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\def\fin{\vfill\eject}

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% particularite du pilote canon

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% Charge des fontes de 8 et 6 points :
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% Chargement des fontes AMS

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\tenpoint

%���������������������� dactylographie fran�aise �����������������

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  \hrule width 2truein \kern 5.6\p@} % the \hrule is .4pt high



\let\rmpc=\sevenrm
\def\pd#1#2 {\pc#1#2| }

\def\pointir{\discretionary{.}{}{.\kern.35em---\kern.7em}\nobreak
\hskip 0em plus .3em minus .4em }

\def\resume#1{\vbox{\eightpoint \pc R\'ESUM\'E|\pointir #1}}
\def\abstract#1{\vbox{\eightpoint \pc ABSTRACT|\pointir #1}}

\def\titre#1|{\message{#1}
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\long\def\th#1|#2\finth{\par\medskip
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\long\def\tha#1|#2\fintha{\par\medskip
                    {\petcap #1.}\par\nobreak{\it #2}\par\smallskip}
\def\cf{{\it cf}}

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            {{\it #1}\pointir}}

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%
\def\ieme{\raise 1ex\hbox{\pc{}i\`eme|}}
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%reference pour un article :
\def\article#1|#2|#3|#4|#5|#6|#7|
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     #3, {\sl #4}, t.\nobreak\ {\bf #5}, {\oldstyle #6},
     p.\nobreak\ #7.\par}}
%reference pour un livre :
\def\livre#1|#2|#3|#4|
    {{\leftskip=7mm\noindent
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    {\sl #3}\pointir #4.\par}}
%reference complementaire :
\def\divers#1|#2|#3|
    {{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
     \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
     #3.\par}}
%
\mathchardef\conj="0365
\def\dem{\par{\it D\'emonstration}\pointir}
\def\qed{\quad\raise -2pt\hbox{\vrule\vbox to 10pt{\hrule width 4pt
\vfill\hrule}\vrule}}

\def\virg{\raise 2pt\hbox{,}}   % virgule apr�s une fraction

\def\cqfd{\penalty 500 \hbox{\qed}\par\smallskip}

\def\decale#1|{\par\noindent\hskip 28pt\llap{#1}\kern 5pt}
\def\decaledecale#1|{\par\noindent\hskip 34pt\llap{#1}\kern 5pt}
% pour les titres en deux lignes et les sections sans point-tiret :
\def\titrea#1|#2|{\message{#1 #2}
  \par\vskip.5cm plus .1cm minus .1cm\penalty -1000
  \centerline{\bf #1}
  \centerline{\bf #2}
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  \penalty 10000 }
\def\sectiona#1|{\par\vskip .3cm
  {\bf #1.}
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\def\ssectiona#1|{\par\vskip .2cm
  {\it #1.}
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\catcode`\@=12
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  \adrbox\vbox\bgroup\hbox\bgroup}
\def\fin{\vfill\eject}

%\input a4foata
\pageno=75
\auteurcourant={P.-A. PICON}
\titrecourant={TH\'EOR\`EME DE LANDAU}

\eightpoint
\leftline{Publ. I.R.M.A. Strasbourg, $\oldstyle 1984$, 229/S--08}
\leftline{Actes 8\emini\ S\'eminaire Lotharingien, p. 75--78}

\tenpoint
\let\it=\sl

\vglue 1.5cm
\centerline{{\bf SUR UN TH\'EOR\`EME DE LANDAU}}
\vskip 2.8mm
\centerline{\sevenrm PAR}
\vskip 2.8mm
\centerline{P.-A. PICON}
\vskip 5mm
Dans tout cet article, $[x]$ d\'esigne la partie enti\`ere
d'un nombre r\'eel $x$.
Soient $(u_i)$ et $(v_j)$ deux suites finies d'entiers
naturels. Pour que $\prod _iu_i!/\prod _jv_j!$ soit entier,
il faut et il suffit que
$$\sum  _i\sum  _{m\ge 1}\left[{u_i\over p^m}\right]
-\sum  _j\sum  _{m\ge 1}\left[{v_j\over p^m}\right]\ge 0,
\leqno(1)$$
pour chaque premier $p$. Ce r\'esultat provient
essentiellement du fait que la valuation
\hbox{$p$-adique} $|n!|_p$ de $n!$ est \'egale \`a
$\sum  _{m\ge 1}[n/p^m]$. 
Evidemment, pour que la condition (1) soit
v\'erifi\'ee, il suffit que l'on ait
$$\sum  _i\left[{u_i\over a}\right]
-\sum  _j\left[{v_j\over a}\right]\ge 0$$
pour tout $a>0$. \pc LANDAU| montre dans
[1] que cette condition suffisante est aussi
n\'ecessaire quand les $u_i$ et les $v_j$ sont
des formes lin\'eaires. De fa\c con pr\'ecise, on a le
r\'esultat suivant.

\th Th\'eor\`eme|Soient $(u_i)$ et $(v_j)$ des formes
lin\'eaires sur ${\bf R}^n$ \`a coefficients dans
${\bf Z}$. Pour que 
$A(x)=\prod _iu_i(x)!/\prod _jv_j(x)!$
soit entier pour chaque $x$ de ${{\bf Z}}^n$
rendant $u_i(x)$ et $v_j(x)$ positifs,
il faut et il suffit que l'on ait
$$B(x)=\sum  _i[u_i(x)]-\sum  _j[v_j(x)]\ge 0$$
pour chaque $x$ de ${\bf R}^n$
rendant $u_i(x)$ et $v_j(x)$ positifs.
\finth

L'id\'ee de la preuve est de montrer qu'on
peut associer \`a chaque $x$ de ${\bf R}^n$
rendant les $u_i$ et $v_j$ positifs un
\'el\'ement $y$ de ${\bf Z}^n$ et un nombre premier
$p$ tels que
$[u(x)]=[u(y)/p]$ et
$[u(y)/p^m]=0$ pour $m\ge 2$,
uniform\'ement pour tous les $u_i$ et les $v_j$.
Ainsi $B(x)=|A(y)|_p$, qui ne peut \^etre
n\'egatif si $|A(y)|_p$ ne l'est pas.

Nous avons \'etendu ce r\'esultat \`a des polyn\^omes
homog\`enes et montr\'e que cette bi-implication
avait lieu dans un c\^one (ensemble de dimension
$n$ invariant par homoth\'etie positive) ; ce qui
montre qu'il y a un plus grand c\^one (\`a int\'erieur
\'eventuellement vide) o\`u  $A(x)\in {\bf N}$.

Revenant \`a des formes lin\'eaires, nous avons montr\'e
que l'on peut se ramener \`a ce qu'elles aient leurs 
coefficients dans ${\bf N}$ et que $B(e_k)=0$ pour tout
$k$, o\`u  $e_k$ est le $k^{\hbox{\fiverm i\`eme}}$ vecteur de la base
canonique de ${\bf R}^n$. Dans cette situation, $B$ admet
la p\'eriode 1 pour chacune des variables. Il suffit donc
de l'\'etudier dans $[0,1[^n$, ce qui revient \`a regarder
un nombre fini de cas. On constate alors que soit
$B(x)$ est positive ou nulle dans tout ${\bf R}^n$,
soit qu'il n'existe aucun c\^one (\`a int\'erieur non vide)
o\`u  elle le soit. De plus, appelant $d$ la diff\'erence
entre le nombre de $v_j$ et le nombre de $u_i$,
on montre que $B(x)+B(\vec 1-x)=d$ si $B$
est continue en $x$, ce qui entra\^\i ne les \'equivalences
$$B(x)\ge 0\Leftrightarrow B(x)\le d
\Rightarrow 0\le B(x)\le d,$$
et qui montre que les fonctions $B$ correspondant
aux quotients-produits $A(x)$ entiers sont celles
dont la diff\'erence des valeurs extr\^emes est
minimum et vaut $d$. On a donc $d\ge 1$ pour
$A(x)$ entier et $A(x)\not\equiv 1$.

En second lieu, on a consid\'er\'e la $q$-factorielle 
$$(n!)_q=\prod _{k=1}^n{1-q^k\over 1-q}$$
de $n$, qui est un polyn\^ome de ${\bf Z}[q]$, et
montr\'e que
${\prod _i(u_i!)_q/\prod _j(v_j!)_q}$
est un polyn\^ome si et seulement si
$$\sum  _i\left[{u_i\over a}\right]
-\sum  _j\left[{v_j\over a}\right]\ge 0$$
pour chaque entier naturel $a\ge 2$.
Ceci est imm\'ediat, car
$${1-q^k\over 1-q}=\prod _{a|k}C_a,$$ 
o\`u  $C_a$ est le $a^{\hbox{\fiverm i\`eme}}$
polyn\^ome cyclotomique, qui sont tous
premiers deux \`a deux. On en d\'eduit, d'apr\`es le
th\'eor\`eme de Landau, que $A_q(x)$
est un polyn\^ome pour tout $x$ si et seulement
si $A(x)$ est un entier pour tout $x$, quand
les $u_i$ et les $v_j$ sont des polyn\^omes
homog\`enes.

Dans son article \pc LANDAU| cite trois
quotients-produits de formes lin\'eaires qui sont
des entiers : le coefficient du bin\^ome
$${(x+y)!\over x!\,y!}\,,$$ 
le nombre de Catalan
$${(2x)!\,(2y)!\over
(x+y)!\,x!\,y!}\,,$$
le nombre de Bourguet
$${(kx_1)!\,\ldots\,(kx_k)!\over
(x_1+\cdots+x_k)!\,
x_1!\,\ldots\,x_k!}\;;$$
il en donne deux nouveaux :
$${(5x+y)!\,(3y)!\over
(x+2y)!\,(2x+y)!\,x!\,y!}$$
et
$${(4x)!\,(4y)!\over
(x+2y)!\,(2x+y)!\,x!\,y!}.$$
Nous en avons trouv\'e un certain nombre d'autres
parmi lesquels :
$${(2(x+y))!\,x!\over
(x+y)!\,(2x)!\,y!}\;;$$
$${(3x+y)!\,(x+3y)!\over
(2(x+y))!\,(x+y)!\,x!\,y!}\;;$$
$${(4x)!\,(x+5y)!\over
(x+2y)!\,(2x+y)!\,(x+y)!\,x!\,y!}\;;$$
$${(nx)!\,(ny)!\over
((n-2)x+y)!\,(x+(n-2)y)!}\qquad
{\rm pour}\quad n=2,3,4,5\quad
\hbox{{\rm et pas ensuite}}\;;$$
$${(nkx)!\,(nky)!\over
(kx)!\,(ky)!\,((k(x+y))!)^{n-1}}\;;$$
$${(lx)!\,(ly)!\over
(kx)!\,(ky)!\,((x+y)!)^{l-k-1}
x!\,y!}\;;$$
$${(kx_1)!\,\ldots\,(kx_p)!\over
((x_1+\cdots+x_p)!)^{k-p+1} 
(x_1!)^{p-1}\,\ldots\,(x_p!)^{p-1}}\;;$$
ce qui g\'en\'eralise le
r\'esultat de Bourguet. Auparavant, nous avions
montr\'e l'int\'egrit\'e d'un ``gros'' quotient-produit
dans [2].

Tous ces r\'esultats se transposent tels quels
(en changeant ``entier'' en ``po\-ly\-n\^ome'') \`a la
$q$-factorielle, \`a laquelle nous avons \'etendu aussi
certains quotients-produits de formes non homog\`enes comme :
$$\delta {(x_1+\cdots+x_{n-1})!\over
x_1!\,\ldots\,x_n!}\in {\bf N}$$
(\cf. \pc SCH\"ONEMANN|). On obtient alors :
$${1-q^\delta \over 1-q}
{(x_1+\cdots+x_n-1)!_q\over
x_1!_q\,\ldots\,x_n!_q}
\in {\bf Z}[q],$$
le symbole $\delta $ d\'esignant le p.g.c.d. des $x_i$.

\vfill\eject
\vglue 44pt
\eightpoint
\centerline{BIBLIOGRAPHIE}
\nobreak
\vskip.5cm\noindent
{\hangindent=9mm\hangafter=1
[1]\hskip.7em \pd LANDAU (E.)\pointir
{\sl Nouvelles Annales de Math\'e\-ma\-tiques},
t.~{\bf 3} (19), $\oldstyle1900$, p.~344--362.}
\par\noindent
{\hangindent=9mm\hangafter=1
[2]\hskip.7em \pd PICON (P.-A.)\pointir
{\sl Discrete Mathematics},
t.~{\bf 38}, $\oldstyle1982$, p.~227--241.}

\tenpoint
\adresse
P.-A. {\petcap Picon}, 
U.E.R. de Math\'ematiques, 
Universit\'e de Paris VII, 
2, place Jussieu,
75005~Paris.

\fin

\bye
