\catcode'32=9
\magnification=1200

\ifx\undefined\newsymbol \else \begingroup\def\input#1 {\endgroup}\fi
\input amssym.def
\newsymbol\square 1003

\def\eqe#1{\hbox{\vrule height 9pt depth2pt$\overline{#1\vrule
height7.5pt width0pt}$}}
\def\tabloid#1{\hbox{$\vrule height 21pt depth 16pt\kern-0pt 
   \overline{\underline{\matrix{#1}}}
   \kern-0pt\vrule height 21pt depth 16pt$}}

% particularite du pilote canon

\voffset=1cm
\hoffset=0cm
%\hoffset=1cm
\font\tenpc=cmcsc10
%\font\eightpc=cmcsc8

% Charge des fontes de 8 et 6 points :
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\font\eightsy=cmsy8
\font\eightbf=cmbx8
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\font\sixrm=cmr6
\font\sixi=cmmi6
\font\sixsy=cmsy6
\font\sixbf=cmbx6

\skewchar\eighti='177 \skewchar\sixi='177
\skewchar\eightsy='60 \skewchar\sixsy='60

% Chargement des fontes AMS

\font\tengoth=eufm10
\font\tenbboard=msbm10
\font\eightgoth=eufm7 at 8pt
\font\eightbboard=msbm8
\font\sevengoth=eufm7
\font\sevenbboard=msbm7
\font\sixgoth=eufm6
\font\fivegoth=eufm5

\newfam\gothfam
\newfam\bboardfam

\catcode`\@=11

\def\raggedbottom{\topskip 10pt plus 36pt
\r@ggedbottomtrue}
\def\pc#1#2|{{\bigf@ntpc #1\penalty
\@MM\hskip\z@skip\smallf@ntpc #2}}

\def\tenpoint{%
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  \def\goth{\fam\gothfam\tengoth}%
  \textfont\bboardfam=\tenbboard \scriptfont\bboardfam=\sevenbboard
  \scriptscriptfont\bboardfam=\sevenbboard
  \def\bboard{\fam\bboardfam}%
  \textfont\itfam=\tenit
  \def\it{\fam\itfam\tenit}%
  \textfont\slfam=\tensl
  \def\sl{\fam\slfam\tensl}%
  \textfont\bffam=\tenbf \scriptfont\bffam=\sevenbf
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\let\bb=\bboard

\tenpoint

%---------------------- dactylographie fran�aise -----------------

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\def\^#1{\if#1i{\accent"5E\i}\else{\accent"5E #1}\fi}
\def\"#1{\if#1i{\accent"7F\i}\else{\accent"7F #1}\fi}

\frenchspacing

%---------------------- format de sortie -----------------

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\newtoks\titrecourant \titrecourant={\hfil}

\def\appeln@te{}
\def\vfootnote#1{\def\@parameter{#1}\insert\footins\bgroup\eightpoint
  \interlinepenalty\interfootnotelinepenalty
  \splittopskip\ht\strutbox % top baseline for broken footnotes
  \splitmaxdepth\dp\strutbox \floatingpenalty\@MM
  \leftskip\z@skip \rightskip\z@skip
  \ifx\appeln@te\@parameter\indent \else{\noindent #1\ }\fi
  \footstrut\futurelet\next\fo@t}

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\def\margebasse{\vss}

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\def\corpsdepage{\hbox to \lpage{\hss\pagetexte\hskip\lmargeext}}
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\headline={\ifpagetitre\titleheadline \else
  \ifodd\pageno\rightheadline \else\leftheadline\fi\fi}
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\def\titleheadline{\hfill}
\pagetitretrue

\def\footnoterule{\kern-6\p@
  \hrule width 2truein \kern 5.6\p@} % the \hrule is .4pt high



\let\rmpc=\sevenrm
\def\pd#1#2 {\pc#1#2| }

\def\pointir{\discretionary{.}{}{.\kern.35em---\kern.7em}\nobreak
\hskip 0em plus .3em minus .4em }

\def\resume#1{\vbox{\eightpoint \pc R\'ESUM\'E|\pointir #1}}
\def\abstract#1{\vbox{\eightpoint \pc ABSTRACT|\pointir #1}}

\def\titre#1|{\message{#1}
              \par\vskip 30pt plus 24pt minus 3pt\penalty -1000
              \vskip 0pt plus -24pt minus 3pt\penalty -1000
              \centerline{\bf #1}
              \vskip 5pt
              \penalty 10000 }

\def\section#1|{\par\vskip .3cm
                {\bf #1}\pointir}

\def\ssection#1|{\par\vskip .2cm
                {\it #1}\pointir}

\long\def\th#1|#2\finth{\par\medskip
              {\petcap #1\pointir}{\it #2}\par\smallskip}

\long\def\tha#1|#2\fintha{\par\medskip
                    {\petcap #1.}\par\nobreak{\it #2}\par\smallskip}
\def\cf{{\it cf}}

\def\rem#1|{\par\medskip
            {{\it #1}\pointir}}

\def\rema#1|{\par\medskip
             {{\it #1.}\par\nobreak }}

%
\def\ieme{\raise 1ex\hbox{\pc{}i\`eme|}}
\def\omini{\raise 1ex\hbox{\pc{}o|}}
\def\emini{\raise 1ex\hbox{\pc{}e|}}
\def\ermini{\raise 1ex\hbox{\pc{}er|}}
\def\remini{\raise 1ex\hbox{\pc{}re|}}

%reference pour un article :
\def\article#1|#2|#3|#4|#5|#6|#7|
    {{\leftskip=7mm\noindent
     \hangindent=2mm\hangafter=1
     \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
     #3, {\sl #4}, t.\nobreak\ {\bf #5}, {\oldstyle #6},
     p.\nobreak\ #7.\par}}
%reference pour un livre :
\def\livre#1|#2|#3|#4|
    {{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
    \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
    {\sl #3}\pointir #4.\par}}
%reference complementaire :
\def\divers#1|#2|#3|
    {{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
     \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
     #3.\par}}
%
\mathchardef\conj="0365
\def\dem{\par{\it D\'emonstration}\pointir}
\def\qed{\quad\raise -2pt\hbox{\vrule\vbox to 10pt{\hrule width 4pt
\vfill\hrule}\vrule}}

\def\virg{\raise 2pt\hbox{,}}   % virgule apr�s une fraction

\def\cqfd{\penalty 500 \hbox{\qed}\par\smallskip}

\long\def\entourer#1{\hbox{\vrule\vbox{\hrule\hbox{\kern15pt\vbox{\kern5pt
{#1}\kern5pt}\kern15pt}\hrule}\vrule}}
\def\\S {\vskip 5pt\hskip .5cm plus .1cm minus .1cm\relax}

%les differents retraits, voir aussi \item
\def\enonce#1|#2\finenonce{{\par\leftskip=36pt
\noindent\hbox to 0pt{\kern-\leftskip#1\hfill}{#2}\par}}

\def\senonce#1|#2\finsenonce{{\par\leftskip=36pt
\noindent\hbox to 0pt{\kern-24pt #1\hfill}{#2}\par}}

\def\ssenonce#1|#2\finssenonce{{\par\leftskip=48pt
\noindent\hbox to 0pt{\kern-24pt #1\hfill}{#2}\par}}

\def\decale#1|{\par\noindent\hskip 28pt\llap{#1}\kern 5pt}
\def\decaledecale#1|{\par\noindent\hskip 34pt\llap{#1}\kern 5pt}
% pour les titres en deux lignes et les sections sans point-tiret :
\def\titrea#1|#2|{\message{#1 #2}
  \par\vskip.5cm plus .1cm minus .1cm\penalty -1000
  \centerline{\bf #1}
  \centerline{\bf #2}
  \vskip 5pt
  \penalty 10000 }
\def\sectiona#1|{\par\vskip .3cm
  {\bf #1.}
  \par\nobreak\vskip 3pt }
\def\ssectiona#1|{\par\vskip .2cm
  {\it #1.}
  \par\nobreak\vskip 2pt }

\def\rest#1{\ifinner\setbox1=\hbox{$\textstyle{#1}$}
            \else\setbox1=\hbox{$\displaystyle{#1}$}\fi
            \dimen1=\ht1
            \advance\dimen1 by\dp1
            \divide\dimen1 by 2
            \box1\lower 2pt\hbox{$\left|\vbox to\dimen1{}\right.$}}

\def\displaylinesno#1{\displ@y\halign{
\hbox to\displaywidth{$\@lign\hfil\displaystyle##\hfil$}&
\llap{$##$}\crcr#1\crcr}}

\def\ldisplaylinesno#1{\displ@y\halign{
\hbox to\displaywidth{$\@lign\hfil\displaystyle##\hfil$}&
\kern-\displaywidth\rlap{$##$}\tabskip\displaywidth\crcr#1\crcr}}

\def\Eqalign#1{\null\,\vcenter{\openup\jot\m@th\ialign{
\strut\hfil$\displaystyle{##}$&$\displaystyle{{}##}$\hfil
&&\quad\strut\hfil$\displaystyle{##}$&$\displaystyle{{}##}$\hfil
\crcr#1\crcr}}\,}


% matrice justifi\'ee \`a droite : \hfil coef dans chaque ligne

\def\matrixd#1{\null \,\vcenter {\normalbaselines \m@th
\ialign {\hfil $##$&&\quad \hfil $##$\crcr
\mathstrut \crcr \noalign {\kern -\baselineskip } #1\crcr
\mathstrut \crcr \noalign {\kern -\baselineskip }}}\,}

\def\pmatrixd#1{\left(\matrixd{#1}\right)}

% ---------------------  syst�me d'�quations  ---------------------
% copi\'e sur \eqalign, on s'en sert comme une matrice
% syntaxe : signe & coef & inconnue
% les coef sont justifi\'es \`a droite (\hfil coef)
% et les inconnues \`a gauche (inconnue\hfil)
% attention : double && avant le signe =
% pour justification correcte !
% Exemple : $$\system{
%             &2 &x &- &3 & y & = &&       -5 \cr
%            -&  &x &+ &  & y & = && \hfill 6 \cr
%           }$$

\def\system#1{\left\{\null\,\vcenter{\openup1\jot\m@th
\ialign{\strut$##$     &\hfil$##$&$##$\hfil&&
       \enskip$##$\enskip&\hfil$##$&$##$\hfil\crcr
        #1\crcr}}\right.}

\def\lfq{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptscriptstyle
\langle\!\langle$}\thinspace}
\def\rfq{\leavevmode\thinspace\raise.3ex\hbox{$\scriptscriptstyle
\rangle\!\rangle$}}


\catcode`\@=12

{\catcode`\^^M=\active %
  \gdef\adrbox{\catcode`\^^M=\active %
  \def^^M{\egroup\hbox\bgroup}}}
\def\adresse{\par\nobreak%
  \vskip 24pt plus 6pt minus 3pt%
  \hbox to \hsize\bgroup\hfill%
  \def\fin{\egroup\egroup\hskip2em\egroup\vfill\eject}%
  \adrbox\vbox\bgroup\hbox\bgroup}
\def\fin{\vfill\eject}

\voffset=2cm
\hoffset=1.9cm
\pageno=37
\eightpoint
\leftline{Publ. I.R.M.A. Strasbourg, {\oldstyle 1984}, 229/S--08}
\leftline{Actes 8\emini\ S\'eminaire Lotharingien, p. 37--53}

\tenpoint
\let\it=\sl
\auteurcourant={A. LASCOUX}
\titrecourant={FONCTIONS SYM\'ETRIQUES}
\vskip 1.5cm
\centerline{\bf FONCTIONS SYM\'ETRIQUES}
\vskip 2.8mm
\centerline{\sevenrm PAR}
\vskip 2.8mm
\centerline{{\petcap Alain} LASCOUX \footnote{$(^*)$}{On ne trouve
dans ce volume que les toutes
premi\`eres le\c cons sur les fonctions sym\'etriques.
Elles constituent, en fait, le premier chapitre d'un
trait\'e en pr\'eparation comportant de nombreux exemples
et exercices. Ce chapitre consacr\'e \`a l'\'etude des fonctions
sym\'etriques usuelles et de leurs  bases, ainsi qu'\`a une introduction
aux $\lambda$-anneaux a \'et\'e repris et compl\'et\'e dans un
m\'emoire
\'ecrit conjointement par A. \pd LASCOUX et M.-P. \pc
SCH\"UTZENGERGER|, intitul\'e {\sl Formulaire raisonn\'e des fonctions
sym\'etriques}, L.I.T.P., U.E.R. Math., Univ. Paris VII,
138 p., {\oldstyle 1984}.}}

\titre 1. Fonctions sym\'etriques usuelles|

\section 1.1. Bases de fonctions sym\'etriques|Soient
$A=\{a,b,\ldots\,\}$ un alphabet de $n$
lettres et ${\bf Z}[a,b,\ldots\,]$ l'anneau
des polyn\^omes, \`a coefficients entiers, en les
variables $a,b,\ldots$ Le groupe sym\'etrique
$W(A)$ des permutations de $A$ agit de fa\c con naturelle
sur l'anneau ${\bf Z}[a,b,\ldots\,]$. Les polyn\^omes
qui sont invariants sous cette action sont dits
{\it sym\'etriques}~: ce sont les polyn\^omes invariants
par permutation des variables. On note
${\bf Z}[a,b,\ldots\,]^{W(A)}$ ce sous-anneau
des polyn\^omes sym\'etriques. On sait, au moins depuis
\pc NEWTON|, que cet anneau est engendr\'e, en tant
qu'alg\`ebre, par les fonctions sym\'etriques \'el\'ementaires.
En fait, dans l'\'etude suivante, on va surtout s'int\'eresser aux
${\bf Z}$-bases de cet anneau. En d'autres termes, on va
d\'eterminer des familles de polyn\^omes ayant la
propri\'et\'e que tout polyn\^ome sym\'etrique s'exprime, de
fa\c con unique, comme combinaison lin\'eaire, \`a coefficients
entiers, d'\'el\'ements de chaque famille.

     Pour toute suite
$J=(j_1,j_2,\ldots,j_n)\in  {\bf N}^n$, on pose
$a^J=a^{j_1}b^{j_2}\ldots$
Le polyn\^ome
  $$\Psi _I=\sum a^J$$
o\`u la somme est \'etendue \`a l'ensemble de toutes les
permutations {\it distinctes} $J$ de la suite $I$, est
\'evidemment sym\'etrique. On l'appelle
{\it fonction sym\'etrique monomiale}. Lorsque $I$ est de la
forme $I=(0,\ldots,0,1,\ldots,1)$,
avec 1 r\'ep\'et\'e $p$ fois, on obtient la
$p$\ieme\ {\it fonction sym\'etrique \'el\'ementaire},
not\'ee $\Lambda _p$. Ainsi
  $$\Lambda _p=\Psi _I\qquad({\rm avec\ }I=0^{n-p}1^p).$$
Pour chaque $p\geq 0$ la somme de tous les
mon\^omes de degr\'e total $p$ est appel\'ee
{\it fonction sym\'etrique compl\`ete}. On la note
$S_p$. On a imm\'ediatement
  $$(1-a)^{-1}(1-b)^{-1}\ldots=\sum S_p
  \quad {\rm et} \quad
  (1+a)(1+b)\cdots='\Lambda _p.$$
Par $\Lambda ^I$ on d\'esigne le produit
  $$\Lambda ^I=\Lambda _{i_1}\Lambda _{i_2}\ldots$$
des fonctions sym\'etriques \'el\'ementaires
$\Lambda _{i_1}$, $\Lambda _{i_2}$,\dots.
De fa\c con analogue, on pose
  $$S^I=S_{i_1}S_{i_2}\ldots$$
On introduit enfin, pour chaque $i\geq 0$,
les {\it sommes de puissances}
  $$\Psi _i=\sum a^i$$
et on peut ainsi former les
{\it produits de sommes de puissances}
  $$\Psi ^I=\Psi _{i_1}\Psi _{i_2}\ldots$$

     \section 1.2. Fonctions de Schur|\'Etant
donn\'ee une matrice $M$, on indexera
ses mineurs par des couples de partitions.
Plus g\'en\'eralement, soient
$I=(i_1,i_2,\ldots,i_n)$,
$J=(j_1,j_2,\ldots,j_n)$
deux suites de ${\bf Z}^n$. On note
$M_{I,J}$ le mineur de $M$ pris sur les lignes
$i_1+1,i_2+2,\ldots$
et les colonnes
$j_1+1,j_2+2,\ldots$
S'il existe $h$ tel que $i_h+h\leq 0$
ou $j_h+h\leq 0$, on convient que le mineur
$M_{I,J}$ est nul.

     La matrice qui nous int\'eresse est la
matrice infinie
$\eqe S=(S_{j-i})$
$(i\geq 1,j\geq 1)$, o\`u les $S_p$ sont les fonctions
sym\'etriques compl\`etes, avec la convention que
$S_p$ est nul lorsque $p$ est (strictement)
n\'egatif.

\rem D\'efinition|On appelle {\it fonction de Schur
d'indice} $J$, not\'ee $S_J$, le mineur
  $$S_J=\eqe S_{0\ldots0,J},$$
et {\it fonction de Schur gauche d'indice}
$J/I$, le mineur
  $$S_{J/I}=\eqe S_{I,J}.$$

     Bien \'evidemment, $S_{J/I}=0$, lorsque deux
lignes ou deux colonnes du mineur sont identiques.
A une permutation des lignes et colonnes pr\`es, on
peut supposer que l'on a $1\leq i_1+1<i_2+2<\cdots$
et $1\leq j_1+1<j_2+2<\cdots\,$,
c'est-\`a-dire que $I$ et $J$ sont des suites
croissantes (au sens large) d'entiers positifs, dites
{\it partitions}. Le {\it poids} de $J$ est d\'efini par
$|J|=j_1+j_2+\cdots$ et c'est le {\it degr\'e} de $S_J$.

\rem Remarque|On prendra garde de ne pas confondre
$S^I$ qui est un produit de fonctions sym\'etriques
compl\`etes et $S_I$. Toutefois, lorsque $I$ est
r\'eduit \`a une seule part $i$, les deux fonctions
co\"\i ncident~: $S^i=S_i$. On a de m\^eme~:
$\Psi ^i=\Psi _i$ et $\Lambda ^i=\Lambda _i$.

     Une partition est habituellement repr\'esent\'ee dans
${\bf Z}\times {\bf Z}$ par un diagramme
de bo\^\i tes. La sym\'etrie \'echangeant
lignes et colonnes est une involution, not\'ee
$I\mapsto  I\conj$, de l'ensemble des partitions. On dit que
$I\conj$ est la partition {\it conjugu\'ee} de $I$.

     \section 1.3. Bases|En prenant
l'ordre lexicographique sur les partitions,
on peut v\'erifier (ais\'ement) que les $S_I$ s'expriment en
fonction des $\Psi _I$ (resp. les $S^I$ en fonction des $S_I$)
\`a l'aide d'une matrice triangulaire ne comportant que des
1 dans la diagonale. Ceci d\'emontre le lemme suivant~:

     \th Lemme|Les ensembles $\{S^I\}$, $\{S_I\}$ et
$\{\Psi _I\}$ o\`u $I$ varie dans l'ensemble de toutes les
partitions $0\leq i_I\leq i_2\leq \cdots\leq i_n$, forment trois
${\bf Z}$-bases des polyn\^omes sym\'etriques en $n$ variables.
En revanche $\{\Psi ^I\}$ n'est qu'une ${\bf Q}$-base.
\finth

     \section I.4. Formules de Pieri|Lorsqu'un anneau est muni
d'une ${\bf Z}$-base, il est naturel d'exprimer la multiplication
de l'anneau dans cette ${\bf Z}$-base. Le cas le plus simple est
d\^u au g\'eom\`etre italien \pd PIERI (1873).

     \th Formules de Pieri|Soient $m$ un entier positif et
$I$ une partition. Alors
  $$S_m\cdot S_I=\sum  S_J,$$
la sommation \'etant \'etendue \`a l'ensemble des partitions
$J=(j_1,j_2,\ldots,j_n)$ telles que
$i_1\leq j_1\leq i_2\leq j_2\leq \cdots
\leq i_n\leq j_n
  \quad {\rm et} \quad
  m+|I|=|J|$.\finth

     Cet ensemble de partitions $J$ est not\'e par la suite
$\{m\otimes I\}$. On obtient chaque partition $J$
en ajoutant $m$ bo\^\i tes au diagramme de $I$ sans en mettre
deux dans la m\^eme colonne.

     \section 1.5. Caract\'erisation de Giambelli|Les formules
de Pieri caract\'erisent, en fait,
l'alg\`ebre des fonctions sym\'etriques, comme \'enonc\'e
dans la proposition suivante due au g\'eom\`etre
tout aussi italien \pd GIAMBELLI (1902). On l'attribue
g\'en\'eralement \`a \pc HODGE|.

     \th Proposition|Soient $A$ un anneau et
$\{a_I\}$ une famille d'\'el\'ements de $A$ indic\'es par les
partitions $I=(i_1,i_2,\ldots,i_n)$. Si la formule de
Pieri est valable dans cet anneau pour tout $m$,
c'est-\`a-dire si
  $$\forall m\qquad
  a_m\cdot a_I=\sum a_J
  \qquad (J\in  \{m\otimes I\}),$$
alors le sous-anneau ${\bf Z}[a_I]$ est un quotient
de l'anneau des polyn\^omes sym\'etriques en $n$
variables, $a_I$ \'etant l'image de $S_I$.\finth

     Les formules de Pieri entra\^\i nent en effet
que $a_I$ est le mineur d'indice $0,I$ de la
matrice $(a_{j-i})\;(i,j\geq 1)$. Comme
les fonctions $S_0$,~$S_1$, \dots,~$S_n$
sont alg\'ebriquement ind\'ependantes, l'anneau
${\bf Z}[a_I]$ est un quotient de
${\bf Z}[S_0,S_1,\ldots,S_n]$.

     Notons qu'il n'est pas n\'ecessaire que l'anneau
$A$ soit commutatif. La proposition entra\^\i ne, en revanche,
que ${\bf Z}[a_I]$ l'est. Ainsi, nous verrons au chapitre 3 que
l'anneau des polyn\^omes sym\'etriques est un sous-anneau de
l'anneau plaxique, qui n'est pas commutatif.

     \section 1.6. Produit scalaire|Une propri\'et\'e
fondamentale de r\'eciprocit\'e (qui
correspond, par exemple, \`a la formule de r\'eciprocit\'e de
Frobenius) s'exprime par l'existence d'un produit scalaire
sur l'espace des polyn\^omes sym\'etriques.

     \th Proposition|Soit $(\;,\;)$ le produit scalaire
sur l'espace des fonctions sym\'etriques d\'efini par
  $$(S_I,S_J)=\cases{0,&si $I\not=J$;\cr
                     1,&si $I=J$.\cr}$$
Alors $\{S^I\}$ et $\{\Psi _I\}$ sont des bases adjointes
(c'est-\`a-dire $(S^I,\Psi _J)=\delta _{IJ})$ et
  $$(S_{J/I},S_H)=(S_J,S_I\cdot S_H).$$
Enfin, l'ensemble des produits de sommes de puissances
$\Psi ^I$ est une ${\bf Q}$-base orthogonale, avec
  $$(\Psi ^I,\Psi ^I)=1^{m_1}2^{m_2}\ldots
    \,m_1!\,m_2!\,\ldots\,,$$
si $I$ est une partition ayant $m_1$ parts \'egales \`a 1,
$m_2$ parts \`a 2, \dots\finth

     \section 1.7. Op\'erateurs diff\'erentiels|On peut
r\'ecrire 1.6 en termes d'op\'erateurs diff\'e\-ren\-tiels.
Ce point de vue a \'et\'e d\'evelopp\'e, en particulier, par le
regrett\'e \pc FOULKES|. Comme $\{S_J\}$ est une
base, on peut d\'efinir un op\'erateur $D_{S_I}$
sur l'espace des polyn\^omes sym\'etriques par
  $$D_{S_I}(S_J)=S_{J/I}.$$
Plus g\'er\'eralement, si $S$ est un polyn\^ome sym\'etrique,
$S=\sum (S,S_I)S_I$, on peut d\'efinir $D_S$ par
  $$D_S=\sum (S,S_I)D_{S_I}.$$
En termes d'op\'erateurs adjoints (par rapport au produit
scalaire d\'efini en 1.6), la \pd PRO\-PO\-SI\-TION 1.6 peut se
r\'ecrire :

     \th Proposition|L'op\'erateur $D_{S_I}$ est l'adjoint de
la multiplication par $S_J$. Plus g\'en\'eralement, $D_S$ est
l'adjoint de la multiplication par $S$, c'est-\`a-dire pour
toute paire de polyn\^omes sym\'etriques $(P,Q)$, on a
  $$(D_S P,Q)=(P,SQ).$$
En particulier,
  $$D_{S^i}(\Psi _J)=\cases{K,&si $J=L�i$;\cr
                        0,&si $i$ n'est pas une part de $J$,\cr}$$
ou
  $$D_{S^I}(\Psi _J)=\cases{K,&si $J=K�I$;\cr
                        0,&autrement.\cr}$$
Enfin
  $$D_{\Psi ^i}(\Psi ^J)=i\cdot m\Psi ^H,$$
o\`u $m$ est la multiplicit\'e de $i$ comme part de $J$ et
o\`u $H$ est telle que $J=H�i$.\finth

     Dans la proposition pr\'ec\'edente, on voit appara\^\i tre
la notation $K�I$, qui d\'esigne la suite
$(k_1,\ldots,k_m,i_1,\ldots,i_n)$.
Le dernier \'enonc\'e dit, en fait, que $D_{\Psi ^i}$
est l'op\'erateur diff\'erentiel $i\partial_{\Psi ^i}$
agissant sur les polyn\^omes sym\'etriques (exprim\'es comme
des polyn\^omes en les variables $\Psi ^i$ et que l'on a bien
$D_{\Psi ^I}(\Psi ^I)=(\Psi ^I,\Psi ^I)$.

     \section 1.8. Identit\'es diff\'erentielles|On peut
\'etendre aux fonctions sym\'etriques les formules du
calcul diff\'erentiel. Donnons deux exemples.

\vskip 5pt
     {\it D\'erivation d'un produit} :
  $\displaystyle D_{S_J}(PQ)=\sum D_{S_I}(P) D_{S_{J/I}}(Q)$.

\vskip 5pt
     {\it Formule de Taylor}\pointir Soit $P(A\cup  B)$ un polyn\^ome
sym\'etrique sur une union disjointe de deux alphabets
$A$ et $B$. Alors
  $$\eqalign{P(A\cup  B)&=\sum S_J(B)\cdot [D_{S_I}(P)](A) \cr
                   &=\sum \Psi _J(B)\cdot [D_{S^I}(P)](A) \cr
                   &=\sum {\Psi ^I(B)\over (\Psi ^I,\Psi ^I)}
                                  [D_{\Psi ^I}(P)](A).\cr}$$



En effet, par lin\'earit\'e, il suffit de v\'erifier la formule
pour $P=S_J$. Dans ce cas, la factorisation de matrices
$\eqe{S(A\cup B)}=\eqe{S(A)}\,\eqe{S(B)}$
entra\^\i ne $S_J(A\cup B)=\sum S_I(A)\cdot S_{J/I}(B)$,
ce qui est bien la premi\`ere formule
de Taylor, puisque $D_{S_I}(S_J)=S_{J/I}$,
par d\'efinition.

Plus g\'en\'eralement, tout couple de bases
adjointes $\{T_I\}$, $\{U_I\}$
donne lieu \`a deux formules de Taylor :
$${\eqalign{P(A+B)&=\sum T_I(A)\cdot [D_{U_I}P](B)\cr
                   &=\sum U_I(A)\cdot[D_{T_I}P](B),\cr}}
$$
comme on le voit en \'evaluant les produits scalaires
$\bigl(P(A+B),U_I(A)\bigr)$
et $\bigl(P(A+B),T_I(A)\bigr)$.
La formule de Taylor permet d'\'evaluer la d\'eriv\'ee d'un produit.

\vskip 5pt
{\it D\'eriv\'ee d'un produit}~: $\displaystyle D_{S_J}(P\cdot Q)
=\sum D_{S_I}(P)\cdot D_{S_{J/I}}(Q)$.




\titre 2. Changements de bases|
La plupart des probl\`emes \'enum\'eratifs li\'es aux fonctions
sym\'etriques peuvent s'inter\-pr\'e\-ter comme des changements de
base, on bien encore, comme le calcul de produit scalaires.

     Ayant pr\'esent \`a l'esprit que le d\'eveloppement d'une fonction
sym\'etrique $S$ dans une base fait intervenir les produits scalaires de
$S$ avec la base adjointe, on distinguera plus sp\'ecialement
les cas suivants~:
$(S^J,S_I)$, $(S_I,\Psi ^J)$, $(S^I,S^J)$.

\section 2.1. Nombres de Kostka|Ce sont par d\'efinition les produits
$(S^J,S_I)$. Comme $S^{Jw}=S^J$ pour toute permutation $w$
des parts de $J$, la suite $J$ peut \^etre consid\'er\'ee comme une
suite non n\'ecessairement croissante, contrairement \`a $I$.
On verra au chapitre 2 que $(S^J,S_I)$ est le nombre des tableaux
de forme $I$, d'\'evaluation $J$. Comme la matrice $(S^J,S_I)$
est triangulaire (pour l'ordre lexicographique sur les partitions),
unipotente (\'el\'ements dia\-gonaux \'egaux \`a 1), on peut utiliser
le triangle des z\'eros pour y \'ecrire son inverse. Ceci donne
le carr\'e de Kostka o\`u figurent simultan\'ement les matrices de
changement de base de $S^J$ en $S_I$, de $S_I$ en $S^J$,
de $S_I$ en $\Psi _J$ et de $\Psi _J$ en $S_I$.

     \section 2.2. Caract\`eres du groupe sym\'etrique|Une repr\'esentation
irr\'eductible (sur {\bf C}) d'un groupe sym\'etrique $W$ correspond \`a une
partition $I$~; une classe de conjugaison de $W$ se d\'ecrit par les
longueurs des cycles de tout \'el\'ement de cette classe, i.e., pour
une partition $J$ \footnote{(*)}{Par exemple, 112444 est la classe
d'une permutation ayant deux points fixes, un cycle de longueur
2 et trois cycles de longueur 4.} ; on peut donc consid\'erer le
caract\`ere de la repr\'esentation d'indice $I$ comme une fonction
$\chi _I:\{{\rm partitions}\}\rightarrow {\bf Z}$. On a alors~:
  $$\chi _I(J)=(S_I,\Psi ^J),$$
ce qui implique~:
  $$\Psi ^J=\sum _I \chi _I(J) S_I$$
et
  $$S_I=\sum _J \chi _I(J) {\Psi ^J\over (\Psi ^J,\Psi ^J)}.$$

     \rem Remarque|Une fonction de
Schur s'exprime comme le quotient d'une fonction antisym\'etrique
par le Vandermonde. Multipliant ce dernier par une fonction monomiale
$\Psi _I(A)$, avec $A$ de cardinal $n$ et
$I=(i_1,i_2,\ldots,i_2)$, on tire l'in\'egalit\'e~:
  $$\Psi _I(A)=\sum  S_H(A),$$
o\`u $H$ parcourt l'ensemble des r\'eordonnements distincts de
$(i_1,i_2,\ldots,i_n)$. (Notons que si
$I=0^{m_0} 1^{m_1} 2^{m_2}\ \ldots\ $,
cet ensemble est de cardinal $m!/(m_0!\,m_1!\,m_2!\,\ldots\,$)
Bien entendu, pour obtenir la d\'ecomposition~:
  $$\Psi _I(A)=\sum  (\Psi _k,S_J) S_J(A),$$
o\`u $J$ parcourt l'ensemble des partitions, il reste \`a
r\'eordonner les $H$ et rogrouper les termes.
Par exemple,
  $$\eqalign{\Psi _n(A)&=S_n(A)+S_{n,0}(A)+S_{n,0,0}+\cdots\cr
                   &=S_n(A)-S_{A,n-1}(A)+S_{1,1,n-2}(A)-\cdots\cr}$$

     \section 2.3. Formule de Murnaghan|Cette formule permet
de calculer un caract\`ere $\chi (J)$ par induction sur le nombre de
parts de $J$. �tant donn\'e une suite $J$ et un entier $j$, \'ecrivons
$Jj$ pour la suite concat\'en\'ee (c'est-\`a-dire ayant une part de
plus que $J$, part \'egale \`a $j$). Alors
  $$\eqalign{\chi _J(Jj)&=(S_I,\Psi ^J\Psi ^j),\cr
                    &=(D_{\Psi ^j}(S_I),\Psi ^J),\cr
                    &=\sum _H (D_{\Psi ^j}(S_I),S_H)(S_H,\Psi ^J),\cr}$$
puisque $\{S_H\}$ est orthonorm\'ee. En remarquant que
  $$(D_{\Psi ^j}(S_I),S_H)=(S_I,S_H\cdot \Psi ^j)
                      =(S_{I/H},\Psi ^j),$$
on obtient la formule dite de Murnaghan (elle r\'esulte aussi de la
formule de Littlewood-Richardson, qui lui est ant\'erieure)~:
  $$\chi _I(Jj)=\sum _H (S_{I/H},\Psi ^j) \chi _H(J).$$
Comme $\Psi ^j=\sum (-1)�i S_{1^ij-i}$, il n'est pas difficile
de voir que les coefficients $(S_{I/H},\Psi ^j)$ ne peuvent
prendre que les valeurs 0, $\pm 1$.

     Plus pr\'ecis\'ement, appelons {\it \'equerre gauche} $I/H$ tout
diagramme gauche ne contenant pas de carr\'e (i.e., quatre bo\^\i tes
ayant un sommet en commun) et {\it longueur} $l(I/H)$ de cette
\'equerre (ou, plus g\'en\'eralement, d'un diagramme gauche) le
nombre de lignes de $I/H$ non vides. Alors
  $$(S_{I/H},\Psi ^j)=\cases{(-1)^{l(I/H)-1},&si $I/H$ est une
                                          \'equerre de poids $j$ ;\cr
                         0,&sinon.\cr}$$
\pd FOULKES a montr\'e qu'il suffisait dans la formule de Murnaghan
de se limiter aux \'equerres gauches {\it connexes}.

     On peut indexer les caract\`eres, de m\^eme que les fonctions de
Schur, par des suites $H$. On convient que
  $$\left\{
    \eqalign{\chi _H&=\chi _I\cr
                &=-\chi _I\cr
                &=0\cr}
    \right\}\quad\hbox{selon que}\quad
    \left\{
    \eqalign{S_H&=S_I\cr
                &=-S_I\cr
                &=0\cr}
    \right\}.$$
Alors, \'etant donn\'e que
  $$D_{\Psi ^j}(S_{ii'\ldots i''})=S_{i-j,i'\ldots i''}
    +S_{i,i'-j\ldots i''}+\cdots+S_{ii'\ldots i''-j},$$
on peut r\'ecrire plus simplement la formule de Murnaghan
(\cf. \pd LITTLEWOOD (p.~142 et p.~70))
  $$\chi _I(Jj)=\sum _k \chi _k(J),$$
la somme \'etant sur toutes les suites $k$ obtenues en
soustrayant $j$ successivement \`a toutes les parts de $I$.


     Par exemple,
  $$\eqalign{\chi _{355}(J2)&=\chi _{155}(J)+\chi _{335}(J)+\chi _{353}(J)\cr
                        &=\chi _{155}(J)+\chi _{335}(J)-\chi _{344}(J),\cr}$$
puisque $S_{353}=-S_{344}$.

\section 2.4. Relations de Girard-Newton|Par d\'efinition des fonctions
de Newton $\Psi _i$ (som\-mes de puissances), on a
  $$\log \prod _{a\in  A} (1-az)^{-1}
    =\sum _{i\geq 1} z^i \Psi _i(A)/i,$$
ce qui par d\'erivation par rapport \`a $z$, donne
  $$\sum _{i\geq 1} i(-z)^{i-1} \Lambda ^i(A)
    /\prod (1-az)^{-1}
    =\sum _{i\geq 1} \Psi _i(A) z^{i-1}$$
et donc les relations suivantes, dues \`a
\pc GIRARD|\footnote*{\pc GIRARD|,
{\it Invention Nouvelle en Alg\`ebre}, Amsterdam,
\oldstyle 1629.} et \pc NEWTON|\footnote{**}{\pc NEWTON|,
{\it Arithmetica Universalis}, Cantabrigiae, \oldstyle 1707.}
(o\`u l'on fait dispara\^\i tre l'alphabet~$A$) :
  $$\eqalign{\Lambda ^1&=\Psi _1\cr
             2\Lambda ^2&=\Lambda ^1\Psi _1-\Psi _2\cr
             3\Lambda ^3&=\Lambda ^2\Psi _1-\Lambda ^1\Psi _2+\Psi _3\cr
             \cdots\;&\quad\;\cdots\cr
             n\Lambda ^n&=\Lambda ^{n-1}\Psi _1-\Lambda ^{n-2}\Psi _2+\cdots+
                   (-1)^{n-1}\Psi _n\cr
             \cdots\;&\quad\;\cdots\cr}$$
ou bien les relations de Brioschi (\cf. \pd MUIR II, p. 216),
qui sont l'image des relations de Newton par la transformation
$A\rightarrow -A$ (op\'eration licite dans un $\Lambda $-anneau ainsi que
nous le
verrons au \S 3) :
  $$\eqalign{S^1&=\Psi _1\cr
             2S^2&=S^1\Psi _1+\Psi _2\cr
             \cdots\;&\quad\;\cdots\cr
             nS^n&=S^{n-1}\Psi _1+S^{n-2}\Psi _2+
                   \cdots +\Psi _n.\cr}$$
Des relations de Newton ou de Brioschi, on tire~:
  $$\Psi _n=(-1)^{n-1}
        \left|\matrix{n\Lambda ^n&\Lambda ^1&\ldots&\Lambda ^n\cr
                      (n-1)\Lambda ^{n-1}&\Lambda ^0&\ldots&\Lambda ^{n-1}\cr
                      \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\cr
                      0\Lambda ^0&.&\ldots&\Lambda ^0\cr}\right|,$$
et
  $$\Psi _n=\left|\matrix{nS^n&S^1&\ldots&S^n\cr
                      (n-1)S^{n-1}&S^0&\ldots&S^{n-1}\cr
                      \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\cr
                      0S_0&.&\ldots&S^0\cr}\right|.$$
Inversement,
  $$n!\,\Lambda ^n=
      \left|\matrix{\Psi _1&1&0&\ldots&0\cr
                    \Psi _2&\Psi _1&2&\ldots&0\cr
                    \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\cr
                    \Psi _{n-1}&\Psi _{n-2}&\Psi _{n-3}&\ldots&n-1\cr
                    \Psi _n&\Psi _{n-1}&\Psi _{n-2}&\ldots&\Psi
_1\cr}\right|,$$
ou bien,
  $$n!\,S^n=
      \left|\matrix{\Psi _1&-1&0&\ldots&0\cr
                    \Psi _2&\Psi _1&-2&\ldots&0\cr
                    \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\cr
                    \Psi _{n-1}&\Psi _{n-2}&\Psi _{n-3}&\ldots&-n+1\cr
                    \Psi _n&\Psi _{n-1}&\Psi _{n-2}&\ldots&\Psi
_1\cr}\right|.$$
Noter que le d\'eveloppement de l'un quelconque des deux premier 
d\'e\-ter\-mi\-nants
suivant sa premi\`ere colonne donne :
$$  \Psi_n=S^{n-1}\cdot \Lambda^1 - 2S^{n-2}\cdot \Lambda^2 +\cdots+
(-1)^{n-1}nS^0\cdot \Lambda^n,$$
ce qui par la formule de Pieri, entra\^\i ne :
$$\Psi_n=S_n-S_{1,n-1}+S_{1,1,n-2}-S_{1,1,1,n-3}+\cdots$$

\section 2.5. La matrice $\Psi $|Plus g\'en\'eralement, on peut consid\'erer
la matrice infinie
  $$\Psi =[\Psi _{i+j-2}]_{i,j\geq 1}=\,\,
  \vrule height21pt depth 15pt
  \kern-3pt
  \overline{\matrix{\Psi _0&\Psi _1&\Psi _2&\ldots\cr
             \Psi _1&\Psi _2&\Psi _3&\ldots\cr
             .&.&.&\ldots\cr}}$$

\th Proposition ({\rm Segar 1892, Muir IV, p. 180})|Soit
$A$ de cardinal $n$ et deux suites
$I=(i_1,i_2,\ldots,i_n)$,
$J=(j_1,j_2,\ldots,j_n)$.
Alors le mineur $\eqe {\Psi (A)}_{I,J}$, d'ordre $n\times n$
est \'egal \`a
  $$S_I(A)\cdot S_J(A)\cdot \Delta ^2(A),$$
o\`u $\Delta (A)$ est le Vandermonde.
\finth

{\it D\'emonstration}\pointir La matrice $\eqe {\Psi (A)}$ est
en effet le produit de la matrice de Vandermonde
  $$V(A)=\pmatrix{1&a&a^2&\ldots\cr
                  1&b&b^2&\ldots\cr
                  .&.&.&\ldots\cr}$$
par sa transpos\'ee~:
  $$\eqe{\Psi (A)}=V(A)^t\cdot V(A).$$
Comme d'apr\`es \pc JACOBI|, un mineur
d'ordre maximum de $V(A)$ est le produit d'une fonction
de Schur par $\Delta (A)$, la formule exprimant les mineurs d'un
produit de matrices se r\'eduit \`a
  $$\eqalign{\eqe \Psi _{I,J}&=V(A)^t_{I,0^n}\cdot V(A)_{0,J},\cr
                         &=S_I(A)\cdot \Delta (A)\cdot
                           S_J(A)\cdot \Delta (A),\cr}$$
qui est bien la formule annonc\'ee.

     Remarquons, plus particuli\`erement, que le mineur
$\eqe {\Psi (A)}_{0^n,0^n}$ est \'egal \`a $\Delta ^2(A)$.

     \section 2.6. Doubles classes|Soient
$I=(i,j,k,\ldots\,)$ une suite de nombres positifs
et $W_I$ le produit direct des groupes sym\'etriques
associ\'e \`a la coupure de l'alphabet
$$\{ a_1,\ldots,a_i\mid a_{i+1},\ldots,a_{i+j}\mid
a_{i+j+1},\ldots,a_{i+j+k}\mid \ldots\,\} .$$
Alors $(S^I,S^J)$ est le nombre de doubles
classes $W_IwW_J$, $w\in  W_A$. C'est aussi
le nombre de tablo\"\i des carr\'es d'entiers
$\geq 0$ tels que la somme par colonne est la
suite $I$, et la somme par ligne, la suite $J$.

     Par exemple, $(S^{023},S^{113})=4$,
puisqu'on a pour tablo\"\i des
  $$\tabloid{0&1&0\cr
             0&1&0\cr
             0&0&3\cr}\;,
\qquad
\tabloid{0&1&0\cr
         0&0&1\cr
         0&1&2\cr}\;,
\qquad
\tabloid{0&0&1\cr
         0&1&0\cr
         0&1&2\cr}\;,
\qquad
\tabloid{0&0&1\cr
         0&0&1\cr
         0&2&1\cr}\;,$$
dont les sommes par colonne sont bien
023 et par ligne 113.

\rem Remarque|On a
  $$(S^I,S^J)=\sum (S^I,S_K)(S_K,S_J),$$
ce qui fait que $(S^I,S^J)$ est
le produit scalaire de deux colonnes de la
matrice positive de Kostka.

     Il faudrait, pour ce seul paragraphe, une \'etude
syst\'ematique de l'ampleur de celle que \pd MUIR
entreprit pour les d\'eterminants.

     Par exemple, la formule
  $$(\Lambda ^n,\Psi _I)=(-1)^{m_2+m_4+\cdots}
l(I)!\,/\,m_1\,m_2!\,\ldots\,$$
o\`u $I=1^{m_1}2^{m_2}\ldots\,$,
appara\^\i t pour la premi\`ere fois chez
\pd BRIOSCHI (1858~; \pd MUIR III, p.~208), puis
chez \pd GIAMBELLI (1902, p.~189).

     La formule
  $$(\Psi _I,\Psi _n)=(-1)^{l(I)-1}n
{(l(I)-1)!\over m_1!\,m_2!\,\ldots},$$
o\`u $n=|I|$, se trouve chez
\pd GAMBARDELLI (1873)~; \pd MUIR III, p.~228),
dans \pd MACMAHON ({\it Combinatory Analysis}, p.~7),
chez les topologues alg\'ebristes (\pd MUKOHDA (1954),
\pd ATIYAH (1960), \pd PETERSON  (1976)~; r\'ef\'erences
donn\'es par \pd DRAGUTIN \pd SVRTAN dans
{\it Prilozi teoryi simetricnih}\dots). Cette formule
s'obtient en d\'eveloppant le produit scalaire et donne l'expression de
$\Psi _i/i$ dans la base $S^J$~:
  $$\Psi i/i=\sum (\Psi _i/i,\Psi _J) S^J.$$

     Par exemple,
  $$\eqalign{\Psi _2/2&=S^2-(1!/2!)S^{11},\cr
             \Psi _3/3&=S^3-S^{12}+(2!/3!)S^{111},\cr
             \Psi _4/4&=S^4-S^{13}-(1/2!)S^{22}
                    +(2!/2!)S^{112}-(3!/4!)S^{1111}.\cr}$$
Elle est, en fait, la transform\'ee, par $A\to-A$, de la c\'el\`ebre
{\it formule de Waring}\footnote*{{\it Meditationes algebricae},
Cantabrigiae, {\oldstyle 1770}.}
 $$\Psi_k/k=\sum (-1)^{l(I)+k}
{(l(I)-1)!\over m_1!\,m_2!\,\cdots}\Lambda^I.$$

\vfill
\break

\titre 3. $\Lambda $-anneaux|
Nous n'avons jusqu'ici effectu\'e que des op\'erations
\'el\'ementaires sur les fonctions sym\'etriques et la
n\'ecessit\'e de formaliser les propri\'et\'es de ces derni\`eres ne s'est
pas fait sentir. Cependant, d\`es qu'on abord l'\'etude du
pl\'ethysme (``plethysm'' en anglais) de \pc LITTLEWOOD|,
ou d\`es que l'on emploie des diff\'erences de deux
alphabets, l'axiomatique des $\Lambda $-anneaux s'impose.
Celle-ci donne toutes les propri\'et\'es des fonctions
sym\'etriques sur seulement trois d'entre elles, la
lin\'earit\'e et les formules de Cauchy et du pl\'ethysme.

\rem D\'efinition|Un $\Lambda $-{\it anneau} est un anneau
$K$ (commutatif, avec \'el\'ement unit\'e) muni
d'op\'erateurs $\Lambda ^i\;(i\in  {\bf Z})$ v\'erifiant (outre les
trois conditions de normalisation :

(i) $\Lambda ^0(A)=1$ pour tout $A\in  K$ ;

(ii) $\Lambda^1(A)=A$ pour tout $A\in  K$ ;

(iii) $\Lambda ^i=0$ pour tout $i\leq -1$ ;)

\noindent
les trois axiomes suivants :

(iv) l'{\it axiome de lin\'earit\'e} :
  $$\Lambda ^i(A+B)=\sum _j \Lambda ^{i-j}(A) \Lambda ^j(B)\;;$$
\indent
(v) la {\it formule de Cauchy} :
  $$\Lambda ^i(AB)=\sum _{|J|=i} \Lambda _J(A) \Lambda _{J\conj}(B),$$
o\`u $\Lambda _J(A)$ est le mineur d'indice
$0,J$ de la matrice $(\Lambda ^{j-i}(A))\;(i,j\geq 1)$~;

(vi) l'{\it axiome du pl\'ethysme} :
  $$\Lambda ^i(\Lambda ^j(A))=\sum _H n_{ijH} \Lambda _H(A),$$
o\`u les $n_{ijH}$ sont des entiers ind\'ependants
de $A$. (On peut donc les d\'e\-ter\-mi\-ner \`a partir des
deux autres axiomes en prenant des \'el\'ements
$A$ particuliers.)

     En fait, il est plus commode de travailler avec
les op\'erateurs $S^i$ d\'efinis par :
  $$\forall  A\in  K,\qquad S^i(A)=(-1)^i \Lambda ^i(-A).$$
L'axiome de lin\'earit\'e entra\^\i ne que la matrice
$(\,(-1)^{j-i} S^{j-i}(A)\,)\;(i,j\geq 1)$
est inverse de la matrice
$(\,\Lambda ^{j-i}(A)\,)\;(i,j\geq 1)$.
Le mineur d'indice $I,J$ de cette derni\`ere
matrice, not\'e $\Lambda _{J/I}(A)$ est \'egal, au signe
pr\`es, au mineur de la matrice inverse d'indice
$I\conj,J\conj$.
On a donc
  $$\Lambda _{J/I}(A)=S_{J\conj/I\conj}(A).$$
L'involution $A\mapsto  -A$ dans $K$ correspond \`a
l'\'echange, au signe pr\`es, de $\Lambda _J$ et $S_J$,
ou bien encore \`a la conjugaison des partitions
$I\mapsto  I\conj$.

     On peut choisir de formuler les axiomes des
$\Lambda $-anneaux en termes des fonctions $S$. Ceci donne
un aspect plus agr\'eable \`a la formule de Cauchy.

(iv') {\it axiome de lin\'earit\'e} :
  $$S^i(A+B)=\sum  S^{i-j}(A) S^j(B),$$
(ou simplement :
  $$\sum S^i(A+B)=\sum S^h(A) \sum S^j(B)\;)\;;$$
\indent
(v') {\it formule de Cauchy} :
  $$S_i(AB)=\sum _{|J|=i} S_J(A) S_J(B)\;;$$
\indent
(vi') {\it pl\'ethysme} : il existe des entiers
$m_{ijH}$, ind\'ependants de $A$, tels que l'on ait :
  $$S^i(S^j(A)) = \sum _H m_{ijH} S_H(A).$$

     On d\'efinit le {\it rang} dans un $\Lambda $-anneau par
  $$\Lambda ^i(A)=0\qquad \forall  i>n \Rightarrow
{\rm rg}(A)\leq n.$$
Il est sp\'ecialement int\'eressant de consid\'erer
des \'el\'ements de rang~1, ou des sommes finies
d'\'el\'ements de rang~1. Dans ce cas, l'axiome 1,
joint au fait que le produit de deux \'el\'ements de
rang~1 est de rang~1, qui r\'esulte de l'axiome 2, donne
les quantit\'es
$\Lambda ^i(A)$, $\Lambda ^i(AB)$, $\Lambda ^i(\Lambda ^j(A))$
comme sommes d'\'el\'ements de rang~1.

     Soient $a,b,\ldots$ des \'el\'ements de $K$ de
rang~1. L'axiome de lin\'earit\'e entra\^\i ne que les
$\Lambda ^i(a+b+\cdots\,)$ sont les fonctions \'el\'ementaires
en les variables $a,b,\ldots\,$ Par suite, les
$S_J(a+b+\cdots\,)$ sont bien les fonctions de Schur
sur l'alphabet $\{ a,b,\ldots\,\} $ (\cf. \S~1. Si
donc on se limite aux \'el\'ements qui sont sommes d'\'el\'ements
de rang~1, les $\Lambda $-anneaux n'apportent rien de nouveau,
si ce n'est qu'on note un alphabet comme somme de
ses \'el\'ements.

     Le type le plus simple de $\Lambda $-anneau est l'anneau
${\bf Z}[a,b,\ldots\,]$ des poly\-n\^o\-mes dont la structure
de $\Lambda $-anneau est obtenue en imposant que
$a,b,\ldots\,$ sont tous de rang~1.

     Le second type, cher \`a \pc ROTA|, est l'anneau
dit {\it binomial}, d\'efini par
  $$\forall  x\in  K,\quad \forall  i\geq 0,\quad
\Lambda ^i(x)=x(x-1)\ldots(x-i+1)/i!,$$
ou, de fa\c con \'equivalent, par
  $$\forall  x\in  K,\quad \forall  i\geq 0,\quad
S^i(x)=x(x+1)\ldots (x+i-1)/i!.$$
On peut, par exemple, munir l'anneau des r\'eels d'une
structure de $\Lambda $-anneau binomial.

     Nous aurons essentiellement besoin de l'anneau
${\bf R}[[a,b,\ldots\,]]$ des s\'eries formelles, \`a
coefficients r\'eels, qui h\'erite des deux types pr\'ec\'edents
d'une structure de $\Lambda $-anneau. Dans l'anneau des s\'eries
formelles, la puissance $x$\ieme\ ($x\in  {\bf R}$) est d\'efini par
  $$(1+a)^x=\sum  a^i \Lambda ^i(x).$$
 Le second membre est, en fait, $\sum  \Lambda ^i(ax)$,
lorsque $a$ est de rang~1. En effet, la formule de Cauchy donne
  $$\Lambda ^i(ax)=\sum _{|J|=i} \Lambda _J(x) \Lambda _{J\conj}(a).$$
Or tous les $\Lambda _{J\conj}(a)$ sont nuls, sauf pour
$J=i$, auquel cas $\Lambda _{i\conj}(a)=a^i$. On peut \'ecrire :
  $$(1+a)^x=\sum  \Lambda ^i(ax)\qquad
\hbox{($a$ de rang~1 ; $x$ r\'eel)}.$$
On en d\'eduit la {\it formule du bin\^ome} :
  $$\eqalign{(1-a)^{-x}&=\sum a^i S^i(x),\cr
                       &=\sum S^i(ax)\qquad
\hbox{($a$ de rang~1 ; $x$ r\'eel)}.\cr}$$

     En plus des expressions classiques des fonctions de
Schur, on a dans le cas o\`u $x$ est r\'eel une formule plus
condens\'ee pour $S_I(x)$. Marquons dans chaque bo\^\i te
${\square}$ de la partition $I$ sa distance (ordonn\'ee)
$c_{\square}$ \`a la dia\-gonale principale, comme indiqu\'e dans le
premier tableau. D'autre part, d\'efinissons
l'{\it \'equerre de sommet} ${\square}$
comme \'etant l'ensemble des bo\^\i tes de $I$ situ\'ees
soit sur la m\^eme colonne que ${\square}$ et au-dessus
de celle-ci, soit sur la m\^eme ligne et \`a droite de celle-ci.
Le poids de cette \'equerre de sommet ${\square}$ consid\'er\'ee
comme partition est not\'e $h_{\square}$. On peut reporter, comme
dans le second tableau, le poids de chaque \'equerre en
son sommet. Avec ces conventions, on a la formule :
  $$S_I(x) = \prod _{{\square}\,\subset I}(x+c_{\square})/h_{\square},$$
dont on trouvera une d\'emonstration dans
\pd MACDONALD (p.~28, ex.~4).

  $$\vbox{\tabskip=0pt \offinterlineskip
\newbox\stratbox
\setbox\stratbox=\hbox{\vrule height 15pt depth 5pt width 0pt}
\def\strat{\relax\ifmmode\copy\stratbox\else\unhcopy\stratbox\fi}
\halign{\strat#& \vrule#&
\hbox to 20pt{\hfil$#$\hfil}& \vrule#& \hbox to 20pt{\hfil$#$\hfil}& \vrule#&
\hbox to 20pt{\hfil$#$\hfil}& \vrule#&
\hbox to 20pt{\hfil$#$\hfil}& \vrule#\cr
  \noalign{\hrule width 20.8pt}
  &&{}-3&&\multispan6\cr
  \noalign{\hrule width 61.2pt}
  &&{}-2&&{}-1&&0&&\multispan2\cr
  \noalign{\hrule}
  &&{}-1&&0&&{}-1&&{}-2&\cr
  \noalign{\hrule}
  &&0&&{}-1&&{}-2&&{}-3&\cr
  \noalign{\hrule}}}\qquad\qquad
\vbox{\tabskip=0pt \offinterlineskip
\newbox\stratbox
\setbox\stratbox=\hbox{\vrule height 15pt depth 5pt width 0pt}
\def\strat{\relax\ifmmode\copy\stratbox\else\unhcopy\stratbox\fi}
  \halign{\strat#& \vrule#&
\hbox to 20pt{\hfil$#$\hfil}& \vrule#& \hbox to 20pt{\hfil$#$\hfil}& \vrule#&
\hbox to 20pt{\hfil$#$\hfil}& \vrule#& \hbox to 20pt{\hfil$#$\hfil}&
\vrule#\cr
  \noalign{\hrule width 20.8pt}
  &&1&&\multispan6\cr
  \noalign{\hrule width 61.2pt}
  &&4&&2&&1&&\multispan2\cr
  \noalign{\hrule}
  &&6&&4&&3&&1&\cr
  \noalign{\hrule}
  &&7&&5&&4&&2&\cr
  \noalign{\hrule}}}$$

     Le fait que pour $x$ r\'eel, $S^i(x)$ soit
un polyn\^ome en $x$, implique que
$S^I(x)$, $S_I(x)$, $\Psi _I(x)$, \dots\ soient
des polyn\^omes en $x$. Leurs valeurs prises pour les
$x$ entiers les d\'eterminent compl\`etement. En particulier,
  $$\forall  x\in  {\bf R},\quad \forall  i\geq 1,\quad \Psi _i(x)=x,$$
la formule \'etant triviale pour $x$ entier.
Pour toute partition $I$ (avec $l(I)$ d\'esignant
le nombre de parts non nulles), on en d\'eduit :
  $$\forall  x\in  {\bf R},\quad \Psi ^I(x)=x^{l(I)}.$$

     D'autre part, $\Psi _I(x)\,(=\Psi _I(1+\cdots+1)\,)$
est \'egal au nombre de mo\-n\^o\-mes diff\'erents, de degr\'e $I$,
en $n$ variables, qui est naturellement un coefficient
multinomial. D'o\`u, pour $I=1^{m_1}2^{m_2}\ldots\,$,
on a donc
  $$\forall  x\in  {\bf R},\quad \Psi _I(x)={x(x-1)\ldots(x-l(I)+1)\over
m_1!\, m_2!\,\ldots},$$
et
  $$\forall  x\in  {\bf R},\quad \Psi _I(-x)=(-1)^{l(I)}
{x(x+1)\ldots (x+l(I)-1)\over
m_1!\, m_2!\,\ldots}.$$

     De la formule du bin\^ome, on d\'eduit pour
$a$, $b$,\dots,$d$ de rang~1 et $x$ r\'eel
  $$\eqalign{[(1-a)(1-b)\ldots(1-d)]^{-x}&=
\sum  S^i(ax) \sum  S^j(bx) \,\ldots\, \sum  S^k(dx),\cr
&=\sum  S^n((a+b+\cdots+d)x)\quad \hbox{(lin\'earit\'e)},\cr
&=\sum  S_J(a+b+\cdots+d) S_J(x)\quad ({\rm Cauchy}).\cr}$$
La derni\`ere formule peut \^etre exprim\'ee dans toute autre
paire de bases adjointes. On a donc aussi
  $$\eqalign{[(1-a)(1-b)\ldots (1-d)]^{-x}
&=\sum  S^I(a+b+\cdots+dl) \Psi _I(x),\cr
&=\sum  \Psi _I(a+b+\cdots+d) S^I(x),\cr
&=\sum  {\Psi ^I(a+b+\cdots+d) \Psi ^I(x)\over
(\Psi ^I,\Psi ^I)},\cr}$$
o\`u l'on peut m\^eme remplacer $\Psi _I(x)$, $S^I(x)$ et
$\Psi ^I(x)$ par leurs valeurs explicites calcul\'ees plus haut.

\rem Remarque|Il faut se garder de sp\'ecialiser inconsid\'er\'ement
les variables dans $\Lambda $-anneau : si $a$ est \`a la fois r\'eel et de
rang~1, alors $a=1$. En d'autres termes, le morphisme
${\bf R}[a]\rightarrow {\bf R}$
d\'efini par $a\mapsto  x\quad (\not=1)$ n'est pas
un morphisme de $\Lambda $-anneau.

\adresse
Alain {\petcap Lascoux},
L.I.T.P., U.E.R. Math\'ematiques,
Universit\'e Paris VII,
Tour 55--56, 1\ermini~\'etage,
2, Place Jussieu,
F-75221 Paris Cedex 05.

\fin
\end
