Publ. I.R.M.A. Strasbourg, 1984, 229/S–08 Actes 8^{e} Séminaire Lotharingien, p. 75–78

SUR UN THÉORÈME DE LANDAU

PAR

P.-A. PICON

Dans tout cet article, [x] désigne la partie entière d’un nombre réel x. Soient (u_{i}) et (v_{j}) deux suites finies d’entiers naturels. Pour que ∏_{i} u_{i}!/ ∏_{j} v_{j}! soit entier, il faut et il suffit que

(1)  ∑_{i} ∑_{m≥1} [\frac{u_{i}}{p^{m}} ] − ∑_{j} ∑_{m≥1} [\frac{v_{j}}{p^{m}} ] ≥ 0,

pour chaque premier p. Ce résultat provient essentiellement du fait que la valuation p-adique |n!|_{p} de n! est égale à ∑_{m≥1}[n/p^{m}]. Evidemment, pour que la condition (1) soit vérifiée, il suffit que l’on ait

∑_{i} [\frac{u_{i}}{a} ] − ∑_{j} [\frac{v_{j}}{a} ] ≥ 0

pour tout a > 0. LANDAU montre dans [1] que cette condition suffisante est aussi nécessaire quand les u_{i} et les v_{j} sont des formes linéaires. De façon précise, on a le résultat suivant.

Théorème. — Soient (u_{i}) et (v_{j}) des formes linéaires sur R^{n} à coefficients dans Z. Pour que A(x) = ∏_{i} u_{i}(x)!/ ∏_{j} v_{j}(x)! soit entier pour chaque x de Z^{n} rendant u_{i}(x) et v_{j}(x) positifs, il faut et il suffit que l’on ait

B(x) = ∑_{i}[u_{i}(x)] − ∑_{j}[v_{j}(x)] ≥ 0

pour chaque x de R^{n} rendant u_{i}(x) et v_{j}(x) positifs.

L’idée de la preuve est de montrer qu’on peut associer à chaque x de R^{n} rendant les u_{i} et v_{j} positifs un élément y de Z^{n} et un nombre premier p tels que [u(x)] = [u(y)/p] et [u(y)/p^{m}] = 0 pour m ≥ 2, uniformément pour tous les u_{i} et les v_{j}. Ainsi B(x) = |A(y)|_{p}, qui ne peut être négatif si |A(y)|_{p} ne l’est pas.

P.-A. PICON

Nous avons étendu ce résultat à des polynômes homogènes et montré que cette bi-implication avait lieu dans un cône (ensemble de dimension n invariant par homothétie positive) ; ce qui montre qu’il y a un plus grand cône (à intérieur éventuellement vide) où A(x) ∈ N.

Revenant à des formes linéaires, nous avons montré que l’on peut se ramener à ce qu’elles aient leurs coefficients dans N et que B(e_{k}) = 0 pour tout k, où e_{k} est le k^{ième} vecteur de la base canonique de R^{n}. Dans cette situation, B admet la période 1 pour chacune des variables. Il suffit donc de l’étudier dans [0, 1[^{n}, ce qui revient à regarder un nombre fini de cas. On constate alors que soit B(x) est positive ou nulle dans tout R^{n}, soit qu’il n’existe aucun cône (à intérieur non vide) où elle le soit. De plus, appelant d la différence entre le nombre de v_{j} et le nombre de u_{i}, on montre que B(x) + B(1 − x) = d si B est continue en x, ce qui entraîne les équivalences

B(x) ≥ 0 ⇔ B(x) ≤ d ⇒ 0 ≤ B(x) ≤ d,

et qui montre que les fonctions B correspondant aux quotients-produits A(x) entiers sont celles dont la différence des valeurs extrêmes est minimum et vaut d. On a donc d ≥ 1 pour A(x) entier et A(x) ≢ 1.

En second lieu, on a considéré la q-factorielle

(n!)_{q} = ∏_{k=1}^{n} \frac{1 − q^{k}}{1 − q}

de n, qui est un polynôme de Z[q], et montré que ∏_{i}(u_{i}!)_{q}/ ∏_{j}(v_{j}!)_{q} est un polynôme si et seulement si

∑_{i} [\frac{u_{i}}{a} ] − ∑_{j} [\frac{v_{j}}{a} ] ≥ 0

pour chaque entier naturel a ≥ 2. Ceci est immédiat, car

\frac{1 − q^{k}}{1 − q} = ∏_{a|k} C_{a},

où C_{a} est le a^{ième} polynôme cyclotomique, qui sont tous premiers deux à deux. On en déduit, d’après le théorème de Landau, que A_{q}(x) est un polynôme pour tout x si et seulement si A(x) est un entier pour tout x, quand les u_{i} et les v_{j} sont des polynômes homogènes.

Dans son article LANDAU cite trois quotients-produits de formes linéaires qui sont des entiers : le coefficient du binôme

\frac{(x + y)!}{x! y!} ,

THÉORÈME DE LANDAU

le nombre de Catalan

\frac{(2x)! (2y)!}{(x + y)! x! y!} ,

le nombre de Bourguet

\frac{(kx_{1})! … (kx_{k})!}{(x_{1} + ⋯ + x_{k})! x_{1}! … x_{k}!} ;

il en donne deux nouveaux :

\frac{(5x + y)! (3y)!}{(x + 2y)! (2x + y)! x! y!}

et

\frac{(4x)! (4y)!}{(x + 2y)! (2x + y)! x! y!}.

Nous en avons trouvé un certain nombre d’autres parmi lesquels :

\frac{(2(x + y))! x!}{(x + y)! (2x)! y!} ;

\frac{(3x + y)! (x + 3y)!}{(2(x + y))! (x + y)! x! y!} ;

\frac{(4x)! (x + 5y)!}{(x + 2y)! (2x + y)! (x + y)! x! y!} ;

\frac{(nx)! (ny)!}{((n − 2)x + y)! (x + (n − 2)y)!} pour n = 2, 3, 4, 5 et pas ensuite ;

\frac{(nkx)! (nky)!}{(kx)! (ky)! ((k(x + y))!)^{n−1}} ;

\frac{(lx)! (ly)!}{(kx)! (ky)! ((x + y)!)^{l−k−1}x! y!} ;

\frac{(kx_{1})! … (kx_{p})!}{((x_{1} + ⋯ + x_{p})!)^{k−p+1}(x_{1}!)^{p−1} … (x_{p}!)^{p−1}} ;

ce qui généralise le résultat de Bourguet. Auparavant, nous avions montré l’intégrité d’un “gros” quotient-produit dans [2].

Tous ces résultats se transposent tels quels (en changeant “entier” en “polynôme”) à la q-factorielle, à laquelle nous avons étendu aussi certains quotients-produits de formes non homogènes comme :

δ \frac{(x_{1} + ⋯ + x_{n−1})!}{x_{1}! … x_{n}!} ∈ N

(cf. SCH^{}ÖNEMANN). On obtient alors :

\frac{1 − q^{δ}}{1 − q} \frac{(x_{1} + ⋯ + x_{n} − 1)!_{q}}{x_{1}!_{q} … x_{n}!_{q}} ∈ Z[q],

le symbole δ désignant le p.g.c.d. des x_{i}.

BIBLIOGRAPHIE

[1] LANDAU (E.). — Nouvelles Annales de Mathématiques, t. 3 (19), 1900, p. 344–362.

[2] PICON (P.-A.). — Discrete Mathematics, t. 38, 1982, p. 227–241.

P.-A. Picon,

U.E.R. de Mathématiques, Université de Paris VII, 2, place Jussieu, 75005 Paris.