{\catcode`\^^M=\active %
  \gdef\adrbox{\catcode`\^^M=\active %
  \def^^M{\egroup\hbox\bgroup}}}
\def\adresse{\par\nobreak%
  \vskip 24pt plus 6pt minus 3pt%
  \hbox to \hsize\bgroup\hfill%
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  \adrbox\vbox\bgroup\hbox\bgroup}
\def\fin{\vfill\eject}

\catcode'32=9
\magnification=1200

% particularite du pilote canon

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\hoffset=0cm
%\hoffset=1cm
\font\tenpc=cmcsc10
%\font\eightpc=cmcsc8

% Charge des fontes de 8 et 6 points :
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\font\eighti=cmmi8
\font\eightsy=cmsy8
\font\eightbf=cmbx8
\font\eighttt=cmtt8
\font\eightit=cmti8
\font\eightsl=cmsl8
\font\sixrm=cmr6
\font\sixi=cmmi6
\font\sixsy=cmsy6
\font\sixbf=cmbx6

\skewchar\eighti='177 \skewchar\sixi='177
\skewchar\eightsy='60 \skewchar\sixsy='60

% Chargement des fontes AMS

\font\tengoth=eufm10
\font\tenbboard=msbm10
\font\eightgoth=eufm8
\font\eightbboard=msbm8
\font\sevengoth=eufm7
\font\sevenbboard=msbm7
\font\sixgoth=eufm6
\font\fivegoth=eufm5

\newfam\gothfam
\newfam\bboardfam

\catcode`\@=11

\def\raggedbottom{\topskip 10pt plus 36pt
\r@ggedbottomtrue}
\def\pc#1#2|{{\bigf@ntpc #1\penalty
\@MM\hskip\z@skip\smallf@ntpc #2}}

\def\tenpoint{%
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  \def\rm{\fam\z@\tenrm}%
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  \def\oldstyle{\fam\@ne\teni}%
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\def\eightpoint{%
  \textfont0=\eightrm \scriptfont0=\sixrm \scriptscriptfont0=\fiverm
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  \textfont1=\eighti \scriptfont1=\sixi \scriptscriptfont1=\fivei
  \def\oldstyle{\fam\@ne\eighti}%
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  \normalbaselines\rm}

\let\bb=\bboard

\tenpoint

%���������������������� dactylographie fran�aise �����������������

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\def\^#1{\if#1i{\accent"5E\i}\else{\accent"5E #1}\fi}
\def\"#1{\if#1i{\accent"7F\i}\else{\accent"7F #1}\fi}

\frenchspacing

%���������������������� format de sortie �����������������

\newif\ifpagetitre
\newtoks\auteurcourant \auteurcourant={\hfil}
\newtoks\titrecourant \titrecourant={\hfil}

\def\appeln@te{}
\def\vfootnote#1{\def\@parameter{#1}\insert\footins\bgroup\eightpoint
  \interlinepenalty\interfootnotelinepenalty
  \splittopskip\ht\strutbox % top baseline for broken footnotes
  \splitmaxdepth\dp\strutbox \floatingpenalty\@MM
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  \ifx\appeln@te\@parameter\indent \else{\noindent #1\ }\fi
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  \ifodd\pageno\rightheadline \else\leftheadline\fi\fi}
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\def\titleheadline{\hfill}
\pagetitretrue

\def\footnoterule{\kern-6\p@
  \hrule width 2truein \kern 5.6\p@} % the \hrule is .4pt high



\let\rmpc=\sevenrm
\def\pd#1#2 {\pc#1#2| }

\def\pointir{\discretionary{.}{}{.\kern.35em---\kern.7em}\nobreak
\hskip 0em plus .3em minus .4em }

\def\resume#1{\vbox{\eightpoint \pc R\'ESUM\'E|\pointir #1}}
\def\abstract#1{\vbox{\eightpoint \pc ABSTRACT|\pointir #1}}

\def\titre#1|{\message{#1}
              \par\vskip 30pt plus 24pt minus 3pt\penalty -1000
              \vskip 0pt plus -24pt minus 3pt\penalty -1000
              \centerline{\bf #1}
              \vskip 5pt
              \penalty 10000 }

\def\section#1|{\par\vskip .3cm
                {\bf #1}\pointir}

\def\ssection#1|{\par\vskip .2cm
                {\it #1}\pointir}

\long\def\th#1|#2\finth{\par\medskip
              {\petcap #1\pointir}{\it #2}\par\smallskip}

\long\def\tha#1|#2\fintha{\par\medskip
                    {\petcap #1.}\par\nobreak{\it #2}\par\smallskip}
\def\cf{{\it cf}}

\def\rem#1|{\par\medskip
            {{\it #1}\pointir}}

\def\rema#1|{\par\medskip
             {{\it #1.}\par\nobreak }}

%
\def\ieme{\raise 1ex\hbox{\pc{}i\`eme|}}
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\def\emini{\raise 1ex\hbox{\pc{}e|}}
\def\ermini{\raise 1ex\hbox{\pc{}er|}}
\def\remini{\raise 1ex\hbox{\pc{}re|}}

%reference pour un article :
\def\article#1|#2|#3|#4|#5|#6|#7|
    {{\leftskip=7mm\noindent
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     \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
     #3, {\sl #4}, t.\nobreak\ {\bf #5}, {\oldstyle #6},
     p.\nobreak\ #7.\par}}
%reference pour un livre :
\def\livre#1|#2|#3|#4|
    {{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
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    {\sl #3}\pointir #4.\par}}
%reference complementaire :
\def\divers#1|#2|#3|
    {{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
     \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
     #3.\par}}
%
\mathchardef\conj="0365
\def\dem{\par{\it D\'emonstration}\pointir}
\def\qed{\quad\raise -2pt\hbox{\vrule\vbox to 10pt{\hrule width 4pt
\vfill\hrule}\vrule}}

\def\virg{\raise 2pt\hbox{,}}   % virgule apr�s une fraction

\def\cqfd{\penalty 500 \hbox{\qed}\par\smallskip}

\def\decale#1|{\par\noindent\hskip 28pt\llap{#1}\kern 5pt}
\def\decaledecale#1|{\par\noindent\hskip 34pt\llap{#1}\kern 5pt}
% pour les titres en deux lignes et les sections sans point-tiret :
\def\titrea#1|#2|{\message{#1 #2}
  \par\vskip.5cm plus .1cm minus .1cm\penalty -1000
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  \penalty 10000 }
\def\sectiona#1|{\par\vskip .3cm
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\def\ssectiona#1|{\par\vskip .2cm
  {\it #1.}
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\catcode`\@=12

{\catcode`\^^M=\active %
  \gdef\adrbox{\catcode`\^^M=\active %
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\def\adresse{\par\nobreak%
  \vskip 24pt plus 6pt minus 3pt%
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  \def\fin{\egroup\egroup\hskip2em\egroup\vfill\eject}%
  \adrbox\vbox\bgroup\hbox\bgroup}
\def\fin{\vfill\eject}
\pageno=55

\titrecourant={HOMOGENE MENGEN}
\auteurcourant={A. KERBER}

\eightpoint
\leftline{Publ. I.R.M.A. Strasbourg, $\oldstyle 1984$, 229/S--08}
\leftline{Actes 8\emini\ S\'eminaire Lotharingien, p. 27--29}

\tenpoint
\let\it=\sl

\vskip 1.5cm
\centerline{{\bf EINE BEMERKUNG \"UBER HOMOGENE MENGEN}}
\vskip 5pt
\centerline{\bf IN ENDLICHEN GRUPPEN}
\vskip 2.8mm
\centerline{{\petcap Adalbert} KERBER}

\vskip .5cm
G. \pc KREWERAS| betrachtete in seinem Vortrag {\it homogene
Mengen}, die er wie folgt definierte. Ist $(M,\cdot)$ eine Menge
mit innerer Verkn\"upfung, $m\in M$, dann sei
$$
d(m):=|\{(x,y)\in t^2\,|\, x.y=m\}|. 
$$
Ist diese Funktion $d(-)$ konstant auf $T\subseteq M$, so
hei\ss t $T$ {\it homogen}. Ein Beispiel hierf\"ur is die Menge
$T$ der $n$-Zyklen in der symmetrischen Gruppe~$S_n$. Das
folgt aus der Tatsache, da\ss\ diese Menge eine
Konjugiertenklasse ist (Bermerkung von \pc PLESKEN| : jede
Teilmenge~$T$, auf der eine Gruppe von Automorphismen von~$M$
transitiv operiert, ist homogen!).

Genauer noch kann man f\"ur endliche Gruppen $M$ sogar einen
expliziten Ausdruck f\"ur $d(-)$ angeben, wenn $T$ eine
Konjugiertenklasse ist. Die Funktion $d(-)$ ergibt sich dabei
als Linearkombination von gew\"ohnlichen irreduziblen
Charakteren, also Klassenfunktionen, was die Homogenit\"at von
Konjugiertenklassen best\"atigt.

Der gew\"unschte Ausdruck ist eine direkte Konsequenz des
folgenden wesentlich allgemeineren Satzes ([1], vgl. auch [2]
(5.3.46) oder [3] f\"ur weitere Details) :

\th Satz|Ist $G$ eine endliche Gruppe, $h\in G$, und sind f\"ur
$1\le j\le k$~$C_j$ Konjugiertenklassen von $G$, $m_j$ und
$n_j$ nat\"urliche Zahlen, dann ist die Anzahl der L\"osungen
$(g_1,\ldots, g_k)\in G^k$ der Gleichung
$$
g_1^{n_1}\ldots g_k^{n_k}=h, 
$$
mit den Nebenbedingungen $g_j^{m_j}\in C_j$ gleich
$$
\sum_{i=1}^s {f^i\over |G|} \prod_{j=1}^k
\Bigl({1\over f^i}\sum_{g_j} \zeta^i(g_j^{n_j})\Bigr)
\zeta^i(h^{-1})\qquad (g_j^{m_j}\in C_j). 
$$
Dabei sind $\zeta^1$, \dots~, $\zeta^s$ die gew\"ohnlichen
irreduziblen Charaktere von $G$,~$f^i$ deren Dimensionen :
$f^i=\zeta^i(1)$.
\finth

Daraus ergibt sich als Spezialfall unmittelbar die

\th Forgerung|Ist $T:=C$ eine Konjugiertenklasse von~$G$, dann
ist f\"ur jedes $t\in T$
$$
d(t)={|T|^2\over |G|} \sum_i
{\zeta^i(t)^2\,\zeta^i(t^{-1})\over f^i}. 
$$
\finth

F\"ur die Klasse der $n$-Zyklen in $S_n$ vereinfacht sich dies
weiter dadurch, da\ss\ die einzigen irreduziblen Charaktere, die
dort einen Wert $\pm 1$ haben, die Charaktere
$\zeta^{(n-r,1^r)}$ zu hakenf\"ormigen Partitionen $(n-r,1^r)$
sind. F\"ur diese gilt
$$
\zeta ^{(n-r,1^r)}\bigl((1\ldots n)\bigr)=(-1)^r,
\qquad
\zeta ^{(n-r,1^r)}(1)={n-1\choose r}.
$$
Das ergibt mit $|T|=(n-1)!$

\th Folgerung|Man hat
$d\bigl((1\ldots n)\bigr)=\displaystyle 
{(n-1)!\over n}\sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r {n-1\choose r}^{-1}$.
\finth

Mit Hilfe des Ausdrucks f\"ur die alternierende Summe von
Inversen von Binomialkoeffizienten, auf den \pc BARON| hinwies
und f\"ur den dann \pc ANDREWS| und \pc HOFBAUER| Herleitungen
angaben, folgt schie\ss lich
$$
d\bigl((1\ldots n)\bigr)=\cases{\displaystyle {2(n-1)!\over
n+1},& falls $n$ ungerade ;\cr
0,&sonst.\cr}
$$
Eine von vornherein speziell auf $S_n$ zugeschnittene
Herleitung dieses Ergebnisses findet man auch in [4].

\vfill\eject

\vglue 2cm
{\eightpoint
\centerline{LITERATUR}
\vskip 1cm
\article 1|Kerber (A.) u. Wagner (B.)|Gleichungen in endlichen
Gruppen|Archiv d. Math.|35|1980|252--262|

\livre 2|James (G.D.) u. Kerber (A.)|The representation theory of
the symmetric group|Addison-Wesley, 1981|

\divers 3|Kerber (A.) u. Th\"urlings (K.-J.)|Symmetrieklassen von
Funktionen und ihre Abz\"ahlungstheorie II, Bayreuther Math.
Schriften (in Vorbereitung)|

\article 4|Stanley (R.)|Factorization of permutations into
$n$-cycles|Discrete Math.|37|1981|255--262|
}

\adresse
Adalbert Kerber,
Lehrstuhl II f\"ur Mathematik,
Universit\"at Bayreuth,
Postfach 3008,
D-8580 Bayreuth.
\fin

\bye
