 1.\ Si la somme $\nu _1+\nu _2+\cdots+\nu _p$ 
de ces entiers est \'egale \`a $n$, on dit que $\nu $ 
est une {\it partition de} $n$ et on pose 
$\left|\nu \right|=n$.\ Le {\it diagramme de Ferrers} 
associ\'e \`a $\nu $ est l'ensemble des couples 
$(i,j)$ du plan euclidien satisfaisant \`a
$1\leq i\leq \nu _j$, 
$1\leq j\leq p$.\ Il est commode de
l'identifier \`a la partition elle-m\^eme.\par 
Soient 
$\nu =(\nu _1,\nu _2,\ldots,\nu _p)$ et
$\theta =(\theta _1,\theta _2,\ldots,\theta _r)$ deux diagrammes de
Ferrers. Si $\nu \supset \theta $, la diff\'erence ensembliste $\nu -\theta $, 
qu'on note le plus souvent $\nu /\theta $, est
appel\'ee {\it diagramme gauche}. Dans cet article, on s'int\'eressera
plus particuli\`erement aux diagrammes gauches $\nu /\theta $ de la forme
suivante~: on part de deux diagrammes de Ferrers {\it quelconques} 
$\lambda =(\lambda _1,\lambda _2,\ldots,\lambda _p)$ et
$\mu =(\mu _1,\mu _2,\ldots,\mu _r)$ et l'on consid\`ere
l'ensemble, not\'e $\lambda \otimes  \mu $, de tous les translat\'es 
$(\lambda _1+i,j)\;(1\leq i\leq \mu _j\;;\;1
\leq j\leq r)$
et $(i,r+j)\;(1\leq i\leq \lambda _j\;;\;1
\leq j\leq p)$.\par 
Par exemple, avec $\lambda =(3,2)$ et $\mu =(3,1)$, 
on obtient pour $\lambda\otimes  \mu$ le diagramme gauche mat\'erialis\'e
par les croix : 
\par
$$\left.\vbox{\halign{$\hfil#\hfil\;$& 
                      $\hfil#\hfil\;$& 
                      $\hfil#\hfil\;$& 
                      $\hfil#\hfil\;$& 
                      $\hfil#\hfil\;$& 
                      $\hfil#\hfil$\cr
\times &\times &\null&\null&\null&\null\cr
\times &\times &\times &\null&\null&\null\cr
\null&\null&\null&\times &\null&\null\cr
\null&\null&\null&\times &\times &\times \cr}}\right.$$ 
\par
La notation $\lambda \otimes  \mu $ nous a \'et\'e conseill\'ee par l'arbitre~:
le produit tensoriel des repr\'esentations associ\'ees aux partitions
$\lambda $ et $\mu $ est, en effet, la repr\'esentation associ\'ee au diagramme
gauche $\lambda \otimes  \mu $.
\par
Soit $I$ un sous-ensemble de cardinal $n$ 
et $\nu /\theta $ un diagramme gauche contenant $n$ points.
Supposons que l'on \'ecrive les $n$ entiers de $I$ sur les $n$ 
points du diagramme $\nu /\theta $ de fa\c con \`a obtenir 
une croissance dans chaque ligne (de gauche \`a droite) 
et chaque colonne (de bas en haut).\ La configuration 
obtenue est appel\'ee {\it tableau standard}, 
{\it de contenu} $I$ {\it et de forme} $\nu /\theta $.
Lorsque $I=[n]$, on remplace ``de contenu $I$'' par 
``d'ordre $n$''.\ Dans la suite, on utilisera essentiellement 
les {\it tableaux standard d'ordre} $n$, {\it de forme} 
$\nu /\theta $ (et plus particuli\`erement ceux de forme
$\lambda \otimes  \mu $ pour $\lambda $ et $\mu $ quelconques tels que
$\left|\lambda\right|+\left|\mu \right|=n$) 
et les {\it tableaux standard}, {\it de contenu}
$I$ {\it et de forme} $\lambda $.\par 
La {\it ligne inverse de route} (\cf.\ [9]) d'un tableau standard $T$,
de contenu $I$ et de forme $\nu / \theta $, est 
l'ensemble des entiers $k$ tels que 
$k$ et $(k+1)$ sont dans $I$, l'entier
$(k+1)$ \'etant \'ecrit {\it plus haut} que $k$ 
dans $T$.
Cette ligne inverse de route est
not\'ee $\Ilig T$.\ On pose \'egalement~:
$$\Ides T=\left|\Ilig T\right|\qquad\hbox{et}\qquad
\Imaj T=\sum \{i:i\in \Ilig T\}.$$\par
Par exemple,
$$P_1=\left.\vbox{\halign{$\hfil#\hfil\;$& 
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil$\cr 
               6&8&\null\cr 
               4&5&9\cr}}\right.\;;\quad
Q_1=\left.\vbox{\halign{$\hfil#\hfil\;$& 
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil$\cr 
               2&8&\null\cr 
               1&6&7\cr}}\right.\;;\quad
P_2=\left.\vbox{\halign{$\hfil#\hfil\;$& 
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil$\cr 
               3&\null&\null\cr 
               1&2&7\cr}}\right.\;;\quad
Q_2=\left.\vbox{\halign{$\hfil#\hfil\;$& 
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil$\cr 
               4&\null&\null\cr 
               3&5&9\cr}}\right.\;;$$
sont des tableaux standard, de forme $\lambda =(3,2)$,
pour les deux premiers et $\mu =(3,1)$ pour les deux
derniers.\ Ils ont des contenus diff\'erents les
uns des autres.\par 
Les deux tableaux~:
$$T_1=\left.\vcenter{\halign{$\hfil#\hfil\;$& 
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil$\cr 
               6&8&\null&\null&\null&\null\cr 
               4&5&9&\null&\null&\null\cr 
               \null&\null&\null&3&\null&\null\cr 
               \null&\null&\null&1&2&7\cr}}\right.\qquad
T_2=\left.\vcenter{\halign{$\hfil#\hfil\;$& 
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil$\cr 
               7&\null&\null&\null&\null\cr 
               6&8&\null&\null&\null\cr 
               1&2&\null&\null&\null\cr 
               \null&\null&4&\null&\null\cr 
               \null&\null&3&5&9\cr}}\right.$$
sont standard, d'{\it ordre} 9 ; le premier est 
de forme $\lambda \otimes  \mu $, le second $\lambda ^\prime\otimes  \mu $.
Ils sont form\'es au moyen des pr\'ec\'edents tableaux de fa\c con
claire.\ La notation~:
$$T_1=P_1\otimes  P_2\qquad\hbox{et}\qquad
T_2=Q^\prime_1\otimes  Q_2$$
est alors \'evidente.\ Notons que l'on a~:
$$\Ilig T_1=\{2,3,5,7\}\qquad
\hbox{et}\qquad \Ilig T_2=\{3,5,6\}.$$\par 
Le th\'eor\`eme suivant permet d'exprimer le polyn\^ome
g\'en\'erateur des permutations color\'ees
en termes de fonction g\'en\'eratrice de paires de tableaux.
\tha Th\'eor\`eme 3.1|A toute permutation color\'ee
$a=(\sigma ,I,J,K,L)$ d'ordre $n$, ayant pour associ\'es
$a_1$ et $a_2$, correspond bijectivement un 
diagramme gauche $\lambda \otimes  \mu $ et une paire de
tableaux standard $(T_1,T_2)$, respectivement 
de forme $\lambda \otimes  \mu $ et $\lambda ^\prime\otimes  \mu $, tels que~:
$$\displaylines{\left|I\right|=\left|K\right|=
\left|\lambda \right|\qquad \hbox{et}\qquad 
\left|J\right|=\left|L\right|=\left|\mu \right|,\dleqno(3.1)|\cr
\Ilig a_1=\Ilig T_1\qquad\hbox{et}\qquad 
\Ilig a_2=\Ilig T_2.\dleqno(3.2)|\cr}$$\fintha
Le th\'eor\`eme 3.1 entra\^\i ne imm\'ediatement
le corollaire suivant.
\tha Corollaire 3.2|Soit $C_n$ le polyn\^ome g\'en\'erateur 
des permutations color\'ees, comme d\'efini par 
l'identit\'e $(2.10)$.\ Alors, on a aussi~:
$$C_n=\sum _{\lambda ,\mu }z^{\left|\lambda \right|}
\sum _{T_1}t_1^{\Ides T_1}q_1^{\Imaj T_1} 
\sum _{T_2}t_2^{\Ides T_2}q_2^{\Imaj T_2},\leqno(3.3)$$
o\`u la premi\`ere somme est sur l'ensemble des couples 
de diagrammes de Ferrers $(\lambda ,\mu )$ tels que 
$\left|\lambda \right|+\left|\mu \right|=n$, la seconde 
(resp.\ la troisi\`eme) sur les tableaux standard 
$T_1$ (resp.\ $T_2$) d'ordre $n$ et de forme
$\lambda \otimes  \mu $ (resp.\ $\lambda ^\prime\otimes  \mu $).\fintha 
La d\'emonstration du th\'eor\`eme 3.1 se fait
comme suit.\ Soit $\Bij(I,K)$ l'ensemble
des bijections de $I$ sur $K$, o\`u $I$ et $K$ sont 
deux sous-ensembles finis de ${\bf N}$ de m\^eme
cardinal.\ La {\it correspondance de Robinson-Schensted}
(telle qu'elle est par exemple tr\`es bien expliqu\'ee
dans [12, p.\ 48--72]) est une bijection $\rho $ de $\Bij(I,K)$ 
sur l'ensemble de tous les couples $(P,Q)$
de tableaux standard, de m\^eme forme $\lambda $ avec
$\left|\lambda \right|=n$, le contenu de $P$ \'etant $K$, celui 
de $Q$ \'etant $I$.

Pour utiliser pleinement ses propri\'et\'es, 
reprenons les m\^emes notations qu'au d\'ebut de la
section 2, en particulier la convention d'\'ecriture de 
chaque bijection comme un mot en ses valeurs prises. 
Si $\sigma $ est une bijection telle que $\rho (\sigma )=(P,Q)$, on a~: 
$$\leqalignno{\rho (\ig\,\sigma )&=(Q,P),&(3.4)\cr
\rho (\rg\,\sigma )&=(P^\prime,R^\prime),&(3.5)\cr}$$
o\`u $R$ est un tableau standard, de forme \'egale
\`a celle de $P$ et de contenu $I$.\ (Comme 
d\'emontr\'e par \pc SCH\"UTZENBERGER| [21, 22], le 
tableau $R$ se d\'eduit de $Q$ par l'op\'eration
de {\it vidage-remplissage}, d\'ecrite
\'egalement --- c'est l'op\'eration $S$ --- 
dans [12, p.\ 57--79].\ Les propri\'et\'es de cette op\'eration 
ne sont pas utilis\'ees ici.) On a, de plus
(\cf.\ [22])~:
$$\Ilig \sigma =\Ilig P.\leqno(3.6)$$
De (3.4), (3.5) et (3.6), on d\'eduit~:
$$\leqalignno{\Ilig \ig\,\sigma&=\Ilig Q,&(3.7)\cr
\Ilig \rg\,\ig\, \sigma&=\Ilig Q^\prime.&(3.8)\cr}$$ 
\par
La bijection $a\mapsto (T_1,T_2)$ du th\'eor\`eme 3.1 
se d\'eduit comme suit.\ Partant du quintuplet
$a=(\sigma ,I,J,K,L)$, on extrait les deux bijections 
$\sigma _1:I\mapsto  K$ et $\sigma _2:J\mapsto  L$. 
Par la correspondance 
de Robinson-Schensted, on a~:
$$\rho (\sigma _1)=(P_1,Q_1),\qquad \rho (\sigma _2)=(P_2,Q_2).$$ 
On pose alors~:
$$T_1=P_1\otimes  P_2\qquad\hbox{et}\qquad
T_2=Q^\prime_1\otimes  Q_2.$$ 
Le caract\`ere bijectif est \'evident, de 
m\^eme que les propri\'et\'es (3.1).\ Pour 
se convaincre de la v\'eracit\'e de (3.2), on 
peut remarquer que le contenu de $P_1$
(resp.\ $P_2$) est $J$ (resp.\ $I$).\ Donc
l'ensemble not\'e $\Ilig(P_1\leftarrow P_2)$ des
entiers $k$ tels que $k$ appara\^\i t dans
$P_2$ et $(k+1)$ dans $P_1$, est \'egal 
\`a l'ensemble $\Ilig(\sigma _1\leftarrow \sigma _2)$
des lettres $k$ du mot $\sigma _2$ telles que 
$(k+1)$ est dans $\sigma _1$.\ Comme
$a_1=\sigma _1\sigma _2$, on d\'eduit de (3.7)~:
$$\eqalign{\Ilig \sigma _1 \sigma _2&=\Ilig \sigma _1+
           \Ilig \sigma _2 + \Ilig(\sigma _1\leftarrow \sigma _2)\cr 
                        &=\Ilig P_1+\Ilig P_2+\Ilig(P_1\leftarrow P_2)\cr 
                        &=\Ilig P_1\otimes  P_2.\cr}$$ 
La propri\'et\'e (3.8) permet, de la m\^eme mani\`ere, de
d\'emontrer la seconde relation de (3.2).\par 
On pourra v\'erifier que la paire de tableaux 
$(T_1,T_2)$ d\'ecrite juste avant l'\'enonc\'e du 
th\'eor\`eme 3.1 correspond \`a la permutation color\'ee
donn\'ee \`a titre d'exemple dans la section 2. 
\par\vskip 5pt
{\petcap Remarque}\pointir Pour \'etablir le th\'eor\`eme 
3.1, on peut \'egalement faire appel aux techniques du mono\"\i de
plaxique [13, 14] et d\'emontrer que les tableaux $P_1\otimes  P_2$ 
et $Q^\prime_1\otimes  Q_2$ sont \'equivalents par le 
jeu de taquin aux permutations $a_1$ et $a_2$,
respectivement.\ En particulier, les propri\'et\'es (3.2) disent
simplement que dans une m\^eme classe d'\'equivalence
les propri\'et\'es plaxiques des \'el\'ements sont
conserv\'ees.\par 
  
\titre 4.\ Codage des tableaux semi-standard| 
Dans l'identit\'e (4.1) ci-dessous, 
$S_{\nu /\theta }(1,q,q^2,\ldots,q^r)$
d\'esigne la {\it fonction de Schur gauche} 
associ\'ee au diagramme gauche $\nu /\theta $, en 
$(r+1)$ variables \'egales respectivement \`a
$1,q,q^2,\ldots,q^r$ (voir [15, p.\ 42]).
\tha Th\'eor\`eme 4.1|Soit $\nu /\theta $
un diagramme gauche de $n$ \'el\'ements. 
On a l'identit\'e~: 
$${1\over (t;q)_{n+1}} \sum _T
t^{\Ides T} q^{\Imaj T}=
\sum _rt^rS_{\nu /\theta }(1,q,q^2,\ldots,q^r),\leqno(4.1)$$ 
o\`u la premi\`ere sommation est faite sur
l'ensemble des tableaux standard d'ordre $n$, 
de forme $\nu /\theta $ et la seconde sur les
entiers $r\geq 0$.\fintha 
La d\'emonstration du th\'eor\`eme 4.1 n\'ecessite la 
manipulation d'une nouvelle classe de 
tableaux, les {\it tableaux semi-standard}
(``column strict''), qu'on construit de la fa\c con
suivante~: on part d'un diagramme gauche 
$\nu /\theta $ de $n$ points,
sur lesquels, on place
$n$ entiers, non n\'ecessairement distincts,
de fa\c con \`a obtenir une {\it d\'ecroissance au sens 
large} dans les lignes (de gauche \`a droite) 
et une {\it d\'ecroissance stricte} dans les
colonnes (de bas en haut).\ Par exemple,
\par
\setbox7=\vbox{\halign{$\hfil#\hfil\;$& 
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil\;$&
                       $\hfil#\hfil$\cr 
               2&1&\null&\null&\null&\null\cr   
               3&3&1&\null&\null&\null\cr   
               \null&\null&\null&5&\null&\null\cr   
               \null&\null&\null&8&6&2\cr}}
$$\tau=\left.\vcenter{\box7}\right.$$   
\noindent 
est un tel tableau.\par 
Tout tableau semi-standard $\tau $, de forme
$\nu /\theta $ d\'efinit un ordre total sur les
points du diagramme $\nu /\theta $, si l'on
convient que le point $(i,j)$ est avant 
$(i^\prime,j^\prime)$ lorsque l'entier
$\tau (i,j)$ \'ecrit sur ce point est sup\'erieur 
\`a $\tau (i^\prime,j^\prime)$, ou lorsque
$\tau (i,j)=\tau (i^\prime,j^\prime)$ 
et le point $(i,j)$ est \`a la gauche de
$(i^\prime,j^\prime)$, c'est-\`a-dire si
$i<i^\prime$.\par 
En \'ecrivant $k$ sur le point $(i,j)$
de $\nu /\theta $, si ce point est le
$k$\ieme\ dans cet ordre, on obtient un 
tableau {\it standard} $T$, d'{\it ordre} $n$ 
(si $\nu /\theta $ a $n$ \'el\'ements)
{\it et de forme} $\nu /\theta $. 
D'autre part, la lecture des \'el\'ements 
du tableau semi-standard $\tau $ suivant cet
ordre fournit une suite d\'ecroissante
$c=(c_1,c_2,\ldots,c_n)$. 
Naturellement, $k\in \Ilig T\Rightarrow c_k>c_{k+1}$. 
On d\'efinit une suite
$d=(d_1,d_2,\ldots,d_n)$ par~: 
$$d_k=\cases{c_k-c_{k+1},&si $k\not\in \Ilig T$ et $k\leq n-1$;\cr
             c_k-c_{k+1}-1,&si $k\in \Ilig T$;\cr 
             c_n-1,&si $k=n$.\cr}\leqno(4.2)$$ \par
Dans l'exemple ci-dessus, le tableau standard associ\'e 
est le tableau $T=T_1$ d\'ecrit dans l'exemple
de la section 3.\ De plus,
$$\eqalign{c&=(8,6,5,3,3,2,2,1,1),\qquad
           \Ilig T=\{2,3,5,7\},\cr
           d&=(2,0,1,0,0,0,0,0,0).\cr}$$ \par 
Le couple $(T,d)$ est le {\it codage} du tableau
semi-standard $\tau $ et il est clair qu'\`a tout 
$\tau $ correspond une et une seule paire 
$(T,d)$.\ Nous n'avons ici fait qu'adapter le 
codage des tableaux semi-standard de forme
$\lambda $ d\'ecrit dans [15, p.\ 42], aux m\^emes types 
de tableaux, mais dont la forme est un diagramme gauche.

Soit maintenant $(x_1,x_2,\,\ldots\,)$ 
une suite de variables.\ La {\it fonction
de Schur gauche $S_{\nu /\theta }$ associ\'ee \`a} $\nu /\theta $ 
est d\'efinie par (\cf.\ [15, p.\ 42])~:
$$S_{\nu /\theta }(x_1,x_2,\,\ldots\,)
=\sum _\tau \prod x_{\tau (i,j)},\leqno(4.3)$$ 
o\`u la somme est \'etendue \`a tous les tableaux 
semi-standard $\tau $ de forme $\nu /\theta $ et le
produit \`a tous les points $(i,j)$ contenus dans 
$\nu /\theta $.\par
L'identit\'e (4.1) se d\'emontre alors de la
fa\c con suivante.\ Le d\'eve\-lop\-pe\-ment du premier 
membre de (4.1) est une somme de la forme 
$\sum q^\gamma t^\delta $, \'etendue aux couples $(T,d)$, o\`u $T$
est un tableau standard d'ordre $n$ de forme
$\nu /\theta $ et $d=(d_0,d_1,\ldots,d_n)$
une suite de longueur $(n+1)$ d'entiers 
positifs ou nuls.\ De plus, pour chaque couple
$(T,d)$, on a~: 
$$\gamma =\Imaj T +\sum _k kd_k\qquad\hbox{et}\qquad 
\delta =\Ides T+\sum _k d_k\quad(0\leq k\leq n).$$ 
D'apr\`es le codage d\'ecrit pr\'ec\'edemment,
la s\'erie est \'etendue, en fait, aux couples
$(\tau ,d_0)$, o\`u $\tau $ est un tableau semi-standard
de forme $\nu /\theta $ et $d_0$ un entier positif. 
Or, d'apr\`es (4.2)~: 
$$\sum _{k=0}^n kd_k=\sum _{k=1}^n c_k-n-\Imaj T\qquad 
\hbox{et}\qquad \sum _{k=0}^n d_k=d_0+c_1-1-\Ides T.$$ 
Le premier membre de (4.1) est ainsi \'egal \`a 
$\sum q^\gamma t^\delta $, o\`u la somme est \'etendue \`a toutes 
les paires $(\tau ,d_0)$ et o\`u 
$\gamma =\sum _{k=1}^{k=n}c_k-n$ et 
$\delta =d_0+c_1-1$.\ D'o\`u~:
$$\sum q^\gamma t^\delta =(1-t)^{-1}\sum _rt^r\sum q^\gamma ,\leqno(4.4)$$ 
o\`u la derni\`ere somme est faite sur les
tableaux $\tau $ tels que $c_1(\tau )=r+1$.\par 
Or le d\'eveloppement de
$S_{\nu /\theta }(x_1,x_2,\ldots,x_{r+1})$
ne porte que sur les seuls tableaux 
semi-standard $\tau $ tels que
$c_1(\tau )\leq r+1$.\ Si, de plus, on fait la
substitution
$x_i\leftarrow q^{i-1}\;(i=1,2,\ldots,r+1)$ 
dans $S_{\nu /\theta }(x_1,x_2,\ldots,x_{r+1})$,
le mon\^ome $\prod x_{\tau (i,j)}$ correspondant \`a $\tau $ 
est transform\'e en une puissance de $q$ \'egale \`a
$\sum _{k=1}^{k=n}c_k-n=\gamma $.\ De l\`a~:
$$\eqalign{\sum q^\gamma t^\delta &=(1-t)^{-1}
           \sum _rt^r(S_{\nu /\theta }(1,q,\ldots,q^r)
           -S_{\nu /\theta }(1,q,\ldots,q^{r-1}))\cr
                  &=(1-t)^{-1}\sum _r(t^r-t^{r+1})
           S_{\nu /\theta }(1,q,\ldots,q^r)\cr
                  &=\sum _rt^rS_{\nu /\theta }(1,q,\ldots,q^r).\cr}$$ 
Ceci d\'emontre le th\'eor\`eme 4.1.\par

\titre 5.\ Alg\`ebre des fonctions de Schur|
Nous disposons maintenant de tous les 
ingr\'edients pour d\'emontrer le th\'eor\`eme 2.3.
Partons des deux identit\'es (1.4) et (1.5). 
D'apr\`es la d\'efinition de $S_{\nu /\theta }(x)$ 
donn\'ee en (4.3), on a pour un diagramme
gauche de la forme $\nu /\theta =\lambda \otimes  \mu $ l'identit\'e~: 
$$S_{\lambda \otimes  \mu }(x)=S_\lambda (x)S_\mu (x).$$
On en tire~:
$$\sum _n u^n \sum _{\lambda ,\mu } z^{\left| \lambda \right|} 
S_{\lambda \otimes  \mu }(x) S_{\lambda ^\prime\otimes  \mu }(y)
=\prod _{i,j}{(1+zux_iy_j)\over (1-ux_iy_j)},$$ 
o\`u pour chaque $n\geq 0$ fix\'e, la seconde 
sommation est sur les paires de partitions
$(\lambda ,\mu )$ telles que 
$\left| \lambda \right|+\left| \mu \right|=n$. 
En prenant pour $x$ (resp.\ $y$) un ensemble fini 
$\{x_1,\ldots,x_{r+1}\}$ (resp. 
$\{y_1,\ldots,y_{s+1}\}$)
de variables et en faisant les 
substitutions 
$x_i\leftarrow q_1^{i-1},\;y_j\leftarrow q_2^{j-1}$,
on en d\'eduit la formule~: 
$$\displaylines{\quad\sum _n u^n \sum _{\lambda ,\mu } 
z^{\left| \lambda \right|}
S_{\lambda \otimes  \mu }(1,q_1,\ldots,q_1^r)
S_{\lambda ^\prime\otimes  \mu }(1,q_2,\ldots,q_2^s)\hfill\cr 
\hfill={(-zu;q_1,q_2)_{r+1,s+1}\over 
(u;q_1,q_2)_{r+1,s+1}}.\quad\cr}$$
Multipliant les deux membres par
$t_1^r t_2^s$ et sommant par rapport \`a
$r$ et $s$, on obtient bien la formule $(1.3c)$,
compte-tenu d'abord de (4.1) appliqu\'ee \`a
$\nu /\theta =\lambda \otimes  \mu $, puis de (3.3). 
Ceci ach\`eve la d\'emonstration de toutes
les formules $(1.1a)$~--~$(1.3c)$.\par

\titre 6.\ Involutions| 
On note $\Inv_n$ l'ensemble des involutions 
de $[n]$.\ Si $\sigma $ est dans $\Inv_n$, sa 
d\'ecomposition en cycles ne comporte que 
des points fixes et des transpositions.
Leur nombre respectif sera d\'esign\'e par
$\Fix \sigma $ et $\Trans \sigma $. 
Comme dans la section~2, 
le symbole $\sigma $ repr\'esente aussi le {\it mot}
$\sigma =\sigma (1)\sigma (2)\,\ldots\,\sigma (n)$,
de sorte qu'on peut d\'efinir les notions 
de $\Des\sigma $, $\Maj\sigma $, 
$\Codes\sigma $ et $\Comaj\sigma $.
Soient $H_n(z_1,z_2,t,q)$ et
$K_n(z_1,z_2,t,q)$ les polyn\^omes d\'efinis sur 
$\Inv_n$ par~:
$$\eqalign{H_n(z_1,z_2,t,q)&=\sum _\sigma  z_1^{\Fix \sigma } 
z_2^{\Trans \sigma } t^{\Des \sigma } q^{\Maj \sigma },\cr
K_n(z_1,z_2,t,q)&=\sum _\sigma  z_1^{\Fix \sigma } 
z_2^{\Trans \sigma } t^{\Codes \sigma } q^{\Comaj \sigma }.\cr}$$ 
Notre but reste donc d'\'etablir les
formules (1.8) et (1.9) \`a partir de (1.6) et (1.7).\par 
On a not\'e $\rho :\sigma \mapsto (P,Q)$, la correspondance 
de Robinson-Schensted.\ D'apr\`es (3.4), l'application
$\sigma \mapsto P$ est une bijection de $\Inv_n$ sur
l'ensemble ${\cal P}_n$ des tableaux standard
d'ordre $n$ dont la forme est un diagramme
de Ferrers.\ On sait, de plus, (\cf. 
[22, p.\ 93, prop.\ 4.4]) que le nombre de
points fixes de l'involution $\sigma $ est
\'egal au nombre $c(\lambda )$ de colonnes de 
$P$ de longueur impaire.\ D'o\`u, d'apr\`es (3.6),
puisque ligne de route et ligne inverse 
de route co\"\i ncident pour une involution,
$$H_n(z,1,t,q)=\sum _\lambda  z^{c(\lambda )} 
\sum _P t^{\Ides P} q^{\Imaj P},\leqno(6.1)$$
o\`u $\lambda $ varie dans l'ensemble des partitions
de $n$ et $P$ dans l'ensemble des tableaux
standard d'ordre $n$ de forme $\lambda $.\par 
Le th\'eor\`eme 4.1 entra\^\i ne alors avec $\nu /\theta =\lambda $~: 
$$\sum _n H_n(z,1,t,q) {u^n\over (q;q)_n} 
=\sum _n u^n \sum _\lambda  z^{c(\lambda )} \sum _r t^r 
S_\lambda(1,q,\ldots,q^r).$$ 
D'autre part, (1.6) implique que pour chaque $r\geq 0$ on a~:
$$\sum_n u^n\sum_\lambda z^{c(\lambda)} S_\lambda (1,q,\ldots,q^r)
={1\over (zu;q)_{r+1}}
\prod _{0\leq i<j\leq r} {1\over (1-u^2 q^{i+j})}.$$
Des deux derni\`eres identit\'es r\'esulte~:
$$\sum _n H_n(z,1,t,q) {u^n\over (q;q)_n} 
=\sum _r t^r {1\over (zu;q)_{r+1}}
\prod _{0\leq i<j\leq r} {1\over (1-u^2q^{i+j})}.\leqno(6.2)$$ 
Or pour $\sigma\in\Inv_n$, on a 
$\Trans\sigma=(n-\Fix\sigma)/2$. 
D'o\`u~:
$$H_n(z_1,z_2,t,q)u^n = H_n(z_1/z_2^{1/2},1,t,q)(uz_2^{1/2})^n.$$ 
En reportant dans (6.2), on obtient bien (1.8).\par 
L'identit\'e (1.9) se d\'emontre de la m\^eme fa\c con, une
fois trouv\'ee pour $K_n(z,1,t,q)$ une formule
de transcription analogue \`a celle trouv\'ee en (6.1)
pour $H_n(z,1,t,q)$.\ Or, lorsque $\sigma $ est une involution,
on a en vertu de (2.2) et (2.3) : $\Colig\sigma=\Ilig\rg\,\sigma $.
Reprenant les m\^emes notations que dans (3.4)~--~(3.6), 
en particulier posant $\rho (\sigma )=(P,Q)$ (avec $P=Q$
puisque $\sigma $ est une involution), on en d\'eduit : 
$\Colig \sigma  = \Ilig P^\prime$.\ D'o\`u l'on tire : 
$$\eqalign{K_n(z,1,t,q)&=\sum _\lambda  z^{c(\lambda )} 
           \sum _P t^{\Des P^\prime} q^{\Maj P^\prime},\cr 
                       &=\sum _\lambda  z^{r(\lambda )} 
           \sum _P t^{\Des P} q^{\Maj P}.\cr}$$ 
La formule (1.9) s'en d\'eduit par exactement les 
m\^emes m\'ethodes que pr\'ec\'edemment, utilisant cette fois
(1.7) au lieu de (1.6).\par 
Faisant $q=1$ dans (1.8) et dans (1.9), 
on obtient la fonction g\'en\'eratrice des involutions
par nombre de points fixes et nombre de descentes,
d'une part, nombre de points fixes et nombre
de codescentes, d'autre part.\ Ces fonctions
g\'en\'eratrices s'\'ecrivent : 
$$\leqalignno{\sum _n H_n(z,1,t,1) {u^n\over (1-t)^{n+1}} 
&=\sum _r {t^r\over (1-zu)^{r+1}(1-u^2)^{r(r+1)/2}},&(6.3)\cr 
\sum _n K_n(z,1,t,1) {u^n\over (1-t)^{n+1}} 
&=\sum _r {t^r(1+zu)^{r+1}\over (1-u^2)^{(r+1)(r+2)/2}}.&(6.4)\cr}$$ 
Si on d\'esigne par $I_{n,p}$ (resp.\ $J_{n,p}$)
le nombre d'involutions sans points fixes 
sur $[n]$ ayant $p$ descentes (resp.\ $p$ 
codescentes), un calcul simple \`a partir 
des identit\'es (6.3) et (6.4) donne~:
$$\leqalignno{I_{n,p}
&=\sum _k (-1)^k {n+1\choose k} 
{{p-k+1\choose 2}+n/2-1\choose n/2},&(6.5)\cr
J_{n,p}
&=\sum _k (-1)^k {n+1\choose k} 
{{p-k+2\choose 2}+n/2-1\choose n/2}.&(6.6)\cr}$$
D'apr\`es la d\'efinition des codescentes, on a 
$I_{n,p}=J_{n,n-1-p}$.\ En reportant cette
\'egalit\'e dans (6.6), on obtient~:
$$I_{n,p}=\sum _k (-1)^k {n+1\choose k} 
{{n-p-k+1\choose 2}+n/2-1\choose n/2}.\leqno(6.7)$$
En comparant (6.5) et (6.7), on trouve la 
propri\'et\'e suivante, conjectur\'ee par 
\pc DUMONT| et d\'emontr\'ee combinatoirement 
par \pc STREHL| [24].\par
\th Proposition 6.1|La statistique du nombre
des descentes sur l'ensemble des involutions
sans points fixes poss\`ede la propri\'et\'e de 
sym\'etrie :
$$I_{n,p}=I_{n,n-p}.$$|\par 
\vskip .5cm 

  
\eightpoint 
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Strasbourg)}, premi\`ere session [Strasbourg.\ 1980], 
p.~12\pointir Publ.\ IRMA Strasbourg, 140\obl
S-02, {\oldstyle 1981}| 
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